导数与单调性极值最基础值习题
第二章 第十一节 导数与函数的单调性、极值、最值课时提升作业
课时提升作业(十四)一、选择题1.设a∈R,若函数y=e x+ax,x∈R有大于零的极值点,则( )(A)a<-1 (B)a>-1(C)a>- (D)a<-2.(2013·榆林模拟)函数y=(3-x2)e x的递增区间是( )(A)(-∞,0)(B)(0,+∞)(C)(-∞,-3)和(1,+∞)(D)(-3,1)3.(2013·铜川模拟)对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是( )(A)0≤a≤21 (B)a=0或a=7(C)a<0或a>21 (D)a=0或a=214.(2013·九江模拟)已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且满足以下条件:①f(x)=a x·g(x)(a>0,a≠1);②g(x)≠0;③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x).若+=,则a等于( )(A) (B)2 (C) (D)2或5.设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )6.(2013·抚州模拟)函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数,且函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y=g(x)=f′(x0)·(x-x0)+f(x0),F(x)=f(x)-g(x),如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像如图所示,且a<x0<b,那么( )(A)F′(x0)=0,x=x0是F(x)的极大值点(B)F′(x0)=0,x=x0是F(x)的极小值点(C)F′(x0)≠0,x=x0不是F(x)的极值点(D)F′(x0)≠0,x=x0是F(x)的极值点二、填空题7.函数f(x)=的递增区间是.8.若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为.9.对于函数f(x)=-2cosx(x∈[0,π])与函数g(x)=x2+lnx有下列命题:①函数f(x)的图像关于x=对称;②函数g(x)有且只有一个零点;③函数f(x)和函数g(x)图像上存在平行的切线;④若函数f(x)在点P处的切线平行于函数g(x)在点Q处的切线,则直线PQ的斜率为.其中正确的命题是.(将所有正确命题的序号都填上)三、解答题10.(2013·合肥模拟)已知函数f(x)=x3-x2+x+b,其中a,b∈R.(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式.(2)当a>0时,讨论函数f(x)的单调性.11.(2013·南昌模拟)已知函数f(x)=ax2-3x+lnx(a>0).(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)在区间[,2]上的最值.(2)若函数f(x)在定义域内是单调函数,求a的取值范围.12.(能力挑战题)已知函数f(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的极值点.(2)若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程.(3)设函数g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函数g(x)在[1,e]上的最小值(其中e为自然对数的底数).答案解析1.【解析】选A.由y′=(e x+ax)′=e x+a=0,得e x=-a,即x=ln(-a)>0⇒-a>1⇒a<-1.2.【解析】选D.y′=-2xe x+(3-x2)e x=e x(-x2-2x+3)>0⇒x2+2x-3<0⇒-3<x<1,≨函数y=(3-x2)e x的递增区间是(-3,1).3.【解析】选A.f′(x)=3x2+2ax+7a,令f′(x)=0,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f′(x)≥0恒成立,函数不存在极值点.4.【解析】选A.由①②得=a x,又[]′=,由③知[]′<0,故y=a x是减函数,因此0<a<1.由+=,得a+=,解得a=或a=2(舍).5.【解析】选D.对于A来说,抛物线为函数f(x),直线为f′(x);对于B来说,从左到右上升的曲线为函数f(x),从左到右下降的曲线为f′(x);对于C来说,下面的曲线为函数f(x),上面的曲线为f′(x).只有D不符合题设条件.【方法技巧】函数的导数与增减速度及图像的关系(1)导数与增长速度①一个函数的增长速度快,就是说,在自变量的变化相同时,函数值的增长大,即平均变化率大,导数也就大;②一个函数减小的速度快,那么在自变量的变化相同时,函数值的减小大,即平均变化率大,导数的绝对值也就大.(2)导数与图像一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,说明函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就较“平缓”.6.【思路点拨】y=g(x)是函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线,故g′(x)=f′(x0),据此判断F′(x0)是否为0,再进一步判断在x=x0两侧F′(x)的符号.【解析】选B.F′(x)=f′(x)-g′(x)=f′(x)-f′(x0),≨F′(x0)=f′(x0)-f′(x0)=0,又当x<x0时,从图像上看,f′(x)<f′(x0),即F′(x)<0,此时函数F(x)=f(x)-g(x)是减少的,同理,当x>x0时,函数F(x)是增加的.7.【解析】f′(x)==>0,即cosx>-,结合三角函数图像知,2kπ-<x<2kπ+(k∈Z),即函数f(x)的递增区间是(2kπ-,2kπ+)(k∈Z).答案:(2kπ-,2kπ+)(k∈Z)8.【解析】≧x=2是f(x)的极大值点,f(x)=x(x2-2cx+c2)=x3-2cx2+c2x,≨f′(x)=3x2-4cx+c2,≨f′(2)=3×4-8c+c2=0,解得c=2或c=6,当c=2时,在x=2处不能取极大值,≨c=6.答案:6【误区警示】本题易出现由f′(2)=0求出c后,不验证是否能够取到极大值这一条件,导致产生增根.9.【解析】画出函数f(x)=-2cosx,x∈[0,π]的图像可知①错;函数g(x)=x2+lnx的导函数g′(x)=x+≥2,所以函数g(x)在定义域内为增函数,画图知②正确;因为f′(x)=2sinx≤2,又因为g′(x)=x+≥2,所以函数f(x)和函数g(x)图像上存在平行的切线,③正确;同时要使函数f(x)在点P处的切线平行于函数g(x)在点Q处的切线只有f′(x)=g′(x)=2,这时P(,0),Q(1,),所以k PQ=,④也正确.答案:②③④10.【解析】(1)f′(x)=ax2-(a+1)x+1.由导数的几何意义得f′(2)=5,于是a=3.由切点P(2,f(2))在直线y=5x-4上可知2+b=6,解得b=4.所以函数f(x)的解析式为f(x)=x3-2x2+x+4.(2)f′(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-)(x-1).当0<a<1时,>1,函数f(x)在区间(-≦,1)及(,+≦)上是增加的,在区间(1,)上是减少的;当a=1时,=1,函数f(x)在区间(-≦,+≦)上是增加的;当a>1时,<1,函数f(x)在区间(-≦,)及(1,+≦)上是增加的,在区间(,1)上是减少的.11.【解析】(1)≧f(x)=ax2-3x+lnx,≨f′(x)=2ax-3+,又f′(1)=0,≨2a-2=0,≨a=1,≨f(x)=x2-3x+lnx,f′(x)=2x-3+.令f′(x)=0,即2x-3+=0,解得x=或x=1.列表如下:≨当x=1时,f(x)min=-2;≧f(2)-f()=-2+ln2++ln2=ln4->1->0,≨当x=2时,f(x)max=-2+ln2.(2)f(x)的定义域为(0,+≦),f′(x)=2ax-3+=,令Δ=9-8a.当a≥时,Δ≤0,f′(x)≥0,函数f(x)在(0,+≦)上是增加的,当0<a<时,Δ>0,方程2ax2-3x+1=0有两个不相等的正根x1,x2,不妨设x1<x2,则当x∈(0,x1)∪(x2,+≦)时,f′(x)>0,当x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,这时,函数f(x)在定义域内不是单调函数.综上,a的取值范围是[,+≦).12.【思路点拨】(1)先判断f(x)的增减性,再求极值点.(2)设出切点,表示出切线方程,利用直线过点(0,-1),求出切点即可得出切线方程.(3)先求出极值点,再根据该点是否在[1,e]上分类讨论.【解析】(1)f′(x)=lnx+1,x>0.而f′(x)>0,即lnx+1>0,得x>.f′(x)<0,即lnx+1<0,得0<x<,所以f(x)在(0,)上是减少的,在(,+≦)上是增加的.所以x=是函数f(x)的极小值点,极大值点不存在.(2)设切点坐标为(x0,y0),则y0=x0lnx0,切线的斜率为lnx0+1,所以切线l的方程为y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0).又切线l过点(0,-1),所以有-1-x0lnx0=(lnx0+1)(0-x0).解得x0=1,y0=0.所以直线l的方程为y=x-1.(3)g(x)=xlnx-a(x-1),则g′(x)=lnx+1-a.g′(x)<0,即lnx+1-a<0,得0<x<e a-1,g′(x)>0,得x>e a-1,所以g(x)在(0,e a-1)上是减少的,在(e a-1,+≦)上是增加的.①当e a-1≤1即a≤1时,g(x)在[1,e]上是增加的,所以g(x)在[1,e]上的最小值为g(1)=0.②当1<e a-1<e,即1<a<2时,g(x)在[1,e a-1)上是减少的,在(e a-1,e]上是增加的.g(x)在[1,e]上的最小值为g(e a-1)=a-e a-1.③当e≤e a-1,即a≥2时,g(x)在[1,e]上是减少的,所以g(x)在[1,e]上的最小值为g(e)=e+a-ae.综上,x∈[1,e]时,当a≤1时,g(x)的最小值为0;当1<a<2时,g(x)的最小值为a-e a-1;当a≥2时,g(x)的最小值为a+e-ae.【变式备选】设f(x)=-x3+x2+2ax.(1)若f(x)在(,+≦)上存在递增区间,求a的取值范围.(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-,求f(x)在该区间上的最大值.【解析】(1)f(x)=-x3+x2+2ax,≨f′(x)=-x2+x+2a,当x∈[,+≦)时,f′(x)的最大值为f′()=+2a.函数f(x)在(,+≦)上存在递增区间,即导函数在(,+≦)上存在函数值大于零成立,≨+2a>0⇒a>-.(2)已知0<a<2,f(x)在[1,4]上取到最小值-,而f′(x)=-x2+x+2a的图像开口向下,且对称轴为x=,≨f′(1)=-1+1+2a=2a>0,f′(4)=-16+4+2a=2a-12<0,则必有一点x0∈[1,4]使得f′(x0)=0,此时函数f(x)在[1,x0]上是增加的,在[x0,4]上是减少的,f(1)=-++2a=+2a>0,≨f(4)=-×64+×16+8a=-+8a,≨-+8a=-,得a=1,此时,由f′(x0)=-+x0+2=0得x0=2或-1(舍去),所以函数f(x)max=f(2)=.。
(完整word版)导数与单调性极值最基础值习题
导数与单调性极值最基础值习题一．选择题1．可导函数y=f（x）在某一点的导数值为0是该函数在这点取极值的（) A．充分条件B．必要条件 C．充要条件 D．必要非充分条件2．函数y=1+3x﹣x3有（)A．极小值﹣1，极大值3 B．极小值﹣2，极大值3C．极小值﹣1，极大值1 D．极小值﹣2，极大值23．函数f（x)=x3+ax2﹣3x﹣9，已知f（x）的两个极值点为x1,x2,则x1•x2=A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣14．函数的最大值为（)A． B．e2C．e D．e﹣15．已知a为函数f(x)=x3﹣12x的极小值点，则a=（)A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．26．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=( ）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或17．设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点 B．x=1为f(x）的极小值点C．x=﹣1为f（x)的极大值点D．x=﹣1为f(x）的极小值点8．函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是( ）A．（0，3）B．（0，）C．（0，+∞） D．（﹣∞，3）9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f（2）等于（）A．11或18 B．11 C．18 D．17或1810．设三次函数f（x)的导函数为f′（x）,函数y=x•f′（x）的图象的一部分如图所示,则正确的是（）A．f（x）的极大值为,极小值为B．f(x)的极大值为，极小值为C．f(x）的极大值为f（﹣3），极小值为f（3）D．f(x)的极大值为f（3），极小值为f（﹣3）11．若f（x)=x3+2ax2+3（a+2)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是（）A．﹣a＜a＜2 B．a＞2或a＜﹣1 C．a≥2或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣212．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间［0，3]上最大值与最小值分别是( ）A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣1613．已知f(x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2,2]上有最大值3,那么此函数在［﹣2，2］上的最小值是( )A．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．以上都不对二．填空题15．函数f（x）=x3﹣3x2+1的极小值点为．16．已知f(x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，当x=1时，有极值10，则a+b= ．17．已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则c= ．18．已知函数f(x)=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是．19．已知函数f（x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是．20．已知函数f（x）=4x+（x＞0,a＞0）在x=3时取得最小值，则a= ．21．f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1］上的最大值是．22．已知函数f（x）=x3﹣12x+8在区间[﹣3，3］上的最大值与最小值分别为M，m，则M﹣m= ．23．设f（x）=x3﹣﹣2x+5，当x∈［﹣1,2]时，f（x）＜m恒成立,则实数m的取值范围为．24．f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a= ．三．解答题25．已知函数f（x）=ax3+x2+bx(其中常数a，b∈R），g（x)=f（x）+f′（x）是奇函数．（1)求f（x）的表达式；（2）讨论g（x）的单调性，并求g(x)在区间[1，2]上的最大值和最小值．26．已知函数f（x）=x﹣1﹣lnx(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）对∀x∈（0，+∞），f（x)≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．28．已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值;(Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．29．已知函数f(x）=（x﹣2）e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f(x）在区间［0，2］上的最小值和最大值．30．已知函数f（x）=ax3﹣6ax2+b（x∈[﹣1,2]）的最大值为3,最小值为﹣29，求a、b的值．31．求函数f（x）=x3﹣2x2+5在区间［﹣2，2］的最大值和最小值．32．设函数f（x）=1+(1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时,求f(x）取得最大值和最小值时的x的值．导数与单调性极值最基础值习题参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．可导函数y=f（x）在某一点的导数值为0是该函数在这点取极值的( ）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．必要非充分条件【分析】结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求f′（x）=0外，还的要求在两侧有单调性的改变(或导函数有正负变化）,通过反例可知充分性不成立．【解答】解：如y=x3，y′=3x2，y′｜x=0=0,但x=0不是函数的极值点．若函数在x0取得极值，由定义可知f′(x)=0，所以f′（x)=0是x为函数y=f(x）的极值点的必要不充分条件故选：D．【点评】本题主要考查函数取得极值的条件：函数在x0处取得极值⇔f′（x）=0,且f′（x＜x 0）•f′（x＞x）＜02．函数y=1+3x﹣x3有（）A．极小值﹣1，极大值3 B．极小值﹣2，极大值3C．极小值﹣1，极大值1 D．极小值﹣2，极大值2【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案．【解答】解：∵y=1+3x﹣x3，∴y′=3﹣3x2,由y′=3﹣3x2＞0，得﹣1＜x＜1,由y′=3﹣3x2＜0，得x＜﹣1，或x＞1，∴函数y=1+3x﹣x3的增区间是(﹣1，1）,减区间是（﹣∞，﹣1),（1，+∞）．∴函数y=1+3x﹣x3在x=﹣1处有极小值f（﹣1）=1﹣3﹣(﹣1）3=﹣1，函数y=1+3x﹣x3在x=1处有极大值f(1）=1+3﹣13=3．故选：A．【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于0时的实数x 的范围，再讨论出函数的单调区间,根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用3．函数f(x)=x3+ax2﹣3x﹣9,已知f（x）的两个极值点为x1，x2,则x1•x2=（）A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1【分析】本题的函数为三次多项式函数，若三次多项式函数有两个极值点，说明它的导函数有两个不相等的零点，转化为二次函数的根求解，用韦达定理可得x1•x2=﹣1【解答】解：由f（x）=x3+ax2﹣3x﹣9得, f′（x）=3x2+2ax﹣3f′（x）=0的两根为x1，x2就是函数的两个极值点根据韦达定理，得故选：D．【点评】本题主要考查利用导数工具讨论函数的单调性，从而得到函数的极值点．一元二次方程根与系数的关系是解决本题的又一个亮点．4．函数的最大值为（)A． B．e2C．e D．e﹣1【分析】利用导数进行求解，注意函数的定义域,极大值在本题中也是最大值;【解答】解：∵函数,（x＞0）∴y′=，令y′=0，得x=e，当x＞e时，y′＜0，f(x）为减函数，当0＜x＜e时，y′＞0，f（x）为增函数，∴f(x）在x=e处取极大值，也是最大值，∴y最大值为f（e）==e﹣1，故选:D．【点评】此题主要考查函数在某点取极值的条件,利用导数研究函数的最值问题，是一道基础题；5．已知a为函数f(x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【分析】可求导数得到f′(x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f(x）的极小值点，从而得出a的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0;∴x=2是f（x）的极小值点；又a为f(x）的极小值点；∴a=2．故选：D．【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．6．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=( ）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x 轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0,可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1)，（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减,∴函数在x=﹣1处取得极大值,在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选:A．【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．7．设函数f（x）=xe x，则( )A．x=1为f（x)的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x)的极小值点【分析】由题意，可先求出f′(x）=（x+1）e x,利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点【解答】解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=(x+1）e x，令f′(x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在(﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=(x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在(﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x)的极小值点故选：D．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题,8．函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，3）B．(0,）C．(0，+∞） D．（﹣∞，3）【分析】先对函数求导，函数在（0，1）内有极小值，得到导函数等于0时,求出x的值,这个值就是函数的极小值点,使得这个点在（0，1）上,求出a的值．【解答】解：根据题意，y’=3x2﹣2a=0有极小值则方程有解a＞0x=±所以x=是极小值点所以0＜＜10＜＜10＜a＜故选：B．【点评】本题考查函数在某一点取得极值点条件，本题解题的关键是在一个区间上有极值相当于函数的导函数在这一个区间上有解．9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f（2)等于（）A．11或18 B．11 C．18 D．17或18【分析】根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0，又因为f′（x）=3x2+2ax+b，所以得到：f′（1）=3+2a+b=0，又因为f（1）=10,所以可求出a与b的值确定解析式，最终将x=2代入求出答案．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，∴或①当时，f′（x）=3(x﹣1）2≥0，∴在x=1处不存在极值;②当时，f′（x）=3x2+8x﹣11=(3x+11)（x﹣1）∴x∈（，1），f′(x)＜0，x∈（1,+∞）,f′（x）＞0，符合题意．∴，∴f(2）=8+16﹣22+16=18．故选：C．【点评】本题主要考查导数为0时取到函数的极值的问题，这里多注意联立方程组求未知数的思想，本题要注意f′（x0）=0是x=x是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验．10．设三次函数f（x）的导函数为f′（x）,函数y=x•f′（x）的图象的一部分如图所示，则正确的是（）A．f（x）的极大值为，极小值为B．f（x）的极大值为，极小值为C．f（x）的极大值为f（﹣3)，极小值为f(3)D．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（﹣3)【分析】观察图象知，x＜﹣3时，f′（x)＜0．﹣3＜x＜0时，f′(x）＞0．由此知极小值为f （﹣3）．0＜x＜3时，yf′（x）＞0．x＞3时，f′（x）＜0．由此知极大值为f（3)．【解答】解:观察图象知,x＜﹣3时，y=x•f′（x）＞0，∴f′（x)＜0．﹣3＜x＜0时,y=x•f′（x)＜0，∴f′（x）＞0．由此知极小值为f（﹣3）．0＜x＜3时，y=x•f′（x）＞0，∴f′（x）＞0．x＞3时，y=x•f′(x）＜0，∴f′(x）＜0．由此知极大值为f（3）．故选:D．【点评】本题考查极值的性质和应用，解题时要仔细图象，注意数形结合思想的合理运用．11．若f（x）=x3+2ax2+3（a+2)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是（）A．﹣a＜a＜2 B．a＞2或a＜﹣1 C．a≥2或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣2【分析】求出函数的导函数，根据函数的极值是导函数的根，且根左右两边的导函数符号不同得到△＞0；解出a的范围．【解答】解:f′（x）=3x2+4ax+3(a+2）∵f（x）有极大值和极小值∴△=16a2﹣36(a+2）＞0解得a＞2或a＜﹣1故选：B．【点评】本题考查函数的极值点是导函数的根,且根左右两边的导函数符号需不同．12．函数y=xe﹣x，x∈[0，4］的最小值为（）A．0 B．C． D．【分析】先求出导函数f′（x)，由f′（x）＞0和f′（x）＜0,求出x的取值范围，得出函数f（x）的单调区间，从而求出函数的最值．【解答】解：，当x∈[0，1）时，f′（x)＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，4]时，f′（x）＜0，f(x）单调递减，∵f（0）=0,，∴当x=0时，f（x）有最小值，且f（0)=0．故选：A．【点评】本题考查的是利用导数，判断函数的单调性,从而求出最值，属于基础题．13．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0,3］上最大值与最小值分别是（）A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0,3]上的单调性,根据函数的变化规律确定函数在区间[0，3］上最大值与最小值位置，求值即可【解答】解：由题意y'=6x2﹣6x﹣12令y’＞0,解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）减，在（2，3）上增又y(0)=5，y(2）=﹣15，y（3）=﹣4故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间［0，3]上最大值与最小值分别是5，﹣15故选:A．【点评】本题考查用导数判断函数的单调性,利用单调性求函数的最值，利用单调性研究函数的最值,是导数的重要运用，注意上类题的解题规律与解题步骤．14．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在［﹣2，2］上有最大值3,那么此函数在［﹣2，2]上的最小值是（）A．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．以上都不对【分析】先求导数,根据单调性研究函数的极值点，在开区间（﹣2，2)上只有一极大值则就是最大值，从而求出m，通过比较两个端点﹣2和2的函数值的大小从而确定出最小值,得到结论．【解答】解：∵f′（x）=6x2﹣12x=6x(x﹣2)，∵f（x)在（﹣2，0)上为增函数，在（0，2）上为减函数，∴当x=0时,f(x）=m最大，∴m=3,从而f（﹣2）=﹣37，f（2)=﹣5．∴最小值为﹣37．故选：A．【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值,求函数在闭区间[a,b]上的最大值与最小值是通过比较函数在(a，b）内所有极值与端点函数f(a），f（b) 比较而得到的,属于基础题．二．填空题（共10小题)15．函数f（x）=x3﹣3x2+1的极小值点为 2 ．【分析】首先求导可得f′（x）=3x2﹣6x，解3x2﹣6x=0可得其根,再判断导函数的符号分析函数的单调性，即可得到极小值点．【解答】解：f′(x)=3x2﹣6x令f′（x）=3x2﹣6x=0得x1=0,x2=2且x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0；x∈(0，2）时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′(x)＞0故f(x）在x=2出取得极小值．故答案为2．【点评】本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查．熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．16．已知f(x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，当x=1时,有极值10，则a+b= 7 ．【分析】求导函数，利用函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，当x=1时，有极值10,建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论．【解答】解:∵函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣b,又∵函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2,当x=1时，有极值10,∴，∴或时，f’（x）=3x2﹣2ax﹣b=(x﹣1）（3x+11）=0有不等的实根，满足题意;时，f'（x）=3x2﹣2ax﹣b=3（x﹣1)2=0有两个相等的实根,不满足题意；∴a+b=7故答案为：7【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的极值，考查学生的计算能力,属于基础题．17．已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则c= 6 ．【分析】由已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值,则必有f′（2)=0，且在x=2的两侧异号即可得出．【解答】解：∵f′（x)=（x﹣c)2+2x(x﹣c）=3x2﹣4cx+c2，且函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，∴f′（2）=0，即c2﹣8c+12=0，解得c=6或2．经检验c=2时，函数f(x)在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去．故c=6．故答案为6．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值的方法是解题的关键．18．已知函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪(2,+∞）．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，可以得到△＞0，进而可解出a的范围．【解答】解：∵f(x)=x3+3ax2+3(a+2）x+1∴f'(x）=3x2+6ax+3（a+2）∵函数f（x)=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值∴△=（6a）2﹣4×3×3（a+2)＞0∴a＞2或a＜﹣1故答案为：（﹣∞，﹣1）∪(2，+∞)【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．19．已知函数f(x)=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是m ＜﹣3或m＞6 ．【分析】求出函数f（x）的导函数，根据已知条件，导函数必有两个不相等的实数根,只须令导函数的判别式大于0，求出m的范围即可．【解答】解：∵函数f（x）=x3+mx2+(m+6）x+1既存在极大值，又存在极小值f′（x)=3x2+2mx+m+6=0，它有两个不相等的实根，∴△=4m2﹣12（m+6）＞0解得m＜﹣3或m＞6故答案为：m＜﹣3或m＞6．【点评】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件．导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．20．已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a= 36 ．【分析】由题设函数在x=3时取得最小值,可得f′（3)=0，解此方程即可得出a的值．【解答】解：由题设函数在x=3时取得最小值,∵x∈（0，+∞），∴得x=3必定是函数的极值点，∴f′(3)=0，f′（x）=4﹣,即4﹣=0，解得a=36．故答案为：36．【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3时取得最小值”，将其转化为x=3处的导数为0等量关系．21．f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1,1]上的最大值是 2 ．【分析】求出函数的导函数，令导函数为0,求出根，判断根是否在定义域内,判断根左右两边的导函数符号，求出最值．【解答】解：f′（x)=3x2﹣6x=3x（x﹣2）令f′（x）=0得x=0或x=2（舍)当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′(x）＜0所以当x=0时，函数取得极大值即最大值所以f（x)的最大值为2故答案为2【点评】求函数的最值，一般先求出函数的极值,再求出区间的端点值，选出最值．22．已知函数f（x）=x3﹣12x+8在区间［﹣3,3］上的最大值与最小值分别为M，m,则M﹣m= 32 ．【分析】先对函数f(x）进行求导,令导函数等于0求出x，然后根据导函数的正负判断函数f （x）的单调性，列出在区间[﹣3,3］上f（x）的单调性、导函数f’（x）的正负的表格，从而可确定最值得到答案．【解答】解：令f′（x)=3x2﹣12=0，得x=﹣2或x=2，列表得：x﹣3（﹣3，﹣﹣2（﹣2，2）2（2,3）32）f′（x）+0﹣0+f(x）17极值24极值﹣8﹣1可知M=24,m=﹣8,∴M﹣m=32．故答案为：32【点评】本题主要考查函数的求导运算、函数的单调性与其导函数的正负之间的关系和函数在闭区间上的最值．导数是由高等数学下放到高中的内容，每年必考，要引起重视．23．设f(x）=x3﹣﹣2x+5，当x∈［﹣1，2］时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为（7，+∞）．【分析】先求导数，然后根据函数单调性研究函数的极值点,通过比较极值与端点的大小从而确定出最大值，进而求出变量m的范围．【解答】解：f′（x）=3x2﹣x﹣2=0解得：x=1或﹣当x∈时，f'（x）＞0，当x∈时，f'（x）＜0，当x∈（1，2)时,f'（x)＞0，∴f(x）max ={f（﹣），f（2）｝max=7由f（x）＜m恒成立，所以m＞fmax（x）=7．故答案为：（7，+∞）【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间［a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在(a，b）内所有极值与端点函数f(a），f(b）比较而得到的，属于基础题．24．f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1,1］总有f(x)≥0成立，则a= 4 ．【分析】这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0,③x＜0等三种情形．当x=0时，不论a取何值，f（x）≥0都成立;当x＞0时,有a≥,可构造函数g(x)=，然后利用导数求g（x)的最大值，只需要使a≥g(x）max 同理可得x＜0时的a的范围,从而可得a的值．【解答】解：①若x=0，则不论a取何值，f(x）≥0都成立；②当x＞0，即x∈(0，1］时，f（x)=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≥设g（x）=，则g′（x）=，所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间［,1]上单调递减,=g(）=4，从而a≥4；因此g(x)max③当x＜0，即x∈［﹣1,0）时,f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≤，g（x）=在区间[﹣1，0）上单调递增，=g（﹣1）=4,从而a≤4，综上a=4．因此g（x）min答案为：4．【点评】本题考查的是含参数不等式的恒成立问题,考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答．三．解答题（共10小题）25．已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x)是奇函数．（1）求f(x）的表达式;(2）讨论g（x)的单调性，并求g(x）在区间[1，2］上的最大值和最小值．【分析】(Ⅰ）由f'(x)=3ax2+2x+b得g（x）=fax2+(3a+1）x2+（b+2）x+b，再由函数g（x）是奇函数，由g（﹣x)=﹣g（x），利用待系数法求解．（2）由（1）知,再求导g’（x)=﹣x2+2，由g’(x)≥0求得增区间，由g’（x）≤0求得减区间;求最值时从极值和端点值中取．【解答】解：（1）由题意得f’（x）=3ax2+2x+b因此g(x）=f（x)+f’（x)=ax3+(3a+1）x2+（b+2)x+b因为函数g（x）是奇函数，所以g（﹣x）=﹣g（x），即对任意实数x,有a（﹣x）3+(3a+1）(﹣x）2+（b+2）（﹣x）+b=﹣[ax3+（3a+1)x2+（b+2）x+b]从而3a+1=0，b=0，解得，因此f（x）的解析表达式为．（2）由(Ⅰ）知，所以g’(x）=﹣x2+2，令g'（x)=0解得则当时,g'(x)＜0从而g（x）在区间,上是减函数，当,从而g（x）在区间上是增函数,由前面讨论知,g（x）在区间［1，2]上的最大值与最小值只能在时取得,而,因此g（x）在区间[1，2]上的最大值为,最小值为．【点评】本题主要考查构造新函数，用导数研究函数的单调性和求函数的最值．26．已知函数f（x)=ln（1+x）﹣x，g(x)=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x)的最大值；（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a)+g（b)﹣2g（)＜（b﹣a）ln2．【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出x的值，再判断函数的单调性，进而可求出最大值．（2）先将a,b代入函数g(x）得到g(a）+g（b)﹣2g（）的表达式后进行整理，根据(1）可得到lnx＜x，将、放缩变形为、代入即可得到左边不等式成立,再用根据y=lnx的单调性进行放缩＜．然后整理即可证明不等式右边成立．【解答】（Ⅰ）解：函数f(x)的定义域为(﹣1，+∞)．．令f′（x）=0,解得x=0．当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′(x）＜0．又f(0)=0，故当且仅当x=0时,f（x）取得最大值，最大值为0．(Ⅱ）证明：=．由(Ⅰ）结论知ln（1+x）﹣x＜0（x＞﹣1，且x≠0)，由题设,因此ln=﹣ln（1+）＞﹣，,所以．又，＜．=（b﹣a）ln＜（b﹣a)ln2综上．【点评】本题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力．27．已知函数f（x）=x﹣1﹣lnx（Ⅰ）求曲线y=f(x）在点（2，f（2)）处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）对∀x∈（0，+∞），f（x)≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出f（2），再根据导数的几何意义，求出该点的导数值,即得曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可（Ⅱ)令导数大于0解出增区间，令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定出极值即可．（Ⅲ）由于f(x）≥bx﹣2恒成立，得到在（0,+∞）上恒成立，构造函数g(x）=，b≤g（x）即可．min【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0,+∞），,则，f（2)=1﹣ln2，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2）)处的切线方程为，即x﹣2y﹣2ln2=0；（Ⅱ)，令f′（x）＞0，得x＞1,列表:x（0，1）1（1，+∞）f′（x)﹣0+f（x)↘0↗∴函数y=f（x）的极小值为f(1）=0；（Ⅲ）依题意对∀x∈（0,+∞），f(x）≥bx﹣2恒成立等价于x﹣1﹣lnx≥bx﹣2在(0,+∞）上恒成立可得在（0，+∞)上恒成立，令g（x）=,令g′（x）=0，得x=e2列表:x(0，e2）e2（e2，+∞）g’(x）﹣0+g（x）↘↗∴函数y=g（x）的最小值为，根据题意，．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用,体现综合分析问题与解决问题能力，属于中档题．28．已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ)若对所有x≥1都有f(x）≥ax﹣1,求实数a的取值范围．【分析】（1）先求出函数的定义域,然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．（2）将f(x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立转化为不等式对于x∈［1,+∞）恒成立，然后令，对函数g（x）进行求导，根据导函数的正负可判断其单调性进而求出最小值，使得a小于等于这个最小值即可．【解答】解:（Ⅰ）f（x）的定义域为(0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．令f'（x）＞0，解得；令f'(x）＜0，解得．从而f(x）在单调递减，在单调递增．所以,当时，f（x）取得最小值．(Ⅱ)依题意，得f（x)≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立,即不等式对于x∈[1，+∞）恒成立．令，则．当x＞1时，因为，故g（x)是［1,+∞）上的增函数，所以g（x）的最小值是g（1）=1,从而a的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、根据导数求函数的最值．导数是高等数学下放到高中的内容,是每年必考的热点问题,要给予重视．29．已知函数f(x）=（x﹣2）e x．(1）求f（x）的单调区间;（2）求f（x）在区间[0，2]上的最小值和最大值．【分析】（1）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间;(2）由（1）可得f(x）在［0，1]递减，在（1,2］递增,即有f（x）在x=1处取得极小值,且为最小值，求得端点的函数值，比较即可得到最大值．【解答】解:（1）函数f（x)的导数为f′（x)=（x﹣1）e x，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1．则f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为(﹣∞,1）;（2）由（1）可得f(x）在[0，1]递减,在(1，2］递增，即有f（x）在x=1处取得极小值,且为最小值,且为f（1)=﹣e,由f（0）=﹣2，f（2）=0，可得f（x)的最大值为f(2）=0．则f(x）的最小值为﹣e，最大值为0．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，正确求导是解题的关键．30．已知函数f（x）=ax3﹣6ax2+b（x∈［﹣1,2]）的最大值为3，最小值为﹣29，求a、b的值．【分析】求出f′(x）=0在[﹣1，2]上的解,研究函数f（x）的增减性，函数的最值应该在极值点或者区间端点取，已知最大值为3，最小值为﹣29代入即可．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣6ax2+b∴f′（x）=3ax2﹣12ax=3a（x2﹣4x）令f′（x）=3ax2﹣12ax=3a（x2﹣4x）=0，显然a≠0，否则f（x）=b为常数，矛盾，∴x=0，若a＞0，列表如下:由表可知，当x=0时f(x）取得最大值∴b=3又f′(0）=﹣29，则f（2）＜f（0),这不可能，∴f(2）=8a﹣24a+3=﹣16a+3=﹣29，∴a=2若a＜0,同理可得a=﹣2,b=﹣29故答案为：a=2,b=3或a=﹣2,b=﹣29【点评】本题考查函数的导数在求最大值、最小值中的应用，关键是对于闭区间上的最值要注意函数的端点函数值，注意区别理解函数的极值点一定不在函数端点，而最值点可能在函数端点，属于基础题．31．求函数f（x）=x3﹣2x2+5在区间［﹣2，2］的最大值和最小值．【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数f(x）=x3﹣2x2+5在区间［﹣2，2]的单调性，再由单调性求函数在区间上的最值．【解答】解:函数f(x）=x3﹣2x2+5的导函数是f'（x）=x（3x﹣4）,令f’(x）=0得x=0或，如下表：∴ymax =5，ymin=﹣11【点评】本题考点是利用导数求闭区间上的函数的最值，考查用导数研究函数的单调性并利用单调性确定函数的最值，并求出．此是导数的一个很重要的运用．32．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x)的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1;（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈(1，x）时,恒有f（x)＞k（x﹣1）．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）令F （x ）=f （x ）﹣（x ﹣1）,证明F （x)在[1，+∞）上单调递减，可得结论；(Ⅲ)分类讨论，令G （x ）=f （x ）﹣k （x ﹣1)（x ＞0），利用函数的单调性,可得实数k 的所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）∵f(x)=lnx ﹣，∴f′（x)=＞0（x ＞0)，∴0＜x ＜，∴函数f （x)的单调增区间是（0，)；（Ⅱ)令F （x ）=f （x ）﹣（x ﹣1），则F′(x)=当x ＞1时，F′(x）＜0,∴F(x ）在［1,+∞）上单调递减, ∴x ＞1时，F(x ）＜F （1）=0， 即当x ＞1时,f （x)＜x ﹣1；（Ⅲ）由（Ⅱ)知，k=1时，不存在x 0＞1满足题意；当k ＞1时,对于x ＞1，有f （x ）＜x ﹣1＜k （x ﹣1)，则f （x ）＜k(x ﹣1）， 从而不存在x 0＞1满足题意；当k ＜1时,令G(x)=f(x)﹣k （x ﹣1）(x ＞0)，则 G′（x)==0,可得x 1=＜0，x 2=＞1，当x ∈（1，x 2)时，G′(x)＞0，故G （x ）在（1，x 2）上单调递增, 从而x ∈（1，x 2）时，G （x ）＞G （1）=0,即f （x ）＞k （x ﹣1), 综上，k 的取值范围为(﹣∞，1)．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．33．设函数f（x)=1+(1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ)讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈［0，1］时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1］时的单调性，得出取最值时的x的取值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞）,f′（x)=1+a﹣2x﹣3x2,由f′(x)=0，得x1=,x2=,x1＜x2，∴由f′（x）＜0得x＜，x＞;由f′（x)＞0得＜x＜;故f(x）在（﹣∞，)和（,+∞）单调递减，在（，）上单调递增；（Ⅱ）∵a＞0,∴x1＜0，x2＞0,∵x∈[0,1]，当时,即a≥4①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知,f（x）在[0,1]上单调递增，∴f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x)在［0，x2]单调递增，在［x2，1］上单调递减，因此f(x）在x=x2=处取得最大值，又f（0）=1，f（1)=a，∴当0＜a＜1时,f（x）在x=1处取得最小值；当a=1时,f(x）在x=0和x=1处取得最小值；当1＜a＜4时，f(x）在x=0处取得最小值．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力,属中档题．34．已知函数f（x)满足f(x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1)求f(x）的解析式及单调区间；（2）若，求(a+1）b的最大值．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2)由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究(a+1）b的最大值【解答】解：（1）f（x）=f’(1）e x﹣1﹣f（0)x+⇒f’(x）=f’（1）e x﹣1﹣f（0)+x令x=1得：f（0)=1∴f（x）=f'（1）e x﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1)e﹣1=1解得f’(1）=e故函数的解析式为f（x)=e x﹣x+令g（x）=f'（x)=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g(x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'(x）＞f’(0）=0；当x＜0时，有f’（x）＜f'（0）=0得:函数f（x）=e x﹣x+的单调递增区间为(0,+∞），单调递减区间为（﹣∞,0）（2)f（x）≥﹣（a+1)x﹣b≥0得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h(x)在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h(x)≥0矛盾②当a+1＞0时,h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1）,h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x)=（a+1）﹣（a+1）ln(a+1)﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1)ln（a+1）min(完整word 版)导数与单调性极值最基础值习题第31页（共31页）≥b∴（a+1)b ≤（a+1)2﹣（a+1)2ln （a+1)，（a+1＞0）令F （x ）=x 2﹣x 2lnx （x ＞0),则F’（x ）=x （1﹣2lnx)∴F'（x ）＞0⇔0＜x ＜当x=时,F(x ）max = 即当a=时,（a+1)b 的最大值为 【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1)，易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题,本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型,计算量大,易马虎出错．。
高三复习：导数与函数的单调性、极值最值(含解析答案)
3.2导数与函数的单调性、极值、最值知识梳理：1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x) _____0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) _____0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：3．函数的最值试一试：1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是________．2．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________．考点一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．考点二 利用导数求函数的极值例2 设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．考点三 利用导数求函数的最值例3已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．变式1 已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．考点4 含有参数的分类讨论例4：已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间； (2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．课堂练习：1．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________．2．(2014·扬州期末)已知函数f (x )＝ln x －mx (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________.3．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 4.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间； (3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．导数与函数的单调性、极值、最值后作业1．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是________．2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.3．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．6．已知函数f (x )＝1x ＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间．7．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是________．8．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．9．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．10．设函数f (x )＝e x x 2－k (2x ＋ln x )(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．导数与函数的单调性、极值、最值教师版知识梳理 1．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 2．函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤： ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 试一试1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是________． 答案 (0,1)解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x (x >0)．∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．答案(－1，＋∞)解析设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，∵m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．考点一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．思维点拨函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．解f′(x)＝e x－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，即f(x)在R上单调递增，若a>0，令e x－a≥0，则e x≥a，x≥ln a.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a>0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．(2)∵f′(x)＝e x－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(－2,3)上恒成立．∴e－2<e x<e3，只需a≥e3.当a＝e3时，f′(x)＝e x－e3<0在x∈(－2,3)上恒成立，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a ≥e 3，使f (x )在(－2,3)上为减函数． 思维升华 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 考点二 利用导数求函数的极值 例2设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x ·1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．(2014·福建三 利用导数求函数的最值例3已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．解 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .思维升华 (1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．变式已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，f(x)在[0，k－1]上单调递减，在[k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当1<k<2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.例4：已知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R)．(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，[2分]①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．[4分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ， 单调递减区间为⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞.[6分] (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln2－2a .[8分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[10分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．[12分] 又f (2)－f (1)＝ln2－a ，所以当12<a <ln2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln2－2a .[14分] 综上可知，当0<a <ln2时，函数f (x )的最小值是－a ；当a ≥ln2时，函数f (x )的最小值是ln2－2a .[16分]1．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________． 解析：∵f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1， 由f ′(x )>0，得e x －1>0，即x >0. 答案：(0，＋∞)2．(2014·扬州期末)已知函数f (x )＝ln x －mx (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________.解析：因为f (x )在区间[1，e]上取得最小值4，所以至少满足f (1)≥4，f (e)≥4，解得m ≤－3e.又f ′(x )＝x ＋mx 2，且x ∈[1，e]，所以f ′(x )<0, 即f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )min ＝f (e)＝1－me＝4，即m ＝－3e. 答案：－3e3．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数， ∴Δ＝4－12 m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 4.(创新题)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×⎝⎛⎭⎫23－1，解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c . 则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)， 列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立． 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)． 作业1．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是________． 答案 (－3,1)解析 y ′＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝e x (－x 2－2x ＋3)， 由y ′>0⇒x 2＋2x －3<0⇒－3<x <1，故函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是(－3,1)．2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.答案 3解析 因为f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2，因为函数f (x )在x ＝1处取得极大值，所以f ′(1)＝3－a4＝0，所以a ＝3.3．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 1<a ≤2解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________． 答案 －13解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ， 易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下， 且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时， f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．答案 (0,1]解析 y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x(x >0)．令y ′≤0，得0<x ≤1.∴函数的单调递减区间为(0,1]．6．已知函数f (x )＝1x ＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间．解 因为f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1时，f (x )的极小值为1，无极大值． f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)， 单调递减区间为(0,1)．7．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是________． 答案 {x |x >0}解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x －1，求导得到g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]． 由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得到g ′(x )>0， 所以g (x )为R 上的增函数； 又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0， 所以e x ·f (x )>e x ＋1， 即g (x )>0的解集为{x |x >0}．8．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )． 若x <0，则1－e x >0，∴f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x <0，∴f ′(x )<0； 若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 即实数m 的取值范围为(－∞，2－e 2)．)9．(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．10．(2014·山东)设函数f (x )＝e x x 2－k (2x ＋ln x )(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 解 (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k (－2x 2＋1x ) ＝x e x －2e x x 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x －kx )x 3.由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增． 所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)． 所以g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增． 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点． 当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2.解得e<k <e 22.。
导数用于单调性和极值问题
专题十四、导数用于单调性和极值问题 题型一 利用导数判断函数的单调性1.证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．题型二 利用导数求函数的单调区间2.求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝x 3－x ；(2)y ＝e x －x ＋1. ！3.求函数y ＝x 2－ln x 2的单调区间．题型三 已知函数单调性求参数的取值范围 4.已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．5.(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值．(2)设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．…题型四 用单调性与导数关系证不等式6.当x ＞0时，证明不等式ln(x ＋1)＞x －12x 2.7.当0＜x ＜π2时，求证：x －sin x ＜16x 3.；题型五、函数的极值问题8．下列函数存在极值的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝1xC ．y ＝3x －1D ．y ＝x 29．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点…10．若函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．函数y ＝x ·e x 的最小值为________．12．若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞]上的最大值为33，则a 的值为________．题型六、利用极值求参数范围13.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y ＝f (3π4－x )是( )A ．偶函数且图象关于点(π，0)对称…B ．偶函数且图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且图象关于点(π，0)对称14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在x ＝0处取得极值，并且在区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b 的值； (2)求实数a 的取值范围．题型七、导数用于解决实际问题15．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A ．6B ．8C ．10D ．1216．一工厂生产某型号车床，年产量为N 台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C 2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量)．设每年每台的库存费为C 1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床________台，一年中库存费和生产准备费之和最小．题型八、图像问题17.二次函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限18.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( ):巩固练习：19.定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}20．函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )＝f (b )D ．f (|a |)<f (b )—21.若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)22.已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．23.已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________． 三、解答题24．求证：x >0时，1＋2x <e 2x . （25.设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性.26．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长．·27.已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．28．设函数f (x )＝e x －ax －2.(1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值．|专题十四、导数用于单调性和极值问题参考答案1.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos x <0，∴x cos x －sin x <0，∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数． 2.解 (1)f ′(x )＝3x 2－1＝(3x ＋1)(3x －1)，令f ′(x )>0，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，令f ′(x )<0，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. …∴f (x )＝x 3－x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. (2)y ′＝e x －1，令y ′>0，即e x －1>0，则x ∈(0，＋∞)；令y ′<0，即e x －1<0，则x ∈(－∞，0)，∴y ＝e x －x ＋1的单调增区间(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)． 3.解 ∵函数y ＝f (x )＝x 2－ln x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f ′(x )＝2x －2x ＝2x 2－1x＝2x －1x ＋1x， x (－∞，－1)－1 (－1,0) #(0,1)1 (1，＋∞)f ′(x )－＋－＋#f (x )↘ 1 ↗ ↘ 1 ↗ 22－1)，(0,1)上单调递减．4.解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， "即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立． ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－5.解 (1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c3， |即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间， ∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0. ∴a 的取值范围为(－∞，0)．6.审题指导 利用导数证明不等式，首先要构造函数f (x )＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，证明f (x )在(0，＋∞)上单调增，由f (x )>f (0)＝0证得．[规范解答] 令f (x )＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，(4分)则f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x 21＋x.(6分)当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(8分) ^于是当x ＞0时，f (x )＞f (0)＝0，∴当x ＞0时，不等式ln(x ＋1)＞x －12x 2成立．(12分)7.证明 设g (x )＝x －sin x －16x 3，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g ′(x )＝1－cos x －12x 2＝2⎣⎡⎦⎤sin 2x 2－⎝⎛⎭⎫x 22.∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0＜sin x ＜x ， ∴sin 2x 2＜⎝⎛⎭⎫x 22，∴g ′(x )＜0，∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， ∴g (x )＜g (0)＝0，∴x －sin x ＜16x 3. 8.[答案] D[解析] 画出图像即可知y ＝x 2存在极值f (0)＝0. '9.[答案] D[解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题． f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x (1－2x )＝0可得x ＝2. 当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )递减，当x >2时 f ′(x )>0，∴f (x )单调递增．所以x ＝2为极小值点． 对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．[解析] 如y ＝x 3，y ′＝3x 2，y ′|x ＝0＝0，但x ＝0不是函数y ＝x 3的极值点． 11.[答案] －1e[解析] y ′＝(x ＋1)e x ＝0，x ＝－1.&当x <－1时，y ′<0，当x >－1时y ′>0 ∴y min ＝f (－1)＝－1e12.[答案] 3－1[解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2x 2＋a 2＝a －x 2x 2＋a2.当x >a 时f ′(x )<0，f (x )在(a ，＋∞)上是递减的，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )在(－a ，a )上是递增的．当x ＝a 时，f (a )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意．∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，解得a ＝3－1.13.[答案] D[解析] ∵f (x )的图象关于x ＝π4对称， ∴f (0)＝f (π2)，∴－b ＝a ，∴f (x )＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin(x ＋π4)， ∴f (3π4－x )＝2a sin(3π4－x ＋π4)＝2a sin(π－x )＝2a sin x .|显然f (3π4－x )是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.14.[解析] (1)由导数公式表和求导法则得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即得b ＝0.(2)令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－23a .依题意有－23a >0. 因为函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性， 所以应有2≤－23a ≤4，解得－6≤a ≤－3. 15.[答案] B[解析] 设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3，由题意，得V ＝x (48－2x )2(0<x <24)，V ′＝12(24－x )(8－x )．令V ′＝0，则在(0,24)内有x ＝8，故当x ＝8时，V 有最大值． 16.[答案]C 2N C 1[解析] 设每批生产x 台，则一年生产N x 批．一年中库存费和生产准备费之和y ＝C 1x ＋C 2Nx (0<x <N )． （y ′＝C 1－C 2Nx 2.由y ′＝0及0<x <N ，解得x ＝C 2NC 1(台)．根据问题的实际意义，y 的最小值是存在的，且y ′＝0有唯一解．故x ＝C 2NC 1台是使费用最小的每批生产台数．17.[答案] A[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴c ＝0，∴f ′(x )＝2ax ＋b ，由y ＝f ′(x )的图象可知，2a <0，b >0，∴a <0，b >0，∴－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a >0，故选A. 18.[答案] A[解析] f (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f ′(x )的图象在(－∞，0)上，f ′(x )>0，在(0，＋∞)上f ′(x )的符号变化规律是负→正→负，故选A.19.[答案] B[解析] 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12， ∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0， ∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B. .20.[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋2f ′( π3)， ∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)， 即f ′(π3)＝－12. ∴f (x )＝sin x －x . 又f ′(x )＝cos x －1≤0， 故f (x )在R 上递减．又∵－12<log 32， ∴f (－12)>f (log 32)， 即f (a )>f (b )． &21.[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1<0，f 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2. 22.[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)， 由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧f －2>0，f1<0，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f －2<0，f1>0，∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－316.23.[答案] (－3，－2) )[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．24.[分析] 利用函数的单调性证明不等式是常用的方法之一，而函数的单调性，可利用其导函数的符号确定．[解析] 设f (x )＝1＋2x －e 2x ， 则f ′(x )＝2－2e 2x ＝2(1－e 2x )． 当x >0时，e 2x >1，f ′(x )＝2(1－e 2x )<0，所以函数f (x )＝1＋2x －e 2x 在(0，＋∞)上是减函数．当x >0时，f (x )<f (0)＝0，即当x >0时，1＋2x －e 2x <0，即1＋2x <e 2x . 25.[解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝a x ＋x ＋1－x －1x ＋12＝a x ＋2x ＋12~∵a ＝0，∴f ′(x )＝2x ＋12，根据导数的几何意义，所求切线的斜率k ＝f ′(1)＝12，而f (1)＝0.∴所求切线方程为y ＝12(x －1)， 即x －2y －1＝0.(2)f ′(x )＝a x ＋12＋2x x x ＋12＝ax 2＋2a ＋1x ＋ax x ＋121°当a ＝0时，f ′(x )＝2x ＋12>0，∴f (x )在(0，＋∞)递增． 令g (x )＝ax 2＋2(a ＋1)x ＋aΔ＝4(a ＋1)2－4a 2＝8a ＋42°当a >0时，Δ>0，此时g (x )＝0的两根x 1＝－a ＋1－2a ＋1a，x 2＝－a ＋1＋2a ＋1a《∵a >0，∴x 1<0，x 2<0.∴g (x )>0，∵x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x )>0 故f (x )在(0，＋∞)递增．3°当a <0时，Δ＝8a ＋4≤0，即a ≤－12时，g (x )≤0，∴f ′(x )≤0. 故f (x )在(0，＋∞)递减． 当Δ>0，即－12<a <0时， x 1＝－a ＋1＋2a ＋1a >0， x 2＝－a ＋1－2a ＋1a>0 ∴令f ′(x )>0，x ∈(x 1，x 2)， f ′(x )<0，x ∈(0，x 1)∪(x 2，＋∞)；∴f (x )在(x 1，x 2)递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上递减．综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)递增． 当－12<a <0时，f (x )在(x 1，x 2)递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)递减(其中x 1＝－a ＋1＋2a ＋1a ，x 2＝－a ＋1－2a ＋1a)． 当a ≤－12时，f (x )在(0，＋∞)递减．26.[分析] 如图，设出AD 的长，进而求出|AB |表示出面积S ，然后利用导数求最值．[解析] 设矩形边长为AD ＝2x ，则|AB |＝y ＝4－x 2，则矩形面积S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)， 即S ＝8x －2x 3，∴S ′＝8－6x 2，令S ′＝0，解得x 1＝23，x 2＝－23(舍去) .当0<x <23时，S ′>0；当23<x <2时，S ′<0， ∴当x ＝23时，S 取得最大值，此时，S 最大＝3239，y ＝83. 即矩形的边长分别为433、83时，矩形的面积最大．[点评] 本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长．27.[解析] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由导数的几何意义，且切线与y ＝12x 垂直．得f ′(1)＝14－a －1＝－2，∴a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，∴f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0解得x ＝－1或5，－1不在定义域之内故舍去．∴当x ∈(0,5)，f ′(x )<0，∴f (x )在(0,5)递减．当x ∈(5，＋∞)，f ′(x )>0，∴f (x )在(5，＋∞)递增．∴f (x )在x ＝5时取极小值f (5)＝54＋14－ln5－32＝－ln5.28.[分析] [解析] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )单调递减，在(ln a ，＋∞)单调递增．(2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1.故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于k <x ＋1e x －1＋x (x >0)． ① 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ， 则g ′(x )＝－x e x －1e x －12＋1＝e x e x －x －2e x －12. 由(1)知，函数h (x )＝e x －x －2在(0，＋∞)单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．故g ′(x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0.所以g (x )在(0，＋∞)的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k <g (α)，故整数k 的最大值为2.。
导数与函数的单调性、极值、最值问题专题
导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的运算是导数应用的基础，要求是B 级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；(2)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B 级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.真 题 感 悟1.(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________. 解析 f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )为单调递增函数. 又f (－x )＝－x 3＋2x ＋e －x －e x ＝－(x 3－2x ＋e x－1ex )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，由f (a －1)＋f (2a 2)≤0，得f (2a 2)≤f (1－a )， ∴2a 2≤1－a ，解之得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，122.(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R)有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b 2>3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围.(1)解 由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 32＋b －a 23.当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23.因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab 3＋1＝0，又a >0，故b ＝2a 29＋3a.因为f (x )有极值，故f ′(x )＝0有实根， 从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)，故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值； 当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根 x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b 3.列表如下：故f (x )的极值点是x 1，x 2.从而a >3. 因此b ＝2a 29＋3a，定义域为(3，＋∞).(2)证明 由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a.设g (t )＝2t 9＋3t ，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2.当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞时，g ′(t )>0，从而g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞上单调递增.因为a >3，所以a a >33，故g (a a )>g (33)＝3，即ba > 3.因此b 2>3a .(3)解 由(1)知，f (x )的极值点是x 1，x 2， 且x 1＋x 2＝－23a ，x 21＋x 22＝4a 2－6b 9.从而f (x 1)＋f (x 2)＝x 31＋ax 21＋bx 1＋1＋x 32＋ax 22＋bx 2＋1＝x 13(3x 21＋2ax 1＋b )＋x 23(3x 22＋2ax 2＋b )＋13a (x 21＋x 22)＋23b (x 1＋x 2)＋2＝4a 3－6ab 27－4ab 9＋2＝0. 记f (x )，f ′(x )所有极值之和为h (a )， 因为f ′(x )的极值为b －a 23＝－19a 2＋3a ，所以h (a )＝－19a 2＋3a ，a >3.因为h ′(a )＝－29a －3a 2<0，于是h (a )在(3，＋∞)上单调递减.因为h (6)＝－72，于是h (a )≥h (6)，故a ≤6.因此a的取值范围为(3，6].考点整合1.导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y＝f (x)在某个区间内可导，如果f ′(x)＞0，则y＝f (x)在该区间为增函数；如果f ′(x)＜0，则y＝f (x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.2.极值的判别方法当函数f (x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是极小值.也就是说x0是极值点的充分条件是点x0两侧导数异号，而不是f ′(x)＝0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点，而且极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小.3.闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者.热点一利用导数研究函数的单调性[命题角度1] 求解含参函数的单调区间【例1－1】(2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x)＝e x(e x－a)－a2x，其中参数a≤0.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)≥0，求a的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0.f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为 f⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0，即a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].探究提高 讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，常需依据以下标准分类讨论：(1)二次项系数为0、为正、为负，目的是讨论开口方向；(2)判别式的正负，目的是讨论对应二次方程是否有解；(3)讨论两根差的正负，目的是比较根的大小；(4)讨论两根与定义域的关系，目的是根是否在定义域内.另外，需优先判断能否利用因式分解法求出根. [命题角度2] 已知函数的单调区间求参数范围【例1－2】 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数).(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围；(3)函数f (x )能否为R 上的单调函数？若能，求出a 的取值范围？若不能，请说明理由.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )·e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x . 令f ′(x )＞0，即(－x 2＋2)e x ＞0，因为e x ＞0，所以－x 2＋2＞0，解得－2＜x ＜ 2. 所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2). (2)因为函数f (x )在(－1，1)上单调递增， 所以f ′(x )≥0对x ∈(－1，1)都成立. 因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1，1)都成立.因为e x＞0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1，1)都成立，即a ≥x 2＋2xx ＋1＝（x ＋1）2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1，1)都成立.令g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1，则g ′(x )＝1＋1（x ＋1）2＞0. 所以g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1，1)上单调递增. 所以g (x )＜g (1)＝(1＋1)－11＋1＝32.所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.(3)若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≤0对x ∈R 都成立.因为e x ＞0，所以x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立.所以Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的.故函数f (x )不可能在R 上单调递减.若函数f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈R 都成立，因为e x ＞0，所以x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈R 都成立.而Δ＝(a －2)2＋4a ＝a 2＋4＞0，故函数f (x )不可能在R 上单调递增. 综上，可知函数f (x )不可能是R 上的单调函数.探究提高 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围. (2)可导函数f (x )在某个区间D 内单调递增(或递减)，转化为恒成立问题时，常忽视等号这一条件，导致与正确的解法擦肩而过，注意，这里“＝”一定不能省略.【训练1】 (2017·南京、盐城模拟)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋a －1x－3(a ∈R).(1)当a ＝2时，解关于x 的方程g (e x )＝0(其中e 为自然对数的底数)； (2)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间. 解 (1)当a ＝2时，方程g (e x )＝0，即2e x ＋1e x －3＝0，去分母，得2(e x )2－3e x ＋1＝0，解得e x ＝1或e x ＝12.故所求方程的根为x ＝0或x ＝－ln 2. (2)因为φ(x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax ＋a －1x－3(x >0)， 所以φ′(x )＝1x ＋a －a －1x 2＝ax 2＋x －（a －1）x 2＝[ax －（a －1）]（x ＋1）x2(x >0)， 当a <0时，由φ′(x )>0，解得0<x <a －1a；当a ＝0时，由φ′(x )>0，解得x >0； 当0<a <1时，由φ′(x )>0，解得x >0； 当a ＝1时，由φ′(x )>0，解得x >0； 当a >1时，由φ′(x )>0，解得x >a －1a. 综上所述，当a <0时，φ(x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －1a ； 当0≤a ≤1时，φ(x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a >1时，φ(x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ，＋∞. 热点二 利用导数研究函数的极值【例2】 (2017·南通调研)设函数f (x )＝x －2e x －k (x －2ln x )(k 为实常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数). (1)当k ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)若函数f (x )在(0，4)内存在三个极值点，求k 的取值范围. 解 (1)当k ＝1时，函数f (x )＝e xx2－(x －2ln x )(x ＞0)，则f ′(x )＝（x －2）（e x －x 2）x3(x ＞0). 当x ＞0时，e x ＞x 2，理由如下：要使当x ＞0时，e x ＞x 2，只需使x ＞2ln x ， 设φ(x )＝x －2ln x ，则φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，所以当0＜x ＜2时，φ′(x )＜0；当x ＞2时，φ′(x )＞0， 所以φ(x )＝x －2ln x 在x ＝2处取得最小值φ(2)＝2－2ln 2＞0， 所以当x ＞0时，x ＞2ln x ， 所以e x －x 2＞0，所以当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0，2)上为减函数，在(2，＋ ∞)上为增函数， 所以f (x )在x ＝2处取得最小值f (2)＝e 24－2＋2ln 2.(2)因为f ′(x )＝（x －2）（e x －kx 2）x 3＝（x －2）⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx 2－k x，当k ≤0时，e xx2－k ＞0，所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，4)上单调递增，不存在三个极值点，所以k ＞0. 令g (x )＝e xx 2，得g ′(x )＝e x ·（x －2）x 3，则g (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，在x ＝2处取得最小值为g (2)＝e 24，且g (4)＝e 416，于是可得y ＝k 与g (x )＝e xx 2在(0，4)内有两个不同的交点的条件是k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，e 416.设y ＝k 与g (x )＝e xx2在(0，4)内的两个不同交点的横坐标分别为x 1，x 2，且0＜x 1＜2＜x 2＜4，导函数f ′(x )及原函数f (x )的变化情况如下：所以 f (x )在(0，x 1)上单调递减，在(x 1，2)上单调递增，在(2，x 2)上单调递减，在(x 2，4)上单调递增，所以f (x )在(0，4)上存在三个极值点.即函数f (x )在(0，4)内存在三个极值点的k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，e 416.探究提高极值点的个数，一般是使f ′(x)＝0方程根的个数，一般情况下导函数若可以化成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助导函数的性质及图象研究.【训练2】(2017·苏、锡、常、镇调研节选)已知函数f (x)＝ax2＋cos x(a ∈R)，记f (x)的导函数为g(x).(1)证明：当a＝12时，g(x)在R上单调递增；(2)若f (x)在x＝0处取得极小值，求a的取值范围.(1)证明当a＝12时，f (x)＝12x2＋cos x，所以f ′(x)＝x－sin x，令g(x)＝x－sin x，所以g′(x)＝1－cos x≥0，所以g(x)在R上单调递增.(2)解因为g(x)＝f ′(x)＝2ax－sin x，所以g′(x)＝2a－cos x.①当a≥12时，g′(x)≥1－cos x≥0，所以函数f ′(x)在R上单调递增.当x>0时，则f ′(x)>f ′(0)＝0；当x<0时，则f ′(x)<f ′(0)＝0；所以f (x)的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，所以f (x)在x＝0处取得极小值，符合题意.②当a≤－12时，g′(x)≤－1－cos x≤0，所以函数f ′(x)在R上单调递减.当x>0时，则f ′(x)<f ′(0)＝0；当x<0时，则f ′(x)>f ′(0)＝0，所以f (x)的单调递减区间是(0，＋∞)，单调递增区间是(－∞，0)，所以f (x)在x＝0处取得极大值，不符合题意.③当－12<a <12时，∃x 0∈(0，π)，使得cos x 0＝2a ，即g ′(x 0)＝0，但当x ∈(0，x 0)时，cos x >2a ，即g ′(x )<0， 所以函数f ′(x )在(0，x 0)上单调递减， 所以f ′(x )<f ′(0)＝0，即函数f (x )在(0，x 0)上单调递减，不符合题意. 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.热点三 利用导数研究函数的最值【例3】 (2017·浙江卷)已知函数f (x )＝(x －2x －1)e －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12.(1)求f (x )的导函数；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的取值范围.解 (1)f ′(x )＝(x －2x －1)′e －x ＋(x －2x －1)(e －x )′ ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12x －1e －x －(x －2x －1)e －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x －1－x ＋2x －1e －x ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1－22x －1e －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＞12. (2)令f ′(x )＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x －1e －x ＝0， 解得x ＝1或52.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化如下表：又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e －12，f (1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝12e －52，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的最大值为12e －12.又f (x )＝(x －2x －1)e －x ＝12(2x －1－1)2e －x ≥0.综上，f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12e －12. 探究提高 含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论： (1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；(3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论.【训练3】 已知函数f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的单调区间和最小值； (2)若函数F (x )＝f （x ）－a x 在[1，e]上的最小值为32，求a 的值. 解 (1)因为f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)， 令f ′(x )≥0，即ln x ≥－1＝ln e －1， 所以x ≥e －1＝1e ，所以x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞. 同理令f ′(x )≤0，可得x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e .所以 f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e .由此可知 f(x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .(2)由F (x )＝x ln x －a x ，得F ′(x )＝x ＋ax 2，当a ≥0时，F ′(x )＞0，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32， 所以a ＝－32∉[0，＋∞)，舍去.当a ＜0时，f (x )在(0，－a )上单调递减，在(－a ，＋∞)上单调递增. ①当a ∈(－1，0)，F (x )在[1，e]上单调递增， F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉(－1，0)，舍去.②若a ∈[－e ，－1]，F (x )在[1，－a ]上单调递减， 在[－a ，e]上单调递增，所以F (x )min ＝F (－a )＝ln(－a )＋1＝32，a ＝－e ∈[－e ，－1]；③若a ∈(－∞，－e)，F (x )在[1，e]上单调递减，F (x )min ＝F (e)＝1－a e＝32，所以a ＝－e2∉(－∞，－e)，舍去.综上所述，a ＝－ e.1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用逗号或“和”字隔开.2.可导函数在闭区间[a，b]上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值.3.可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f (x)，“f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)＝0”是“f (x)在x＝x处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论.5.求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维——直接求函数的极值或最值；也有逆向思维——已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想.一、填空题1.已知函数f (x)＝4ln x＋ax2－6x＋b(a，b为常数)，且x＝2为f (x)的一个极值点，则a的值为________.解析由题意知，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，∵f ′(x)＝4x＋2ax－6，∴f ′(2)＝2＋4a－6＝0，即a＝1，经验证符合题意. 答案 12.(2017·苏州调研)函数f (x)＝12x2－ln x的单调递减区间为________.解析 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝x －1x<0，解得0＜x <1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，1). 答案 (0，1)3.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为________.解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10， 即⎩⎨⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1或 ⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.答案 －234.(2017·南京模拟)若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为________.解析 由f (x )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，得f ′(x )＝e x (－x 2＋a ＋2)≥0，x ∈[a ，a ＋1]恒成立，即(－x 2＋a ＋2)min ≥0，x ∈[a ，a ＋1].当a ≤－12时，－a 2＋a ＋2≥0，则－1≤a ≤－12；当a >－12时，－(a ＋1)2＋a ＋2≥0，则－12<a ≤－1＋52，所以实数a 的取值范围是－1≤a ≤－1＋52，a 的最大值是－1＋52. 答案－1＋525.(2017·浙江卷改编)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是________(填序号).解析 利用导数与函数的单调性进行验证.f ′(x )＞0的解集对应y ＝f (x )的增区间，f ′(x )＜0的解集对应y ＝f (x )的减区间，验证只有④符合. 答案 ④6.(2017·泰州期末)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a ).当a ≤0时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，1)内单调递增，无最小值. 当a ＞0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a ).当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减，所以当a ＜1，即0＜a ＜1时，f (x )在(0，1)内有最小值. 答案 (0，1)7.已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋3x ＋1有两个极值点，则实数a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋3.由题意知方程f ′(x )＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4a 2－12＞0， 解得a ＞3或a ＜－ 3.答案 (－∞，－3)∪(3，＋∞)8.(2016·北京卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0.若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1). 由f ′(x )＞0得x ＜－1， 由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0.∴f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0]上单调递减， ∴f (x )最大值为f (－1)＝2.若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0. 综上，f (x )最大值为2.(2)函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 的图象如图.由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2.当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值.且－2a ＞2. 所以a ＜－1.答案 (1)2 (2)(－∞，－1) 二、解答题9.(2017·北京卷)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1，f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0，∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)，即y ＝1. (2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )， 则g ′(x )＝－2sin x ·e x≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.10.(2016·全国Ⅱ卷)(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x ＋x ＋2>0；(2)证明：当a ∈[0，1)时，函数g (x )＝e x －ax －ax 2(x >0)有最小值.设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域.(1)解 f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞). f ′(x )＝（x －1）（x ＋2）e x －（x －2）e x （x ＋2）2＝x 2e x（x ＋2）2≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增. 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1. 所以(x －2)e x >－(x ＋2)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0. (2)证明 g ′(x )＝（x －2）e x ＋a （x ＋2）x3＝x ＋2x 3(f (x )＋a ). 由(1)知f (x )＋a 单调递增，对任意a ∈[0，1)，f (0)＋a ＝a －1<0，f (2)＋a ＝a ≥0. 因此，存在唯一x a ∈( 0，2]， 使得f (x a )＋a ＝0，即g ′(x a )＝0.当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增. 因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝ e x a －a （x a ＋1）x 2a＝e x a ＋f （x a ）（x a ＋1）x 2a＝e x ax a ＋2.于是h (a )＝e xax a ＋2，由⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx ＋2′＝（x ＋1）e x （x ＋2）2>0，e x x ＋2单调递增.所以，由x a ∈(0，2]，得12＝e 00＋2<h (a )＝e x a x a ＋2≤e 22＋2＝e 24. 因为e x x ＋2单调递增，对任意λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24，存在唯一的x a ∈(0，2]，a ＝－f (x a )∈[0，1)，使得h (a )＝λ.所以h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24.综上，当a ∈[0，1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24.11.设函数f (x )＝e xx 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数).(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围. 解 (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x＝x e x －2e x x 3－k （x －2）x 2＝（x －2）（e x －kx ）x 3.由k ≤0可得e x －kx ＞0，所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，函数y ＝f (x )单调递减，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数y ＝f (x )单调递增.所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞). (2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0，2)内单调递减，故f (x )在(0，2)内不存在极值点；当k ＞0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈[0，＋∞). 因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0＜k ≤1时， 当x ∈(0，2)时，g ′(x )＝e x －k ＞0，y ＝g (x )单调递增. 故f (x )在(0，2)内不存在两个极值点；当k ＞1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )＜0，函数y ＝g (x )单调递减.x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数y ＝g (x )单调递增. 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k ).函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点当且仅当⎩⎨⎧g （0）＞0，g （ln k ）＜0，g （2）＞0，0＜ln k ＜2，解得e ＜k ＜e 22， 综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫e ，e 22.。
2020年高考数学一轮复习专题2.13利用导数求函数的单调性、极值、最值练习(含解析)
第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值、最值一．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 二．函数的极值(1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 三．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．考向一单调区间【例1】求下列函数的单调区间：（1）3()23f x x x =-；（2）2()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2.【答案】见解析【解析】（1）由题意得2()63f x x '=-. 令2()630f x x '=->，解得2x <-或2x >. 当(,2x ∈-∞-时，函数为增函数；当,)2x ∈+∞时，函数也为增函数.令2()630f x x '=-<，解得22x -<<当()22x ∈-时，函数为减函数. 故函数3()23f x x x =-的单调递增区间为(,2-∞-和()2+∞，单调递减区间为(,22-. （2）函数2()ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞.11)()2f x x x x-+'=-=. 令()0f x '>，解得x >；令()0f x '<，解得0x <<. 故函数2()ln f x x x =-的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为. (3)要使函数f (x )＝2x －x 2有意义，必须2x －x 2≥0，即0≤x ≤2.∴函数的定义域为[0,2]．f ′(x )＝(2x －x 2)′＝12(2x －x 2)－12·(2x －x 2)′＝1－x2x －x2.令f ′(x )＞0，则1－x 2x －x2＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，2x －x 2＞0，∴0＜x ＜1.∴函数的单调递增区间为(0,1)． 令f ′(x )＜0，则1－x2x －x 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜0，2x －x 2＞0，∴1＜x ＜2.∴函数的单调递减区间为(1,2)．【举一反三】【套路总结】用导数研究函数的单调性 （1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'()f x ≥（≤）0（2）用导数求函数的单调区间 ①求函数的定义域D ②求导'()f x③解不等式'()f x ＞()<0得解集P④求DP ,得函数的单调递增（减）区间。
导数与函数的极值、最值 最新习题(含解析)
导数与函数的极值、最值课时作业一、选择题1．如图2是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：图2①－2是函数y＝f(x)的极值点；②1是函数y＝f(x)的极值点；③y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零；④函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增．则正确命题的序号是()A．①③B．②④C．②③D．①④解析：根据导函数图象可知，－2是导函数的零点且－2的左右两侧导函数符号异号，故－2是极值点；1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致；0处的导函数值即为此点的切线斜率，显然为正值，导函数在(－2，2)上恒大于或等于零，故为函数的增区间，所以选D.答案：D2．设f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，则函数f(x)()A．仅有一个极小值B．仅有一个极大值C．有无数个极值D．没有极值解析：由f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，得f′(x)＝x－1＋sin(1－x)．设g(x)＝x－1＋sin(1－x)，则g′(x)＝1－cos(1－x)≥0.所以g(x)为增函数，且g(1)＝0.所以当x∈(－∞，1)时，g(x)<0，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，则f(x)单调递增．又f′(1)＝0，所以函数f(x)仅有一个极小值f(1)．故选A.答案：A3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝()A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3 解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎨⎧f ′（1）＝3＋2a ＋b ＝0，f （1）＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 即⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，a ＋b ＋a 2＝9，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故函数f (x )单调递增，无极值．不符合题意．∴a ＝4.故选C. 答案：C 4．函数f (x )＝2＋ln x x ＋1在[1e ，e]上的最小值为 ( ) A ．1 B.e 1＋e C.21＋e D.31＋e解析：∵f ′(x )＝x ＋1x －（2＋ln x ）（x ＋1）2＝1x－1－ln x （x ＋1）2，∴当e ≥x >1时，f ′(x )<0；当1e ≤x ＜1时，f ′(x )＞0. 所以f (x )的最小值为min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （1e ），f （e ）＝min{e 1＋e ，31＋e }＝e 1＋e ，选B.答案：B5．若函数f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(0，62)B ．(1，62)C ．(－62，62)D ．(63，1)∪(1，62) 解析：∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x ， ∴f ′(x )＝2(a ＋1)e 2x －2e x ＋a －1，∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点， ∴f ′(x )＝0有两个不等实根，设t ＝e x >0，则关于t 的方程2(a ＋1)t 2－2t ＋a －1＝0有两个不等正根，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －12（a ＋1）>0，22（a ＋1）>0，4－8（a －1）（a ＋1）>0⇒1<a <62，∴实数a 的取值范围是(1，62)，故选B. 答案：B 6.图1如图1，可导函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )，设h (x )＝f (x )－g (x )，则下列说法正确的是( )A ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极大值点B ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极小值点C ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是h (x )的极值点D ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0是h (x )的极值点解析：由题意可得函数f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)， ∴h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， ∴h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)， ∴h ′(x 0)＝f ′(x 0)－f ′(x 0)＝0. 又当x <x 0时，f ′(x )<f ′(x 0)， 故h ′(x )<0，h (x )单调递减； 当x >x 0时，f ′(x )>f ′(x 0)， 故h ′(x )>0，h (x )单调递增．∴x ＝x 0是h (x )的极小值点．故选B. 答案：B7．若函数g (x )＝mx ＋sin xe x 在区间(0，2π)内有一个极大值和一个极小值，则实数m 的取值范围是 ( )A ．[－e －2π，e －π2)B ．(－e －π，e －2π)C ．(－e π，e －5π2) D ．(－e －3π，e π) 解析：函数g (x )＝mx ＋sin xe x ， 求导得g ′(x )＝m ＋cos x －sin xe x. 令f (x )＝m ＋cos x －sin x e x，则f ′(x )＝－2cos xe x .易知，当x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(π2，3π2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(3π2，2π)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 且f (0)＝m ＋1，f (π2)＝m －e －π2，f (3π2)＝m ＋e －3π2， f (2π)＝m ＋e －2π，有f (π2)<f (2π)，f (0)>f (3π2)．根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （π2）＝m －e －π2<0，f （2π）＝m ＋e －2π≥0，解得－e－2π≤m <e －π2.故选A.答案：A8．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是 ( )A ．－4，－15B ．5，－15C ．5，－4D ．5，－16 解析：由题意知y ′＝6x 2－6x －12， 令y ′>0，解得x >2或x <－1，故函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，2]上递减，在[2，3]上递增，当x＝0时，y＝5；当x＝3时，y＝－4；当x＝2时，y＝－15.由此得函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，－15.故选B.答案：B9．若函数f(x)＝13x3－⎝⎛⎭⎪⎫1＋b2x2＋2bx在区间[－3，1]上不是单调函数，则f(x)在R上的极小值为()A．2b－43 B.32b－23C．0 D．b2－16b3解析：由题意得f′(x)＝(x－b)(x－2)．因为f(x)在区间[－3，1]上不是单调函数，所以－3<b<1.由f′(x)>0，解得x>2或x<b；由f′(x)<0，解得b<x<2.所以f(x)的极小值为f(2)＝2b－43.故选A.答案：A10．已知函数f(x)＝ln x＋a，g(x)＝ax＋b＋1，若∀x>0，f(x)≤g(x)，则ba的最小值是()A．1＋e B．1－e C．e－1D．2e－1解析：由题意，∀x>0，f(x)≤g(x)，即ln x＋a≤ax＋b＋1，即ln x－ax＋a≤b＋1，设h(x)＝ln x－ax＋a，则h′(x)＝1x－a，当a≤0时，h′(x)＝1x－a>0，函数h(x)单调递增，无最大值，不合题意；当a>0时，令h′(x)＝1x－a＝0，解得x＝1a，当x∈(0，1a)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；当x∈(1a，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减，所以h(x)max＝h(1a)＝－ln a＋a－1，故－ln a＋a－1≤b＋1，即－ln a＋a－b－2≤0，令ba＝k，则b＝ak，所以－ln a＋(1－k)a－2≤0，设φ(a)＝－ln a＋(1－k)a－2，则φ′(a)＝－1a＋(1－k)，若1－k≤0，则φ′(a)<0，此时φ(a)单调递减，无最小值，所以k＜1，由φ′(a)＝0，得a＝11－k，此时φ(a)min＝ln(1－k)－1≤0，解得k≥1－e，所以k的小值为1－e，故选B.答案：B11．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()A．－13 B．－15 C．10 D．15解析：∵f′(x)＝－3x2＋2ax，函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，∴－12＋4a＝0，解得a＝3，∴f′(x)＝－3x2＋6x，f(x)＝－3x3＋3x2－4，∴n∈[－1，1]时，f′(n)＝－3n2＋6n，当n＝－1时，f′(n)最小，最小为－9，当m∈[－1，1]时，f(m)＝－m3＋3m2－4，f′(m)＝－3m2＋6m，令f′(m)＝0，得m＝0或m＝2，所以当m＝0时，f(m)最小，最小为－4，故f(m)＋f′(n)的最小值为－9＋(－4)＝－13.故选A.答案：A12．设函数y＝f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知当m≤2时，f(x)＝16x3－12mx2＋x在(－1，2)上是“凸函数”，则f(x)在(－1，2)上() A．既有极大值，也有极小值B．没有极大值，有极小值C．有极大值，没有极小值D．没有极大值，也没有极小值解析：由题设可知，f″(x)<0在(－1，2)上恒成立，由于f ′(x )＝12x 2－mx ＋1，从而f ″(x )＝x －m ，所以有x －m <0在(－1，2)上恒成立，故知m ≥2，又因为m ≤2，所以m ＝2，从而f (x )＝16x 3－x 2＋x ，f ′(x )＝12x 2－2x ＋1＝0，得x 1＝2－2∈(－1，2)，x 2＝2＋2∉(－1，2)，且当x ∈(－1，2－2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2－2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )在x ＝2－2处取得极大值，没有极小值．答案：C 二、填空题13．已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f (x )在[12，2]上的最大值等于________．解析：∵函数f (x )＝1－xx ＋ln x ， ∴f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2.故f (x )在[12，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增， 又∵f (12)＝1－ln2，f (2)＝ln2－12，f (1)＝0， f (12)－f (2)＝32－2ln2>0，∴f (x )max ＝1－ln2，故答案为1－ln2. 答案：1－ln214．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．解析：求导得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝2处取得极值，所以f ′(2)＝3·22＋6a ·2＋3b ＝0，即4a ＋b ＋4＝0 ①，又因为图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行， 所以f ′(1)＝3＋6a ＋3b ＝－3，即2a ＋b ＋2＝0 ②， 联立①②可得a ＝－1，b ＝0， 所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， 当f ′(x )>0时，x <0或x >2； 当f ′(x )<0时，0<x <2，∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)， 因此求出函数的极大值为f (0)＝c ， 极小值为f (2)＝c －4，故函数的极大值与极小值的差为c －(c －4)＝4， 故答案为4. 答案：415．若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．解析：由f ′(x )＝6x 2－2ax ＝0，得x ＝0或x ＝a3，因为函数f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点且f (0)＝1，所以a 3>0，f (a 3)＝0，因此2(a 3)3－a (a3)2＋1＝0，a ＝3.从而函数f (x )在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，所以f (x )max ＝f (0)，f (x )min ＝min{f (－1)，f (1)}＝f (－1)，f (x )max ＋f (x )min ＝f (0)＋f (－1)＝1－4＝－3.答案：－316．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1，(1)若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为6，则实数a ＝________；(2)若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， ∴f ′(1)＝3a ＋9＝6，∴a ＝－1.函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)＝0在(－1，3)内有不同的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－12（a ＋6）>0，f ′（－1）＝－a ＋9>0，f ′（3）＝7a ＋33>0，－1<－2a 6<3，∴－337<a <－3.答案：－1 (－337，－3) 三、解答题17．已知函数f (x )＝x ＋ax ln x (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )＝x ＋ax ln x 存在极大值，且极大值点为1，证明：f (x )≤e －x ＋x 2. 解：(1)由题意x >0，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ，①当a ＝0时，f (x )＝x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a >0时，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递增，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )<0，当x ∈(e －1－1a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，e －1－1a )上单调递减，函数f (x )在(e －1－1a ，＋∞)上单调递增；③当a <0，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递减，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e －1－1a 上单调递增，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞上单调递减． (2)由f ′(1)＝0，得a ＝－1，令h (x )＝e －x ＋x 2－x ＋x ln x ，则h ′(x )＝－e －x ＋2x ＋ln x ，h ″(x )＝e －x ＋2＋1x >0，∴h ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，∵h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－e －1e ＋2e －1＜0，h ′(1)＝－e －1＋2＞0， ∴∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，使得h ′(x 0)＝0，即－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0. ∴当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，∴h (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )≥h (x 0)．由－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，得e －x 0＝2x 0＋ln x 0， ∴h (x 0)＝e －x 0＋x 20－x 0＋x 0ln x 0 ＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)．当x 0＋ln x 0<0时，ln x 0<－x 0⇒x 0<e －x 0 ⇒－e －x 0＋x 0<0，所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0<0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾； 当x 0＋ln x 0>0时，ln x 0>－x 0⇒x 0>e －x 0⇒－e －x 0＋x 0>0， 所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0>0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾； 当x 0＋ln x 0＝0时，ln x 0＝－x 0⇒x 0＝e －x 0⇒－e －x 0＋x 0＝0， 得－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，故x 0＋ln x 0＝0成立， 得h (x 0)＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)＝0，所以h (x )≥0， 即f (x )≤e －x ＋x 2.18．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数y ＝f (x )的单调区间和最小值；(2)若函数F (x )＝f （x ）－a x 在[1，e]上的最小值为32，求a 的值； (3)若k ∈Z ，且f (x )＋x －k (x －1)>0对任意x >1恒成立，求k 的最大值． 解：(1)f (x )的单调增区间为[1e ，＋∞)，单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ， f (x )min ＝f (1e )＝－1e .(2)F (x )＝ln x －ax ，F ′(x )＝x ＋a x 2，(ⅰ)当a ≥0时，F ′(x )>0，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉[0，＋∞)，舍去．(ⅱ)当a <0时，F (x )在(0，－a )在上单调递减， 在(－a ，＋∞)上单调递增，①若a ∈(－1，0)，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉(－1，0)，舍去；②若a ∈[－e ，－1]，F (x )在[1，－a ]上单调递减，在[－a ，e]上单调递增，所以F (x )min ＝F (－a )＝ln(－a )＋1＝32，解得a ＝－e ∈[－e ，－1]；③若a ∈(－∞，－e), F (x )在[1，e]上单调递减， F (x )min ＝F (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e 2∉(－∞，－e)，舍去．综上所述， a ＝－ e.(3)由题意得，k (x －1)<x ＋x ln x 对任意x >1恒成立，即k <x ln x ＋x x －1对任意x >1恒成立． 令h (x )＝x ln x ＋x x －1，则h ′(x )＝x －ln x －2（x －1）2， 令φ(x )＝x －ln x －2(x >1)，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，所以函数φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，因为方程φ(x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一的实根x 0，且x 0∈(3，4)，当1<x <x 0时，φ(x )<0，即h ′(x )<0，当x >x 0时，φ(x )>0，即h ′(x )>0.所以函数h (x )在(1，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．所以h (x )min ＝h (x 0)＝x 0（1＋ln x 0）x 0－1＝x 0（1＋x 0－2）x 0－1＝x 0∈(3，4)，所以k <g (x )min ＝x 0， 又因为x 0∈(3，4)，故整数k 的最大值为3.19．高三模拟考试)已知函数f (x )＝－4x 3＋ax ，x ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，求实数a 的取值集合．解：(1)f ′(x )＝－12x 2＋a .当a ＝0时，f (x )＝－4x 3在R 上单调递减；当a <0时，f ′(x )＝－12x 2＋a <0，即f (x )＝－4x 3＋ax 在R 上单调递减；当a >0时，f ′(x )＝－12x 2＋a ＝0，解得x 1＝36a ，x 2＝－3a 6，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6时，f ′(x )<0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6时，f ′(x )>0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞时，f ′(x )<0， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在R 上单调递减；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减； 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减． (2)∵函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，∴对任意x ∈[－1，1]，f (x )≤1恒成立，即－4x 3＋ax ≤1对任意x ∈[－1，1]恒成立，变形可得ax ≤1＋4x 3.当x ＝0时，a ·0≤1＋4·03，即0≤1，可得a ∈R ；当x ∈(0，1]时，a ≤1x ＋4x 2，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2min， 令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，g ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时， g ′(x )>0. 因此，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3， ∴a ≤3.当x ∈[－1，0)时，a ≥1x ＋4x 2，则a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2max， 令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2，当x ∈[－1，0)时，g ′(x )<0，因此，g (x )max ＝g (－1)＝3，∴a ≥3.综上，a＝3.∴a的取值集合为{3}。
完整版)导数与极值、最值练习题
完整版)导数与极值、最值练习题三、知识新授一）函数极值的概念函数极值指的是函数在某个点上的最大值或最小值，包括极大值和极小值。
二）函数极值的求法：1）确定函数的定义域，并求出函数的导数f'(x)；2）解方程f'(x)=0，得到方程的根x（可能不止一个）；3）如果在x附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则f(x)是极大值；反之，则f(x)是极小值。
题型一图像问题1、函数f(x)的导函数图像如下图所示，则函数f(x)在图示区间上（）第二题图）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点2、函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、若函数f(x)=x+bx+c的图像的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图像可能为（）图略）4、设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图像如下图所示，则y=f(x)的图像可能是（）图略）A。
B。
C。
D。
5、已知函数f(x)的导函数f'(x)的图像如右图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是（）图略）6、f'(x)是f(x)的导函数，f'(x)的图像如图所示，则f(x)的图像只可能是（）图略）A。
B。
C。
D。
7、如果函数y=f(x)的图像如图，那么导函数y=f'(x)的图像可能是（）图略）ABCD8、如图所示是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)图像，则下列哪一个判断可能是正确的（）图略）A．在区间(-2,0)内y=f(x)为增函数B．在区间(0,3)内y=f(x)为减函数C．在区间(4,+∞)内y=f(x)为增函数D．当x=2时y=f(x)有极小值9、如果函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数y=f(x)在区间(-3,-1/2)内单调递增；②函数y=f(x)在区间(-1/2,2)内单调递减。
《导数与极值》基础练习题
《导数与极值》基础练习题一、单选题 1．已知3()x xf x e=，则()f x （ ） A ．在(,)-∞+∞上单调递增 B ．在(,1)-∞上单调递减 C ．有极大值3e ，无极小值 D ．有极小值3e，无极大值 2．已知函数()f x 的导函数()'f x 的图像如下，若()f x 在0x x =处有极值，则0x 的值为（ ）A ．3-B ．0C ．3D ．73．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =在区间(),a b 内的极小值点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．若函数1()sin sin 33f x a x x =+在3x π=处有最大（小）值，则a 等于（ ） A ．2B ．1C ．233D ．05．如图是函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象，则函数()y f x =的极小值点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．关于x 的函数32()33f x x x x a =++-的极值点的个数有（ ）A ．2个B ．1个C ．0个D ．由a 确定7．函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ）A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤8．已知函数()ln f x x ax =-在2x =处取得极值，则a =（ ）A ．1B ．2C ．12D ．-29．已知a 为函数3()27f x x x =-的极小值点，则a =（ ）A ．3B ．－2C ．4D ．210．函数()()x f x x x e 2=-3+1的极大值为（）A ．2e -B ．15e -C ．3254e -D ．2e -11．函数()sin xf x ae x =-在0x =处有极值,则a 的值为( )A ．1-B ．0C ．1D ．e12．函数()ln f x kx x =-的极值点为2x =，则k 的值为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．12-13．已知1x =是2()(3)23xf x x a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦的极小值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,1)-∞14．函数()[]2cos 0,f x x x π=+在上的极小值点为（ ）A ．0B ．6πC ．56π D ．π15．设()21cos 2=+f x x x ，则函数()f x （ ） A ．有且仅有一个极小值 B ．有且仅有一个极大值 C ．有无数个极值 D ．没有极值 16．已知函数()31f x ax bx =++的图象在点()1,1a b ++处的切线斜率为6，且函数()f x 在2x =处取得极值，则a b +=（ ） A ．263-B ．7C ．223D ．26317．若1x =是函数3221()(1)(33)3f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为（ ） A ．-3B ．2C ．-2或3D ．–3或218．已知是函数2x =就函数3()32f x x ax =-+的极小值点，那么函数()f x 的极大值为（ ）A ．-2B ．6C ．17D ．18二、多选题19．函数()f x 的定义域为R ，它的导函数()y f x '=的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）A ．在()1,2上函数()f x 为增函数B ．在()3,5上函数()f x 为增函数C ．在()1,3上函数()f x 有极大值D ．3x =是函数()f x 在区间[]1,5上的极小值点20．已知函数39,0(),0x x x f x xe x ⎧-≥=⎨<⎩，若()f x 的零点为α，极值点为β，则（ ）A ．=0αB ．+=1αβC ．()f x 的极小值为1e --D ．()f x 有最大值 三、填空题21．函数2sin y x x =-在()0,π上的极值点为______. 22．函数()ln f x x x =的极值点是x =__________.23．函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x 在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点___________个.24．已知函数()ln f x x x =，则()y f x =的极小值为______． 25．若函数32()4f x x ax =-+-在2x =处取得极值，则a =________. 26．若x ＝2是f (x )＝ax 3-3x 的一个极值点，则a ＝________. 27．函数()ln f x x x =-的极大值是______.28．已知a 为函数()212f x x x =-的极小值点，则a =______ .29．已知函数()2()e xf x x ax =+的一个极值点为1，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为______.30．函数f （x ）＝x 3+ax 2+（a +6）x +1有极值，则a 的取值范围是_____．31．设函数()2xf x e x ax =+-，若0x =是()f x 的极值点，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为_______.32．已知函数()xf x e ax =+在1x =处取得极小值，则实数a =__________.33．设x ＝－2与x ＝4是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为________． 34．已知函数f (x )=x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x =－1时有极值0，则m ＋n =________. 35．若函数f （x ）＝a sin x +cos x 在x 3π=处有极值，则实数a 等于________.四、双空题 36．若函数2'1()(2)ln 2f x x f x ⋅=+,则()f x 的极大值点为_______，极大值为_________.五、解答题37．函数()ln 1f x x x ax =-+在点(1,(1))A f 处的切线斜率为2-．（1）求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间和极值．38．已知函数()()3223168f x x a x ax =-+++，其中a R ∈，已知()f x 在3x =处取得极值.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在点()()1,1A f 处切线的方程.39．已知函数3()31f x x x =-+.（1）求()f x 的单调区间； （2）求函数的极值；(要列表).40．已知函数()ln(1)f x x =+与函数2()g x x ax b =++在0x =处有公共的切线.（1）求实数a ，b 的值；（2）记()()()F x f x g x =-，求()F x 的极值.《导数与极值》参考答案1．C 【解析】由题意3(1)()xx f x e-'=，当1x <时，()0f x '>，()f x 递增，1x >时，()0f x '<，()f x 递减，(1)f 是函数的极大值，也是最大值3(1)f e=，函数无极小值．故选：C ．2．B 【解析】由()'f x 知，0x =时，(0)0f '=，30x -<<时，()0f x '>，03x <<时，()0f x '<，0是极值点．虽然有(7)0f '=，但在7的两侧，()0f x '<，7不是极值点．故选：B ．3．A 【解析】由图象，设()'f x 与x 轴的两个交点横坐标分别为c 、d 其中c d <，知在(,)c -∞，(),d +∞上()0f x '≥，所以此时函数()f x 在(,)c -∞，(,)d +∞上单调递增，在(,)c d 上，()0f x '<，此时()f x 在(,)c d 上单调递减，所以x c =时，函数取得极大值，x d=时，函数取得极小值．则函数()y f x =的极小值点的个数为1．故选: A4．A 【解析】∵()f x 在3x π=处有最大（小）值，∴3x π=是函数()f x 的极值点.又∵()cos cos3()f x a x x x R =+∈'，∴cos cos 033f a πππ'⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得2a =.故选：A 5．B 【解析】由图象，设()f x '与x 轴的两个交点横坐标分别为a 、b 其中a b <，知在(,)a -∞，(,)b +∞上()0f x '>，所以此时函数()f x 在(,)a -∞，(,)b +∞上单调递增，在(,)a b 上，()0f x '<，此时()f x 在(,)a b 上单调递减，所以x a =时，函数取得极大值，x b=时，函数取得极小值．则函数()y f x =的极小值点的个数为1．故选: B6．C 【解析】因为，32()33f x x x x a =++-，所以，令2'()3630f x x x =++=，得，2(1)0x +=，在x=－1附近，导函数值不变号，所以，关于x 的函数32()33f x x x x a =++-的极值点的个数为0，选C ．7．C 【解析】因为2()31f x ax '=+，所以221()31030f x ax a x =+=⇒=-<'，即0a <，故选C ． 8．C 【解析】()'1f x a x =-，依题意()'20f =，即110,22a a -==.此时()()'112022x f x x x x-=-=>，所以()f x 在区间()0,2上递增，在区间()2,+∞上递减，所以()f x 在2x =处取得极大值，符合题意.所以12a =.故选：C 9．A 【解析】3'22()27()3273(9)03f x x x f x x x x =-⇒=-=-=⇒=±.当3x >时，'()0f x >，因此函数单调递增，当33x -<<时，'()0f x <，因此函数单调递减，当3x <-时，'()0f x >，因此函数单调递增，所以3x =是函数的极小值点，故3a =.故选：A 10．B 【解析】依题意()()'22x fx x x e =--()()21x x x e =-+，故函数在()(),1,2,-∞-+∞上递增，在()1,2-上递减，所以函数在1x =-处取得极大值为()115f e --=.故选B. 11．C 【解析】由题意得：()cos xf x ae x '=-．()f x 在0x =处有极值，()0cos010f a a '∴=-=-=，解得：1a =经检验满足题意，本题正确选项：C12．C 【解析】因为()ln f x kx x =-，所以()´1fx k x=-；又()ln f x kx x =-的极值点为2x =，所以()´20f=，即12k =.故选C 13．D 【解析】依题意()()()1xf x x a x e '=--，零点为121,x x a ==，要1x =是函数的极小值点，则必须1a <，此时函数在(),1a 上递减，在()1,+∞上递增，在1x =处取得极小值.故本题选D. 14．C 【解析】y′＝1﹣2sinx ＝0，得x π6=或x 5π6=，故y ＝x+2cosx 在区间[0，π6]上是增函数，在区间[π6，5π6]上是减函数，在[5π6，π]是增函数．∴x 5π6=是函数的极小值点，故选：C ． 15．A 【解析】()sin f x x x '=-，()1cos 0f x x ''=-≥，∴()f x '单调递增且()00f '=，∴当0x <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当0x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，故()f x 有唯一的极小值点.故选：A. 16．C 【解析】由题可知：()'23fx ax b =+，则36,120,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得23a =-，8b =.经检验，当23a =-，8b =时，()f x 在2x =处取得极大值，所以223a b +=.故选：C 17．D 【解析】由题意，知：22()2(1)(33)f x x a x a a '=++-+-且()01f '=，∴260+-=a a ，解得：3a =-或2a =.当3a =-时，2()43(1)(3)f x x x x x '=-+=--，即在1x =的左侧(0)30f '=>，右侧(2)10f '=-<，所以1x =是极值点，而非拐点；当2a =时，2()67(1)(7)f x x x x x '=+-=-+，即在1x =的左侧(0)70f '=-<，右侧(2)90f '=>，所以1x =是极值点，而非拐点；故选：D18．D 【解析】函数3()32f x x ax =-+的导数()233f x x a '=-， 由题意得，()20f '=，即1230a -=，4a =． ()3122f x x x =-+，()()()2312322f x x x x '=-=-+，令()0f x '>，得2x >或2x <-；()0f x <′，得22x -<<， 所以当时2x =-取极大值，即()()8242218f x f -=-=++=极大值． 故选：D ．19．AC 【解析】由图象可知()f x 在区间()1,2和()4,5上()'0fx >，()f x 递增；在区间()2,4上()'0f x <，()f x 递减.所以A 选项正确，B 选项错误.在区间()1,3上，()f x 有极大值为()2f ，C 选项正确.在区间[]1,5上，4x =是()f x 的极小值点，D 选项错误.故选：AC20．BC 【解析】当0x <时，()0x f x xe =<，此时函数无零点，当0x ≥时，()39x f x =-，函数的零点为2，所以2α=，当0x <时，()(1)x x xf x e xe e x ='=++，由()0f x '<得1x <-，由()0f x '>，得10x -<<，所以函数在1x =-处取得极小值，极小值点为1-，极小值为1(1)f e --=-，当0x ≥时，()39x f x =-为递增函数，此时()f x 无极值，也无最大值，所以1β=-，所以2(1)1αβ+=+-=，故选：BC21．3π【解析】∵'12cos y x =-，∴当03x π<<时，'0y <；当3x ππ<<时，'0y >.故极值点为3π. 22．1e 【解析】令()'ln 10f x x =+=，解得1e x =.则函数()ln f x x x =的极值点是1ex =， 23．1【解析】从导函数的图象上可得导数的零点有4个，其中满足零点左侧附近导数小于零且右侧附近导数大于零的零点有1个，24．1e-【解析】因为()ln f x x x =，所以()ln 1f x x '=+，由()0f x '>得1x e>；由()0f x '<得10x e <<；所以函数()ln f x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()y f x =的极小值为1111ln f e e e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭.25．3【解析】由题意，得2()32f x x ax '=-+，因为2x =是函数()f x 的极值点，可得()20f '=，所以34220a -⨯+⨯=，解得3a =.26．14【解析】因为3()3f x ax x =-，所以2()33f x ax '=-，因为x ＝2是f (x )＝ax 3-3x 的一个极值点，所以(2)1230f a '=-=，故14a =，经验证当14a =时，2x =是()f x 的一个极值点.所以14a =.27．-1【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()ln f x x x =-，∴()1'1f x x=-，令()'0f x =，解得1x =，当01x <<时，()'0f x >；当1x >时，()'0f x <，()f x ∴递增区间是(0,1)，递减区间是(1,)+∞，故()f x 在1x =处取得极大值，极大值为()1ln111f =-=-.28．6【解析】由()212f x x x =-有()()221226f x x x '=-=-．令()0f x '>，得6x >，则()f x 在()6+，∞上单调递增.令()0f x '<，得6x <，则()f x 在()6，-∞上单调递减.所以()f x 在6x =处取得极小值,所以6a =29．320x y +=【解析】2()(2)e x x x a a f x ⎡⎤=+++⎣⎦'，由()01f '=，有32a =-，又切点为(0,0)，3(0)2f '=-,则切线方程为32y x =-，320x y +=.30．{a |a ＜﹣3或a ＞6}【解析】函数32()(6)1f x x ax a x ++++＝有极值，则2()3260f x x ax a '=+++=有两个不相等的实数解，22412(6)4(318)0a a a a ∆=-+=-->，3a ∴<-或6a >.31．1e +【解析】由已知()2xf x e x a '=+-，所以()010f a '=-=，得1a =，所以()1211f e e '=+-=+，32．e -【解析】因为()xf x e ax =+，所以()´x fx e a =+，又函数()xf x eax =+在1x =处取得极小值，所以()´1e 0fa =+=,故a e =-.33．21【解析】因为()32f x x ax bx =++，所以()2'32f x x ax b =++£®因为2x =-与4x =是函数，()32f x x ax bx =++的两个极值点，可得()()2124044880f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨=++=''⎪⎩，解得3a =-，24b =-，所以21a b -=£® 34．11【解析】()()3222336f x x mx nx m f x x mx n =+++∴'=++， 依题意可得()()210130 10360f m n m f m n ⎧-⎧-+-+⎪⇒⎨⎨'--+⎪⎩⎩＝＝＝＝，联立可得29m n =⎧⎨=⎩或1?3m n =⎧⎨=⎩；当1,3m n ==时函数()32331f x x x x =+++，()()22363310f x x x x '=++=+≥，所以函数()f x 在R 上单调递增，故函数()f x 无极值，所以1,3m n ==舍去；所以2,9m n ==，所以+11m n =. 35解析】由函数f （x ）＝asinx +cosx ，则f ′（x ）＝acosx ﹣sinx ，由函数f （x ）在x 3π=处有极值，则'()03f π=，即acos3π-sin 3π=0，故a =36()1ln 212-【解析】2'''11()(2)ln ()(2)2f x x f x f x x f x=+⇒⋅=⋅+,因此有 '''11(2)2(2)(2)22f f f =⋅+⇒=-,所以2'111()ln ,()42f x x x f x x x=-+=-+2'112()22x f x x x x -+=-+==,因为0x >,所以当x >,函数()f x 单调递减,当02x时, 函数()f x 单调递增,因此()f x,极大值为11(ln 21)22f =-+=-.37．【解析】（1）函数()ln 1f x x x ax =-+的导数为()ln 1f x x a '=+-，在点(1,(1))A f 处的切线斜率为12k a =-=，(1)2f '∴=-，即12a -=-，3a ∴=；（2）由（1）得，()ln 2,(0,)f x x x '=-∈+∞， 令()0f x '>，得2x e >，令()0f x '<，得20x e <<，即()f x 的增区间为()2,e +∞，减区间为()20,e ．在2x e =处取得极小值21e -，无极大值． 38．【解析】（1）()()3223168,f x x a x ax =-+++()()()()2661661f x x a x a x a x ∴=-++=--'而()f x 在3x =处取得极值，故()'30f=，得3a =，经检验，当3a =时，()f x 在3x =处取得极值. 所以()32212188f x x x x =-++.（2）由（1）得，()()()631f x x x -'=-所以，切线的斜率()10k f '==，而()116f =，所以切线的方程为160y -=. 39．【解析】（1）3()31=-+f x x x ，/2()333(1)(1)∴=-=-+f x x x x ，设'()0f x =可得1x =或1x =-. ①当/()0f x >时，1x >或1x <-； ②当/()0f x <时，11x -<<，所以()f x 的单调增区间为()(),1,1,-∞-+∞，单调减区间为：()1,1-.（2）由（1）可得，当x 变化时，/()f x ，()f x 的变化情况如下表：当1x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为(1)3f -= 当1x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(1)1f =-. 40．【解析】（1）()11f x x '=+，()2g x x a '=+， 由题意得()()00f g '='，()()00f g =，解得1a =，0b =. （2）()()()()2ln 1F x f x g x x x x =-=+--，()()23121(1)11x x F x x x x x -+=--=>-++'， ()F x '，()F x 的变化情况如下表：x()1,0-()0,∞+()F x ' +-()F x极大值由表可知，()F x 的极大值为()00F =，无极小值.。
方法技巧专题12 函数单调性、极值、最值与导数问题(解析版)
方法技巧专题12 函数单调性、极值、最值与导数问题解析篇【一】判断函数单调性1.例题【例1】已知函数()xf x ax e =-判断函数()f x 的单调性。
【解析】由题意可求，()´xf x a e =-1.当0a ≤时，()()´0,f x f x <在R 上为减函数；2.当0a >时，令()´0f x >，解得x lna <, 令()´0f x <，解得x lna > 于是()f x 在(,ln ]a -∞为增函数，在[ln ,)a +∞为减函数；【例2】已知函数2()ln 1a f x x x +=++，其中a ∈R ，讨论并求出f (x )在其定义域内的单调区间． 【解析】()222121()1(1)(1)a f x x ax x x x x +'=-=-+++，设g (x )＝x 2－ax ＋1， ∵x ＞0，∴①当a ＜0时，g (x )＞0，f ′(x )＞0在x ∈(0，＋∞)上恒成立， 此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；②当a ＞0时，222()1124a a g x x ax x ⎛⎫=-+=-+-⎪⎝⎭. 当1－24a ≥0，即0＜a ≤2时，g (x )＞0，f ′(x )＞0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当a ＞2时，方程g (x )＝0的两根分别为12,22a a x x +==，且0＜x 1＜x 2， ∴当x ∈(0，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(0，x 1)上单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，故函数f (x )在(x 1，x 2)上单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(x 2，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤2时，函数f (x )的单调增区间为(0)∞，＋，没有减区间；当a ＞2时，函数f (x )的减区间为12()x x ，；增区间为(0，x 1)，(x 2，＋∞)．2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数()xf x e =，()()210g x ax x a =++>.设()()()g x F x f x =，讨论函数()F x 的单调性；【解析】因为2()1()()xg x ax x F x f x e++==， 所以221(21)'()xx a ax x ax a x a F x e e -⎛⎫-- ⎪-+-⎝⎭==， ①若12a =，2'()0xax F x e-=≤.∴()F x 在R 上单调递减. ②若12a >，则210a a->， 当0x <，或21a x a ->时，'()0F x <，当210a x a-<<时，'()0F x >，∴()F x 在(,0)-∞，21,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在210,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.③若102a <<，则210a a-<， 当21a x a -<，或0x >时，'()0F x <，当210a x a-<<时，'()0F x >. ∴()F x 在21,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(0,)+∞上单调递减，在21,0a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 【练习2】已知x ax x x ax x f +--=2221ln )()(，求)(x f 单调区间. 【解析】该函数定义域为），（∞+0（第一步：对数真数大于0求定义域）令x ax x f ln 12)('）（-=，解得121,12x x a==（第二步，令导数等于0，解出两根21,x x ） （1）当0≤a 时，'(0,1),()0,()x f x f x ∈>单调增，'(1,),()0,()x f x f x ∈+∞<单调减 （第三步，1x 在不在进行分类，当其不存在得到0≤a ；第四步数轴穿根或图像判断正负）（2）当121=a 时即21=a '(0,),()0,()x f x f x ∈+∞>单调增， （第五步，x 1在区间时，进行比较大小，当21x x =得到21=a 第四步图像判断正负）①当1210<<a 时，即21>a'1(0,),(1,)()0,()2x x f x f x a ∈∈+∞>单调增，'1[,1],()0,()2x f x f x a∈<单调减（当21x x <得到21>a ；第四步图像判断正负）②当121>a 时，即210<<a'1(0,1),(,)()0,()2x x f x f x a ∈∈+∞>单调增，'1[1,],()0,()2x f x f x a∈<单调减（21x x >得到210<<a ；第四步图像判断正负）综上可知：0≤a ，'(0,1),()0,()x f x f x ∈>单调增，'(1,),()0,()x f x f x ∈+∞<单调减；21=a ，'(0,),()0,()x f x f x ∈+∞>单调增 21>a '1(0,),(1,)()0,()2x x f x f x a ∈∈+∞>单调增，'1[,1],()0,()2x f x f x a ∈<单调减210<<a ，'1(0,1),(,)()0,()2x x f x f x a ∈∈+∞>单调增，'1[1,],()0,()2x f x f x a ∈< 单调减【二】根据单调性求参数 1.例题【例1】（1）若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 . （2）函数()()2244xf x exx =--在区间()1,1k k -+上不单调，实数k 的范围是（ ）（3）若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为 .（4）若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为 .【解析】（1）因为函数2()2(1)2f x x a x =+-+的单调减区间为(],1a -∞-，又函数()f x 在区间(],4-∞上是减函数，则(],4-∞⊆(],1a -∞-，则14a -≥，解得：3a ≤-， （2）()()2244xf x exx =--，()()228x f x e x '∴=-，令()0f x '=，得2x =±. 当2x <-或2x >时，()0f x '>；当22x -<<时，()0f x '<. 所以，函数()y f x =的极大值点为2-，极小值点为2.由题意可得121k k -<-<+或121k k -<<+，解得31k -<<-或13k <<. （3）由2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<. 二次函数245y x x =-++的对称轴为2x =.由复合函数单调性可得函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5．要使函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增， 则()()32,22,5m m -+⊆，即32225322m m m m -≥⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解得423m ≤<.（4）若函数()f x 不存在增区间，则函数()f x 单调递减， 此时()1210f x ax x'=+-≤在区间()0,∞+恒成立， 可得2112a x x ≤-，则22111111244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，可得18a ≤-，故函数存在增区间时实数a 的取值范围为1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【例2】已知函数32()3()f x ax x x x =+-∈R 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3,-+∞ B ．()()3,00,-+∞C ．()(),00,3-∞ D ．[)3,-+∞【解析】（1）2'()361f x ax x =+-，∴()f x 有三个单调区间，∴036120a a ≠⎧⎨∆=+>⎩，解得3a >-且0a ≠．故选B ．2.巩固提升综合练习 【练习1】函数321()3f x ax x a =-+在[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．1a ≥C ．2a >D ．2a ≥【答案】D【解析】由题意得：()22f x ax x '=-()f x 在[]1,2上单调递增等价于：()0f x '≥在[]1,2上恒成立即：220ax x -≥ 222x a x x∴≥=当[]1,2x ∈时，22x≤ 2a ∴≥本题正确选项：D【练习2】已知函数f(x)=x 3+ax 2+x +1（a ∈R ）在(−23,−13)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,√3] B ．(−∞,√3] C ．(√3,+∞) D ．(√3,3)【答案】C【解析】f ′(x )=3x 2+2ax +1 假设f(x) 在(−23,−13)内不存在单调递减区间，而f(x)又不存在常函数情况，所以f(x) 在(−23,−13)内递增，即有x ∈ (−23,−13)时不等式f ′(x )=3x 2+2ax +1≥0恒成立，即x ∈ (−23,−13)时，a ≤−32x −12x =−32(x +13x)恒成立，解得a ≤√3，所以函数f(x) 在(−23,−13)内存在单调递减区间，实数a 的取值范围是(√3,+∞)故选C【练习3】若函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数，则t 的取值范围是（ ） A ．[1,2] B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞【答案】B【解析】22222122(2)(1)()ln '()1(0)x x x x f x x x f x x x x x x x+-+-=++⇒=+-==> 1x ≥单调递增，01x <<单调递减.函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数 区间[],2t t +上是单调递减不满足只能区间[],2t t +上是单调递增. 故1t ≥故答案选B【三】函数的极值问题1.例题【例1】(1)函数3()12f x x x =-的极大值点是_______，极大值是________。
导数与函数的单调性、极值、最值问题
导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位 高考对导数计算的考查贯穿于与之有关的每一道题目之中，函数的单调性，函数的极值与最值均是高考命题的重点内容，在选择题、填空题、解答题中都有涉及，试题难度不大.真 题 感 悟(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围.(1)证明 f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )＞0.若m ＜0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1＞0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1＜0，f ′(x )＞0.所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.(2)解 由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值.所以对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎨⎧f （1）－f （0）≤e －1，f （－1）－f （0）≤e －1，即⎩⎨⎧e m －m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t －1.当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e ＜0，故当t ∈[－1，1]时，g (t )≤0.当m ∈[－1，1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；当m ＞1时，由g (t )的单调性，g (m )＞0，即e m －m ＞e －1；当m ＜－1时，g (－m )＞0，即e －m ＋m ＞e －1.综上，m的取值范围是[－1，1].考点整合1.导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则y＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.2.极值的判别方法当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.也就是说x0是极值点的充分条件是点x0两侧导数异号，而不是f′(x)＝0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点，而且极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小.3.闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者.热点一导数与函数的单调性[微题型1]求含参函数的单调区间【例1－1】设函数f(x)＝a ln x＋x－1x＋1，其中a为常数.(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性.解(1)由题意知a＝0时，f(x)＝x－1x＋1，x∈(0，＋∞).此时f′(x)＝2（x＋1）2.可得f′(1)＝12，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞).解f′(x)＝3x2－2kx＋1.(1)当k＝1时，f′(x)＝3x2－2x＋1，Δ＝4－12＝－8＜0，所以f′(x)＞0恒成立，故f(x)在R上单调递增.故函数f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间.(2)法一当k<0时，f′(x)＝3x2－2kx＋1，f′(x)的图象开口向上，对称轴为x＝k3，且过点(0，1).当Δ＝4k2－12＝4(k＋3)(k－3)≤0，即－3≤k<0时，f′(x)≥0，f(x)在[k，－k]上单调递增.从而当x＝k时，f(x)取得最小值m＝f(k)＝k.当x＝－k时，f(x)取得最大值M＝f(－k)＝－k3－k3－k＝－2k3－k. 当Δ＝4k2－12＝4(k＋3)(k－3)＞0，即k＜－3时，令f′(x)＝3x2－2kx＋1＝0，解得x1＝k＋k2－33，x2＝k－k2－33，注意到k＜x2＜x1＜0，(注：可用根与系数的关系判断，由x1·x2＝13，x1＋x2＝2k3＞k，从而k＜x2＜x1＜0；或者由对称结合图象判断)所以m＝min{f(k)，f(x1)}，M＝max{f(－k)，f(x2)}.因为f(x1)－f(k)＝x31－kx21＋x1－k＝(x1－k)(x21＋1)＞0，所以f(x)的最小值m＝f(k)＝k.因为f(x2)－f(－k)＝x32－kx22＋x2－(－k3－k·k2－k)＝(x2＋k)[(x2－k)2＋k2＋1]<0，所以f(x)的最大值M＝f(－k)＝－2k3－k.综上所述，当k<0时，f(x)在[k，－k]上的最小值m＝f(k)＝k，最大值M＝f(－k)＝－2k3－k. 法二当k＜0时，对x∈[k，－k]，都有f(x)－f(k)＝x3－kx2＋x－k3＋k3－k＝(x2＋1)(x－k)≥0，故f(x)≥f(k)；f(x)－f(－k)＝x3－kx2＋x＋k3＋k3＋k＝(x＋k)(x2－2kx＋2k2＋1)＝(x＋k)[(x－k)2＋k2＋1]≤0，故f(x)≤f(－k).而f(k)＝k＜0，f(－k)＝－2k3－k＞0，所以f(x)max＝f(－k)＝－2k3－k，f(x)min＝f(k)＝k.1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用逗号或“和”字隔开.2.可导函数在闭区间[a，b]上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值.3.可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f ′(x)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论.5.求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维——直接求函数的极值或最值；也有逆向思维——已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想.一、选择题1.函数f(x)＝12x2－ln x的单调递减区间为()A.(－1，1]B.(0，1]C.[1，＋∞)D.(0，＋∞)解析由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x)＝x－1x≤0，解得0＜x≤1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1]. 答案 B2.(2015·武汉模拟)已知函数f(x)＝12mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是()A.[－1，1]B.[－1，＋∞)C.[1，＋∞)D.(－∞，1]解析f′(x)＝mx＋1x－2≥0对一切x＞0恒成立，。
导数用于单调性和极值问题
专题十四、导数用于单调性和极值问题题型一利用导数判断函数的单调性sin x n1.证明：函数f(x)= 在区间7，n上单调递减.x 2题型二利用导数求函数的单调区间2•求下列函数的单调区间.(1) f(x)= x3—x；(2)y = e x—x+ 1.3. 求函数y = x2—In x2的单调区间.题型三已知函数单调性求参数的取值范围a4. 已知函数f(x) = x2+ _(x丸,常数a€ R).若函数f(x)在x€ ［2 , +8)上是单调递增的,x的取值范围.5. (1)已知函数f(x)=x3+ bx2+ cx + d的单调减区间为［—1,2］，求b, c的值.(2)设f(x)= ax3+ x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围.题型四用单调性与导数关系证不等式16. 当x >0时，证明不等式ln(x+ 1) > x —；x2.n 17. 当0<x<2时，求证：x—sin x<y.题型五、函数的极值问题8.下列函数存在极值的是( )C . y = 3x — 1 29 .设函数 f (x )= '+ In x ,则()x1x = 2为f (x )的极大值点 1x =；为f (x )的极小值点x = 2为f (x )的极大值点 x = 2为f (x )的极小值点10 •若函数y = f (x )是定义在R 上的可导函数，则A .充分不必要条件B •必要不充分条件C •充要条件D .既不充分也不必要条件 11 .函数y = x e x 的最小值为12 .若函数f (x )= -^(a >0)在［1 ,+R ］上的最大值为」，则a 的值为x 2 + a 3题型六、利用极值求参数范围n 3 n13.已知函数f (x )= a sin x — b cos x 在x = 一时取得极值，则函数 y = f (— x )是()4 4A •偶函数且图象关于点(n, 0)对称 3 nB .偶函数且图象关于点(丁, 0)对称B .y = x 2f '(x o )= 0是x o 为函数y = f (x )的极值点的3 nC•奇函数且图象关于点q-, 0)对称D .奇函数且图象关于点(n, 0)对称14 .已知函数f(x)= x3+ ax2+ bx + c, f(x)在x = 0处取得极值，并且在区间［0,2］和［4,5］上具有相反的单调性.(1) 求实数b的值；(2) 求实数a的取值范围.题型七、导数用于解决实际问题15 .用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A. 6B. 8C. 10 D . 1216 .一工厂生产某型号车床，年产量为N台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量).设每年每台的库存费为C1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床_________ 台，一年中库存费和生产准备费之和最小.题型八、图像问题17.二次函数y= f(x)的图象过原点且它的导函数y=f '(x)的图象是如图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在()A •第i象限B.第n象限C .第川象限D .第W象限18.设函数f(x)在定义域内可导，y = f(x)的图象如下图所示，则导函数y= f '(x)的图象可能是( )巩固练习：119.定义域为R的函数f（x）满足f（1）= 1，且f（x）的导函数f '（x）>2，则满足2f （x）<x + 1的X 的集合为（）A . {x|- 1<x<1} B. {x|x<1}C. {x|x< —1 或x>1} D . {x|x>1}n 120 .函数f（x）= sin x+ 2xf'（3）, f '（x）为f（x）的导函数，令a = —；, b = log 32，则下列关系正3 2确的是()A . f(a)>f(b) B. f(a)<f(b)C. f(a) = f(b) D . f(|a|)< f(b)21. 若关于x的方程x3—3x+ m = 0在[0,2]上有根，则实数m的取值范围是()A . [ —2,2] B. [0,2]C. [ —2,0] D . (— s,—2) U (2 ,+^ )1 122. 已知函数f(x) = ax3+ ax2—2ax + 2a +1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是3 223. 已知函数f(x)= x3—3x，若过点A(1 , m)(m工一2)可作曲线y = f(x)的三条切线，则实数m的取值范围为_________三、解答题24 .求证：x>0 时，1 + 2x<e 2x.x —125.设函数f(x)= a ln x + ，其中a为常数.x +1(1)若a = 0,求曲线y= f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程;⑵讨论函数f(x)的单调性.26 .已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y= 4 —x2在x轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长.x a327.已知函数f (x ) = 4 + - — ln x —-，其中a € R ，且曲线y = f (x )在点(1 , f (i))处的切线垂直于 4 X2 1y ="X .(1) 求a 的值；(2) 求函数f (x )的单调区间与极值.28 .设函数 f (x )= e x — ax — 2.(1) 求f (x )的单调区间；(2) 若a = 1 , k 为整数，且当x >0时，(x — k )f '(x ) + x + 1>0，求k 的最大值.专题十四、导数用于单调性和极值问题参考答案x cos x — sin x n1.证明f '(x )= : ，又 x € 一，冗， x 2 2贝U cos x <0 ,「.x cos x — sin x <0 ,n•f(X )<0 ,「.f (x )在；,n 上是减函数.2. 解 (1)f'(x ) = 3x 2 — 1 = (一 3x + 1)( ；3x — 1),令 f '(x )<0，贝U x € — , .3 3• f (x ) = x 3 — x 的单调增区间为—o.令 f '(x )>0 ,则 x € 一 oo,-单调减区间为33，(2)y '毛x — i ，令 y >o ，即 e x — 1>0 ,则 x € (0 ,+^ )；令 y '<0，即 e x —1<0，贝U x € ( — g, 0), .•.y = e x — x + 1的单调增区间(0，+g )，单调减区间为(一g, 0).23.解 •••函数 y = f (x )= x 2— In x 2 的定义域为(—g,0) U (0，+g )，又 f '(x ) = 2x — _ =x2 x 2 — 1 2 x — 1 x + 1x = x ，由上表可知，函数 f (x ) = x 2 — In x 2在区间(一1,0) , (1 ,+g )上单调递增；在区间(一g, —1), (0,1)上单调递减.a 2x 3 — a4.解 f'(x )= 2x — 7 = 2—x 2 x 22x 3— a•/x 2>0 , .2x 3— a >0 , •a W 2x 3在x € [2 ,+g )上恒成立..•.a W (2 X 3)min .•••X € [2 ,+g ), y = 2x 3是单调递增的， .•.(2X 3)min = 16 ,「.a W 16.2x 3— 16当 a = 16 时，f'(x ) = ------- 2— >0(x € [2 ,+g ))有且只有 f'(2) = 0 ,.a 的取值范围是(一x 2g, 16].5. 解 (1) ••函数f (x )的导函数f'(x ) = 3x 2 + 2bx + c ,由题设知—1< x <2是不等式3x 2 + 2bx + c <0的解集.• —1,2是方程3x 2 + 2bx + c = 0的两个实根，2c•-1 +2=-3b ,(一1)x2=3,3即 b = — _, c = — 6.2(2) vf '(x ) = 3ax 2+ 1，且f (x )有三个单调区间, •方程f '(x ) = 3ax 2 + 1 = 0有两个不等的实根, ••A= 02 — 4 x 1 x 3a >0 ，―a <0.要使f (x )在［2 ,+g )上是单调递增的，则f '(x )» 在x € [2 ,+g )时恒成立,x 2>0 在 x € [2 , + g )时恒成立.•••a 的取值范围为(一3 0).16. 审题指导利用导数证明不等式，首先要构造函数f (x ) = ln(x + 1) -x +2x 2，证明f (x )在(0, + 3)上单调增，由f (x )> f (0) = 0证得.1［规范解答］令 f (x ) = ln(x + 1) — x + 2x 2, (4 分) 1 x 2贝U f '(x ) = 一 1 + x = .(6 分)1 + x 1 + x 当 x € (0 ,+3 )时,f '(x ) >0 , •••f(x )在(0，+3)上是增函数.(8分) 于是当 x > 0 时，f (x ) > f (0) = 0 ,1•••当 x >0 时，不等式 In(x + 1) >x — ［x 2成立.(12 分) 1 n7. 证明 设 g (x ) = x — sin x —-x 3, x € 0, 一，6 21 xx —_x 2= 2 sin 2_— 2 2n—,二0 v sin x v x ,2x x「•sin 2；< 2 2，：g '(x ) v 0,n•••g(x)在0, 2上单调递减,1 /.g (x )v g (0) = 0 ,.「x — sin x v 一x 3.6 8. ［答案］D［解析］画出图像即可知 y = x 2存在极值f (0) = 0. 9. ［答案］D［解析］本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题.f '(x )=—爲 + =一(1 — _) = 0 可得 x = 2. x 2 x x x当 0<x <2 时，f '(x )<0 , f (x )递减，当 x >2 时f '(x )>0 , /f (x )单调递增.所以x = 2为极小值点.对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域.g (x ) = 1 — cos •/x € 0 ,当 x < — 1 时，y '<0，当 x > — 1 时 y >0 1「•y min = f (— 1)=——e12.［答案］,：3 — 1x 2 + a — 2x 2a — x 2厂［解析］f'(x ) =;; =2.当 x>- a 时 f'(x )<0 ,x 2 + a 2 x 2 + a 2减的，当一"a<x <” a 时，f '(x )>0 , f (x )在(一"a ，“ a ) 讨=F ，a = ^<1,不合题意.•••Kg = f ⑴=土 =寸，解得 a = 3一 1.13. ［答案］Dn［解析］■•f(x )的图象关于x = 一对称,4n• .f (0) =f (2)，••- b = a ,/•f(x ) = a si n x — b cos x = a s in x + a cos x = 2a si n( x + ；),3 n3 n n 一一— x )= 2a sin( ： — x +；) =2a sin( n —x ) =2a sin x .3 n 显然f ( — x )是奇函数且关于点(n, 0)对称，故选D.4 14.［解析］ ⑴由导数公式表和求导法则得， f '(x ) = 3x 2+ 2ax + b ,10.［答案］［解析］ 如y = x 3, y ' =3x 2, y '|x = o = 0，但x = 0不是函数y = x 3的极值点.11.［答案］［解析］ y '#x + l)e x= 0, x =— 1.f (x )在(-.a ,+^ )上是递上是递增的.当 x = a 时，fC a )因为f (x )在x = 0处取得极值，所以f'(0) = 0 ,即得b = 0.2 2⑵令f '(x )= 0,即卩3x 2+ 2ax = 0，解得x = 0或x = -；a .依题意有一；a >0.3 3 因为函数在单调区间［0,2］和［4,5］上具有相反的单调性，15. ［答案］B［解析］设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为 V cm 3,由题意，得 V = x (48—2x )2(0< x <24) , V '^2(24 — x )(8 — x ).令 V '=0,则在(0,24)内有 x = 8，故当 x = 8 时，V 有最大值.17. ［答案］Ab+ b ，由 y = f '(x )的图象可知，2a <0 , b >0 ,「.a <0 , b >0,「.一—>0 ,2 a 故选A. 18. ［答案］A［解析］f (x )在(—g, 0)上为增函数，在(0,+^ )上变化规律是减T 增T 减，因此 f '(x )的图象在( — m, 0)上，f (x )>0，在(0，+g )上f '(x )的符号变化规律是负T 正T 负，故选所以应有 22 一产4，解得一6<a <-3.［解析］ N设每批生产x 台，则一年生产二批.一年中库存费和生产准备费之和 y = C i x +C 2N (0< x <N ).xC 2Ny '毛i -=.由 y ' =0 及 0<x <N ，解得x 2(台).根据问题的实际意义， y 的最小值是存在的，且 y '=0有唯一解.故x =C 2N百台是使费用最小的每批生产台数.［解析］设 f (x ) = ax 2 + bx + C ,'••二次函数 y = f (x )的图象过原点，二 c = 0，-f '(x ) = 2ax4ac — b 2 b 2—47°，4aC 2N16.［答案］C iA.19. ［答案］B1 ［解析］令g(x) = 2f(x) —x— 1 ,・.・f '(X)>2，•••g'(x)= 2f (x)—1>0 ,「.g(x)为单调增函数，•••f(l) = 1 ,「.g(l) = 2f(l) —1 —1 = 0,•••当x<1 时，g (x)<0，即2f(x)<x+ 1，故选 B.20. ［答案］An［解析］'-f '(x)= cos x + 2f '( 一),3n n n•••f '(3)= cos 3 +2f‘(3),/•f(x) = si n x —x.又f (x) = cos x— 1 <0, 故f(x)在R上递减.1又'一Fog 32 ,2f 1 <0,•••f(x ) = 0 在［0,2］上有解，•••f 2 >0 ,6322. ［答案］(-5，-石)［解析］f '(x )= ax 2+ ax — 2a = a (x — 1)(x + 2), 由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，贝Uf — 2<0 ,此时无解；若a <0，则f 1 >0 ,23. ［答案］(—3 , — 2)［解析］f '(x )= 3x 2— 3，设切点为 P (X 0, y °)，则切线方程为 y — (x 3— 3x °)= (3x 6 — 3)(x —X 0),T 切线经过点 A (1 , m ),：m — (x 0 — 3x °) = (3x 0 — 3)(1 — X 0),；m = — 2x 3+ 3x 0 — 3 , m z=-6x 0 + 6x 0, •当0< X 0<1时，此函数单调递增，当X 0<0或X 0>1时，此函数单调递减， 当X 0 = 0时，m = — 3，当X 0 = 1时，m = — 2，•当一3< m < — 2时，直线 y = m 与函数y =—2x 3+ 3x 0 — 3的图象有三个不同交点，从而X 0有三个不同实数根，故过点 A (1 , m )可作三条不同切线，• m 的取值范围是(一3, — 2).24. ［分析］禾U 用函数的单调性证明不等式是常用的方法之一，而函数的单调性，可利用其导 函数的符号确定.［解析］设 f (x ) = 1 + 2x — e 2x , 则 f'(x ) = 2 — 2e 2x = 2(1 — e 2x ).当 x >0 时，e 2x >1 , f '(x ) = 2(1 — e 2x )<0 ,m — 2<0,m• —2 <m <2.f — 2 >0 , f 1<0 ,6 3•—5<a <—材，综上知, 6 3 < a < — . 5 16所以函数f(x) = 1 + 2x —e2x在(0,+^ )上是减函数.当 x >0 时，f (x )<f (O) = 0,即当 x >0 时，1 + 2x — e 2x <0，即 1 + 2x <e 2x . 25. ［解析］(1)f (x )的定义域为(0,+^ )a x +1— x — 1 a 2 f '(x ) = _+" 2 = - + - 2x x +1 1 2 3x x + 1 22 1•••a = 0,「.f '(x ) = ―，根据导数的几何意义，所求切线的斜率k = f '(1)=-,I而 f (1) = 0.1•••所求切线方程为y = [(x — 1), 即 x — 2y — 1 = 0.21 ° 当a = 0 时，f '(x )=;>0 ,x + 1•••f(x )在(0,+s )递增.令 g (x ) = ax 2 + 2(a + 1)x + aA = 4( a + 1)2 — 4a 2 = 8a + 4- a + 1—2 a + 12 ° 当 a >0 时，A >0 ,此时 g (x ) = 0 的两根 X 1 =：, X 2 =a—a + 1 +" 2a + 1a■/a>0 ,「.X 1<0 , X 2<0./•g(x )>0 ,：x € (0,—g ),「.f '(x )>0 故f (x )在(0,+s )递增.13°当锐时，A= 8a + 4® 即时，g (x)切，/f 3°.a (2) f '(x )=-x + 12+ 2x x x + 1 2ax 2+ 2 a + 1 x + a1当 A >0，即- 2<a <° 时,•••令 f '(X )>0 , X € (X 1 , X 2),f '(x )<0 , X € (0 , X 1) U (X 2,+^)• ••f(X )在(X 1 , X 2)递增，在(0, X 1)和(X 2 ,+8 )上递减. 综上所述：当a>0时，f (x )在(0,+^ )递增. 1当一2< a <0 时，f (x )在(X 1, X 2)递增,— a + 1+M 2a + 1 — a + 1—yl 2a + 1在(0 ,X 1)禾廿(X 2, +m)递减(其中 X 1 =：,X 2=:).aa1当 a w —2时，f (x )在(0，+m)递减.26. ［分析］如图，设出AD 的长，进而求出|AB |表示出面积S ,然后利用导数求最值.［解析］设矩形边长为 AD = 2x ，则|AB | = y = 4 — x 2，则矩形面积 S = 2x (4 — x 2)(0< x <2), 即 S = 8x — 2x 3 ,「.S'= — 6x 2,X 1 =X 2 =—a +1+ -• 2a+ 1>0—a +1—2a + 1>083时，矩形的面积最大.［点评］本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长.27.［解析］ ⑴函数f （x ）的定义域为（0,+^ ）,1 a 1f'（x ）= 一一二一一，由导数的几何意义，且切线与1 y = x 垂直. 21 5得「⑴蔦—a - 1 一 2，心=；•令f '(x ) = 0解得x =— 1或5, — 1不在定义域之内故舍去.•••当 x € (0,5) , f '(x )<0 ,「.f (x )在(0,5)递减. 当 x € (5 , +s ), f '(x )>0 ,「.f (x )在(5 , +s )递增. 5 1 3•••f (x )在 x = 5 时取极小值 f (5) = 一+ 一- ln5 —_=— ln5.4 4228.［分析］［解析］(1)f (x )的定义域为(— °°，+^° ),f '(x )= e x — a .若a w 0,则f (x )>0，所以f (x )在(— s,+s )单调递增. 若 a >0，则当 x € (— g, In a )时，f '(x )<0 ; 当 x € (In a ,+g )时，f '(x )>0 ,x 5 3 ⑵由⑴知 f （x ）=4+4；-lnx -2，•f (x )蔦-4x 21 x2 — 4x - 5x 4x 22 — 2令S'=0，解得X 1 =—尸，X 2=—尸（舍去）寸3 寸3S 取得最大值，此时,即矩形的边长分别为所以f (x )在( — g, In a )单调递减，在(In a ,+^ )单调递增.⑵由于 a = 1，所以(x — k )f '(x )+ x + 1 = (x — k )(e x — 1)+ x + 1.故当 x >0 时，(x — k )f '(x )+ x + 1>0 等价于—x e x — 1e x则 g ，(x)=+ 1 =-由(1)知，函数 h (x ) = e x — x —2 在(0，+g )单调递增.而 h (1)<0 , h (2)>0，所以 h (x ) 在(0 , +g )存在唯一的零点.故g '(X )在(0 ,+g )存在唯一的零点.设此零点为a ,则a € (1,2).当 x € (0, a 时，g ((x )<o ； 当 x € ( a , +g )时,g '(x )>0.所以g (x )在(0，+g )的最小值为g ( a). 又由 g ( a)= 0，可得 e a= a + 2 , 所以 g ( a)= a + 1 € (2,3).由于①式等价于 k <g (a)，故整数k 的最大值为2.1•••f (-；)>f (log 32), 即 f (a )> f (b ). 21. ［答案］A［解析］ 令 f (x ) = x 3 — 3x + m ，则 f '(x )= 3x 1 2— 3 = 3(x + 1)(x — 1)，显然当 x < — 1 或x >1 时，f '(x )>0 , f (x )单调递增，当一1< x <1 时，f '(x )<0 , f (x )单调递减，•在 x =— 1 时，f (x ) 取极大值f ( — 1) = m + 2，在x = 1时，f (x )取极小值f (1) = m — 2.故f (x )在(0,+s )递减.x + 1k<L +x(x >0).e x — x —2 e x — 1 2。
《导数与极值、最值关系》能力练习题
《导数与极值、最值关系》能力练习题一、单选题1．若1x =是函数()xf x e ax =-的极值点，则方程()f x a =在()2,+∞的不同实根个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．02．函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极大值3-，则+a b 的值等于（ ）A ．9B ．6C ．3D ．23．已知函数()ln f x x ax =-的图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，则()f x 的极大值为（ ）A ．ln21--B ．ln21-+C ．1-D ．14．已知1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，则函数()f x 的极小值为（ ）A ．0B ．1-C ．2D ．45．已知函数()2()xf x x a e =-，则“1a ≥-”是“()f x 有极值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．已知32()f x x px qx =++的图像与x 轴相切于非原点的一点，且f (x )极小值=-4，那么p ，q 值分别为（ ）A ．8，6B ．9，6C ．4，2D ．6，98．若函数321()13f x x x =+-在区间(,3)m m +上存在最小值，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[5,0)-B ．(5,0)-C ．[3,0)-D ．(3,0)-9．已知函数2(1)1ax y x x =>-有最大值4-，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．4D ．4-10．若函数322312y x x x m =--+在[0，3]上的最大值为5，则m =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．811．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[-2，1]上的最大值为92，则m 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．5212．已知函数2()(0)x f x a x a =>+在[1,)+∞上的最大值为3，则a 的值为（ ）A ．31-B ．34C ．43D ．31+13．已知函数()2()xf x x a e =+有最小值，则函数()y f x '=的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定14．已知定义在[,]m n 上的函数()f x ，其导函数()'f x 的大致图象如图所示，则下列叙述正确的个数为（ ）①函数()f x 的值域为[(),()]f d f n ；②函数()f x 在[,]a b 上递增，在[,]b d 上递减； ③()f x 的极大值点为x c =，极小值点为x e =；④()f x 有两个零点. A ．0B ．1C ．2D ．315．已知函数()()211x f x x ax e-=+-在(),2x ∈-∞-单调递增，在()2,1x ∈-单调递减，则函数()f x 在[]2,2x ∈-的值域是（ ） A ．[]1,e - B ．31,5e -⎡⎤-⎣⎦C ．11,e ---⎡⎤⎣⎦D ．35,e e -⎡⎤⎣⎦二、填空题 16．若函数321()53f x x ax x =-+-无极值点，则实数a 的取值范围是_________． 17．若函数2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<在(0,1)上有极值点，则m 的取值范围为___________. 18．已知函数在()3223(,)f x x mx nx m m n R =+++∈，1x =-时取得极小值0，则m n +=__________． 19．已知函数()()321233f x x ax a x =++++在(),-∞+∞上存在极值点，则实数a 的取值范围是_____________.20．已知()3222f x x cx c x =-+在2x =处有极小值，则常数c 的值为___________.21．已知32()263f x x x =-+，对任意的2][2x ∈-，都有()f x a ≤，则a 的取值范围为_______.22．已知函数()1ln x f x x =+在区间1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0a >）上存在最大值，则实数a 的取值范围是_______.23．若函数()33f x x x =-在区间()25,a a -上有最大值，则实数a 的取值范围是______.24．若函数()3213f x x x =-在区间(),4a a +内存在最大值，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题 25．已知.函数.e 为自然对数的底．（1）当时取得最小值,求的值;（2）令，求函数在点P 处的切线方程．26．已知函数32()3()f x x ax x a =-+∈R 在1x =处有极值.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.27．已知函数e 1()ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中k 为常数， 2.71828e =…为自然对数的底数. （1）若2e k =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间(1,2)上单调，求k 的取值范围.28．已知32()1f x x ax bx =+++在1x =与1=3x -时取得极值． （1）求,a b 的值；（2）求()f x 的极大值和极小值；（3）求()f x 在[]1,2-上的最大值与最小值.29．已知函数()2ln f x a x bx =-，a ､b R ∈，若()f x 在1x =处与直线12y相切. （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极值.30．设函数3()65,f x x x x R =-+∈.（1）求(2)f '的值；（2）求()f x 的单调区间和极值；（3）若关于x 的方程()f x a =有3个不同实根，求实数a 的取值范围.《导数与极值、最值关系》能力练习题参考答案1．A 【解析】由()'x f x e a =-，得()10'=-=f e a ，则a e =，()xf x e ex =-，函数()f x 在()2,+∞，()()'0,f x f x >单调递增，()222f e e e =-<,函数()y f x =与y a =的交点个数为1个.故选A ．2．B 【解析】由题意得2()1222f x x ax b '=--，因为()f x 在1x =处有极大值3-，所以(1)12220(1)4223f a b f a b =--=⎧⎨=--+=-'⎩，解得3,3a b ==，所以6a b +=，故选：B 3．A 【解析】因为()ln f x x ax =-，所以1()f x a x'=-，又因为函数()f x 在图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，所以(1)1f a b =-=--，(1)11f a ='-=-，解得2a =，1b =.由112()2x f x x x-'=-=，102x <<，()0f x '>，12x >，()0f x '<，知()f x 在12x =处取得极大值，11ln 1ln 2122f ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭.故选：A. 4．B 【解析】由题意，函数32()3f x ax x =-，可得2()363(2)f x ax x x ax '=-=-，因为1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，则()01f '=，即31(2)0a ⨯⨯-=，解得2a =，可得()6(1)f x x x '=-，当0x <或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，所以函数的极小值为32(1)21311f =⨯-=-⨯.故选：B.5．B 【解析】()2()20xf x x x a e '=-=+，220x x a +-=，44a ．若440a ∆=+≤，1a ≤-则()2()20x f x x x a e '=+-≥恒成立，()f x 为增函数，无极值；若440a ∆=+>，即1a >-，则()f x 有两个极值．所以“1a ≥-”是“()f x 有极值”的必要不充分条件．故选:B6．D 【解析】因为32()33[(2)1]f x x ax a x =++++，所以2()363(2)f x x ax a '=+++，函数()f x 有极大值又有极小值，()0f x ∴'=有两个不相等是实数根，∴23636(2)0a a ∆=-+>，化为220a a -->，解得2a >或1a <-．则a 的取值范围是(-∞，1)(2-，)+∞．故选：D ．7．D 【解析】设切点为()(),00a a ≠，()2()f x x x px q =++，由题意得：20x px q ++=有两个相等实根，所以()2223()2f x x x a x ax a x =--+=，()()2233()4f x x ax a x a x a '-+-=-=，令()0f x '=，得3ax =或x a =，因为f (x )极小值=-4，而()04f a =≠-，所以()43a f =-，即2433a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得3a =-，所以32()69f x x x x =++，所以6,9p q ==.故选：D 8．D 【解析】函数321()13f x x x =+-的导函数为2()2f x x x =+'，令()0f x '=，得2x =-或0x =，故()f x 在(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，则0x =为极小值点，2x =-为极大值点.由()f x 在区间(,3)m m +上存在最小值，可得03m m <<+，解得30m -<<，此时32211()1(3)11(0)33f m m m m m f =+-=+->-=，因此实数m 的取值范围是(3,0)-，故选：D.9．B 【解析】因为函数2(1)1ax y x x =>-，所以2222222(1)2111(1)(1)(1)ax ax x ax ax ax y a x x x x '⎛⎫⎡⎤---====- ⎪⎢⎥----⎣'⎦⎝⎭，令0y '=，解得2x =或0x =（舍去）.若函数在区间(1,)+∞上有最大值4-，则最大值必然在2x =处取得，所以441a=-，解得1a =-，此时2(2)(1)x x y x '--=-，当12x <<时，0y '>，当2x >时，0y '<，所以当2x =时y 取得最大值4-，故选：B.10．C 【解析】()()26612612y x x x x '=--=+-，当[]0,2x ∈时，0y '<，函数单调递减，当[]2,3x ∈时，0y '>，函数单调递增，当0x =时，y m =，当3x =时，9y m =-，则函数在[]0,3上的最大值为m ，则5m =.故选：C.11．C 【解析】'2333(1)y x x x x =+=+，易知，当10x -<<时，'0y <，当21x -<<-或01x <<时，'0y >，所以函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在(2,1)--，(0,1)上单调递增，在(1,0)-上单调递减，又当1x =-时，12y m =+，当1x =时，52y m =+，所以最大值为5922m +=，解得2m =.故选：C 12．A 【解析】由2()x f x x a =+，得()222()a x f x x a '-=+，当1a >时，若x >()0,()f x f x '<单调递减，若1x <<()0,()f x f x '>单调递增，故当x =()f x 有最大值=，解得314a =<，不符合题意.当1a =时，函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，最大值为1(1)2f =，不符合题意.当01a <<时，函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.此时最大值为1(1)1f a ==+，解得31a ，符合题意.故a 1.故选：A .13．C 【解析】由题意，()2()2xf x x a e x +'=+，因为函数()f x 有最小值，且0x e >，所以函数存在单调递减区间，即()0f x '<有解，所以220x x a ++=有两个不等实根，所以函数()y f x '=的零点个数为2.故选：C.14．B 【解析】根据导函数()'f x 的图象可知，当[,)x m c ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在[,]m c 上单调递增，当(,)x c e ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在[,]c e 上单调递减，当(,]x e n ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,]e n 上单调递增，故②错误，③正确，根据单调性可知，函数的最小值为()f m 或()f e ，最大值为()f c 或()f n ，故①错误，当()0>f m 且()0f e >时，函数无零点，故④错误.故选：B.15．A 【解析】由()()2121x x a x a ef x -⎡⎤=+++-⎣⎦'，由已知可得()201f a '-=⇒=-，则()()211x f x x x e -=--，()()212x f x x x e -'=+-，当[]2,1x ∈-，()()0f x f x '<⇒单调递减，当(]1,2x ∈，()()0f x f x '>⇒单调递增，则()()min 11f x f ==-，()325f e --=，()2f e =，()()max 2f x f e ==，综上：()[]1,f x e ∈-.故选：A16．[]1,1-【解析】因为321()53f x x ax x =-+-，所以2()21f x x ax '=-+，因为函数321()53f x x ax x =-+-无极值点，所以2240a，解得11a -≤≤，实数a 的取值范围是[]1,1-，17．(2,0)-【解析】因为2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<，所以()22(0)x f x m e x m '=⋅-+<，因为函数2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<在(0,1)上有极值点，所以()22(0)xf x m e x m '=⋅-+<在(0,1)上有零点，因为(0),22x y m e m x y =⋅-=<+在(0,1)上都递减，所以()'f x 在(0,1)上为减函数，所以(0)20(1)0f m f me =+>⎧⎨=<''⎩，解得20m -<<.18．11【解析】322()3f x x mx nx m =+++，2()36f x x mx n ∴'=++，依题意可得(1)0(1)0f f -=⎧⎨'-=⎩即2130360m n m m n ⎧-+-+=⎨-+=⎩，解得29m n =⎧⎨=⎩或13m n =⎧⎨=⎩，当1m =，3n =时函数32()331f x x x x =+++，22()3633(1)0f x x x x '=++=+，函数在R 上单调递增，函数无极值，故舍去；所以29m n =⎧⎨=⎩，所以11+=m n ．19．{|1a a <-或}2a >【解析】由题可知：()222f x x ax a '=+++，因为函数()f x 在(),-∞+∞上存在极值点，所以()0f x '=有解，所以()244120a a ∆=-⨯⨯+≥，则1a ≤-或2a ≥，当1a =-或2a =时，函数()y f x ='与x 轴只有一个交点，即()0f x '≥，所以函数()f x 在(),-∞+∞单调递增，没有极值点，故舍去，所以1a <-或2a >，即{|1a a <-或}2a >20．2【解析】由()3222f x x cx c x =-+知，()2234f x x cx c '=-+，因为()f x 在2x =处取极小值，所以()221280f c c '=-+=，解得2c =或6c =，当2c =时，2()384(32)(2)f x x x x x ==-'-+-，()f x 在2x =处取极小值，符合题意，当6c =时，2()324363(2)(6)f x x x x x '=-+=--，()f x 在2x =处取极大值，不符合题意，综上知，2c =.21．[3)+∞，【解析】由2()6120f x x x '=-=得0x =或2x =，在区间[-2,0)上()'0f x >,()f x 单调递增；在(0,2)内时()()'0,f x f x <单调递减.又(2)37f -=-，(0)3f =，(2)5f =-，∴max ()3f x =，又()f x a ≤对于任意的x ∈[-2,2]恒成立，∴3a ≥，即a 的取值范围是[)3,+∞ 22．112a <<【解析】因为()1ln x f x x +=，0x >，所以()2ln x f x x '=-.当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，所以函数()f x 在1x =处取得极大值.因为函数()f x 在区间1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0a >）上存在最大值，所以1112a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得112a <<. 23．()1,2-【解析】由题意得：233fxx ，令()0f x '<解得11x -<<；令()0f x '>解得1x <-或1x >，所以函数在(),1-∞-上是增函数，在()1,1-上是减函数，在()1,+∞上是增函数，故函数在1x =-处取到极大值2，所以极大值必是区间()25,a a -上的最大值，∴251a a -<-<，解得-1a 2<<.检验满足题意24．(]4,1--【解析】由题可知：()22f x x x '=-．令()00'>⇒<f x x 或2x >，令()002'<⇒<<f x x ，所以函数()f x 在()0,2单调递减，在()(),0,2,-∞+∞单调递增，故函数的极大值为()00f =，所以在开区间(),4a a +内的最大值一定是()00f =，又()()300f f ==，所以0443a a a <<+⎧⎨+≤⎩，得实数a 的取值范围是(]4,1--．25．【解析】（1），由得，由得，（2），26．【解析】（1）∵2()361f x x ax '=-+，函数32()3f x x ax x =-+在1x =处有极值，∴()10f '=，解得23a =(经检验，符合题意). （2）由（1）知32()2=-+f x x x x ，则2()341(1)(31)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得11x =，213x =. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1(1,)+∞()'f x+-+()f x极大值极小值∴函数()f x 的单调增区间为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，单调减区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.27．【解析】（1）2222(1)e 11(1)e 1()x x x x x f x k k x x x x x ---⎛⎫'=--+=- ⎪⎝⎭，即()2(1)()x x e k f x x--'= 当2e k =时()22(1)()x x e e f x x--'=，0x >。
第10讲 导数之单调性、最值、极值(原卷版)
第10讲 导数之单调性、最值、极值一．选择题（共30小题）1．（2020秋•南岗区校级期末）函数21()92f x x lnx =-的单调递减区间是( ) A ．(0,3) B ．(,3)-∞ C ．(3,)+∞ D ．(3,3)-2．（2020秋•隆德县期末）函数3()3f x x x =-的单调增区间是( )A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞-C ．(1,1)-D ．(1,)+∞3．（2020秋•龙潭区校级期末）设()f x x lnx =-，则此函数在区间(0,1)内为( )A ．单调递减B ．有增有减C ．单调递增D ．不确定 4．（2020秋•天水期末）函数214y x x=+单调递增区间是( ) A ．(0,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．1(,)2+∞ D ．(1,)+∞5．（2020秋•兴庆区校级期末）若函数()m f x lnx x =-在[1，3]上为增函数，则m 的取值范围为( ) A ．(-∞，1]- B ．[3-，)+∞ C ．[1-，)+∞ D ．(-∞，3]-6．（2019秋•太原期末）函数()x x f x e =的单调递增区间是( ) A ．(-∞，1]- B ．(-∞，1] C ．[1-，)+∞ D ．[1，)+∞7．（2020秋•常熟市月考）函数2()2f x x lnx =-的单调递减区间为( )A ．(2,2)-B ．(0,2)C ．1(2-，1)2D ．1(0,)28．（2020春•辽宁期中）已知函数321()13f x x mx nx =+++的单调递减区间是(3,1)-，则m n +的值为( ) A ．4- B ．2- C ．2 D ．49．（2020秋•天心区校级期中）已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图所示，则()(y f x = )A ．在(,0)-∞上为减函数B ．在0x =处取极小值C ．在(1,2)上为减函数D ．在2x =处取极大值10．（2020春•集宁区校级期末）已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，()f x '的部分图象如图所示，则( )A ．()f x 在(3,)+∞上单调递增B ．()f x 的最大值为f （1）C ．()f x 的一个极大值为(1)f -D ．()f x 的一个减区间为(1,3)11．（2020春•赤峰期末）若函数()f x mx lnx =-在区间[1，)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，)+∞B ．(-∞，1]-C ．(-∞，2]-D ．[2，)+∞12．（2020春•遂宁期末）若2()f x x mlnx =+在(2,)+∞是增函数，则实数m 的取值范围为( )A ．[8-，)+∞B ．(8,)-+∞C ．(,8)-∞-D ．(-∞，8]-13．（2020春•顺义区期末）已知函数()2f x ax lnx =-在区间(1,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，1]2B ．1[2，)+∞C ．(-∞，2]D ．[2，)+∞14．（2017秋•濮阳期末）已知函数32()39f x x ax x =++-在3x =-处取得极值，则实数a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．515．（2016秋•华安县校级期末）已知函数3()3f x x x =-，当x a =时取得极小值b ，则a b +等于( )A ．3±B ．0C ．3D ．3-16．（2016秋•甘井子区校级期末）“函数()f x 在0x 处取得极值”是“0()0f x '= “的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件17．（2015•惠州模拟）下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是( )A ．3y x =B ．1y x x =+C ．x y x e -=D ．()y ln x =-18．（2015春•昆明校级期中）函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 有两个极值点1x ，2x ，则12x x 等于( )A ．1-B ．1C ．9-D ．919．（2015•滕州市校级模拟）函数3()f x ax bx =+在1x a =处有极值，则ab 的值为( ) A ．3 B ．3- C ．0 D ．120．（2020秋•舒城县校级期末）已知函数()f x lnx ax =-在2x =处取得极值，则(a = )A ．1B ．2C ．12D ．2-21．（2020春•乐山期中）函数3()3f x x x =-的极小值是( )A ．4B ．2C ．4-D ．2-22．（2020秋•河南期末）函数3()12f x x x =-在区间[3-，1]上的最小值是( )A ．10-B ．11-C ．15-D ．18-23．（2020春•江西期末）函数()3sin f x x x =-在区间[0，1]上的最大值为( )A ．1-B ．0C ．3sin1-D ．3sin2-24．（2020春•十堰期末）函数31()43f x x x a =-+在[0，3]上的最大值为2，则a 的值为( )A ．103-B ．2C ．5D ．22325．（2020•运城三模）函数()22x f x xe lnx x =--的最小值为( )A ．22ln -B ．2lnC ．222ln -D ．22ln + 26．（2020•广元模拟）如果关于x 的不等式3210x ax -+在[1-，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．322aB ．2aC ．1aD ．0a27．（2019秋•龙凤区校级期末）函数()x f x e kx =-，当(0,)x ∈+∞时，()0f x 恒成立，则k 的取值范围是( )A ．1kB ．2kC ．k eD ．1k e28．（2020春•阿勒泰地区期末）函数32()3f x x x m =-+在区间[1-，1]上的最大值是2，则常数(m = )A ．2-B ．0C ．2D ．429．（2019秋•昌吉市期末）函数231()23f x x x =-在区间[0，6]上的最大值是( )A ．323B ．163C ．12D ．930．（2020春•西宁期末）函数()f x lnx x =-在区间(0，]e 的最大值为( )A ．1e -B ．1-C ．e -D ．0二．填空题（共12小题）31．（2020秋•运城期末）若函数3()12f x ax x a =-+的单调递减区间为(2,2)-，则a = ．32．（2020秋•安顺期末）函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则m 的范围是 ． 33．函数1()x f x x+=的单调递减区间为 ． 34．（2020秋•宿州期末）已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n += ．35．（2019秋•运城期末）函数2()f x x lnx =-的极值点是 ．36．（2018春•铁东区校级期中）函数322()f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则a b += ．37．（2020春•朝阳区校级月考）函数321()313f x x x x =--+的极大值为a ，极小值为b ，则a b += ； 38．（2020秋•连云港期末）函数()(1)x f x x e =+的最小值是39．（2020春•连云港月考）函数339y x x =-在区间[2-，2]上的最大值是 ．40．（2020春•泸州期末）已知函数2()(1)a f x x x x x=++，若()0f x '恒成立，则a 的取值范围为 ． 41．（2020春•和平区校级期中）已知函数()1f x x lnx =--，对定义域内的任意x 都有()2f x kx -，则实数k 的取值范围是 ．42．（2020春•东莞市月考）函数3395y x x =-+在[2-，2]的最大值与最小值之差为 ．三．解答题（共8小题）43．（2020秋•长安区校级期末）已知函数32()3()f x x ax x a R =-+∈在1x =处有极值．（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．44．（2020秋•农安县期末）设函数()x f x xe =．（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[2-，1]上的最值．45．（2020秋•南岗区校级期末）已知函数3()31f x x x =-+．（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数的极值；46．（2020秋•兴庆区校级期末）已知函数32()3f x ax bx x =+-在1x =-和3x =处取得极值．（1）求a ，b 的值（2）求()f x 在[4-，4]内的最值．47．（2019秋•兴庆区校级期末）已知函数32()4f x x ax x =-++的图象在1x =处的切线方程为34y x =-+．（1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 的极值．48．（2020春•海珠区校级月考）已知函数()(,)alnx f x b a b R x=+∈的图象在点(1，f （1）)处的切线方程为1y x =-．（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()f x 的极值．49．（2020秋•临沂期末）已知函数3()32f x x ax =-+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为30x y m ++=． （Ⅰ）求实数a ，m 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[1，2]上的最值． 50．（2020春•广州期末）已知函数31()433f x x x =-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[3-，5]上的最大值与最小值．。
导数与函数的单调性、极值、最值附答案
6.(2017 河北衡水中学三调,理 21)已知函数 f(x)=
-ax,e 为自然对数的底数.
(1)若函数 f(x)的图象在点(e2,f(e2))处的切线方程为 3x+4y-e2=0,求实数 a,b 的值; (2)当 b=1 时,若存在 x1,x2∈[e,e2],使 f(x1)≤f'(x2)+a 成立,求实数 a 的最小值.
-
(x>0),令 f'(x)=0,得 2x2-2x+m=0,①
∵f(x)存在两个极值点 x1,x2(x1<x2),∴方程①在(0,+∞)上有两个不等实根 x1,x2, ∴
⇔0<m< ,且 x1+x2=1,0<x1< ,
x1-x2=x1-(1-x1)=2x1-1∈(-1,0), g'(x)= g(x)在 - ex,当 x∈ - 时,g'(x)<0;当 x∈ 上是增函数, 时,g'(x)>0.
上是减函数,g(x)在 =-
∴g(x1-x2)的最小值为 g -
.
5
5.解 (1)由题意可得 x2<xln x 在[e,e2]上有解,即 a<
,令 t(x)=
,x∈[e,e2],
∴t'(x)=
-
,令 t'(x)>0,解得 0<x<e,令 t'(x)<0,解得 x>e,
∴t(x)在 x∈(0,e)上递增,在 x∈[e,e2]上递减, ∴当 x=e 时,t(x)max=t(e)= , ∴a< ,即 a 的取值范围是 .
函数、导数、方程、不等式压轴大题 1.1 导数与函数的单调性、极值、最值
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导数与单调性极值最基础值习题评卷人得分一.选择题(共14小题)1.可导函数ｙ=ｆ（x）在某一点的导数值为０是该函数在这点取极值的() A．充分条件B．必要条件C.充要条件ﻩＤ．必要非充分条件2.函数y＝1＋3ｘ﹣x3有( )A．极小值﹣1，极大值3ﻩB．极小值﹣2,极大值３C.极小值﹣1，极大值１D.极小值﹣2，极大值2３.函数f（x）＝ｘ3+ax2﹣３ｘ﹣9，已知f（ｘ)的两个极值点为x1，x２,则x1•ｘ2＝（）Ａ.9 B．﹣９C．1 Ｄ．﹣14．函数的最大值为（）A．ﻩＢ．e２C．e D．ｅ﹣15.已知a为函数f(x)=x3﹣12x的极小值点，则ａ=（)Ａ．﹣4 B．﹣2 Ｃ．4 Ｄ.26．已知函数y=x３﹣3x+c的图象与ｘ轴恰有两个公共点，则c=（)A.﹣2或2ﻩB.﹣9或3C.﹣１或1 D．﹣3或17．设函数f(ｘ）＝xeｘ,则()A.x＝１为f（x)的极大值点B.ｘ＝１为f(x）的极小值点C．x=﹣1为f（x)的极大值点ﻩD．x=﹣１为f(x）的极小值点8.函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值,则实数a的取值范围是（)A.(0，3）ﻩＢ.(0，)ﻩC.(0，+∞）ﻩD．（﹣∞,3)９.已知函数ｆ(x）＝x3+ax２+bx+ａ2在x=1处有极值１0,则f（2)等于（)Ａ.11或18ﻩB．１1 C.1８ﻩD．17或18１０．设三次函数f(ｘ）的导函数为f′(x)，函数y=x•ｆ′(x)的图象的一部分如图所示，则正确的是（）A.f（x）的极大值为，极小值为B．ｆ(x）的极大值为,极小值为C.f（ｘ)的极大值为f（﹣3),极小值为f(3）D．f（x）的极大值为f（3）,极小值为f(﹣3）1１．若ｆ（x)=ｘ3+２ax2+3（a+２）x+１有极大值和极小值,则ａ的取值范围是( ）A．﹣a<a<2ﻩB．a>2或a＜﹣１C.a≥2或a≤﹣1ﻩD．ａ＞1或a<﹣212.函数y=xe﹣x,ｘ∈［０,4]的最小值为（）Ａ．0 B．ﻩC.ﻩＤ.13．函数y=2x3﹣３x2﹣12ｘ+5在区间[0,３]上最大值与最小值分别是（）Ａ．５,﹣1５ B.5，﹣４Ｃ.﹣4，﹣１5ﻩD．5,﹣1６1４．已知f(x）＝2x3﹣６x２+ｍ(m为常数)在[﹣２，2]上有最大值3,那么此函数在[﹣2,２]上的最小值是( )A.﹣37 Ｂ．﹣29 C.﹣5 D．以上都不对评卷人得分二.填空题（共10小题)１５．函数f(x）=x3﹣3x2＋１的极小值点为.１6.已知f（x）=x3﹣ax2﹣ｂｘ+ａ2,当x=1时,有极值10，则a＋ｂ=．１7.已知函数f(x）=x(x﹣c）２在ｘ=２处有极大值，则c= ．18．已知函数f（x）=x３+3aｘ２＋３(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是.19．已知函数f(x)=ｘ3+mx2+(m＋6)x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是．20．已知函数f（x）=4x+（x＞０,a>0)在x=３时取得最小值,则ａ=.２１．f(x）=ｘ3﹣３x2＋２在区间[﹣1，1]上的最大值是．22．已知函数f（x)＝x3﹣１2x＋8在区间[﹣3,3]上的最大值与最小值分别为M，m,则M﹣m＝.23.设ｆ(x)=x３﹣﹣2x＋５，当x∈［﹣1,2]时,f(x)＜m恒成立，则实数m的取值范围为.2４.f(ｘ）＝ａx3﹣3x+１对于x∈[﹣1,1]总有f(x)≥0成立,则ａ=．评卷人得分三.解答题(共10小题)2５．已知函数f（x）=ax３+x2＋ｂx(其中常数a，ｂ∈R）,ｇ（x）=f(x)+f′（ｘ)是奇函数.（1)求ｆ(x)的表达式；(2)讨论ｇ(ｘ)的单调性,并求g(ｘ）在区间[1,2]上的最大值和最小值.２６.已知函数ｆ（x)=lｎ(1＋x)﹣x,g(x）=xlnx.(Ⅰ)求函数f（x)的最大值;（Ⅱ）设０＜ａ<b，证明0＜ｇ（a）+ｇ（b)﹣2g(）<(b﹣a)ln２．27．已知函数ｆ（x)=x﹣1﹣lnx(Ⅰ)求曲线y=ｆ（x）在点（2，f（2)）处的切线方程；(Ⅱ)求函数f（x)的极值；（Ⅲ)对∀ｘ∈(0,+∞）,f(x)≥bｘ﹣２恒成立，求实数ｂ的取值范围.28.已知函数f（x)＝xlｎx.(Ⅰ)求f（x)的最小值;(Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ａx﹣1，求实数a的取值范围．２９.已知函数f(ｘ)=(x﹣２）e x．（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)在区间［0,２］上的最小值和最大值.３0.已知函数f(x）=ax3﹣6ａx2+b（x∈[﹣1，2］）的最大值为３，最小值为﹣２9，求ａ、b的值.31.求函数f（x)=x3﹣2x2+5在区间[﹣2,２]的最大值和最小值．３2．已知函数f（x）=lnx﹣.（Ⅰ)求函数f(x）的单调增区间;（Ⅱ)证明;当x＞１时，f(x)<x﹣1;（Ⅲ)确定实数k的所有可能取值,使得存在ｘ>1,当ｘ∈（1,x0)时，恒有f（ｘ)０＞k（x﹣1）.33.设函数f(x)=１+（1+a）x﹣ｘ2﹣x3,其中a>0．(Ⅰ）讨论f（ｘ)在其定义域上的单调性；(Ⅱ)当x∈［0,１]时，求f（x)取得最大值和最小值时的x的值.3４．已知函数f（x)满足f(x)＝f′（1)e x﹣１﹣f(0)ｘ+x2;(1）求f(x)的解析式及单调区间;(2)若,求（a+1）b的最大值．ﻬ导数与单调性极值最基础值习题参考答案与试题解析一.选择题(共1４小题）1.可导函数y＝f（x）在某一点的导数值为0是该函数在这点取极值的（)Ａ.充分条件ﻩB．必要条件C.充要条件Ｄ．必要非充分条件）=0外,【分析】结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求ｆ′(x０还的要求在两侧有单调性的改变（或导函数有正负变化），通过反例可知充分性不成立.【解答】解：如y=ｘ３,y′=3x2，y′｜x=0＝0，但x=0不是函数的极值点．若函数在x0取得极值,由定义可知f′(x0）=０，所以f′(x0）=0是x0为函数y=f（x)的极值点的必要不充分条件故选:D.【点评】本题主要考查函数取得极值的条件:函数在x0处取得极值⇔ｆ′(ｘ0）＝０，且f′（x<ｘ0）•f′(ｘ>ｘ0)<02.函数ｙ＝1+3x﹣x3有（)A.极小值﹣1,极大值3ﻩＢ.极小值﹣2,极大值3C．极小值﹣1,极大值1 Ｄ．极小值﹣２,极大值2【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题,关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案.【解答】解：∵y＝１+3x﹣ｘ３，∴y′=3﹣3x２，由y′＝３﹣3x２>0,得﹣1＜x＜1，由y′＝３﹣3x2＜0,得x<﹣1,或x>1，∴函数y=1+3x﹣x３的增区间是（﹣1，1)，减区间是（﹣∞,﹣1）,（1,+∞）．∴函数y＝1+3x﹣ｘ3在x=﹣１处有极小值f(﹣1）=1﹣3﹣(﹣1)３=﹣1，函数ｙ＝1+３x﹣ｘ3在x＝1处有极大值f（１)＝1+3﹣1３=3．故选:A.【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键,要先确定出导函数大于0时的实数x的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值,体现了导数的工具作用3.函数f（x)＝ｘ3+aｘ2﹣3x﹣9，已知f（x)的两个极值点为x１,x2，则x1•x2＝( ) A．9 B．﹣９C．1 D．﹣1【分析】本题的函数为三次多项式函数，若三次多项式函数有两个极值点,说明它的导函数有两个不相等的零点,转化为二次函数的根求解，用韦达定理可得x1•x2=﹣1【解答】解:由ｆ（x）=x3+ax2﹣3x﹣9得，ｆ′(x）=3x2+２aｘ﹣3f′（ｘ）=0的两根为x１,x2就是函数的两个极值点根据韦达定理,得故选:D.【点评】本题主要考查利用导数工具讨论函数的单调性,从而得到函数的极值点．一元二次方程根与系数的关系是解决本题的又一个亮点.４．函数的最大值为（）A． B.ｅ２ﻩC.eﻩD.e﹣1【分析】利用导数进行求解，注意函数的定义域,极大值在本题中也是最大值；【解答】解:∵函数，（ｘ＞0）∴y′＝，令y′=0,得x=e，当ｘ＞e时,y′<０,ｆ(x)为减函数，当0＜x＜e时，y′＞0，f（x）为增函数,∴f(ｘ）在x＝e处取极大值,也是最大值，∴y最大值为f(ｅ）==e﹣1，故选:D.【点评】此题主要考查函数在某点取极值的条件,利用导数研究函数的最值问题，是一道基础题；５.已知a为函数f（ｘ)=x3﹣12x的极小值点，则a=（）Ａ．﹣4 Ｂ.﹣2ﻩＣ．４D．２【分析】可求导数得到f′(x)＝３x2﹣12,可通过判断导数符号从而得出f(x)的极小值点，从而得出a的值．【解答】解:f′(x）=３x2﹣12;∴x<﹣2时，f′(x)＞0,﹣２<ｘ<2时，ｆ′(x）<０,x＞２时,f′(x)＞0；∴x=２是f（x)的极小值点；又ａ为f（x)的极小值点;∴a=2.故选:D.【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程,要熟悉二次函数的图象．6.已知函数y＝x３﹣3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=()A.﹣2或２ﻩＢ．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x ＋c的图象与x轴恰有两个公共点,可得极大值等于０或极小值等于0，由此可求ｃ的值．【解答】解:求导函数可得y′=3（x+１)(ｘ﹣１)，令y′＞0，可得ｘ>1或ｘ＜﹣1；令y′＜０,可得﹣１＜ｘ<1；∴函数在（﹣∞,﹣１),(1,+∞）上单调增，(﹣1,１）上单调减,∴函数在x=﹣1处取得极大值,在x＝1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+ｃ的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0.∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c＝0，∴c=﹣2或2．故选：Ａ.【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．7．设函数f（x)=xe x,则( ）Ａ．x=1为f（x)的极大值点 B.x=1为f（x)的极小值点Ｃ．ｘ=﹣１为f（x）的极大值点ﻩD．x=﹣1为f（x）的极小值点【分析】由题意，可先求出f′(x)=（ｘ+1)e x，利用导数研究出函数的单调性,即可得出ｘ＝﹣1为f(x）的极小值点【解答】解：由于ｆ(ｘ)=xe x,可得f′（x)=(ｘ+１）e x，令f′（ｘ)=(ｘ+1）ｅx＝0可得x＝﹣1令f′(x)=(x+１)eｘ＞0可得x>﹣1，即函数在(﹣1，+∞)上是增函数令f′(x）=(x+1)ｅｘ＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞,﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x）的极小值点故选:D．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题,８.函数y＝x3﹣２ax+a在（０，1）内有极小值,则实数a的取值范围是() A.（０，3） B.（0,）ﻩC.(０，+∞）ﻩＤ．(﹣∞，3）【分析】先对函数求导，函数在(０,1)内有极小值，得到导函数等于0时，求出x的值，这个值就是函数的极小值点，使得这个点在(０,1)上，求出a的值．【解答】解:根据题意,y'＝3x2﹣2a=０有极小值则方程有解a>0ｘ=±所以x=是极小值点所以0<<10<＜10<a＜故选:B．【点评】本题考查函数在某一点取得极值点条件，本题解题的关键是在一个区间上有极值相当于函数的导函数在这一个区间上有解．9.已知函数f（x)=x3+aｘ2+bx+a2在x=１处有极值10，则ｆ（２)等于（）A.1１或１８ﻩB．1１Ｃ．18ﻩＤ．17或18【分析】根据函数在ｘ=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0，又因为ｆ′(ｘ)=3x2+2ax＋ｂ,所以得到：f′(1）=3＋２ａ+ｂ=０,又因为f（1)=１０,所以可求出ａ与ｂ的值确定解析式,最终将x=2代入求出答案．【解答】解：f′(x)=3ｘ2+2ax＋b,∴或①当时，ｆ′(x）=3（ｘ﹣1)2≥0，∴在x=1处不存在极值;②当时，f′（x)=3x２＋8x﹣1１＝(3x+11）（x﹣１）∴ｘ∈(，１），f′(x）<0，x∈（1,+∞)，f′（x）＞0，符合题意.∴，∴f(２)=8+１6﹣２2+16=18．故选：C.【点评】本题主要考查导数为0时取到函数的极值的问题，这里多注意联立方程组求未知数的思想,本题要注意f′(ｘ0）=0是ｘ=x0是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验．１0．设三次函数f（x)的导函数为f′(x），函数ｙ＝ｘ•f′(x)的图象的一部分如图所示,则正确的是（）A.f（x）的极大值为,极小值为B.f（x)的极大值为,极小值为Ｃ．f(x）的极大值为f（﹣3)，极小值为f（３)D．f(x）的极大值为f（3）,极小值为f(﹣3)【分析】观察图象知,ｘ＜﹣3时,f′(ｘ）<0.﹣3<x<0时，f′(x）>0．由此知极小值为f（﹣3).０<ｘ＜3时，yf′(ｘ）>0．x＞3时，f′（x）＜0.由此知极大值为f(3).【解答】解:观察图象知，x＜﹣3时,ｙ＝x•f′（ｘ)＞0,∴f′（x)＜０．﹣3<x＜０时，y＝x•f′(x）<０,∴ｆ′（ｘ)＞０.由此知极小值为f(﹣３)．０<x<３时，y=ｘ•f′（ｘ）>0,∴f′（ｘ)>0．ｘ>3时，ｙ=x•f′(x）<0,∴ｆ′(x)<0．由此知极大值为f（３）.故选：D.【点评】本题考查极值的性质和应用，解题时要仔细图象，注意数形结合思想的合理运用．1１.若ｆ(x)=x3+2ａx2+3(a+2）x＋１有极大值和极小值，则ａ的取值范围是（) A.﹣a＜a＜2 B.a＞２或a<﹣1ﻩC．a≥2或ａ≤﹣１D．a>1或a<﹣2【分析】求出函数的导函数，根据函数的极值是导函数的根，且根左右两边的导函数符号不同得到△＞0；解出a的范围．【解答】解：f′(ｘ）＝3x2+４ax+３(a＋２)∵f（x）有极大值和极小值∴△＝16a2﹣36(a+2)>0解得a＞２或a＜﹣１故选：B．【点评】本题考查函数的极值点是导函数的根,且根左右两边的导函数符号需不同．12.函数y=xe﹣ｘ,x∈[0,4］的最小值为（)A.0B.ﻩＣ.D．【分析】先求出导函数f′(ｘ)，由ｆ′（x)＞0和f′（x）＜0,求出ｘ的取值范围,得出函数ｆ（x）的单调区间，从而求出函数的最值．【解答】解：,当x∈[0，1)时，ｆ′(x)>0，f(ｘ）单调递增，当x∈（1，4]时，f′（x)<０，f（ｘ)单调递减，∵f（0）=０,,∴当x=０时，f(x）有最小值，且f（0)＝０.故选:A．【点评】本题考查的是利用导数，判断函数的单调性,从而求出最值，属于基础题．13.函数y=2ｘ3﹣3ｘ2﹣12x＋５在区间［０，3]上最大值与最小值分别是（)A.5,﹣1５ﻩB.５，﹣4 Ｃ.﹣4,﹣１5 D.5，﹣16【分析】对函数ｙ＝2x3﹣３ｘ２﹣1２ｘ+5求导，利用导数研究函数在区间[０,3]上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间[０，3]上最大值与最小值位置,求值即可【解答】解：由题意y'＝6x２﹣6x﹣12令y'＞0,解得x>2或ｘ<﹣1故函数y=2ｘ3﹣3ｘ2﹣12x+5在（0，２）减,在（2,3)上增又y(0)＝5,y(2)=﹣1５，y（3)=﹣４故函数ｙ=２x３﹣３x2﹣12ｘ+5在区间[０,3]上最大值与最小值分别是5，﹣15故选：Ａ.【点评】本题考查用导数判断函数的单调性,利用单调性求函数的最值,利用单调性研究函数的最值,是导数的重要运用,注意上类题的解题规律与解题步骤．14．已知f(x)=2ｘ3﹣６x2+m(m为常数)在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2,2]上的最小值是（）A．﹣3７ﻩB．﹣29ﻩC.﹣5 D．以上都不对【分析】先求导数，根据单调性研究函数的极值点,在开区间(﹣2，2)上只有一极大值则就是最大值，从而求出m,通过比较两个端点﹣2和２的函数值的大小从而确定出最小值,得到结论．【解答】解:∵ｆ′(x）=６ｘ2﹣12x=6x（x﹣2）,∵f（ｘ）在(﹣2，0）上为增函数，在(0，2）上为减函数，∴当x＝０时，f(ｘ）=m最大，∴m=３,从而f（﹣２）=﹣37,f（2)=﹣5．∴最小值为﹣3７.故选:A．【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值,求函数在闭区间[a，ｂ]上的最大值与最小值是通过比较函数在(a，b）内所有极值与端点函数f(ａ）,f（b）比较而得到的，属于基础题．二.填空题(共10小题）１5.函数ｆ(x)=x３﹣3x２＋1的极小值点为2．【分析】首先求导可得f′（x）=3x2﹣6x,解3ｘ2﹣6ｘ＝０可得其根,再判断导函数的符号分析函数的单调性,即可得到极小值点．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x令f′(x）=3x２﹣6x=0得ｘ1＝0,ｘ２=２且x∈（﹣∞，０)时,f′（ｘ）>０；x∈（0,2)时，f′(x）<0；x∈(２,+∞）时,f′(ｘ）>0故f（x)在x＝2出取得极小值.故答案为２．【点评】本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查．熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键.16.已知f（ｘ)=x3﹣ａx2﹣bx+ａ2，当x=1时,有极值1０，则a+b=7 .【分析】求导函数，利用函数ｆ（x)=x3﹣ax2﹣bx+ａ2，当x＝１时，有极值10,建立方程组,求得a，b的值，再验证，即可得到结论．【解答】解：∵函数f(ｘ)=ｘ3﹣ａx2﹣ｂx+a2∴ｆ'(x）＝3x2﹣2aｘ﹣b，又∵函数f(x）=ｘ3﹣ax2﹣bx+a2,当x＝1时,有极值10,∴,∴或时，f'(x)=３x2﹣２ax﹣ｂ=（x﹣1)(3x＋１1)=0有不等的实根，满足题意;时，f'（x）＝3x2﹣2ax﹣b=3（x﹣１)2=０有两个相等的实根,不满足题意;∴a+b＝７故答案为：7【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值,考查学生的计算能力，属于基础题.１7．已知函数ｆ（x）＝ｘ（x﹣c）2在x=2处有极大值,则c= 6.【分析】由已知函数f（x)=x(x﹣c）2在x＝２处有极大值,则必有f′（2)=0，且在ｘ=２的两侧异号即可得出.【解答】解:∵f′（x）=(x﹣c）2＋２ｘ(ｘ﹣ｃ)=3x2﹣4cx+c2,且函数ｆ(x）=x（x﹣ｃ）2在x=2处有极大值,∴f′(2)=0，即ｃ2﹣8c＋12=0,解得c=6或2．经检验c＝２时,函数f（x）在x=2处取得极小值，不符合题意,应舍去.故ｃ=６．故答案为6．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值的方法是解题的关键．１８．已知函数f（x）＝x3+3ax2＋３（a+2)x＋1既有极大值又有极小值,则实数a 的取值范围是（﹣∞,﹣1)∪(2,+∞）.【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）=x3+３ax2+3(a＋2）x+1既有极大值又有极小值，可以得到△＞０，进而可解出a的范围.【解答】解：∵f（x)=ｘ3+3ax2+3（ａ+2)x+1∴f'(x)＝３x２+6aｘ+3(a＋2)∵函数f（x）=x3+3ax2＋3（a+2)x+1既有极大值又有极小值∴△=（６a)2﹣4×3×３(ａ+２)>0∴a>2或ａ<﹣1故答案为:(﹣∞,﹣1)∪(2，+∞)【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件.属基础题.１9.已知函数f(x）=x3+mｘ2+（m＋６）x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是m＜﹣3或ｍ>6．【分析】求出函数f(x）的导函数，根据已知条件,导函数必有两个不相等的实数根，只须令导函数的判别式大于0,求出m的范围即可．【解答】解:∵函数f（x）=x3+ｍｘ２+(m＋6）ｘ+1既存在极大值,又存在极小值ｆ′(ｘ)=3x２+2mx+m＋6＝０，它有两个不相等的实根，∴△=4ｍ2﹣12（m+6)＞0解得m＜﹣３或ｍ>6故答案为:m<﹣３或m＞６．【点评】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件.导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．20.已知函数f(x)＝4ｘ+（x>0，a>０）在ｘ=３时取得最小值，则a=36 .【分析】由题设函数在x=3时取得最小值，可得f′（３)=0，解此方程即可得出a的值.【解答】解:由题设函数在x=3时取得最小值，∵x∈(０，+∞），∴得x=3必定是函数的极值点，∴f′（３）=0，f′（ｘ）=４﹣，即4﹣=0，解得a=36.故答案为：3６．【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3时取得最小值”,将其转化为ｘ=3处的导数为0等量关系.２１.ｆ(x)=ｘ3﹣３x2＋２在区间[﹣1,1]上的最大值是2.【分析】求出函数的导函数，令导函数为0,求出根,判断根是否在定义域内，判断根左右两边的导函数符号,求出最值.【解答】解：f′(x)＝3x2﹣6x=3x（ｘ﹣2）令f′（x）=０得x=０或x=2(舍)当﹣１<x＜0时,f′(ｘ)>0;当0<x<1时,f′（x）＜0所以当x=0时,函数取得极大值即最大值所以f(x)的最大值为2故答案为2【点评】求函数的最值,一般先求出函数的极值,再求出区间的端点值,选出最值.22.已知函数f(x)=x3﹣12x+8在区间[﹣3，３]上的最大值与最小值分别为M,m，则Ｍ﹣m= 32 ．【分析】先对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x，然后根据导函数的正负判断函数f(x）的单调性，列出在区间[﹣3,3］上f（x)的单调性、导函数f＇（x）的正负的表格，从而可确定最值得到答案．【解答】解:令f′(x）=3x2﹣１2=０,得ｘ=﹣2或x=２,列表得:x﹣3（﹣3,﹣2）﹣2(﹣2，2）2(2，３)3f′（x）＋０﹣０+f（x)17极值24极值﹣8﹣1可知M=24,m=﹣8,∴M﹣ｍ=３２．故答案为:32【点评】本题主要考查函数的求导运算、函数的单调性与其导函数的正负之间的关系和函数在闭区间上的最值.导数是由高等数学下放到高中的内容,每年必考，要引起重视.23．设f（ｘ）=x３﹣﹣2x+5，当x∈[﹣１，2]时,f（ｘ)＜ｍ恒成立,则实数ｍ的取值范围为（７，＋∞）.【分析】先求导数，然后根据函数单调性研究函数的极值点,通过比较极值与端点的大小从而确定出最大值，进而求出变量m的范围．【解答】解：ｆ′(x)=3ｘ2﹣x﹣2=０解得:x=１或﹣当x∈时,ｆ'(x)＞０,当ｘ∈时，f'（x）＜０,当x∈(1,2)时，f'（x)＞0,∴f(x）max={f（﹣)，f(2）}max=７由f（x）＜m恒成立,所以m＞f（ｘ）=7．ｍaｘ故答案为：（７，+∞)【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间［a,ｂ］上的最大值与最小值是通过比较函数在(a,b)内所有极值与端点函数f(a)，f(ｂ）比较而得到的，属于基础题.24.f(x）=ax3﹣３x+1对于x∈[﹣1，１］总有ｆ(x)≥0成立,则ａ= 4 .【分析】这类不等式在某个区间上恒成立的问题,可转化为求函数最值的问题，本题要分三类:①x＝0,②x>０,③x＜0等三种情形.当x=０时，不论ａ取何值,f(x)≥0都成立;当x>0时有a≥,可构造函数g(x）=，然后利用导数求g（ｘ）的最大值,只需要使a≥g(ｘ）ｍax,同理可得x＜0时的a的范围，从而可得a的值．【解答】解:①若x=0，则不论ａ取何值,f(x)≥0都成立;②当x＞0,即x∈(0,1]时,f（x）=ax3﹣３x+1≥0可化为：a≥设ｇ(x）=,则g′(ｘ）=,所以g（ｘ）在区间（0,]上单调递增,在区间[,1]上单调递减，因此g（x)mａｘ=ｇ()=4,从而ａ≥4；③当x<０,即x∈［﹣１,0）时，ｆ（x）=aｘ３﹣３ｘ＋1≥0可化为:a≤, g(x）=在区间[﹣1，０）上单调递增,因此g（x)min＝g（﹣1）=4，从而a≤4，综上a=4．答案为：４.【点评】本题考查的是含参数不等式的恒成立问题,考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉ｘ＝０的情形,因此分类讨论时要特别注意该问题的解答.三．解答题(共10小题）25.已知函数f（x)=ａx3＋x2＋bx（其中常数ａ，ｂ∈R）,g(x）=f(x）+f′(x）是奇函数．（１)求f（x）的表达式；（2）讨论g（x）的单调性,并求ｇ（ｘ）在区间［１,2］上的最大值和最小值.【分析】（Ⅰ）由ｆ'(x)=3ａx2+2ｘ+ｂ得g（x）＝fax2+(3a+1）x2+（b+2)x+ｂ，再由函数g（ｘ)是奇函数,由g（﹣x）=﹣g（x),利用待系数法求解．（2）由（１）知,再求导g＇(x)=﹣x2＋2,由g＇(x）≥0求得增区间,由ｇ'(ｘ)≤0求得减区间；求最值时从极值和端点值中取．【解答】解：（1）由题意得f'(ｘ）=３ax2+2x+b因此ｇ(ｘ）＝f(x)＋f'（x)=ax3+(３a＋1）x2＋(b+２)x+b因为函数g(ｘ）是奇函数,所以ｇ(﹣x)=﹣ｇ(x)，即对任意实数x,有a(﹣ｘ）3+(３ａ＋1)(﹣x)2+(ｂ+2）(﹣ｘ)+ｂ=﹣［aｘ3+（3ａ+1）x2+(b+２)x+ｂ]从而３a+1＝0，b＝0，解得，因此f(ｘ)的解析表达式为.（2)由(Ⅰ）知,所以ｇ'(x)＝﹣x2+2，令g＇（x）=0解得则当时,g'（x)＜０从而g（x)在区间，上是减函数，当，从而ｇ（x）在区间上是增函数,由前面讨论知，g（x)在区间[１,2]上的最大值与最小值只能在时取得，而，因此g（x)在区间[1，２]上的最大值为,最小值为.【点评】本题主要考查构造新函数，用导数研究函数的单调性和求函数的最值.２6．已知函数f(x)＝ln(1＋x)﹣x,ｇ(x）=xlnｘ．（Ⅰ)求函数f(x）的最大值;(Ⅱ)设0<a<b,证明０＜ｇ(a)+g（b）﹣2g()＜(b﹣a）ln2．【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算,令导函数等于0求出x的值，再判断函数的单调性,进而可求出最大值.（2）先将a，ｂ代入函数g(x）得到g(ａ）+g(ｂ）﹣２g(）的表达式后进行整理，根据（1)可得到lnx<x，将、放缩变形为、代入即可得到左边不等式成立,再用根据y=ｌnx的单调性进行放缩＜.然后整理即可证明不等式右边成立.【解答】（Ⅰ）解:函数f（x)的定义域为（﹣1，+∞)..令ｆ′（x)=0,解得x＝０.当﹣1＜ｘ<0时,f′（x)>0,当x＞0时，f′(x)<０.又f(0）＝0,故当且仅当x=0时,f(ｘ)取得最大值，最大值为0.（Ⅱ)证明:=．由（Ⅰ)结论知ln(1＋x）﹣x＜０（ｘ>﹣１，且ｘ≠0）,由题设，因此ln=﹣ln（１+)>﹣，，所以．又,<.＝（b﹣a）ln<(b﹣a）lｎ2综上.【点评】本题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力．２7．已知函数f(x)＝x﹣１﹣lnｘ（Ⅰ）求曲线ｙ=ｆ(ｘ）在点（2，f(2))处的切线方程；（Ⅱ)求函数ｆ（x）的极值；（Ⅲ）对∀ｘ∈（0,＋∞)，f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数ｂ的取值范围．【分析】（Ⅰ)求出f（2），再根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即得曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可（Ⅱ)令导数大于0解出增区间，令导数小于0，解出函数的减区间,然后由极值判断规则确定出极值即可.（Ⅲ）由于ｆ(ｘ)≥bx﹣2恒成立,得到在(0,+∞)上恒成立，构造函数g(x）=,b≤ｇ（x)min即可.【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为(０,+∞）,，则，f(2)=1﹣ln2，∴曲线y=f(x)在点(2，f（２)）处的切线方程为，即x﹣2y﹣2lｎ2=０；（Ⅱ），令f′（x)＞0，得ｘ＞1，列表:ｘ（０，１)1(1,+∞）f′(x）﹣0+f(ｘ）↘0↗∴函数y=ｆ（x）的极小值为f(1）=0;(Ⅲ)依题意对∀ｘ∈(0,+∞)，f（x）≥ｂx﹣2恒成立等价于ｘ﹣1﹣ｌnx≥bｘ﹣2在（０，＋∞）上恒成立可得在(0，＋∞)上恒成立，令g（x）＝,令g′（ｘ）＝0,得x=e2列表：x(0，ｅ2）e２(ｅ2，+∞）ｇ'（ｘ）﹣0+ｇ（x）↘↗∴函数y=g（x)的最小值为，根据题意,.【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于中档题．2８．已知函数f(ｘ）=xlnx.（Ⅰ)求f（x）的最小值；（Ⅱ)若对所有x≥1都有f（x)≥ax﹣1，求实数ａ的取值范围．【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值.（２)将f（x）≥ax﹣1在［1，＋∞)上恒成立转化为不等式对于x∈[1，+∞)恒成立,然后令，对函数g(x）进行求导，根据导函数的正负可判断其单调性进而求出最小值，使得a小于等于这个最小值即可．【解答】解：(Ⅰ)f(ｘ)的定义域为（０，＋∞)，f(x)的导数ｆ'（ｘ)=1+lnx.令f'（ｘ)>０,解得；令f'(x)＜0,解得.从而ｆ(x）在单调递减,在单调递增．所以，当时，ｆ(ｘ）取得最小值．（Ⅱ）依题意，得f（ｘ)≥ax﹣1在[1，+∞)上恒成立,即不等式对于x∈[1，＋∞)恒成立．令,则.当x>1时，因为,故ｇ（ｘ)是[1,＋∞)上的增函数,所以g(ｘ)的最小值是g(1）=1，从而ａ的取值范围是（﹣∞，1].【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、根据导数求函数的最值.导数是高等数学下放到高中的内容,是每年必考的热点问题,要给予重视．２9．已知函数f(ｘ)=（x﹣2）e x．（１）求ｆ（x）的单调区间；(2）求f(ｘ）在区间［0,2]上的最小值和最大值.【分析】(1)求出函数的导数,令导数大于0，得增区间,令导数小于0，得减区间；(２)由（１)可得ｆ(ｘ）在［0,１]递减，在(1，2］递增,即有f(x）在x=1处取得极小值，且为最小值,求得端点的函数值,比较即可得到最大值．【解答】解：（１)函数f（x）的导数为ｆ′（x）=(ｘ﹣１）eｘ,由f′（x）>0,可得ｘ>1；由f′(x)<０，可得ｘ<1．则f（ｘ）的增区间为(1,+∞),减区间为(﹣∞，1)；（2）由（１)可得f（x）在[0,1］递减,在(1，2]递增,即有f（x)在x=1处取得极小值,且为最小值,且为f(１）=﹣e，由f(0）=﹣2,f（2)=０,可得ｆ（x）的最大值为f(2)=0．则f(ｘ）的最小值为﹣e,最大值为0.【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力,正确求导是解题的关键．３0.已知函数f(x)=ａx3﹣６ax2+ｂ(x∈[﹣1，２]）的最大值为3，最小值为﹣29，求a、ｂ的值.【分析】求出f′（ｘ)＝0在[﹣１，2]上的解,研究函数f（x)的增减性,函数的最值应该在极值点或者区间端点取,已知最大值为3，最小值为﹣29代入即可．【解答】解：函数f(x）＝ax３﹣6ax２＋b∴f′（x）=3ax2﹣１2ax=3a（x2﹣4x)令ｆ′（ｘ）=3aｘ2﹣12aｘ＝3a（x2﹣4x)=０,显然a≠0，否则f(x)=ｂ为常数,矛盾,∴x=０,若a>0,列表如下:由表可知，当x=0时ｆ（x）取得最大值∴b=3又f′（0)＝﹣29,则f（２)＜f(0)，这不可能，∴f（2)=8ａ﹣24a＋3=﹣1６a+3=﹣29,∴a＝2若a<0，同理可得ａ＝﹣2，b＝﹣29故答案为：ａ=2,b＝3或a=﹣2,ｂ=﹣29【点评】本题考查函数的导数在求最大值、最小值中的应用,关键是对于闭区间上的最值要注意函数的端点函数值,注意区别理解函数的极值点一定不在函数端点,而最值点可能在函数端点,属于基础题．31．求函数f(x）=ｘ３﹣2x2+5在区间[﹣2,２］的最大值和最小值.【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数f（ｘ)=x3﹣2ｘ2+5在区间［﹣2，2］的单调性,再由单调性求函数在区间上的最值.【解答】解：函数ｆ(x)=x3﹣2x２+５的导函数是f'(x)=x(３x﹣４),令f'(ｘ）=0得x=0或，如下表:∴y max=5，y min=﹣1１【点评】本题考点是利用导数求闭区间上的函数的最值，考查用导数研究函数的单调性并利用单调性确定函数的最值,并求出.此是导数的一个很重要的运用．３2．已知函数f（ｘ)=lnx﹣.(Ⅰ)求函数ｆ（x)的单调增区间;（Ⅱ）证明;当ｘ＞1时,f(x)<x﹣１;（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值,使得存在x＞１,当ｘ∈(1，x0）时，恒有ｆ０（x）＞ｋ（x﹣1）.【分析】（Ⅰ)求导数,利用导数大于0，可求函数ｆ（x）的单调增区间;(Ⅱ）令F(ｘ）=f(x）﹣（x﹣１),证明Ｆ(x）在[1，+∞）上单调递减，可得结论; (Ⅲ）分类讨论,令G（ｘ）=f(ｘ)﹣ｋ（ｘ﹣1）(x>0），利用函数的单调性，可得实数ｋ的所有可能取值．【解答】解:（Ⅰ）∵f(x)＝lnx﹣,∴f′（x)＝＞0（x>0)，∴0<ｘ＜，∴函数f（x）的单调增区间是(0,);（Ⅱ)令Ｆ（x）=f（x)﹣(ｘ﹣１）,则F′（x）=当x＞1时，F′（x)＜0,∴F（x)在[1,+∞）上单调递减，∴x>１时，F(ｘ)＜F(1）=0,即当x＞1时，f（x)＜x﹣１；（Ⅲ)由（Ⅱ）知,k＝1时,不存在x0＞1满足题意;当k>1时,对于x＞1，有f（ｘ)＜x﹣1＜ｋ（x﹣１）,则f（x)<ｋ(x﹣１），＞1满足题意;从而不存在ｘ０当k<１时,令G（x）=f(ｘ）﹣k（x﹣１）（x>0)，则G′(x）==０，可得x1=＜0，x2=＞1，当x∈(1,ｘ)时，G′（x）>０,故G（x)在(1，x2)上单调递增，２从而x∈(１,x2)时，G（x)>Ｇ(1)＝0，即f（ｘ）＞k(x﹣1),综上,ｋ的取值范围为（﹣∞，1)．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明,正确构造函数是关键.３3．设函数ｆ(x）＝１+（1+a)x﹣x2﹣ｘ3,其中ａ＞0.(Ⅰ）讨论f(x)在其定义域上的单调性;（Ⅱ)当x∈[0,1]时，求ｆ(x）取得最大值和最小值时的x的值.【分析】(Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可;（Ⅱ）利用(Ⅰ）的结论,讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性,得出取最值时的ｘ的取值．【解答】解：(Ⅰ）f(x)的定义域为(﹣∞，+∞），f′（ｘ）=１+ａ﹣２x﹣３ｘ2,由ｆ′(x）＝0，得x1=,x2＝,x1<x2,∴由f′(ｘ)＜0得x<，x＞；由ｆ′(x）＞0得＜x<;故f（x)在(﹣∞，)和（,+∞)单调递减,在(,）上单调递增；（Ⅱ）∵a＞０，∴x1<０,ｘ2>0,∵x∈[0,1]，当时，即ａ≥4≥1,由(Ⅰ）知，ｆ（x）在[0，１］上单调递增,∴f(x）在x=0①当ａ≥4时，x２和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0<a<4时,ｘ2<１,由（Ⅰ）知,f(ｘ）在[0，x2]单调递增，在［x2,1]上单调递减，因此f(x）在x=ｘ2＝处取得最大值，又ｆ（０)＝1,ｆ(1）＝a，∴当0<ａ<１时,ｆ(ｘ）在x＝１处取得最小值；当a＝１时，f(x)在x=０和x＝1处取得最小值；当1<a<4时,f(x）在ｘ=0处取得最小值．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力,属中档题．34．已知函数f(ｘ）满足f（x）=f′(１)e x﹣1﹣f（0)x+ｘ2;（1）求f(x）的解析式及单调区间；（2)若,求（a+1）ｂ的最大值．【分析】(１)对函数f（x)求导，再令自变量为１，求出f′(１)得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（２）由题意,借助导数求出新函数的最小值,令其大于０即可得到参数a，b 所满足的关系式,再研究(a+1)ｂ的最大值【解答】解:(1)f（x）＝f'（1)eｘ﹣1﹣f（0)x+⇒ｆ'（x）=f'(1)eｘ﹣1﹣f（0）＋x 令x=1得:f（0）＝1∴f（ｘ）=f'（1)e x﹣1﹣x+令x=0,得f（0)=ｆ'（１)e﹣1=1解得f'(１)=e故函数的解析式为ｆ（x）=ｅx﹣x+令ｇ(x)=f'（x）=e x﹣1+ｘ∴g'(ｘ）=ｅｘ+１＞0,由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时,f'（x)＞f'(０）=０;当ｘ＜0时,有f＇（x）＜f'（０)=0得：函数f(x)=eｘ﹣x+的单调递增区间为(0，+∞）,单调递减区间为（﹣∞,0)（2）f(x）≥﹣(a+１)x﹣ｂ≥0得h′(x)=e x﹣（a+1）①当ａ+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h(ｘ）在x∈R上单调递增,x→﹣∞时,h（ｘ)→﹣∞与ｈ（ｘ）≥０矛盾②当a＋１＞0时,ｈ′(ｘ)>0⇔ｘ＞ｌn(ａ+1),h'（x）<0⇔x<ｌｎ（a＋1）得：当x＝ln（ａ+1)时,h(ｘ)min=（a+１）﹣（a+１）ln(a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣(a+１)ln（a+1）≥b∴(a+1）b≤(a+1)2﹣（ａ+1）2ln(a+１),(a+1>0）令F（ｘ）=x2﹣x2lnｘ(x>０），则Ｆ＇（x）＝x(１﹣2lnx)∴Ｆ＇（x）>0⇔0＜x＜=当x=时,Ｆ（x)ｍax即当a＝时,（a+1)ｂ的最大值为【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（１），易因为没有将ｆ′（1)看作常数而出错,第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大,易马虎出错．。