精 品 教 学 设 计4.2.1实际问题的函数刻画等

精品教学设计
4.2.1 实际问题的函数刻画
一、教学目标:
1．进一步感受函数与现实世界的联系，强化用数学解决实际问题的意识．
2．进一步尝试用函数刻画实际问题，通过研究函数的性质解决实际问题．
二、教学重点、难点：
1.教学重点能对实际问题进行函数刻画，将实际问题转化为函数模型，并利用函数性质来进行研究.
2．教学难点对实际问题进行函数刻画.
三、学法与教学用具：
1.学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.
2．教学用具：多媒体.
四、教学设想：
（一）引入实例，创设情景.
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画.用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容.
教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数特征.
问题1当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，表4-2给出了实验的一组数据，这组数据能说明什么?
解：在这个实际问题中出现了两个变量，一个是环境温度，另一个是人体的代谢率.不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系.实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来.在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来(如图4-5).
根据图像，可以看出下列性质：
(1)代谢率曲线在小于20℃的范围内是下降的，
在大于30℃的范围内是上升的；
(2)环境温度在20℃～30℃时，代谢率较低，
并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；
(3)环境温度太低或太高时，它对代谢率有较
大影响.
所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温
要保持在20℃～30℃之间，这样可以使环境温度的影响最小.
教师指出：在这个问题中，通过对实验数据的分析，可以确定由{4，10，20，30，38)到{60，44，40，40.5，54}的一个函数，通过描点，并且用折线将它们连接起来，使人们得到了一个新的函数，定义域扩大到了区间[4，38].对于实际的环境温度与人体代谢率的关系
来说，这是一个近似的函数关系，它的函数图像，可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢率的关系.
（二）实例运用，巩固提高.
问题2 某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200000元.生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量x 对总成本C 、单位成本P 、销售收入R 以及利润L 之间存在什么样的函数关系?表示了什么实际含义?
解 总成本C 与产量x 的关系
C =200000+300x ；
单位成本P 与产量x 的关系
200000
300P x
=
+
销售收入R 与产量x 的关系
R =500x ；
利润L 与产量x 的关系
L =R -C =200x -200000.
以上各式建立的是函数关系.
(1)从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量.若x <1000，则要亏损；若x =1000，则利润为零；若x >1000，则可盈利.这也可从图4-6看出，R 和C 的图像是两条直线，在它们的交点处利润为零.
(2)从单位成本与产量的关系200000
300P x
=
+可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效益.
问题3如图4-7，在一条弯曲的河道上，设置了六个水文监测站.现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度?
解：情报中心在河边的位置一旦确定，每一个 水文监测站到情报中心的通信电缆长度(曲线段长度) 就唯一确定了，因此，表示情报中心位置的数值与专 用通信电缆的总长度就构成一个函数关系.现在将弯 曲的河道“拉直”，使刻画曲线段长度的问题变成了 刻画直线段长度的问题.将“变直了”的河道当作一 个数轴，不妨设A 为原点，AB =b ，AC =c ，AD =d ，
AE =e ，AF =f 于是，水文监测站A ，B ，C ，D ，E 和F 的坐标就可以用0，b ，c ，d ，e ，f 表示出来.表示情报中心位置的数值可以看作一个变量，用x 表示，这样，对于给定的x 的值，就能计算出情报中心到每一个水文监测站的长度，从而可以得出所需电缆的总长度
()||||||||||||f x x x b x c x d x e x f =+-+-+-+-+-.
（三）课堂练习
教材P 116练习1、2，并由学生演示，进行讲评。

1．商店的一种商品每个进价80元，零售价100元．为了促进销售，开展购一件商品赠送一个小礼品的活动，在一定的范围内，礼品价格每增加1元，销售量增加10％．求利润与礼品价格n 之间的函数关系． 分析
函数关系是：()()2010.1y a n n =-⋅+020,n n Z ≤≤∈
2．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，，a 2，…，a n ，共n 个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”以是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据差的平方和最小．依此规定，请用a 1，，a 2，…，a n 表示出a ． 解：假设所测量物理量为x ，误差的平方和为y ，则
()()()22
2
12n y x a x a x a =-+-++-
()()222
21212n n nx a a a x a a a =-++
++++
+
12n
a a a a n
+++=
得：
3. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示： （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数 为2004 km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km 与 时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象 解(1)阴影部分的面积为
501801901751651360⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km (2)根据图形可得：
50200401801205412902213423753222434654229945t t t t S t t t t t t +≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪
=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩,;(),;(),
;(),;(),
.
这个函数的图像如右图所示：
（四）归纳总结，提升认识.
教师通过计算机作图进行总结，使学生认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的含义及其差异，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值和内在变化规律.
解决实际问题一般思路可表示如下：
因此，解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
因此，解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
注意点：
1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．
3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．
小结：本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求我们掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．
（五）布置作业
教材P130A组第1，2题
收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用，并思考。

有时同一个实际问题可以建立多个函数模型，在具体应用函数模型时，应该怎样选用合理的函数模型.。