大学高等数学第一章函数(习题精讲)

第1章 函 数

§1.1 函数的概念与性质

1. 绝对值与不等式（0>a ，0b >）

（1）x x x -≤≤；x y x y x y -≤±≤+ （2

）

2112

a b

a b

+≤≤

+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值） 一般地，

12212

111n

n n n

x x x n x n

x x x ++

+≤≤

+++

（3）{}max ,22a b a b a b -+=

+；{}min ,22

a b

a b a b -+=- 2. 函数概念与性质

对变量D x ∈的每一个确定值，变量y 按某确定规则f ，都有且只有一确定值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为()y f x =，D x ∈。

注意：定义域D 和对应规则f 是函数相等的两要素。 （1）无关性 ()()y f x f t == D t x ∈, （2）单调性 1212,,x x I x x ∀∈<

1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ≤⇒

⎧⎨

≥⇒

⎩单调递增单调递减

；1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x <⇒⎧⎨

>⇒

⎩严格单增严格单减

（3）奇偶性 ()()()()()()f x f x f x y f x f x f x -=⇒⎧⎨

-=-⇒

⎩为偶函数，对称于轴为奇函数，对称于原点

注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。

（4）周期性 若()()f x T f x +=，0T >，则称为)(x f 的周期。

（5）有界性 若D x ∈∀，M x f ≤)(，()0>M ，则称)(x f 在D 上有界。 常用有界函数：sin 1x ≤，cos 1x ≤，(,)-∞+∞；

arcsin 2

x π

≤

，arccos x π≤，[]1,1-；arctan 2

x π

<

，arccot x π<，(,)-∞+∞

3. 复合函数

设)(u f y =的定义域为f D ，)(x u ϕ=的值域为ϕZ ，且Φ≠ϕZ D f （空集），则称

[])(x f y ϕ=为x 的复合函数。

4. 反函数 设1

()

()f f f

f

y f x D Z y f x Z D -=⎧⎪⎨

=⎪⎩定义域为值域为定义域为值域为

注意：正反函数的图形对称于直线x y =；严格单调函数必有反函数；

1

()f f x x -⎡⎤=⎣⎦

()f x f x Z ∈的；[]1()f f x x -= ()f x f x D ∈的 5. 初等函数

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合而成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。

基本初等函数：幂函数μ

x y =（μ为实数）；指数函数x

a y =（0>a ，1≠a ）；对数

函数x y a log =（0>a ，1≠a ）；三角函数x y sin =，x cos ，x tan ，x cot ，x sec ，x csc ；反三角函数x y arcsin =，x arccos ，x arctan ，x arc cot .

６. 分段函数与幂指函数

分段函数一般不属于初等函数，因为一般在其定义域内不能用一个解析式表示； 幂指函数x

y x =一般不属于初等函数，因为它无法用初等函数复合而成；但若规定

0x >，则ln x x x y x e ==，是初等函数。

§1.2 典型例题解析

例3 已知不等式211x x +>-，用区间表示不等式的解集 分析 解此不等式应先去掉绝对值符号，由于1

2

x =-，1x =分别为21x +，1x -的零值点，于是将区间划分为1(,)2-∞-，1

[,1]2

-，(1,)+∞，再考虑各小区间x 的取值范围及端点，最后综合得出结论。

解法1 1211(,)21211211(,1)2211(1,)x x x x x x x x ⎧-->--∞-⎪⎪⎪+>-=+>--⎨⎪+>-+∞⎪⎪⎩12(,)210(,1)22(1,)x x x ⎧

<--∞-⎪⎪

⎪

=>-⎨⎪

>-+∞⎪⎪⎩

⇒ (,2)(0,)x ∈-∞-+∞

解法2 2

2

(21)(1)x x +>- ⇒ (2)0x x +> ⇒ (,2)

(0,)x ∈-∞-+∞

1. 函数定义域的求法

解题思路

（1）分式的分母0≠，对数的真数0>，偶次方根下的表达式0≥，反正弦、反余弦号内的表达式绝对值1≤；

（2）复合函数的定义域=简单函数的定义域所构成的不等式组的解集。 例4 求下列函数的定义域

（1

）1arcsin

4x

y -=+； 解 21141lg(2)020340

x

x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪

--≥⎨⎪->⎪--≠⎪⎩ ⇒

35

1221;4

x x x x x -≤≤⎧⎪≤⎪

⎨

>⎪⎪≠-≠⎩ ⇒ (](2,4)4,5

（2）已知()f x 的定义域是[]0,1，试求()()f x a f x a ++- (0)a >的定义域 解 ()f x a +的定义域：01x a ≤+≤ ⇒ 1a x a -≤≤-

()f x a -的定义域：01x a ≤-≤ ⇒ 1a x a ≤≤+； ()()f x a f x a ++-的定义域：[]

[],1,1x a a a a ∈--+

当1a a -<，12a >

时，定义域为空集；当1a a -≥，1

2

a ≤时，定义域为[],1a a -；故取交集定义域为[],1a a -

2. 函数解析式的求法

解题思路

（1）将已知变量凑成与()f 内的中间变量一致的形式，利用函数的无关特性求解； （2）对()f 内作变量代换，再利用无关特性与原方程联立求解。