【中考数学】2021年浙江省衢州市中考数学试卷

一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2021•衢州）21的相反数是（ ） A ．21
B ．﹣21
C ．
121
D ．−1
21
2．（3分）（2021•衢州）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（3分）（2021•衢州）2021年5月国家统计局公布了第七次人口普查结果，我国人口数约为1412000000．其中数据1412000000用科学记数法表示为（ ） A ．14.12×108
B ．0.1412×1010
C ．1.412×109
D ．1.412×108
4．（3分）（2021•衢州）下列计算正确的是（ ） A ．（x 2
）3
＝x 5
B ．x 2+x 2＝x 4
C ．x 2•x 3＝x 5
D ．x 6÷x 3＝x 2
5．（3分）（2021•衢州）一个布袋里放有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是（ ） A ．1
3
B ．2
3
C ．1
5
D ．2
5
6．（3分）（2021•衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（ ） A ．3
2π
B ．3π
C ．5π
D ．15π
7．（3分）（2021•衢州）如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝5，BC ＝6，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，连结
DE ，EF ，则四边形ADEF 的周长为（ ）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．15
8．（3分）（2021•衢州）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x 两，燕重y 两，可列出方程组（ ） A ．{5x +6y =164x +y =5y +x
B ．{5x +6y =104x +y =5y +x
C ．{5x +6y =105x +y =6y +x
D ．{5x +6y =165x +y =6y +x
9．（3分）（2021•衢州）如图．将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转∠α得到菱形AB ′C ′D ′，∠B ＝∠β．当AC 平分∠B ′AC ′时，∠α与∠β满足的数量关系是（ ）
A ．∠α＝2∠β
B ．2∠α＝3∠β
C ．4∠α+∠β＝180°
D ．3∠α+2∠β＝180°
10．（3分）（2021•衢州）已知A ，B 两地相距60km ，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地，甲骑自行车匀速行驶3h 到达，乙骑摩托车，比甲迟1h 出发，行至30km 处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A 地的路程y 与甲行驶时间x 的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B 地（ ）
A ．15km
B ．16km
C ．44km
D ．45km
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）（2021•衢州）若√x −1有意义，则x 的值可以是 ．（写出一个即可）
12．（4分）（2021•衢州）不等式2（y+1）＜y+3的解集为．
13．（4分）（2021•衢州）为庆祝建党100周年，某校举行“庆百年红歌大赛”．七年级5个班得分分别为85，90，88，95，92，则5个班得分的中位数为分．
14．（4分）（2021•衢州）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则∠AFB的度数为．
15．（4分）（2021•衢州）将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，
且AB＝4√3，点E在AD上，DE=1
4AD，将这副三角板整体向右平移个单位，C，E两点同时
落在反比例函数y=k
x的图象上．
16．（4分）（2021•衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得FA＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．
（1）椅面CE的长度为cm．
（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
三、解答题（本题共有8小题，第17~19小题每小题6分，第20~21小题每小题6分，第22~23小题每小题6分，第24小题12分，共66分。

请务必写出解答过程）
17．（6分）（2021•衢州）计算：√9+（1
2）0
﹣|﹣3|+2cos60°．
18．（6分）（2021•衢州）先化简，再求值：
x 2
x−3
+
93−x
，其中x ＝1．
19．（6分）（2021•衢州）如图，在6×6的网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上． （1）在图1中画出△ACD ，使△ACD 与△ACB 全等，顶点D 在格点上． （2）在图2中过点B 画出平分△ABC 面积的直线l ．
20．（8分）（2021•衢州）为进一步做好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师生满意度进行抽样调查．并将结果绘制成如下统计图（不完整）．
（1）求被调查的师生人数，并补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数．
（3）若该校共有师生1800名，根据抽样结果，试估计该校对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数．
21．（8分）（2021•衢州）如图，在△ABC中，CA＝CB，BC与⊙A相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交⊙A于点F，连结BF．
（1）求证：BF是⊙A的切线．
（2）若BE＝5，AC＝20，求EF的长．
22．（10分）（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
23．（10分）（2021•衢州）如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），AB＝6cm，过点C作CD⊥AB 交半圆于点D，连结AD，过点C作CE∥AD交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记AC＝xcm，EC＝y1cm，EB＝y2cm．请你一起参与探究函数y1、y2随自变量x 变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．
x…0.30 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 4.80 5.60 …
y1… 2.01 2.98 3.46 3.33 2.83 2.11 1.27 0.38 …
y2… 5.60 4.95 3.95 2.96 2.06 1.24 0.57 0.10 …
（1）当x＝3时，y1＝．
（2）在图2中画出函数y2的图象，并结合图象判断函数值y1与y2的大小关系．
（3）由（2）知“AC取某值时，有EC＝EB”．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．
24．（12分）（2021•衢州）【推理】
如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长
CF 交AD 于点G ．
（1）求证：△BCE ≌△CDG ． 【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若HD HF
=4
5
，CE ＝9，求线段DE 的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，H 两点，若
AB BC
=k ，
HD HF
=4
5
，求
DE EC
的值（用含k 的代数式表示）．
2021年浙江省衢州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2021•衢州）21的相反数是（）
A．21 B．﹣21 C．1
21D．−
1
21
【分析】依据相反数的定义求解即可．
【解答】解：21的相反数是﹣21，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）（2021•衢州）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（）
A．B．C．D．
【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．
【解答】解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
3．（3分）（2021•衢州）2021年5月国家统计局公布了第七次人口普查结果，我国人口数约为1412000000．其中数据1412000000用科学记数法表示为（）
A．14.12×108B．0.1412×1010
C．1.412×109D．1.412×108
【分析】根据把一个大于10的数记成a×10n的形式的方法进行求解，即可得出答案．
【解答】解：1412000000＝1.412×109．
故选：C．
【点评】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法表示的方法进行求解是解决本题的关键．
4．（3分）（2021•衢州）下列计算正确的是（）
A ．（x 2）3＝x 5
B ．x 2+x 2＝x 4
C ．x 2•x 3＝x 5
D ．x 6÷x 3＝x 2
【分析】A ：根据幂的乘方法则进行计算即可得出答案；
B ：根据合并同类项法则进行计算即可得出答案；
C ：根据同底数幂的乘法法则进行计算即可得出答案；
D ：根据同底数幂的除法法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：A ：因为（x 2
）3
＝x 6
，所以A 选项错误；
B ：因为x 2+x 2＝2x 2
，所以B 选项错误； C ：因为x 2
•x 3
＝x 2+3
＝x 5
，所以C 选项正确； D ：因为x 6
÷x 3
＝x
6﹣3
＝x 3
，所以D 选项错误．
故选：C ．
【点评】本题主要考查了同底数幂乘除法则、合并同类项及幂的乘方，熟练应用相关法则进行计算是解决本题的关键．
5．（3分）（2021•衢州）一个布袋里放有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是（ ） A ．1
3
B ．2
3
C ．1
5
D ．2
5
【分析】根据概率公式，用白球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：∵从放有3个红球和2个白球布袋中摸出一个球，共有5种等可能结果，其中摸出的球是白球的有2种结果，
∴从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是2
5，
故选：D ．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
6．（3分）（2021•衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（ ） A ．3
2π
B ．3π
C ．5π
D ．15π
【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算，即可得到答案．
【解答】解：扇形面积=150π×6
2
360=15π，
故选：D ．
【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：s =nπR 2
360是解决本题的关键．
7．（3分）（2021•衢州）如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝5，BC ＝6，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，连结
DE ，EF ，则四边形ADEF 的周长为（ ）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．15
【分析】根据三角形中位线定理、线段中点的概念分别求出AD 、DE 、EF 、AF ，根据四边形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点， ∴DE =1
2AC ＝2.5，AF =1
2AC ＝2.5，EF =1
2AB ＝2，AD =1
2AB ＝2， ∴四边形ADEF 的周长＝AD +DE +EF +AF ＝9， 故选：B ．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8．（3分）（2021•衢州）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x 两，燕重y 两，可列出方程组（ ） A ．{5x +6y =164x +y =5y +x
B ．{5x +6y =104x +y =5y +x
C ．{5x +6y =105x +y =6y +x
D ．{5x +6y =165x +y =6y +x
【分析】根据“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组． 【解答】解：根据题意，得： {5x +6y =164x +y =5y +x ， 故选：A ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（3分）（2021•衢州）如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．当AC平分∠B′AC′时，∠α与∠β满足的数量关系是（）
A．∠α＝2∠βB．2∠α＝3∠β
C．4∠α+∠β＝180°D．3∠α+2∠β＝180°
【分析】由菱形和旋转的性质可证：∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝∠α，再根据AD∥BC，即可得出4∠α+∠β＝180°．
【解答】解：∵AC平分∠B′AC′，
∴∠B'AC＝∠C'AC，
∵菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，
∴∠BAB'＝∠CAC'＝∠α，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAB'＝∠DAC'，
∴∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝∠α，
∵AD∥BC，
∴4∠α+∠β＝180°，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，以及旋转前后对应角相等等知识，熟记其性质是解题的关键．
10．（3分）（2021•衢州）已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车，比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A 地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（）
A．15km B．16km C．44km D．45km
【分析】根据图象信息先求出甲、乙速度，然后根据第二次乙追上甲时所走路程相同求出甲所用时间，再求距离B地的距离即可．
【解答】解：由图象可知：甲的速度为：60÷3＝20（km/h），
乙追上甲时，甲走了30km，此时甲所用时间为：30÷20＝1.5（h），
乙所用时间为：1.5﹣1＝0.5（h），
∴乙的速度为：30÷0.5＝60（km/h），
设乙休息半小时再次追上甲时，甲所用时间为t，
则：20t＝60（t﹣1﹣0.5），
解得：t＝2.25，
此时甲距离B地为：（3﹣2.25）×20＝0.75×20＝15（km），
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，关键是读取图象中信息求出甲、乙的速度．
二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）（2021•衢州）若√x−1有意义，则x的值可以是2（答案不唯一）．（写出一个即可）【分析】由题意可得：x﹣1≥0，解不等式即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：
x﹣1≥0，
即x≥1．
则x的值可以是大于等于1的任意实数．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练应用二次根式有意义的条件进行计算是解决本题的关键．
12．（4分）（2021•衢州）不等式2（y+1）＜y+3的解集为y＜1 ．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得，注意移项要变号．【解答】解：2（y+1）＜y+3
2y+2＜y+3
2y﹣y＜3﹣2
y＜1，
故答案为：y＜1．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是解题的关键．
13．（4分）（2021•衢州）为庆祝建党100周年，某校举行“庆百年红歌大赛”．七年级5个班得分分别为85，90，88，95，92，则5个班得分的中位数为90 分．
【分析】将这组数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这5个班的得分重新排列为85、88、90、92、95，
∴5个班得分的中位数为90分，
故答案为：90．
【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
14．（4分）（2021•衢州）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则∠AFB的度数为72°．
【分析】根据五边形的内角和公式求出∠ABC，根据等腰三角形的性质求出∠BCA和∠CBD，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD＝∠ABC=(5−2)×180°
5
=108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
同理∠CBD＝36°，
∴∠AFB＝∠BCA+∠CBD＝72°，
故答案为：72°．
【点评】本题考查的是正多边形的内角，熟练掌握正多边形的内角的计算公式和等腰三角形的性质是解题的关键．15．（4分）（2021•衢州）将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，
且AB＝4√3，点E在AD上，DE=1
4AD，将这副三角板整体向右平移12−√3个单位，C，E两点同时落在反比
例函数y=k
x的图象上．
【分析】求得C、E的坐标，然后表示出平移后的坐标，根据k＝xy得到关于t的方程，解方程即可求得．【解答】解：∵AB＝4√3，
∴BD=√3AB＝12，
∴C（4√3+6，6），
∵DE=1
4AD，
∴E的坐标为（3√3，9），
设平移t个单位后，则平移后C点的坐标为（4√3+6+t，6），平移后E点的坐标为（3√3+t，9），
∵平移后C，E两点同时落在反比例函数y=k
x的图象上，
∴（4√3+6+t）×6＝（3√3+t）×9，
解得t＝12−√3，
故答案为12−√3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征坐标与图形变化﹣平移，表示出C、E的坐标，进而得到平移后的坐标是解题的关键．
16．（4分）（2021•衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，
FA ，EB 均与地面垂直，测得FA ＝54cm ，EB ＝45cm ，AB ＝48cm ．
（1）椅面CE 的长度为 40 cm ．
（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD ，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD 的度数达到最小值30°时，A ，B 两点间的距离为 12.5 cm （结果精确到0.1cm ）．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ECB ＝∠ABF ，由锐角三角函数可得BE CE =AF AB ，即可求解；
（2）如图2，延长AD ，BE 交于点N ，由“ASA ”可证△ABF ≌△BAN ，可得BN ＝AF ，可求NE 的长，由锐角三角函数可求DE 的长，即可求DH 的长，如图3，连接CD ，过点H 作HP ⊥CD 于P ，由锐角三角函数和等腰三角形的性质，可求DC 的长，通过相似三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵CE ∥AB ，
∴∠ECB ＝∠ABF ，
∴tan ∠ECB ＝tan ∠ABF ，
∴
BE CE =AF AB ， ∴45CE =5448，
∴CE ＝40（cm ），
故答案为：40；
（2）如图2，延长AD ，BE 交于点N ，
∵OA ＝OB ，
∴∠OAB ＝∠OBA ，
在△ABF 和△BAN 中，
{∠OBA =∠OAB
AB =AB ∠FAB =∠ABN =90°
，
∴△ABF ≌△BAN （ASA ），
∴BN ＝AF ＝54（cm ），
∴EN ＝9（cm ），
∵tan N =DE NE =AB BN ，
∴DE 9=4854，
∴DE ＝8（cm ），
∴CD ＝32（cm ），
∵点H 是CD 的中点，
∴CH ＝DH ＝16（cm ），
∵CD ∥AB ，
∴△AOB ∽△DOC ，
∴CO OB =CD AB =3248=23，
如图3，连接CD ，过点H 作HP ⊥CD 于P ，
∵HC ＝HD ，HP ⊥CD ，
∴∠PHD =12∠CHD ＝15°，CP ＝DP ，
∵sin ∠DHP =PD DH =sin15°≈0.26，
∴PD ≈16×0.26＝4.16，
∴CD ＝2PD ＝8.32，
∵CD ∥AB ，
∴△AOB ∽△DOC ，
∴
CD AB =CO OB =23， ∴8.32AB =23，
∴AB ＝12.48≈12.5（cm ），
故答案为：12.5．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，求出CD 的长是解题的关键．
三、解答题（本题共有8小题，第17~19小题每小题6分，第20~21小题每小题6分，第22~23小题每小题6分，第24小题12分，共66分。

请务必写出解答过程）
17．（6分）（2021•衢州）计算：√9+（12）0
﹣|﹣3|+2cos60°． 【分析】根据零指数幂，绝对值、算术平方根、特殊角三角函数值的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝3+1﹣3+2×12
＝2．
【点评】本题主要考查了实数混合运算，特殊角三角函数值，正确化简各数是解决本题的关键．
18．（6分）（2021•衢州）先化简，再求值：x2
x−3+
9
3−x
，其中x＝1．
【分析】根据分式的加法法则把原式化简，把x的值代入计算，得到答案．
【解答】解：原式=
x2
x−3
−9x−3
=x 2−9
x−3
=(x+3)(x−3)
x−3
＝x+3，
当x＝1时，原式＝1+3＝4．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的加减混合运算法则是解题的关键．19．（6分）（2021•衢州）如图，在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出△ACD，使△ACD与△ACB全等，顶点D在格点上．
（2）在图2中过点B画出平分△ABC面积的直线l．
【分析】（1）构造平行四边形ABCD，可得结论．
（2）取线段AC与网格线的交点T，作直线BT即可．
【解答】解：（1）如图1中，△ADC即为所求．
（2）如图2中，直线BT即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，三角形的中线等知识，解题的关键是学会构造特殊四边形解决问题，学会利用网格线寻找线段的中点，属于中考常考题型．
20．（8分）（2021•衢州）为进一步做好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师生满意度进行抽样调查．并将结果绘制成如下统计图（不完整）．
（1）求被调查的师生人数，并补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数．
（3）若该校共有师生1800名，根据抽样结果，试估计该校对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数．
【分析】（1）根据“很满意”的人数和所占的百分比，求出被调查的师生人数，再用总人数减去其它组的人数，求出“不满意”的人数，从而补全统计图；
（2）用360°乘以“满意”所占的百分比即可；
（3）用该校共有师生人数乘以“很满意”或“满意”所占的百分比即可．
【解答】解：（1）被调查的师生人数是：120÷60%＝200（人），
“不满意”的人数有：200﹣120﹣70＝10（人），
补充条形统计图如图：
（2）扇扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数为
70200×360°＝126°；
（3）1800×120+70200=1710（人）． 答：估计该校对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数为1710人．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，观察条形统计图及扇形统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．
21．（8分）（2021•衢州）如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，BC 与⊙A 相切于点D ，过点A 作AC 的垂线交CB 的延长线于点E ，交⊙A 于点F ，连结BF ．
（1）求证：BF 是⊙A 的切线．
（2）若BE ＝5，AC ＝20，求EF 的长．
【分析】（1）连接AD ，利用BC 与⊙A 相切于点D ，可得∠ADB ＝90°；通过说明△ABF ≌△ABD 得到∠AFB ＝∠ADB ＝90°，结论得证；
（2）利用BF ⊥AE ，AC ⊥AE 可得BF ∥AC ，于是△EFB ∽△EAC ，得到
BE CE =BF CA ，将已知条件代入可得BF ，利用勾股定理在Rt △BEF 中可求EF ．
【解答】解：（1）证明：连接AD ，如图，
∵CA ＝CB ， ∴∠CAB ＝∠ABC ． ∵AE ⊥AC ，
∴∠CAB +∠EAB ＝90°． ∵BC 与⊙A 相切于点D ， ∴∠ADB ＝90°． ∴∠ABD +∠BAD ＝90°． ∴∠BAE ＝∠BAD ． 在△ABF 和△ABD 中， {AB =AB
∠BAE =∠BAD AF =AD
， ∴△ABF ≌△ABD （SAS ）． ∴∠AFB ＝∠ADB ＝90°． ∴BF 是⊙A 的切线． （2）由（1）得：BF ⊥AE ， ∵AC ⊥AE ， ∴BF ∥AC ． ∴△EFB ∽△EAC ． ∴
BE CE
=
BF CA
，
∵BE ＝5，CB ＝AC ＝20， ∴CE ＝EB +CB ＝20+5＝25， ∴
525
=
BF 20
．
∴BF ＝4．
在Rt △BEF 中，
EF =√BE 2−BF 2=√52−42=3．
【点评】本题主要考查了圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，平行线的判定与性质．连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键． 22．（10分）（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24m ，在距离D 点6米的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O 离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m ．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
【分析】根据题意设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再结合图形进行求解即可； 【解答】解：（1）根据题意可知点F 的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y 1═a 1x 2
． 将F （6，﹣1.5）代入y 1═a 1x 2
有：﹣1.5═36a 1，求得a 1═−124
， ∴y 1═−1
24x 2
， 当x ═12时，y 1═−
124
×122
═﹣6， ∴桥拱顶部离水面高度为6m ．
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y 2═a 2（x ﹣6）2
+1， 将H （0，4）代入其表达式有：4═a 2（0﹣6）2
+1，求得a 2═1
12
，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y 2═1
12
（x ﹣6）2
+1，左边钢缆所在抛物线表达式为：y 3═
1
12
（x +6）2
+1
②设彩带的长度为Lm ，
则L ═y 2﹣y 1═
1
12
（x ﹣6）2
+1﹣（−
124x 2）═18x 2−x +4═18
(x −4)2+2， ∴当x ═4时，L 最小值═2， 答：彩带长度的最小值是2m ．
【点评】本题考查二次函数的应用，解决此类型题一般先根据题意设出适当的二次函数表达式（一般式、顶点式或交点式），再结合实际和二次函数的图像与性质进行求解．
23．（10分）（2021•衢州）如图1，点C 是半圆O 的直径AB 上一动点（不包括端点），AB ＝6cm ，过点C 作CD ⊥AB 交半圆于点D ，连结AD ，过点C 作CE ∥AD 交半圆于点E ，连结EB ．牛牛想探究在点C 运动过程中EC 与EB 的大小关系．他根据学习函数的经验，记AC ＝xcm ，EC ＝y 1cm ，EB ＝y 2cm ．请你一起参与探究函数y 1、y 2随自变量x 变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．
x … 0.30 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 4.80 5.60 … y 1 … 2.01 2.98 3.46 3.33 2.83 2.11 1.27 0.38 … y 2
…
5.60
4.95
3.95
2.96
2.06
1.24
0.57
0.10
…
（1）当x ＝3时，y 1＝ 3 ．
（2）在图2中画出函数y 2的图象，并结合图象判断函数值y 1与y 2的大小关系．
（3）由（2）知“AC 取某值时，有EC ＝EB ”．如图3，牛牛连结了OE ，尝试通过计算EC ，EB 的长来验证这一结论，请你完成计算过程．
【分析】（1）当x ＝3时，点C 和圆心O 重合，此时CE 为半圆O 的半径，即可得y 1的值；
（2）根据表格中的数据，先描点，再用光滑的曲线连接起来，即可画出函数图象，结合图象可得出函数值y 1与
y2的大小关系；
（3）连接OD，作EH⊥AB于H，由（2）知AC＝2时，有EC＝EB，根据勾股定理求出CD，设OH＝m，则CH＝1+m，EH=√32−m2=√9−m2，证明△DAC∽△ECH，根据相似三角形的性质可求出m＝1，可得HB、EH的值，然后根据勾股定理求出EC，EB的长即可得出结论．
【解答】解：（1）当x＝3时，点C和圆心O重合，此时CE为半圆O的半径，
∵AB＝6，
∴EC＝y1cm＝3cm，
∴y1＝3，
故答案为：3；
（2）函数y的图象如图：
由图象得：
当0＜x＜2时，y1＜y2，
当x＝2时，y1＝y2，
当2＜x＜6时，y1＞y2；
（3））连接OD，作EH⊥AB于H，
由（2）知时，有EC＝EB，
∵AC＝2，AB＝6cm，
∴OA＝OD＝OE＝OB＝3cm，OC＝1cm，∵CD⊥AB，
∴CD=√OD2−OC2=2√2，
设OH＝m，则CH＝1+m，
∵EH⊥AB，
∴EH=√32−m2=√9−m2，
∵CE∥AD，
∴∠DAC＝∠ECH，
∵∠DCA＝∠EHC＝90°，
∴△DAC∽△ECH，
∴CD
AC
=
EH
CH
，即
2√2
2
=
√9−m2
1+m
，
∴m1＝1，m2=−7
3（不合题意，舍去），
∴HB＝3﹣1＝2，EH=√OE2−OH2=2√2，
∴EC=√EH2+CH2=√8+4=2√3，EB=√EH2+HB2=√8+4=2√3，
∴EC＝EB．
【点评】本题是圆的综合题，考查了动点函数图象问题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，也考查了函数图象的画法，解题关键是数形结合．
24．（12分）（2021•衢州）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：△BCE≌△CDG．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若HD HF
=4
5
，CE ＝9，求线段DE 的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，H 两点，若
AB BC
=k ，
HD HF
=4
5
，求
DE EC
的值（用含k 的代数式表示）．
【分析】（1）根据AAS 证明三角形全等即可．
（2）如图2中，连接EH ．根据HF 2
+FE 2
＝DH 2
+DE 2
，求出DE 即可解决问题． （3）如图3中，连接HE ．由题意
HD HF
=45
，可以假设DH ＝4m ，HG ＝5m ，设
DE EC
=x ．分两种情形：①当点H 在点
D 的左侧时，②当点H 在点D 的右侧时，如图4中，分别利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△BFE 是由△BCE 折叠得到， ∴BE ⊥CF ，
∴∠ECF +∠BEC ＝90°， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D ＝∠BCE ＝90°， ∴∠ECF +∠CGD ＝90°， ∴∠BEC ＝∠CGD ，
∵BC＝CD，
∴△BCE≌△CDG（AAS）．
（2）如图2中，连接EH．
∵△BCE≌△CDG，
∴CE＝DG＝9，
由折叠可知BC＝BF，CE＝FE＝9，∴∠BCF＝∠BFC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠BCG＝∠HGF，
∵∠BFC＝∠HFG，
∴∠HFG＝∠HGF，
∴HF＝HG，
∵HD
HF
=
4
5
，DG＝9，
∴HD＝4，HF＝HG＝5，
∵∠D＝∠HFE＝90°，
∴HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴52+92＝42+DE2，
∴DE＝3√10或﹣3√10（舍弃），∴DE＝3√10．
（3）如图3中，连接HE．
由题意
HD HF
=45
，可以假设DH ＝4m ，HG ＝5m ，设
DE EC
=x ．
①当点H 在点D 的左侧时， ∵HF ＝HG ， ∴DG ＝9m ，
由折叠可知BE ⊥CF ， ∴∠ECF +∠BEC ＝90°， ∵∠D ＝90°， ∴∠ECF +∠CGD ＝90°， ∴∠BEC ＝∠CGD ， ∵∠BCE ＝∠D ＝90°， ∴△CDG ∽△BCE ， ∴DG CE =CD BC ， ∵CD BC =
AB BC =k ，
∴
9m CE
=k 1
，
∴CE =9m
k =FE ， ∴DE =9mx
k ， ∵∠D ＝∠HFE ＝90° ∴HF 2
+FE 2
＝DH 2
+DE 2
， ∴（5m ）2
+（9m k
）2＝（4m ）2
+（
9mx k
）2
，
∴x =
√k 2+9
3
或−
√k 2+9
3
（舍弃），
∴
DE EC
=
√k 2+93
．
②当点H 在点D 的右侧时，如图4中，
同理HG ＝HF ，△BCE ∽△CDG ， ∴DG ＝m ，CE =m
k
=FE ， ∴DE =
mx k
， ∵HF 2
+FE 2
＝DH 2
+DE 2
，
∴（5m ）2
+（m
k
）2＝（4m ）2
+（
mx k
）2
，
∴x =√9k 2+1或−√9k 2+1（舍弃）， ∴
DE EC
=
√9k 2+1．
综上所述，DE EC
=
√k 2+93
或√9k 2+1．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。