2014年高考数学(文)二轮配套教案：高考题型冲刺练 压轴大题突破练——函数与导数(二)

压轴大题突破练-—函数与导数（二)
1． 设函数f （x )＝a e x ＋错误!＋b (a 〉0）．
（1）求f （x ）在[0，＋∞）内的最小值；
(2）设曲线y ＝f (x )在点（2，f (2））处的切线方程为y ＝32
x ，求a ，b 的值．
解 （1）f ′（x ）＝a e x －1a e x , 当f ′（x )〉0，即x >－ln a 时,f （x )在(－ln a ,＋∞）上递增； 当f ′（x )<0，即x 〈－ln a 时，f (x ）在(－∞，－ln a )上递减． ①当0〈a 〈1时，－ln a 〉0，f (x ）在［0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞）上递增，从而f （x )在[0，＋∞）内的最小值为f （－ln a ）＝2＋b ；
②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x ）在[0，＋∞)上递增，从而f （x )在[0，＋∞） 内的最小值为f (0)＝a ＋错误!＋b .
(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝错误!， 解得a e 2＝2或a e 2＝－错误!(舍去)．
所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋错误!＋b ＝3，即b ＝错误!。

故a ＝错误!，b ＝错误!.
2． 已知函数f （x )＝a ln x －bx 2。

(1)当a ＝2，b ＝错误!时，求函数f （x )在［错误!,e ］上的最大值；
（2）当b ＝0时,若不等式f （x ）≥m ＋x 对所有的a ∈[0，错误!]，x ∈（1,e 2］都成立，求实数m 的取值范围．
解 （1）由题知，f （x ）＝2ln x －错误!x 2,
f ′（x ）＝错误!－x ＝错误!，
当错误!≤x ≤e 时,
令f′(x）>0得错误!≤x<错误!；
令f′(x）<0，得错误!〈x≤e，
∴f(x)在[错误!，错误!)上单调递增,在(错误!，e］上单调递减,
∴f(x)max＝f（错误!)＝ln 2－1.
(2）当b＝0时,f(x）＝a ln x，若不等式f(x)≥m＋x对所有的a∈[0，错误!]，x∈(1，e2]都成立，则a ln x≥m＋x对所有的a∈[0，错误!]，x∈（1，e2］都成立，即m≤a ln x－x，对所有的a∈[0，错误!］，x∈(1，e2]都成立，
令h(a）＝a ln x－x,则h(a)为一次函数，m≤h（a)min。

∵x∈(1，e2],∴ln x〉0，
∴h(a)在［0,错误!］上单调递增,
∴h（a）min＝h(0）＝－x,
∴m≤－x对所有的x∈（1，e2］都成立．
∵1〈x≤e2，∴－e2≤－x<－1，
∴m≤(－x）min＝－e2。

3．已知函数f(x）＝x3－2x＋1，g(x)＝ln x.
（1)求F（x)＝f（x)－g（x)的单调区间和极值；
（2)是否存在实常数k和m，使得x>0时，f（x）≥kx＋m且g(x）≤kx＋m？若存在，求出k和m的值;若不存在，说明理由．
解（1)由F（x)＝x3－2x＋1－ln x（x〉0)，得F′（x)＝错误!(x>0），令F′(x）＝0得x＝1，易知F(x)在（0,1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，从而F（x）的极小值为F（1）＝0。

(2）易知f（x）与g(x)有一个公共点(1，0），而函数g（x）在点（1,0）处的切线方程为y＝x－1，下面只需验证错误!都成立即可．
设h（x）＝x3－2x＋1－（x－1)（x〉0），
则h′(x)＝3x2－3＝3(x＋1）（x－1)（x>0)．
易知h(x)在（0，1)上单调递减，在(1，＋∞）上单调递增，所以h（x）的最小值为h(1）＝0，所以f（x）≥x－1恒成立．
设k(x）＝ln x－(x－1），则k′（x)＝错误!(x>0）．
易知k（x)在(0，1）上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减,所以k(x）的最大值为k(1)＝0，所以g（x)≤x－1恒成立．
故存在这样的实常数k＝1和m＝－1，使得x〉0时，f(x)≥kx＋m 且g(x)≤kx＋m.
4．已知定义在正实数集上的函数f（x)＝错误!x2＋2ax，g(x)＝3a2ln x ＋b，其中a>0。

设两曲线
y＝f（x），y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a表示b,并求b的最大值；
（2)求证：f（x)≥g(x)．
(1)解f′（x）＝x＋2a，g′（x）＝错误!,
由题意知f（x0)＝g（x0），f′(x0)＝g′(x0）,
即错误!
由x0＋2a＝错误!，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．
即有b＝1
2
a2＋2a2－3a2ln a＝错误!a2－3a2ln a.
令h（t)＝错误!t2－3t2ln t（t>0），
则h′（t)＝2t（1－3ln t)．
于是当t（1－3ln t）〉0，即0<t〈e错误!时，h′（t)>0；
当t(1－3ln t）<0,即t〉e错误!时，h′（t）〈0。

故h（t)在（0，e错误!）上为增函数，在（e错误!，＋∞）上为减函数,
于是h(t)在(0，＋∞）上的最大值为h(e错误!)＝错误!e错误!，即b的最大值为错误!e错误!.
(2)证明设F(x)＝f(x）－g(x）＝错误!x2＋2ax－3a2ln x－b(x>0）,
则F′(x）＝x＋2a－错误!＝错误!（x〉0)．
故F′(x)在(0,a)上为减函数,在（a,＋∞）上为增函数．
于是F(x）在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F（x0）＝f（x0）－g
（x0）＝0.
故当x>0时，有f（x）－g(x)≥0，
即当x>0时,f(x)≥g(x)．。