2019版高考数学一轮复习 第6章 不等式 6.1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式学案 理

6．1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式
[知识梳理]
1．两个实数比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b . (2)a －b ＝0⇔a ＝b . (3)a －b ＜0⇔a ＜b . 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a . (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)可加性：a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c .
(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc . (5)加法法则：a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d . (6)乘法法则：a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd . (7)乘方法则：a ＞b ＞0⇒a n
＞b n
(n ∈N ，n ≥1)． (8)开方法则：a ＞b ＞0⇒n
a ＞n
b (n ∈N ，n ≥2)．
3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1
b
.
(2)a <0<b ⇒1a <1
b
.
(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d
. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1
a
.
(5)若a >b >0，m >0，则b a <
b ＋m
a ＋m
； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m
(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式 (1)一般式：y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)．
(2)顶点式：y ＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 2
4a (a ≠0)．
(3)两根式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系
[诊断自测] 1．概念思辨
(1)a ＞b ⇔ac 2
＞bc 2
.( )
(2)若不等式ax 2
＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )
(3)若方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2
＋bx ＋c >0的解集为R .( ) (4)不等式ax 2
＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2
－4ac ≤0.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．教材衍化
(1)(必修A5P 74T 3)下列四个结论，正确的是( )
①a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －d ；②a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ＞bd ；③a ＞b ＞0⇒
3
a ＞3
b ；
④a ＞b ＞0⇒1a 2＞1
b
2.
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．①③
答案 D
解析 利用不等式的性质易知①③正确．故选D.
(2)(必修A5P 80A 组T 3)若关于x 的一元二次方程x 2
－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________．
答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)
解析 由题意知Δ＝(m ＋1)2
＋4m ＞0，即m 2
＋6m ＋1＞0，解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2.
3.小题热身
(1)(2014·四川高考)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c
D.a d ＜b c
答案 D 解析 解法一：
⎭
⎪⎬⎪
⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0
⇒
⎭
⎪⎬⎪⎫
c c
d ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确．故选D.
(2)已知不等式ax 2
＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则不等式2x 2
＋bx ＋a ＜0的解集为( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
－1＜x ＜
12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＜－1或x ＞
1
2 C ．{x |－2＜x ＜1} D ．{x |x ＜－2或x ＞1}
答案 A
解析 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2
＋bx ＋2＝0的根．
由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋2＝－b
a
，(－1)×2＝2
a
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝1.
∴不等式2x 2
＋bx ＋a ＜0，即2x 2
＋x －1＜0. 可知x ＝－1，x ＝1
2
是对应方程的根，故选A.
题型1 不等式性质的应用
典例1 若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，则|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系是________．
用作差法．
答案 |log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|
解析 当a ＞1时，log a (1－x )＜0，log a (1＋x )＞0，
∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝－log a (1－x )－log a (1＋x )＝－log a (1－x 2
)＞0. 当0＜a ＜1时，log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0，
∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2
)＞0. ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.
典例2 已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．
运用待定系数法．
解 由题意知f (x )＝ax 2
＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，
设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，
即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝4，
x －y ＝－2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝3，所以f (－2)＝4a
－2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．
又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6， 所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值范围是[6,10]． 方法技巧
不等式的概念与性质问题的常见题型及解题策略
1．比较大小的常用方法：作差法与作商法．如典例1. 2．不等式的性质及应用
解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证(注意前提条件)；二是利用特殊值法排除错误答案．
3．求代数式的取值范围
(1)先建立待求式子与已知不等式的关系，再利用一次不等式的性质进行运算，求得待求式子的范围．如典例2.
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题中多次使用这种变化，有可能扩大其取值范围．如冲关针对训练．
冲关针对训练
(2017·长春模拟)若1a <1b <0，则下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1
b ；
④ln a 2
>ln b 2
中，正确的不等式是( )
A ．①④
B ．②③
C ．①③
D ．②④
答案 C
解析 由1a <1
b
<0，可知b <a <0.
①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1
ab
>0， 故有
1a ＋b <1
ab
，即①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，则－b >|a |， 即|a |＋b <0，故②错误；
③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，所以a －1a >b －1
b
，故③正确；
④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2
>0，而y ＝ln x 在其定义域上为增函数，
所以ln b 2
>ln a 2
，故④错误． 由以上分析，知①③正确，故选C. 题型2 不等式的解法
典例
解关于x 的不等式ax 2
－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2
＋(a －2)x －2≥0.
(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.
(2)当a >0时，原不等式化为⎝
⎛⎭
⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，
解得x ≥2
a
或x ≤－1.
(3)当a <0时，原不等式化为⎝
⎛⎭
⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.
当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2
a
；
当2
a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a
<－1，即0>a >－2，解得2
a
≤x ≤－1.
综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；
当a >0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪ x ≥2
a 或x ≤－1
； 当－2<a <0时，不等式的解集为⎩
⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫
2a
≤x ≤－1；
当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a <－2时，不等式的解集为⎩
⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫
－1≤x ≤2a .
方法技巧
含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论： 1．若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；
2．若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
3．其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
如对典例中的参数a 进行分类讨论，在讨论时要明确讨论的依据是什么． 冲关针对训练
已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2
－2x ＋a <0.
解 (1)若a ＝0，则原不等式为－2x <0，故解集为{x |x >0}． (2)若a >0，Δ＝4－4a 2
.
①当Δ>0，即0<a <1时，方程ax 2
－2x ＋a ＝0的两根为x 1＝1－1－a 2
a ，x 2＝1＋1－a 2
a
，
∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭
⎪⎬⎪⎫
1－1－a 2a <x <
1＋1－a 2a .②当Δ＝0，即a ＝1时，原不等式的解集为∅.
③当Δ<0，即a >1时，原不等式的解集为∅. (3)若a <0，Δ＝4－4a 2
.
①当Δ>0，即－1<a <0时，原不等式的解集为
{x ⎪⎪⎪⎭
⎪⎬⎪⎫x <1＋1－a 2
a 或x >
1－1－a 2
a . ②当Δ＝0，即a ＝－1时，原不等式可化为(x ＋1)2
>0， ∴原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}． ③当Δ<0，即a <－1时，原不等式的解集为R . 综上所述，当a ≥1时，原不等式的解集为∅；
当0<a <1时，原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭
⎪⎬⎪⎫
1－1－a 2a <x <
1＋1－a 2a ； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >0}；
当－1<a <0时，原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭
⎪⎬⎪⎫x <1＋1－a 2
a 或x >
1－1－a 2
a ； 当a ＝－1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}；
当a <－1时，原不等式的解集为R .
题型3 二次不等式中的任意性与存在性
角度1 任意性与存在性
典例 (1)若关于x 的不等式x 2
－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，求实数a 的取值范围；
(2)若关于x 的不等式x 2
－ax －a ≤－3的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
转化为函数的恒成立和存在性问题．
解 (1)设f (x )＝x 2
－ax －a ，则关于x 的不等式x 2
－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a
2
4＞0，解得－4＜a ＜
0(或用Δ＞0)．
(2)设f (x )＝x 2
－ax －a ，则关于x 的不等式x 2
－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，
即f (x )min ＝－4a ＋a
2
4≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.
角度2 给定区间上的任意性问题
典例 设函数f (x )＝mx 2
－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________．
数形结合思想，分离参数法．
答案 ⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⎪⎪⎪
0＜m ＜
67或m ＜0
解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立， 则mx 2
－mx ＋m －6＜0，
即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．
令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4
m －6，x ∈[1,3]．
当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜6
7
.
当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0.
综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⎪
⎪⎪
0＜m ＜6
7或m ＜0
. 角度3 给定参数范围的恒成立问题
典例 已知a ∈[－1,1]时不等式x 2
＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( )
A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)
B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)
D ．(1,3)
采用转化法．
答案 C
解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2
－4x ＋4， 则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立， 所以f (－1)＝x 2
－5x ＋6＞0，
且f (1)＝x 2
－3x ＋2＞0即可，解不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，
得x ＜1或x ＞3.故选C.
方法技巧
形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路
1．x ∈R 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． 2．x ∈[a ，b ]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求范围．如角度2典例．
3．已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．如角度3典例．
冲关针对训练
1．(2017·南昌模拟)已知函数f (x )＝－x 2
＋ax ＋b 2
－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )
A ．(－1,0)
B ．(2，＋∞)
C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D ．不能确定
答案 C
解析 由f (1－x )＝f (1＋x )得f (x )关于x ＝1对称，求得a ＝2，又f (x )开口向下，所以f (x )在[－1,1]上单调递增，于是f (－1)＞0得b 2
－b －2＞0，解得b ＜－1或b ＞2，故选C.
2．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x m －4m 2
f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成
立，则实数m 的取值范围是________．
答案 ⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，－
32∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞
解析 依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2
－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞上恒成
立，
即1m 2－4m 2
≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞上恒成立． 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－
3)≥0，
解得m ≤－
32或m ≥3
2
.
1．(2017·山东高考)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b ＜b
2a ＜log 2(a ＋b )
B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b
C ．a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2a
D ．log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2
a
答案 B
解析 解法一：∵a ＞b ＞0，ab ＝1， ∴log 2(a ＋b )＞log 2(2ab )＝1. ∵ab ＝1，∴b ＝1a
.
∵a >b >0，∴a >1a
>0，∴a >1,0<b <1,2a
>2
∴b
2
a <1. ∵a ＋1
b
＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，
∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1
b
.故选B. 解法二：∵a ＞b ＞0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝12，
此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝1
8
，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，
∴b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1
b
.故选B. 2．(2014·全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋y ≥1，x －2y ≤4
的解集记为D .有下面四个命题：
p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.
其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4 D ．p 1，p 3
答案 B
解析 设x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －2y )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝m ＋n ，2＝m －2n ，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝43
，
n ＝－1
3.
∵⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ≥1，x －2y ≤4，
∴43(x ＋y )≥43，－13(x －2y )≥－43， ∴x ＋2y ＝43(x ＋y )－1
3
(x －2y )≥0.
∴x ＋2y 的取值范围为[0，＋∞)．故命题p 1，p 2正确，p 3，p 4错误．故选B. 3．(2018·湖北优质高中联考)已知g (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，g (x )＝－ln(1
－x )，且f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 3
，x ≤0，
g (x )，x ＞0.若f (2－x 2
)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )
A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C ．(1,2)
D ．(－2,1)
答案 D
解析 若x ＞0，则－x ＜0，所以g (x )＝－g (－x )＝ln (x ＋1)，所以f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
x 3
，x ≤0，
ln (1＋x )，x ＞0，
则函数f (x )是R 上的增函数，所以当f (2－x 2)＞f (x )时，2－x 2
＞x ，
解得－2＜x ＜1，故选D.
4．(2017·山东枣庄二模)已知函数f (x )＝x 2
＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．
答案 ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－
22，0 解析 要满足f (x )＝x 2
＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，
只需⎩
⎪⎨
⎪⎧
f (m )＜0，
f (m ＋1)＜0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
2m 2
－1＜0，
(m ＋1)2
＋m (m ＋1)－1＜0，
解得－
2
2
＜m ＜0.
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一、选择题
1．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *
}，则A ∩B ＝( ) A ．{2,3} B ．{1,3} C ．{2} D ．{3}
答案 C
解析 A ＝{x |x 2
＋x －6＝0}＝{－3,2}，B ＝{x |x 2
－2x －3≤0，x ∈N *
}＝{1,2,3}，故A ∩B ＝{2}，选C.
2．(2017·河南百校联盟模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2
≥0”是“a ≥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若(a －b )a 2
≥0，当a ＝0时，a ≥b 不一定成立，故(a －b )a 2
≥0不是a ≥b 的充分条件；若a ≥b ，则(a －b )·a 2
≥0成立，故(a －b )a 2
≥0是a ≥b 的必要条件，故选B.
3．(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞1,0＜c ＜1，则( ) A ．a c
＜b c
B ．ab c ＜ba c
C ．a log b c ＜b log a c
D ．log a c ＜log b c
答案 C
解析 由0<c <1知y ＝x c
在(1，＋∞)上单调递增，故由a >b >1知a c
>b c
，A 错误； ∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1
在x ∈(0，＋∞)上是减函数，
∴b
c －1
>a
c －1
，又ab >0，∴ab ·b
c －1
>ab ·a c －1
，即ab c >ba c
，B 错误；
易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；
由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴
a log
b
c <b log a c ，故C 正确．故选C.
4．关于x 的不等式x 2
－2ax －8a 2
<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154
D.152
答案 A
解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2
－2ax －8a 2
＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2
.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152
，得a ＝52
，故选A.
5．(2017·广东清远一中一模)关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，则关于
x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )
A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B ．(1,3)
C ．(－1,3)
D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)
答案 C
解析 关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b ＜0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)＞0可化为(x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3，∴所求解集是(－1,3)．故选C.
6．(2017·松滋期中)已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 2－2，其中a ＞2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( )
A ．p ≥q
B ．p ＞q
C ．p ＜q
D ．p ≤q
答案 A
解析 由a ＞2，故p ＝a ＋
1a －2＝(a －2)＋1a －2
＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号．因为x 2
－2≥－2，所以q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号，所以p ≥q .
故选A.
7．(2017·河北武邑中学调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3
，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2
)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2)
B ．(－2，0)
C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)
答案 A
解析 ∵f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2
对任意实数t 恒成立⇒mt 2
＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒
⎩⎪⎨⎪⎧
m ＜0，
Δ＝16－8m 2＜0
⇒m ∈(－∞，－2)，故选A.
8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )
A ．12元
B ．16元
C ．12元到16元之间
D ．10元到14元之间
答案 C
解析 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2
－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件销售价应定为12元到16元之间．故选C.
9．(2018·江西八校联考)已知定义域为R 的函数f (x )在(2，＋∞)上单调递减，且y ＝f (x ＋2)为偶函数，则关于x 的不等式f (2x －1)－f (x ＋1)>0的解集为( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪(2，＋∞)
B.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，43∪(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，2
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，2 答案 D
解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数，∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．∵f (x )在(2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在(－∞，2)上单调递增，又f (2x －1)－f (x ＋1)>0，∴f (2x －1)>f (x ＋1)．当x >2时，2x －1>x ＋1，要使f (2x －1)>f (x ＋1)成立，则x ＋1<2x －1<2，解得x <1(舍去)；当x <2时，2x －1<x ＋1，要使f (2x －1)>f (x ＋1)成立，则有①若2<2x －1<x ＋1，解得x >32
，∴32
<x <2；②若2x －1≤2<x ＋1，即1<x ≤32
，此时2x －1>4－(x ＋1)，即x >43
，∴43
<x ≤32
.
综上，4
3
<x <2，故选D.
10．(2018·湖南衡阳八中一模)已知函数f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，
若关于x 的不等式[f (x )]2＋af (x )－b 2
<0恰有1个整数解，则实
数a 的最大值是( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．8
答案 D
解析 函数f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋2x ，x ≥0，x 2
－2x ，x <0的图象如图所示，
①当b ＝0时，原不等式化为 [f (x )]2
＋af (x )<0，
当a >0时，解得－a <f (x )<0，
由于不等式[f (x )]2
＋af (x )<0恰有1个整数解，因此其整数解为3. 又f (3)＝－9＋6＝－3，∴－a <－3，－a ≥f (4)＝－8，则3<a ≤8. 易知当a ≤0时不合题意．
②当b ≠0时，对于[f (x )]2
＋af (x )－b 2
<0，Δ＝a 2
＋4b 2
>0， 解得－a －a 2
＋4b 2
2<f (x )<－a ＋a 2
＋4b 2
2
，
又－a －a 2＋4b 22<0<－a ＋a 2＋4b 2
2
，
f (x )＝0有两个整数解，故原不等式至少有两个整数解，不合题意．
综上可得a 的最大值为8.故选D. 二、填空题
11．(2013·四川高考)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2
－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．
答案 (－7,3)
解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (x )＝f (|x |)．
又x ≥0时，f (x )＝x 2
－4x ， ∴不等式f (x ＋2)＜5⇒f (|x ＋2|)＜5 ⇒|x ＋2|2
－4|x ＋2|＜5
⇒(|x ＋2|－5)(|x ＋2|＋1)＜0 ⇒|x ＋2|－5＜0⇒|x ＋2|＜5 ⇒－5＜x ＋2＜5⇒－7＜x ＜3. 故解集为(－7,3)．
12．(2018·汕头模拟)若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >b x
这五个式子中，恒成立的不等式的序号是 ________.
答案 ②④
解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b ，
∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．
∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．
∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2
－2
＝－1， ∴a y ＝b x
，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立． 13．(2017·西安质检)在R 上定义运算：⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪a b c
d ＝ad －bc .若不等式⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
x －1 a －2a ＋1 x ≥1
对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．
答案 32
解析 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2
－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，
x 2－x －1＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －12
2－54≥－54
，
所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32
.
14．(2017·江苏模拟)已知函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．
答案 9
解析 由题意知f (x )＝x 2
＋ax ＋b
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a 22
＋b －a 2
4.
∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 2
4，
∴f (x )＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋a 22
.
又∵f (x )<c ，∴⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋a 22
<c ，
即－a 2－c <x <－a
2
＋c .
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－a 2－c ＝m ， ①－a
2＋
c ＝m ＋6. ②
②－①得2c ＝6，∴c ＝9. 三、解答题 15．解不等式
a (x －1)
x －2
>1(a ∈R )． 解 原不等式等价于a (x －1)
x －2
－1>0， 即
a (x －1)－(x －2)
x －2
>0，
所以[(a －1)x －(a －2)](x －2)>0 ①. 当a ＝1时，①式可以转化为x >2； 当a >1时，①式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －a －2a －1(x －2)>0； 当a <1时，①式可以转化为⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －a －2a －1(x －2)<0. 又当a ≠1时，2－
a －2a －1＝a
a －1
， 所以当a >1或a <0时，2>a －2
a －1
； 当a ＝0时，2＝
a －2
a －1
；
当0<a <1时，2<
a －2
a －1
. 故当a ＝1时，原不等式的解集是(2，＋∞)；当a >1时，原不等式的解集是⎝
⎛
⎭
⎪⎫－∞，a －2a －1∪(2，＋∞)；当0<a <1时，原不等式的解集是⎝
⎛
⎭
⎪⎫
2，a －2a －1；当a ＝0时，原不等式的解集是∅；当a <0时，原不等式的解集是⎝
⎛⎭
⎪
⎫a －2a －1，2.
16．已知函数f (x )＝ax 2
＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.当x ∈(－3,2)时，f (x )>0.
(1)求f (x )在[0,1]内的值域；
(2)若ax 2
＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．
解 (1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0，
所以－3,2是方程ax 2
＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，可得⎩⎪⎨⎪⎧
－3＋2＝－b －8
a
，－3×2＝－a －ab
a
，所
以a ＝－3，b ＝5，
所以f (x )＝－3x 2
－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋122＋18.75，
函数图象关于x ＝－1
2对称，且抛物线开口向下，在区间[0,1]上f (x )为减函数，函数的
最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12，故f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]．
(2)由(1)知，不等式ax 2
＋bx ＋c ≤0化为－3x 2
＋5x ＋c ≤0，因为二次函数y ＝－3x 2
＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2
＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需
⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－3<0，Δ＝
b 2
－4ac ≤0，即25＋12c ≤0⇒c ≤－
25
12
，所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，－2512.。