复数 综合训练题-2022届高三上学期数学一轮复习

复数创新综合训练题--2022届人教A 高三一轮复习
一、单选题 1．已知复数5i
3i
z =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A ．13i 22+
B ．13i 22-
C ．13i 22
-+
D ．13i 22
--
2．在复平面内，复数z 的对应点为()1,1-，则2z =（ ）
A B ．C ．2i
D ．2i -
3．已知复数i
1i
z =-，则z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．设复数12i z a =+，22z i =-+，且12z z <，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <-或1a >
B ．1a >
C ．11a -<<
D ．0a >
5．把复数z 的共轭复数记作 z ，i 为虚数单位．若z =1+i ，则（1+z ）• z =（ ） A ．3﹣i
B ．3+i
C ．1+3i
D ．3
6．已知复数i(,R)z a b a b =+∈，有下列四个命题： 甲：||1z = 乙：z 的虚部为1
2
丙：复数z 对应的点位于第二象限 丁：1z z +=，
如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
7．已知z 是虚数z 的共轭复数，则下列复数中一定是纯虚数的是（ ） A ．z z +
B ．z z -
C ．z z ⋅
D ．z
z
8．设z 为复数，则下列命题中错误的是（ ） A ．2
z zz = B ．若1z =，则i z +的最大值为2 C ．2
2z z = D ．若11z -=，则02z ≤≤
二、多选题
9．已知复数i z =（i 为虚数单位），则（ ）
A ．2z =
B ．i z =
C ．2z z ⋅=
D ．
12z z = 10．设12,z z 是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z = C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅
D ．若12=z z ，则22
12z z =
11．已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） A ．若复数3i z =+，则
13i
1010
z =-. B ．复数z 满足2i 1z -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2
221x y +-=. C ．若复数1z ，2z 满足12z z =，则120z z ≥. D ．复数3i 1z =-+的虚部是1.
12．一个复数集X 称为某种运算的“和谐集”是指X 满足性质:①X ①C ；①①a ，b ①X 对某种规定的运算a ①b ，都有a ①b ①X .则下列数集X 是相应运算的“和谐集”的是（ ） A ．{|,}n X x c x i n Z =∈=∀∈，其中i 是虚数单位，规定运算:a ①b =a ⋅b ，(①a ，b ①X ) B ．{|1}X x C x x =∈⋅=，规定运算:,(,)a
a b a b X b
⊕=
∀∈ C ．}1{|X x C x =∈≤，规定运算:a ①b =a ⋅b ，(①a ，b ①X )
D ．{}
,1X x c x y x y y i =∈+≤-=+，规定运算:a ①b =a +b ，(①a ，b ①X ) 三、填空题
13．写出一个同时满足下列条件的复数z =__________. ①1z =；①复数z 在复平面内对应的点在第四象限.
14．设i 是虚数单位，复数()()
3
i 1i z a =-+（其中a R ∈），则z 的最小值为_________．
15．设复数1z ，2z 满足122z z ==，121z z +=，则12z z -=____________
16．在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为1Z ，2Z ，3Z ，O (其中O 是原
点)，已知1Z 对应复数11z =.则1Z 和3Z 对应的复数的乘积13z z =___________. 四、解答题
17．已知复数z 满足1z =，20001z z +=，求复数z ．
18．设α，β是实系数方程()2
2120x a x a -+++=的虚根，并且它们的立方是实数，求a
的值．
19．已知复数i z m =-（m R ∈），且()13i z ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）. （1）设复数12i
1i
m z +=
-，求1z ； （2）复数2021
2i a z z
-=在复平面对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.
20．已知z 为复数，z i +和1z
i -均为实数，其中i 为虚数单位，
（1）求复数z 和z ；
（2）若复数1()z z m i =⋅-在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m 的取值范围．
21．已知复数(),n n n n n Z a b i a b R =+∈，满足()*
111,12n n Z Z Z i n N +==++∈，其中i 为虚数单
位，n Z 表示n Z 的共轭复数. （1）求2Z 的值； （2）求100Z .
22．已知O 为坐标原点，向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，且()213
105
z a i a =+-+，()()22
251z a i a R a
=
+-∈-.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值；
（2）求以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积.
答案与提示：
一、单选题 1．已知复数5i
3i
z =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A ．13i 22+
B ．13i 22-
C ．13i 22
-+
D ．13i 22
--
【答案】D 【解析】 5i
3i z =
-()()()535i 15i-513=3i 331022i i z i i i +∴===-+--+1322
z i ∴=--
故选：D
2．在复平面内，复数z 的对应点为()1,1-，则2z =（ ）
A B ．C ．2i D ．2i -
【答案】D 【解析】
因为复数z 的对应点为()1,1-，所以1i z =-， 则()2
221i 1i 2i 2i z =-=+-=-， 故选：D ． 3．已知复数i
1i
z =-，则z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】C 【解析】 因为i i(1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222
z +-+=
===-+--+， 所以11i 2
2
z =--，
所以z 在复平面上对应的点在第三象限， 故选：C
4．设复数12i z a =+，22z i =-+，且12z z <，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1a <-或1a >
B ．1a >
C ．11a -<<
D ．0a >
【答案】C 【解析】
因为复数12i z a =+，22z i =-+，且12z z <， 所以22222(2)1a +<-+， 解得11a -<<， 故选：C
5．把复数z 的共轭复数记作 z ，i 为虚数单位．若z =1+i ，则（1+z ）• z =（ ） A ．3﹣i B ．3+i C ．1+3i D ．3
【答案】A 【解析】
①复数z =1+i ，i 为虚数单位， 1i z ∴=-，
则(1)(2i)(1i)3i z z +⋅=+-=- 故选：A
6．已知复数i(,R)z a b a b =+∈，有下列四个命题： 甲：||1z = 乙：z 的虚部为1
2
丙：复数z 对应的点位于第二象限 丁：1z z +=，
如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】D 【解析】
1z =等价于：221a b +=，
i z a b =+的虚部为1
2等价于：12
b =
， 复数z 对应的点位于第二象限等价于：0
0a b <⎧⎨>⎩
，
1z z +=等价于：12
a =
， 显然命题丙与丁矛盾， 两者一定有一个假命题； 若丙为假命题， 则1
2
a b ==
，但不符合221a b +=（舍）； 若丁为假命题，
则由22101
2a b a b ⎧
⎪+=⎪<⎨⎪⎪=
⎩
，得：a =（符合题意）；
终上所述，丁为假命题. 故选：D.
7．已知z 是虚数z 的共轭复数，则下列复数中一定是纯虚数的是（ ） A ．z z + B ．z z -
C ．z z ⋅
D ．z
z
【答案】B
【解析】设i z a b =+，,a b ∈R ，因为z 为虚数，所以0b ≠，可得：i z a b =-，所以2z z a +=，为实数；故A 错误；2i z z b -=，且0b ≠，所以一定为纯虚数，故B 正确；
()
2
2
2
2
i z z a b a b ⋅=-=+，为实数，故C 错误；2222i 2i
i
z a b a b ab a b a b z +-+==
-+，a b =时为纯虚数，所以不一定是纯虚数，故D 错误 故选：B
8．设z 为复数，则下列命题中错误的是（ ） A ．2
z zz = B ．若1z =，则i z +的最大值为2 C ．2
2z z = D ．若11z -=，则02z ≤≤
【答案】C 【解析】
设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，
2
22222(i)(i)i z z a b a b a b a b z =+-=-=+=⋅，故A 正确；
由1z =，得221(11)a b b +=-≤≤，则i z += 当1b =时，i z +的最大值为2，故B 正确；
2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，2
22z a b =+，2z 与2
z 不一定相等，故C 错误；
满足11z -=的z 的轨迹是以()1,0为圆心，以1为半径的圆，如图所示， 则02z ≤≤，故D 正确． 故选：C ． 二、多选题
9．已知复数i z （i 为虚数单位），则（ ）
A ．2z =
B ．i z =
C ．2z z ⋅=
D ．
12z z = 【答案】ABD 【解析】
由复数i z =，得2z =，i z ，①AB 对；
2
2i 4,z z ⋅=
-=，①C 错；
(
)2
i
21
4
z z ===
=，①D 对．
故选：ABD
10．设12,z z 是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z =
C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅
D ．若12=z z ，则22
12z z =
【答案】ABC
【解析】对于A ，因12|0|z z -=，则120z z -=，即12z z =，则12z z =为真，A 正确； 对于B ，因12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，则12z z =为真，B 正确；
对于C ，设1112221122i,i,,,,z a b z a b a b a b =+=+∈R ，因12||||z z =22221122a b a b +=+，
于是得2222
111111112
2222222z (i)(i)(i)(i)z z a b a b a b a b a b a b z ⋅=+⋅-=+=+⋅-=⋅=+，则1122z z z z ⋅=⋅为真，C 正确；
对于D ，当121,i z z ==，有12||||z z =，而22121,1z z ==-，即22
12z z =为假，D 不正确.
故选：ABC
11．已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） A ．若复数3i z =+，则
13i 1010
z =-. B ．复数z 满足2i 1z -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2
221x y +-=. C ．若复数1z ，2z 满足12z z =，则120z z ≥. D ．复数3i 1z =-+的虚部是1. 【答案】ABC
【解析】对于A ，因为3i z =+，所以113i 3i 3i
3i (3i)(3i)101010z --=
===-++-，所以A 正确， 对于B ，因为z 在复平面内对应的点为(),x y ，所以2i (2)i z x y -=+-，因为2i 1z -=，所以
()2
221x y +-=，所以B 正确，
对于C ，令2i(,)z a b a b R =+∈，因为12z z =，所以1i(,)z a b a b R =-∈，所以
()()2212i i 0z z a b a b a b =-+=+≥，所以C 正确，
对于D ，复数3i 1z =-+的虚部为3-，所以D 错误， 故选：ABC
12．一个复数集X 称为某种运算的“和谐集”是指X 满足性质:①X ①C ；①①a ，b ①X 对某种规定的运算a ①b ，都有a ①b ①X .则下列数集X 是相应运算的“和谐集”的是（ ） A ．{|,}n X x c x i n Z =∈=∀∈，其中i 是虚数单位，规定运算:a ①b =a ⋅b ，(①a ，b ①X ) B ．{|1}X x C x x =∈⋅=，规定运算:,(,)a
a b a b X b
⊕=
∀∈ C ．}1{|X x C x =∈≤，规定运算:a ①b =a ⋅b ，(①a ，b ①X )
D ．{}
,1X x c x y x y y i =∈+≤-=+，规定运算:a ①b =a +b ，(①a ，b ①X ) 【答案】ABCD
【解析】对于A,设()12
12,,n
n a i b i
n n Z ==∈则a ①b =a ⋅b=1
2
n n
i +,1212,n n Z n n Z ∈∴+∈，
,所以12n n i X +∈,即a ①b X ∈,故A 正确；
对于B,,a b X ∀∈,则·
1,?1,a a b b ==故1,aa bb =即·1a a b b ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,a X b ∴∈, 即a ①b X ∈,故B 正确； 对于C,,a b X ∀∈,则|a |<1,|b |<1,①|a ·b |=|a ||b |<1，即a ·b X ∈, 即a ①b X ∈,故C 正确； 对于D,由于在复数范围内，,,x x y y ==
所以由|x y x y +≤-①||||x y x y +≤-，有复数的模的不等式得到存在实数0k ≤，使得
()0x ky k =≤，又1y i =+，于是x X ∈①存在实数0k ≤，使得()1x k i =+，
,a b X ∀∈，()()1,'1(0,a k i b k i k k =+=+≤'0)≤,所以a ①b =a +b ()()1k k i =+'+,因为0,k k ≤'
0≤，0k k ∴+'≤，所以即a ①b X ∈,故D 正确；
故选：ABCD. 三、填空题
13．写出一个同时满足下列条件的复数z =__________. ①1z =；①复数z 在复平面内对应的点在第四象限.
【答案】12-（答案不唯一）
【解析】设()i ,z a b a R b R =+∈∈，由条件可知22100a b a b ⎧+=⎪
>⎨⎪<⎩
，
所以可取1,2a b ==
12z =（答案不唯一，符合条件即可）.
故答案为：12（答案不唯一）
14．设i 是虚数单位，复数()()
3
i 1i z a =-+（其中a R ∈），则z 的最小值为_________．
【解析】()()
()()3
i 1i i 1i 1(1)i z a a a a =-+=--=--+,
①z =a R ∈， ①
0a =时，z .
15．设复数1z ，2z 满足122z z ==，121z z +=，则12z z -=____________
【答案】【解析】：设1i z a b =+，2i z c d =+，(),,,a b c d R ∈，由已知得：22224a b c d +=+=，1a c +=，
b d +=()()12i z z a
c b
d -=-+-，
2
22221222z d z a b c a d c b =-+--++
()()()()222222222
2
42221a b c d a b a b d c c d =-+-++++=+++-=，
则12z z -=
故答案为：16．在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为1Z ，2Z ，3Z ，O (其中O 是原
点)，已知1Z 对应复数11z =.则1Z 和3Z 对应的复数的乘积13z z =___________.
【答案】2i -
【解析】设3Z 对应的复数为3z ，可得312z z ==，
复平面上点1Z 与x 轴正半轴的夹角为π3，则点3Z 与x 轴正半轴的夹角为5π6
，
所以35π5π2cos i sin i 66z ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝
⎭，
所以(
)(
)13i 12i z z ==-.
故答案为：2i -.
四、解答题
17．已知复数z 满足1z =，20001z z +=，求复数z ．
【解析】由已知得20001z z =-，两边取模得200020001z z z ==-， ①1z =，①11z -=，设()i ,z x y x y R =+∈，则()2222111x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩
，
解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．
检验：当12z =±时，31z =-，(
)66620003
2212z z z z =⋅==-，而131i 22
z -=，①20001z z ≠-，因此原方程无解．
18．设α，β是实系数方程()22120x a x a -+++=的虚根，并且它们的立方是实数，求a
的值．
【解析】因为α、β是实系数方程()22120x a x a -+++=的虚根，故αβ=．
因为3α∈R ．故 333()ααβ==，即330αβ-=，
因此()()20αβαβαβ⎡⎤-+-=⎣⎦
， 因为αβ≠，所以()20αβαβ+-=，
①运用韦达定理得()()22120a a +-+=，解得14
a =
或1a =-， 均满足∆<0，故所求a 的值为14或1-． 19．已知复数i z m =-（m R ∈），且()13i z ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）. （1）设复数12i 1i
m z +=-，求1z ；
（2）复数2021
2i a z z
-=在复平面对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）①()()()()13i i 13i 331i z m m m ⋅+=++=-++为纯虚数， ①30m -=，310m +≠，解得3m =.
①()()()()132i 1i 32i 15i 1i 1i 1i 22z +++===+--+，则1z = （2）()
50520214i i i i =⋅=， 复数()()()()2i 3i i 313i 3i 3i 3i 1010
a a a a z -+-+-===+--+在复平面对应的点在第一象限， ①31010
a +>，3010a ->，解得3a >. ①实数a 的取值范围是()3,+∞.
20．已知z 为复数，z i +和
1z i
-均为实数，其中i 为虚数单位， （1）求复数z 和z ；
（2）若复数1()z z m i =⋅-在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m 的取值范围．
【解析】（1）设z a bi =+，由(1)z i a b i +=++为实数，
则10b +=，所以1b =-， ()(1)1(1)11(1)(1)2
--+++-===---+z a i a i i a a i i i i i 为实数， 则10a -=，1a =，
所以1z i =-，z =
（2）1()(1)()1(1)=⋅-=--=--+z z m i i m i m m i 在第三象限，
所以10(1)0m m -<⎧⎨-+<⎩
，所以11m -<<， 所以m 的取值范围为(1,1)-.
21．已知复数(),n n n n n Z a b i a b R =+∈，满足()*111,12n n Z Z Z i n N +==++∈，其中i 为虚数单位，n Z 表示n Z 的共轭复数.
（1）求2Z 的值；
（2）求100Z .
【解析】
（1）由题意知，222Z a b i =+，2111,1222Z Z Z i i ==++=+
2Z =
（2）121,2a a ==；120,2b b ==
(),n n n n n Z a b i a b R -=∈，()1121212n n n n n n Z Z i a b i i a b i +∴=++=-++=++- 又111n n n Z a b i +++=+，111,2n n n n a a b b ++∴=+=-
则{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，1001991100a =+⨯= 12340,2,0, 2...b b b b ==∴==，1002b ∴=
故100Z =1002i +． 22．已知O 为坐标原点，向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，且()213105
z a i a =+-+，()()22251z a i a R a =+-∈-.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值；
（2）求以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积.
【解析】（1）由题意可得()213105z a i a =
--+， ()22251z a i a =+--，则()2123221551z z a a i a a
+=+++-+-， 由于复数12z z +是实数，则221505010a a a a ⎧+-=⎪+≠⎨⎪-≠⎩
，解得3a =；
（2）由（1）可得138z i =+，21z i =-+，则点13,18Z ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()21,1Z -， 因此，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积为121118
S Z Z =⨯=.。