高考数学备考 百所名校组合卷系列专题9(教师版) 新课标

高考数学备考之百所名校组合卷（九）新课标
【重组报告】试题紧扣《考试大纲》，题目新颖，难度适中。

本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。

选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第17、18、19、20、21、22题分别从三角函数、概率统计、立体几何、数列、函数与导数、解析几何等主干知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查。

试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力，非常适合考前训练。

一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的. 1. (某某省某某市高三第二次调研)已知集合{|30}M x x =-<<，{|11}N x x =-≤≤，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A.[1,1)-
B. (3,1)--
C.(,3][1,)-∞--+∞
D. (3,1]- 【答案】B
【解析】阴影部分表示的集合为{|x 31x -<<-}. 2．（市丰台区5月高三二模）在复平面内，复数121i
z i
-=
+对应的点位于( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 【答案】C
【解析】本题考查复数的基本运算.因为121i z i -=
+=(12)(1)1322
i i i
----=,故选C. 3. (某某省某某市六校4月高三第三次联考)已知A 是ABC ∆内角,命题p :2
1
sin =A ；命
题q ：2
3
cos =A ，则q 是p 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】本题与三角函数相结合,考查充分必要条件.由2
1
sin =
A 得60A =或120. 4．(某某省某某市高三质量检查)已知等比数列{}2n a q =的公比，其前4项和4260,S a =则等于 （ ） A ．8
B ．6
C ．—8
D ．—6
【答案】A
【解析】由414(12)
6012
a S -=
=-得14a =,故选A. 5．（某某省某某市高三第一次模拟）右图中的小网格由等大的小正方形拼成，则向量=-b a ( )
A ．213e e +
B ．213e e --
C ．213e e +-
D ．213e e - 【答案】D
M
N
U
【解析】由图容易出得选项D 正确.
8. (某某省东北育才学校高三第六次模拟考试)如图是某四棱锥的三视图，则该棱锥的体积为 ( )
A.48
B.24383【答案】D
【解析】由三视图知,四棱锥的底面是两边长为2和6的矩形, 一个侧面是底边长为6的等腰三角形,且垂直于底面.该棱锥的高
为3所以其体积为1
26233
⨯⨯⨯=83选D.
9.（某某省潍坊市3月高考模拟考试）已知在m 、n 、1l 、2l 表示直线，α、β表示平面，若m α⊂，n α⊂，1l β⊂，2l β⊂，1
2l l M =，则//αβ的一个充分条件是（ ）
A .//m β且1//l α
B .//m β且//n β
C .//m β且2//n l
D .1//m l 且2//n l
【答案】D
【解析】本题考查空间中的线线、线面、面面的位置关系，容易得出D 正确.
10．(某某省某某市高三第一次适应性测试)若变量x y ，满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩，则
2z x y =-的最大值为 ( )
4
2 2
3
3
主视图 俯视图
左视图 6
A ．1-
B ．0
C ．3
D ．4 【答案】C
【解析】确定可行域，直线2y x z =-过()2,1点时，max 221 3.z =⨯-=
11. (某某执信中学2月高三考试)在边长为1的正方形ABCD 内随机取一点P ，则点P 到点A 的距离大于1的概率为（ ） A.
4π B. 14π- C. 8π D. 18
π- 【答案】B
【解析】本题考查几何概型,所求概率为
141
π
-
=14π-.
12．(某某省某某市高三第一次模拟考试)用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的 小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成 （如图），当容器的容积最大时，该容器的高 为（ ）
A.8cm
B.9cm
C.10cm
D.12cm
【答案】C
【解析】设容器的高为xcm ，容器的容积为3
()V x cm ，
则3
2
()(902)(482)42764320(024)V x x x x x x x x =--=-+<<， ∵2
()125524320V x x x '=-+，
22
()1255243200463600
V x x x x x '=-+=⇒-+=由，
解得110x =，236x =（舍去）．
∵当010x <<时，()0V x '>，当1024x <<时，()0V x '<，∴当10x =时，()V x 在区间()0,24内有唯一极值，且取极大值．∴容器高10x cm =时，容器容积()V x 最大。

故选C
第II 卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分, 共16分.
13. (某某省某某市高三第一次调研考试)在学生人数比例为2:3:5的A ，B ，C 三所学校中，
第12题图
用分层抽样方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出了6名志愿者，那么n =． 【答案】30
【解析】由分层抽样的比例关系可知：
62
235
n =
++，则30n = 14. (某某省某某市2月高三教学质量调研)给出下面的程序框图，则输出的结果为_________. 【答案】
67
【解析】由程序框图可知输出的结果应为数列()11k k ⎧⎫⎪
⎪
⎨⎬+⎪⎪⎩
⎭的前六项的
和，因此1111116
(1223677)
S =-
+-++-= 15.(某某市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试)直线
05=+-y x 被圆044222=---+y x y x 所截得的弦长等于．
【答案】2
【解析】由04422
2
=---+y x y x 得圆心为(1,2),半径为3,所以弦心距为22d =,即弦长等于2982-=.
16. (某某省苏北四市2011届高三第一次调研)若函数2
()21
x
f x m =++为奇函数，则实数m =.
【答案】-1
【解析】根据题意有函数)(x f 是奇函数，且在0=x 有意义，即有0)0(=f ，
2
(0)0,21
f m =
+=+解得1m =- 三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤. 17.(某某省“八校”4月高三联合考试)（本小题满分12分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为,,a b c ，8=•AC AB ，BAC θ∠=，4a =. （Ⅰ）求b c ⋅的最大值及θ的取值X 围； （Ⅱ）求函数2
2()23sin (
)2cos 34f π
θθθ=++-的最值.
【解析】（Ⅰ）cos 8bc θ⋅=2
22
2cos 4b c bc θ+-=
即22
32b c +=……………………2分
又22
2b c bc +≥，所以16bc ≤，即bc 的最大值为16………………4分
即
816cos θ≤ 所以 1cos 2θ≥ ， 又0＜θ＜π 所以0＜θ3
π
≤……6分 （Ⅱ）()3[1cos(
2)]1cos 233sin 2cos 212
f π
θθθθθ=⋅-+++-=++
2sin(2)16
π
θ=++……………………………9分
因0＜θ3π≤，所以6π＜5266ππθ+≤， 1sin(2)126π
θ≤+≤………10分
当5266ππθ+= 即3πθ=时，min 1
()2122
f θ=⨯+=……………11分
当26
2
π
π
θ+
=
即6
πθ=
时，max ()2113f θ=⨯+=……………12分
18. (理科)(某某省某某市高三三校联考理科)（本题满分12分）某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率
；汽车走公路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1p -．若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他 原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．
概率；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望。

解：（1）由已知条件得
3分
9ξ的分布列为：
12分
（2）设事件B ：“b ax y +=与圆12
2=+y x 有公共点”，则可知
11
2
≤+a b ，即
122+≤a b ，则它包含)2,2(--，)1,2(--，)1,2(-，)1,1(--，)1,1(-，)1,1(-，)1,1(共7
个基本事件
………………………………………………………………………………………………9分
∴9
7
)(=
B P ………………………………………………………………………………11分 答：直线b ax y +=不经过第一象限概率为9
4；b ax y +=与圆12
2=+y x 有公共点为
9
7。

………………………………………………12分 19.(理科)(某某省长安一中高三第二次质量检测理科)（本小题满分12分）
已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90°，2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、
RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ．
（Ⅰ）求证：BC ⊥PB ； （Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，
∴BC AD BC AD 2
1
//=
且.……………………… 2分 P R
A
B
C D
∴∠090=∠=∠=RBC RAD PAD ． ∴AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =
∴ABCD PA 面⊥∴BC PA ⊥ ∵A AB PA AB BC =⊥ ,,
∴BC ⊥平面PAB ． ……………………………… 4分 ∵⊂PB 平面PAB ,
∴PB BC ⊥． ……………………………… 6分 （Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -
则D （－1，0，0），C （－2，1，0）， P （0，0，1）
．∴DC =（－1，1，0）， DP =（1，0，1）, ………………8分
设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =
，则
n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨
⋅=+=⎪⎩ ………………………………10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴)1,1,1(-=n
．
显然，PA 是平面ACD 的一个法向量PA =（,0,01-）．
∴cos <n ，PA 33
131=⨯=PA
．
∴ 二面角P CD A --的余弦值是
3
3
． ………………………………12分 (文科) (某某省某某中学高三年级第三次月考文科)如图，在平行四边形ABCD 中，AB=2BC=4，∠ABC=120°．E 为线段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△'A DE ，使平面'A DE ⊥
平面BCDE ，F 为线段'A C 的中点。

（Ⅰ）求证：BF ∥平面'A DE ； （Ⅱ）求三棱锥'A -CDE 的体积．
F
E
D
C
B
A
A`
解析:（Ⅰ）证明:取CD 中点G,连结BG ，FG ，又∵F 为中点，∴FG ∥'A D
在平行四边形ABCD 中，AB=2BC=4， E 、G 分别是AB 、CD 的中点，∴四边形EBGD 为平
行四边形，BG ∥ED ，∴平面BFG ∥平面'A DE
∴BF ∥平面'A DE
（Ⅱ）解：在平行四边形ABCD 中，AB=2BC=4，∠ABC=120° E 、G 分别是AB 、CD 的中点， ∴△AED 是等边三角形，△'A ED 是也等边三角形，∠AED=60° 又在△BCE 中∠EBC=120°，∠BEC=∠BCE=30°∴∠CED=90°
由于平面'A DE ⊥平面BCDE ∴CE ⊥平面'A DE
在△BCE 中BC=BE=2，CE=23，324
3
2'=⨯=
∆DE A S ∴23233
1
31''=⨯⨯=⨯⨯=
∆-CE S V DE A CDE A 21．(某某省某某市3月高三第一次模拟)（本小题满分12分）
{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，
5313a b +=．
（Ⅰ）求{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{
}n
n
a b 的前n 项和n S 。

解:（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >
且4
2
12211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，， 解得2d =，2q =． 所以1(1)21n a n d n =+-=-，11
2n n n b q --==．
（Ⅱ）
1212
n n n a n b --=．
122135232112222
n n n n n S ----=+
++++，① 3252321
223222
n n n n n S ----=+++++，②
②－①得22122221
222222n n n n S ---=+++++-，
22111
121
22122
22
n n n ---⎛⎫=+⨯+++
+
- ⎪⎝⎭ 111
1212221212
n n n ---
-=+⨯--12362n n -+=-． 21.(某某省某某市四校协作体高三第二次联合考试)（本小题满分12分） 已知函数f (x)＝x －ln(x ＋a )．（a 是常数） (I)求函数f (x)的单调区间；
(II) 当)(x f y =在x ＝1处取得极值时，若关于x 的方程f (x)＋2x ＝x 2
＋b 在[12，2]上恰
有两个不相等的实数根，某某数b 的取值X 围； (III)求证:当2,n n ≥∈+N 时e n <⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+
22211......311211． 解：(I) 由已知由函数()f x 的定义域为x a >-，()a
x a x a x x f +-+=
+-
='1
11， 1+-<-a a ，
∴由,0)(>'x f 得1+->a x ，
由,0)(<'x f 得1+-<<-a x a ，
所以函数)(x f 的减区间为()1,+--a a ，增区间为()+∞+-,1a ． …4分
(III)由(I) 和(II)可知当10,,2a x ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭
时,)1()(f x f ≥,即1ln -≤x x ,
∴当1>x 时, 1ln -<x x ． ……… 10分
令211x n =+
（2,n n ≥∈*
N ）,则22111ln n
n <⎪⎭⎫ ⎝⎛+． 所以当2,n n ≥∈*
N 时,
2222221 (312)
111ln .......311ln 211ln n n +++<⎪⎭⎫ ⎝⎛
+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+
()11
111......321211<-=-⨯++⨯+⨯<
n
n n ,
即111.......311211ln 222<⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+n , ∴e n <⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+22211......311211． ……12分 22.（市丰台区5月高三二模）（本小题共14分）
已知抛物线P ：x 2=2py (p >0)．
（Ⅰ）若抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离为3．
（ⅰ）求抛物线P 的方程；
（ⅱ）设抛物线P 的准线与y 轴的交点为E ，过E 作抛物线P 的切线，求此切线方程； （Ⅱ）设过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，连接AO ，BO 并延长分别交抛物
线的准线于C ，D 两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．
解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离与到准线距离相等，
即(,2)M m 到2p y =-
的距离为3； ∴232
p -+=，解得2p =． ∴抛物线P 的方程为24x y =． ……………4分
（ⅱ）抛物线焦点(0,1)F ，抛物线准线与y 轴交点为(0,1)E -，
显然过点E 的抛物线的切线斜率存在，设为k ，切线方程为1y kx =-．
由241
x y y kx ⎧=⎨=-⎩， 消y 得2440x kx -+=， ………………6分 216160k ∆=-=，解得1k =±． ………………7分
∴切线方程为1y x =±-． ………………8分
（Ⅱ）直线l 的斜率显然存在，设l ：2
p y kx =+
， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由222
x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消y 得 2220x pkx p --=． 且0∆>．
∴122x x pk +=，212x x p ⋅=-；
∵11(,)A x y ，∴直线OA ：11
y y x x =， 与2
p y =-联立可得11(,)22px p C y --， 同理得22(,)22px p D y --．……………10分 ∵焦点(0,)2
p F ， ∴11(,)2px FC p y =--，22
(,)2px FD p y =--， ………………12分 ∴1212(,)(,)22px px FC FD p p y y ⋅=--⋅--22212121212
224px px p x x p p y y y y =+=+ 244
2221222212
120422p x x p p p p p x x x x p p p
=+=+=+=- ∴以CD 为直径的圆过焦点F ．……………14分。