商州区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

商州区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
精选高中模拟试卷
商州区第三中学校2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________ 一、选择题
1．若等式（ 2x﹣1 2014 2
+ +a2014x
2014
a2+ +a2014=（））=a0+a1x+a2x 对于一切实数 x 都成立，则 a0+ 1+
A ．B．C．D． 0
2．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线 PF1（ F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）
A ．
B ．C．D．
3．已知圆O的半径为 1, PA, PB为该圆的两条切线, A, B为两切点 ,那么PA PB
的最小值为
A、4 2
B、32
C、4 2 2
D、322
4．已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．集合1,2,3 的真子集共有（）
A ．个
B ．个C．个 D ．个
b i
b 等于（）
6．若复数的实部与虚部相等，则实数
2 i
（A） 3 （ B ） 1
1 1 （ C）（D ）
3 2
7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0 时，.若,f(x-1) ≤f(x), 则实数 a 的取值范围为
A[]
商州区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
精选高中模拟试卷
B[]
C[]
D[]
8．若直线 l 的方向向量为=（ 1， 0， 2），平面α的法向量为=（﹣ 2， 0，﹣ 4），则（）
A．l ∥α B ． l ⊥ α
C． l? α D ．l 与α相交但不垂直
9．下列判断正确的是（）
A ．①不是棱柱
B ．②是圆台 C．③是棱锥 D ．④是棱台
10．已知集合，则
A0 或
B0或3
C1 或
D1或3
11．2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“ 五险一金” 的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20 名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350 ， 500 ， 150 ，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（）
A.5
B.6
C.7
D.10
【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.
12．（ m+1） x2﹣（ m﹣ 1）x+3 （ m﹣ 1）＜ 0 对一切实数 x 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．（ 1， +∞） B ．（﹣∞，﹣ 1）
C．D．
二、填空题
13．圆心在原点且与直线x y 2相切的圆的方程为_____.
【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题.
14．对于映射f： A→B ，若 A 中的不同元素有不同的象，且 B 中的每一个元素都有原象，则称 f ：A →B 为一一映射，若存在对应关系Φ，使 A 到 B 成为一一映射，则称 A 到 B 具有相同的势，给出下列命题：
① A 是奇数集， B 是偶数集，则 A 和 B 具有相同的势；
② A 是平面直角坐标系内所有点形成的集合， B 是复数集，则 A 和 B 不具有相同的势；
③若区间 A= （﹣ 1， 1）， B=R ，则 A 和 B 具有相同的势．
其中正确命题的序号是．
15．在三角形ABC 中，已知AB=4 ，AC=3 ， BC=6 ， P 为 BC 中点，则三角形ABP 的周长为．
16．已知两个单位向量a, b满足：a b 1
. ，向量 2a b 与的夹角为，则cos
2
17．图中的三个直角三角形是一个体积为20 的几何体的三视图，则 h __________.
18．已知实数x， y 满足，则目标函数z=x ﹣ 3y 的最大值为
三、解答题
19．【盐城中学2018 届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（ x）=ax2+lnx （ a∈ R）．
1
（ 1）当 a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
2
（ 2）如果函数g（ x）， f1（ x）， f2（ x），在公共定义域 D 上，满足 f 1（ x）＜ g（x）＜ f2（ x），那么就称g
（ x）为 f（1 x），f （2 x）的“活动函数” ．已知函数f x1 a 1 x2 2ax 1-a2 ln x, . f x 2 1 x2 2ax 。

2 2
若在区间（1， +∞）上，函数 f （x）是 f 1（ x）， f 2（ x）的“活动函数”，求 a 的取值范围．
20．（本题满分15 分）
若数列 x n
1 1
d （ d 为常数，n N * ），则称 x n a n为调和数满足：
x n
为调和数列，已知数列x
n 1
列，且 a1
1 1 1 1 1
1，
a2 a3 a4
15 .
a1 a5
（ 1）求数列a n 的通项 a n；
（ 2）数列{2
n}的前n项和为S n，是否存在正整数n ，使得 S
n 2015 ？若存在，求出 n 的取值集合；若不存a n
在，请说明理由 .
【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.
21．已知集合A={x|＞1，x∈ R}，B={x|x2﹣2x﹣m＜0}．
（Ⅰ）当 m=3 时，求； A∩（? R B）；
（Ⅱ）若 A∩B={x| ﹣ 1＜ x＜ 4} ，求实数m 的值．
22．已知数列 {a n} 共有 2k（ k≥2，k∈Z ）项，a1=1，前 n 项和为 S n，前 n 项乘积为T n，且 a n+1=（ a﹣1）S n+2（n=1 ，
2，，2k﹣1），其中a=2，数列{b n}满足b n=log2，
（Ⅰ）求数列 {b n} 的通项公式；
（Ⅱ）若 |b1﹣|+|b2﹣|+ +|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|≤，求 k 的值．
23．已知定义在区间（0，+∞）上的函数 f （x）满足 f （）=f（x1）﹣f（x2）．
（1）求 f （1）的值；
（2）若当 x＞ 1 时，有 f（ x）＜ 0．求证： f（ x）为单调递减函数；
（3）在（ 2）的条件下，若 f（ 5） =﹣ 1，求 f（ x）在 [3， 25]上的最小值．
24．若 f （x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x， y＞ 0，满足 f（）=f（x）﹣f（y）（ 1）求 f （1）的值，
（ 2）若 f （6） =1 ，解不等式 f （x+3 ）﹣ f （）＜2．
商州区第三中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】 B
【解析】解法一：∵，
∴（C 为常数），
取 x=1 得，
再取 x=0 得，即得，
∴，
故选 B．
解法二：∵，
∴，
∴，
故选 B．
【点评】本题考查二项式定理的应用，定积分的求法，考查转化思想的应用．
2．【答案】 D
【解析】解：设 F2为椭圆的右焦点
由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（ F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，
所以点 P 是切点，所以 PF2=c 并且 PF1⊥ PF2．
又因为 F1F2=2c，所以∠ PF1F2 =30°，所以．
根据椭圆的定义可得 |PF1|+|PF2 |=2a，
所以 |PF2|=2a﹣ c．
所以 2a﹣c= ，所以 e= ．
故选 D．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．
3．【答案】 D.
， PA PB t 2
1
sin
1
【解析】设PO t
，向量
PA
与
PB
的夹角为 2 t ，
，
cos 1 2sin 2 1 2
PA PB PA PB cos (t 2 1)(1
2
)(t 1) ，
t 2 ，
t
2
2
PA PB t 2
2
1) ，依不等式PA PB 的最小值为 2 2 3
.
t 2 3(t
4．【答案】 A
【解析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7 面体，左视图中前、后平面是线段，上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP 是虚线，左视图为：
故选 A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．
5．【答案】 C
【解析】
考点：真子集的概念.
6．【答案】C
【解析】
b＋ i (b＋ i)(2 － i)
＝2b＋1
＋
2－ b 1
＝
(2＋ i)(2 － i) 5 5 i，因为实部与虚部相等，所以2b＋ 1＝ 2－ b，即 b＝ .故选 C.
2＋ i 3 7．【答案】 B
【解析】当 x≥0 时，
f （x） =，
由 f （ x） =x ﹣3a 2，x＞ 2a 2，得 f（ x）＞﹣ a
2；当 a 2＜ x＜2a 2时， f （x） = ﹣ a2；
由 f （ x） = ﹣ x， 0 ≤x≤a2，得 f （x ）≥﹣a2。

∴当 x＞ 0 时，。

∵函数 f （ x）为奇函数，
∴当 x＜ 0 时，。

∵对? x∈ R，都有 f（ x﹣ 1 ）≤f（ x），
∴2a 2﹣（﹣ 4a 2）≤1 ，解得：。

故实数 a 的取值范围是。

8．【答案】 B
【解析】解：∵=（ 1，0， 2 ）， =（﹣ 2， 0， 4 ），
∴=﹣2，
∴ ∥ ，
因此 l ⊥ α．
故选： B．
9．【答案】 C
【解析】解：① 是底面为梯形的棱柱；
②的两个底面不平行，不是圆台；
③是四棱锥；
④不是由棱锥截来的，
故选： C．
10．【答案】 B
【解析】，
，故或，解得或或，又根据集合元素的互异性，所以或。

11．【答案】 C
12．【答案】 C
【解析】解：不等式（ m+1） x2﹣（ m﹣ 1） x+3（ m﹣ 1）＜ 0 对一切 x∈R 恒成
立，即（ m+1）x2﹣（ m﹣ 1） x+3（ m﹣ 1）＜ 0 对一切 x∈R 恒成立
若 m+1=0 ，显然不成立
若 m+1≠0，则
解得 a．
故选 C．
【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需．
二、填空题
13．【答案】x2 y2 2
【解析】由题意，圆的半径等于原点到直线
| 0 0 2 |
x y 2 的距离，所以 r d 2 ，故圆的方程为
2
x2 y2 2 .
14．【答案】①③．
【解析】解：根据一一映射的定义，集合A={ 奇数 } →B={ 偶数 } ，不妨给出对应法则加1．则 A →B 是一一映射，故① 正确；
对② 设Z
点的坐标（
a b Z
点对应复数
a+bi a b R
，），则，、∈ ，复合一一映射的定义，故② 不正确；
对③ ，给出对应法则y=tan x，对于 A ， B 两集合可形成 f ： A →B 的一一映射，则 A 、B 具有相同的势；∴③ 正确．
故选：①③
【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查一一映射的定义，属于基础题型，考查考生对新定义题的理解与
应用能力．
15．【答案】7+
【解析】解：如图所示，
精选高中模拟试卷
设∠ APB= α，∠ APC= π﹣α．
在△ABP 与△APC 中，
由余弦定理可得：AB 22 2 2AP?BPcosα
=AP +BP ﹣，
2 2 2
2AP?PCcos π α
AC =AP +PC ﹣（﹣），
∴ AB 2+AC 2=2AP 2+ ，
∴ 42+32=2AP2+ ，
解得 AP= ．
∴三角形 ABP 的周长 =7+ ．
故答案为：7+ ．
【点评】本题考查了余弦定理的应用、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
27
16．【答案】．
7
【解析】
考点：向量的夹角．
【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法
（ 1）求平面向量的数量积有三种方法：一是定义 a b a b cos；二是坐标运算公式 a b x1x2y1 y2；三是利用数量积的几何意义．
（ 2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简
17．【答案】
【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA 底面ABC ，且 ABC 为直角三角形，且
AB 5,VA h, AC 6 ，所以三棱锥的体积为 V 1 1 5 6h 5h 20 ，解得 h 4 .
3 2
考点：几何体的三视图与体积.
18．【答案】 5
【解析】解：由 z=x ﹣ 3y 得 y=，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=，
由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，
此时 z 最大，
由，解得，即C（2，﹣1）．
代入目标函数z=x﹣ 3y，
得 z=2﹣ 3×（﹣1） =2+3=5 ，
故答案为： 5．
三、解答题
19．【答案】（1）f x
max
1 e
2 1
1 , 1
, f x min . （ 2） a 的范围是.
2 2 2 4
【解析】试题分析：（1）由题意得
1 2 ' x 1 x2 1
0 ，∴f（x）在区间[1，e]上为
f （ x） = x +lnx ，f x
x
2 x
增函数，即可求出函数的最值．
试题解析：
（1）当时，，；
对于 x∈ [1， e]，有 f'（x）＞ 0，∴f （ x）在区间 [1， e]上为增函数，
∴，．
（2）在区间（ 1， +∞）上，函数 f（ x）是 f 1（x）， f 2（ x）的“活动函数”，则 f 1（ x）＜ f （ x）＜ f2（ x）令
＜0，对 x∈（ 1， +∞）恒成立，
且 h（x） =f 1（x）﹣ f（ x） =＜0对x∈ （1，+∞ ）恒成立，
∵
若，令 p′（ x） =0，得极值点x1=1，，
当 x2＞ x1=1 ，即时，在（x2，+∞ ）上有p′ （x）＞0，
此时 p（ x）在区间（ x2， +∞）上是增函数，并且在该区间上有p（ x）∈（ p（ x2）， +∞），不合题意；
当 x2＜ x1=1，即 a≥ 1 时，同理可知， p（ x）在区间（ 1， +∞）上，有 p（ x）∈（ p（1）， +∞），也不合题意；
若，则有 2a﹣ 1≤0，此时在区间（1， +∞）上恒有 p′（ x）＜ 0，
从而 p （ x ）在区间（ 1，+∞ ）上是减函数；
要使 p （ x ）＜ 0 在此区间上恒成立，只须满足
， 所以≤a ≤ ．
又因为 h ′ （ x ）=﹣ x+2a ﹣ = ＜ 0，h （ x ）在（ 1， +∞）上为减函数， h （ x ）＜ h （ 1）= +2a ≤ 0，所以 a ≤
综合可知 a 的范围是 [ ， ]．
20． 【答案】 （1） a n 1
，（ 2）详见解析 .
n
当
n 8 时 S 8 7 9 2 11 2015 ， 分
2 2 13
∴存在正整数 n ，使得 S n 2015 的取值集合为 n | n
8, n N * 15 分
， 21 ．【答案】
1 m=3 时，由 x
2 2x
3 0 ? ﹣ 1 x 3
【解析】 解：（ ）当 ﹣ ﹣ ＜ ＜ ＜ ，
由 ＞ 1? ﹣1 ＜ x ＜ 5，
∴A ∩B={x| ﹣1＜ x ＜ 3} ；
（2）若 A ∩B={x| ﹣ 1＜ x＜ 4} ，
∵A= （﹣ 1， 5），
2
∴4 是方程 x ﹣ 2x﹣ m=0 的一个根，
∴m=8，
此时 B= （﹣ 2， 4），满足 A ∩B= （﹣ 1， 4）．
∴m=8．
22．【答案】
【解析】（本小题满分13 分）
解：（ 1）当 n=1 时， a2=2a，则；
当 2≤n≤2k﹣ 1 时， a n+1 =（a﹣ 1）S n+2， a n=（ a﹣ 1）S n﹣1+2 ，
所以 a n+1﹣ a n=（ a﹣ 1） a n，故=a，即数列 {a n} 是等比数列，，
∴ T n=a1×a2× ×a n=2n a1+2+ +（n﹣1）=，
b n= = ．
（ 2 ）令，则 n≤k+ ，又 n∈N*，故当 n≤k 时，，
当 n≥k+1 时，．
|b1﹣ |+|b2﹣|+ +|b2k﹣1﹣ |+|b2k﹣ |
= +（）+ +（）
=（k+1+ +b2k）﹣（b1+ +b k）
=[ +k] ﹣ [ ]
=，
由，得 2k2﹣6k+3 ≤0，解得，
又 k≥2，且 k∈N*，所以 k=2 ．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和构造法的合理运用．
23．【答案】
【解析】解：（ 1）令 x1=x 2＞ 0，
代入得 f （1） =f （ x1）﹣ f （x1）=0，
故 f （ 1） =0．（ 4 分）
（ 2）证明：任取 x1， x2∈（ 0，+∞），且 x1＞ x2，则＞ 1，
由于当 x＞ 1 时， f （x）＜ 0，所以 f（）＜ 0，
即 f （ x1）﹣ f（ x2）＜ 0，因此 f （x1）＜ f（ x2），
所以函数f（ x）在区间（ 0，+∞）上是单调递减函数．（8分）
（3）因为 f （ x）在（ 0， +∞）上是单调递减函数，
所以 f （ x）在 [3， 25]上的最小值为 f （25）．
由 f （）=f（x1）﹣f（x2）得，
f（ 5） =f （） =f （ 25）﹣ f （ 5），而 f （ 5） =﹣
1，所以 f （ 25） =﹣ 2．
即 f （ x）在 [3， 25]上的最小值为﹣ 2．（ 12 分）
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键．
24．【答案】
【解析】解：（ 1）在 f（）=f（x）﹣f（y）中，
令 x=y=1 ，则有 f（1） =f （ 1）﹣ f （1），
∴f（ 1） =0；
（ 2）∵f（ 6） =1，∴2=1+1=f （ 6） +f （ 6），
∴不等式 f （x+3 ）﹣ f（）＜ 2
等价为不等式f（ x+3）﹣ f（）＜f（6）+f（6），
∴f（ 3x+9 ）﹣ f（ 6）＜ f （ 6），
即 f （）＜f（6），
∵f（ x）是（ 0， +∞）上的增函数，
∴，解得﹣ 3＜ x＜ 9，即不等式的解集为（﹣3，9）．。