福建漳州三中高三第二次月考数学理

福建省漳州三中 2011届高三第二次月考
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的，把答案填在答题卷的相应位置。

1
（ ）
A ．i
B ．i - C
i + D
i 2．集合3
{|40}M x x x =-=,则M 的子集个数为
（ ）
A ． 2
B ． 3
C ． 4
D ．8 3．等差数列}{n a 中,23=a ,则该数列的前5项和为
（ ） A ．32
B ． 20
C ．16
D ．10
4
．已知向量)
a =
r
，b r 是不平行于x
轴的单位向量，且a b ⋅=r r
b r =
（ ）
A ．()0,1
B ．⎪⎪⎭⎫
⎝⎛433,41 C ．⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛23,21
D ．⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛21,23 5．设()833-+=x x f x
,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x
在内近似解的过程中得
()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间
（ ）
A ．（1,1.25）
B ．（1.25,1.5）
C ．（1.5,2）
D ．不能确定
6．“1=a ”是“函数ax ax y 2
2sin cos -=的最小正周期为π”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．关于x 的方程02
cos cos cos 2
2=--C
B A x x 有一个根为1，则△AB
C 中一定有 （ ）
12
π
-
512
π
1112
π1
x
y
o
A ．2A
B π
+=
B ．A B =
C ．B C =
D ．A C = 8．二次函数y=ax 2+bx 与指数函数y=（
a
b ）x
的图象只可能是
（ ）
9．设奇函数f （x ）在[-1,1]上是增函数，且f （-1）= -1，若函数f （x ）≤t 2-2at+1对所有的x ∈[-1，1]都
成立，则当a ∈[-1，1]时，t 的取值范围是 （ ）
A ．－2≤t ≤2
B ．21
t 21≤≤-
C ．t ≥2或t ≤－2或t=0
D ．0t 2
1
t 21t =-≤≥或或
10．对于函数2
()2f x x x =+在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值max 1M =-叫做
2
()2f x x x =+的下确界，则对于正数,a b ，
22
2
()a b a b ++得下确界是（ ） A ．1
4
B ．
1
2
C ．2
D ．4
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置。

11．若 | a | = 2, | b | = 5, | a +b | = 4，则| a -b |= 。

12．若函数f （x ＋2）＝⎩
⎨
⎧-)lg(tan x x ),0(),0(<≥x x 则f （4π
＋2）· f （－98）的值为________。

; 13．函数f （x ）=A sin （ω x + ϕ ） （A>0, ω >0, | ϕ |< π
2 ）的一段
图象过点()0,1，如图所示． 则函数f （x ）的解析式 。

14．8．已知向量1
(6,2),(4,)2
a b ==-r r ，直线l 过点31A -（，）
，且与向量2a b +r u u r 垂直，则直线l 的一般方程是 。

15．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫
做等积数列，这个常数叫做数列的公积。

已知数列}{n a 是等积数列，且21=a ，公积为8，那么18a 的
值为 ，这个数列的前.___________计算公式为项和n S n 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分13分）
已知}{},{n n b a 均为等差数列，且100,75,2510010011=+==b a b a ，求数列}{n n b a +的前100项之和。

17．（本小题满分13分）
已知实数)()2()(,02
R x x ax x f a ∈-=>函数有极大值32． （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）求实数a 的值．
18．（本小题满分13分）
若＝)sin ,cos 3(x x ωω，＝)0,(sin x ω,其中ω>0,记函数f （x ）=（＋）·＋k ． （1）若f （x ）图象中相邻两条对称轴间的距离不小于
2
π
，求ω的取值范围．
（2）若f （x ）的最小正周期为π，且当x ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈6,6ππ时，f （x ）的最大值是21，求f （x ）的解析式，
19．（本小题满分13分）
某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇． （I ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（II ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值． 20．（本小题满分14分）
已知两点M （-1,0）, N （1, 0）, 且点P 使⋅⋅⋅成公差小于零的等差数列．
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程方程；
（Ⅱ）若点P 的坐标为（x 0, y 0）, 记θ为,PN 的夹角, 求tan θ
21．（本小题满分14分）
已知函数2
x a
x 2)x (f 2+-=
（x ∈R ）在区间[-1,1]上是增函数．
（Ⅰ）求实数a 的值所组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程x
1
)x (f =
的两实数根为x 1、x 2,试问:是否存在实数m,使得不等式|x x |1tm m 212-≥++对任意a ∈A 及t ∈[-1,1]恒成立?若存在,求0出m 的取值范围;若不存在,
请说明理由?
参考答案
1—5 ADDCB 6—10 ABACB 11
12．2
13．()2sin(2/6)f x x π=+ 14．2390x y --=
15．31,;3,.n n n n -⎧⎨⎩
当为奇数时当为偶数时
16．解：设{},{}n n a b 的公差分别为12,,d d
则1112(1),(1)n n a a n d b b n d =+-=+-
111211121112(1)(1)()(1)(){},n n n n a b a b n d n d a b n d d a b a b d d ∴+=++-+-=++-+∴+++是以为首项为公差的等差数列
11100100100100()100(100100)
10000
22
{}10010000.n n a b a b S a b ++++∴=
==∴+的前项之和为 17．（1）单调递增区间为（-∞，2/3），（2，+∞）；单调递减区间为（2/3，2） （2）a=27
18．解∵
=,sin )x x ωω ＝)0,(sin x ω∴＋=)sin ,sin cos 3(x x x ωωω+
故f （x ）=（＋）·＋k
2
sin xcow x x k ωωω++
＝
k x x k x x ++-=+-+2
12cos 212sin 2322cos 12sin 23ωωωω ＝2
1
)6
2sin(+
+-
k x π
ω …………………………4分 （1）由题意可知
222
T ππω=≥， ∴1ω≤又ω>0，∴0＜ω≤1 ……………………6分
（2）∵T ＝
πωπ=，∴ω＝1 ∴f （x ）=sin （2x －6π）＋k ＋2
1
∵x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
6,262,6,6πππππx ………………8分
从而当2x －
6π＝6π即x=6
π
时f max （x ） =f （6π）=sin 6π＋k ＋21=k ＋1=21
∴k =－21 故f （x ）=sin （2x －6
π
）…………………12分
19．本小题主要考查解三角形，二次函数等基础知识，考查推理论证能力，抽象概括能力，运算求解能力、
应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分12分。

解法一：
（I ）设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则
222min 90040023020cos(9030)900600400
1
900()300.
31
,103,
3103
30 3.3
S t t t t t t S v =+-⋅⋅⋅-=-+=
-+===
=o o 故当时
即，小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。

（II ）设小艇与轮船在B 处相遇
由题意可得：2
2
2
()20(30)22030cos(9030)vt t t =+-⋅⋅⋅-o
o
化简得：2
2
2
40060013900400()675,4v t t t
=
-+=-+ 由于11
0,22t t <≤≥即
所以当1
2t
=时，
v 取得最小值1013.
即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时 20．（1）2
2
3(0)x y x +=> （2）tan θ=|y 0|
21．解：（Ⅰ） )2()
2x ()2ax x (2)2x ()2x )(a x 2()2x ()a x 2()x (f 2
2222'22''
分ΛΛ+---=++--+-=
因为函数f （x ）在区间[-1,1]上是增函数,所以f ‘
（x ）≥0在区间x ∈[-1,1]恒成立 即有x 2-ax-2≤0在区间[-1,1]上恒成立。

构造函数g （x ）=x 2-ax-2 ∴满足题意的充要条件是：1a 10
2a _10
2a 10)1(g 0)1(g ≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤--⇒⎩⎨
⎧≤-≤
所以所求的集合A=[-1，1] ………（7分） （Ⅱ）由题意得：
x
1
2x a x 22
=+-得到：x 2-ax-2=0………（8分） 因为△=a 2+8>0 所以方程恒有两个不等的根为x 1、x 2由根与系数的关系有：
8a x x 4)x x (|x x |2
x x a
x x 221221212121+=-+=-⇒⎩⎨
⎧-=⨯=+……（9分） 因为[1,1]a A a ∈∈-即，
所以12||3x x -=
≤要使不等式2121||m tm x x ++≥-
对任意[1,1]a A t ∈∈-及恒成立，
当且仅当2
13[1,1]m tm t ++≥∈-对任意的恒成立 ………………11分 构造函数2
2
()2(2)0x m tm mt m Φ=+-=+-≥ 对任意的[1,1]t ∈-恒成立的充要条件是
2
2
(1)0202 2.(1)020
m m m m m m ⎧Φ≥-+-≥⎧⎪⇒⇒≥≤-⎨⎨Φ-≥+-≥⎪⎩⎩或 故存在实数m 满足题意且为
{|22}m m m ≥≤-或为所求。

………………14分。