4.4-归结演绎推理-1
经典逻辑推理
（3）找出Fk 的差异集D k 。 （4）若Fk 中存在元素 x k和 t k ，其中 x k是变元，t k 是项， 且 x k 不在 t k 中出现，则置： k 1 k t k / x k
Fk 1 Fk t k / x k
第四章 经典逻辑推理
4.1 4.2 4.3 4.4
基本概念 自然演绎推理 归结演绎推理 与/或形演绎推理
4.1 基本概念
为使计算机具有智能，仅仅使它拥有知识还不够，更重要地， 还必须使它具有思维能力，即能运用知识进行推理、求解问题 的能力 知识表示（知识库）→求解过程（推理） 经典推理是根据经典逻辑（命题逻辑和一阶谓词逻辑）的逻 辑规则进行的一种推理，又称机械-自动定理证明。 主要推理方法有：自然演绎推理、归结演绎推理、与/或形演 绎推理。
F2 P ( a , f ( a ), f ( g ( y ))), P ( a , f ( a ), f (u )
k k 1 2
( 3)
3 2 g ( y ) / u a / z , f ( a ) / x , g ( y ) / u
k k 1 3
基本概念
推理
推理是按某种策略由已知判断推出另一种判断的过程。在AI 系统中，推理是由程序来实现的，称为推理机。
不同的控制策略
推理方式及分类：
(1) 演绎推理 从新判断推出的途径 归纳推理 默认推理
演绎推理
由一般（全称判断）到个别（特称判断）的推理方法。 核心是三段论，通常由一个大前提、一个小前提和一个结 论三部分组成的。
离散数学第四章 谓词演算的推理理论-归结推理系统
(8) P(a) D(a)
(9) P(a) (10) 口
{ a/y} (5)(6)归结
(8)(7)归结 (9)(3)归结
例 用归结方法证明下列公式
x(P(f(x))(P(f(a))P(x)))
证: 目标的否定为 x(P(f(x))(P(f(a)) ∧ P(x))) = x (P(f(x))(P(f(a)) ∧ P(x))) = x (P(f(x)) ∧ ( P(f(a)) ∨ P(x))) 子句集为 (1) P(f(x1)) (2) P(f(a)) ∨ P(x2) (3) P(x2) {a/x1} (1)(2)归结 (4)口 {f(x1)/x2}(1)(3)归结
(5)消去存在量词(按Skolem标准形)
(6)消去全称量词(直接去掉) (7)化为合取范式 (8)消去合取词得子句集， (9)改变变量的名称 (变量符号不重复使用)
例(p46-47) xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y)))
解: (1)消去蕴含词 xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y))) (2)约束变元改名： 利用改名方法对上式施行改名，以保证每一个量词 约束的变元不同名。 xP(x)z(A(z)y(B(y)W(z，y))) (3)化为前束范式 xzy(P(x)(A(z)(B(y)W(z，y)))) (4)消去存在量词(按Skolem标准形) 原式z(P(a)(A(z)(B(f(z))W(z，f(z)))))
演绎推理知识点-概述说明以及解释
演绎推理知识点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述演绎推理作为一种思维方式和逻辑推理方法，在社会科学、自然科学、数学等领域具有广泛的应用。
它是一种基于逻辑和前提推理的思考方式，通过对已知事实和前提条件的分析，得出必然的结论。
演绎推理的基本原理是从一般到特殊，从普遍规则到个别情况的推理过程。
本文将从演绎推理的定义和基本原理入手，探讨演绎推理在日常生活中的应用，并对其局限性和发展方向进行分析和讨论。
通过对这些内容的论述，旨在帮助读者更好地理解演绎推理的概念和运用，进一步提升逻辑思维和推理能力。
在接下来的章节中，我们将首先介绍演绎推理的定义，详细解释其内涵和应用范围。
随后，我们将探究演绎推理的基本原理，包括通过逻辑规则和前提条件进行推理的过程和方法。
在第三章中，我们将分析演绎推理在日常生活中的实际应用，从科学研究、法律论证、思维训练等方面，阐述演绎推理对于人们的重要性。
最后，我们将讨论演绎推理的局限性和发展方向，探讨其在理论和实践中的潜力和挑战。
通过对演绎推理的概述和详细的分析，读者将能够更好地了解和应用该思维方法，提升自己的逻辑思维和推理能力，从而在各个领域更好地应对复杂问题和挑战。
让我们开始这一精彩的演绎推理之旅吧！文章结构部分的内容应当简要介绍整篇文章的组织结构和内容安排，为读者提供一个整体的概览。
以下为1.2 文章结构部分的内容参考：1.2 文章结构本文主要通过以下几个部分来讨论演绎推理的知识点：引言：在本部分中，首先对演绎推理进行概述，介绍其基本概念和定义。
然后简要介绍本文的结构和目的，为读者提供一个整体的了解。
正文：本文的核心部分，主要包括演绎推理的定义和基本原理的详细阐述。
在2.1节中，将详细解释演绎推理的含义，包括其在逻辑学和哲学中的概念和作用。
2.2节将重点探讨演绎推理的基本原理，包括前提和结论的关系、逻辑规则和推理规则等方面的内容。
结论：在本部分中，将探讨演绎推理在日常生活中的应用，例如在科学研究、法律领域和日常推理中的运用。
自然演绎推理与归结演绎推理的比较
自然演绎推理与归结演绎推理的比较自然演绎推理与归结演绎推理的比较导语：演绎推理是逻辑学中的一个重要概念，它通过逻辑规则和先验知识，从已知真实陈述中得出新的结论。
在演绎推理中，自然演绎推理和归结演绎推理是两种常见的方法。
本文将比较自然演绎推理和归结演绎推理，探讨它们的特点和应用领域。
一、自然演绎推理1. 简介：自然演绎推理是一种基于逻辑规则的推理方法，顺着逻辑规则一步步推导，从已知的真实陈述出发，通过一系列的推理步骤得出结论。
2. 特点：a) 有效性：自然演绎推理是一种严格的推理形式，通过正确的应用逻辑规则，可以产生准确的推理结果。
b) 逆向思维：自然演绎推理常常是从期望的结论出发，逆向思考，从而推导出支持该结论的前提条件。
c) 基于规则：自然演绎推理过程中使用的是确定的逻辑规则，例如前提、充分必要条件、三段论等。
3. 应用领域：a) 数学推理：在数学证明中，自然演绎推理是一种常见的推理方法，通过逻辑推理规则，得出数学定理的证明过程。
b) 法律推理：在法律领域，自然演绎推理也具有重要应用，用于推导出法律条文的含义和解释。
二、归结演绎推理1. 简介：归结演绎推理是一种基于谓词逻辑和归结规则的推理方法，通过判断两个子句是否可归结，从而得出结论。
2. 特点：a) 可证明性：归结演绎推理可以通过构造归结树或应用归结规则来证明逻辑表达式的真假。
b) 前向思维：与自然演绎推理不同，归结演绎推理从已知前提出发，通过归结规则前进，最终得出结论。
c) 归结规则：归结演绎推理过程中使用的是一系列归结规则，包括归结消解规则、归结因式分解规则等。
3. 应用领域：a) 人工智能：在人工智能领域，归结演绎推理被广泛应用于专家系统和自动定理证明等领域。
b) 计算机科学：归结演绎推理也是计算机科学中重要的逻辑推理方法，用于语言处理和知识表示。
三、自然演绎推理与归结演绎推理的比较1. 方法差异：a) 自然演绎推理是顺着逻辑规则进行推导，而归结演绎推理是通过归结规则前进。
归结演绎推理
第三章归结演绎推理摘要：本文对归结对归结演绎推理进行了较为详细的介绍，描述了归结演绎推理的基本思路、使用步骤、并指明了其过程是完备的，还给出了运用归结原理进行归归结的具体例子，最后简单总结了其优缺点。
关键词：归结，演绎，推理1 知识背景人工智能是一门新兴的学科，推理技术是实现人工智能的基本技术之一，其中自然演绎推理是基于常用逻辑等价式以及常用逻辑蕴含式(统称推理规则)的推理技术，即从已知事实出发，利用推理规则进行推出结论的过程。
这种推理过程与人类的思维过程极其相似，但其缺点是极易产生知识爆炸，推理过程中得到的中间结论按指数规律递增，对于复杂问题的推理不利，在计算机上实现起来存在诸多困难。
而归结演绎推理是基于归结原理的在计算机上得到了较好实现的一种推理技术，是一种有效的机器推理方法。
归结原理的出现, 使得自动定理证明成为了可能，同时也使得人工智能技术向前迈进了一大步。
2 基本思路归结演绎方法是一种基于鲁滨逊（Robinson ）归结原理的机器推理技术【1】。
鲁滨逊归结原理也称作消解原理，是鲁滨逊于1965年在海伯伦（Herbrand ）理论的基础上提出的一种基于逻辑的“反证法”。
在人工智能中基本上几乎所有的问题都可以转化为一个定理证明问题。
而定理证明的实质就是要从公式集12n P={P P P }，，出发推出结论G ，即需要证明12n P P P G ∧∧∧→（）永真。
要证明P G →永真，若按定义来，需要证明P G →在任何一个非空的个体域上都是永真的。
这将是非常困难的，甚至是不可实现的。
为此人们进行了大量的探索，后来发现可以采用反证法的思想，把关于永真性的证明转化为关于不可满足性的证明。
即要证明P G →永真，只要能够证明P G ∧⌝是不可满足的就可以了。
在这一方面最有成效的的工作就是海伯伦理论和鲁滨逊归结原理。
鲁滨逊归结原理使定理证明的机械化成为了现实。
他们这些研究成果，在人工智能的发展史上都占有很重要的历史地位。
比较自然演绎推理和归结演绎推理
比较自然演绎推理和归结演绎推理自然演绎推理和归结演绎推理的概述在逻辑学和人工智能领域，自然演绎推理和归结演绎推理是两种常见的推理方法。
它们在推理过程中采用不同的策略和规则，以达到推理和判断的目的。
下面将对自然演绎推理和归结演绎推理进行比较和分析，并对它们的优点和缺点进行总结。
自然演绎推理自然演绎推理的基本原理自然演绎推理是一种基于逻辑学的推理方法，它主要基于前提和规则，通过逻辑推理来得出结论。
在自然演绎推理中，我们根据已知的事实和逻辑规则，通过逐步推导逻辑关系，来得出结论。
这种推理方法是一种类似于数学证明的方式，在逻辑学中被广泛应用。
自然演绎推理的步骤1.确定前提：我们首先要明确已知的前提条件，这些前提条件可以是事实、假设或已知的规则。
2.使用逻辑规则进行推导：根据已知的前提条件，我们可以使用逻辑规则进行推导。
逻辑规则包括命题逻辑的规则和谓词逻辑的规则，通过应用这些规则，我们可以逐步推导出更多的逻辑关系。
3.形成结论：通过逻辑推理，我们最终可以形成结论。
这个结论是基于已知的前提条件和逻辑规则得出的，它是推理过程的结果。
自然演绎推理的优点•严密性：自然演绎推理是一种严密的推理方法，它基于逻辑学的原理和规则，通过逻辑推理来得出结论。
在推理过程中，每一步都是基于已知的前提条件和逻辑规则的推导，从而保证了推理的准确性和严密性。
•可靠性：由于自然演绎推理是基于逻辑规则的，它的推理过程是可靠的。
只要前提条件和逻辑规则是正确的，那么得出的结论也是正确的。
自然演绎推理的局限性•时间复杂度高：自然演绎推理在处理复杂问题时，往往需要进行大量的逻辑推导。
这导致了推理过程的时间复杂度较高，需要耗费较多的时间和计算资源。
•对知识表示的依赖：自然演绎推理的效果受到知识表示的限制。
如果我们的知识无法准确地表示为逻辑规则，那么自然演绎推理可能无法有效地进行。
归结演绎推理归结演绎推理的基本原理归结演绎推理是一种基于逻辑推理的推理方法，它主要基于归结原理和归结规则，通过将问题转化为逻辑蕴涵式的归结形式，来推导出结论。
4.3-2-归结演绎推理(1)
分别是C 的基例。 其中 P( f (a)) 和~ P( f (a)) 分别是C1和C2的基例。从上述 例子可以看到，用适当的项置换C 例子可以看到，用适当的项置换C1和C2的变量可以 产生新子句。 产生新子句。
1、置换 、
定义4.7 置换 置换(substitution)是形为 定义 是形为
{ t 1 / v 1, t 2 / v 2 , ..., t n / v n}
第4章 自动推理 章
第4章 自动推理 章
4.1 4.2 4.3 4.3 引言 自然演绎推理 归结演绎推理-1 归结演绎推理-2
4.3 归结演绎推理 归结演绎推理-2
4.3.3 置换和合一
对命题逻辑应用归结原理的重要步骤是在一个子句 对命题逻辑应用归结原理的重要步骤是在一个子句 中找出与另一子句中的某个文字互补的文字。 补的文字 中找出与另一子句中的某个文字互补的文字。对于 不含变量的子句是容易做到的。 不含变量的子句是容易做到的。当子句中含有变量 问题要复杂很多。 时，问题要复杂很多。如研究子句
由于 zλ = y ，所以要删除zλ/ y 。上述集合中的 第三、四元素中的变量x， 都出现在 都出现在{x,y} 第三、四元素中的变量 ，y都出现在 中，所以还应删除 a / x, b / y。最后得出 θ o λ ＝ { f (b) / x, y / z}
2、置换的性质 、
(1) 空置换 ε 是左么元和右么元，即对任意的置换θ , 恒有 是左么元和右么元， ε oθ ＝ θ o ε ＝ θ (2) 对任意表达式E，恒有E( θ o λ )＝(E θ ) λ 。 对任意表达式E，恒有E( )＝ (3) 若对任意表达式 恒有 θ ＝E λ ，则 θ ＝ λ 。 若对任意表达式E恒有 恒有E (4) 对任意置换θ ， ， 恒有 (θ o λ ) o µ = θ o ( λ o µ ) λ µ 即置换的合成满足结合律。 即置换的合成满足结合律。 (5) 设A和B为表达式集合，则 为表达式集合， 和 为表达式集合 ( A ∪ B )θ = Aθ ∪ Bθ 注意: 置换的合成不满足交换律。 注意 置换的合成不满足交换律。
简述归结演绎推理的基本原理
简述归结演绎推理的基本原理
归结演绎推理是一种基于逻辑的推理方法，其基本原理是通过寻找两个假设的矛盾，从而得出一个结论。
具体步骤如下：
1. 归结：首先，将问题的前提和待求解的目标转化为逻辑表达式，且将其转换为逻辑语句的否定形式。
2. 归结规则：根据归结演算的规则，对逻辑语句应用归结规则，将其转化为一个新的逻辑语句。
3. 归结过程：通过不断应用归结规则，将逻辑语句归结为矛盾语句，即找到一个逻辑语句和其否定形式互为矛盾。
4. 得出结论：如果找到了矛盾语句，则说明原始问题是无解的，否则，根据矛盾语句的表达形式，可以得出结论。
归结演绎推理的基本原理是基于逻辑的矛盾，通过不断的应用归结规则，将问题化简为一个矛盾语句，从而得出结论。
这个推理过程类似于数学中的反证法，通过假设的否定形式来推导出矛盾的结果从而证明原假设的不成立。
比较自然演绎推理和归结演绎推理
比较自然演绎推理和归结演绎推理比较自然演绎推理和归结演绎推理自然演绎推理和归结演绎推理是两种常见的逻辑推理方式。
在日常生活中，我们经常需要进行逻辑思考，因此了解这两种推理方式的特点和应用场景对于提高我们的思考能力和解决问题能力非常有帮助。
本文将对自然演绎推理和归结演绎推理进行详细的比较分析。
一、自然演绎推理1.定义自然演绎推理是指根据已知前提，通过逻辑关系进行“顺着想”的过程，从而得出结论的一种逻辑思维方式。
它是人们在日常生活中最为普遍使用的一种逻辑推理方式。
2.特点（1）基于直觉：自然演绎推理是基于个人直觉的，不需要过多地考虑证明或者证据。
（2）顺着想：在自然演绎推理中，人们会根据已知前提进行“顺着想”的过程，从而得出结论。
（3）缺乏严密性：由于没有严格的证明过程，因此自然演绎推理容易受到主观因素的影响，存在一定的不确定性。
3.应用场景自然演绎推理适用于日常生活中一些简单的问题，例如判断某个人是否说谎、判断某个事物是否符合常理等。
二、归结演绎推理1.定义归结演绎推理是指通过将问题转化为一个更加简单的形式，从而得出结论的一种逻辑思维方式。
它是人们在处理复杂问题时经常使用的一种逻辑推理方式。
2.特点（1）基于证明：归结演绎推理需要进行证明过程，因此具有较高的严密性。
（2）转化问题：在归结演绎推理中，人们会将原始问题转化为一个更加简单易懂的形式，并通过证明来得出结论。
（3）较高的可靠性：由于需要进行证明过程，因此归结演绎推理具有较高的可靠性和确定性。
3.应用场景归结演绎推理适用于处理复杂问题，并且需要进行严格证明过程的场景。
例如，在数学、物理等领域中，人们经常使用归结演绎推理来解决复杂问题。
三、自然演绎推理和归结演绎推理的比较1.思维方式不同自然演绎推理是基于个人直觉的思考方式，而归结演绎推理则是基于严谨证明的思考方式。
因此，两者的思维方式存在很大的差异。
2.适用场景不同自然演绎推理适用于日常生活中一些简单的问题，例如判断某个人是否说谎、判断某个事物是否符合常理等。
经典逻辑推理学习
模式匹配
下面我们给出合一的概念： 设有公式集F={F1，F2，…,Fn},若存在一 个代换使得F1 = F2 =…= Fn 则称为公式集F的一个合一，且称 F1，F2，…,Fn是可合一的。
模式匹配
例如F=P（x,y), ={a/x,g(a)/y} 求公式F在下的例式为 F = P（a,g(a)) 对于公式集F={P（x,y，f(y)),P(a,g(x),z)} 则 ={a/x,g(a)/y，f(g(a))/z}是公式F的一个 合一。
模式匹配
例如设有如下代换： ={f(y)/x,z/y} ={a/x,b/y,y/z} 求 º和 º 解：我们先来求
模式匹配
={f(y) /x, z /y, a/x,b/y,y/z} ={f(b) /x, y /y, a/x,b/y,y/z}去掉不合法的元 素： y /y（条件１） a/x,b/y（条件２） 于是 º＝ {f(b) /x,y/z}
统计推理是根据对某事物的数据统计进 行推理。例如，对农作物的产量进行统 计，从而得出是否增产的结论，从而找
５、基于知识的推理、统计推理、直觉推理
出增产和减产的原因。就是运用了统计 推理。
直觉推理又称常识性推理，是根据常识 进行的推理。例如，当你从某建筑物下 走过时，猛然发现有一物体坠落，这时 你立即就会意识到这有危险，并立即躲 开，这就是使用了直觉推理。目前直觉 推理在计算机上的实现还是一件很困难 的工作。
模式匹配
再来求 º，同样先求 ＝{a /x, b /y, y /z, f(y)/x,z/y} ={a /x, b /y,z/z, f(y)/x,z/y} 去掉不合法的元素z/z,f(y)/x,z/y得 º={a /x, b /y} 显然代换的复合运算是不可交换的。并 且对任何代换存在空代换，并且 º＝ º＝
归结演绎推理
1、谓词演算的基本等价式
• 双重否定律(double negation law): ┓(┓P(x)) ≡P(x)
• 德·摩根定律(Mogen law): ┓(P(x)∨Q(x))≡ ┓P(x)∧ ┓Q(x) ┓(P(x)∧Q(x)) ≡ ┓P(x)∨ ┓Q(x)
7
1、谓词演算的基本等价式
• 逆否律(inverse-negation law): P(x) → Q(x) ≡ ┓Q(x) → ┓P(x)
4
4.3 归结演绎推理-1
• 若欲证明前提条件P可推导出结论Q，即证 明 P Q永真，该问题的证明等价于证明 P Q 永假，即 P Q 是不可满足的。
5
4.3.1 Skolem标准型
• 由于谓词逻辑是命题逻辑的推广，命题逻 辑中的基本等价式和推理规则在谓词逻辑 仍可沿用。但由于谓词逻辑中引入了变量 及量词，须再增加一些与变量、量词有关 的一些定理和规则，现一并归纳于下:
22
4、前束标准型
使用前面定义的等价式，总可以把一个公式化为 前束标准型。
变换过程如下：
(1) 使用等价式中的连接词化归律消去公式中的连接
词 、。
(2) 反复使用双重否定律和德·摩根律将“┓(～)”移到原 子之前。
(3) 必要时重新命名量化的变量。 (4) 使用量词分配律和等价式，把所有量词都移到整个公
• 所谓范式就是公式的标准形式，公式往往可以 转换为和它等价的范式，以便对它们做一般性 的处理。
• 方法是：对给定公式中的某子公式用与它“等 价”的一个公式来代替，并且重复该过程直到 得出所需要的形式为止。下面给出一些定义。
16
3、谓词逻辑中的范式 范式中的一些定义: • 定义4.1 文字(literal)是原子或原子之非。 • 定义4.2 公式G，当且仅当G有形式G1∧…
4.4-归结演绎推理-1
（ 3 ）变量标准化：重新命名变元名，使不同量词 约束的变元有不同的名字：
x[~P(x)[y[~P(y)P(f(x,y))]w[Q(x,w) ~P(w)]]]
（4）消去存在量词：
x[~P(x)[y[~P(y)P(f(x,y))][Q(x,g(x)) ~P(g(x))]]]
（5）化为前束形：
定理4.1 设有谓词公式F，其标准子句集为S，则 F为不可满足的充要条件是S为不可满足的。
作业：
习题：4.3，4.4
必须指出: 一个子句内的文字可以含有变量，但 这些变量总是被理解为全称量词量化了的变量。
4.4.1 子句型
3. 子句集的应用
在上述化简过程中，由于在消去存在量词时所用的Skolem函数 可以不同，因此化简后的标准子句集是不唯一的。 这样，当原谓词公式为非永假时，它与其标准子句集并不等价。 但当原谓词公式为永假（或不可满足）时，其标准子句集则一定是 永假的，即Skolem化并不影响原谓词公式的永假性。 这个结论很重要，是归结原理的主要依据，可用定理的形式来 描述。
4.4.1 子句型
2. 子句集的化简(4/6)
(5) 消去存在量词 消去存在量词时，需要区分以下两种情况： 若存在量词不出现在全称量词的辖域内（即它的左边没有全称量 词），只要用一个新的个体常量替换受该存在量词约束的变元，就可 消去该存在量词。 若存在量词位于一个或多个全称量词的辖域内，例如 (∀x1)…(∀xn) (∃y)P(x1，x2 ,…, xn ,y) 则需要用Skolem函数f(x1，x2 ,…, xn)替换受该存在量词约束的变元y， 然后再消去该存在量词。 例如，上步所得公式中存在量词(∃y)和(∃z)都位于(∀x)的辖域内，因 此都需要用Skolem函数来替换。设替换y和z的Skolem函数分别是f(x) 和g(x)，则替换后的式子为 (∀x)(﹁P(x,f(x))∨(Q(x,g(x))∧﹁R(x,g(x))))
归结演绎推理
第三章归结演绎推理摘要：本文对归结对归结演绎推理进行了较为详细的介绍，描述了归结演绎推理的基本思路、使用步骤、并指明了其过程是完备的，还给出了运用归结原理进行归归结的具体例子，最后简单总结了其优缺点。
关键词：归结，演绎，推理1 知识背景人工智能是一门新兴的学科，推理技术是实现人工智能的基本技术之一，其中自然演绎推理是基于常用逻辑等价式以及常用逻辑蕴含式(统称推理规则)的推理技术，即从已知事实出发，利用推理规则进行推出结论的过程。
这种推理过程与人类的思维过程极其相似，但其缺点是极易产生知识爆炸，推理过程中得到的中间结论按指数规律递增，对于复杂问题的推理不利，在计算机上实现起来存在诸多困难。
而归结演绎推理是基于归结原理的在计算机上得到了较好实现的一种推理技术，是一种有效的机器推理方法。
归结原理的出现, 使得自动定理证明成为了可能，同时也使得人工智能技术向前迈进了一大步。
2 基本思路归结演绎方法是一种基于鲁滨逊（Robinson ）归结原理的机器推理技术【1】。
鲁滨逊归结原理也称作消解原理，是鲁滨逊于1965年在海伯伦（Herbrand ）理论的基础上提出的一种基于逻辑的“反证法”。
在人工智能中基本上几乎所有的问题都可以转化为一个定理证明问题。
而定理证明的实质就是要从公式集12n P={P P P }，，出发推出结论G ，即需要证明12n P P P G ∧∧∧→（）永真。
要证明P G →永真，若按定义来，需要证明P G →在任何一个非空的个体域上都是永真的。
这将是非常困难的，甚至是不可实现的。
为此人们进行了大量的探索，后来发现可以采用反证法的思想，把关于永真性的证明转化为关于不可满足性的证明。
即要证明P G →永真，只要能够证明P G ∧⌝是不可满足的就可以了。
在这一方面最有成效的的工作就是海伯伦理论和鲁滨逊归结原理。
鲁滨逊归结原理使定理证明的机械化成为了现实。
他们这些研究成果，在人工智能的发展史上都占有很重要的历史地位。
归结演绎推理
M(name,name).
S(name,name)
GOAL
M(X,lan), write("X=",X).
CLAUSES
S(hua,lan).
M(sun,hua).
M(Y,lan):-S(Z,lan),M(Y,Z).
三、运行结果
人工智能归结演绎推理软件学院13111313111318梁艳芳web方向一基于归结反演的问题求解
人工智能
归结演绎推理
软件学院向
一、基于归结反演的问题求解：
已知 F1：孙（sun）女士是小花（hua）的母亲
F2：小花（hua）和小兰（lan）是姐妹
F3：如果x和y是姐妹，则x的母亲也是y的母亲
（2）S（hua，lan）
（3）﹁S（X，Y）∨﹁M（Z，X）∨M（Z，Y））
（4）﹁M（u，lan）∨ANSWER（u）
应用归结原理进行归结：
（5）﹁S（X，Y）∨M（li，Y）
（6）﹁S（hua，lan）∨ANSWER（sun）
（7）ANSWER（sun）
二、程序
trace
DOMAINS
name=symbol
求：小兰（lan）的母亲是谁？
解：
首先定义谓词
M（X，Y）：X是Y的母亲
S（X，Y）：X和Y是姐妹
则
F1：（sun，hua）
F2：（hua，lan）
F3：（ X）（ Y）（ Z）（S（X，Y）∧M（Z，X）→M（Z，Y））
G：﹁（ X）M（X，lan）∨ANSWER（X）
把上述公式化为子句集如下：
（1）M（sun，hua）
22人教版高中数学新教材选择性必修第二册--4.4数学归纳法
4.4*数学归纳法课标解读课标要求素养要求1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.1.逻辑推理——能用数学归纳法证明数列命题；2.数学运算——能利用数列的公式进行计算.自主学习·必备知识教材研习教材原句一般地，证明一个与①正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n=n0(n0∈N∗)时命题成立；（2）（归纳递推）以“当n=k(k∈N∗,k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当②n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.记P(n)是一个关于正整数n的命题，我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：（1）P(n0)为真；（2）若P(k)(k∈N∗,k≥k0)为真，则P(k+1)也为真.结论：P(n)为真.自主思考1.正整数n0一定是1吗？答案：提示不一定.n0可以是1，也可以是2或3等其他正整数.名师点睛1.数学归纳法证明命题的适用范围数学归纳法是科学的证明方法,利用数学归纳法可以证明一些关于正整数n的命题.2.数学归纳法证明命题的基本思想数学归纳法是完全归纳法的一种,是一种归纳—演绎的推理方法.数学归纳法的理论依据是“自然数归纳原理”：设A(n)表示关于自然数n的一个命题,如果满足条件：(i)A(1)正确;(ii)假设A(k)成立,推断A(k+1)也成立,那么A(n)对一切自然数n都成立.其中(i)是验证,是证明的基础;(ii)是假设A(k)成立,通过演绎推理,推证出A(k+1)也正确.即先验证使结论有意义的最小的正整数n0,如果当n=n0时,命题成立,再假设当n=k(k∈N∗,k≥n0)时,命题成立.根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1,n0+2,…,命题都成立.3.再强调一点：完成第一步、第二步后,必须要下结论,其格式为：根据(1)（2）可知命题对任意n∈N∗都成立.所以用数学归纳法证明概括起来就是“两个步骤,一个结论”.互动探究·关键能力探究点一数学归纳法的概念自测自评1.用数学归纳法证明凸n边形的内角和为(n−2)π,第一步应该证明( )A.当n=1时命题成立B.当n=2时命题成立C.当n=3时命题成立D.当n=4时命题成立答案：C解析：边数最少的凸n边形是三角形,所以第一步应该证明当n=3时,三角形的内角和为π.2.用数学归纳法证明1+3+5+⋯+(2n−1)=n2(n∈N∗)成立.那么,“当n=1时,命题成立”是“当n∈N∗时,命题成立”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：“当n=1时,命题成立”不一定能推出“当n∈N∗时,命题成立”,“当n∈N∗时,命题成立”可以推出“当n=1时,命题成立”,所以“当n=1时,命题成立”是“当n∈N∗时,命题成立”的必要不充分条件,故选B.3.用数学归纳法证明−1+3−5+⋯+(−1)n(2n−1)=(−1)n n(n∈N∗)成立.假设当n= k时等式成立,那么证明当n=k+1时等式也成立,该等式为( )A.−1+3−5+⋯+(−1)k(2k−1)=(−1)k kB.−1+3−5+⋯+(−1)k+1(2k−1)=(−1)k+1(k+1)C.−1+3−5+⋯+(−1)k+1(2k+1)=(−1)k(k+1)D.−1+3−5+⋯+(−1)k+1(2k+1)=(−1)k+1(k+1)答案：D4.(★)用数学归纳法证明命题:“对于一切正整数n,等式12−22+32−42+⋯+(−1)n−1n2=(−1)n−1n(n+1)成立”.2第一步证明当n=1时, 成立;第二步证明从“假设n=k时等式成立”到“n= k+1时等式也成立”时,等式两边应同时加上.；; (−1)k(k+1)2答案：12=(−1)0×1×22成立”.解析：第一步证明“当n=1时,12=(−1)0×1×22第二步证明“假设n=k(k∈N∗)时等式12−22+32−42+⋯+(−1)k−1k2=(−1)k−1⋅k(k+1)成立,2则当n=k+1时,等式12−22+32+⋯+(−1)k−1⋅k2+(−1)k(k+1)2=(−1)k(k+1)(k+2)2也成立”,所以假设成立的等式两边应同时加上(−1)k(k+1)2.解题感悟理解数学归纳法证明命题的特点与方法步骤1.数学归纳法主要用于研究与证明与正整数有关的命题,但并不是所有与正整数有关的命题都能用数学归纳法证明.2.用数学归纳法证明命题时,n0是命题成立的第一个正整数，并不一定所有的第一个允许值n0都是1.3.用数学归纳法证明命题的过程可以概括为“两个步骤，一个结论”.探究点二用数学归纳法证明与正整数有关的等式精讲精练例用数学归纳法证明：2+4+6+⋯+2n=n2+n(n∈N∗).答案：证明（1）当n=1时,左边=2,右边=2,等式成立.（2）假设当n=k(k是任意正整数)时,等式成立,即2+4+6+⋯+2k=k2+k,则当n=k+1时,2+4+6+⋯+2k+2(k+1)=k2+k+2(k+1)=(k+1)2+(k+ 1),所以当n=k+1时,等式也成立.根据（1）（2）可知,等式2+4+6+⋯+2n=n2+n对任意n∈N∗都成立.变式下面关于用数学归纳法证明“2+4+6+⋯+2n=n2+n+1(n∈N∗)”的过程是否正确？说明理由.答案：证明假设n=k时等式2+4+6+⋯+2k=k2+k+1成立,那么当n=k+1时,2+4+6+⋯+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1.即当n=k+1时等式也成立.所以2+4+6+⋯+2n=n2+n+1对一切正整数n都成立.解析：不正确.用数学归纳法证明命题的两个步骤缺一不可,特别是第一步,往往看起来十分简单,但却是不可忽视的步骤.当n=1时,左边=2,右边=3,左边≠右边,事实上,等式对任何正整数n都不成立,即对一切正整数n,总有2+4+6+⋯+2n=n2+n<n2+n+1.解题感悟用数学归纳法证明等式的注意事项1.第一步是证明的基础,只有证明对第一个正整数n0等式成立,第二步证明才有意义.2.用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题的步骤中,证明的难点和重心是第二步,即“假设n =k 时命题成立,证明n =k +1 时命题也成立”.3.运用数学归纳法证明命题的注意事项：递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉. 迁移应用1.用数学归纳法证明：2+4+8+⋯+2n =2n+1−2(n ∈N ∗) . 答案：（1）当n =1 时,左边=2,右边=2,等式成立.（2）假设当n =k(k 是任意正整数)时,等式成立,即2+4+8+⋯+2k =2k+1−2 , 则当n =k +1 时,2+4+8+⋯+2k +2k+1=2k+1−2+2k+1=2⋅2k+1−2=2(k+1)+1−2 ,所以当n =k +1 时,等式也成立.根据（1）（2）可知,等式2+4+8+⋯+2n =2n+1−2 对任意n ∈N ∗ 都成立.探究点三 用数学归纳法证明与正整数有关的不等式精讲精练例已知数列{a n } 的前n 项和为S n , 若a n =√n(n +1) .利用数学归纳法证明：n(n+1)2＜S n ＜(n+1)22.答案：先证明S n ＜(n+1)22：（1）当n =1 时,S 1=a 1=√2＜(1+1)22=2, 不等式成立.（2）假设当n =k(k ∈N ∗) 时, S k ＜(k+1)22成立,则当n =k +1 时,S k+1=S k +√(k +1)(k +2)＜(k+1)22+√(k +1)(k +2)＜(k+1)22+(k+1)+(k+2)2=(k+2)22.所以当n =k +1 时,S k+1＜[(k+1)+1]22也成立.由（1）和（2）可知,原不等式对一切n ∈N ∗ 均成立. 同理,可以证明n(n+1)2＜S n ,所以n(n+1)2＜S n ＜(n+1)22.解题感悟关于证明不等式的放缩技巧1.本题在由n =k 到n =k +1 的推证过程中应用了“放缩”的技巧,使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.2.常见的不等式的放缩技巧：n<√n(n+1)<n+1；1 (n+1)2<1n(n+1)<1n2.迁移应用1.用数学归纳法证明：1n+1+1n+2+⋯.+13n＞56(n≥2,n∈N∗).答案：（1）当n=2时,左边=13+14+15+16＞56,不等式成立.（2）假设当n=k(k≥2,k∈N∗)时不等式成立,即1k+1+1k+2+⋯+13k＞56,则当n=k+1时,1 (k+1)+1+1(k+1)+2+⋯.+13k+13k+1+13k+2+13(k+1)=1k+1+1k+2+⋯+13k+(13k+1+13k+2+13k+3−1k+1)＞56+(13k+1+13k+2+13k+3−1k+1)＞56+(3×13k+3−1k+1)=56,所以当n=k+1时不等式也成立.由（1）和（2）可知,原不等式对一切n≥2,n∈N∗均成立.探究点四用数学归纳法证明整除问题精讲精练例用数学归纳法证明：11n+1+122n−1能被133整除(n∈N∗).答案：①当n=1时,11n+1+122n−1=112+12=133能被133整除,所以n=1时结论成立.②假设当n=k(k∈N∗)时,11k+1+122k−1能被133整除,那么当n=k+1时,11k+2+122k+1=11k+1×11+122k−1×122=11k+1×11+122k−1×11−122k−1×11+122k−1×122=11×(11k+1+122k−1)+133×122k−1.由归纳假设可知11×(11k+1+122k−1)+133×122k−1能被133整除,即11k+2+122k+1能被133整除,所以n=k+1时结论也成立.综上,由①②得,n∈N∗时11n+1+122n−1能被133整除.解题感悟证明整除问题的方法技巧——“凑项”证明整除问题的关键是“凑项”,即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,将n=k+1时的式子凑出n=k时的式子,从而通过归纳假设使问题获证.迁移应用1.用数学归纳法证明：42n+1+3n+2能被13整除,其中n∈N∗.答案：①当n=1时,42×1+1+31+2=91能被13整除.②假设当n=k时,42k+1+3k+2能被13整除,则当n=k+1时,42(k+1)+1+3k+3=42k+1⋅42+3k+2⋅3+42k+1⋅3−42k+1⋅3=42k+1⋅13+3⋅(42k+1+ 3k+2),∵42k+1⋅13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除,∴当n=k+1时结论也成立.由①②得n∈N∗时,42n+1+3n+2能被13整除.评价检测·素养提升课堂检测1.用数学归纳法证明“1−12+13−14+⋯.+12n−1−12n=1n+1+1n+2+⋯+12n”时,由n=k的假设证明n=k+1时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( )A.1k+1+⋯+12k+12k+1B.1k+1+⋯+12k+12k+1+12k+2C.1k+2+⋯+12k+12k+1D.1k+2+⋯+12k+1+12k+2答案：D解析：由所证明的等式,当n=k+1时,右边=1(k+1)+1+⋯+12(k+1)−1+12(k+1)=1k+2+⋯.+12k+1+12k+2,故选D．2.对于不等式√n2+n≤n+1(n∈N∗),某同学的证明过程如下：（1）当n=1时,√12+1≤1+1,不等式成立.（2）假设n=k(k∈N∗)时,不等式成立,即√k2+k≤k+1,则当n=k+1时,√(k+1)2+(k+1)=√k2+3k+2＜√(k2+3k+2)+(k+2)=√(k+2)2=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立.下列关于证明过程的叙述正确的是( )A.过程全都正确B.n=1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确答案：D解析：当n=1时,对不等式的验证正确,归纳假设也正确,但从n=k到n=k+1的推理过程中没有使用归纳假设,而是通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选D.3.（2021山东枣庄高二检测）用数学归纳法证明(n+1)(n+2)⋅(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×….×(2n−1)(n∈N∗)的过程中,当n从k到k+1时,等式左边应增乘的式子是( )A.2k+1B.(2k+1)(2k+2)C.(2k+1)(2k+2)k+1D.2k+2k+1答案：C4.在用数学归纳法证明等式1+2+3+⋯+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N∗)时,第一步验证n=1时,左边式子为.答案：1+2+3+4解析：当n=1时,n+3=4,故左边应为1+2+3+4.5.用数学归纳法证明：n∈N∗时,11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1.答案：①当n=1时,左边=11×3,右边=12×1+1=13,左边=右边,所以等式成立．②假设n=k(k∈N∗)时,等式成立,即有11×3+13×5+⋯+1(2k−1)(2k+1)=k2k+1,则当n=k+1时,1 1×3+13×5+⋯+1(2k−1)(2k+1)+1(2k+1)(2k+3)=k2k+1+1(2k+1)(2k+3)=k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3)=2k2+3k+1(2k+1)(2k+3)=k+12k+3=k+12(k+1)+1.所以n=k+1时,等式也成立.由①②可知,对一切n∈N∗等式都成立.素养演练数学运算与逻辑推理——归纳、猜想与证明1.（2020全国课标Ⅲ,17,12分）设数列{a n}满足a1=3,a n+1=3a n−4n. （1）计算a2,a3,猜想{a n}的通项公式并加以证明;（2）求数列{2n a n}的前n项和S n .答案：（1）由a1=3,a n+1=3a n−4n得a2=3a1−4=9−4=5,a3=3a2−8=15−8= 7,由数列{a n}的前三项可猜想数列{a n}是以3为首项,2为公差的等差数列,即a n=2n+1. 证明如下：当n=1时,a1=3成立;假设n=k时,a k=2k+1成立,那么n=k+1时,a k+1=3a k−4k=3(2k+1)−4k=2k+3=2(k+1)+1,即当n= k+1时也成立.则对任意的n∈N∗,都有a n=2n+1成立.（2）由（1）可知,a n⋅2n=(2n+1)⋅2n,则S n=3×2+5×22+7×23+⋯+(2n−1)⋅2n−1+(2n+1)⋅2n,①2S n=3×22+5×23+7×24+⋯+(2n−1)⋅2n+(2n+1)⋅2n+1,②由①−②得−S n=6+2×(22+23+⋯+2n)−(2n+1)⋅2n+1=6+2×22×(1−2n−1)1−2−(2n+1)⋅2n+1=(1−2n)⋅2n+1−2,即S n=(2n−1)⋅2n+1+2.素养探究：归纳—猜想—证明的思想方法：数学归纳法作为证明与正整数有关的命题的一种重要方法,常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本推理证明的思想方法中.一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论;另一方面,要能用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性,形成“归纳—猜想—证明”的思想方法,这是发生发展新结论更重要的方法途径.迁移应用1.已知数列{a n}的前n项和为S n,其中a n=S nn(2n−1),且a1=13.（1）求a2,a3;（2）猜想数列{a n}的通项公式,并证明.答案：（1）由题意得a2=S22×(2×2−1)=a1+a26,又a1=13,解得a2=115,类似地求得a3=135.（2）由a1=11×3,a2=13×5,a3=15×7,…,猜想a n=1(2n−1)(2n+1).证明：①当n=1时,由(1)可知等式成立;②假设当n=k时等式成立,即a k=1(2k−1)(2k+1),那么当n=k+1时,由题设a n=S nn(2n−1),得a k=S kk(2k−1),a k+1=S k+1(k+1)(2k+1),所以S k=k(2k−1)a k=k(2k−1)(2k−1)(2k+1)=k2k+1,S k+1=(k+1)(2k+1)a k+1,a k+1=S k+1−S k=(k+1)(2k+1)a k+1−k2k+1,因此,k(2k+3)a k+1=k2k+1,所以a k+1=1(2k+1)(2k+3)=1[2(k+1)−1][2(k+1)+1],即当n=k+1时等式成立.由①②可知等式对任何n∈N∗都成立,即a n=1(2n−1)(2n+1).课时评价作业基础达标练1.用数学归纳法证明1+a+a2+⋯+a n+1=1−a n+21−a(n∈N∗,a≠1),在验证n=1时,式子左边为( )A.1B.1+a+a2C.1+aD.1+a+a2+a3答案：B2.观察等式：1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10= 72,……,则第n个式子是( )A.n+(n+1)+(n+2)+⋯+(2n−1)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+⋯+(2n−1)=(2n−1)2C.n+(n+1)+(n+2)+⋯+(3n−2)=(2n−1)2D.n+(n+1)+(n+2)+⋯+(3n−1)=(2n−1)2答案：C3.(2020浙江绍兴高二检测)利用数学归纳法证明不等式1+12+13+⋯.+12n−1＜f(n)(n≥2,n∈N∗)的过程中,由n=k变到n=k+1时,式子左边增加了( ) A.1项B.k项C.2k−1项D.2k项答案：D4.用数学归纳法证明n2≤2n(n为自然数且n≥4)时,第一步应( )A.证明当n=0时,n2＜2nB.证明当n=5时,n2＜2nC.证明当n =4 时,n 2=2n ,当n =5时,n 2＜2nD.证明当n =5 时,n 2＜2n ,当n =6时,n 2＜2n 答案：C5.(多选)在用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n(n −3) 条时,下列说法正确的是( ) A.第一步检验第一个值n 0 等于1 B.第一步检验第一个值n 0 等于3C.第二步假设凸k 边形的对角线为12k(k −3) 条,证明凸k +1 边形的对角线为12k(k −2)(k ≥3) 条D.第二步假设凸k 边形的对角线为12k(k −3) 条,证明凸k +1 边形的对角线为12(k +1)(k −2)(k ≥3) 条 答案：B ; D6.(2020湖南长沙明德中学高二检测)已知f(n)=(2n +7)⋅3n +9 ,若存在自然数m ,使得对任意n ∈N ∗ ,都能使m 整除f(n) ,则m 的最大值为( ) A.30B.26 C.36D.6 答案：C7.用数学归纳法证明不等式∑1i 3n i=1<2n−1n(n ≥2,n ∈N) 时,第一步应验证的不等式为 . 答案：1+123＜328.(2020河南南阳高二月考)用数学归纳法证明“当n ∈N ∗ 时,1+2+22+23+⋯+25n−1 是31的倍数”时,当n =1 时,原式为 ,从n =k 到n =k +1 时需增添的项是 . 答案：1+2+22+23+24 ;; 25k +25k+1+25k+2+25k+3+25k+49.已知平面上有n(n ∈N ∗,n ≥3) 个点,其中任何三点都不共线,过这些点中任意两点作直线,设这样的直线共有f(n) 条,则f(5)= ,f(n +1)=f(n)+ . 答案：10; n解析：由题意得当n =k 时,有f(k) 条直线.当n =k +1 时,增加的第k +1 个点与原k 个点共连成k 条直线,即增加k 条直线,所以f(k +1)=f(k)+k ,即f(n +1)=f(n)+n , 又f(2)=1 ,所以f(3)=3,f(4)=6,f(5)=10 .10.如图,第n 个图形是由正n +2 边形“扩展”而来(n =1,2,3,…) ,则第n −2(n ≥3,n ∈N ∗) 个图形中共有 个顶点.答案：n(n +1)解析：当n =1 时,顶点共有3+3×3=3×4=12(个), n =2 时,顶点共有4+4×4=4×5=20(个), n =3 时,顶点共有5+5×5=5×6=30(个), n =4 时,顶点共有6+6×6=6×7=42(个),故第n 个图形共有顶点(n +2)+(n +2)(n +2)=(n +2)(n +3) 个, 所以第n −2 个图形共有顶点n(n +1) 个.素养提升练11.设f(x) 是定义在正整数集上的函数,且f(x) 满足：当f(k)≥k 2 成立时,总可推出f(k +1)≥(k +1)2 成立.那么,下列命题恒成立的是( ) A.若f(3)≥9 成立,则当k ≥1 时,均有f(k)≥k 2 成立 B.若f(5)≥25 成立,则当k ≤5 时,均有f(k)≥k 2 成立 C.若f(7)＜49 成立,则当k ≥8 时,均有f(k)＞k 2 成立 D.若f(4)=25 成立,则当k ≥4 时,均有f(k)≥k 2 成立 答案：D解析：对于选项A,若f(3)≥9 ,则当k ≥3 时,均有f(k)≥k 2 成立,故选项A 不符合题意. 对于选项B,要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,故选项B 不符合题意. 对于选项C,没有说明f(8)≥82 ,故选项C 不符合题意.对于选项D,f(4)=25≥42 ,由题设的递推关系,可知结论成立,故选D. 12.用数学归纳法证明2n −12n +1＞nn+1对任意的n ≥k(n,k ∈N ∗) 都成立,则k 的最小值为( ) A.1B.2C.3D.4 答案：C解析：当n =1 时,左边=2−12+1=13,右边=11+1=12,13＜12,不等式不成立;当n =2 时,左边=22−122+1=35, 右边=22+1=23,35＜23, 不等式不成立; 当n =3 时,左边=23−123+1=79, 右边=33+1=34=68,79＞68, 不等式成立. 若对任意n ≥k(n,k ∈N ∗) 都成立,则k 的最小值为3.13.(2020四川宜宾宜宾珙县中学高二月考)若数列{a n } 满足a 1=1 ,a n+1 =2a n +1 (n =1,2,3,…),则a 5= ,归纳猜想a n = . 答案：31; 2n −1解析：因为a n+1=2a n +1(n =1,2,3,…),且a 1=1 .所以a 2=2×1+1=3,a 3=2×3+1=7,a 4=2×7+1=15,a 5=2×15+1=31 . 猜想a n =2n −1 用数学归纳法证明： ①当n =1 时,显然猜想成立;②假设n =k 时,a k =2k −1, 则a k+1=2a k +1=2×(2k −1)+1=2k+1−1, 故n =k +1 时,猜想也成立.综上,对所有正整数n ,都有a n =2n −1 .14.用数学归纳法证明：n 3+(n +1)3+(n +2)3 能被9整除(n ∈N ∗) . 答案：①当n =1 时,13+23+33=36 能被9整除,所以结论成立; ②假设当n =k(k ∈N ∗) 时,结论成立, 即k 3+(k +1)3+(k +2)3 能被9整除, 则当n =k +1 时,(k +1)3+(k +2)3+(k +3)3=[k 3+(k +1)3+(k +2)3]+[(k +3)3−k 3] =[k 3+(k +1)3+(k +2)3]+9k 2+27k +27 =[k 3+(k +1)3+(k +2)3]+9(k 2+3k +3)．因为k 3+(k +1)3+(k +2)3 能被9整除,9(k 2+3k+3) 也能被9整除,所以(k +1)3+(k +2)3+(k +3)3 也能被9整除,即n =k +1 时,结论也成立． 由①②知,命题对任何n ∈N ∗ 都成立．15.是否存在常数a 、b 、c, 使得等式1×22+2×32+3×42+⋯+ n(n +1)2=n(n+1)12(an 2+bn +c) 对任何n ∈N ∗ 都成立？并证明你的结论.答案：假设存在常数a 、b 、c 使题中式子对任何n ∈N ∗ 都成立,则当n =1,2,3 时该式也成立,则{1×22=16(a +b +c),1×22+2×32=12(4a +2b +c),1×22+2×32+3×42=9a +3b +c,解方程组,得a =3,b =11,c =10 .下面用数学归纳法证明等式 1×22+2×32+3×42+⋯+n(n +1)2=n(n+1)12⋅(3n 2+11n +10) 对任何n ∈N ∗ 都成立.①当n =1 时,等式显然成立.②假设n=k时,等式成立.即1×22+2×32+3×42+⋯+k(k+1)2=k(k+1)12(3k2+11k+10),那么当n=k+1时,1×22+2×32+3×42+⋯+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2=k(k+1)12(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=k+112[k(3k2+11k+10)+12(k+2)2]=(k+1)(k+2)12(3k2+17k+24)=(k+1)[(k+1)+1]12[3(k+1)2+11(k+1)+10].即当n=k+1时,等式也成立.综上所述,存在常数a=3,b=11,c=10,使得等式1×22+2×32+3×42+⋯+n(n+1)2=n(n+1)12(an2+bn+c)对任何n∈N∗都成立.创新拓展练16.已知数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=(1+cos2nπ2)a n+sin2nπ2，n=1,2,3，….（1）求a3,a4以及数列{a n}的通项公式;（2）设b n=a2n−1a2n ,S n=b1+b2+⋯+b n.证明：当n≥6时,|S n−2|＜1n.解析：命题分析本题综合考查数列的通项公式与前n项和、三角函数、不等式以及数学归纳法等知识,考查数学运算和逻辑推理素养.答题要领（1）先求出a3,a4,再根据数列的递推公式证明数列的奇数项为等差数列,偶数项为等比数列,并求通项公式.（2）先利用错位相减法求数列的前n项和,再利用数学归纳法证明与正整数有关的不等式. 答案：（1）因为a1=1,a2=2,所以a3=(1+cos2π2)a1+sin2π2=a1+1=2,a4=(1+cos2π)a2+sin2π=2a2=4.一般地,当n=2k−1(k∈N∗)时,a2k+1=[1+cos2(2k−1)π2]a2k−1+sin2(2k−1)π2=a2k−1+1,即a2k+1−a2k−1=1.所以数列{a2k−1}是首项为1,公差为1的等差数列, 因此a2k−1=k.当n=2 k(k∈N∗)时,a2k+2=(1+cos22kπ2)a2k+sin22kπ2=2a2k,即a2k+2a2k=2.所以数列{a2 k}是首项为2,公比为2的等比数列, 因此a2 k=2k故数列{a n}的通项公式为（2）由（1）知,b n=a2n−1a2n =n2n,所以S n=12+222+323+⋯+n2n,①1 2S n=122+223+324+⋯+n2n+1,②①-②得,12S n=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=12[1−(12)n]1−12−n2n+1=1−12n−n2n+1,所以S n=2−12n−1−n2n=2−n+22n.故要证明当n≥6时,|S n−2|＜1n 成立,只需证明当n≥6时,n(n+2)2n＜1成立.下面用数学归纳法证明：(i)当n=6时,6×(6+2)26=4864=34＜1成立;(ii)假设当n=k(k≥6)时不等式成立,即k(k+2)2k＜1. 则当n=k+1时,(k+1)(k+3)2k+1=k(k+2)2k×(k+1)(k+3)2k(k+2)＜(k+1)(k+3)(k+2)⋅2k＜1.由(i)(ii)得当n≥6时,n(n+2)2n＜1.即当n≥6时,|S n−2|＜1n.方法感悟解答数列综合问题的方法技巧：1.根据条件求出数列的前几项,呈现数列的项的规律,如果数列的奇数项和偶数项分别由等差数列和等比数列构成,那么数列的通项公式要通过奇偶讨论表示为分段函数的形式.2.如果要证明的不等式与正整数有关,通常运用数学归纳法进行证明,注意数学归纳法证明命题的三个步骤.。
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（6）把母式化为合取范式：
x y[~P(x) ~P(y)P(f(x,y))][~P(x) Q(x,g(x))] [~P(x) ~P(g(x))]
（7）消去全称量词和合取连接词：
例题分析
例4.7 将合式公式化为子句形。
x[P(x) [ y[P(y) P( f (x, y))]~ yQ [ (x, y) P(y)]]]
解：（1）消去蕴涵符号： 这可以利用等价式： PQ ~ PQ 得到：
x[(~P(x)[y[~P(y) P(f(x,y))]~y[~Q(x,y) P(y)]]]
4.4 归结演绎推理
4.4.1 子句集及其化简
4.4.2 鲁滨逊归结原理
4.4.3 归结反演推理的归结策略
4.4.4 用归结反演求取问题的答案
4.4.1 子句型
1. 子句与子句集
定义4.11 原子谓词公式及其否定统称为文字。 例如，P(x)、Q(x)、﹁ P(x)、 ﹁ Q(x)等都是文字。 定义4.12 任何文字的析取式称为子句。 例如，P(x)∨Q(x)，P(x，f(x))∨Q(x，g(x))都是子句。 定义4.13 不含任何文字的子句称为空子句。 由于空子句不含有任何文字，也就不能被任何解释所满足， 因此空子句是永假的，不可满足的。 空子句一般被记为□或NIL。 定义4.14 由子句或空子句所构成的集合称为子句集。
（2）减少否定符号的辖域，把“ 靠谓词的位置上： 这可以利用下述等价式：
~ ”移到紧
~(~ P) P ~(PQ ) ~ P~Q ~(PQ ) ~ P~Q ~( x)P(x)~ P ~(x)P( x)~ P
得到：
x[(~P(x)[y[~P(y) P(f(x,y))]y[Q(x,y) ~P(y)]]]
4.4.1 子句型
2. 子句集的化简(3/6)
(3) 对变元标准化 在一个量词的辖域内，把谓词公式中受该量词约束的变元全部用 另外一个没有出现过的任意变元代替，使不同量词约束的变元有不 同的名字。 例如，上式经变换后为 (∀x)((∃y)﹁P(x, y)∨(∃z)( Q(x，z) ∧﹁R(x, z))) (4) 化为前束范式 化为前束范式的方法:把所有量词都移到公式的左边，并且在移动 时不能改变其相对顺序。由于第(3)步已对变元进行了标准化，每个 量词都有自己的变元，这就消除了任何由变元引起冲突的可能，因 此这种移动是可行的。 例如，上式化为前束范式后为 (∀x)(∃y) (∃z)(﹁P(x, y)∨( Q(x, z) ∧﹁R(x, z)))
4.4.1 子句型
2. 子句集的化简(6/8) 消去合取词 在母式中消去所有合取词，把母式用子句集的形式表示出来。其中， 子句集中的每一个元素都是一个子句。 例如，上式的子句集中包含以下两个子句 ﹁P(x,f(x))∨Q(x,g(x)) ﹁P(x,f(x))∨﹁R(x,g(x)) (9) 更换变量名称 对子句集中的某些变量重新命名，使任意两个子句中不出现相同的变 量名。由于每一个子句都对应着母式中的一个合取元，并且所有变元都 是由全称量词量化的，因此任意两个不同子句的变量之间实际上不存在 任何关系。这样，更换变量名是不会影响公式的真值的。 例如，对前面的公式，可把第二个子句集中的变元名x更换为y，得到 如下子句集 ﹁P(x,f(x))∨Q(x,g(x)) ﹁P(y,f(y))∨﹁R(y,g(y))
4.4.1 子句型
2. 子句集的化简(4/6)
(5) 消去存在量词 消去存在量词时，需要区分以下两种情况： 若存在量词不出现在全称量词的辖域内（即它的左边没有全称量 词），只要用一个新的个体常量替换受该存在量词约束的变元，就可 消去该存在量词。 若存在量词位于一个或多个全称量词的辖域内，例如 (∀x1)…(∀xn) (∃y)P(x1，x2 ,…, xn ,y) 则需要用Skolem函数f(x1，x2 ,…, xn)替换受该存在量词约束的变元y， 然后再消去该存在量词。 例如，上步所得公式中存在量词(∃y)和(∃z)都位于(∀x)的辖域内，因 此都需要用Skolem函数来替换。设替换y和z的Skolem函数分别是f(x) 和g(x)，则替换后的式子为 (∀x)(﹁P(x,f(x))∨(Q(x,g(x))∧﹁R(x,g(x))))
4.4.1 子句型
2. 子句集的化简(5/6)
(6) 化为Skolem标准形 Skolem标准形的一般形式为 (∀x1)…(∀xn) M(x1,x2,……,xn) 其中， M(x1,x2,……,xn)是Skolem标准形的母式，它由子句的合取所构成。 把谓词公式化为Skolem标准形需要使用以下等价关系 P∨(Q∧R) ⇔ (P∨Q)∧(P∨R) 例如，前面的公式化为Skolem标准形后为 (∀x)((﹁P(x,f(x))∨Q(x,g(x))∧(﹁P(x,f(x))∨﹁R(x,g(x)))) (7) 消去全称量词 由于母式中的全部变元均受全称量词的约束，并且全称量词的次序已 无关紧要，因此可以省掉全称量词。但剩下的母式，仍假设其变元是被 全称量词量化的。 例如，上式消去全称量词后为 (﹁P(x,f(x))∨Q(x,g(x)) ∧(﹁P(x,f(x))∨﹁R(x,g(x)))
（ 3 ）变量标准化：重新命名变元名，使不同量词 约束的变元有不同的名字：
x[~P(x)[y[~P(y)P(f(x,y))]w[Q(x,w) ~P(w)]]]
（4）消去存在量词：
x[~P(x)[y[~P(y)P(f(x,y))][Q(x,g(x)) ~P(g(x))]]]
（5）化为前束形：
定理4.1 设有谓词公式F，其标准子句集为S，则 F为不可满足的充要条件是S为不可满足的。
作业：
习题：4.3，4.4
[~P(x) ~P(y)P(f(x,y))]
[~P(x) Q(x,g(x))]
[~P(x) ~P(g(x))]
（8）更改变量名，有时称为变量分离标准化。 于是有：
~ P(x2)Q(x2, g(x2))
~ P(x3)~ P(g(x3))
~ P(x1)~ P(y)P( f (x1, y))
必须指出: 一个子句内的文字可以含有变量，但 这些变量总是被理解为全称量词量化了的变量。
4.4.1 子句型
3. 子句集的应用
在上述化简过程中，由于在消去存在量词时所用的Skolem函数 可以不同，因此化简后的标准子句集是不唯一的。 这样，当原谓词公式为非永假时，它与其标准子句集并不等价。 但当原谓词公式为永假（或不可满足）时，其标准子句集则一定是 永假的，即Skolem化并不影响原谓词公式的永假性。 这个结论很重要，是归结原理的主要依据，可用定理的形式来 描述。
4.4.1 子句型
2. 子句集的化简(1/6)
在谓词逻辑中，任何一个谓词公式都可以通过应用等价关系及推理 规则化成相应的子句集。其化简步骤如下： (1) 消去连接词“→”和“↔” 反复使用如下等价公式： P→Q ⇔﹁ P∨Q P↔Q ⇔ (P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q) 即可消去谓词公式中的连接词“→”和“↔”。 例如公式 (∀x)((∀y)P(x,y)→﹁ (∀y)(Q(x,y)→R(x,y))) 经等价变化后为 (∀x)(﹁(∀y)P(x,y)∨﹁ (∀y)(﹁Q(x,y)∨R(x,y)))
第4章 确定性推理
4.1 推理的基本概念
4.2 推理的逻辑基础
4.3 自然演绎推理
4.4 归结演绎推理(1)
4.4 归结演绎推理
归结演绎推理是一种基于鲁宾逊（Robinson）归结原理的机器推理技 术。鲁宾逊归结原理亦称为消解原理，是鲁宾逊于1965年在海伯伦 （Herbrand）理论的基础上提出的一种基于逻辑的“反证法”。 在人工智能中，几乎所有的问题都可以转化为一个定理证明问题。定 理证明的实质，就是要对前提P和结论Q，证明P→Q永真。 由4.2节可知，要证明P→Q永真，就是要证明P→Q在任何一个非空的 个体域上都是永真的。这将是非常困难的，甚至是不可实现的。 为此，人们进行了大量的探索，后来发现可以采用反证法的思想，把 关于永真性的证明转化为关于不可满足性的证明。 即要证明P→Q永真，只要能够证明P∧﹁Q是不可满足的就可以了(原 因是﹁ (P→Q) ⇔ ﹁(﹁ P∨Q) ⇔ P∧﹁ Q 。 这方面最有成效的工作就是鲁宾逊归结原理。它使定理证明的机械化 成为现实。
4.4.1 子句型
2. 子句集的化简(2/6)
(2) 减少否定符号的辖域 反复使用双重否定率 ﹁(﹁P) ⇔ P 摩根定律 ﹁(P∧Q) ⇔﹁P∨﹁Q ﹁(P∨Q) ⇔﹁P∧﹁Q 量词转换率 ﹁ (∀x)P(x) ⇔ (∃x) ﹁P(x) ﹁ (∃x)P(x) ⇔ (∀x)￢P(x) 将每个否定符号“﹁”移到仅靠谓词的位置，使得每个否定符号最 多只作用于一个谓词上。 例如，上式经等价变换后为 (∀x)((∃y)﹁P(x，y)∨(∃y)( Q(x，y) ∧﹁R(x，y)))