陕西省西安市莲湖区第三十一中学2020年高二数学文下学期期末试题含解析

陕西省西安市莲湖区第三十一中学2020年高二数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有( )
A．512 B．192 C．240 D．108
参考答案：
D
2. 设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形
PF1QF2面积最大时，的值等于（）
A．0 B．2 C．4
D．－2
参考答案：
D
3. 设向量=（x﹣1，4），=（2，x+1），则“x=3”是“∥”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由向量共线可得x的值，再由集合的包含关系可得答案．
【解答】解： =（x﹣1，4），=（2，x+1），∥，
∴（x﹣1）（x+1）=4×2，
解得x=±3，
∵集合{3}是集合{3，﹣3}的真子集，
∴“x=3”是“∥”的充分不必要条件，
故选：A．4. 如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，，，，则异面直线AB与PC所成的角为（）
A．30° B．120°C．60°D．45°
参考答案：
C
5. 函数f（x）=3x﹣4x3（x∈[0，1]）的最大值是（）
A．1 B．C．0 D．﹣1
参考答案：
A
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】先求导数，根据函数的单调性研究出函数的极值点，连续函数f（x）在区间（0，1）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，从而求出所求．
【解答】解：f'（x）=3﹣12x2=3（1﹣2x）（1+2x）
令f'（x）=0，解得：x=或（舍去）
当x∈（0，）时，f'（x）＞0，当x∈（，1）时，f'（x）＜0，
∴当x=时f（x）（x∈[0，1]）的最大值是f（）=1
故选A．
6. 在同一平面直角坐标系中，函数的图像和直线的交点个数是（）
A 0个
B 1个
C 2个
D 4个
参考答案：
C
7. 已知集合集合，则集合的子集个数为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
8. 已知a＜b＜|a|，则( )
A．＞B．ab＜1 C．＞1 D．a2＞b2
参考答案：
D
考点：不等关系与不等式．
分析：利用赋值法，排除错误选项，从而确定正确答案．
解答：解：∵a＜b＜|a|，∴a＜0，b的正负不确定；
若b=0，可排除A，C；
若b=﹣1，a=﹣2，则ab=2＞1，故C错误；
无论b＞0还是b＜0，b=0，D均成立．
故选D．
点评：利用赋值法排除错误选项，可以有效地简化解题过程．
9. 已知等差数列前项和为，，210，130，则
=（）
（A）12 （B）14 （C）16 （D）18
参考答案：
B
10. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()．[来源: ]A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （普通班）.点（x，y）在直线x+3y-2=0上，则
最小值为
参考答案：
9
12. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=l处有极值10，则（a，b）=__________.
参考答案：
（4，－11）
13. 二进制11010（2）化成十进制数是．
参考答案：
26
【考点】排序问题与算法的多样性．
【分析】根据二进制转化为十进制的方法，我们分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果．【解答】解：11010（2）=0+1×2+0×22+1×23+1×24=26．
故答案为：26．
14. 已知是两条异面直线，，那么与的位置关系为____________________
参考答案：
异面或相交就是不可能平行.
略
15. 设（i为虚数单位），则．
参考答案：
略
16. 已知﹣1＜x+y ＜4且2＜x ﹣y ＜3，则z=2x ﹣3y 的取值范围是 ．（答案用区间表示）
参考答案：
（3，8）
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件
画出满
足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，再根据最值给出目标函数的取值范围．
【解答】解：画出不等式组表示的可行域如下图示：
在可行域内平移直线z=2x ﹣3y ，
当直线经过x ﹣y=2与x+y=4的交点A （3，1）时， 目标函数有最小值z=2×3﹣3×1=3；
当直线经过x+y=﹣1与x ﹣y=3的交点B （1，﹣2）时， 目标函数有最大值z=2×1+3×2=8． z=2x ﹣3y 的取值范围是（3，8）． 故答案为：（3，8）．
17. 过抛物线
的焦点作直线交抛物线于
两点，若
，则抛物线方程是
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题16分)已知函数是偶函数.
(1)求的值；
(2)设函数其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取
值范围.
参考答案：
(1)由题意
对任意
恒成立，即恒成立，即
恒成立，即
对任意
恒成立，
(7)
分
(2)
，得定义域为
.因为函数
与
的图象有且只有一个交点，方
程
在
上只有一解.
即方程
在
上只有一解.
令
，则方程
(*)在
上只有一解……………..9分
记，对称轴
①当时，，不合题意；②当时，对称轴，在上
递减，且，(*)在上无解；③当时，对称轴
，只需
，此恒成立,.
综上
………………16分 （其它解法酌情给分）
19. 设锐角三角形的内角、、的对边分别为，且。

（1）求的大小；
（2）若，且的面积为，求的值。

参考答案：
略
20. 定义：设分别为曲线和上的点，把两点距离的最小值称为曲线到的距离．
（1）求曲线到直线的距离；
（2）若曲线到直线的距离为，求实数的值；
（3）求圆到曲线的距离．
参考答案：
解（1）设曲线的点，则，所以曲线到直线的距离为．
（2）由题意，得，．
（3）因为，所以曲线是中心在的双曲线的一支．
如图，由图形的对称性知，当、是直线和圆、双曲线的交点时，有最小值．此时，解方程组得，于是，所以圆到曲线的距离为．
略
21. 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．
(1)计算甲班的样本方差；
(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
参考答案：
22. 设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数，
是使得不等式成立的所有中的最小值.
（1）若，求；
（2）若，求数列的前项和；
（3）是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范围；如果不存在，请说明理由.
参考答案：
解：（1），由得，
（2），由得，
当时，
当时，
（3）假设存在，由及，得
因，根据题意得：
即对所有都成立
显然和时，不可能，舍去必有
综上得：。