浅谈构造辅助圆解决点的问题

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中考复习讲义：三种构造辅助圆解题的模型

中考热点:三种构造辅助圆解题的模型一、问题导读“圆”是一个完美的图形，在初中数学中具有丰富内容，其中大部分是与角度相关性质，如在圆周角中能轻易找到，等角和直角并与圆心角联系也比较紧密，通过在图形中构造辅助圆往往能获得意想不到的效果，如果题目中出现了以下条件：三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆；同一侧有相等的角，或者需要构造出相等的角时，作辅助圆；若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．在这些情况下，借助圆去解决一些问题都是非常好的一个选择，下面举例说明这三种构造辅助圆解题的模型应用。

二、典例精析类型1 根据共端点等线段模型，根据圆的定义构造圆1.如图，已知OA＝OB＝OC，且∠AOB＝k∠BOC，则∠ACB是∠BAC的（）A．k/2倍 B．k倍 C．2k D．1/k【分析】由OA＝OB＝OC，得到A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，则∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，而∠AOB＝k∠BOC，即可得到∠ACB＝k∠BAC．【解答】∵OA＝OB＝OC，∴A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，如图，∴∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，而∠AOB＝k∠BOC，即2∠ACB＝k2∠BAC，∴∠ACB＝k∠BAC．故选：B．2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．【解答】如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴由勾股定理可求得AB＝10，由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴AF/AB=DF/BC，即4/10=DF/8，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：B．3.如图2所示,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC的度数为____度【解析】∵AB＝BC＝BD，得到A，C，D在以B为圆心的同一个圆上，∴∠ACD=1/2∠ABD, ∠DAC=1/2∠DBC,∵∠ABC=∠ABD +∠DBC =80°,∴∠ACD+∠DAC=1/2∠ABD+1/2∠DBC=1/2(∠ABD+∠DBC)= 1/2×80°=40°,∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣40°＝140°．故答案为：140．4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝度，∠DBC＝_____度．【解析】法一：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，∵∠BAC＝25°，∴∠BDC＝1/2∠BAC＝12.5°，∵∠CAD＝75°，∴∠DBC＝1/2∠CAD＝37.5°．故答案为：12.5，37.5．法二：∵AB＝AC＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∠ACB＝∠ABC，∠ADC＝∠ACD，∵∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，∴∠ACB＝（180°﹣25°）÷2＝77.5°，∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝100°，∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°，∴∠ADB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝52.5°﹣40°＝12.5°，∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝52.5°+77.5°＝130°，∴∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠BDC＝180°﹣130°﹣12.5°＝37.5°．∴∠BDC＝12.5°，∠DBC＝37.5°．类型2 直角模型，依据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外接圆解题5. 如图所示，矩形ABCG与矩形CDEF全等，点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使得∠APE为直角的点P的个数是_____个．【分析】∵∠APE的顶点P在线段BD上移动，且∠APE为直角，∴点P也在以AE为直径的⊙O的圆上运动；∴以AE为直径作⊙O，⊙O与BD的交点即为所求．【解答】∵点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，∠APE为直角，∴点P在以AE为直径的⊙O的圆上运动，∴点P就是⊙O与BD的交点，由图示知，BD与⊙O有2个交点．故答案为：2．【点评】本题主要考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角．解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想．6. 已知：如图，直尺的宽度为2，A、B两点在直尺的一条边上，AB＝6，C、D两点在直尺的另一条边上．若∠ACB＝∠ADB＝90°，则C、D两点之间的距离为_____．【分析】由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得A，B，C，D 在以AB为直径的圆上，C，D即是此圆与直尺的交点，设E为AB中点，可得EC是半径为3，然后作EF⊥CD交CD于F，根据垂径定理可得：CD＝2CF，然后由勾股定理求得CF的长，继而求得答案．【解答】设E为AB中点，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴A，B，C，D在以AB为直径的圆上，连接DE，CE，则CE＝DE＝1/2AB＝3，作EF⊥CD交CD于F，∴CD＝2CF，∵AB∥CD，∴EF＝2，在Rt△CFE和Rt△DFE中，CF＝√5，∴CD＝2√5．故答案为：2√5．【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等知识．此题拿度适中，解题的关键是由∠ACB＝∠ADB＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，得到A，B，C，D 在以AB为直径的圆上．7. 已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．【分析】（1）根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段CP的长，只需根据勾股定理求得AB的长．（2）若PQ与AC不平行，则要使△CPQ成为直角三角形．只需保证∠CPQ＝90°．根据直径所对的圆周角是直角，则分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切；二是半圆和AB相交．首先求得相切时CQ的值，即可进一步求得相交时CQ 的范围．【解答】（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13；∵Q是BC的中点，∴CQ＝QB；又∵PQ∥AC，∴AP＝PB，即P是AB的中点，∴Rt△ABC中，CP＝13/2．（2）当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．以CQ为直径作半圆D，①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM，则DM⊥AB，且AC＝AM＝5，∴MB＝AB﹣AM＝13﹣5＝8；设CD＝x，则DM＝x，DB＝12﹣x；在Rt△DMB中，DB＝DM+MB，即（12﹣x）＝x+8，解之得x＝10/3，∴CQ＝2x＝20/3；即当CQ＝20/3且点P运动到切点M位置时，△CPQ为直角三角形．②当20/3＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形③当0＜CQ＜20/3时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形．∴当20/3≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．8.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax+bx-2过点A,B,顶点为C,点P(m,n)为抛物线上一点,其中n<0.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围.【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再利用x＝0得出y的值即可得出C点坐标．（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，进而得出m的取值范围；]解:(1) （1）∵抛物线y＝ax+bx﹣2（a≠0）过点A，B，∴a-b-2=0, 16a+4b-2=0，解得：a=1/2, b=-3/2，∴抛物线的解析式为：y＝1/2x﹣3/2x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，﹣2）；(2)∵A(-1,0),B(4,0),抛物线与y轴的交点D的坐标为(0,-2),如图，抛物线的对称轴与x轴的交点为M(3/2,0),∵AD=1+2=5,AB=(4+1) =25,BD=4+2=16+4=20,则AD+BD=AB,由勾股定理的逆定理,知△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,以M为圆心,以MA为半径作圆,则☉M经过点D,则☉M内抛物线上的所有的点都可以是P点,且使∠APB为钝角,根据抛物线及圆的对称性,☉M与抛物线的另一个交点坐标为(3,-2),则满足条件的m的取值范围为:-1<m<0或3<m<4.类型3 四点共圆模型(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆；(2)动点对定线段所张的角为定值.9. 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标________．【解析】当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的∠APB最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解．当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作CD⊥y轴，连接CP、CB．∵A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），10. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为_____．【分析】如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．注意点C有两个．【解答】设线段BA的中点为E，∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB＝10，E（﹣1，0）．（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP＝1/2AB＝5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5√2；以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA＝1/2∠BPA＝45°，即则点C即为所求．过点P作PF⊥y轴于点F，则OF＝PE＝5，PF＝1，在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝5√2，由勾股定理得：CF＝7，∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，∴点C坐标为（0，12）；（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）．综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．故答案为：（0，12）或（0，﹣12）．【点评】本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．11. 已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，D是边AB上一中点，将△CAD绕C逆时针向旋α得到△CEF，其点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．DF与AE交于点M；当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为______．【分析】先证明A、D、M、C四点共圆，得到∠CMF＝∠CAD＝45°，即可推出点M在以AC 为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题．【解答】∵CA＝CE，CD＝CF，∴∠CAE＝∠CEA，∠CDF＝∠CFD∵∠ACD＝∠ECF，∴∠ACE＝∠DCF，∵2∠CAE+∠ACE＝180°，2∠CDF+∠DCF＝180°，∴∠CAE＝∠CDF，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF＝∠CAD＝45°，∴∠CMD＝180°﹣∠CMF＝135°．（补充：不用四点共圆的方法：由△OAC∽△ODM，推出△AOD∽△COM，推出∠OCM＝∠OAD，即可证明∠CMF＝∠CDM+∠DCM＝∠CAO+∠OAD＝∠CAD＝45°）∵O是AC中点，连接OD、CM．∵AD＝DB，CA＝CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题．三、总结提升圆是我们初中阶段学习的唯一一个曲线图形，除了它本身的基本性质和计算常被考察到以外，还可以用作辅助线。

精心构造辅助圆,解决问题少困难

精心构造辅助圆解决问题少困难圆是几何中具有美学价值的一种图形，不仅曲线光滑圆润，美丽迷人，是美好象征的化身，而且几何性质众多，在解决诸多数学问题中，显示出非常重要的作用，有圆的参与，将会使一个比较困难的问题简单起来，所以，在解决一些与圆有关的问题中，要深入挖掘圆的信息，精心构造辅助圆，利用圆的几何性质和圆的方程，发挥出圆的价值，让这些问题迎刃而解，实现“精心构造辅助圆，解决问题少困难”的理想目标.一、利用方程，构造圆在平面上涉及动点轨迹的问题中，直接求解问题比较困难时，可以先考虑建立直角坐标系，特别是有垂直条件与对称条件时，就更要考虑解析法，求出动点的轨迹方程，如果满足圆方程的结构特点，就可以构造圆，让圆的几何性质闪耀光彩，使问题得到解决.例1. （2016届北京西城期末理科）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（）（A ）(0,7)（B ）(4,7)（C ）(0,4)（D ）(5,16)- 图1解：以D 为坐标原点，DC 所在直线建立直角坐标系，设点(,)P x y ，则点(0,4),(6,4)E F ，所以(0,4),=(6-x,4-y)PE x y PF =--，由=PE PF λ⋅得动点P 的轨迹方程是：22(3)(4)9x y λ-+-=+，所以动点P 的轨迹是一个以（3,4）为圆心， 9λ+为半径的圆，所以“在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立”等价于“圆与正方形四条边有且仅有6个不同交点”，当且仅当3913λ<+<，解得：04λ<<，所以选C.评析：通过解析法揭穿了动点P 的几何意义，为实现问题的转化起到了桥梁作用，通过几何背景的分析，抽象代数特征，促使问题圆满解决，其间，由代数方程，构造了一个圆，将原问题转化为直线与圆的位置关系讨论，从而建立起了不等式，实现了向量问题坐标化，几何问题代数化的转化目标.从而减少了解题的困难程度. 例2.直线:(2)l y k x =+与曲线2:465C y x x =----有且仅有两个不同公共点.求实数k 的取值范围.解：由曲线2:465C y x x =----的方程可以构造出半圆：22(3)(+4)4x y -+=且4y ≤-. E FD P C A BE FD P C A B x y 图2如图所示：要使直线l 与曲线C 有且仅有2个公共点，则需AB AC k k k <≤其中AB 为半圆的切线，(1,4)C -，半圆的圆心到直线:(2)l y k x =+的距离是2342202372,211k kd k k ++-±==⇒=+由图可知：20237=21AB k --，43AC k =- 所以实数k 的取值范围是202374(,]213--- 评析：解决本题的关键是由曲线C 的方程构造半圆，然后由图形抽象代数条件，完全回避了探究较复杂的一元二次方程在区间[1,5]上有两个不等实根的条件.所以在解决解析几何的问题时，一定要分析曲线方程的结构特点，抓住构造几何图形的机会，将会让图形闪耀光辉.相关问题：1.（2019届北京昌平区高三上期末理科）设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（） BA ．B ．C ．5D ．8 2.（2019届北京西城区高三上期末理科）设双曲线22: 13y C x -=的左焦点为F ，右顶点为A . 若在双曲线C 上，有且只有2个不同的点P 使得=PF PA λ⋅成立，则实数λ的取值范围是____．（-2,0）二、利用定义，构造圆圆的定义是：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.即动点满足一定点和一定长的轨迹可以生成圆，在解决问题的过程中，如能构造出这样的几何条件，就可以构造辅助圆，将原问题转化为圆的问题求解，可能使复杂问题简单化.例3. 设直线：，圆，若在圆C 上存在两点，在直线上存在一点M ，使得，则的取值范围是（）A. [18,6]-B. [652,652]-+C. [16,4]-D. [652,652]---+解：考虑极端情形：当,MP MQ 是圆C 的切线时，如果此时的M 点轨迹与直线有公共点，那么对于,MP MQ 不都是圆C 的切线时，都能在直线上存在符合条件的M 点.所以“在圆C 上存在两点，在直线上存在一点M ，使得”等价于“当,MP MQ 是圆C 的切线时，M 点的轨迹与直线有公共点”.而当,MP MQ 是圆C 的切线时，易证：四边形MPCQ 是正方形，所以MC 的长是定值2，且C 为定点，因此，动点M 的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆， C 123l 340x y a 22 (2)2C x y ：,P Q l 90PMQ a l l ,P Q l 90PMQ l AD C B即M 点的轨迹方程是22(2)4x y -+=，直线2164a ≤⇒-≤≤，所以选C.评析：根据极端性原理，抓住几何条件构造点M 的圆轨迹是解决本题的关键，而构造圆的关键在于构造定值（即半径）与配套的定点（即圆心），所以在解决解析几何问题时，要时刻关注定值的出现于定点的出现，特别是在解决有关椭圆、双曲线问题中，要紧扣椭圆、双曲线定义，关注定值的相关信息与定点的相关信息.例4.过点(1,2)P --作圆22:(3)(4)1C x y -+-=的两切线,PA PB ,其中，,A B 为切点，求直线AB 的方程.解：由圆的切线性质可知：=PA PB ，所以由圆的定义可知：,A B 在以PA 为直径，P 为圆心的圆上，=PA PB =于是可得圆P 的方程：22(1)(2)52x y +++=，将圆C 的方程与圆P 的方程相减可得公共弦AB 所在的直线方程为：812710x y +-=评析：本题的解决中利用了等长线段构造辅助圆，从而出现了两圆公共弦的大好时机.具有一个公共定点的等长线段的另一个端点在一个圆上，这就是圆定义的灵活运用，在解决问题中要注意这些信息.相关问题：已知椭圆C: 22143x y +=的左右焦点分别是12,F F ,点P 是椭圆C 上的动点，N 是线段1F P 的延长线上一点，点M 是2NPF ∠的平分线上一点，且20PM F M ⋅=,直线:34150l x y --=与x 轴、y 轴交点分别为,A B ，求ABM ∆面积的最大值. 1258三、利用垂直，构造圆圆有一个重要性质是：直径上的圆周角是直角.反过来说，直角三角形的直角顶点在以斜边为直径，斜边中点为圆心的圆上，这显然是一个真命题.这也是构造辅助圆的依据，所以当垂直条件出现时，要注意辅助圆的构造，可能使原问题转化为圆的问题，从而获得解题思路. 例5. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A ．7B ．6C ．5D ．4解：由于，所以可以构造一个圆：点P 在以AB 为直径的圆上，记此圆为圆O ，点P 又在圆C 上，所以“圆上存在点，使得”等价于“圆O 与圆C 有公共点”，所以1146m CO m m -≤≤+⇒≤≤，所以的最大值为6.选B.评析：从垂直条件出发，构造了一个辅助圆，实现了将原问题转化为两圆位置关系的转化目标，使问题轻松获解，其间表现出辅助圆的重要作用. l ()()22:341C x y -+-=(),0A m -()(),00B m m >C P 90APB ∠=m 90APB ∠=C P 90APB ∠=m例6.过点(0,4)P 的直线l 交椭圆22:14x C y +=于不同两点,A B （A 在PB 之间），O 为坐标原点.当90PAO ∠=，求直线l 的斜率.解：按照通常用到的方法，将直角用斜率之积为-1或用向量的数量积为0写出坐标关系，再用直线与曲线联立，出韦达定理，代入求值.但是在直角中不涉及,A B 两点坐标，只涉及A 点的坐标，所以直曲联立与韦达定理不好使.基于此，需要变换思路，由直角构造圆，点A 在PO 为直径的圆上，于是得到下列解法：设00(,)A x y ，则2200(2)4x y +-=，220044x y +=，消去0x 得：002,23y y ==-（舎），0x =l的斜率是24k -=24k -== 评析：由此题的解答可见：由垂直条件构造辅助圆是构造方程的主要依据，这种方法仅是直曲联立用韦达定理方法的补充，不能迷信它.比如将本题的条件90PAO ∠=改为90AOB ∠=，就没有必要构造辅助圆了，直接用斜率之积为-1或用向量的数量积为0，写出坐标关系，直曲联立出韦达定理，代入求值比较简单.相关问题：设点P 是双曲线22:1169x y C -=上一点，12,F F 是双曲线C 的左右焦点，且120PF PF ⋅=,求点P 到x 轴的距离. 95四、利用换元，构造圆由于圆的方程是特殊的二元二次方程，特殊性表现在两个方面：一是没有两元的交叉项，二是两元的二次项系数相等。

初中数学解题中辅助圆的应用探析

初中数学解题中辅助圆的应用探析【摘要】初中数学解题中辅助圆的应用探析是指在初中数学学习中，如何运用辅助圆来更好地解决数学问题。

本文从辅助圆在解决初中数学问题中的作用、如何帮助解决几何问题、在三角形和圆的性质证明中的应用等方面展开探讨。

通过分析辅助圆在简化数学解题中的作用，探讨了辅助圆的重要性和如何提高学生辅助圆运用的能力。

未来, 辅助圆在数学学习中仍有广阔的发展空间，对学生提出更高要求。

深入研究和探索辅助圆的应用，对于提升学生数学解题能力和数学学习的深度和广度都具有积极的意义。

【关键词】初中数学、解题、辅助圆、探析、作用、几何问题、三角形、圆的性质证明、简化、重要性、学生能力、未来发展。

1. 引言1.1 初中数学解题中辅助圆的应用探析在初中数学学习中，辅助圆是一个非常重要的概念。

它可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题，特别是在几何学和圆的性质证明中起着至关重要的作用。

本文将从辅助圆在解决初中数学问题中的作用、如何帮助解决几何问题、在三角形中的应用、在圆的性质证明中的应用以及如何简化数学解题等方面进行探讨。

在数学解题中，辅助圆可以起到辅助的作用，通过构造辅助圆来简化问题。

特别是在解决几何问题中，我们经常会使用辅助圆来构造辅助线，辅助角度等，从而推导出问题的解答。

在三角形中，辅助圆可以帮助我们证明三角形的各种性质，如中线、高线等。

在圆的性质证明中，辅助圆也扮演着非常重要的角色，通过构造切线、相交角、相等弧等，来证明圆的各种性质。

通过掌握辅助圆的使用方法，我们可以更快更准确地解决数学问题，提高解题效率。

初中数学解题中辅助圆的应用至关重要，对学生的数学能力以及理解能力都有很大的提升作用。

希望学生们能够认识到辅助圆的重要性，多加练习，提高自己的辅助圆运用能力，为今后的数学学习打下良好的基础。

展望未来，辅助圆在数学学习中的应用必将更加广泛，我们应该不断探索其更多的应用领域，拓展我们的数学思维。

2. 正文2.1 辅助圆在解决初中数学问题中的作用在初中数学解题中，辅助圆是一个非常重要的工具，它可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。

“构造辅助圆”在初中数学解题中的灵活运用

２０２３年９月下半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀构造辅助圆在初中数学解题中的灵活运用◉吉林师范大学数学与计算机学院㊀王㊀雪㊀㊀摘要:在数学解题过程中,常规的解题思路并不能应对一些比较复杂的几何问题,这时候就需要转换思路,有时利用圆 ,就可以有效解答一类问题．借助辅助圆将几何问题中分散的条件集中,有助于发现题目中的隐含条件,从而起到化繁为简的作用．本文中通过实例分析,帮助学生明确辅助圆的应用环境,以及针对不同题型如何构造辅助圆．关键词:辅助圆;初中数学;几何问题㊀㊀构造辅助圆是指在原有的几何图形上,构建一个辅助圆,利用圆的特性来完成题目的解答．通过辅助圆的构造,能够将几何题目中较为繁杂的已知条件进行集中处理,同时能够发现几何图形中的隐藏条件,利用对这部分条件的分析,快速解决问题．本文中结合实例,帮助学生明确辅助圆的应用环境,以及针对不同题型如何构造辅助圆．１构造辅助圆解决数学问题的应用现状目前初中生在解题的过程中,较少应用辅助圆,且应用效果不理想．在几何题的解答过程中,辅助线的应用是比较常见的,但是有部分题目通过辅助线来解答依旧存在难度,甚至需要多条辅助线才能完成,如果学生用这种方法应对选择题和填空题,就会浪费大量的时间．而应用辅助圆则可以为相关问题披上圆的外衣,这样就可以依据圆的性质进行解题,从根本上起到化繁为简的作用[１]．２构造辅助圆解决数学问题的实际案例２．１辅助圆在求线段长度的几何问题中的应用在解决求线段长度的几何问题中,通常是利用相同端点的线段构造辅助圆,以端点作为圆心,选取相等的线段作为半径或直径,完成辅助圆的构建后再利用圆的基本性质求解线段长度[２]．例１㊀在四边形D C B E 中,点A 在B E 上,A E ʊC D ,A B ＝A C ＝A D ＝A E ＝５c m ,且B C ＝１９c m ,求对角线B D 的长度．解析:由A E ʊC D ,得øB D C ＝øD B E ．图１由A B ＝A C ＝A D ＝A E ,将点D ,C ,B ,E 视为圆上的点构建辅助圆,如图１．于是弦D E 与弦B C 的长度相等．又由B C ＝１９c m ,得B C ＝D E ＝１９c m ．因为E B 为辅助圆的直径,所以øE D B ＝９０ʎ．所以在R tәE D B 中,根据勾股定理可知,B D ＝E B ２－E D ２．又A B ＝５c m ,E B 为圆A 的直径,则E B ＝１０c m ．所以B D ＝１０２－(１９)２＝９(c m )．２．２辅助圆在求度数的几何问题中的应用在解决求度数的几何问题中,通常可以将公共点作为顶点,作三角形的外接圆．在构建辅助圆的过程中要将三角形与辅助圆建立明确的关系．图２例２㊀如图２所示,әA B C为等腰三角形,且A B ＝A C ,直线A P 为әA B C 外侧直线,点B 与点D 关于A P 轴对称．求证:ø１＝ø２．证明:ȵ点B ,D 关于直线A P 对称,ʑ直线A P 为线段B D 的垂直平分线．ʑәA D B 为等腰三角形．图３ʑA D ＝A B ＝A C ．故可以A C 为半径,点A 为圆心,构建如图３所示的辅助圆．ȵP 为B D 中点,且A P 为过点E 的直线,ʑәD E B 为等腰三角形．ʑD E ＝B E ．ʑøE D B ＝øE B D ．ʑø２＝２øE D B ．又ø１＝２øC D B (同弧所对的圆心角是圆周角的２倍),ʑø１＝ø２．２．３辅助圆在求图形面积问题中的应用在数学中考题中,涉及面积的题型也很多,当题目条件较多且分散的几何图形很难运用面积公式时,可以尝试构建辅助圆,利用圆的基本性质以及圆的面３７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解题研究２０２３年９月下半月㊀㊀㊀积公式进行计算[３]．例３㊀如图４,әA B C 为等边三角形,且A B ＝A D ,AH ʅC D 于点H ,且P C ʅBC ,C P 与AH 交于点P ,求证:S әA B C ＝３４A PB D ．图４㊀㊀㊀图５解析:依题意可知A B ＝A C ＝B C ＝A D ,构建以点A 为圆心,A B 为半径的圆,得到如图５所示的辅助圆．ȵәA B C 为等边三角形,ʑøB A C ＝øA C B ＝øA B C ＝６０ʎ．ʑøB D C ＝１２øB A C ＝３０ʎ．又øB C P ＝９０ʎ,øB C A ＝６０ʎ,ʑøP C A ＝øC D B ＝３０ʎ．ȵøC B D ＝１２øC A D ＝øP A C ,ʑәB C D ʐәA P C ．ʑB C ʒA P ＝B D ʒA C ．又B C ＝A C ,ʑB C ２＝A P ˑB D ．ʑS әA B C ＝３４A PB D ．２．４辅助圆在求线段比或面积比问题中的应用图形中的某两条线段成比例或图形面积成比例这类题型是中考的难点和重点．利用辅助圆则可以结合圆的性质,通过圆中的线与角的关系进行求解．构建辅助圆时,要将有关线段置于辅助圆的关键位置,例如,可作为直径㊁半径或弧所对的弦．这样容易发现线段之间的关系,从而更加简便地进行解答[４]．例４㊀在R t әA B C 中,A C ＝B C ,øA C B ＝９０ʎ,P是C B 延长线上的一点,B P ʒB C ＝k ,已知０ɤk ɤ１,过点B 作A B 的垂线,过点P 作A P 的垂线,使两条垂线相交于点Q ,且A P ＝P Q ,连接A Q ,求әA B C 与әA P Q 的面积比．分析:根据已知条件分析,әA P Q 的面积较难求解,所以可以根据әA P Q 来构建辅助圆．解析:以A Q 为直径,A Q 的中点O 为圆心,构建如图６所示的辅助圆．ȵA P ＝P Q ,且øA P Q ＝９０ʎ,ʑәA P Q 为等腰直角三角形．设B C ＝A C ＝m ．图６ȵB P ʒB C ＝k ,ʑB P ＝k m ,P C ＝(k ＋１)m ．ʑP A ＝m ２＋[(k ＋１)m ]２＝m k ２＋２k ＋２．ʑS әA B C ʒS әA P Q＝１２A C ２１２P A ２＝１２m ２１２(k ２＋２k ＋２)m ２＝１ʒ(k ２＋２k ＋２)．２．５辅助圆在求线段极值问题中的应用辅助圆在求线段极值问题中有着广泛的应用,特别是在数学竞赛中经常遇到．例５㊀在边长为４的正方形A B C D 中,P 为对角线B D 上的一个动点,且与点B ,D 不重合,连接A P ,过B 作A P 的垂线,垂足为H ,连接DH ,求线段DH 的最小值．图７分析:由于无论点P 如何运动,A B 的长度都不会改变,因此可以A B 为直径,A B 的中点E 为圆心构建辅助圆,通过圆确定点H 的运动轨迹．解析:取A B 中点E ,连接D E ,构建如图７所示的几何图形,可得D E ＝(１２A B )２＋A D ２＝４２＋２２＝２５．当点H 与点M 重合时,线段DH 的长度最短,此时DH ＝DM ＝D E －M E ＝２５－２．综上所述, 构造辅助圆在初中数学解题中的广泛应用,不仅包含大量的几何问题,而且部分代数问题中也可使用．构建辅助圆时,要结合题目的具体情况,根据四点共圆的条件确定辅助圆．通过辅助圆在不同类型几何问题中的应用,明确构建辅助圆在初中数学解题中的可行性与实用性,通过辅助圆的灵活应用,提升学生的实际解题能力．参考文献:[１]刘怀权．构造辅助圆在初中数学解题中的应用[J ]．数理天地(初中版),２０２２(１２):２１Ｇ２２．[２]蒋天林．从江苏高考试题谈辅助圆在解题中的运用[J ]．中学生数理化(高考使用),２０２０(５):１１Ｇ１２．[３]黄磊．圆来如此简单辅助圆构造的解题探究[J ]．数理化解题研究,２０２１(１４):１０Ｇ１１．[４]徐勤．辅助圆在中考数学试题中的应用[J ]．科学大众:科学中考,２０２２(４):１３Ｇ１５．Z４７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

构造辅助圆巧解初中数学几何问题

BP 图1
的交点为点Q，连接A Q，试求解三角形A CB与三角形 A PQ的面积之比.
解析院根据已知条件，蚁A BQ=蚁A PQ=90毅，因此A 、 B、P、Q四点共圆，因此，可以绘制辅助圆O.可知蚁PA Q= 蚁PBQ=45毅，进而确定三角形A PQ为等腰直角三角形，很容易就可以求解两个三角形的面积之比.
初中
65
教
学
参谋
解法探究
2019 年 10 月
的一类动态问题. 证明院如图3所示，已知线段
A B和点C、D，并且蚁D=蚁A CB.
C
D
E
根据“不共线的三点可以确定一
个圆”，可通过A 、B、C三点作圆
O
O.
A
B
如果点D在该圆外，A D和圆
图3
O 交于点 E，连接 BE. 因为同弧所
对的圆周角相等，因此可得蚁A EB=蚁A CB. 因为蚁D=
B
A
边形 A BCD 满足：A B 椅CD，A D =
DC=DB=p，BC=q，试求解对角线 C
D
E
A C的长度.
解析院在四边形A BCD中，已
图2
知DA =DB=DC，因此可以以点D
为圆心，以DB的长为半径构造辅助圆，即三角形A BC的
外接圆.易知蚁CA E=90毅.A B椅CD，则BC=A E.在直角三角
形A CE中计算A C的长度，即A C= 姨CE2-A E2 = 姨4p2-q2 . 渊三冤动态几何问题在平面内，如果已知线段A B，点C是A B外一个动点，
并且满足蚁A CB是固定值，那么点C在以A B为弦的圆上. 特别地，如果蚁A CB=90毅，那么点C就在以A B为直径的圆上 .通过这一定理，可以借助绘制辅助圆来解决几何中

巧解初中几何问题——以构造辅助圆为例

２０２３年１２月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀巧解初中几何问题以构造辅助圆为例◉江苏省靖江市外国语龙馨园学校㊀徐㊀乐㊀㊀圆是初中数学平面几何中非常重要的一个知识点,与初中数学中其他几何问题有着紧密的联系．所以在解决几何问题时,一些无法利用常规思路求解的综合问题可以尝试通过构造辅助圆的方式来解决．因此,在初中数学几何问题解题教学中,教会学生如何正确使用辅助圆来巧解几何问题是教师需要重点研究的问题．下面将通过例题对辅助圆的应用进行说明．１角的问题例１㊀在әA B C 中,A B ＝A C ,øA B C 的平分线交A C 于点D ,已知B C ＝B D ＋A D ,求øA 的度数．分析:根据题中所给已知条件,可以判定әA B C为等腰三角形,但是想要根据已知条件通过常规方式求øA 的度数存在一定困难．结合题中所给的角平分线,可以联想圆中共顶点的角的问题,作әA B D 的外图１接圆,与әA B C 的B C 边交于点E ,连接D E ,如图１．根据B D 是øA B C 的角平分线,可以知道A D ＝D E ,同时还能得到这个辅助圆为四边形A B E D 的外接圆．根据圆内接四边形的对角互补的性质可得øA B C ＝øE D C ,根据әA B C 为等腰三角形可知øA B C ＝øE D C ＝øC ,于是可得øB E D ＝２øC ,且әE D C 为等腰三角形．所以D E ＝C E ,则A D ＝D E ＝C E ,然后结合B C ＝B E ＋A D 得到B D ＝B E ,所以øB D E ＝øB E D ＝２øC ．这样就可以在әB D E 中计算øC 的度数,即１２øC ＋２øC ＋２øC ＝１８０ʎ,所以øC ＝４０ʎ,最后计算得出øA ＝１００ʎ．在初中数学几何问题中构造辅助线需要充分结合试题的情况来进行．本题中辅助圆的构造就是结合了本题所给定的角平分线的关系,根据相等的圆周角所对应的弧和弦长相等的性质来实现;然后通过辅助圆及相关线段关系来与相关角取得联系;最后利用三角形的性质求解．教师要对学生进行相应的引导,让学生掌握通过角的关系来构造辅助圆,进而借助辅助圆解决问题．２线段长度的问题图２例２㊀如图２所示,在R t әA B C中,A B ʅB C ,A B ＝６,B C ＝４,P 是R t әA B C 内部的一个动点,且满足øP A B ＝øP B C ,则线段C P 的最小值为(㊀㊀)．A．３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．２C ．８１３１３D．１２１３１３图３分析:根据A B ʅB C 可以知道øA B C ＝９０ʎ,结合øP A B ＝øP B C 可得到øA P B ＝９０ʎ,所以әA B P 是直角三角形．根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半以及圆的直径所对的圆周角是９０ʎ,可知点P 在以A B 为直径的圆上．以A B 的中点O 为圆心,A B 为直径作圆,如图３所示．这样就可得到当P C 的值最小时,点P 正好在线段O C 上．因为A B ＝６,所以O B ＝３．在R t әO B C 中,B C ＝４,根据勾股定理得到O C ＝５,于是可求出P C 的最小值为２．所以正确答案是选项B ．例２的解题关键是需要判断点P 的轨迹,首先根据试题中所给定的关系得到øA P B ＝９０ʎ,结合直角三角形的性质和圆的性质很容易判断出点P 在以直线A B 为直径的圆上,然后就能够求解最小值．因此,在解题的过程中,只有认真分析题目条件,才能顺利找到解题思路．教师在进行解题教学时需要教会学生如何根据题目中所给定的已知条件来进行分析,从而找到解题思路．很多几何问题都是需要在解题的过程中才能够找到相应的解题思路,并不是通过对试题的观察就能得到解题思路的．因此结合已知条件来对试９７解法探究２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀题中存在的关系进行分析,在解题的过程中发现解题思路,是解决问题最好的方式．教师需要引导学生先根据已知条件尝试找到解题的思路,进而解决问题．３三角形相似的问题例３㊀әA B C 中,A D 是øB A C 的外角平分线,交B C 的延长线于点D ,求证:B D D C ＝A BA C．分析:A B ,A C 是әA B C 的两条边,而B D ,D C则是线段B D 上的两条线段,根据所学的知识,要证明B D D C ＝A BA C ,线段成比例关系可以通过证明三角形相似来解决．因此需要将线段B A 延长至点F ,连接D F ,构建出әB A C ʐәB D F ,得到A B A C ＝B DD F,然后证明C D ＝D F 就可以了,从而将证明的关键转化为证明C D ＝D F ．结合题意,øB A C 的外角平分线交B C的图４延长线于点D ,如图４,根据例题１中的方式构造әA C D 的外接圆,B A 的延长线与圆交于点F ,连接D F ．根据圆的性质可以得到C D ＝D F ,通过相似三角形的证明就可以解决问题．几何问题中需要求证的结论存在线段比例关系或者线段等积关系时,都会涉及三角形相似或者全等的证明,通过构造圆为三角形相似或者全等提供条件,实现对问题的求解．在这个过程中,需要充分结合例题１和例题２中辅助圆构造的方式来找到相应的关系．４动点的问题图５例４㊀如图５所示,边长为３的等边三角形A B C ,D ,E 分别是B C ,A C 边上的两个动点,且B D ＝C E ,A D ,B E 交于点P ,求点P 的运动路径长和C P 的最小值．分析:首先需要对点P 的运动路径进行判定．根据等边三角形的相关性质和B D ＝C E 可以得到әA B D ɸәB C E ,这样就得到øC B E ＝øB A D ,然后通过øC B E ＋øA B P ＝６０ʎ得到øB A P ＋øA B P ＝øA P E ＝６０ʎ,于是øA P B ＝１２０ʎ．可以发现在点D 和点E 移动的过程中,øA P B ＝１２０ʎ是恒成立的,所以可以认为点P 在A B 为弦的圆上．假设弦A B 所在圆的圆心为O ,连接O P ,O A ,O B ,根据圆的性质㊁әA B C 的边长为３可计算出圆O 的半径O A ＝３,然后计算出点P 的运动路径长度为２３３π,C P 的最小值为３．解:由A B ＝B C ,øA B D ＝øB C E ,B D ＝C E 得әA B D ɸәB C E ．由øC B E ＋øA B P ＝６０ʎ,得øB A P ＋øA B P ＝øA P E ＝６０ʎ．所以øA P B ＝１２０ʎ．故点P 的运动轨迹是以A B 为弦的圆上的一段弧．图６如图６所示,作әA B P 的外接圆,圆心为O ,连接O A ,O B ,O P ,O C ．由O A ＝O B ,A C ＝B C ,得әA O C ɸәB O C ．所以øO A C ＝øO B C ,øA C O ＝øB C O ＝１２øA C B ＝３０ʎ,øA O C ＝øB O C ＝１２øA P B ＝６０ʎ．故øO A C ＝９０ʎ．根据勾股定理,可得O A ＝３,O C ＝２３．所以,弦A B 所对的弧长为３ˑ２３π＝２３３π;当O ,P ,C 三点共线时,C P 最小,且最小值为３．在三角形的动点问题中,如果动点与一条线段所构成的角度固定,则说明这个动点的轨迹是以这个线段为弦的圆上的一段弧,通过这个关系可以构造辅助圆,然后利用圆的性质来求解问题．本题给定的是正三角形,当然不同的三角形中所呈现的关系可能会存在差别,但是本质没有变化．例如,在例题２中通过计算所得到的角度为９０ʎ的特殊角,这个辅助圆的圆心就在直角三角形的斜边上．例４中这个角度为１２０ʎ,圆心在三角形的外部,通过辅助圆来充分利用圆的相关性质,能够更好地对问题进行求解,实现问题的解决．本文中对辅助圆在初中数学平面几何中的应用进行了总结,并通过相关例题对其用法进行了说明．在初中数学平面几何问题中巧用辅助圆能够优化试题解法,实现快速求解．因此,教师在解题教学的过程中需要对学生进行有效地引导,让学生掌握辅助圆的应用,从而提升解题能力;提升数学素养．Z０８。

巧构辅助圆，妙解几何问题

巧构辅助圆，妙解几何问题发布时间：2021-01-25T10:27:21.677Z 来源：《基础教育课程》2020年10月作者：裴爱文[导读] 初中数学教学中圆是至关重要的教学内容。

而在几何问题中涉及利用隐形圆巧妙求解的问题甚多，在教学中倘若能适时引导学生恰当地运用辅助圆便能有效促进学生解题能力的提升。

为此，本文尝试从运用圆的定义、直角三角形构造90°圆周角、三角形外接圆等几个例题进行介绍，以帮助师生更好的运用辅助圆巧妙求解相关几何问题。

西工大附中分校裴爱文摘要:初中数学教学中圆是至关重要的教学内容。

而在几何问题中涉及利用隐形圆巧妙求解的问题甚多，在教学中倘若能适时引导学生恰当地运用辅助圆便能有效促进学生解题能力的提升。

关键词:构造;辅助圆;几何问题作为中考每年的必考内容之一，圆的这部分知识非常重要,近几十年来各省的数学试题中的题目我们都能发现压轴题会涉及到这方面内容的考查。

这类试题乍一看,不能马上反应出要用圆的相关来知识求解。

但若对题目经过解读与深度思考、剖析之后,我们发现根据题设的相关条件常常是能构造出辅助圆，进而使问题快速求解。

那么如何有效、恰当地构造出一个妥帖的辅助圆是此类问题突破的关键,为此我将结合具体案例来谈谈如何巧构辅助圆求解几何问题。

一、立足基础,利用圆的定义构造辅助圆初中学生所熟知的圆的定义是指平面内到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形。

基于圆的定义这个基本原理，是学生必须掌握的最基本的辅助圆添加方式。

下面给出利用圆的定义构造辅助圆的例题进行阐述说明。

二、能力导向,利用90°的圆周角所对的弦是直径构造辅助圆在初中几何试题中如果题目出现了内角为90度角的三角形,我们就可以利用用90度的圆周角所对的弦为直径这一原理来构造辅助圆,然后将问题转化成圆中的问题,利用辅助圆的相关知识来解决几何问题中遇到的难以解决的问题,有效培养学生的数学思维能力。

巧构辅助元,妙解数学题

巧构辅助元,妙解数学题
《妙解数学题——巧构辅助元》
在学习数学课程时，我们会遇到各类各样的数学题，对于难题，常常很难想出正确的解答方法。

在现在这个社会，有一种被称为“巧构辅助元” (Algebraic Manipulations )的数学解题方法可以帮助我们解决这类问题。

巧构辅助元是一个能够帮助我们将复杂的数学题转换成更容易求解的简单题的数学工具，其特点是能有效地将一个复杂的式子分解成多个简单的式子，让我们在逐步解决问题的过程中，能够更好地理解数学思维。

为了证明巧构辅助元的有效性，让我们来看一道关于二次函数的例题：
已知f(x)=ax^2+bx+c,其中a，b，c均为实数，求f(x)的根。

通过巧构辅助元进行推导，我们可以将该题拆分成三部分：首先将二次函数分解成可求根的二元一次函数；然后将二元一次函数分解成各自的线性因式；最后分别求解线性因式的根即可求出二次函数的根。

以上就是巧构辅助元的作用，它能够有效地将复杂的数学题分解成一系列容易理解和求解的小问题，不仅可以快速准确地解决问题，而且能够让我们更好地理解数学思维。

总之，当我们面对复杂的数学题时，巧构辅助元这种有效的数学解题方法，可以帮助我们轻松求解，也能够让我们更好地理解和掌握这一数学知识点。

辅助圆的构造策略与解题技巧

．．
由旋转得：ＡＡＢＣ￣ＡＡＤＥ，
‘ ＯＡ＝ＯＦ＝ＯＥ＝ＯＧ，
．
．
ＢＡＤ＝／ＣＡＥ．
·
。．
四边形ＡＢＣＤ是矩形
，
‘ ＡＢ＝ＡＤ，ＡＣ＝ＡＥ，
．．
４
Ａ曰ＡＤ
．
一
— ＡｃＡＥ ’
‘ Ａ．ＥＣＧ＝９０。，
．
．
。ＯＣ＝ＯＥ，
．．
’ △Ａ８Ｄ一 △ ＡＣＥ
．．
Ｇ
ＢＥ： —３，３－６
．．．
—
一
．
）
（３）点Ｅ在边ＢＣ上的运动过程中，ＺＡＣＦ
的大小总保持不变．
理由是：连接ＡＦ、ＥＧ交于点０，连接ＯＣ，
如图５，
Ｇ
圆图５
图３
·’ ．
四边形
ＡＥＦＧ是矩形
，
【解析】解：（１）ＡＡＢＤ与△ 相似．
’ ＯＡ＝ＯＦ，ＯＥ＝ＯＧ，ＡＥＧ，
’ ＯＡ＝ＯＦ＝ＯＥ＝ＯＧ＝ＯＣ，
．
．
（２）如图４，连接印．
．
· ．
点
Ｃ、Ｅ、，、Ｇ、／４在
以
０为圆心的圆上
，
Ｇ
． · ．ＡＦ为圆０的直径，
。
．
．
ＣＦ＝９０。．
即厶ｌｃ的大小保持不变．【点评】本题的第三题可以用第一题的思
路，证明ＡＡＢＥ￣ＡＡＣＦ，运用相似三角形的对
ＢＡＡＥ
．
—
— ＡＪＤＡＧ ’
‘ △ＡＥ一 △ＡＤＧ．

构造“辅助圆”解决几何问题

为ＣＢ＝６，最小半径为ＡＡＢＣ中ＡＢ边上的高ＣＨ，计算可知ＣＨ＝４．８，ＣＥ＝３，由点与圆的位置关系可
知，当点Ｆ运动到ＢＣ所在直线上时（如图６所
示），ＥＦ取得最值，．・．ＥＦ的最小值为４．８～３＝
线段张开一个定角、特殊的四点共圆三个模型构造
进一步思考我们发现：ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ，且这三条线段共端点Ａ，这恰好符合圆的定义，我们构造以Ａ为圆心，ＡＢ长为半径的圆，则Ｂ、Ｃ、Ｄ三点共圆，再利用
量关系，设未知数，构造方程解决，但计算较为繁琐．
的考察，处处体现着 “ 模型思想 ” 、 “ 应用意识 ” 这些
更高要求的核心概念又常常隐藏在一些表面看似与圆无关的几何问题中．本文即为研究这一类问题，分析题设条件，抓住问题本质，从圆的定义、动点对定
同弧所对圆心角与圆周角的关系，得ＬＢＤＣ＝２２。，
ＣＢＤ＝４４。．ＣＡＤ＝８８Ｏ．
例２如图４在平面直角坐标系中，已知Ａ点坐标是（２，一２），在Ｙ轴上确定点Ｐ，使ＺＸＡＯＰ为等
将ＺＸＡＢＣ绕点Ｃ顺时针
Ｂ
度数为（）
（Ａ）６８。（Ｂ）８８。（Ｃ）９０。（Ｄ）１１２。ｃ图

例说物理解题中的辅助圆

例说物理解题中的辅助圆
在物理解题中，辅助圆是一个非常有用的工具，它可以帮助我们更好地理解问题，并找到解决方案。

一个辅助圆通常是一个与物理问题相关的圆形图形，它可以用来计算各种物理量。

例如，在动力学问题中，我们可以使用辅助圆来计算速度和加速度。

如果我们将一个圆形分成四个相等的部分，并在圆周上标记四个点，我们可以使用这些点来表示物体在不同时间点的速度和加速度。

在静力学问题中，辅助圆可以帮助我们计算受力分量和受力方向。

我们可以将一个圆形分成两个相等的部分，并在圆周上标记两个点，这些点可以表示力和力的分量。

在光学问题中，辅助圆可以用来计算反射和折射。

我们可以使用一个圆形来表示光线的路径和角度，从而计算出反射和折射的角度和方向。

在电学问题中，辅助圆可以帮助我们计算电场和电势。

我们可以使用一个圆形来表示电场和电势的分布，并根据圆形的形状和大小来计算电场和电势的数值。

总之，辅助圆是一个非常实用的工具，在物理解题中能够帮助我们更好地理解问题，并找到解决方案。

因此，在物理学习中，我们应该学会如何使用辅助圆，以便更加高效地解决物理问题。

- 1 -。

巧构“辅助圆”，妙解“最值”问题

巧构“辅助圆”，妙解“最值”问题作者：殷娟来源：《初中生世界·九年级》2021年第05期许多同学在圆的学习中都会通过添加垂线段、连半径、连直径等进行解题，但在解决一些较难问题时，上述方法就起不了多少作用。

而有时在图形中构造圆能获得意想不到的效果。

下面就以几道例题和同学们一起分析如何用“辅助圆”来求解“最值”问题。

一、折叠问题中的辅助圆例1 （2019·江苏宜兴一模）如图1，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D是BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点。

将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值是。

【解析】△DBE在折叠的过程中，满足DB=DB′，即点B′始终是在以点D为圆心，DB长为半径的圆上运动（如图2）。

点A是圆外一点，由图1可以看到AB′要取到最小值，则点A、B′、D必须共线。

在Rt△ABC和Rt△ACD中易求得AD=[27]，则AB′的最小值为AD-DB′=[27]-2。

【总结】折叠图形有“共端点、等线段”的特征，满足圆的定义。

利用这一特征构造“辅助圆”，再利用“两点之间，线段最短”的原理便能很快找到对应线段的最值。

二、直角三角形中的辅助圆例2 （2017·江苏江阴一模）如图3，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为。

【解析】由∠APB为“直角”这个特征，联想到90°角所对的弦是直径，可以构造经过A、B、P三点的⊙M（如图4），半径为1。

点P在⊙M上运动，PC的长度也随之不断变化。

我们在运动中不难发现PC所在的直线经过圆心M时，可以取到最大或最小值。

图4中，PCmin=MC-MP=[5]-1;图5中，PCmax=MC+MP=[5]+1。

【总结】直角三角形中，“定斜边、动直角顶点”的特征，满足90°的圆周角所对的弦是直径。

图中无圆，心中有圆——构造辅助圆解决最值问题

图中无圆，心中有圆——构造辅助圆解决最值问题圆，规范简约且具有丰富的性质。

尽管在许多几何问题的条件中可能并不明确涉及到圆，但是如果能够根据问题的条件和图形的特点构造一个圆，转机或许因此出现。

这就需要我们有明亮的眼光、明锐的视角发现图中的“隐形圆”，充分利用圆的众多性质，为解决问题铺设“桥梁”。

本文讲述两种常用的构造辅助圆的模型：(1)定点定长构造辅助圆；(2)定弦定角构造辅助圆。

一、模型介绍类型一：定点定长构造辅助圆平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A 为圆心，AB长为半径的圆上(如图1).依据的是圆的定义:圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合。

图1经典例题如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4,点F在边AC上，并且CF=1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是______分析：CF为定长，翻折得PF=CF，故无论E点如何运动，点P随着点E的运动而始终在以点F为圆心，1为半径的圆上，将问题转化为⊙F上一点到直线AB 的距离的最小值。

解：如图，构造以F为圆心，CF为半径的圆。

过F作FG⊥AB于点G，交⊙F 于点P，此时PG的值最小，最小值为AF×sinA-1=2×-1=.模型总结：利用“定点定长”构造辅助圆的关键在于寻找一个定点，使目标动点到该定点的距离为定值。

类型二：定弦定角构造辅助圆固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的部分。

在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等。

如图2，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C固定，根据圆的知识可知点C不唯一。

当∠C ＜90°时，点C在优弧上运动；当∠C=90°时，点C在半圆上运动，且线段AB 是圆的直径；当∠C＞90°时，点C在劣弧上运动。

图2经典例题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点P为一动点，且PA⊥PC，连结BP，则BP的最大值为____________。

构造辅助圆突破教学难点的实践策略——谈数学专题课《构造辅助圆》

构造辅助圆突破教学难点的实践策略谈数学专题课«构造辅助圆»孙㊀明(江苏省常州市新北区龙虎塘中学㊀２１３０００)摘㊀要:学生对于一些数学问题容易产生想法ꎬ但欠缺的是归纳总结提升ꎬ而本节课ꎬ就是引导学生学会归纳总结ꎬ将以前学过的一些知识从一个新的视角研究ꎬ简化证明过程ꎬ初步形成构造曲线形辅助线的意识.关键词:构造ꎻ辅助圆ꎻ最值ꎻ角度中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３２－００１３－０２收稿日期:２０１９－０８－１５作者简介:孙明(１９７５.５－)ꎬ女ꎬ本科ꎬ高级教师ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀一㊁教学背景对于平面几何问题ꎬ学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件ꎬ从而利用三角形㊁四边形的知识来解决问题.但辅助线的添加就被局限在直线形ꎬ而实际上曲线形辅助线在一些特定条件下ꎬ更有利于条件的集中.辅助圆是曲线形辅助线的代表ꎬ利用圆就会让图形的条件更丰富ꎬ而学生对此又很少了解.基于学生已有经验:到定点的距离等于定长的点的集合是圆ꎻ直径所对的圆周角是直角ꎻ同弧所对的圆周角相等.感悟动点在运动过程中所形成的轨迹ꎬ逐步培养运用数学建模思想ꎬ探究解决动点问题的途径的能力.之前听过某教师的«构造辅助圆»专题课ꎬ教师运用几何画板直接呈现辅助圆ꎬ少了学生发现辅助圆的过程ꎬ可想而知学生的收获甚少.故本人想借此节课ꎬ和学生一起探究ꎬ通过多种探究方法的对比ꎬ来突破构造辅助圆的难点.㊀㊀二㊁教学解析例１㊀(到定点距离等于定长模型)如图１所示ꎬ在凸四边形ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤꎬøＡＢＣ＝８０ʎꎬ求øＡＤＣ的度数.设计意图:新知识的形成都有其固定的知识生长点ꎬ找准知识的生长点ꎬ才能突出重点㊁突破难点.本题是根据圆的集合定义ꎬ学生能想到Ａ㊁Ｄ㊁Ｃ三点到点Ｂ的距离相等ꎬ因此都在以Ｂ为圆心的圆上ꎬ构造圆不困难.例２㊀如图３ꎬ在矩形纸片ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ＝２ꎬＡＤ＝３ꎬ点Ｅ是ＡＢ的中点ꎬ点Ｆ是ＡＤ边上的一个动点ꎬ将әＡＥＦ沿ＥＦ所在直线翻折ꎬ得到әＡᶄＥＦ.(１)在折叠过程中ꎬ点Ａᶄ所形成的轨迹是怎样的?(２)求ＡᶄＣ的长的最小值.难点突破分析:引导学生由旧入新ꎬ组织积极的迁移ꎬ促成由已知到未知的推理ꎬ认识简单与复杂问题的联系ꎬ不断完善认知结构.此题对于尖子学生来说很快找到图中三段相等的线段ＥＡ＝ＥＡᶄ＝ＥＢꎬ根据例１构造辅助圆.但对于大部分学生来说ꎬ折叠问题的情景不理解ꎬ在复杂问题中不能简化背景.因此ꎬ我设计了第一小问引导学生再去画出另一Ａᶄ点.发现大部分学生画不对位置ꎬ原因是没有分析出折叠过程中的不变量.所以让学生再动手去折一折ꎬ将得到的Ａᶄ点描出来得到图４后再一起分析变化与不变的量ꎬ得到图５.ＡᶄＣ的最值显然是Ｅ㊁Ａᶄ㊁Ｃ三点共线时ꎬ得到图６.例１与例２要突出共同点 ꎬ进而突破重㊁难点.例３㊀(定长对直角模型)如图７ꎬәＡＢＣ中ꎬøＡＣＢ＝９０ʎꎬＡＣ＝１０ꎬＢＣ＝１２ꎬＰ是әＡＢＣ内部的一个动点ꎬ且满足øＡＰＣ＝９０ʎꎬ连接ＢＰꎬ线段ＢＰ长的最小值为.３１难点突破分析:此题找不到到定点的距离等于定长的模型了ꎬ先让学生用直角尺依据定长为ＡＣ画出不同的点Ｐ(图８)后让学生交流点Ｐ的运动轨迹是什么.发现点Ｐ在以定长ＡＣ为直径的圆上ꎬ构造圆(图９)后求最短距离与例２一样分析.例３与例２有知识的不同点也有知识的相同点ꎬ要让学生归纳总结.例４㊀(定长对锐角模型)如图１０ꎬ四边形ＡＢＣＤ中ꎬøＢＡＣ＝øＢＤＣ＝５０ʎꎬøＤＢＣ＝３０ʎꎬ求øＢＡＤ的度数.难点突破分析:根据øＢＡＣ＝øＢＤＣ这一条件发现有一定长是ＢＣꎬøＢＡＣ＝øＢＤＣ＝５０ʎ说明ＢＣ不是直径ꎬ与例３有类似的地方也有不同的地方.说明ＢＣ是同一条不是直径的弦ꎬ根据同弧所对的圆周角相等的定理ꎬ构造әＡＢＣ的外接圆(图１１)解决问题.㊀㊀三㊁教学反思每节课我们都要围绕一个知识点进行教学ꎬ并进行有效的挖掘与延伸ꎬ针对学生的实际情况ꎬ对知识中难以理解接受的知识进行有效的突破.衡量数学教学是否有效的基本标准之一ꎬ就是看教师在教学中能否突出重点ꎬ根据学生实际ꎬ突破难点.这节课的难点突破的方法是通过引导学生去动手折一折㊁画一画㊁想一想ꎻ同伴交流等形式去操作.本节课对于程度较好的学生ꎬ能够掌握构造辅助圆的基本方法ꎬ中等的学生能够在几何题中想到利用辅助圆ꎬ基础薄弱学生也能够想得起辅助圆ꎬ辅助线的构造可以是直线形ꎬ也可以是曲线形.㊀㊀参考文献:[１]李秉德.教学论[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ１９９１.[责任编辑:李克柏]粗心大意背后的解题错误原因分析王瑞玉(江苏省射阳县初级中学㊀２２４０００)摘㊀要:初中数学解题时ꎬ出现了错误以后ꎬ不能简单地归因为粗心大意ꎬ如果不能正确地归因ꎬ那么连解决错误的方法都找不到ꎬ以后再遇到类似的问题时ꎬ还会重复犯错.本文说明了几种初中数学解题中ꎬ最常出现的错误原因及纠正的方法.关键词:粗心大意ꎻ解题ꎻ错误ꎻ原因ꎻ分析中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３２－００１４－０２收稿日期:２０１９－０８－１５作者简介:王瑞玉(１９７８.４－)ꎬ女ꎬ江苏省射阳人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀在解题时ꎬ如果轻率地认为犯下错误的原因ꎬ就是由于粗心大意的缘故ꎬ这样的归因是片面的.同学们在做题时ꎬ要学会正确地分析解错习题背后的原因ꎬ只有学会正确的归因ꎬ才能够找到纠正错题的方法.㊀㊀一㊁知识理解不足引起的错误在学习数学知识时ꎬ如果只能从形式上了解知识的意思ꎬ不理解知识意思的内涵ꎬ那么在应用知识解题时ꎬ是会犯下错误的.同学们在遇到解题错误时ꎬ必须分析数学问题中涉及了哪些数学知识ꎬ如果出现错误了ꎬ那么是不是因为没有理解知识的内涵ꎬ所以出现了错误.如果发现了这样的问题ꎬ就要弥补知识结构ꎬ避免以后犯下类似的错误.题１㊀在下列的有理式中ꎬ属于分式的是(㊀㊀).Ａ.ｍ－ｎ８㊀Ｂ.ａπ＋ｃ㊀Ｃ.５ｍ２ｍ㊀Ｄ.８ａ２－１２ｂ该题最常见的错误是把Ｂ当作正确的答案.数学课本中定义ꎬ形如ＡＢ的式子ꎬ其中Ａ㊁Ｂ是整式ꎬ而Ｂ中含有４１。

巧构辅助圆解题

巧构辅助圆解题就像在中国学习许多其他学科一样，学习数学也需要花费许多时间和精力。

当你被要求做题时，你需要仔细阅读题目，寻找陷阱，记住重点，然后确定最佳解决方案。

在只有少数几分钟可供学生考虑的情况下，学生可能会遇到困难。

为了帮助学生更好地解决这些难题，教师应该让学生使用一种被称为“巧构辅助圆解题”的方法。

此方法是由袁绍颖博士发明的，他历时十多年研究学习行为，终于开发出这个技术。

这种技术利用“巧构”的思维方式来解决问题。

巧构是一种在头脑中将复杂的问题进行拆分和归纳来有效解决问题的方法。

借助巧构辅助圆解题，老师可以教学生从多个视角来思考，进行思维分析和分层次分析，以及提出假设来帮助学生解决复杂的数学题。

通过分析题目和给出的数据，学生可以把握重点，找出问题的关键，从而快速而正确地完成题目。

几乎所有学习领域里都有“巧构辅助圆解题”，它们包括语文、物理、化学、历史等等，都可以通过这种方式实现学习效果。

为了让学生更容易掌握巧构辅助圆解题，教师可以使用图片、视频、文本等来帮助学生学习。

其中，图片能够把一个概念抽象化，让学生更容易理解；视频可以增强学习体验，提高学习兴趣；文字能够把概念分解成几个步骤，让学生更容易记住。

同时，教师可以在课堂上多给予学生实践性的机会，让他们利用自己的知识和思考能力探究解题方法，从而提高其解决题目的能力。

除此之外，教师还可以使用“巧构辅助圆解题”给学生布置作业，让他们在课下也能够准确地完成任务。

总之，“巧构辅助圆解题”能够帮助学生更好地理解学习过程，有助于提升解题能力和学习效率，增强学习兴趣，这是一种非常有效的学习策略。

只要教师能够恰当使用这门技术，学生就可以一路走来，完成数学题，提高素养和兴趣。

辅助圆解线段长度问题

辅助圆解线段长度问题
在数学中，辅助圆是指用来解决特定问题的辅助构造圆。

对于线段长度问题，我们可以使用辅助圆来帮助我们求解。

假设我们要求解两条平行线段AB和CD的长度，而且它们之间没有直接的测量方法。

我们可以通过构造辅助圆来间接地求解这个问题。

首先，我们可以选择其中一条线段（假设为AB）作为辅助圆的直径。

然后，我们以点A为圆心，在辅助圆上绘制一条弧，使得该弧与线段CD相交于一点。

再以点B为圆心，绘制一条与第一条弧相切且与线段CD相交的弧。

接下来，我们连接第一条弧与第二条弧的交点，连接这个交点与线段CD的两个端点，得到一个与线段CD同样长度的线段。

因为弧的长度与弦的长度相等，所以这个线段就是我们所要求的。

通过辅助圆的构造，我们可以间接地求解线段长度问题，即使没有直接的测量手段。

这种方法在许多几何问题中都十分有用，特别是在缺乏直接度量手段的情况下。

总结起来，辅助圆是用来解决线段长度问题的一种方法。

通过构造辅助圆，可以间接地求解线段长度，无需直接测量。

这种方法在数学几何学中被广泛应用，为我们解决各种问题提供了有力的工具。

“圆”来如此简单——“辅助圆”构造的解题探究

数理化解题研究2021年第14期总第507期“圆”来如此简单—“辅助圆”构造的解题探究黄磊(江苏省泰兴市济川中学教育集团阳江校区225400)摘要：解决“直线型”图形问题，如果巧作“辅助圆”，结合图形性质和圆周角定理等,能够收到事半功倍的效果.关键词：辅助圆；图形解题；案例释法;优先解法中图分类号：G632 文献标识码:A 面对一些“直线型”图形问题,如果忽视图形的几何特征，直接解答往往会增加出错的可能.但是,如果注意挖掘和利用其中的一些隐藏条件，巧作“辅助圆”，往往能简便地解决问题.一、问题引入，对中考题四种解法的教学反思泰州中考数学卷案例:第25题.已知正方形ABCD ,P 为射线AB 上的一点，以BP 为边作正方形BPEF ,使点F在线段CB 的延长线上，连接EA 、EC.若点P 在线段AB 上，如图1,设AB - a ,BP - b.当EP 平分乙AEC 时，求a :b 及乙AEC 的度数.图1本题当年中考得分率较低，主要失分点是有好多同学第一问就求不出a : b ,或者在求出a : b 后，绝大多数考生被卡在第二问“求乙AEC 的度数”上.事实上,从参考答案中的解法可以看出,命题者是把这一问作为一个难点来设置的.需设AB 、CE 交于点 G ,先证出a : b - 2 ： 1,得到a - 2 b.经汇总考卷参考答案、笔者解法和所教学生的解法,加在一起共有4文章编号:1008 - 0333 (2021) 14 - 0010 - 02种解法.第一种：考卷参考答案的解法.图2因为EP 平分乙AEC , EP 丄AG ,所以AP - PG - a -b ,BG - a - (2 a - 2 b ) - 2 b - a ,因为 PE 〃 CF ,所以Z PEG 二 Z BCG.又 Z PGE 二 Z BGC ,所以△ PGE s △ BGC.所以 PE : BC - PG : GB.即 b : a - ( a - b ) : (2b-a ),解得 a - M2 b.过G 作GH 丄AC ,垂足为H.如图2,因为Z CAB -45°, 所以 HG - 2 AG -jx(22 b -2 b ) - (2 - 2) b.又 BG -2 b - a - (2 - 2) b ,所以 GH - GB ,又 GH 丄AC ,GB 丄BC ，再证明A HCG 与△ BCG 全等，所以Z HCG -Z BCG ,因为 PE 〃CF ,所以 Z PEG - Z BCG ,所以 Z AEC -Z ACB -45°.所以 a : b - 2：1,Z AEC -45°.教者评析此解法综合运用了等腰三角形的性质定理、角平分线性质定理的逆定理,及相似三角形和正方形的性质等，但过程繁琐，考生拿到题目也不容易想到辅助线的作法.第二种:所教学生的解法.收稿日期：2021 -02 -15作者简介:黄磊(1980. 6 -)，男，江苏省泰兴人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.—10—2021年第14期总第507期数理化解题研究连接BE,a二AB二2b,BE二2b,.AB二BE,又Z ABE二45°,.Z EAG二67.5°.在A AEG中，Z AEG二180°-2x67.5°-45°.教者评析此法在求Z AEC的度数时,综合用到正方形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等.第三种:所教学生的解法.连接BE,v Z EBF-45°二Z BCE+Z BEC,BC二BE, .Z BCE二1Z EBF-22.5°.PE〃CB,.Z PEG-Z BCE-22.5°..Z AEG-2Z PEG-45°教者评析此法综合用到三角形外角的性质、等腰三角形性质定理、平行线的性质.第四种：笔者的解法.同样先连接BE.BC-BA-BE,以B为圆心,BC长为半径作圆B,. Z AEC二1Z ABC二1x90°-45°.22教者评析总结反思上述4种解法,对比之下发现最简洁的思路还是解法4.二、“辅助圆”应用的情境分析1.江苏常州中考数学模拟卷案例一如图3,直线y-%+b(b>0)与%、y轴分别相交于A、B两点，点C(1,0),过点C作垂直于%轴的直线/，在直线I上取一点P,满足PA-PB,点A关于直线/的对称点为点D,以D为圆心,DP为半径作O D.其中第(3)小题，请试说明：直线BP与O D相切.教者分析回答第(3)小题，如果按照一般思路，要证直线BP与O D相切，只要证BP丄PD.要证BP丄PD,大多数人的思路是:过点B作直线/的垂线，通过证明三角形全等来证明Z BPD-90°,而证明三角形全等的条件又不齐备，还需证明PC-OC-1,解题过程非常繁琐.仔细分析题目条件，如果结合图形的性质加以解决,则可找到证明Z BPD-90°的简便方法：因为点D是点A关于直线I的对称点,所以根据轴对称图形的性质可以得到PA-PD,再结合已知条件PA-PB,所以PA-PD-PB.以点P为圆心,PA的长为半径作O P,则点A、点B 和点D都在O P上.根据Z BAC-45°,由圆周角定理便能快速证到Z BPD-90°,从而证得BP丄PD,所以直线BP与O D相切.2.江苏常州中考数学模拟卷案例二在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)、B(-6,0),点C是y轴上的一个动点,当Z BCA-45。

浅谈构造辅助元素在数学中的应用

浅谈构造辅助元素在数学中的应用【摘要】构造辅助元素是构造思想中一个很重要的分支，用此方法解题，巧妙新颖，简捷独到，有利于培养创新能力和数学素质.构造辅助元素可整理为构造方程、构造函数、构造几何图形等十一类，在数学领域中有广泛的应用.【关键词】构造辅助元素数学应用构造思想是一种很重要的数学思想，它是以问题的已知元素或条件为“元件”，数学中的某些关系为“支架”，在思维中构作一种新的“构造物”，从而使问题变得简单易解的解题思想.其关键是根据题设条件和结论的特征适当地构作一种新的“构造物”，而这“构造物”的表现形式是多种多样的：有的是沟通问题条件和结论的“辅助元素”；有的是问题的“结论”所叙述的数学对象；有的是从否定问题的结论出发，而出现的“矛盾”；有的是符合问题的条件，但不符合其结论的“反例”.其中，以沟通题目条件和结论为目的的构造辅助元素的应用最为广泛，且其构造独特、方式比较多，在许多数学问题的解题过程中显示着令人瞩目的特殊作用.所谓构造辅助元素就是适当增加辅助条件，以此为中介，架起一座连接问题的条件和结论的桥梁，从而使问题得到解决.数学中列方程解应用题、几何中添置辅助线等实际上应用了此方法.构造辅助元素的过程模式是：通过构造辅助元素求解问题的方式常见的有构造方程、构造函数、构造几何变换等.下面我们将结合一些数学题目分别给予讨论.一、构造方程方程是解决数学问题的重要工具.在解题时，我们可通过对题意的分析，构造出方程，应用其理论达到解决问题的目的，方程可以是一元的，也可以是多元的，还可以是方程组.例1 已知)0,0(222≠≠--=b a c a b .求证：ac b 42≥. 分析：本题乍看起来无从下手，由题中待证式ac b 42≥的外形结构联想到042≥-=∆ac b ，再构造一元二次方程)0,0(02≠≠=++b a c bx ax ，证题途径便初显端倪.证明：构造一元二次方程)0,0(02≠≠=++b a c bx ax ， ① 将题设)0,0(222≠≠--=b a c a b ，代入①，得 )0,0(0)222(2≠≠=+--+b a c x c a ax ， ② 因为0)22)(2(=--x c ax ，故22是方程②的一个根，从而方程①有实根，故042≥-ac b 即ac b 42≥.以方程作为联想出发点进行构造，常见的有下面几种方式：（1）方程的根与系数的关系（韦达定理）；（2）一元二次方程的判别式ac b 42-=∆；（3）方程组的解的结构关系，特别是适当地选择自由未知量作为基本量，把其他未知量用基本量表示.二、构造函数如果借助函数的有关性质有利于分析原始问题时，则可根据题意构造出相应的函数，从而转化问题、解决问题.构造函数是构造辅助元素中比较抽象的构造性思维，应用时除了要对问题条件的特点分析之外，还要求熟悉典型的函数及其特点.例2 已知x ，∈y ]4,4[ππ-，R a ∈，且⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+.0c o s s i n 4,02s i n 33a y y y a x x 求)2cos(y x +的值.（1994年全国高中联赛试题）.分析：已知的两个等式中既含有代数式3x 和3y ，又含有三角函数式x sin 和y y cos sin ，因此要想将x 与y 解出很困难.仔细分析发现，通过a 可以将x 、y 联系在一起，由题设消去a ，得)2sin()2(sin 33y y x x -+-=+，此式的两边具有相同的表现形式，所以，可构造函数t t t f sin )(3+=.解：设函数t t t f sin )(3+=,易知)(t f 在]4,4[ππ-上是严格递增函数，又由题设消去a 得到)2sin()2(sin 33y y x x -+-=+,即)2()(y f x f -=.由单调函数性质知：y x 2-=，这样02=+y x ，所以1)2cos(=+y x .三、构造几何图形当题设中的数量关系有比较明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相联结时，则可以根据已知条件构造出符合要求的特殊或一般图形，从而直观、快速地解决问题.例3 已知a 、b 、c 、m 、n 、p 均为正数，且满足k p c n b m a =+=+=+.求证：.2k cm bp an <++（第21届全苏数学竞赛试题）.分析：根据“k p c n b m a =+=+=+”的信息特征，构造出以k 为边长的正三角形，并借助面积公式和图形的性质布列出不等式，使问题获得巧妙解决.证明：构造边长为k 的正三角形ABC ，在边AB 、BC 、AC 上分别截取一点D 、E 、F ，使a AD =，m BD =，c BE =，p EC =，b CF =，n AF =，则 ,k p c n b m a =+=+=+连结DE 、EF 、DF ，设===∆∆∆CEF BD E AD F S S S S S ,,21,,3S S S ABC =∆则60sin 2160sin 2160sin 21321bp cm an S S S ++=++)(43bp cm an ++=， .4360sin 212k k k S =⋅⋅= 易得 S S S S <++321，即 .43)(432k cm bp an <++ .2k cm bp an <++∴构造几何图形包括平面几何图形、立体几何图形及通过建立坐标系而得到的解析几何图形，我们常应用的数形结合思想中代数问题通过构图转化为几何问题的方式也可视为构造几何图形内容.四、构造几何变换如果几何问题的已知条件和结论比较分散，此时可通过反射、旋转、平移、相似等几何变换，将其中某些部分移到新的位置，使原来联系不密切的图形聚集在一起产生联系，从而使问题解决.例4 ABC ∆为等腰直角三角形，90=∠A ， AC AB = ， D 为斜边BC 上任一点，求证：2222AD DC BD =+.分析：这是平方和的问题，我们发现AD 、BD 、CD彼此关系不明显.我们可使AD 、BD 、CD 归于某一个三角形中.证明：将ABD ∆绕着点A 逆时针旋转 90，则点B 落在点C ，点D 落在点E .连结AE 、CE 、DE .易知 BD CE =，AD AE =，B ACE ∠=∠，则 ADE ∆为直角三角形，∴222DE AE AD =+，即 222DE AD =，又 90=∠+∠=∠+∠ACD B ACD ACE ， ∴2222222BD DC CE DC DE AD +=+==.五、构造方差如果一组数据的个数是n ，那么它们的方差-+++=)[(1222212n x x x nS 0]2≥x n ，其中 )(121n x x x nx +++= ，这是大家都知道的，除了用它来计算方差外，在解决一些问题时，若有目的、有意识地灵活应用它，则可收到事半功倍之效. 例5 求三个实数x ，y ，z ，使得它们满足方程组⎩⎨⎧=++-++=++82315294,1332222z y x z y x z y x （1992年国际“友谊杯”数学邀请赛试题）. 解：由①得z y x -=++16)33(2， ③①+②，得1044)33()2(222+--=++z z y x ，x 2 、33+y 的方差为0])23(2)33(4[212222≥-++=y x S ，将③、④代入⑤整理得0)221(32≥--z ，由此可得4=z ，代入①、②解得3=x ，1=y . 六、构造向量向量的内积在数学中有广泛的应用.根据题目所给的条件和结论，构造向量，并利用向量内积去证明，方法简单易行.例6 已知1=-b a ，22)1()1(+++=b a y ，求y 的取值范围.解：构造向量)1,1(++=b a ，)1,1(-=.||||cos ||||≤=⋅θ ，∴222||||n ≥,∴22)1()1(+++=b a y 212)11(2=--+≥b a ,即 21≥y . 七、构造数列由已知条件分析，若其某些特征与数列的通项、求和、中项等公式相似时，可构造相应的数列求解.另外，在研究某些数列问题时，如果仅仅对原数列周旋，问题会孤立无援，但适当地构造一个新数列，通过新旧数列之间的关系，问题就会得解.例7 设)2311()411)(11(-+++=n u n ，313+=n v n ，),,3,2,1( =n ，试比较n u 与n v 的大小.（1998年全国高考试题）.分析：由已知数列构造新的数列，在高考试卷里经常出现，这里将两数列相除，构造两个新数列，利用比较原理进行证明.解：因为21=u ，314=v ，所以11v u >，显然0>n u ，0>n v ，构造新的数列1-=k kk u u a ，1-=k k k v v b ，),,3,2( =k ，注意到123131>--==-k k u u a k k k ，1231331>-+==-k k v v b k k k ，),,3,2( =k ，且0)23(5923132313)()(3333>--=-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-k k k k k k b a k k ，所以k k b a >，),,3,2( =k ，得到 n n b b b a a a 3232>，)2(≥n ，即 1231212312-->n n n n v v v v v v u u u u u u ，)2(≥n ，所以化简得11v v u u n n >，)2(≥n ，即 n n n v v v u u >>11，)2(≥n ，综上所述，n n v u >，),,3,2,1( =n .八、构造错排模式错排问题：n 个数，分别为1，2， ,3，n ，排成一个长度为n 的排列.若每一个数的位置都与数的本身不相等，则称这个排列是一个错排.例如，n =3，则错排有231，312.设)(n f 是n 个数的错排个数，则0)1(=f ，1)2(=f ，)2()1()1()1()(-⋅-+-⋅-=n f n n f n n f )2(>n .例8 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后，每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？（1993年全国高考实验卷）.解：将四张贺年卡分别编号为1，2，3，4.四人视为位置，这样，问题就可看成 1～4的错排，所以 )2(3)3(3)2()14()3()14()4(f f f f f +=⋅-+⋅-=，∴202)1(2)2(2)3(=+=+=f f f ，∴91323)4(=⨯+⨯=f .∴四张贺年卡不同的分配方式有9种.九、构造行列式行列式是重要的数学工具，元素是字母的行列式实际上是一个多项式.对称多项式或轮换多项式往往可以应用相应的行列式来表示，因此可以构造行列式.例9 已知0=++c b a ，求证：abc c b a 3333=++. 证明：构造行列式0111)(=++=ac b a cb c b a a c b b a c c ba ，而又因为abc c b a ac b b a c cba 3333-++=，故abc cb a 3333=++. 十、构造概率概率是数学的重要概念，构造概率就是应用数学概率原理来解题的策略.例10 求证：50300020050100492001100502000100C C C C C C C =+++ . 证明：分析左端的一般项k k C C -50200100，可构造如下的概率事件:有甲、乙两个袋，甲袋中有100个红球，乙袋中有200个白球，现从甲、乙两袋中共取出50个球，其取法的种数为020050100492001100502000100C C C C C C +++ ，而这个事件就相当于将这两种球混放在一个袋子里，从300个球中任取50个球，取法的种数为50300C ，所以原式成立.十一、构造辅助表若研究的问题涉及两个集合的元素间对应关系，可编制有两个表头的表格，每个表头对应一个集合，使表头的格与集合的元素相对应，表中的任一格都表示取自这两个集合的两元素组成的元素对，格中填写与此元素对有关的数据或关系，然后再利用制成的表格进行分析、研究.表格本身具有逻辑结构，往往能使问题的逻辑关系直观而简明地显现出来，提供程序性操作的机会.例11 21个女孩和21个男孩参加一次数学竞赛（1）每个参赛者至多解出了6道题；（2）对于每一个女孩和每一个男孩，至少有一道题被这一对孩子都解出.证明：有一道题至少有3个女孩和至少3个男孩都解出.（第42届IMO 试题）.证明：作一张2121⨯关联表，每行代表一个男孩)211(≤≤i b i ，每列代表一个女孩)211(≤≤i g i ，格子),(j i （表示第i 行、第j 列的格子）中填入i b 与j g 共同解出的一道题的序号（由（2）知必有这种题目，若不止一道，可任意选定一道），由（1）知，每行填入的21个序号至多有6种不同，故出现3次（或更多）的序号的总次数不少于115221=⨯-，将这些格子染上红色，全表共有至少2111⨯个格子被染上红色，同理，将每列中出现3次（或更多）的序号所在的格子染上蓝色，全表共有至少2111⨯个蓝格子，由于2121212221112111⨯>⨯=⨯+⨯，故必有一个格子同时被染上红色和蓝色，这个格子所填序号的题目就满足了要求.通过对以上这些方面的探讨，给人深刻的思想启示：（1）构造辅助元素在解决数学问题中起到化简、转化和桥梁的作用；（2）用构造辅助元素解决问题，可以使数学各分支知识互相渗透，有利于提高分析和解决问题的能力；（3）数学各分支知识为构造辅助元素提供了广阔而丰富的背景.要想运用好构造辅助元素这种方法，应全面深入分析问题的特点、条件间的关系以及条件与结论之间的关系，挖掘问题的寓意，明确问题所涉及的知识领域；同时必须广开思路，广泛联想有关知识，采用发散思维、逆向思维等创造性思维方法，寻求欲构造的辅助元素.若教师在教学中能适当地对其加以介绍，并加强解题训练，对学生创造思维能力的培养，数学素质的全面提高定会有意想不到的功效.【参考文献】[1]侯敏义.数学思维与数学方法论[M].长春：东北师范大学出版社，1995.[2]梁法驯.数学解题方法[M].武汉：华中理工大学出版社，1995.3.[3]刘浏，袁拥军.例谈运用构造法求取值范围[J].数学教学研究，2003（10）.[4]吴礼斌，吴秋月.例谈构造法解题[J].中学数学教学，2003（6）.[5]曹勇兵.例说构造法解题[J].中学数学研究，2002（8）.[6]李记林.例说循特征构造正三角形解题[J].中学数学研究，2002（6）.[7]蔡旺庆.构造特殊“元”，优化解题过程[J].数学教学研究，2001（10）.Talk about the application of constructing auxiliary elements in mathematics simplyChen Xiong[Abstract] Constructing auxiliary elements is a very important branch in the structural thinking. Solving problems with this me thod is very skillful,novel and forthright.It’s good for training the ability of innovation and mathematics. Constructing auxiliary elements may reorganize for the structure equation, the structure function, the structure geometric figure and so on 11 kinds, has the widespread application in mathematics domain.[Key Words] construct auxiliary element mathematics application。