云南省高考数学适应性月考试题(七)文(扫描版)

云南省2017届高考数学适应性月考试题（七）文（扫描版）
文科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】
1．因为T ={x |4-≤x ≤1}，S R ð={x |x ≤2-}，所以()S T =R ð{x |x ≤1}，故选D ． 2．2i(1+i)
1i (1i)(1i)
z =
=-++-，则1i z =--，其对应点(11)--，位于第三象限，故选C ．
3．因为p 是“甲通过面试”，q 是“乙通过面试”，则p ⌝是“甲没有通过面试”，q ⌝是“乙没有通过面试”，所以命题“至少有一位同学没有通过面试”可表示为()p ⌝∨()q ⌝，故选A ． 4．根据线面平行、线面垂直判定和性质可得选项A ，B ，D 是正确的，C 是错误的，故选C ． 5．306和234都是偶数，用2约简到153和117． 153−117=36 117−36=81 81−36=45 45−36=9 36−9=27 27−9=18 18−9=9
故306和234的最大公约数为9⨯2=18，故选B ．
6．由22
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，2
2110(40302020)7.822.
60506050
K ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯因为27.8K ≈
6.635≥，所以相关的概率大于1-0.010=0.99，故选C ．
7．因为指数函数13x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是减函数，所以c b >．因为幂函数1
3y x =是增函数，所以1a c >>．又对
数函数1
2
1
log 13
d =>，所以d a c b >>>，故选D ． 8．函数定义域关于原点对称，因为sin sin ()ln ln ()sin sin x x x x f x f x x x x x --+⎛⎫⎛⎫
-=== ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭
，
所以函数是偶函数，排除B ，D ；当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，0sin sin x x x x <-<+，sin 1sin x x x x +<-，sin ln 0sin x x x x +⎛⎫
> ⎪-⎝⎭，排除A ，
故选C ．
9
．因为双曲线焦距为
，所以c =，又双曲线一条渐近线方程为2y x =，所以
2b
a
=
，因为c e a ===1a =，所以双曲线的左顶点为(-1，0).因为抛物
线22(0)y px p =>的准线方程2
p
x =-过双曲线的左顶点(-1，0)，所以2p =，所以抛物线焦点到准线的距离为2，故选B ．
10．如图1，以O 为坐标原点，射线OA 为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则可知A (1，0)
，
12B ⎛- ⎝⎭．设2π(c o s s i n )03C ααα⎛⎫
⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝
⎭
，
，，则
有
cos x αα=+
，y α=
，所以cos x y αα+= π2sin 6α⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，所以当α=π3时，x y +的最大值是2，此时
π
3
OA OC 〈〉=
，，故选A ． 11．根据题意，正方体内接于球体，球内切于棱长为a 的正四面体，正四面体的内切球球心和正方
体中心重合，所以可求得内切球球半径r =
．设正方体的棱长为m ，因为正方体的体对角线长为2r ，所以
得2
22222
13(2)318m r m m a ⎫=⇒=⇒=⎪⎪⎝⎭
，正方体表面积为222
11=6=6=183
S m a a ⨯
，故选B ． 12．设函数()f x 图象上一点000()(1)A x y x >，关于y 轴的对称点00()B x y -，在函数()g x 的图象上，则
02
002
000e 1x y x y x ax ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩，，
即022
000e 1x x x ax +=++，得00e 1x a x -=．令e 1()(1)x x x x ϕ-=>，则()a x ϕ=在(1)+∞，上有解．因为2
e (1)1
()0x x x x ϕ-+'=>，故()x ϕ在(1)+∞，
上为增函数，则()(1)e 1x ϕϕ>=-，从而有e 1a >-，故选C ．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
图1
13．2log 32323(log 9)(log 4)2(2log 3)(2log 2)3437⨯+=⨯+=+=．
14．y
x
表示的是可行域里的点与坐标原点O (0，0)连线的斜率，
作出如图2所示的可行域，直线OA 的斜率最小，所以y
x
的 最小值为2-．
15．由224cos a b ab C +=及余弦定理得222
2242a b c
a b ab
ab
+-+=，所以2222a b c +=，所以
tan tan sin cos cos sin sin tan tan cos sin sin cos sin sin C C C A B C C
A B C A B C A B
⎛⎫+=+= ⎪
⎝⎭22
22222
2 2.22c c a b c c c ab
ab
===+--
（由三角函数商数关系，两角和的正弦及正弦定理）
16．||||a xb a b ++≥恒成立2
2
2
2
222a xa b x b a a b b ⇔++++≥恒成立221x a bx ⇔+--
20a b ≥恒成立，所以224()4(12)0(1)0a b a b a b ∆=---⇔+≤≤，所以1a b =-，所以2cos 2||||
a b a b a b 〈〉=
=-[0π]a b 〈〉∈，，故3π
4a b 〈〉=
． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
因为1313a a a ，，成等比数列，所以2
3113a a a =，
即2111(2)(12)a d a a d +=+，化简得：12d a =． 因为10751S S -=，即891051a a a ++=， 所以9351a =，即917a =， 所以1817a d +=，
11
2817d a a d =⎧⎨
+=⎩，
，解得112a d ==，， 因此*21
n a n n =-∈N ，． …………………………（6分） （Ⅱ）由题意知12n n n a T +=-
，∴22n
n
n T =-12n n
-=-， 图2
所以2n ≥时，1n n n b T T -=-=12112
222
n n n n n n ------
+=， 故1
*221221(1)24n n n n n c b n n ---⎛⎫
===-∈ ⎪
⎝⎭
N ，，
所以0
1
2
3
1
111110123(1)44444n n R n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
则1
2
3
4
1111110123(1)444444n
n R n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 两式相减得12341
3111111(1)4444444n n
n R n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++++⋅⋅⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
111113144(1)1433414
n
n n
n n ⎛⎫- ⎪+⎛⎫
⎛⎫⎝⎭=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 整理得1131494n n n R -+⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
所以，数列{}n c 的前n 项和1131494n n n R -+⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
． …………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图3，在菱形ABCE 中，2π
3
ABC ∠=
，所以AB =AE =BE ． 因为AB =1
12BD =，所以ABD △是直角三角形，所以AB AD ⊥．
又∵CF //AB ，点E ，G 分别是BD ，PD 的中点， ∴AD ⊥CF 且F 是AD 的中点， ∴FG 是PAD △的中位线，∴FG //PA ． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴FG ⊥平面ABCD ， ∴FG ⊥AD ． 又∵FG
CF =F ，
∴AD ⊥平面CFG ．
………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AD =AB tan 60︒
FD
=
12AD =． ∵2PA =，∴FG =1
12PA =．
∵CE =1，
所以1111113232E CDG G CED V V CE FD FG --==⨯=⨯⨯=三棱锥三棱锥 ……（12分） 19．（本小题满分12分）
图3
解：（Ⅰ）由频率分布直方图知(0.04+0.03+0.02+2a )×10=1, ∴a =0.005. 所以1000名学生中数学成绩在[90，100]的人数大约：
1000
100100.00550100
⨯⨯⨯=(人)． …………………………（4分） （Ⅱ）55⨯0.05+65⨯0.4+75⨯0.3+85⨯0.2+95⨯0.05=73，
所以平均分为73分． …………………………（8分） （Ⅲ）分别求出样本中数学成绩分数段在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)的人数依次为0.05⨯100=5，0.4⨯100=40，0.3⨯100=30，0.2⨯100=20.
所以样本中英语成绩分数段在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)的人数依次为： 5，20，40，25．
所以英语成绩在[50，90)之外的人数有100−(5+20+40+25)=10 (人)． 所以全年级1000名学生中英语成绩在[50，90)之外的人数大约
1000
10100100
⨯=(人)． ……………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22
221x y a b
+=
的两焦点为12(0)0)F F ，，
所以c =．又椭圆C 过点12E ⎫⎪⎭，，
根据椭圆定义：12||||2EF EF a +=，
2a ，
化简得2a =，由222a b c =+得1b =，
所以椭圆C 的标准方程是：22
14
x y +=． …………………………（4分）
（Ⅱ）由条件，直线AB 的斜率存在，
设1122()()()A x y B x y P x y ，，，，，，直线AB 的方程为(3)y k x =-， 由22
(3),14
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=， 则22121222
24364
1414k k x x x x k k -+==
++，，
2222(24)16(91)(14)0k k k ∆=---+>，解得215k <． 由题意得1212()()OA OB x x y y t x y +=++=，，，2
122
124()(14)
k x x x t t k =+=+， 12122116()[()6](14)k
y y y k x x k t t t k -=+=+-=
+． 由点P 在椭圆上，得222
222222
(24)1444(14)(14)k k t k t k +=++，
化简得22236(14)k t k =+．
由12|||AB x x - 得221212(1)[()4]3k x x x x ++-<，
将22121222243641414k k x x x x k k -+==++，代入得22
22222
(24)4(364)(1)3(14)14k k k k k ⎡⎤-+-<⎢⎥++⎣⎦
． 化简，得22(81)(1613)0k k -+>，则2810k ->，
即218k >
，所以211
85
k <<． 所以22
22
36991414k t k k ==-
++，即2
34t <<，
所以2t -<<2t <<．
故实数t 的取值范围为t ∈(−2，2)． ……………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）()(1)e x f x x -'=-，当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1x ≥时，()0f x '≤，()f x 单调递减．
所以，函数()f x 的单调递增区间是(1)-∞，
，递减区间是[1)+∞，，最大值为1
(1)e
f =． ………………………………………………（4分）
（Ⅱ）函数()f x 与()h x 图象交点个数⇔关于x 的方程()()f x h x =根的个数， 令()()()|ln |e x g x h x f x x x c -=-=--，(0)x ∈+∞，． （i ）当(1)x ∈+∞，时，ln 0x >，则()ln e x g x x x c -=--， 所以e ()e 1.x x
g x x x -⎛⎫
'=+- ⎪⎝⎭
因为e 100x
x x ->>，，所以()0g x '>，因此()g x 在(1)+∞，上单调递增．
（ii ）当(01)x ∈，时，ln 0x <，则()ln e x g x x x c -=---， 所以e ()e 1.x
x g x x x -⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭
又10x -<，所以e 10x
x x -+-<，即()0g x '<，因此()g x 在(01)，上单调递减．
综上（i ）（ii ）可知，当(0)x ∈+∞，时，1()(1)=e g x g c ---≥． 当1(1)=e g c --->0，即1e c -<-时，()g x 没有零点， 故函数()f x 与()h x 图象交点个数为0个；
当1(1)=e g c ---=0，即1e c -=-时，()g x 只有一个零点， 故函数()f x 与()h x 图象交点个数为1个；
1(1)e 0g c -=--<，即1e c ->-时，
①当(1)x ∈+∞，时，由（Ⅰ）知1()ln e ln (e +)ln 1x g x x x c x c x c --=--->--≥， 要使()0g x >，只需使ln 10x c -->，即1(e )c x +∈+∞，； ②当(01)x ∈，时，由（Ⅰ）知
1()ln e ln (e +)ln 1x g x x x c x c x c --=----->---≥， 要使()0g x >，只需ln 10x c -->-，即1(0e )c x --∈，． 所以1e c ->-时，()g x 有两个零点，故函数()f x 与()h x 图象交点个数为2个． 综上所述，
当1e c -<-时，函数()f x 与()h x 图象交点个数为0个； 当1e c -=-时，函数()f x 与()h x 图象交点个数为1个； 当1e c ->-时，函数()f x 与()h x 图象交点个数为2个． …………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）曲线C 化为普通方程为2
213x y +=，
直线l 的直角坐标方程为40x y --=． …………………………（4分）
（Ⅱ）设点sin)
Pαα
，，则点P到直线l的距离
d=．
1π
=||=22sin4
23
PAB
S AB dα⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
△
，
∴当
π
sin1
3
α⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
时，当点P的直角坐标为
31
22
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，时，
PAB
S
△
有最大值12．…（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（Ⅰ）∵
5(3)
()31(13)
5(1)
x x
f x x x
x x
--
⎧
⎪
=-+-<<
⎨
⎪+-
⎩
≥，
，
≤，
∴
max
()(1)4
f x f
=-=．…………………………（5分）（Ⅱ）由2222
2=
a b c M
++，得222
22
a b c
++=，
∴2222
()()2
a c
b c
+++=．
因为222
a c ac
+≥（当a c
=时取等号），222
b c bc
+≥（当b c
=时取等号），所以(a2+c2)+(b2+c2)=2≥2(ac+bc)，即1
ac bc
+≤，
故
max
[()]1
c a b
+=
（当且仅当a b c
==
时取等）．…………………（10分）。