第5章测量误差基本知识讲课教案

1
3
179° 59ˊ 58" +2
4
180° 00ˊ 07"
-7
49
4
179° 59ˊ 56" +4
16
180° 00ˊ 02"
-2
4
5
180° 00ˊ 01" -1
1
180° 00ˊ 01"
-1
1
6
180° 00ˊ 00" 0
0
179° 59ˊ 59"
+1
1
7
180° 00ˊ 04" -4
16
179° 59ˊ 52"
2.4
14
概率
如果函数 f ( x)是连续型 随机变量X的分布密度函数
P(x1 X x2)
x2 x1
f (x)dx
x1, x2 (,)
f (x)dx 1
15
正态分布
f (x)
1
e
(
x ) 2 2
2
2
x
0
若 0, 1
则 f (x)
1
(x)2
e 2
2
Hale Waihona Puke Baidu
16
两组观测值中误差图形的比较：
21 0.059 44 0.123
16 0.045 33 0.092
13 0.036 26 0.073
5 0.014 11 0.031
2 0.006 6 0.017
00
0
0
177 0.495 358 1.000
9
有限性：
偶然误差应
小于限值。
渐降性：
误差小的出 现的概率大
对称性：
绝对值相等 的正负误差 概率相等
变量在这个区间内取值的概率
18
当X
~
N
(
,
2
)时
随机变量 X服从参数
为 , 2的正态分布
f (x) 1
f ( x) P ( X ) 0.6826
2
f ( x) P ( 2 X 2 ) 0.9545 2
3
f ( x) P ( 3 X 3 ) 0.9973 3
抵偿性：当观测次数无 限增大时，偶然误差的 平均数趋近于零。
f (x)
1
(x)2
e 2
2
11
§5 -2评定精度的标准
一、方差和标准差（中误差）
方差： 2 D ( )
2 f ( )d
n
离散型 2
p 2, ii
i 1
n
当 p
1 , 2
2
中误差
i
i 1
, 叫标准差
in
n
式中： 是观测值 l 的偶然误差
结论：观测误差不可避免(粗差除外)
2
二、测量误差的分类与对策
（一）分类
系统误差——在相同的观测条件下，误差
出现在符号和数值相同，或按一定的规律
变化。
例：
误差
处理方法
钢尺尺长误差Dk 钢尺温度误差Dt
水准仪视准轴误差i
计算改正 计算改正 操作时抵消(前后视等距)
经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)
第5章测量误差基本知识
一.产生测量误差的原因
产生测量误差的三大因素： 仪器原因 仪器精度的局限,轴系残余误差,等。 人的原因 判断力和分辨率的限制,经验,等。 外界影响 气象因素(温度变化,风,大气折光)
有关名词： 观测条件: 上述三大因素总称为观测条件 等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各 次观测，称为等精度观测。
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区别错误与误差的阀值
随机变量X在区间（x1x2） 之间的概率为
P(x1 X x2)
x2 x1
f (x)dx
x1, x2 (,)
f (x)dx 1 则函数 f ( x) 是连续型随 机变量X的分布密度函数
k/d
抵偿
性：当观
测次数无 限增大时， 偶然误差 的平均数
趋近于零。
-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 1X0 =
偶然误差的特性
有限性：在有限次观测 中，偶然误差应小于限 值。
渐降性：误差小的出现 的概率大
对称性：绝对值相等的 正负误差概率相等
+8
64
8
179° 59ˊ 57" +3
9
180° 00ˊ 00"
0
0
9
179° 59ˊ 58" +2
4
179° 59ˊ 57"
+3
9
10
180° 00ˊ 03"
-3
9
180° 00ˊ 01"
-1
1
Σ ||
24
72
24
130
中误差 m1
2 2 . 7 n
m2
2 3 . 6 n
1
2
n
真真观
误值测
差
值
7
例如：
对358个三角形在相同的
观测条件下观测了全部内
角，三角形内角和的误差
i为
i= 180 –(i +i+
I)
其结果如表6-1，图6-
1,
分析三角形内角和的误 差I的规律。
8
误差区间 dΔ " 0~3 3~6 6~9 9~12
12~15 15~18 18~21 21~24 24以上
i
i
12
§5 -2评定精度的标准
一、中误差
m [] n
平均误差
n
二、相对中误差
l 13
按观测值的真误差计算中误差
次序
第一组观测
第二组观测
观测值 l
Δ
Δ2
观测值 l
Δ
Δ2
1
180° 00ˊ 03" -3
9
180° 00ˊ 00"
0
0
2
180° 00ˊ 02" -2
4
159° 59ˊ 59"
+1
……
…… 3
二、测量误差的分类与对策
（一）分类 偶然误差——在相同的观测条件下，误 差出现的符号和数值大小都不相同，从 表面看没有任何规律性，但大量的误差 有“统计规律”
例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，
导致观测值产生误差 。
粗差——特别大的误差（错误）
4
（二）处理原则
系统误差——找出规律，加以改正 偶然误差——多余观测，制定限差 粗差——细心，多余观测
m1=2.7 m2=3.6
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
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正态分布的特征
正态分布密度以 x为对称轴,并在 x 处
达到最大。 当 x 时，f(x) 0，所以f(x)以x轴
为渐近线。
用求导方法可知，在 x 处f(x)有两
个拐点。 对分布密度在某个区间内的积分就等于随机
5
如何处理含有偶然误差的数据？
例如： 对同一量观测了n次
观测值为 l1,l2,l3,….ln
如何取值？
如何评价数据的精度？
6
三.偶然误差的特性
1.偶然误差的定义：
设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，
得n个观测值 l1,l2, ,ln，则产生了n个真误 差 1,2,,n：
i Xli
(5-1-1)
Σ
表6-1
负误差
K
K/n
45 0.126
40 0.112
33 0.092
23 0.064
17 0.047
13 0.036
6 0.017
4 0.011
0
0
181 0.505
偶然误差的统计
正误差 K K/n 46 0.128
误差绝对值
K
K/n
91 0.254
41 0.115 81 0.226
33 0.092 66 0.184