中考数学 第四单元 三角形 课时训练18 等腰三角形练习 (新版)浙教版

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课时训练(十八) 等腰三角形
|夯实基础|
1.[2017·台州] 如图K18-1,已知等腰三角形ABC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是()
图K18-1
A.AE=EC
B.AE=BE
C.∠EBC=∠BAC
D.∠EBC=∠ABE
2.[2017·包头] 若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为 ()
A.2 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
3.如图K18-2,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是()
图K18-2
A.3
B.4
C.6
D.5
4.[2017·河池] 如图K18-3,已知等边三角形ABC的边长为12,D是AB上的动点,过D作DE⊥AC于点E,过E作EF ⊥BC于点F,过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时,AD的长是()
图K18-3
A.3
B.4
C.8
D.9
5.如图K18-4,P是∠AOB外的一点,点M,N分别是∠AOB两边上的点,点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上.若PM=2.5 cm,PN=3 cm,MN=4 cm,则线段QR的长为()
图K18-4
A.4.5 cm
B.5.5 cm
C.6.5 cm
D.7 cm
6.[2017·丽水] 等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是.
7.如图K18-5,在Rt△ABC中,D,E为斜边AB上的两个点,且BD=BC,AE=AC,则∠DCE的大小为°.
图K18-5
8.[2017·扬州] 如图K18-6,把等边三角形ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DP⊥BC,若BP=
4 cm,则EC= cm.
图K18-6
9.[2018·南充] 如图K18-7,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线交BC于点E,∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C= 度.
图K18-7
10.[2017·淄博] 在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF= .
11.如图K18-8,点B,D在射线AM上,点C,E在射线AN上,且AB=BC=CD=DE,已知∠EDM=84°,求∠A的度数.
图K18-8
12.如图K18-9,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点O,且OB=OC.
(1)求证:△ABC为等腰三角形;
(2)试猜想:直线OA与线段BC的位置关系,并加以证明.
图K18-9
|拓展提升|
13.在凸四边形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC把四边形ABCD分成两个等腰三角形,则∠ABC的度数为.
14.[2018·绍兴] 数学课上,张老师举了下面的例题:
例1等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)
例2等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
变式等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.
参考答案
1.C[解析] ∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵BC=BE,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BAC=∠EBC,
因此选C.
2.A[解析] 考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系.(1)若底边长为 2 cm,则腰长为(10-2)÷2=4(cm),4+2>4,符合三角形三边关系,所以该等腰三角形的底边长为2 cm;(2)若腰长为2 cm,则底边长为10-2×2=6(cm),2+2<6,不符合三角形三边关系,所以舍去.
3.A
4.C[解析] 由题易知△DEF为等边三角形,设AE=x,则AD=2x,可得DE=DF=x,BD=x,由x+2x=12,解得x=4,
∴AD=2x=8.
5.A
6.100°[解析] 根据三角形的内角和等于180°,又等腰三角形的一个内角为100°,得这个100°的内角只可能是顶角,故填100°.
7.45
8.(2+2)[解析] 根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8 cm,再由勾股定理求得DP=4 cm.根
据折叠的性质可以得到∠DPE=∠A=60°,DP=DA=4 cm,易得∠EPC=30°,∠PEC=90°,所以
EC=PC=×(8+4-4)=2+2(cm).
9.24[解析] 设∠C的度数为x,
∵DE垂直平分AC,∴EA=EC,∴∠EAC=∠C=x.
∵∠FAE=19°,
∴∠AFB=∠FAC+∠C=(x+19°)+x=2x+19°.
∵AF平分∠BAC,∴∠BAF=∠FAC=x+19°,
∵∠BAF+∠AFB+∠B=180°,
∴70°+(2x+19°)+(x+19°)=180°,
解得x=24°.故答案为24.
10.2[解析] 如图,过点C作CG⊥AB,垂足为G,连结AD,则AG=BG=2,
∴CG===2.
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC,
∴AB·DE+AC·DF=AB·CG,
∴×4DE+×4DF=×4CG,
∴DE+DF=CG=2.
11.解:∵AB=BC=CD=DE,
∴∠A=∠BCA,∠CBD=∠BDC,∠ECD=∠CED.
根据三角形外角的性质,∠A+∠BCA=∠CBD,∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠EDM, ∴∠CED=3∠A.
又∵∠EDM=84°,
∴∠A+3∠A=84°,
∴∠A=21°.
12.解:(1)证明:∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,即∠EBC=∠DCB.
又∵CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,
∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
∴△ABC为等腰三角形.
(2)OA⊥BC.证明如下:
连结AO,并延长交BC于点F.
∵AB=AC,
∴点A在线段BC的垂直平分线上.
∵OB=OC,
∴点O在线段BC的垂直平分线上,
∴OA垂直平分BC,即OA⊥BC.
13.60°或90°或150°[解析] 显然等腰三角形ABC的两腰是AB,BC,只需讨论△ACD中哪两边相等即可.①当AC=AD 时,AB=BC=AD=AC,∴△ABC是正三角形,即∠ABC=60°;②当CD=AD时,AB=BC=AD=CD,∴四边形ABCD是菱形,而
∠BAD=90°,∴四边形ABCD是正方形,即∠ABC=90°;③当AC=CD时,过点C分别作CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F,则四边形CEAF是矩形,CE=AF=AD=BC,
∴∠ABC=30°(此时,∠BAC=∠ACB=75°,∠CDA=∠CAD=15°,故∠BCD=360°-30°-90°-15°>180°,舍去)或∠ABC=150°.
14.解:(1)当∠A为顶角时,∠B=50°,
当∠A为底角时,若∠B为顶角,则∠B=20°,
若∠B为底角,则∠B=80°,
∴∠B=50°或20°或80°.
(2)分两种情况:
①当90≤x<180时,∠A只能为顶角,
∴∠B的度数只有一个.
②当0<x<90时,
若∠A为顶角,则∠B=()°,
若∠A为底角,则∠B=x°或∠B=(180-2x)°,
当≠180-2x且≠x且180-2x≠x,
即x≠60时,
∠B有三个不同的度数.
综上①②,当0<x<90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.。