离散数学及其应用第5章-关系模型与理论(下)
离散数学关系-PPT
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
离散数学 (5)
15
一阶逻辑中命题符号化( 一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 注意: 题目中没给个体域, 解 注意 题目中没给个体域 一律用全总个体域 (1) 令F(x): x为正数 G(y): y为负数 L(x,y): x>y 为正数, 为负数, 为正数 为负数 →y(G(y)→L(x,y))) 或 x(F(x)→ → → xy(F(x)∧G(y)→L(x,y)) ∧ → 两者等值 (2) 令F(x): x是无理数 G(y): y是有理数 是无理数, 是有理数, 是无理数 是有理数 L(x,y):x>y : ∧y(G(y)∧L(x,y))) x(F(x)∧ ∧ ∧ 或 xy(F(x)∧G(y)∧L(x,y)) ∧ ∧ 两者等值
6
谓词: 谓词 表示个体词的性质或相互之间关系的词 谓词常项: 谓词常项:表示具体性质或关系的谓词 F: …是人,F(a):a是人 是人, 是人 : 是人 是自然数, G: …是自然数, F(2):2是自然数 是自然数 : 是自然数 谓词变项: 谓词变项:表示抽象的或泛指的谓词 F: …具有性质 ,F(x):x具有性质 具有性质F, 具有性质具有性质 : 具有性质 元数: 元数:谓词中所包含的个体变项个数 一元谓词: 一元谓词 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词 ≥ 元谓词, 多元谓词 元谓词 n≥2): 表示个体词之间的关系 有关系L, 如 L(x,y): x与y有关系 , L(x,y): x比y高2厘米 : 与 有关系 : 比 高 厘米 注意:多元谓词中, 注意:多元谓词中,个体变项的顺序不能随意改动
9
例1(续) 续
(2) 2 是无理数仅当 3 是有理数 2 在命题逻辑中, 是有理数. 在命题逻辑中 设 p: 2 是无理数,q: 33 : 2是无理数, : 是有理数 符号化为 q→p, 这是假命题 → 在一阶逻辑中, x是无理数 是无理数, x是有理 在一阶逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理 数符号化为 F ( ( 22 ) → G (3 )3 ) F ) → G( (3) 如果 如果2>3,则3<4 , 在命题逻辑中, 在命题逻辑中 设 p:2>3,q:3<4. : , : 符号化为 p→q, 这是真命题 → 在一阶逻辑中, 在一阶逻辑中 设 F(x,y):x>y,G(x,y):x<y, : , : 符号化为 F(2,3)→G(3,4) →
离散数学的基本概念与应用
离散数学的基本概念与应用离散数学是数学中的一个分支，研究离散对象和离散结构的数学理论。
与连续数学相对应，离散数学主要关注离散化的问题，如整数、图论、逻辑等。
本文将重点介绍离散数学的基本概念和应用领域。
一、离散数学的基本概念1. 整数论：整数论是离散数学中的一个重要分支，研究整数及其性质。
其中包括最大公约数、最小公倍数、同余关系、剩余类等概念和定理。
这些概念和定理在密码学、编码理论等领域有重要应用。
2. 图论：图论是离散数学的重要分支，研究图以及与图相关的问题。
图是由节点和边构成的数学模型，可以用来描述实际问题中的关系和连接。
图论在计算机科学、网络优化、运筹学等领域有广泛应用。
3. 逻辑：逻辑是数学中研究命题和推理的学科，也是离散数学的重要组成部分。
逻辑中的命题逻辑和谓词逻辑可以用来分析和验证证明过程的正确性。
逻辑在人工智能、计算机科学等领域有广泛应用。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，研究离散结构的组合性质和计数问题。
它包括排列组合、图的着色、树的计数等内容，广泛应用于密码学、信息论、统计学等领域。
二、离散数学的应用领域1. 计算机科学：离散数学在计算机科学中有广泛并且重要的应用。
例如，图论可以用来研究网络拓扑结构、路径规划等问题；逻辑可以用于编程语言的设计和验证；组合数学可以用于算法分析和优化等。
2. 信息科学：离散数学在信息科学中也有重要应用。
密码学是其中的一个典型例子，通过利用整数论和组合数学的概念，可以设计出安全可靠的密码算法；信息论中的编码理论也涉及到离散数学的知识。
3. 运筹学与管理科学：离散数学在运筹学和管理科学中有广泛应用。
图论可以用于最优路径规划、网络流等问题；排队论可以用于优化生产调度和资源规划等领域。
4. 统计学与概率论：离散数学的一些概念和方法也被应用于统计学和概率论中。
例如，组合数学可以用于计算组合问题的概率；逻辑可以用于推理和证明的建立等。
结论离散数学作为数学的一个分支，研究离散对象和离散结构的数学理论，具有广泛的应用领域。
离散数学及其应用课后习题答案
离散数学及其应用课后习题答案【篇一：离散数学及其应用(课后习题)】出下列命题是原子命题还是复合命题。
（3）大雁北回，春天来了。
（4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。
（5）张三和李四在吵架。
解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。
习题1.21. 指出下列命题的真值：（1）若2?2?4，则太阳从西方升起。
解：该命题真值为t（因为命题的前件为假）。
（3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。
解：该命题真值为f（如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。
2. 令p：天气好。
q：我去公园。
请将下列命题符号化。
（2）只要天气好，我就去公园。
（3）只有天气好，我才去公园。
（6）天气好，我去公园。
解：（2）p?q。
（3）q?p。
（6）p?q。
习题1.32. 将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示）：（1）我去新华书店（p），仅当我有时间（q）。
（3）只要努力学习（p），成绩就会好的（q）。
（6）我今天进城（p），除非下雨（q）。
（10）人不犯我（p），我不犯人（q）；人若犯我，我必犯人。
解：（1）p?q。
（3）p?q。
（6）?q?p。
（10）(?p??q)?(p?q)。
习题1.41. 写出下列公式的真值表：（2）p?(q?r)。
解：该公式的真值表如下表：2. 证明下列等价公式：（2）(p?q)??(p?q)??(p?q)。
证明：?(p?q)??((p?q)?(?p??q))??(p?q)??(?p??q))??(p?q)?(p?q) ?(p ?q)??(p?q)（4）(p?q)?(p?r)?p?(q?r)。
证明：(p?q)?(p?r)?(?p?q)?(?p?r)??p?(q?r)?p?(q?r)3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲说，不是我。
乙说：是丁。
丙说：是乙。
丁说：不是我。
已知4个人的回答只有一个人符合实际，问成绩最好的是谁？解：设a：甲成绩最好。
b：乙成绩最好。
离散数学模型的应用研究
离散数学模型的应用研究
离散数学是研究离散结构的数学分支，它的主要研究对象包括集合、函数、关系、图论、逻辑等。
离散数学模型是离散数学在各个领域中的应用研究，通过构建合适的离散数学模型，可以进行问题的分析、模拟和优化等。
离散数学模型在实际应用中广泛运用，以下就几个典型的领域进行介绍。
1. 计算机科学中的离散数学模型：离散数学在计算机科学中有广泛的应用。
例如在编译器设计中，通过离散数学模型可以实现代码的优化和自动化生成；在图形学中，离散数学模型可以用于图像的处理和渲染；在密码学中，离散数学模型可以用于设计和分析密码算法等。
2. 运筹学中的离散数学模型：运筹学是研究如何通过数学模型和优化方法来解决决策问题的学科。
离散数学模型在运筹学中有着重要的地位。
例如在物流管理中，可以利用离散数学模型来优化货物的配送路径和资源的利用；在排产问题中，可以使用离散数学模型来优化工厂的生产计划和资源调度等。
3. 社交网络分析中的离散数学模型：社交网络分析是研究社交网络结构和社交行为的学科，离散数学模型在这个领域中有着重要的应用。
例如在社交网络中，可以使用离散数学模型来分析网络的拓扑结构、社群结构和信息传播等；在推荐系统中，离散数学模型可以用于计算用户之间的相似度和预测用户的兴趣等。
离散数学模型在各个领域中都有重要的应用，它能够通过建立合适的模型来分析和解决实际问题，为各个领域的发展和进步做出贡献。
随着科技的进步和应用需求的提升，离散数学模型的研究和应用将会越来越受到重视和关注。
大学_《离散数学》课后习题答案
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
离散数学知识点及其应用
离散数学知识点及其应用1. 集合论- 集合的定义和运算：集合是由一些确定的不同对象组成的整体，集合之间可以进行交、并、差等运算。
集合的定义和运算：集合是由一些确定的不同对象组成的整体，集合之间可以进行交、并、差等运算。
- 集合关系：包括包含关系（子集）、相等关系和互斥关系。
集合关系：包括包含关系（子集）、相等关系和互斥关系。
- 数学归纳法：是一种用于证明关于自然数的性质的重要方法，包括强归纳法和弱归纳法。
数学归纳法：是一种用于证明关于自然数的性质的重要方法，包括强归纳法和弱归纳法。
- 二元关系：描述两个对象之间的关联关系，包括等价关系、偏序关系和关系的复合与逆。
二元关系：描述两个对象之间的关联关系，包括等价关系、偏序关系和关系的复合与逆。
2. 图论- 图的基本概念：包括图的定义、顶点、边、路径、回路等概念。
图的基本概念：包括图的定义、顶点、边、路径、回路等概念。
- 图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。
图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。
- 图的遍历算法：深度优先搜索和广度优先搜索。
图的遍历算法：深度优先搜索和广度优先搜索。
- 最短路径算法：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
最短路径算法：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
- 最小生成树算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
最小生成树算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
3. 布尔代数- 基本运算：包括与、或、非等基本逻辑运算。
基本运算：包括与、或、非等基本逻辑运算。
- 逻辑表达式：利用逻辑运算符表达逻辑关系。
逻辑表达式：利用逻辑运算符表达逻辑关系。
- 逻辑电路：基于布尔代数原理设计的逻辑电路，如与门、或门、非门等。
逻辑电路：基于布尔代数原理设计的逻辑电路，如与门、或门、非门等。
- Karnaugh图：用于简化逻辑表达式的图形方法。
Karnaugh 图：用于简化逻辑表达式的图形方法。
4. 组合数学- 排列和组合：用于计数给定集合的排列和组合的方法。
排列和组合：用于计数给定集合的排列和组合的方法。
离散数学导论(盘) 教学课件 作者 王元元 张桂芸 第五章演示文稿-支持高清浏览
第五章 关 系5.2 关系
5.2.4 关系特性闭包
定理5.17
设R是集合A上任一二元关系，那么 1 如果R是自反的，那么s(R)和t(R)都是自反的。 2 如果R是对称的，那么r(R)和t(R)都是对称的。 3 如果R是传递的，那么r(R)是传递的。
第五章 关
系2. 关系
4.
关系特性闭包
定理5.18
4 称A为R的前域，B为R的陪域。
第五章 关 系5.2 关系
5.2.2 关系的基本运算
定义5.6
称关系R和S相等，如果R与S有相同的
前域和陪域，并且 x y(xRy xSy)
定义5.7
设R是A到B的关系，R的逆关系或逆 （converse
是B到A的关系，记为R~， 规定为 R~= ｛<y,x> xRy｝
如果R为A上的自反、对称、传递的二元 关系。
第五章 关
系3. 等价关系
1.
等价关系
定义5.12
设R为集合A上的等价关系。对每一a A，
a的等价类（equivalent class），记为[a]R
（或简单地记为[a]），指下列集合
[a]R=｛x x A∧xRa｝ a称为[a]R的代表元素。
第五章 关
特性之一，则R1 R2仍有此性质。 2 自反、反自反、对称性对并运算封闭。 3 反自反、对称、反对称性对差运算封闭。 4 对称性对补运算封闭。 5 五大特性对求逆运算均封闭。 6 自反性对合成运算封闭，其他四大特性对合成运算
均不封闭。
第五章 关 系5.2 关系
5.2.4 关系特性闭包
定义5.10
设R是集合A上二元关系，称R "为R的自反闭包 （对称闭包，传递闭包），如果R"满足： （1）R"是自反（对称的，传递的）。 （2）R R"。 （3）对任意A上关系R"" ，若R""满足（1）和（2）
离散数学及其应用
离散数学及其应用离散数学是数学中的一个重要分支，它研究的是离散对象和离散结构的性质、关系和性质。
与连续数学相对应的是研究连续对象和连续结构的性质的分支。
离散数学的研究对象包括集合、关系、函数、图论等。
一、离散数学的基础概念离散数学的基础概念包括集合、关系和函数等。
1. 集合在离散数学中，集合是指由一些确定的对象组成的整体。
集合的元素可以是任何对象，可以是数字、字母、符号等。
集合可以用大写字母表示，元素可以用小写字母表示。
离散数学中的集合概念与日常生活中的集合概念相似，但具有更严谨的定义和性质。
2. 关系关系是指集合之间元素之间的联系和关联。
在离散数学中，关系可以分为多种类型，如等价关系、偏序关系、全序关系等。
关系可以用集合的元素对表示，比如(A, B)表示集合A和集合B之间存在某种关系。
3. 函数函数是离散数学中的一个重要概念，它描述了两个集合之间元素的对应关系。
函数由定义域、值域和对应关系组成。
在函数中，每个定义域元素对应唯一的值域元素，不同的定义域元素可以对应不同的值域元素。
二、离散数学的应用领域离散数学在计算机科学、电子通信、密码学、图论等领域中有着广泛的应用。
1. 计算机科学离散数学为计算机科学提供了理论基础。
在计算机科学中，离散数学被应用于算法设计、数据结构、数据库设计等方面。
离散数学中的图论、集合论以及逻辑等知识对于计算机科学的发展具有重要作用。
2. 电子通信离散数学在电子通信中发挥着重要的作用。
在数据传输中，离散数学中的编码与解码技术被广泛应用，用于保障数据的可靠传输和安全性。
此外，离散数学中的网络流理论等概念也为电子通信的设计和优化提供了数学工具。
3. 密码学密码学是离散数学的一个重要应用领域。
离散数学中的数论、群论等知识被应用于密码学算法的设计和分析。
密码学的目标是保护信息的机密性、完整性和可用性。
离散数学中的密码学概念和技术为信息安全提供了理论基础。
4. 图论图论是离散数学的一个重要分支，它研究的是由节点和边组成的图的性质和关系。
离散数学中的关系发展及其应用简介
一、离散数学中的关系发展离散数学是数学的一个分支，它研究离散对象和离散结构。
在离散数学中，关系是一个非常重要的概念。
关系是集合之间元素之间的某种对应关系。
通过对关系的研究，可以揭示出集合间的密切通联和规律，对于解决实际问题有着重要的应用价值。
1. 关系的起源关系的概念最早可以追溯到19世纪，当时的数学家们开始研究集合的性质和元素之间的通联。
而关系正是从这种研究中产生的，它描述了一个或多个集合中元素之间的某种通联，帮助人们理解集合之间的通联和结构。
2. 关系的分类根据研究的对象和性质，关系可以被分为多种类型，常见的有等价关系、偏序关系、全序关系、函数关系等。
不同类型的关系有着不同的性质和特点，在离散数学中有着广泛的应用。
3. 关系的性质关系的性质是关系论研究的核心内容之一。
通过对关系的性质进行分析和研究，可以揭示出集合之间的通联和规律，为解决实际问题提供重要的理论基础。
关系的性质包括传递性、对称性、反对称性等，这些性质对于关系的应用起着重要的作用。
二、关系在离散数学中的应用在现实生活和科学研究中，关系的概念和性质在离散数学中得到了广泛的应用。
下面我们将介绍一些离散数学中关系的应用。
1. 社交网络中的关系在现代社会中，社交网络已经成为人们日常生活的重要组成部分。
而社交网络中的人与人之间的关系，正是离散数学中关系概念的一个重要应用。
通过对社交网络中人际关系的建模和分析，可以揭示出人际之间的通联和规律，对于研究社交网络的结构和特点具有重要意义。
2. 数据库中的关系在数据库中，关系型数据库是一种非常常用的数据库模型。
在关系型数据库中，通过对数据之间的关系进行建模和管理，可以实现数据的高效组织和查询。
关系型数据库模型正是建立在离散数学中关系概念的基础之上，它在企业管理、科研领域等方面有着广泛的应用。
3. 计算机科学中的关系在计算机科学中，关系的概念被应用在各个领域。
例如在算法设计中，通过对数据之间的关系进行分析和建模，可以设计出高效的算法；在人工智能领域，关系的概念也被用于建模和分析复杂问题；在计算机网络中，关系的概念被应用于描述网络拓扑结构等。
离散数学模型的应用研究
离散数学模型的应用研究1. 引言1.1 离散数学模型概述离散数学模型是数学中的一个重要分支，它主要研究离散结构及其相互关系。
离散数学模型通常涉及离散对象、关系、函数和算法等内容，与连续数学相比，离散数学更加注重离散性问题的研究。
离散数学模型在计算机科学、信息技术、工程学等领域有着广泛的应用，可以有效解决复杂系统的建模和分析问题。
离散数学模型的研究对象包括但不限于图论、集合论、布尔代数、概率论等，这些离散数学工具在不同领域的应用也得到了广泛的关注。
通过离散数学模型，可以对于各种复杂系统进行建模与分析，为问题的求解提供了有效的数学工具。
离散数学模型是一种重要的数学工具，它与现代科学技术密切相关，对于推动科学技术的发展具有重要意义。
在本文接下来的内容中，将会具体探讨离散数学模型在不同领域的应用及其研究意义。
1.2 研究背景离散数学作为数学的一个分支，主要研究离散性的结构和关系。
其研究对象包括集合、图、逻辑、代数等等。
离散数学模型在现代科学技术领域有着广泛的应用，特别是在计算机科学、通信、密码学、人工智能等领域。
随着信息技术的快速发展和应用，离散数学模型的重要性日益凸显。
以图论为例，在社交网络分析中，研究人员可以利用图论的基本概念和算法来分析社交网络中的关系、密度、传播路径等信息，从而揭示社会群体的结构特征和信息传播规律。
布尔代数在逻辑电路设计中也有着重要的应用。
逻辑电路作为计算机硬件的基本组成部分，布尔代数可以帮助工程师设计出高效、可靠的逻辑电路，提高计算机的工作效率和性能。
离散数学模型的研究背景可以追溯到数学的发展史，并且随着现代科技的不断进步，其在各个领域的应用也越来越广泛。
深入研究离散数学模型的应用具有重要的理论和实践意义。
1.3 研究意义离散数学模型作为数学领域的一个重要分支，具有广泛的应用价值。
研究离散数学模型的意义在于其对实际问题的建模与解决提供了有效的方法和工具。
通过离散数学模型，我们能够对现实生活中的复杂问题进行抽象和形式化，从而进行系统性的分析和研究。
离散数学模型的应用研究
离散数学模型的应用研究离散数学模型是数学中一门重要的学科，它以离散的数学结构作为研究对象，主要包括集合论、图论、布尔代数、组合数学等内容。
离散数学模型的研究不仅在数学理论中有重要意义，还在实际应用中发挥着重要的作用。
离散数学模型在计算机科学和信息技术领域有广泛的应用。
图论是研究离散图结构和图的性质的学科，它在计算机科学中有着重要地位。
图论的应用包括：网络路由算法、社交网络分析、计算机网络优化、排列组合算法等。
网络路由算法就是通过图论的相关算法来确定数据在网络中的传输路径，以实现网络中数据的高效传输。
布尔代数是一种基于逻辑运算的数学结构，它在计算机科学中的应用非常广泛。
布尔代数的运算规则被应用于逻辑电路设计、计算机编程、数据库查询优化等领域。
在逻辑电路设计中，布尔代数可以用来描述逻辑门的运算规则，从而实现电路的功能。
在计算机编程中，布尔代数可以用来表达程序中的逻辑判断条件，以实现程序的控制逻辑。
组合数学是研究离散结构中的组合关系的一门学科，它在实际应用中具有重要的意义。
组合数学的应用包括：密码学、图像处理、组合优化等。
在密码学中，组合数学的知识被用于设计和分析密码算法，以确保密码的安全性。
在图像处理中，组合数学的方法可以用于图像的压缩和编码等处理。
在组合优化中，组合数学被应用于求解最优化问题，例如旅行商问题、背包问题等。
离散数学模型还广泛应用于通信工程、运筹学、金融工程等领域。
在通信工程中，离散数学模型被应用于设计和优化通信系统的结构和性能。
在运筹学中，离散数学模型被用来建立和求解优化问题，例如资源分配、路径规划等。
在金融工程中，离散数学模型被用于描述和分析金融市场中的离散变化和波动。
离散数学模型的应用研究在实际领域中具有广泛的应用价值。
通过离散数学模型的研究，可以为各个领域提供有效的分析和解决问题的方法，促进相关领域的发展和进步。
第五章 离散模型
⑶
p11 0.8, p12 0.2, p21 0.7, p22 0.3,
再由于投保人处于健康状态，即 0 1 1, 0 2 0. 由此得到
n
0
1
2
3
4
n 1 1 0.8 0.78 0.778 0.7778 7 / 9. n 2 0 0.2 0.22 0.222 0.2222 2 / 9
x, y x y 1, 2.
y
2 1
o
1
2
3
x
在上图中, 实点即表示为容许状态的集合. 乘船的方案称为决策，仍然用向量
x, y 来表示，
即 x名商人和 y 名随从同坐一条船. 在这些决策中, 有
是符合条件的，称为容许决策。容许决策的全体组成集 合构成容许决策的集合，记为 D. 在这个问题中，容许决策的集合为
若投保人在开始时处于疾病状态，即0 1 0, 0 2 1. 则有
n
0
1
2
3
4
n 1 0 0.7 0.77 0.777 0.7777 7 / 9. n 2 1 0.3 0.23 0.223 0.2223 2 / 9
从两张表中可以看到，无论投保人在初始时处于什么 状态，当时间趋于无穷大时，该时刻的状态趋于稳定， 且与初始值无关。即
9
10 11 12
2, 2 0, 2 0,3 0,1 0, 2 0,0
2,0 0,1 0, 2 0,1 0, 2
分析
从上表中可以看到，该方案是可行的。
二、马氏链及其应用
1.一个简单的例子 我们知道，人寿保险公司最为关心的是投保人的健康
离散数学与数据库：关系代数和关系模型
离散数学是计算机科学中的一门基础学科，它研究离散结构和离散对象之间的关系，包括逻辑、集合论、图论和关系论等内容。
而数据库则是计算机科学中的另一个重要领域，它用于存储、管理和处理大量结构化数据，以支持各种数据操作需求。
离散数学与数据库之间的关系代数和关系模型有着密切的联系。
关系代数是一种用于描述和操作关系的形式化语言，它提供了一组基本运算符，如选择、投影、并集、交集和差集等，以及一些衍生运算符，如自然连接、除法和笛卡尔积等。
通过这些运算符，可以实现对关系数据的增删改查操作，进而实现数据库的各种功能。
在关系模型中，数据被组织为一个或多个关系表，每个表包含若干行和若干列，其中每一行表示一个记录，每一列表示一个属性。
关系模型通过定义表之间的关系来描述数据之间的联系，其中最常用的关系是主键和外键的关系。
主键是唯一标识一个表中记录的属性，而外键则是一个表中的属性，它引用了同一个表或其他表中的主键。
通过主键和外键，可以在不同的表之间建立关联关系，实现数据的一致性和完整性。
关系代数和关系模型是数据库系统中的核心概念。
关系代数提供了一套操作关系的规则，通过这些规则可以实现数据库的完整性约束、数据一致性和安全性。
关系模型则提供了一种组织和管理数据的方式，通过表之间的关联关系，可以实现数据的查询、更新和删除操作。
在实际应用中，离散数学和数据库扮演着不可或缺的角色。
离散数学提供了基础的逻辑和推理工具，用于验证数据库系统的正确性和有效性。
通过使用离散数学中的逻辑规则，可以验证数据库中的查询和操作的正确性。
而数据库则提供了一个实际应用场景，使得离散数学的概念和原理可以得以应用和验证。
总结来说，离散数学和数据库是相辅相成的，离散数学提供了数据库系统中的关系代数和关系模型的理论基础，而数据库则为离散数学提供了实际的应用场景。
通过深入理解和应用离散数学与数据库之间的关系代数和关系模型，我们可以更好地理解和运用数据库系统，提高数据的处理和管理效率。
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》课件一、引言1. 课程介绍离散数学的概念：研究离散结构及其相互关系的数学分支课程目标：培养学生掌握离散数学的基本概念、原理和方法，提高解决问题的能力2. 课程内容离散数学的主要内容：集合论、图论、逻辑、组合数学、数理逻辑等各章节安排：第一章：集合论第二章：图论第三章：逻辑与数理逻辑第四章：组合数学第五章：算法与复杂性二、集合论1. 集合的基本概念集合的定义：由不同元素构成的整体集合的表示方法：列举法、描述法、区间表示法等2. 集合的关系子集、真子集、非空子集的定义与性质集合的幂集及其性质3. 集合的运算并、交、补集的定义与运算规律集合的德摩根定理4. 应用实例集合的表示与运算在计算机科学中的应用集合论在图论、逻辑等领域中的应用三、图论1. 图的基本概念图的定义：由顶点集合和边集合构成的数学结构图的表示方法：邻接表、邻接矩阵等2. 图的性质与分类无向图、有向图、weighted 图的定义与特点连通性、路径、圈的概念及性质3. 图的算法深度优先搜索（DFS）与广度优先搜索（BFS）算法最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法最小树算法：Prim算法、Kruskal算法4. 应用实例图论在网络优化、社交网络、交通规划等领域中的应用图论在计算机科学中的重要作用，如图灵机、网络流等四、逻辑与数理逻辑1. 命题逻辑命题与命题联结词的概念逻辑推理规则：蕴含、逆否、德摩根定理等命题逻辑的等值转换与推理2. 谓词逻辑量词：全称量词、存在量词谓词与谓词联结词：合取、析取、非、蕴含等谓词逻辑的等值转换与推理3. 数理逻辑公理化逻辑：ZF公理体系形式演算：命题演算、谓词演算逻辑电路与布尔代数4. 应用实例逻辑在计算机科学中的应用：逻辑门、逻辑电路、计算机网络中的协议等数理逻辑在数学基础研究中的应用五、组合数学1. 组合数学的基本概念组合与排列的概念及其区别组合数的计算公式：二项式定理、组合恒等式等2. 组合计数原理鸽巢原理、包含-排除原理、函数等计数方法3. 图的着色问题顶点着色、边着色及其相关性质着色问题的算法及其复杂性分析4. 应用实例组合数学在计算机科学中的应用：算法设计、数据结构等组合数学在其他领域中的应用，如运筹学、统计学等六、算法与复杂性1. 算法的基本概念算法的定义：解决特定问题的步骤序列算法的特性：输入、输出、确定性、有穷性2. 算法设计技巧贪心算法、动态规划、分治法、回溯法等设计方法递归算法的概念与实现3. 算法分析与评价时间复杂度分析：大O符号、主定理等空间复杂度分析算法的效率与优化4. 应用实例排序算法：冒泡排序、快速排序、归并排序等搜索算法：线性搜索、二分搜索等算法在实际问题中的应用案例七、数理逻辑与集合论的应用1. 数理逻辑在计算机科学中的应用形式语言与自动机理论编译原理中的逻辑方法程序正确性证明2. 集合论在计算机科学中的应用数据结构：集合、映射、函数等数据库理论：关系模型、SQL语言等计算复杂性理论：问题的可计算性分析3. 应用实例计算机网络中的逻辑运算与协议设计软件工程中的需求分析与规格说明中的知识表示与推理八、图论的应用1. 社会网络分析社交网络中的图模型网络中心性指标：度中心性、介数中心性等社群发现与网络演化分析2. 网络流与最优化问题最大流与最小费用流问题匹配问题与网络设计运输问题与物流优化3. 应用实例交通网络中的路径规划与拥堵分析电信网络中的资源分配与调度生物信息学中的基因调控网络分析九、组合数学的应用1. 组合设计拉丁方、Steiner系统、区块设计等组合设计组合设计在编码理论、通信系统中的应用2. 排列组合在概率论中的应用随机事件的概率计算条件概率与贝叶斯定理随机过程的基本概念3. 应用实例彩票号码组合与概率分析统计学中的样本设计运筹学中的排程与调度问题十、总结与展望1. 离散数学在计算机科学中的重要性离散数学作为计算机科学基础的必要性离散数学在各个领域的应用趋势2. 离散数学的发展与挑战离散数学的新兴研究领域离散数学在理论与应用之间的桥梁作用3. 离散数学的未来方向离散数学在、大数据、云计算等领域的融合与应用离散数学教育与研究的挑战与机遇重点和难点解析一、集合论1. 集合的基本概念与表示方法：理解集合的定义及其表示方法是离散数学的基础。
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计算机应用技术研究所
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Байду номын сангаас
关系的基本性质
☺ 关系的自反与反自反 关系的对称与反对称 关系的传递性 关系性质的判定
自反与反自反
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例题
2020/3/7
例题
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例题
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例题
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例题
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小结
2020/3/7
关系性质的判断
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关系性质的判断
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关系性质的判断
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关系性质的判定
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关系性质的判定
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关系性质的判定
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例题
【例题】试举例说明下列事实： R和S是反自反、反对称和传递的，但是R∘S不一定具有反自反性和反
离散数学
Discrete Mathematics
汪荣贵 教授
合肥工业大学计算机与信息学院
20210/3/7
计算机应用技术研究所
1
第5章 关系模型与理论 (下)
2020/3/7
计算机应用技术研究所
2
本章学习内容
3
关系的基本性质
4
关系的性质闭包
5
关系模型的应用
2020/3/7
关系的基本性质
2020/3/7
2020/3/7
例题
【解】图b的关系是反自反的，因为每个顶点都没有自环 ；是反对称的，因为两条边都是单向边；是传递的，因为 不存在顶a,b,c∈{1,2,3}，使得a到b有边，b到c有边，但 a到c没有边. 同理可知，图c的关系是自反的、反对称的 ，但不是传递的.
2020/3/7
例题
【例题】设A={1,2,3,4,6,12}，A上的整除关系记为R，则R是自反的、 对称的、反自反的、反对称的、传递的吗？画出A中关系R的关系. 【解】关系R是A中的关系，所以它的关系图如下图所示. 从图中容易看出，R是自反、反对称和传递的，不是反自反的，也不是 对称的. 容易验证，一般正整数集合中整除关系都具有自反性、反对称性、传递 性，而不具有反自反性和对称性.
关系的基本性质
关系的自反与反自反 ☺ 关系的对称与反对称 关系的传递性 关系性质的判定
对称与反对称
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例题
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例题
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例题
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例题
【例题】试判断下列关系是否具有对称性和反对称性. （1）对任意集合A，其幂集Q（A）上的包含关系； （2）整数集Z上的整除关系. 【分析】（1）当两个集合不相等时，如果有其中一个集合包 含于另一个，则反过来必然没有包含关系，故有反对称性但没 有对称性；（2）当整数a和整数b不等时，若a整除b，则必有b 不能整除a，故有反对称性但没有对称性. 【解】对任意集合A，其幂集P(A)上的包含关系具有反对称性 ；整数集Z上的整除关系具有反对称性.
对称性；R∪S不一定具有反对称性和传递性； 【解】设A={1,2,3}，R和S是定义在A上的两个关系： R={〈1,2〉,〈2,3〉,〈1,3〉}； S={〈3,2〉,〈3,1〉,〈2,1〉} 显然R，S都是反自反的、反对称和传递的. 但 R∘S={〈1,1〉,〈2,2〉,〈2,1〉,〈1,2〉}不具有反自反性和反对称性； R∪S={〈1,2〉,〈2,3〉,〈1,3〉,〈3,2〉,〈3,1〉,〈2,1〉}不具有反对称性和传递性.
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关系的基本性质
关系的自反与反自反 关系的对称与反对称 ☺ 关系的传递性 关系性质的判定
传递性的定义
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例题
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例题
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例题
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小结
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关系的基本性质
关系的自反与反自反 关系的对称与反对称 关系的传递性 ☺ 关系性质的判定
2020/3/7
例题
【例题】试判断下图关系的性质 【解】图a的关系在集合{1,2,3}上是对称的，因为结点1与2，1与3之间的 有向边是成对出现且方向相反；因为有的点有自环，有的点没有自环，故 不是自反的，也不是反自反的；因为〈2,1〉∈R，〈1,3〉∈R，若是传递关系， 必有〈2,3〉∈R. 然而结点2没有一条指向结点3的有向边，故不是传递的；因 为〈2,1〉∈R且〈1,2〉∈R，但 1≠2，故不是反对称的.
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例题
【例题】试举例说明下列事实： R和S是自反、对称和传递的，但是R∘S不一定具有对称性和传递性；R-S不一
定具有自反性和传递性. 【解】设A={1,2,3}，R和S是定义在A上的两个关系： R={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉,〈1,2〉,〈2,1〉}； S={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,2〉,〈2,3〉}显然R，S都是 自反、对称和传递的. 但是： R∘S={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉,〈2,3〉,〈3,2〉〈1,2〉,〈2,1〉,〈1,3〉}不具有对称性和传递性； R-S={〈1,2〉,〈2,1〉}不具有自反性和传递性.
关系闭包的概念
2020/3/7
构造方法
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
构造方法
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
【例题】设集合A={1,2,3,4}，R是A上的关系，且有： R={〈1,2〉,〈2,2〉,〈3,4〉}. 试画出R的关系图，并根据关系图求出 r(R)，s(R)和t(R). 【解】R的关系图如左图所示. 从关系图上看，如果每个结点都 有自环，那么该关系就具有自反性. 故可在R的关系图的结点1 ，3和4处添加自环，即得到r(R)的关系图，如右图所示，故有 ：r(R)={〈1,2〉,〈2,2〉,〈2,3〉,〈3,4〉,〈1,1〉,〈3,3〉,〈4,4〉}.
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例题
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例题
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本章学习内容
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关系的基本性质
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关系的性质闭包
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关系模型的应用
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关系的性质闭包
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计算机应用技术研究所
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关系的闭包运算
☺ 关系闭包的概念 传递闭包的构造 关系闭包的性质