2020-2021学年福建省中考数学模拟试卷(五)及答案解析
福建省泉州市安溪县202X届中考数学模拟试卷含答案
202X年福建省泉州市安溪县中考数学模拟试卷一、选择题每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答．1．计算：（﹣2）0=（）A．﹣2 B．2 C．1 D．02．下列式子运算正确的是（）A．a6÷a2=a4B．a2+a3=a5C．（a+1）2=a2+1 D．3a﹣2a=13．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（）甲乙丙丁平均数80 85 85 80方差42 42 54 59A．甲B．乙C．丙D．丁4．下列图形中，是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B．C．D．5．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）A．B．C．D．6．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70°，那么∠A的度数为（）A．70°B．35°C．30°D．20°7．若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题在答题卡上相应题目的答题区域内作答．8．一种原子的直径为0.00026微米，则数据0.00026用科学记数法表示为．9．分解因式：3x2﹣12=．10．a3•a2=．11．如图，P是反比例函数y=图象上一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积S△POA=．12．某种商品的标价为200元，按标价的八折出售，这时仍可盈利25%，则这种商品的进价是元．13．正多边形的一个外角是36°，则边数n=．14．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠2=35°，则∠1=°．15．若点（3﹣x，x﹣1）在第二象限，则x的取值范围是．16．如图，△ABC的3个顶点都在5×5的网格（202X•安溪县模拟）如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BA，P是CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R．则：（1）DE=；（2）PQ+PR=．三、解答题（共89分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答．18．计算：2sin60°﹣（﹣3）2+|﹣2|﹣（﹣1）202X．19．先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x=﹣3．20．如图，已知AF=BE，∠A=∠B，AC=BD，求证：∠F=∠E．21．某校组织了九年级学生英语口语模拟测试，现从中随机抽取部分学生的口语模拟测试成绩统计如下．口语成绩（分）人数（人）百分比（%）26 8 1627 2428 1529 m30 5根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中的圆心角a=°；（2）统计表中样本容量m=；（3）已知该校九年级共有400名学生，如果口语成绩达28分以上（含28分）为优秀，请估计该校九年级学生口语成绩达到优秀的总人数．22．城区学校组织“书香谜缘”灯谜竞猜比赛．某校拟从3名男生（以A1、A2、A3表示）和2名女生（以B1、B2表示）中选取3人组队参赛．（1）若从5位备选学生中随机选取1人担任队长，则选取到男生的概率是；（2）若已知男生A1选取为队长，在其余4人中选取2人作为队员，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出选取的两队员恰好是1男1女的概率．23．某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知3件甲种玩具的进价与2件乙种玩具的进价的和为142元，2件甲种玩具的进价与4件乙种玩具的进价的和为164元．（1）求每件甲、乙两种玩具的进价分别是多少？（2）如果购进甲种玩具超过10件，超出部分可以享受7折优惠．超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过10件，试帮助超市判断购进哪种玩具省钱．24．如图，A n系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，A n纸对裁后可以得到两张A n+1纸．（1）填空：A1纸面积是A2纸面积的倍，A2纸周长是A4纸周长的倍；（2）根据A n系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）25．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C 的抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为2，求出△BCD的面积；（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为A（12，0），C（0，4），点D为OA边的中点，连接BD．（1）直接写出：点D的坐标：；tan∠BDA=；（2）试判定以A点为圆心，以3为半径的⊙A与直线BD有多少个公共点？（3）如图2，若点M从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→A→B运动，同时点N从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿O→C→B→A运动，当点M，N相遇时运动即停止，设运动时间为t（秒），求使得△MON为直角三角形时所有t值和取值范围．202X年福建省泉州市安溪县中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答．1．计算：（﹣2）0=（）A．﹣2 B．2 C．1 D．0【考点】零指数幂．【分析】根据任何非0数的0次幂等于1进行计算即可．【解答】解：：（﹣2）0=1．故选：C．【点评】本题主要考查了零指数幂的运算，掌握任何非0数的0次幂等于1是解题的关键．2．下列式子运算正确的是（）A．a6÷a2=a4B．a2+a3=a5C．（a+1）2=a2+1 D．3a﹣2a=1【考点】同底数幂的除法；合并同类项；完全平方公式．【分析】根据同底数幂的除法、同类项和完全平方公式判断即可．【解答】解：A、a6÷a2=a4，正确；B、a2与a3不是同类项不能合并，错误；C、（a+1）2=a2+2a+1，错误；D、3a﹣2a=a，错误；故选A．【点评】此题考查同底数幂的除法、同类项和完全平方公式，关键是根据法则进行计算．3．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（）甲乙丙丁平均数80 85 85 80方差42 42 54 59A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差；算术平均数．【专题】常规题型．【分析】此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的同学参赛．【解答】解：由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙．故选：B．【点评】本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．4．下列图形中，是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．【解答】解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．5．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，那么=；由AE：ED=2：1可设ED=k，得到AE=2k，BC=3k；得到=，即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴=，设ED=k，则AE=2k，BC=3k；∴==，故选A．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题；得出△DEF∽△BCF是解题的关键．6．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70°，那么∠A的度数为（）A．70°B．35°C．30°D．20°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】由于直径AB⊥CD，由垂径定理知B是的中点，进而可根据等弧所对的圆心角和圆周角的数量关系求得∠A的度数．【解答】解：∵直径AB⊥CD，∴B是的中点；∴∠A=∠BOC=35°；故选B．【点评】此题主要考查的是垂径定理和圆周角定理的综合应用，理解等弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决问题的关键．7．若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】一次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题；存在型．【分析】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解．【解答】解：∵a+b+c=0，且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定），∵a＜0，∴函数y=cx+a的图象与y轴负半轴相交，∵c＞0，∴函数y=cx+a的图象经过第一、三、四象限．故选C．【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先确定出a、c的正负情况是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题在答题卡上相应题目的答题区域内作答．8．一种原子的直径为0.00026微米，则数据0.00026用科学记数法表示为 2.6×10﹣4．【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00026=2.6×10﹣4．故答案为：2.6×10﹣4．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．分解因式：3x2﹣12=3（x﹣2）（x+2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=3（x2﹣4）=3（x+2）（x﹣2）．故答案为：3（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．10．a3•a2=a5．【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n=a m+n．【解答】解：a3•a2=a3+2=a5．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握性质是解题的关键．11．如图，P是反比例函数y=图象上一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积S△POA=3．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】设出点P的坐标，△OAP的面积等于点P的横纵坐标的积的一半，把相关数值代入即可．【解答】解：设点P的坐标为（x，y）．∵P（x，y）在反比例函数y=的图象上，∴xy=6，∴△OPM的面积S△POA=xy=3，故答案为：3．【点评】题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．12．某种商品的标价为200元，按标价的八折出售，这时仍可盈利25%，则这种商品的进价是128元．【考点】一元一次方程的应用．【分析】设每件的进价为x元，根据八折出售可获利25%，根据：进价=标价×8折﹣获利，可得出方程：200×80%﹣25%x=x，解出即可．【解答】解：设每件的进价为x元，由题意得：200×80%=x（1+25%），解得：x=128，故答案为：128．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，关键是仔细审题，根据等量关系：进价=标价×8折﹣获利，利用方程思想解答．13．正多边形的一个外角是36°，则边数n=10．【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【解答】解：360°÷36°=10．所以这个正多边形是正十边形．故答案为：10．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．14．如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠2=35°，则∠1=55°．【考点】平行线的性质．【分析】如图，由平行线的性质可求得∠3，再由垂直和平角的定义可求得∠1．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2=∠3=35°，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠1=180°﹣∠ABC﹣∠3=180°﹣90°﹣35°=55°，故答案为：55．【点评】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质求得∠3的大小是解题的关键．15．若点（3﹣x，x﹣1）在第二象限，则x的取值范围是x＞3．【考点】点的坐标；解一元一次不等式组．【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．【解答】解：∵点（3﹣x，x﹣1）在第二象限，∴，解不等式①得，x＞3，解不等式②得，x＞1，所以不等式组的解集是x＞3．故答案为：x＞3．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．16．如图，△ABC的3个顶点都在5×5的网格（202X•安溪县模拟）如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BA，P是CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R．则：（1）DE=；（2）PQ+PR=．【考点】正方形的性质．【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理得出BD=，进而解答即可；（2）连接BP，过C作CM⊥BD，利用面积法求解，PQ+PR的值等于C点到BE的距离，即正方形对角线的一半．【解答】解：（1）∵边长为1的正方形ABCD，∴DB=，∴DE=﹣1；（2）连接BP，过C作CM⊥BD，如图所示：∵BC=BE，∴S△BCE=S△BPE+S△BPC=BC×PQ+BE×PR=BC×（PQ+PR）=BE×CM，∴PQ+PR=CM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，CD=BC=1，∠CBD=∠CDB=45°，∴BD=，∵BC=CD，CM⊥BD，∴M为BD中点，∴CM=BD=，即PQ+PR值是．故答案为：；．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法求解是解决问题的关键．三、解答题（共89分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答．18．计算：2sin60°﹣（﹣3）2+|﹣2|﹣（﹣1）202X．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=2×﹣9+2﹣﹣（﹣1）=﹣6．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x=﹣3．【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】计算题．【分析】原式利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2﹣4﹣x2﹣2x﹣1=﹣2x﹣5，当x=﹣3时，原式=6﹣5=1．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．如图，已知AF=BE，∠A=∠B，AC=BD，求证：∠F=∠E．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】利用SAS得出全等三角形，进而利用全等三角形的性质得出答案．【解答】证明：∵AC=BD，∴AD=BC，在△ADE和△BCF中∵，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴∠F=∠E．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据AC=BD，得出对应线段AD=BC，是解题关键．21．某校组织了九年级学生英语口语模拟测试，现从中随机抽取部分学生的口语模拟测试成绩统计如下．口语成绩（分）人数（人）百分比（%）26 8 1627 2428 1529 m30 5根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中的圆心角a=36°；（2）统计表中样本容量m=10；（3）已知该校九年级共有400名学生，如果口语成绩达28分以上（含28分）为优秀，请估计该校九年级学生口语成绩达到优秀的总人数．【考点】扇形统计图；用样本估计总体．【分析】（1）根据得分是26分的有8人，所占的百分比是16%即可求得总人数，则利用360°乘以得分是30分的人数所占的比例即可求解；（2）然后根据百分比的意义求得得分是27分的人数，进而求得m的值；（3）利用总人数400乘以对应的比例即可求解．【解答】解：（1）抽取的总人数是：8÷16%=50（人），则a=360×=36°，故答案是：36；（2）得分是27分的人数是50×24%=12（人），m=50﹣8﹣12﹣15﹣5=10．故答案是：10；（3）该校九年级学生口语成绩达到优秀的总人数是：400×=240（人）．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．城区学校组织“书香谜缘”灯谜竞猜比赛．某校拟从3名男生（以A1、A2、A3表示）和2名女生（以B1、B2表示）中选取3人组队参赛．（1）若从5位备选学生中随机选取1人担任队长，则选取到男生的概率是；（2）若已知男生A1选取为队长，在其余4人中选取2人作为队员，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出选取的两队员恰好是1男1女的概率．【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）先画出树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选取的两队员恰好是1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）从5位备选学生中随机选取1人担任队长，选取到男生的概率=；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中选取的两队员恰好是1男1女的结果数为8，所以选取的两队员恰好是1男1女的概率==．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．23．某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知3件甲种玩具的进价与2件乙种玩具的进价的和为142元，2件甲种玩具的进价与4件乙种玩具的进价的和为164元．（1）求每件甲、乙两种玩具的进价分别是多少？（2）如果购进甲种玩具超过10件，超出部分可以享受7折优惠．超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过10件，试帮助超市判断购进哪种玩具省钱．【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，根据“3件甲种玩具的进价与2件乙种玩具的进价的和为142元，2件甲种玩具的进价与4件乙种玩具的进价的和为164元”列出方程组解决问题；（2）设购进玩具z件（z＞10），分别表示出甲种和乙种玩具消费，建立不等式解决问题．【解答】解：（1）设甲种玩具的进价是x元，乙种玩具的进价是y元，由题意得：，解得：．答：甲种玩具的进价是30元，乙种玩具的进价是26元；（2）设购进玩具z件（z＞10），则乙种玩具消费26z元，甲种玩具消费10×30+（z﹣10）×30×0.7元，①当26z=10×30+（z﹣10）×30×0.7，解得z=30．所以当购进玩具正好30件，选择购其中一种即可；②当26z＞10×30+（z﹣10）×30×0.7，解得z＞30．所以当购进玩具超过30件，选择购甲种玩具省钱；③当26z＜10×30+（z﹣10）×30×0.7，解得z＜30．所以当购进玩具少于30件，多于10件，选择购乙种玩具省钱．【点评】此题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，关键是理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程和不等式．24．如图，A n系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，A n纸对裁后可以得到两张A n+1纸．（1）填空：A1纸面积是A2纸面积的2倍，A2纸周长是A4纸周长的2倍；（2）根据A n系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）【考点】相似多边形的性质．【分析】（1）根据A1纸对裁后可以得到两张A2纸即可得出A1纸面积是A2纸面积2倍；设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，由此可得出结论；（2）设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，求出的值即可；（3）A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半得出A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量，找出规律即可得出结论．【解答】解：（1）∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸，∴A1纸面积是A2纸面积2倍；∵设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，∴A2纸周长是A4纸周长的2倍．故答案为：2，2；（2）∵设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，∴=，即=，即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1；（3）∵A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半，∴A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量为a，同理，A3纸的重量是a克，∴A8纸张的重量是（）7a克．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例是解答此题的关键．25．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C 的抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为2，求出△BCD的面积；（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）本题需先根据直线过B，C两点，求得B，C的坐标，然后根据的东西是即可得出抛物线的解析式．（2）把D的横坐标代入抛物线的解析式求得纵坐标，求得四边形OBDC是梯形，可直接根据三角形面积公式求得；（3）本题首先判断出存在，首先设点P的横坐标为m，则P的纵坐标为﹣m2+m+2，再分两种情况进行讨论：当==时和当==时，得出△APQ∽△BCO，△APQ∽△CBO，分别求出点P的坐标即可．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+2分别与x轴、y轴相交于点B、C，∴B（3，0），C（0，2），将A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+bx+c得，，解得．故此抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．（2）∵点D在抛物线上，且横坐标为2，∴y=﹣×22+×2+2=2，∴D（2，2），∵C（0，2），∴CD∥AB，∴四边形OBDC是梯形，∴S△BCD=CD•OC=×2×2=2；（2）存在．如图，设点P的横坐标为m，则P的纵坐标为﹣m2+m+2，AQ=m+1，PQ=﹣m2+m+2，又∵∠COB=∠PQA=90°，∴①当==时，△APQ∽△BCO，即2（m+1）=3（﹣m2+m+2）解得：m1=2，m2=﹣1（舍去），则P（2，2），②当==时，△APQ∽△CBO，即3（m+1）=2（﹣m2+m+2），解得：m1=﹣1（不合题意，舍去），m2=，则P（，）．故符合条件的点P的坐标为P（2，2）或（，）．【点评】本题考查了抛物线解析式的求法，相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形．26．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为A（12，0），C（0，4），点D为OA边的中点，连接BD．（1）直接写出：点D的坐标：（6，0）；tan∠BDA=；（2）试判定以A点为圆心，以3为半径的⊙A与直线BD有多少个公共点？（3）如图2，若点M从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→A→B运动，同时点N从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿O→C→B→A运动，当点M，N相遇时运动即停止，设运动时间为t（秒），求使得△MON为直角三角形时所有t值和取值范围．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据点A和点C的坐标可确定出OA，OC的长，由点D是OA的中点可求得点D的坐标和AD的长，最后根据锐角三角函数的定义求解即可；（2）如图1所示，过点A作AE垂直BD，垂足为E，由勾股定理求得BD的长，然后由三角形的面积不变可求得AE的长，然后根据d和r的关系可判断出直线DB和圆A的关系，从而可知交点的个数；（3）如图2、3、4所示，由△MON为直角三角形可求得t的值和t的取值范围．【解答】解：（1）∵点A和点C的坐标分别为（12，0）和（0，4），∴OA=12，CO=4．∵四边形OABC为矩形，∴OA=BC=12，OC=AB=4．∵点D为OA的中点，∴点D的坐标为（6，0），AD=．∴tan∠BDA=．故答案为：（6，0）；．（2）如图1所示，过点A作AE垂直BD，垂足为E．在Rt△ABD中，DB==2．由三角形的面积公式可知：，即．解得：AE=．∵AE＞3，即d＞r，∴直线BD与⊙A相离．∴直线BD与⊙A没有公共点．（3）①如图2所示：∵OC=4，DA=6，∴点N从O到C需要4s，点M从D到A需要2s．∴0＜t≤2时，点N在OC上，点M在DA上．∴当0＜t≤2时，△AOM为直角三角形．②如图3所示：当MN⊥OC时，△MON是直角三角形．∵MN⊥OC，∴∠MNO=90°．∴∠MNO=∠NOA=∠OAM．∴四边形OAMN为矩形．∴ON=AM．∴t=3t﹣6．解得：t=3．∴当t=3s时，△AOM为直角三角形．③如图4所示：当点N与点C重合时，△NOM为直角三角形．∵ON=OC=4，∴3t=4．∴t=综上所述，当0＜t≤2时或t=3时或t=时，△NOM为直角三角形．【点评】本题主要考查的是矩形的性质、锐角三角函数的定义、直线和圆的位置关系、勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．。
2024年福建省福州市屏东中学等多校联考中考数学模拟试卷及参考答案
2024年福建省福州市屏东中学等多校联考中考数学模拟试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）在实数，，0，﹣1中，最小的数是（）A．﹣1B．0C．D．2．（4分）据统计，2024年元旦假期，某市推出多项文旅活动，共接待游客204.58万人次，实现旅游收入14.12亿元．将数据1412000000用科学记数法表示为（）A．1.412×108B．14.12×108C．1.412×109D．0.1412×10103．（4分）下列几何体中三个视图完全相同的是（）A．B．C．D．4．（4分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°5．（4分）对于非零实数a，下列运算一定正确的是（）A．a3•a2＝a5B．（a3）2＝a9C．a6÷a2＝a3D．（3a）2＝6a2 6．（4分）如图，已知BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，若∠ACB＝32°，则∠ADC 的大小为（）A．68°B．62°C．58°D．52°7．（4分）近年来，随着创建“生态文明城市”活动的开展，某市的社会知名度越来越高，为了吸引更多外地游客，该市于当月1日至7日晚举办了大型“灯光秀”活动，每场光影秀的时长（单位：min）为26，30，34，35，40，40，40．因活动反响大，游客好评如潮，故主办方又加了一场灯光秀演出，时长为35min．现分析加场前后的数据，受影响的统计量是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差8．（4分）如图，在半⊙O中，尺规作图的作法如下：①分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当的等长为半径作弧，两弧相交于点P；②连结OP交AB于点C，并延长交半⊙O于D点．若OA＝10，CD＝4，则cos∠A的值为（）A．B．C．D．9．（4分）已知点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（）A．B．C．D．10．（4分）如图，矩形OABC的对角线OB与反比例函数y＝（x＞0）相交于点D，且，则矩形OABC的面积为（）A．50B．25C．15D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
2020-2021学年福建省中考数学模拟试题及答案解析
2017-2018学年度初三中考模拟质量检测数 学 试 题（满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上.一、选择题（每小题3分，共21分）：每小题有四个答案,其中有且只有一个答案是正确的．请 在答题卡上相应题目的答题区域内作答,答对的得3分,答错或不答一律得0分． 1．计算2﹣3的结果是（ ）A ．﹣5B ．﹣1C ． 1D ． 52．下列计算正确的是（）A ．223a a a +=B ．235a a a ⋅=C ．33a a ÷= D ．33()a a -=3．下面四个几何体中，其左视图为圆的是（）A ．B ．C ．D ．4．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环，方差分别是90.02＝甲S ，22.12＝乙S ，43.02＝丙S ，68.12＝丁S ，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（） A ．中线 B ．角平分线 C ．高 D ．中位线6．如图．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误．．的是（） A ．AB ∥DC B ． OA=OC C ．AC ⊥BD D ．AC=BD7．二次函数2()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过（） A ．二、三、四象限 B ．一、二、四象限 C ．一、三、四象限D ．一、二、三象限 二、填空题（每小题4分，共40分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 8．计算：=⋅3155___．9．地球绕太阳每小时转动经过的路程约为110000米，将110000用科学记数法表示为． 10．因式分解：=-822x ． 11．化简：222+++x x x = ． 12．不等式组21011x x ->⎧⎨-<⎩的解集是．13．如图，一个 60角的三角形纸片，剪去这个60角后，则∠+∠12的度数为． 14．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值． 15．如图，在⊙O 中，点C 在圆周上，∠ACB=45°，则∠AOB=度．16．如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A ′B ′C ．若∠A=40°，∠B ′=110°，则∠BCA ′的度数是．17．如图，线段AB 的长为10 cm ，点D 在AB 上，△ACD 为正三角形，过点D 作CD DP ⊥，点G 是DP 上不与点D 重合的一动点，作矩形CDGH ，记矩形CDGH 的对角线交点为O ，连接OA 、OB ．（1）=∠OAB 度；（2）线段BO 的最小值为 cm ． 三、解答题（共89分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 18.（9分）计算：03)2016(830tan 33π---︒⋅+-．19.（9分）先化简，再求值:)2()1(2++-x x x ，其中2=x ．20.（9分）如图，∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，AB=AC ．求证：BD=CE ．21．（9分）有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回．．洗匀后再从中随机抽出一张记下数字． （1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果； （2）若第一次抽出的数字为x ，第二次抽出的数字为y ，求点),(y x 落在双曲线上xy 2=上的概率．22．（9分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题： （1）求被调查的学生人数； （2）补全条形统计图； （3）已知该校有1200名学生， 估计全校最喜爱文学类图书 的学生有多少人？23.（9分）如图，等边三角形ABC 放置在平面直角坐标系中，已知A （0，0）、B （6，0），反比例函数的图象经过点C ． （1）求点C 的坐标及反比例函数的解析式；（2）将等边△ABC 向上平移n 个单位，使点B 恰好落在双曲线上，求n 的值．24.（9分）某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？ 25. （13分） 问题背景（1）如图1，ABC ∆中，BC DE //分别交AB 、AC 于D 、E 两点，过点E 作AB EF //交BC 于点F ．请按图示数据填空：四边形DBFE 的面积S =，EFC ∆的面积1S =，ADE ∆的面积2S =．探究发现（2）在（1）中，若BF a =，FC b =，DE 与BC 间的距离为h ．请证明2124S S S =． 拓展迁移（3）如图2，平行四边形DEFG 的四个顶点在ABC ∆的三边上，若ADG ∆、DBE ∆、GFC ∆的面积分别为2、5、3，试利用．．（2．）中的结论．．．．求ABC ∆的面积．26．（13分）如图1，已知抛物线)0(432≠--=a a ax ax y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，90=∠ACB ，点D 的坐标为（0，3）， （1）求A 、B 、C 的坐标及a 的值；（2）直线l 经过点D ，与抛物线交于M 、N ，若DN DM MN⋅=2，求直线l 的解析式；（3）过D 作直线OD DH ⊥，P 为直线DH 上的一动点．是否存在点P ，使OPB ∠sin 的值最大，若存在，求出此时OPB ∠sin 的值；若不存在，请说明理由．中考数学试卷参考答案选择题（每小题3分，共21分）：答对的得3分,答错或不答一律得0分．二、填空题（每小题4分，共40分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．三、解答题（共89分）：18.（9分）解：03)2016(830tan 33π---︒⋅+-．＝123333--⋅+……………………8分 ＝1213--+＝1………………………9分20.（9分）解：)2()1(2++-x x x＝x x x x 21222+++-…………4分＝122+x …………………………6分当2=x 时，原式＝51)2(22=+⨯…………9分20.（9分）证明：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAD=∠CAE ………………………………2分 在△ABD 与△ACE 中， ∵…………………………7分∴△ABD ≌△ACE （ASA ）………………8分∴BD=CE ．…………………………………9分21．（9分）解：（1）根据题意画出树状图如下：；………………………………5分（2）一共有9种等可能的情况，点),(y x 落在双曲线上xy 2=上的有2种情况，……7分 所以，92=P ．…………………………………………………………………………9分 22．（9分）解：（1）被调查的学生人数为：12÷20%=60（人）；………………3分 （2）喜欢艺体类的学生数为：60﹣24﹣12﹣16=8（人）， 如图所示：；………………………………6分（3）全校最喜爱文学类图书的学生约有：1200×=480（人）．……………9分23.（9分）解：（1）过C 点作CD ⊥x 轴，垂足为D ，设反比例函数的解析式为y=k x， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AC=AB=6，∠CAB=60°， ∴AD=3，CD=sin60°×3633=2分 ∴点C 坐标为（3，33分 ∵反比例函数的图象经过点C ，∴3，…………………………………………………………4分 ∴反比例函数的解析式y=93x；………………………………5分 （2）若等边△ABC 向上平移n 个单位，使点B 恰好落在双曲线上， 则此时B 点的横坐标为6，……………………………………6分 即纵坐标y=33362=n=332．…………9分24.（9分）解：（1）设二次函数关系式为c bx ax y ++=2.由表中数据，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=8.1245.11c b a c b a c ………………2分解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=153101c b a ………………………………4分所以所求二次函数关系式为1531012++-=x x y ………………5分 （2）根据题意，得105)23(102++-=--⋅=x x x y S .……………7分（3）465)25(10522+--=++-=x x x S ……………………8分 由于31≤≤x ，所以当5.21≤≤x 时，S 随x 的增大而增大．……9分25. （13分）解：（1）6=S ， 91=S ， 12=S ………………3分 （2）证明：∵DE ∥ BC ， EF ∥ AB ∴四边形 DBFE 为平行四边形， ∴，∴△ ADE ∽△ EFC ．∴22212)(ba FC DE S S ==………………………………5分 ∵bh S 211=…………………………………………6分 ∴b ha Sb a S 221222=⨯= ∴2221)(22144ah bha bh S S =⨯⨯=…………………7分 而ah S = ，∴2124S S S =………………………………………………8分（3）解：过点 G 作 GH ∥ AB 交 BC 于 H ，则四边形 DBHG 为平行四边形．∴ ， ， ．∵四边形 DEFG 为平行四边形， ∴ ． ∴ ．∴．∴△ DBE ≌△ GHF ．…………………………10分 ∴△ GHC 的面积为835=+ ． ……………11分 由（2）得，□DBHG 的面积为8824=⨯⨯…………12分 ∴△ ABC 的面积为18882=++ ．…………………………13分 （注：没用（2）的结论得到正确答案的扣2分） 26．（13分）解：（1）令0=y ，得0432=--a ax ax∴11-=x ，42=x∴)0,1(-A 、)0,4(B …………………………2分 ∵AB OC ⊥,BC AC ⊥ ∴42=⋅=OB OA OC∴2=OC ∴)2,0(C ，…………………3分 代入a ax ax y 432--=得21-=a ………………………………………4分 （2）如图1，作AB ME ⊥于点E ,AB NF ⊥于点F 则NF ME // ∴OE EF DM MN =,OFEF DN MN =又DN DM MN ⋅=2∴OF OE EF ⋅=2………………………………5分设直线l 的解析式为)0(3≠+=k kx yxyFENMABC 图1O DH由⎪⎩⎪⎨⎧++-=+=2232132x x y kx y 得02)23(2=+--x k x∴k x x 2321-=+，221=x x ………………6分 ∴21221)(x x x x =-∴212215)(x x x x =+……………………………7分 ∴10)23(2=-k∴2103±=k ∴直线l的解析式这：32103++=x y 或=y （3）法一：存在点P ，使OPB ∠sin 的值最大，如图2，设POB ∆的外接圆为⊙Q ，QG 则OPB OQG ∠=∠在OQG Rt ∆中，OG 为定值，当⊙Q 当DH QP ⊥时，QP 最小，此时⊙Q 与DH 相切于点P （如图3），…………10分 由222QG OG OQ += 得222)3(2OQ OQ -+=解得613=OQ ……………………………………12分∴OPB ∠sin ＝13126132=…………………………13分H法二：存在点P ，使OPB ∠sin 的值最大，如图4，作OB 的中垂线OB PG ⊥,交DH 于P ，交OB 于G 则OPB ∆的外接圆⊙Q 切DH 于P设点'P 是DH 边上不同于点P 的另一点，'BP 交⊙Q 于K∵OKB OPB ∠=∠,B OP OKB '∠>∠∴B OP OPB '∠>∠，即OPB ∠最大； (10)在PBG Rt ∆中，1322=+=BG PG PB 作PB OT ⊥于点T 由OT PB PG OB S OPB ⋅=⋅=∆2121 得131312=OT ………………………………………………12分 ∴OPB ∠sin 131213131312==………………………………13分H。
2021年中考数学模拟试题(5)及答案
2021年中考数学模拟试题（5）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．2020的相反数是（）A．﹣2020 B．2020 C．D．﹣2．一双没有洗过的手，带有各种细菌约75000万个，75000万用科学记数法表示为（）A．7.5×104B．7.5×105C．7.5×108D．7.5×1093．如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是（）A．B．C．D．4．某校九年级（1）班50名学生中有20名团员，他们都积极报名参加学校开展的“文明劝导活动”．根据要求，该班从团员中随机抽取1名参加，则该班团员京京被抽到的概率是（）A．B．C．D．5．下面是一位同学做的四道题①（a+b）2＝a2+b2，②（2a2）2＝﹣4a4，③a5÷a3＝a2，④a3•a4＝a12．其中做对的一道题的序号是（）A．①B．②C．③D．④6．如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（﹣1，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数（）A．当x＜1时，y随x的增大而增大B．当x＜1时，y随x的增大而减小C．当x＞1时，y随x的增大而增大D．当x＞1时，y随x的增大而减小7．如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（）A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm8．如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，则圆心P的坐标为（）A．（5，﹣4）B．（4，﹣5）C．（4，﹣7）D．（5，﹣7）9．超市有一种“喜之郎”果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，横截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，那么要制作这样一个包装盒至少纸板（）平方厘米．（不计重合部分）A．253 B．288 C．206 D．24510．已知A地在B地的西方，且有一以A、B两地为端点的东西向直线道路，其全长为400公里，今在此道路上距离A地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，如图所示．若某车从此道路上距离A地19公里处出发，往东直行320公里后才停止，则此车在停止前经过的最后一个广告牌距离A地多少公里？（）A．309 B．316 C．336 D．339二、填空题（本题有6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）11．因式分解：4x2﹣y2＝．12．不等式＞x的解集为．13．如图，⊙O的半径为1，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为．14．如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形EFGH，若点A和点E的坐标分别为（﹣2，3），（1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是．15．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，cos∠BOC＝，顶点C的坐标为（a，4），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置，B'D交AB 于点F．若△AB'F为直角三角形，则AE的长为．三、解答题（本题有8小题，第17-20题各8分，第21题10分，第22-23题各12分，第24题14分，共80分）17．（1）计算：2tan60°﹣﹣（﹣2）0+（）﹣1；（2）解方程：＝2．18．《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机!》这是微信圈一篇热传的文章．国际上，法国教育部宣布从新学期起小学和初中禁止学生使用手机．为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．请你根据以上信息解答下列问题：（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为，圆心角度数是度；（2）补全条形统计图；（3）该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．19．一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y（升）关于加满油后已行驶的路程x（千米）的函数图象．（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；（2）求y关于x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．20．目前，各大城市都在积极推进公共自行车建设，努力为人们绿色出行带来方便．图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是自行车的车架示意图．CE＝30cm，DE＝20cm，AD＝25cm，DE⊥AC于点E，座杆CF的长为15cm，点A，E，C，F在同一直线上，且∠CAB＝75°，公共自行车车轮的半径约为30cm，且AB与地面平行．（1）求车架中AE的长；（2）求车座点F到地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）21．在Rt△ABC中，∠B＝90°，CE平分∠BCA交AB于点E，在AC上取一点O，以OC 为半径的圆恰好经过点E，且分别交AC，BC于点D，F，连结DE，EF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AD＝2，OC＝3；①求△AEC的面积；②求EF的长．22．如图，AB∥CD，AB＝5cm，AC＝4cm，线段AC上有一动点E，连接BE，ED，∠BED ＝∠A＝60°，设A，E两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为ycm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：如表的已知数据是根据A，E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：x/cm00.51 1.52 2.3 2.5y/cm00.390.75 1.07 1.33 1.45x/cm 2.8 3.2 3.5 3.6 3.8 3.9y/cm 1.53 1.42 1.17 1.030.630.35请你补全表格；（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：；（4）解决问题：当AE＝2CD时，CD的长度大约是cm．23．如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON于点B、点C，连接AB、PB．（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；（3）如图3，∠MON＝60°，连接AP，设＝k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．24．如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x、y正半轴上，点B在第一象限．点P是x正半轴上的一动点，且OP＝t，连结PC，将线段PC绕点P顺时针旋转90度至PQ，连结CQ，取CQ中点M．（1）当t＝2时，求Q与M的坐标；（2）如图2，连结AM，以AM、AP为邻边构造平行四边形APNM．记平行四边形APNM 的面积为S．①用含t的代数式表示S（0＜t＜6）．②当N落在△CPQ的直角边上时，求∠CP A的度数；（3）在（2）的条件下，连结AQ，记△AMQ的面积为S'，若S＝S'，则t＝（直接写出答案）．2020年浙江省绍兴市柯桥区联盟学校中考数学模拟试卷（6月份）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．2020的相反数是（）A．﹣2020 B．2020 C．D．﹣【分析】根据a的相反数是﹣a，可直接得结论．【解答】解：2020的相反数是﹣2020．故选：A．2．一双没有洗过的手，带有各种细菌约75000万个，75000万用科学记数法表示为（）A．7.5×104B．7.5×105C．7.5×108D．7.5×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：75000万＝750000000＝7.5×108吨．故选：C．3．如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．【解答】解：从物体左面看，左边2列，右边是1列．故选：A．4．某校九年级（1）班50名学生中有20名团员，他们都积极报名参加学校开展的“文明劝导活动”．根据要求，该班从团员中随机抽取1名参加，则该班团员京京被抽到的概率是（）A．B．C．D．【分析】让1除以团员总数即为该班团员京京被抽到的概率．【解答】解：全部是20名团员，抽取1名，所以被抽到的概率是．故选C．5．下面是一位同学做的四道题①（a+b）2＝a2+b2，②（2a2）2＝﹣4a4，③a5÷a3＝a2，④a3•a4＝a12．其中做对的一道题的序号是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法和乘法判断即可．【解答】解：①（a+b）2＝a2+2ab+b2，原式错误；②（2a2）2＝4a4，原式错误；③a5÷a3＝a2，原式正确；④a3•a4＝a7．原式错误；故选：C．6．如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（﹣1，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数（）A．当x＜1时，y随x的增大而增大B．当x＜1时，y随x的增大而减小C．当x＞1时，y随x的增大而增大D．当x＞1时，y随x的增大而减小【分析】根据函数图象和题目中的条件，可以写出各段中函数图象的变化情况，从而可以解答本题．【解答】解：由函数图象可得，当x＜1时，y随x的增大而增大，故选项A正确，选项B错误，当1＜x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项C、D错误，故选：A．7．如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（）A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．【解答】解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据题意，得＝π（6﹣x），解得x＝4．故选：B．8．如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，则圆心P的坐标为（）A．（5，﹣4）B．（4，﹣5）C．（4，﹣7）D．（5，﹣7）【分析】由M（0，﹣4），N（0，﹣10），即可得MN的值，然后连接PM，过点P作PE ⊥MN于E，根据垂径定理可得ME的值，然后由勾股定理，即可求得PE的值，则可得圆心P的坐标．【解答】解：∵M（0，﹣4），N（0，﹣10），∴MN＝6，连接PM，过点P作PE⊥MN于E，∴ME＝NE＝MN＝3，∴OE＝OM+EM＝4+3＝7，在Rt△PEM，PE＝＝＝4，∴圆心P的坐标为（4，﹣7）．故选：C．9．超市有一种“喜之郎”果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，横截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，那么要制作这样一个包装盒至少纸板（）平方厘米．（不计重合部分）A．253 B．288 C．206 D．245【分析】图，“喜之郎”果冻礼盒是一长方体．2个底面为矩形A′B′C′D′（如图3），2个侧面为矩形ABCD（如图2），2个侧面是以AB为高，AE为底的矩形．【解答】解：建立如图（2）所示的平面直角坐标系，过切点K作KH⊥OC于点H．依题意知K（x，2）．易求开口向上抛物线的解析式：y＝x2，所以2＝x2，解得x＝或x＝﹣（舍去），∴OH＝HG＝，∴BC＝BO+OH+HG+GC＝3+++3＝6+3，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝4×（6+3）＝24+12（平方厘米）．如图3，S矩形A′B′C′D′＝6BC＝6×（6+3）（平方厘米）．所以，2S矩形ABCD+2S矩形A′B′C′D′+2AB•AE＝178+80（平方厘米）．2×（24+12）+2×（36+18）+2×4×6＝168+60≈253（平方厘米）．故选：A．10．已知A地在B地的西方，且有一以A、B两地为端点的东西向直线道路，其全长为400公里，今在此道路上距离A地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，如图所示．若某车从此道路上距离A地19公里处出发，往东直行320公里后才停止，则此车在停止前经过的最后一个广告牌距离A地多少公里？（）A．309 B．316 C．336 D．339【分析】由于在此道路上距离A地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，所以第n个广告牌距离A地12+27（n﹣1），设此车停止时前面有x个广告牌，根据题意列出不等式12+27（x﹣1）≤320+19，将不等式的最大整数解代入12+27（x﹣1），计算即可．【解答】解：设此车停止时前面有x个广告牌，根据题意得12+27（x﹣1）≤320+19，x≤13，即此车停止时前面有13个广告牌，并且超过第13个广告牌3公里，所以此车在停止前经过的最后一个广告牌距离A地320+19﹣3＝336公里，故选：C．二．填空题（共6小题）11．因式分解：4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（2x+y）（2x﹣y），故答案为：（2x+y）（2x﹣y）12．不等式＞x的解集为x＜1．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：去分母，得：3﹣x＞2x，移项，得：﹣x﹣2x＞﹣3，合并同类项，得：﹣3x＞﹣3，系数化为1，得：x＜1，故答案为：x＜1．13．如图，⊙O的半径为1，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为π．【分析】根据圆周角定理、圆内接四边形的性质求出∠BOD，根据弧长公式计算，得到答案．【解答】解：由圆周角定理得，2∠BAD＝∠BOD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD，∴180°﹣∠BAD＝2∠BAD，解得，∠BAD＝60°，∴∠BOD＝2∠BAD＝120°，∴的长＝＝π，故答案为：π．14．如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形EFGH，若点A和点E的坐标分别为（﹣2，3），（1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是（，0）或（4，﹣）．【分析】分两种情况讨论，一种是点A和E是对应顶点，B和F是对应顶点；另一种是点A和G是对应顶点，C和E是对应顶点．【解答】解：（1）当点A和E是对应顶点，B和F是对应顶点时，位似中心就是AE与BF的交点，如图所示：连接AE，交x轴于点N，点N即为两个正方形的位似中心，∵点A和点E的坐标分别为（﹣2，3），（1，﹣1），∴AB＝3，EF＝1，BF＝1﹣（﹣2）＝3，∵AB∥EF，∴△ABN∽△EFN，∴＝，∴＝，解得：BN＝，∴ON＝﹣2＝，∴两个正方形的位似中心的坐标是：（，0）．（2）当点A和G是对应顶点，C和E是对应顶点时，位似中心就是AG与CE的交点，如图所示：连接AG，DF，BH，CE并延长交于点M，设AG所在直线解析式为：y＝kx+b，把A（﹣2，3），G（2，0）代入得：故，解得：，故y＝﹣x+；设BH所在直线解析式为：y＝mx+n，把B（﹣2，0），H（2，﹣1）代入得：，故y＝﹣x﹣，，解得：，故M（4，﹣），综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：（，0）或（4，﹣）．故答案为：（，0）或（4，﹣）．15．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，cos∠BOC＝，顶点C的坐标为（a，4），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是﹣．【分析】先求出OC＝5，再利用菱形的性质得到AC＝OB＝OC＝5，AC∥OB，则B（﹣5，0），A（﹣8，4），接着利用待定系数法确定直线OA的解析式为y＝﹣x，则可确定D（﹣5，），然后把D点坐标代入y＝中可得到k的值．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，∵顶点C的坐标为（a，4），∴OE＝﹣a，CE＝4，∵cos∠BOC＝＝，∴OE＝3，CO＝5，∵四边形OBAC为菱形，∴AC＝OB＝OC＝5，AC∥OB，∴B（﹣5，0），A（﹣8，4），设直线OA的解析式为y＝mx，把A（﹣8，4）代入得﹣8m＝4，解得m＝﹣，∴直线OA的解析式为y＝﹣x，当x＝﹣5时，y＝﹣x＝，即D（﹣5，），把D（﹣5，）代入y＝中，∴k＝﹣5×＝﹣，故答案为﹣．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置，B'D交AB 于点F．若△AB'F为直角三角形，则AE的长为6或．【分析】分两种情形：①当∠AFB′＝90°时．由直角三角形的性质得出AB＝2AC＝8，求出BD＝CD＝BC＝2，由折叠的性质得：∠BFD＝90°，B'E＝BE，证明BE＝DE ＝B'E，证出△BDF∽△BAC，得出＝，解得：BF＝3，设BE＝DE＝x，在Rt△EDF 中，DE＝2EF，得出方程x＝2（3﹣x），解方程即可；②当∠AB′F＝90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE＝x．证明Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），得出AC＝AB′＝4，在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（8﹣x），EH＝B′H＝（8﹣x），在Rt△AEH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：①如图1中，当∠AFB′＝90°时．在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AC＝4，∴AB＝2AC＝8，∵BD＝CD，∴BD＝CD＝BC＝2，由折叠的性质得：∠BFD＝90°，B'E＝BE，∴∠BDF＝60°，∴∠EDB＝∠EDF＝30°，∴∠B＝∠EDB＝30°，∴BE＝DE＝B'E，∵∠C＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠ABC＝90°，∴△BDF∽△BAC，∴＝，即＝，解得：BF＝3，设BE＝DE＝x，在Rt△EDF中，DE＝2EF，∴x＝2（3﹣x），解得：x＝2，∴AE＝8﹣2＝6．②如图2中，当∠AB′F＝90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE＝x．∵AD＝AD，CD＝DB′，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），∴AC＝AB′＝4，∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，∴∠EB′H＝60°，在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（8﹣x），EH＝B′H＝（8﹣x），在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，∴[（8﹣x）]2+[4+（8﹣x）]2＝x2，解得：x＝，综上所述，满足条件的AE的值为6或．故答案为：6或．三．解答题17．（1）计算：2tan60°﹣﹣（﹣2）0+（）﹣1；（2）解方程：＝2．【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式＝2﹣2﹣1+3＝2；（2）去分母得：x+1＝2x﹣14，解得：x＝15，经检验x＝15是分式方程的解．18．《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机!》这是微信圈一篇热传的文章．国际上，法国教育部宣布从新学期起小学和初中禁止学生使用手机．为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．请你根据以上信息解答下列问题：（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为35%，圆心角度数是126度；（2）补全条形统计图；（3）该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．【分析】（1）由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以360即可得到结果；（2）求出3小时以上的人数，补全条形统计图即可；（3）由每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的百分比乘以2100即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：1﹣（40%+18%+7%）＝35%，则“玩游戏”对应的圆心角度数是360°×35%＝126°，故答案为：35%，126；（2）根据题意得：40÷40%＝100（人），∴3小时以上的人数为100﹣（2+16+18+32）＝32（人），补全图形如下：；（3）根据题意得：2100×＝1344（人），则每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数约有1344人．19．一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y（升）关于加满油后已行驶的路程x（千米）的函数图象．（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；（2）求y关于x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．【分析】（1）由图象可知：汽车行驶400千米，剩余油量30升，行驶时的耗油量为0.1升/千米，则汽车行驶400千米，耗油400×0.1＝40（升），故加满油时油箱的油量是40+30＝70升．（2）设y＝kx+b（k≠0），把（0，70），（400，300）坐标代入可得：k＝﹣0.1，b＝70，求出解析式，当y＝5 时，可得x＝650．【解答】解：（1）由图象可知：汽车行驶400千米，剩余油量30升，∵行驶时的耗油量为0.1升/千米，则汽车行驶400千米，耗油400×0.1＝40（升）∴加满油时油箱的油量是40+30＝70升．（2）设y＝kx+b（k≠0），把（0，70），（400，30）坐标代入可得：k＝﹣0.1，b＝70∴y＝﹣0.1x+70，当y＝5 时，x＝650即已行驶的路程的为650千米．20．目前，各大城市都在积极推进公共自行车建设，努力为人们绿色出行带来方便．图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是自行车的车架示意图．CE＝30cm，DE＝20cm，AD＝25cm，DE⊥AC于点E，座杆CF的长为15cm，点A，E，C，F在同一直线上，且∠CAB＝75°，公共自行车车轮的半径约为30cm，且AB与地面平行．（1）求车架中AE的长；（2）求车座点F到地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【分析】（1）由DE⊥AC及DE，AD的长，利用勾股定理即可求出AE的长；（2）作FG⊥AB于G，延长FG交地平线于点Q，由AE，CE，CF的长可得出F A的长，通过解直角三角形可求出FG的长，再结合FQ＝FG+GQ即可求出结论．【解答】解：（1）∵DE⊥AC，DE＝20，AD＝25，∴AE＝＝＝15（cm）；（2）在图（2）中，作FG⊥AB于G，延长FG交地平线于点Q．∵AE＝15，CE＝30，CF＝15，∴F A＝FC+CE+EA＝15+30+15＝60．∵sin∠CAB＝，∴FG＝F A•sin∠CAB≈60×0.97＝58.2（cm），∴FQ＝FG+GQ＝58.2+30＝88.2≈88（cm）．答：车座点F到地面的距离约为88cm．21．在Rt△ABC中，∠B＝90°，CE平分∠BCA交AB于点E，在AC上取一点O，以OC 为半径的圆恰好经过点E，且分别交AC，BC于点D，F，连结DE，EF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AD＝2，OC＝3；①求△AEC的面积；②求EF的长．【分析】（1）证明∠ECO＝∠CEO，∠FCO＝∠CEO，进而求解；（2）①证明△AEO∽△ABC，则，求出BC＝，利用S△AEC＝AE•BC＝，即可求解；②证明△AED∽△ECF，则，即EF＝．【解答】解：（1）如图，连结OE，∵CE平分∠ACB，∴∠ECO＝∠FCO，∵OC＝OE，∴∠ECO＝∠CEO，∴∠FCO＝∠CEO，∴OE∥BC，又∵∠B＝90°，∴∠OEA＝90°，即AB是⊙O的切线；（2）①∵OE∥BC，∴△AEO∽△ABC，∴，∴BC＝，∵∠OEA＝90°，在Rt△AEO中，OA＝5，OE＝3，∴AE＝＝＝4，∴S△AEC＝AE•BC＝；②∵OE∥BC，∴，∴BE＝，∴CE＝，又∵∠AED+∠OED＝∠OED+∠OEC＝90°，∴∠AED＝∠OEC＝∠ECF，∵∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠EFC＝180°，∴∠ADE＝∠EFC，∴△AED∽△ECF，∴，∴EF＝．22．如图，AB∥CD，AB＝5cm，AC＝4cm，线段AC上有一动点E，连接BE，ED，∠BED ＝∠A＝60°，设A，E两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为ycm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：如表的已知数据是根据A，E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：x/cm00.51 1.52 2.3 2.5y/cm00.390.75 1.07 1.33 1.451.50（答案不唯一）x/cm 2.8 3.2 3.5 3.6 3.8 3.9y/cm 1.53 1.42 1.17 1.030.630.35请你补全表格；（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：当0≤x≤2.8时，y 随x的增大而增大，当2.8＜x≤3.9时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（4）解决问题：当AE＝2CD时，CD的长度大约是 1.50（答案不唯一）cm．【分析】（1）通过取点、画图、测量可得；（2）依据表格中的数据描点、连线即可得；（3）观察图象即可求解；（4）画出函数图象：y＝x，该函数图象和原函数图象交点，即为所求．【解答】解：（1）通过画图得：当x＝2.5时，y≈1.50cm，故答案为：1.50（答案唯一）；（2）画出该函数的图象如下：（3）随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势是：当0≤x≤2.8时，y随x的增大而增大，当2.8＜x≤3.9时，y随x的增大而减小（其中2.8是概略数值，答案不唯一）；故答案为：当0≤x≤2.8时，y随x的增大而增大，当2.8＜x≤3.9时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（4）当AE＝2CD时，即x＝2y，则y＝x，画出函数图象：y＝x，该函数图象和原函数图象交点，即为所求，两个函数交点的纵坐标为：1.50，故CD＝y＝1.50，故答案为：1.50cm（答案不唯一）．23．如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON于点B、点C，连接AB、PB．（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；（3）如图3，∠MON＝60°，连接AP，设＝k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）结论：AB＝PB．连接BQ，只要证明△AOB≌△PQB即可解决问题；（2）存在．证明方法类似（1）；（3）连接BQ．只要证明△ABP∽△OBQ，即可推出＝，由∠AOB＝30°，推出当BA⊥OM时，的值最小，最小值为0.5，由此即可解决问题；【解答】解：（1）连接：AB＝PB．理由：如图1中，连接BQ．∵BC垂直平分OQ，∴BO＝BQ，∴∠BOQ＝∠BQO，∵OF平分∠MON，∴∠AOB＝∠BQO，∵OA＝PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB＝PB．（2）存在，理由：如图2中，连接BQ．∵BC垂直平分OQ，∴BO＝BQ，∴∠BOQ＝∠BQO，∵OF平分∠MON，∠BOQ＝∠FON，∴∠AOF＝∠FON＝∠BQC，∴∠BQP＝∠AOB，∵OA＝PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB＝PB．（3）连接BQ．易证△ABO≌△PBQ，∴∠OAB＝∠BPQ，AB＝PB，∵∠OPB+∠BPQ＝180°，∴∠OAB+∠OPB＝180°，∠AOP+∠ABP＝180°，∵∠MON＝60°，∴∠ABP＝120°，∵BA＝BP，∴∠BAP＝∠BP A＝30°，∵BO＝BQ，∴∠BOQ＝∠BQO＝30°，∴△ABP∽△OBQ，∴＝，∵∠AOB＝30°，∴当BA⊥OM时，的值最小，最小值为0.5，∴k＝0.5．24．如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在x、y正半轴上，点B在第一象限．点P是x正半轴上的一动点，且OP＝t，连结PC，将线段PC绕点P顺时针旋转90度至PQ，连结CQ，取CQ中点M．（1）当t＝2时，求Q与M的坐标；（2）如图2，连结AM，以AM、AP为邻边构造平行四边形APNM．记平行四边形APNM 的面积为S．①用含t的代数式表示S（0＜t＜6）．②当N落在△CPQ的直角边上时，求∠CP A的度数；（3）在（2）的条件下，连结AQ，记△AMQ的面积为S'，若S＝S'，则t＝或（直接写出答案）．【分析】（1）过点Q作QD⊥x轴于点D，证△COP≌△PDQ（AAS），得OP＝QD＝2，OC＝PD＝6，则OD＝OP+PD＝8，得Q（8，2），再由中点坐标公式得M（4，4）；（2）①由全等三角形的性质得OP＝OQ＝t，OC＝PD＝6，则OD＝t+6，得Q（t+6，t），再由中点坐标公式得M（，），由平行四边形面积公式即可得出答案；②分两种情况：当N在PC上时，连接OB、PM，先证△COM≌△AOM（SAS），得CM ＝AM，再证PM＝AM，然后证AM⊥PQ，得∠PMA＝∠QMA＝45°，最后由等腰三角形的性质得∠MP A＝67.5°，即可得出答案；当N在PQ上时，连接PM、OM，同理可证MA＝MP，∠AMP＝45°，∠MP A＝67.5°，则∠CP A＝67.5﹣45＝22.5°；（3）过点M作MH⊥x轴于点H，过点Q作QG⊥x轴于点G，分两种情况：①当0＜t ＜6时，即点AP在点A左侧时；②当t＞6时，即点P在点A右侧时；由面积关系得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）过点Q作QD⊥x轴于点D，如图1所示：∵OP＝t，t＝2，∴OP＝2，∵正方形的边长为6，∴OC＝6，∴C（0，6），由旋转的性质得：CP＝PQ，∠CPQ＝90°，∴∠CPO+∠QPD＝90°，∵∠QPD+∠PQD＝90°，∴∠CPO＝∠PQD，在△COP和△PDQ中，，∴△COP≌△PDQ（AAS），∴OP＝QD＝2，OC＝PD＝6，∴OD＝OP+PD＝8，∴Q（8，2），∵M是CQ的中点，C（0，6），∴M（4，4）；（2）①∵△COP≌△PDQ，∴OP＝OQ＝t，OC＝PD＝6，∴OD＝t+6，∴Q（t+6，t），∵C（0，6），∴M（，），当0＜t＜6时，S＝AP×y M＝（6﹣t）×＝；②分两种情况：a、当N在PC上时，连接OB、PM，如图2﹣1所示：∵点M的横、纵坐标相等，∴点M在对角线BD上，∵四边形OABC是正方形，∴OC＝OA，∠COM＝∠AOM，又∵OM＝OM，∴△COM≌△AOM（SAS），∴CM＝AM，在Rt△CPQ中，CP＝PQ，M为CQ的中点，∴PM⊥CQ，∠CPM＝∠MPQ＝45°，PM＝CQ＝CM＝MQ，∴PM＝AM，∵点N在PC上，四边形APNM是平行四边形，∴NP∥AM，∵∠CPQ＝90°，∴NP⊥PQ，∴AM⊥PQ，∴∠PMA＝∠QMA＝45°，又∵PM＝AM，∴∠MP A＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CP A＝45°+67.5＝112.5°；b、当N在PQ上时，连接PM、OM，如图2﹣2所示：同理可证MA＝MP，∠AMP＝45°，∴∠MP A＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CP A＝67.5﹣45＝22.5°；综上所述，当点N在△CPQ的直角边上时，∠CP A的度数为112.5°或22.5°；（3）过点M作MH⊥x轴于点H，过点Q作QG⊥x轴于点G，∵S△AMQ＝S梯形MHGQ﹣S△AHM﹣S△AGQ，∴S'＝（+t）•﹣（6﹣）•﹣t•t＝3t，①当0＜t＜6时，即点AP在点A左侧时，如图3所示：∵S＝S'，∴＝3t，解得：t＝﹣3+3，或t＝﹣3﹣3（舍去）；②当t＞6时，即点P在点A右侧时，如图4所示：S＝AP×y M＝（t﹣6）×＝，∵S＝S'，∴＝3t，解得：t＝3+3，或t＝3﹣3（舍去）；综上所述，t的值为或，故答案为：或．。
福建省厦门市湖里区湖里实验中学2024届中考数学最后冲刺模拟试卷含解析
福建省厦门市湖里区湖里实验中学2024年中考数学最后冲刺模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．已知x a =2，x b =3，则x 3a ﹣2b 等于（ ）A ．89B ．﹣1C ．17D ．722．如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90，得到A B C ''，连接'A A ，若120︒∠=，则B 的度数是（ ）A ．70︒B ．65︒C ．60︒D ．55︒3．利用“分形”与“迭代”可以制作出很多精美的图形，以下是制作出的几个简单图形，其中是轴对称但不是中心对称的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列分式中，最简分式是（ ）A ．2211x x -+B ．211x x +-C ．2222x xy y x xy -+-D ．236212x x -+ 5．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的角平分线分别交AB ，BD 于M ，N 两点．若AM ＝2，则线段ON 的长为( )A 2B 3C ．1D 66．函数y ＝mx 2+（m+2）x+12m+1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为（ ）7．一次函数y kx k =-与反比例函数(0)k y k x =≠在同一个坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．8．如图，在直角坐标系xOy 中，若抛物线l ：y ＝﹣12x 2+bx +c （b ，c 为常数）的顶点D 位于直线y ＝﹣2与x 轴之间的区域（不包括直线y ＝﹣2和x 轴），则l 与直线y ＝﹣1交点的个数是（ ）A ．0个B ．1个或2个C ．0个、1个或2个D ．只有1个 9．下列四个式子中，正确的是（ ）A ．81 =±9B ．﹣()26- =6C ．（23+）2=5D ．1216=4 10．14-的绝对值是（ ） A ．﹣4 B ．14 C ．4 D ．0.4二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1=x 2（x≥0）与y 2=23x （x≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DE AB=______．12．函数 2y x =-__________．13．如下图，在直径AB 的半圆O 中，弦AC 、BD 相交于点E ，EC ＝2，BE ＝1． 则cos ∠BEC ＝________．14．将23x =代入函数1y x =-中，所得函数值记为1y ，又将11x y =+代入函数1y x=-中，所得的函数值记为2y ，再将21x y =+代入函数中，所得函数值记为3y …，继续下去．1y =________；2y =________；3y =________；2006y =________．15．要使分式51x -有意义，则x 的取值范围为_________． 16．把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，此时大圆形场地的面积是小圆形场地的4倍，设小圆形场地的半径为x 米，若要求出未知数x ，则应列出方程 （列出方程，不要求解方程）．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）随着社会经济的发展，汽车逐渐走入平常百姓家．某数学兴趣小组随机抽取了我市某单位部分职工进行调查，对职工购车情况分4类（A ：车价40万元以上；B ：车价在20—40万元；C ：车价在20万元以下；D ：暂时未购车）进行了统计，并将统计结果绘制成以下条形统计图和扇形统计图．请结合图中信息解答下列问题：（1）调查样本人数为__________，样本中B 类人数百分比是_______，其所在扇形统计图中的圆心角度数是________；（2）把条形统计图补充完整；（3）该单位甲、乙两个科室中未购车人数分别为2人和3人，现从中选2人去参观车展，用列表或画树状图的方法，求选出的2人来自不同科室的概率．18．（818（2166÷31319．（8分）在某小学“演讲大赛”选拔赛初赛中，甲、乙、丙三位评委对小选手的综合表现，分别给出“待定”（用字母W 表示）或“通过”（用字母P 表示）的结论．（1）请用树状图表示出三位评委给小选手琪琪的所有可能的结论；（2）对于小选手琪琪，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？20．（8分）“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“寒假”期间，某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：（1）求这次调查的家长人数，并补全图1；（2）求图2中表示家长“赞成”的圆心角的度数；（3）已知某地区共6500名家长，估计其中反对中学生带手机的大约有多少名家长？21．（8分）甲、乙两公司各为“希望工程”捐款2000元．已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且乙公司的人数是甲公司人数的45，问甲、乙两公司人均捐款各多少元？22．（10分）太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC 如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）23．（12分）如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．若∠A＝n°，求∠BOC 的度数．24．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+1．设这种产品每天的销售利润为w元．求w与x之间的函数关系式．该产品销售价定元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解题分析】∵x a=2,x b=3，∴x3a−2b=(x a)3÷(x b)2=8÷9= 89，故选A.2、B【解题分析】根据旋转的性质可得AC＝A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′＝45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，最后根据旋转的性质可得∠B＝∠A′B′C．【题目详解】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC＝A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′＝45°，∴∠A′B′C＝∠1＋∠CAA′＝20°＋45°＝65°，∴∠B＝∠A′B′C＝65°．故选B．【题目点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．3、A【解题分析】某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.逐个按要求分析即可. 【题目详解】选项A，是轴对称图形，不是中心对称图形，故可以选；选项B，是轴对称图形，也是中心对称图形，故不可以选；选项C，不是轴对称图形，是中心对称图形，故不可以选；选项D，是轴对称图形，也是中心对称图形，故不可以选.故选A【题目点拨】本题考核知识点：轴对称图形和中心对称图形.解题关键点：理解轴对称图形和中心对称图形定义.错因分析容易题.失分的原因是：没有掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.4、A【解题分析】试题分析：选项A为最简分式；选项B化简可得原式==；选项C化简可得原式==；选项D化简可得原式==，故答案选A.考点：最简分式.5、C【解题分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=2222，则222+2，OC=122+1，所以2，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．【题目详解】试题分析：作MH⊥AC于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH=45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∴AH=MH=22AM=22×2，∵CM平分∠ACB，∴2∴2，∴2222+2，∴OC=122，CH=AC﹣2+222∵BD⊥AC，∴ON∥MH，∴△CON∽△CHM，∴ON OCMH CH=2222=+，∴ON=1．故选C．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．6、C【解题分析】根据函数y＝mx2+（m+2）x+12m+1的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决．解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+12m+1的图象与x轴只有一个交点，∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点，当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+12m+1的图象与x轴只有一个交点，则△＝（m+2）2﹣4m（12m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2，由上可得，m的值为0或2或﹣2，故选：C．【题目点拨】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．7、B【解题分析】当k＞0时，一次函数y=kx﹣k的图象过一、三、四象限，反比例函数y=kx的图象在一、三象限，∴A、C不符合题意，B符合题意；当k＜0时，一次函数y=kx﹣k的图象过一、二、四象限，反比例函数y=kx的图象在二、四象限，∴D不符合题意．故选B．8、C【解题分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以得到l与直线y＝﹣1交点的个数，从而可以解答本题．【题目详解】∵抛物线l：y＝﹣12x2+bx+c（b，c为常数）的顶点D位于直线y＝﹣2与x轴之间的区域，开口向下，∴当顶点D位于直线y＝﹣1下方时，则l与直线y＝﹣1交点个数为0，当顶点D位于直线y＝﹣1上时，则l与直线y＝﹣1交点个数为1，当顶点D位于直线y＝﹣1上方时，则l与直线y＝﹣1交点个数为2，故选C．【题目点拨】考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想和分类讨论的数学思想解答．9、DA 81的算术平方根；B 、先算-6的平方，然后再求C 、利用完全平方公式计算即可；D 、1216． 【题目详解】A 9，故A 错误；B 、，故B 错误；C 、2，故C 错误；D 、1216=4，故D 正确． 故选D ．【题目点拨】本题主要考查的是实数的运算，掌握算术平方根、平方根和二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键． 10、B【解题分析】分析：根据绝对值的性质，一个负数的绝对值等于其相反数，可有相反数的意义求解. 详解：因为-14的相反数为14 所以-14的绝对值为14. 故选：B点睛：此题主要考查了求一个数的绝对值，关键是明确绝对值的性质，一个正数的绝对值等于本身，0的绝对值是0，一个负数的绝对值为其相反数.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、3﹣【解题分析】首先设点B 的横坐标，由点B 在抛物线y 1=x 2（x≥0）上，得出点B 的坐标，再由平行，得出A 和C 的坐标，然后由CD 平行于y 轴，得出D 的坐标，再由DE ∥AC ，得出E 的坐标，即可得出DE 和AB ，进而得解.【题目详解】设点B 的横坐标为a ，则()2,B a a∵平行于x 轴的直线AC∴())220,,,A a C a又∵CD 平行于y 轴∴)2,3D a 又∵DE ∥AC ∴()23,3E a a∴(3,DE a AB a ==∴DE AB=3【题目点拨】此题主要考查抛物线中的坐标求解，关键是利用平行的性质.12、2x ≥【解题分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：x-1≥0，解得x 的范围．【题目详解】根据题意得：x-1≥0，解得：x≥1．故答案为：2x ≥.【题目点拨】此题考查二次根式，解题关键在于掌握二次根式有意义的条件.13、12【解题分析】分析：连接BC ，则∠BCE ＝90°，由余弦的定义求解.详解：连接BC ，根据圆周角定理得，∠BCE ＝90°，所以cos ∠BEC ＝2142CE BE ＝＝. 故答案为12. 点睛：本题考查了圆周角定理的余弦的定义，求一个锐角的余弦时，需要把这个锐角放到直角三角形中，再根据余弦的定义求解，而圆中直径所对的圆周角是直角.14、32- 2 13- 2 【解题分析】和余数的情况确定y2006的值即可．【题目详解】y1=32 -，y2=−1312-+=2，y3=−112+=13-，y4=−1113-+=32-，…，∴每3次计算为一个循环组依次循环，∵2006÷3=668余2，∴y2006为第669循环组的第2次计算，与y2的值相同，∴y2006=2，故答案为32-；2；13-；2.【题目点拨】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是多运算找规律.15、x≠1【解题分析】由题意得x-1≠0,∴x≠1.故答案为x≠1.16、π（x+5）1=4πx1．【解题分析】根据等量关系“大圆的面积=4×小圆的面积”可以列出方程．【题目详解】解：设小圆的半径为x米，则大圆的半径为（x+5）米，根据题意得：π（x+5）1=4πx1，故答案为π（x+5）1=4πx1.【题目点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，本题等量关系比较明显，容易列出．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）50，20%，72°．（2）图形见解析；（3）选出的2人来自不同科室的概率=．【解题分析】试题分析：（1）根据调查样本人数=A类的人数除以对应的百分比．样本中B类人数百分比=B类人数除以总人数，B 类人数所在扇形统计图中的圆心角度数=B类人数的百分比×360°．（2）先求出样本中B类人数，再画图．（3）画树状图并求出选出的2人来自不同科室的概率．试题解析：（1）调查样本人数为4÷8%=50（人），样本中B类人数百分比（50﹣4﹣28﹣8）÷50=20%，B类人数所在扇形统计图中的圆心角度数是20%×360°=72°；（2）如图，样本中B类人数=50﹣4﹣28﹣8=10（人）；（3）画树状图为：共有20种可能的结果数，其中选出选出的2人来自不同科室占12种，所以选出的2人来自不同科室的概率=．考点：1.条形统计图2.扇形统计图3.列表法与树状图法．18、52-23 3【解题分析】分析：先化简各二次根式，再根据混合运算顺序依次计算可得．详解：原式=32×（2-66）-2+33=62-3-2+3 3=52-23 3点睛：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握混合运算的法则是解题的关键.19、（1）见解析；（2）14；（3）12.【解题分析】（1）根据列树状图的步骤和题意分析所有等可能的出现结果，即可画出图形；（2）根据（1）求出甲、乙两位评委给出相同结论的情况数，再根据概率公式即可求出答案；（3）根据（1）即可求出琪琪进入复赛的概率．【题目详解】（1）画树状图如下：（2）∵共有8种等可能结果，只有甲、乙两位评委给出相同结论的有2种可能，∴只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率P=21 84 =；（3）∵共有8种等可能结果，三位评委中至少有两位给出“通过”结论的有4种可能，∴乐乐进入复赛的概率P=41 82 =．【题目点拨】此题考查了列树状图，掌握列树状图的步骤，找出三位评委给出相同结论的情况数是本题的关键，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P=mn．20、（1）答案见解析（2）36°（3）4550名【解题分析】试题分析：（1）根据认为无所谓的家长是80人，占20%，据此即可求得总人数；（2）利用360乘以对应的比例即可求解；（3）利用总人数6500乘以对应的比例即可求解．（1）这次调查的家长人数为80÷20%=400人，反对人数是：400-40-80=280人， ；（2）360×40400=36°； （3）反对中学生带手机的大约有6500×280400=4550（名）． 考点：1.条形统计图；2.用样本估计总体；3.扇形统计图．21、甲、乙两公司人均捐款分别为80元、100元．【解题分析】试题分析：本题考察的是分式的应用题，设甲公司人均捐款x 元，根据题意列出方程即可.试题解析：设甲公司人均捐款x 元200042000520x x ⨯=+ 解得：80x =经检验，80x =为原方程的根， 80+20=100答：甲、乙两公司人均各捐款为80元、100元．22、1.9米【解题分析】试题分析：在直角三角形BCD 中，由BC 与sinB 的值，利用锐角三角函数定义求出CD 的长，在直角三角形ACD 中，由∠ACD 度数，以及CD 的长，利用锐角三角函数定义求出AD 的长即可．试题解析：∵∠BDC=90°，BC=10，sinB=， ∴CD=BC•sinB=10×0.2=5.9，∵在Rt △BCD 中，∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣36°=54°， ∴∠ACD=∠BCD ﹣∠ACB=54°﹣36°=18°，∴在Rt△ACD中，tan∠ACD=，∴AD=CD•tan∠ACD=5.9×0.32=1.888≈1.9（米），则改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为1.9米．考点：解直角三角形的应用23、（1）125°；（2）125°；（3）∠BOC=90°+12 n°．【解题分析】如图，由BO、CO是角平分线得∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，再利用三角形内角和得到∠ABC+∠ACB+∠A=180°，则2∠1+2∠2+∠A=180°，接着再根据三角形内角和得到∠1+∠2+∠BOC=180°，利用等式的性质进行变换可得∠BOC=90°+12∠A，然后根据此结论分别解决（1）、（2）、（3）．【题目详解】如图，∵BO、CO是角平分线，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴2∠1+2∠2+∠A=180°，∵∠1+∠2+∠BOC=180°，∴2∠1+2∠2+2∠BOC=360°，∴2∠BOC﹣∠A=180°，∴∠BOC=90°+12∠A，（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，∴∠BOC=90°+12×70°=125°；（2）∠BOC=90°+12∠A=125°；（3）∠BOC=90°+12 n°．【题目点拨】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．24、 (1)2w 2x 120x 1600=-+-;(2) 该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润2元;(3)该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．【解题分析】（1）根据销售额=销售量×销售价单x ，列出函数关系式．（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值．（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x ，根据x 的取值范围求x 的值．【题目详解】解：（1）由题意得：()()()2w x 20y x 202x 802x 120x 1600=-⋅=--+=-+-， ∴w 与x 的函数关系式为：2w 2x 120x 1600=-+-．（2）()22w 2x 120x 16002x 30200=-+-=--+，∵﹣2＜0，∴当x=30时，w 有最大值．w 最大值为2．答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润2元．（3）当w=150时，可得方程﹣2（x ﹣30）2+2=150，解得x 1=25，x 2=3．∵3＞28，∴x 2=3不符合题意，应舍去．答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．。
备战中考数学名校好题福建专用全真模拟卷7
备战中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（福建专用）第七模拟（本卷共25小题，满分150分，考试用时120分钟）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（2021·福建·模拟预测）在实数1-，13 ）A ．1-B ．13CD 【答案】C【分析】根据无理数的定义、算术平方根即可得．【解析】A 、1-是有理数，此项不符题意；B 、13是有理数，此项不符题意；CD 3=是有理数，此项不符题意；故选：C ．【点睛】本题考查了无理数、算术平方根，熟练掌握无理数的定义是解题关键．2．（2021·福建·厦门市湖滨中学二模）实数m n ，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．1m <-B ．|2|0n -<C ．0m n +<D ．20n m ->【答案】D【分析】根据数轴可以判断m 、n 的大小，从而可以解答本题．【解析】解：由数轴可得，−1＜m ＜0＜2＜n ＜3，故选项A 错误，选项B 错误，∴m ＞−n ，即：0m n +>，故选项C 错误，∴20n m ->，故选项D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，判断出m 、n 的大小，利用数形结合的思想解答．3．（2019·福建·一模）小明在计算一组数据的方差时，列出的公式如下：2222221(7)(8)(8)(8)(9)s x x x x x n⎡⎤=⨯-+-+-+-+-⎣⎦，根据公式信息，下列说法中，错误的是（ ）A ．数据个数是5B ．数据平均数是8C ．数据众数是8D ．数据方差是0【答案】D【分析】根据题目中的方差公式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解析】解：∴2222221(7)(8)(8)(8)(9)s x x x x x n ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-⎣⎦， ∴数据个数是5，故选项A 正确， 数据平均数是：788895++++=8，故选项B 正确， 数据众数是8，故选项C 正确，数据方差是：s 2=15[(7−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(9−8)2]=25，故选项D 错误， 故选：D ．【点睛】本题考查了方差、样本容量、算术平均数、众数，解题的关键是明确题意，会求一组数据的方差、样本容量、算术平均数、众数．4．（2021·福建厦门·二模）观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a ，b ，a b >，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（ ）A ．2()a a b a ab -=-B ．22()()a b a b a b +-=-C ．222( )2a b a ab b -=-+D ．222()2a b a ab b +=++【答案】C【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积可得问题的答案．【解析】标记如下：∵4Rt ABN PQMN ABCD S S S 正方形正方形＝﹣，∴（a ﹣b ）2＝a 2+b 2﹣412ab ⨯ ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：C ．【点睛】此题考查的是利用勾股定理的证明，可以完全平方公式进行证明，掌握面积差得算式是解决此题关键．5．（2011·北京房山·中考模拟）关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．12 【答案】B【分析】把0x =代入方程22(1)10m x x m -++-=可得210m -=，然后求解，且需满足10m -≠，则问题可求解．【解析】解：把0x =代入方程()22110m x x m -++-=可得： 210m -=，解得：1m =±，∴10m -≠，∴1m =-；故选B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．6．（2022·福建·模拟预测）如图，正方形ABCD ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，有DE ＝CF ，AF 与BE 相交于点G ．AB ＝4，DE ＝1，则AG 的长是（ ）A ．2BCD ．125【答案】D【分析】 利用正方形的性质及题目条件可证∴ABE ∴∴DAF ，再根据全等三角形的性质推出90DAF AEB ABE AEB ∠+∠=∠+∠=︒，最后利用等面积法即可求出线段的长．【解析】解：∴正方形ABCD ，AB ＝4，DE ＝1，∴AD ＝CD ＝BC ＝AB ＝4，90BAD ADC ∠=∠=︒，AE ＝AD －DE ＝3∴5BE =又∴DE ＝CF ，∴AD －DE ＝CD －CF ，即AE ＝DF ，在∴ABE 和∴DAF 中{90AB ADBAD ADC AE DF=∠∠=︒=＝∴∴ABE ∴∴DAF （SAS ），∴DAF ABE ∠=∠∴90DAF AEB ABE AEB ∠+∠=∠+∠=︒，∴AG ∴BE ， ∴11··22AB AE BE AG = ∴·431255AB AE AG BE ⨯===． 故选：D ．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质．关键在于利用全等推出90DAF AEB ABE AEB ∠+∠=∠+∠=︒，并利用等面积法求线段的长度．7．（2021·福建省厦门第二中学二模）已知非负数a ，b ，c 满足3a b +=且36c a -=-，设2y a b c =++的最大值为m ，最小值为n ，则m n -的值是（ ）A ．16B ．15C ．9D ．7【答案】D【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．【解析】解：∴a+b=3，c﹣3a=-6，∴b=3﹣a，c=3a-6．∴b，c都是非负数，∴303-60aa-≥⎧⎨≥⎩①②，解不等式∴得：a≤3，解不等式∴得：a≥2，∴2≤a≤3．又∴a是非负数，∴2≤a≤3，S=a2+b+c=a2+（3﹣a）+3a-6=a2+2a-3，∴对称轴为直线a=﹣221⨯=﹣1，∴a=2时，最小值n=5，∴a=3时，最大值m=32+2×3-3=12，∴m﹣n=12﹣5=7．故选D．【点睛】本题考查了不等式组，二次函数的性质，掌握不等式组，二次函数的性质，用a表示出b、c，并求出a的取值范围是解题的关键，难点在于整理出s关于a的函数关系式．8．（2018·福建龙岩·中考模拟）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1≈1.414）（）A ．34.14米B ．34.1米C ．35.7米D ．35.74米【答案】C【解析】 解：过B 作BF ∴CD 于F ，∴AB =A ′B ′=CF =1.6米，在Rt △DFB ′中，B ′F =tan67.5DF ，在Rt △DFB 中，BF =DF ，∴BB ′=AA ′=20，∴BF ﹣B ′F =DF ﹣tan67.5DF =20，∴DF ≈34.1米，∴CD =DF +CF =35.7米．故选C ．9．（2021·福建·大同中学二模）如图，直线y ＝x +6分别与x 轴、y 轴相交于点M ，N ，∴MPN ＝90°，点C (0，3)，则PC 长度的最小值是（ ）A．3B ．3﹣CD ．3【答案】A【分析】 以MN 为直径作∴E ，连接EC 并延长交∴E 于点P ，此时PC 的长度最小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M ，N 的坐标，进而可得出MN 的长度及点E 的长度，结合点C 的坐标可求出CE 的长，再利用CP =EP -CE =12MN -CE ，即可求出PC 长度的最小值．【解析】解：以MN 为直径作∴E ，连接EC 并延长交∴E 于点P ，此时PC 的长度最小.当x ＝0时，y ＝0+6＝6，∴点N 的坐标为（0，6）；当y ＝0时，x +6＝0，解得：x ＝﹣6，∴点M 的坐标为（-6，0）．∴MN==E 的坐标为（﹣3，3）．又∴点C 的坐标为（0，3），∴CE ＝3，∴CP ＝EP ﹣CE 12=MN ﹣CE 12=⨯3＝3． 故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、勾股定理以及圆的认识，牢记点内一点到圆的最短距离=半径-该点到圆心的距离是解题的关键．10．（2020·福建·模拟预测）抛物线y=ax 2+bx+5a 与x 轴有两个交点是点A 和点B （点B 在点A 左边）且抛物线交y 轴于负半轴，a 与b 异号．则下列说法中正确的一项是（ ）A ．若抛物线上仅有一点C(m ，m)则a 的取值范围为a <B ．方程ax 2+bx+3a=0必有两个不相等的实数根C ．当b=6a 时，点B(-1，0)，点A(5，0)D ．a 与b 满足大小关系为b -<<【答案】B【分析】A ：将C(m ，m)代入，根据抛物线上仅有一点C 得出根的判别式为零，从而求算出a 、b 之间的关系，再根据a 、b 的正负性解不等式即可；B ：根据抛物线y=ax 2+bx+5a 与x 轴有两个交点是点A 和点B （点B 在点A 左边）令y=0得出根的判别式大于零，从而判断方程ax 2+bx+3a=0根的判别式的正负性；C ：将b=6a 代入y=ax 2+bx+5a 得出()()15y a x x =++，从而求出A 、B 坐标；D ：根据抛物线y=ax 2+bx+5a 与x 轴有两个交点是点A 和点B （点B 在点A 左边），令y=0，根的判别式大于零解不等式即可．【解析】A ：将C(m ，m)代入y=ax 2+bx+5a 得：()225150am bm a m am b m a ++=⇒+-+=∴抛物线上仅有一点C∴()221200b a ∆=--=解得：1b =±∴抛物线交y 轴于负半轴∴0,0a b <> 即：010⎧>⎪⎨->⎪⎩ 解得：0a < ，A 错误； B ：∴抛物线y=ax 2+bx+5a 与x 轴有两个交点是点A 和点B （点B 在点A 左边），令y=0 ∴22200b a ∆=->∴对于方程ax 2+bx+3a=0有：2222212=2080b a b a a ∆=--+>∴方程ax 2+bx+3a=0必有两个不相等的实数根，B 正确；C ：当b=6a 时，()()26515y ax ax a a x x =++=++∴B(-1，0)，点A(-5，0)，C 错误；D ：∴抛物线y=ax 2+bx+5a 与x 轴有两个交点是点A 和点B （点B 在点A 左边），令y=0∴22200b a ∆=->即()()0b b +->解得：b >- 或b < ，D 错误故答案选：B【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程结合，熟练使用根的判别式判断相关的不等关系以及等量关系是解题关键．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（2020·福建省泉州实验中学模拟预测）若11x +-x 的取值范围是______________． 【答案】32x ≤且1x ≠ 【分析】根据分式的分母不为0和二次根式的被开方数非负可得关于x 的不等式组，解不等式组即得结果．【解析】解：若11x -320–10x x -≥⎧⎨≠⎩，解得：321x x ⎧≤⎪⎨⎪≠⎩，即32x ≤且1x ≠． 故答案为：32x ≤且1x ≠． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件以及一元一次不等式组的解法，属于应知应会题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．12．（2018·安徽芜湖·中考模拟）因式分解：3222x x y xy +=-__________．【答案】2()x x y -【分析】先提取公因式x ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解析】解：原式222(2)()x x xy y x x y =-+=-，故答案为：2()x x y -．【点睛】本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．13．（2018·福建厦门·中考模拟）不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为2x <，则k 的取值范围为_____．【答案】k≥1【解析】解不等式2x+9＞6x+1可得x ＜2，解不等式x -k ＜1，可得x ＜k+1，由于x ＜2，可知k+1≥2，解得k≥1.故答案为k≥1.14．（2021·福建省厦门第六中学三模）如图，在Rt∴ABC 中，∴ACB ＝90°，∴A ＝60°，AC ＝1，将∴ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到∴A 'B 'C ，此时点A '恰好在AB 边上，则点B '与点B 之间的距离为_____．【分析】先利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出BC ，然后证明三角形AA C '是等边三角形，得到∴=ACA BCB ''∠=60°，即可证明三角形BCB '是等边三角形，从而得到BB BC '=，由此求解即可.【解析】解：连接'BB ，在Rt ABC 中，ACB =∠90°，∴A =60°，∴∴ABC =30°，∴AB =2AC =2，由勾股定理得：BC =∴将ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到∴A B C '''，∴ACA BCB ''∠=∠，CA CA '=，CB CB '=，∴∴A =60°，∴三角形AA C '是等边三角形，∴∴=ACA BCB ''∠=60°，∴三角形BCB '是等边三角形，∴BB BC '==.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15．（2021·福建厦门·三模）如图，正六边形123456A A A A A A 内部有一个正五形12345B B B B B ，且3344//A A B B ，直线l 经过2B 、3B ，则直线l 与12A A 的夹角α=________︒．【答案】48 【分析】已知正六边形123456A A A A A A 内部有一个正五形12345B B B B B ，可得出正多边形的内角度数，根据3344//A A B B 和四边形内角和定理即可得出α的度数． 【解析】∴多边形123456A A A A A A 是正六边形，多边形12345B B B B B 是正五边形 ∴123234243180(62)180(52)120,10865A A A A A AB B B ︒⨯-︒⨯-∠=∠==︒∠=︒=∴3344//A A B B∴34234108B MA B B B ∠∠==︒ ∴3318010872B MA =︒︒=-∠︒22123234333603601201207248A NB A A A A A A A MB α∠=∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒故答案为：48 【点睛】本题考查了正多边形内角的求法，正n 多边形内角度数为180(2)n n︒-，四边形的内角和为360°，以及平行线的性质定理，两直线平行同位角相等．16．（2019·福建泉州·中考模拟）如图，OA 在 x 轴上，OB 在y 轴上，OA=8，AB=10，点C 在边OA 上，AC=2，P 的圆心P 在线段BC 上，且P 与边AB ，AO 都相切．若反比例函数ky x=（k≠0）的图象经过圆心P ，则k=________________．【答案】-5 【分析】 【解析】方法1：作PD∴OA 于D ，PE∴AB 于E ，作CH∴AB 于H ，如图，设∴P 的半径为r ，∴∴P 与边AB ，AO 都相切，∴PD=PE=r ，AD=AE ，在Rt∴OAB 中，∴OA=8，AB=10，=6，∴AC=2，∴OC=6，∴∴OBC 为等腰直角三角形，∴∴PCD 为等腰直角三角形，∴PD=CD=r ，∴AE=AD=2+r ，∴∴CAH=∴BAO ，∴∴ACH∴∴ABO ，∴CH ACOB AB =，即2610CH =，解得CH=65，85，∴BH=8105-=425，∴PE∴CH ，∴∴BEP∴∴BHC ，∴BE PEBH CH=，即10(2)42655r r-+=，解得r=1，∴OD=OC ﹣CD=6﹣1=5，∴P （5，﹣1），∴k=5×（﹣1）=﹣5．故答案为﹣5．方法2 由12PCASr CA r =⋅=，152PBAS r BA r =⋅=，1162622ABCS BO CA =⋅⋅=⨯⨯=， 可得66r =，故1r =．即点P 的纵坐标为-1，又因为点P 在直线BC ：6y x =-上，所以点P 的横坐标为5，故5k =-．方法3 注意到AP 平分OAB ∠，也可利用角平分线性质求解．由21105CP AC PB AB ===，可设CP t =，5PB t =．于是6BC t =，可得CP又因为45OCP ∠=︒，所以sin 451r CP =︒==． 考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．反比例函数图象上点的坐标特征；4．综合题；5．压轴题．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·福建·三模）先化简，再求值：2443111m m m m m -+⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中2m =．【答案】22m m -+，1-【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得． 【解析】解：原式22(2)13111m m m m m ⎛⎫--=÷- ⎪---⎝⎭22(2)411m m m m --=÷-- 2(2)11(2)(2)m m m m m --=⨯--+22m m -=+当2m =时，原式1===-【点睛】本题主要考查分式的化简求值，涉及平方差公式，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．18．（2022·福建三明·一模）如图，点E 为矩形ABCD 外一点，AE = DE .求证：∴ABE ∴∴DCE【答案】见解析 【分析】利用矩形性质以及等边对等角，证明EAB EDC ∠=∠，最后利用边角边即可证明ABE DCE ∆∆≌．【解析】解：四边形ABCD 是矩形，AB DC ∴=，90BAD CDA ∠=∠=︒，AE DE =，EAD EDA ∴∠=∠，EAB BAD EAD CDA EDA EDC ∴∠=∠+∠=∠+=∠，在ABE ∆和DCE ∆中，AE DE EAB EDC AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE DCE SAS ∴∆∆≌．【点睛】本题主要是考查了矩形的性质、等边对等角以及全等三角形的判定，熟练地利用矩形性质以及等边对等角，求证边和角相等，进而证明三角形全等，这是解决该题的关键．19．（2020·福建泉州·二模）解方程组：529321x y x y +=⎧⎨-=-⎩．【答案】12x y =⎧⎨=⎩ 【分析】观察原方程组，两个方程的y 系数互为相反数，可用加减消元法求解． 【解析】解：529321x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②，∴+∴，得8x ＝8， 解得：x ＝1．将x ＝1代入∴，得3﹣2y ＝-1， 解得y ＝2．所以方程组的解是12x y =⎧⎨=⎩．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，关键是根据未知数的系数选择加减消元法或代入消元法解方程组．20．（2021·福建·厦门市第九中学二模）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （115x ≤<）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大．【答案】（1）10%；（2）当19x ≤<时，17.7352y x =-+；当915x ≤<时，236080y x x =-++；第10天时销售利润最大 【分析】（1）设这个百分率是x ，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；（2）根据两个取值先计算：当1≤x ＜9时和9≤x ＜15时销售单价，由利润=（售价-进价）×销量-费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比． 【解析】（1）设该种水果每次降价的百分率是x ，依题意，得： 210(1)8.1x -=解得10%x =或190%x =（不符合题意，舍去）， 答：该种水果每次降价的百分率是10%；（2）当19x ≤<时，第1次降价后的价格：10(110%)9-=元， ∴(9 4.1)(803)(403)17.7352y x x x =---+=-+， ∴17.70-<，∴y 随x 的增大而减小，∴当1x =时，y 有最大值，17.71352334.3y =-⨯+=最大（元）， 当915x ≤<时，第2次降价后的价格：8.1元，∴222(8.1 4.1)(120)(364400)360803(10)380y x x x x x x =----+=-++=--+， ∴30-<，∴当10x =时，y 有最大值，380y =最大（元） ∴380＞334.3∴第10天时销售利润最大；【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x的取值，两个取值中的最大值才是最大利润．21．（2021·福建·泉州五中模拟预测）在矩形ABCD中，3AB=，4AD，点E是直线AB上=⊥于点G，交射线DA于点F．的一个动点，连接CE，过点B作BF CE∆∆；（1）如图，点E在线段AB上，求证：ABF BCE（2）在点E D、F、G、C四点构成的四边形为轴对称图形，若存在，求出相应AE的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）AE33或3，理由见解析．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∴BCE=∴EBG，即可证得∴ABF∴∴BCE；（2）分四种情况讨论：∴当点E运动到BA的延长线上，CD=CG=3，DF=FG时；∴当点E 运动到AB的延长线上时，则DC=CG=3，DF=FG时；∴当点E在线段AB上时；∴当点E 与点B重合，则点G于点B重合，点F于点A重合时；分别利用相似三角形的判定和性质即可求得AE的长【解析】（1）证明：在矩形ABCD中，∴A EBC∠=∠=90°，∴∠+∠=90°BCE CEB⊥，BF CEBGE ∴∠=90°， EBG GEB ∴∠+∠=90°，BCE EBG ∴∠=∠， ABFBCE ∴∆∆；（2）∴当点E 运动到BA 的延长线上，3CD CG ==，DF FG =时，使D 、F 、G 、C 四点构成的四边形为轴对称图形，如图∴矩形ABCD ，BF CE ⊥90EBC CGB ∴∠=∠=︒，GCB GCB ∠=∠， ~CGB CBE ∴∆∆CG BC BC CE ∴=即344CE =，解之：163CE =， 167333EG EC CG ∴=-=-= 同理可证~EGB EBC ∆∆EG BEBE CE ∴=即7316BE BE =解之：BE3AE BE AB ∴=-=∴当点E 运动到AB 的延长线上时，则3DC CG ==，DF FG =时，使D 、F 、G 、C 四点构成的四边形为轴对称图形，如图，同理求出BE=3AE AB BE∴=+∴当点E在线段AB上（不与点B重合），不存在；∴当点E与点B重合，则点G于点B重合，点F于点A重合，3AE∴=．AE∴33或3．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用的知识等，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（2021·福建·三模）据某知名网站调查，2020年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：根据所给信息解答下列问题：（1）求调查的总人数，并补全条形统计图，并在图中标明相应数据；（2）若2020年某地常住人口约有20万，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．【答案】（1）1400人，统计图见详解；（2）2万人；（3）1 6【分析】（1）根据消费类人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以教育类对应百分比求出其人数即可补全图形；（2）总人数乘以五峰最关注环保问题的人数所占百分比即可得出答案；（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解析】解：（1）调查的总人数是：420÷30%＝1400（人）， 关注教育的人数是：1400×25%＝350（人）． 如图所示：（2）最关注环保问题的人数为：20×10%＝2（万人）； （3）画树形图得：由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的有2种结果， ∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率=2÷12=16．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（2021·福建福州·模拟预测）如图，点O 为等边三角形ABC 的中心，BCE 是以BC 为斜边的直角三角形，且BE CE =．（1）用尺规在直线AB 的左侧作ABD △，使ABD △∴BCE ，保留必要的作图痕迹，不写作法；（2）ABD △能否由BCE 绕点O 按顺时针方向旋转得到？若能，请加以证明，并求出旋转角α（0180α<<︒）的度数；若不能，请说明理由．【答案】（1）图见详解；（2）能，旋转角α为120°，证明见详解． 【分析】（1）分别以点A 、B 为圆心，以CE 、BE 为半径画弧，则两弧交于一点D ，进而问题可求解；（2）连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，由题意易得,120,OA OB OC AOB BOC ABO CBO ==∠=∠=︒∠=∠，45CBE ∠=︒，由（1）可知：BCE BAD ≌，则有,45BD BE CBE ABD =∠=∠=︒，然后可得OBD OBE ≌，进而可得OD=OE ，最后问题可求解． 【解析】（1）解：如图所示：（2）证明：能，理由如下：连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，如图所示：∴O 是等边三角形ABC 的中心，BCE 是以BC 为斜边的直角三角形，且BE CE =， ∴,120,OA OB OC AOB BOC ABO CBO ==∠=∠=︒∠=∠，45CBE ∠=︒， 由（1）可知：BCE BAD ≌，∴,45BD BE CBE ABD =∠=∠=︒，∴ABO ABD CBO CBE ∠+∠=∠+∠，即OBD OBE ∠=∠，∴OB =OB ，∴OBD OBE ≌，∴OD OE =，∴OA=OB=OC ，∴BOC =∴AOB =120°，∴ABD △能由BCE 绕点O 按顺时针方向旋转得到，旋转角度为120︒．【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形及等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、等边三角形及等腰直角三角形的性质是解题的关键．24．（2021·福建龙岩·二模）如图，已知点C 是半圆的中点，O 是圆心，AB 是直径，点P 是过点A 且垂直于AB 的直线上一点，射线PC 恰好经过BC 的中点D ，点P 与点E 关于弦AC 对称．（1）求证：AC ＝AP ；（2）求证：∴AEC ＝∴DEB ；（3）连接BD ，若BDE ∆、CDE ∆、ACE ∆的面积分别为1S 、2S 、 3S ，求证：123S S S +【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）连结OC ，OD ，标角如图，点C 是半圆的中点，可得∴1＝90°，等腰三角形性质可得∴2＝∴3＝45°，由点D 是BC 的中点，可得∴4＝45°，可求∴5＝67.5°，再求∴OCD ＝∴P ＝67.5°即可；（2）由D 为BC 弧中点，可得∴4＝∴6＝45°，由折叠，∴AEC ＝67.5°，∴ACE ＝67.5°，∴7=45°，可证点C ，O ，E ，D 共圆，可得∴4＝∴8＝45°，可求∴BDE ＝67.5°即可；（3）连结BD 过D 作DF ∴AB 于F ,设∴O 的半径为a ,则AC ＝AP ，DF =OF ，BD ，由A ，B ，D ，C 四点共圆可求∴B ＝∴5＝67.5°，由折叠可得∴ACE ＝∴5＝67.5°，AP＝AE，23S=，可证△ACE∴∴DBE，DE＝BD，∴BDE＝45°，1S= 2，22S，计算12S S+，123S SS+即可．【解析】证明：连结OC，OD，标角如图，∴点C是半圆的中点，∴∴1＝90°，∴OA＝OC，∴∴2＝∴3＝45°，∴点D是BC的中点，∴∴4＝45°，∴OC＝OD，∴∴OCD＝67.5°，∴∴5＝180°－∴3－∴OCD＝67.5°，∴P A∴AB，∴∴P AO＝90°，∴∴1＋∴P AO＝180°，∴P A∥OC，∴∴OCD＝∴P＝67.5°，∴∴5＝∴P，∴AC＝AP；（2）由∴得∴5＝∴P＝67.5°，∴D为BC弧中点，∴∴4＝∴6＝45°，∴折叠，∴∴AEC ＝∴P ＝67.5°，∴5＝∴ACE ＝67.5°，∴∴7＝180°-∴5-∴ACE =180°-67.5°-67.5°=45°，∴DE 所对的∴7＝∴6，∴点C ，O ，E ，D 共圆，∴∴4＝∴8＝45°，∴∴BDE ＝180°－∴8－∴AEC ＝67.5°，∴∴AEC ＝∴DEB ；（3）连结BD 过D 作DF ∴AB 于F ，设∴O 的半径为a ,则AC ＝AP ，DF =OF ，∴BD =， ∴A ，B ，D ，C 四点共圆，∴∴B ＝∴5＝67.5°，∴折叠，∴∴ACE ＝∴5＝67.5°，AP ＝AE ，∴22311sin 2222S AC AE a =⨯⨯⨯∠=⨯=， ∴∴AEC ＝∴DEB ＝67.5°，∴∴ACE ∴∴DBE ，∴DE ＝BD ，∴BDE ＝45°，∴11sin 2S DE DB BDE =⨯⨯⨯∠=2， ∴由∴得∴7＝∴8＝45°，∴CD ＝DE ，∴CE ，∴2212S DE CD =⨯⨯，∴2221212S S a +=+=，∴212312a S S S +==【点睛】本题考查圆心角与弧关系，等腰三角形判定与性质，平行性质，折叠性质，四点共圆及其性质，勾股定理，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，三角形面积，掌握圆心角与弧关系，等腰三角形判定与性质，平行性质，折叠性质，四点共圆及其性质，勾股定理，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，三角形面积公式是解题关键．25．（2021·福建·泉州五中模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，若PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与y 轴垂直，则称该等腰三角形为点P ，Q 的“伴随等腰三角形”． （1）若P ，Q 为抛物线2y x 2x 3=-++上的点，它的“伴随等腰三角形”记为PQM ∆，且底边2PM =，点M ，Q 均在点P P 的横坐标为m ．∴若点M 在这条抛物线上，则PQM ∆的面积是_______．∴设P ，Q 两点的纵坐标分别为1y ，2y ，比较1y 与2y 的大小；∴当PQM ∆底边上的高等于底边长的2倍时，求点P 的坐标；（2）若P ，Q 是抛物线223y x nx n =-++上的两点，它的“伴随等腰三角形PQN ”以PN 为底，且点N ，Q 均在点P 的同侧（左侧或右侧），点Q 的横坐标是点P 的横坐标的2倍，过点P ，N 分别作垂直于x 轴的直线1l ，2l ．设点P 的横坐标为1n -，该抛物线在直线1l ，2l 之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为0y ，直接写出0y 与n 之间的函数关系式，并写出自变量n 的取值范围．【答案】（1）∴1；∴当12m <时，12y y <；当12m >时，12y y >；∴点P 的坐标为39,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或57,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）当1n <时，2031y n n =+-；当312n <≤时，203159y n n =-+-；当32n >，且3n ≠时，203y n n =+．【分析】（1）∴根据题意可知点P 为抛物线的顶点，求出点Q 的坐标和点P 的坐标即可求出∴PQM 的坐标；∴用m 表示P 、Q 两点的坐标，然后列不等式即可得到答案；∴由题意可知，当12m <时，Q 点的纵坐标比P 点的纵坐标大4，当12m >时，Q 点的纵坐标比P 点纵坐标小4，由此可求出P 点的坐标；（2）分情况讨论，注意点P 在y 轴右侧和y 轴左侧时情况不同，找到不同情况下的最高点即可．【解析】解：（1）∴将2y x 2x 3=-++配方得：()214y x =--+，∴该抛物线对称轴为直线1x =，∴点M 在这条抛物线上，∴点P ，M 关于直线1x =对称，∴点Q 即为顶点，坐标为()14，， ∴点P 的横坐标为0，当0x =时，y =3，即点P 坐标为()0,3，∴点Q 到PM 的距离为1， ∴12112PQM S =⨯⨯=△．∴由题意，得：()2,23P m m m -++，()21,4Q m m +-+， 设P ，Q 两点的纵坐标分别为了1y ，2y2123y m m ∴=-++，224y m =-+，且12y y ≠当12y y <时，有22234m m m -++<-+， 解得：12m <， 当12y y >时，有22234m m m -++>-+，解得：12m >， ∴当12m <时，12y y < 当12m >时，12y y > ∴由题意知：当12m <时，Q 点的纵坐标比P 点的纵坐标大4， 当12m >时，Q 点的纵坐标比P 点的纵坐标小4，P ，Q 两点的坐标分别为()2,23P m m m -++，2(1,4)Q m m +-+ 当12m <时，222344m m m -+++=-+， 解得：32m =-， ∴点P 的坐标为39,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当12m >时，222344m m m -++=-++，解得：52m =， ∴点P 的坐标为57,24⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述，点P 的坐标为39,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或57,24⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）点Q 的横坐标是点P 的横坐标的2倍，∴点Q 的横坐标为22n -，由等腰三角形可知点N 的横坐标为()2222133n n n n -+---=-⎡⎤⎣⎦， 抛物线223y x nx n =-++的对称轴为直线x n =，∴当133n n n -<<-时，直线1l ，2l 之间的部分（包括端点）的最高点为顶点， 又P ，Q 两点的纵坐标不能相等，22(1)n n n n ∴--≠--，即3n ≠，∴当32n >，且3n ≠时，203y n =+， 当10n -<时，P 点在y 轴左侧，此时最高点即为点P ，∴当1n <时，2031y n n =+-，当33n n >-，且P 点在y 轴右侧时，最高点即为点N∴当312n <≤时，203159y n n =+-， 综上所述，当1n <时，2031y n n =+-， 当312n <≤时，203159y n n =-+-， 当32n >，且3n ≠时，203y n n =+． 【点睛】此题考查了二次函数与几何综合问题，注意分类讨论是解题的关键．。
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福建省中考数学试题及答案一、选择题(每小题4分，共40分) 1.计算22+(－1)°的结果是( ).A.5B.4C.3D.22.北京故宫的占地面积约为720 000m 2，将720 000用科学记数法表示为( ). A.72×104 B.7.2×105 C.7.2×106 D. 0.72×1063.下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ). A.等边三角形 B.直角三角形 C.平行四边形 D.正方形4.右图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是( ).5.已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ). A.12 B.10 C.8 D.66.如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是( ).A.甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D.就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳 7.下列运算正确的是( ).A.a ·a 3= a 3B.(2a)3=6a 3C. a 6÷a 3= a 2D.(a 2)3－(－a 3)2=0主视方向■▲■▲▲■▲■■▲■▲54321060708090100数学成绩/分班级平均分丙乙甲8.《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少?”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34 685个字，设他第一天读x 个字，则下面所列方程正确的是( ).A. x+2x+4x=34 685B. x+2x+3x=34 685C. x+2x+2x=34 685D. x+21x+41x=34 6859.如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上， 且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于( ).A.55°B.70°C.110°D.125°10.若二次函数y=|a|x 2+bx+c 的图象经过A(m,n)、B(0,y 1)、C(3－m,n)、D(2, y 2)、E(2,y 3)，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ).A. y 1< y 2< y 3B. y 1 < y 3< y 2C. y 3< y 2< y 1D. y 2< y 3< y 1 二、填空题(每小题4分，共24分) 11.因式分解：x 2－9=__( x+3)( x －3)_____.12.如图，数轴上A 、B 两点所表示的数分别是－4和2， 点C 是线段AB 的中点，则点C 所表示的数是__－1_____.13.某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有__1200_____人.14.中在平面直角坐标系xOy 中，□OABC 的三个顶点O(0,0)、A(3,0) 、B(4,2),则其第四个顶点是是__(1,2)_____.15.如图,边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的⊙O 的圆心重合,E 、F 分别是AD 、BA 的延长与⊙O 的交点,则图中阴影部分的面积是__π－1_____.(结果保留π) 16.如图,菱形ABCD 顶点A 在例函数y=x3(x>0)的图象上，函数 OPBA(第9题)(第15题)DCEFABO (第16题)yxDCBA O20-4CB A(第12题)y=xk(k>3，x>0)的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点，若AB ＝2，∠DAB ＝30°，则k 的值为_6+23______. 三、解答题(共86分) 17. (本小题满分8分) 解方程组：⎩⎨⎧=+=-425y x y x解：⎩⎨⎧-==23y x18. (本小题满分8分)如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边 AB 、CD 上的一点，且DF ＝BE. 求证：AF=CE.解：（略）19. (本小题满分8分) 先化简，再求值：(x －1)÷(x －xx 12-),其中x =2+1 解：原式=1-x x, 1+2220. (本小题满分8分) 如图，已知△ABC 为和点A'.(1)以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC ，S △A'B'C'=4S △ABC ; (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)设D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，求证：△DEF ∽△D'E'F'.FEDCBA(2)证明(略)21. (本小题满分8分)在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到△AED ，点B 、C 的对应点分别是E 、D.(1)如图1，当点E 恰好在AC 上时，求∠CDE 的度数；(2)如图2，若α=60°时，点F 是边AC 中点，求证：四边形BFDE 是平行四边形.22.(本小题满分10分)某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m 吨的废水处理A'CBA(图1)EDC BA(图2)FEDCBACBA车间，对该厂工业废水进行无害化处理. 但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理. 已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元. (1)求该车间的日废水处理量m ；(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围. 解：(1)∵处理废水35吨花费370，且3530370 ＝768>8，∴m<35, ∴30+8m +12(35－m)＝370，m ＝20 (2)设一天生产废水x 吨,则当0< x ≤20时，8x+30≤10 x ， 15≤x ≤20 当x>20时，12(x －20)+160+30≤10x ， 20<x ≤25 综上所述，15≤x ≤20 23.(本小题满分10分)某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元.每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费某公司计划购实1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；10”的概率；(2)试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？ 解： (1)0.6(2)购买10次时，此时这100台机器维修费用的平均数 y 1=1001(24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10)＝27300 购买11次时，y 2=1001(26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10)＝27500 所以，选择购买10次维修服务.24. (本小题满分12分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足为E ，点F 在BD 的延长线上，且DF=DC ，连接AF 、CF.(1)求证：∠BAC=2∠DAC ；(2)若AF ＝10，BC ＝45，求tan ∠BAD 的值. 解：(1)∵BD ⊥AC ，CD=CD ， ∴∠BAC=2∠CBD=2∠CAD; (2)∵DF=DC ， ∴∠BFC=21∠BDC=21∠BAC=∠FBC, ∴CB=CF, 又BD ⊥AC ，∴AC 是线段BF 的中垂线，AB= AF=10, AC=10. 又BC ＝45， 设AE ＝x, CE=10－x,AB 2－AE 2=BC 2－CE 2, 100－x 2=80－(10－x)2, x=6 ∴AE=6,BE=8,CE=4,("1,2,5";"3,4,5";Rt △组合) ∴DE=BE CE AE ⋅=846⨯=3, 作DH ⊥AB ，垂足为H ，则FEDCBAHFEDCBADH=BD ·sin ∠ABD=11×53=533, BH= BD ·cos ∠ABD=11×54=544 ∴AH=10－544＝56∴tan ∠BAD=AH DH =633=21125.已知抛物y=ax 2+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点. (1)若公共点坐标为(2，0)，求a 、c 满足的关系式；(2)设A 为抛物线上的一定点，直线l ：y=kx+1－k 与抛物线交于点B 、C 两点，直线BD 垂直于直线y=－1,垂足为点D.当k ＝0时，直线l 与抛物线的一个交点在 y 轴上，且△ABC 为等腰直角三角形. ①求点A 的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数 k ，都有A 、D 、C 三点共线. 解：(1) y=a(x －2)2, c=4a;(2) y=kx+1－k= k(x －1)+1过定点(1,1),且当k ＝0时，直线l 变为y=1平行x 轴,与轴的交点为(0,1) 又△ABC 为等腰直角三角形，∴点A 为抛物线的顶点 ①c=1，顶点A(1,0)抛物线的解析式: y= x 2－2x+1.②⎩⎨⎧-+=+-=k kx y x x y 1122x 2－(2+k)x+k ＝0, x ＝21(2+k ±42+k ) x D ＝x B ＝21(2+k －42+k ), y D =－1； D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+1,2412k k y C ＝21(2+k 2+k 42+k , C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++2)4(1,24122k k k k k , A(1,0) ∴直线AD 的斜率k AD =422+--k k =242++k k ,直线AC的斜率k AC=24 2++kk∴k AD= k AC, 点A、C、D三点共线.。
【中考冲刺】2021年福建省南平市中考数学模拟试卷(附答案)
A． B． C． D．
10．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB= ，则AB的长是（）
A．4B．2 C．8D．4
二、填空题
11．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）= ，则α等于_____度．
A． B． C． D．
7．如图是由几块小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图是（）
A． B． C． D．
8．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为（ ）
A．100°B．120°C．115°D．135°
∴当两根木杆距离点灯距离相等时它们各自的顶端与自己的影子的顶端连线所形成的两个三角形相似，否则不相似，
故答案为：可能．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用及中心投影的知识，解题的关键是了解中心投影是由点光源发出的光线形成的投影．
13．8π
【详解】
解：由三视图可知这个几何体是一个圆锥，且底面圆的直径为4，母线长为4，
∵△ADC∽△EBA，
∴∠CAD=∠AEC， ，即 ，
∴AE= ，
∴tan∠CAD=tan∠AEC= = = ．
考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
23．
【分析】
过点B作BF⊥AC于点F，根据题意得出BC，FC，AF的长，进而利用速度与路程之间的关系得出答案．
【详解】
解：过点B作BF⊥AC于点F．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
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福建省中考数学模拟试卷（五）一、选择题1．如图，O为原点，数轴上A，B，O，C四点，表示的数与点A所表示的数是互为相反数的点是（）A．点B B．点O C．点A D．点C2．用科学记数法表示10000，正确的是（）A．1万B．10×103C．1×103 D．1×1043．不等式2x＞﹣3解集是（）A．x＞﹣B．x＜﹣C．x＞﹣D．x＜﹣4．因式分解1﹣a2的结果是（）A．（1+a）（1﹣a）B．（1﹣a）2 C．（a+1）（a﹣1）D．（1﹣a）a5．计算﹣的结果是（）A．1 B．C．x﹣y D．x+3y6．已知线段AB=4cm，过点B作BC⊥AB，且BC=2cm，连结AC，以C为圆心，CB为半径作弧，交AC于D；以A为圆心，AD为半径作弧，交AB于P，量一量线段AP的长，约为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm7．如图，四边形纸片ABCD，以下测量方法，能判定AD∥BC的是（）A．∠B=∠C=90°B．∠B=∠D=90°C．AC=BD D．点A，D到BC的距离相等8．成成在满分为100分的期中、期末数学测试中，两次的平均分为90分，若按期中数学成绩占30%，期末数学成绩占70%计算学期数学成绩，则成成的学期数学成绩可能是（）A．85 B．88 C．95 D．1009．用相同的钱，小聪买的笔蕊数量是小明买笔记本数量的2倍，每本笔记本比每支笔蕊多1元．设每支笔蕊x元，小明依题意列得两个方程，①2x=x+1②=，下列判断正确的是（）A．只有①是对的B．只有②是对的C．①②都是对的D．①②都是错的10．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB上，则BE+EF 的最小值是（）A．4 B．4.8 C．5 D．5.4二、填空题11．计算2﹣2×（﹣2）2的值是．12．若方程x2+2x+1=m有两个相等的实数根，则m的值是．13．如图，⊙O的半径为1，OA=2.5，∠OAB=30°，则AB与⊙O的位置关系是．14．如图，矩形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，点E是边CD上一动点，已知AC=10，CD=6，则OE的最小值是．15．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则cos∠ABC的为．16．方程x2+mx+m﹣3=0的两根分别为x1，x2，且x1＜0＜x2＜1，则m的取值范围是．三、解答题（46分）17．一个袋子中装有大小完全相同的3个乒乓球，其中2个白色，1个黄色．请你用它为甲、乙两位同学设计一个能决定胜负的公平的摸球游戏规则．并说明公平的理由．18．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为一边上一点，请你用量角器，在BC边上确定E，使CE=BD，简述你的作法．并说明理由．19．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD于M，EN⊥DC于N．（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；（2）当∠MBE与△CNE的某一个内角相等时，求AD的长；（3）当四边形MEND与△BDE的面积相等时，求AD的长．20．如图，矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，2），顶点B，C分别在x轴，y轴的正半轴上（1）求证：∠OCB=∠ABE；（2）求OC长的取值范围；（3）若D的坐标为（m，n），请说明n随m的变化情况．参考答案与试题解析一、选择题1．如图，O为原点，数轴上A，B，O，C四点，表示的数与点A所表示的数是互为相反数的点是（）A．点B B．点O C．点A D．点C【考点】相反数；数轴．【分析】根据数轴判断出和点A的距离相等且位于原点两侧的点即可．【解答】解：由数轴有，点A，B到原点O的距离相等，并且位于原点两侧，故选A，【点评】此题是相反数题，主要考查了相反数的几何意义，解本题的关键是数轴的认识和分析．2．用科学记数法表示10000，正确的是（）A．1万B．10×103C．1×103 D．1×104【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：10000=1×104，故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．不等式2x＞﹣3解集是（）A．x＞﹣B．x＜﹣C．x＞﹣D．x＜﹣【考点】解一元一次不等式．【分析】直接化系数为1求解即可．【解答】解：2x＞﹣3，x＞﹣．故选：C．【点评】考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．4．因式分解1﹣a2的结果是（）A．（1+a）（1﹣a）B．（1﹣a）2 C．（a+1）（a﹣1）D．（1﹣a）a【考点】因式分解﹣运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：1﹣a2=（1+a）（1﹣a）．故选：A．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．5．计算﹣的结果是（）A．1 B．C．x﹣y D．x+3y【考点】分式的加减法．【分析】根据同分母的分式加减的法则进行计算即可．【解答】解：原式===1，故选A．【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式运算的法则是解题的关键．6．已知线段AB=4cm，过点B作BC⊥AB，且BC=2cm，连结AC，以C为圆心，CB为半径作弧，交AC于D；以A为圆心，AD为半径作弧，交AB于P，量一量线段AP的长，约为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm【考点】勾股定理；估算无理数的大小．【分析】根据题意，作出图形．根据勾股定理求得AC的长度，则AP=AD=AC﹣CD．【解答】解：如图，AB=4cm，BC=2cm，BC⊥AB，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC==2cm．又∵CD=BC=2cm，∴AP=AD=AC﹣CD=2﹣2≈2.5cm．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求得斜边AC的长度是解题的关键．7．如图，四边形纸片ABCD，以下测量方法，能判定AD∥BC的是（）A．∠B=∠C=90°B．∠B=∠D=90°C．AC=BD D．点A，D到BC的距离相等【考点】平行线的判定．【分析】逐条分析四个选项：A、由∠B=∠C=90°可得出∠B+∠C=180°，进而得出AB∥CD，故A 不正确；B（C）、由∠B=∠D=90°（AC=BD），无法得出边平行，故B（C）不正确；D、由点A，D到BC的距离相等，且A、D在直线BC的同侧，即可得出AD∥BC．综上即可得出结论．【解答】解：A、∵∠B=∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，A不可以；B、∠B=∠D=90°，无法得出边平行的情况，B不可以；C、AC=BD，无法得出边平行的情况，C不可以；D、∵点A，D到BC的距离相等，且A、D在直线BC的同侧，∴AD∥BC，D可以．故选D．【点评】本题考查了平行线的判定，解题的关键是逐条分析四个选项，找出能证出AD∥BC的条件．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，牢牢掌握平行线的判定定理是关键．8．成成在满分为100分的期中、期末数学测试中，两次的平均分为90分，若按期中数学成绩占30%，期末数学成绩占70%计算学期数学成绩，则成成的学期数学成绩可能是（）A．85 B．88 C．95 D．100【考点】加权平均数．【分析】设期中的成绩是x分，期末的成绩是y分，设学期成绩是z，根据平均数公式和权平均数公式列出式子，然后对每个答案进行判断即可．【解答】解：设期中的成绩是x分，期末的成绩是y分，则=90，即x+y=180，则3x+3y=540…①；若学期成绩是z，则30%x+70%y=z，即3x+7y=10z…②，②﹣①得4y=10z﹣540，则y=，当z=85时，y=77.5，则x=180﹣72.5=102.5＞100（分），不满足条件，则A错误；当z=88时，y=85，则x=180﹣85=95（分），满足条件，则B正确；当z=95时，y=102.5＞0，则不满足条件，故C错误；当=z=100时，y=115＞0，不满足条件，故D错误．故选B．【点评】本题考查了加权平均数公式，数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息，理解公式是关键．9．用相同的钱，小聪买的笔蕊数量是小明买笔记本数量的2倍，每本笔记本比每支笔蕊多1元．设每支笔蕊x元，小明依题意列得两个方程，①2x=x+1②=，下列判断正确的是（）A．只有①是对的B．只有②是对的C．①②都是对的D．①②都是错的【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设每支笔蕊x元，根据每本笔记本比每支笔蕊多1元，得出每本笔记本的钱数，再根据小聪买的笔蕊数量是小明买笔记本数量的2倍，得出2x=x+1和=，从而得出答案．【解答】解：设每支笔蕊x元，则每本笔记本是（x+1）元，∵小聪买的笔蕊数量是小明买笔记本数量的2倍，∴2x=x+1，=；∴①②都正确；故选C．【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键．10．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB上，则BE+EF 的最小值是（）A．4 B．4.8 C．5 D．5.4【考点】轴对称﹣最短路线问题；等腰三角形的性质．【分析】作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD平分∠BAC，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出BN，根据对称性质求出BE+EF=BM，根据垂线段最短得出BE+EF≥4.8，即可得出答案．【解答】解：作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于D，∴BD=DC=3，AD平分∠BAC，∴M在AC上，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD==4，∴S△ABC=×BC×AD=×AC×BN，∴BN===4.8，∵F关于AD的对称点M，∴EF=EM，∴BE+EF=BE+EM=BM，根据垂线段最短得出：BM≥BN，即BE+EF≥4.8，即BF+EF的最小值是4.8，故选B．【点评】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题等知识点的理解和掌握，能求出BE+EF=BM的长是解此题的关键．题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．二、填空题11．计算2﹣2×（﹣2）2的值是﹣6 ．【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题；实数．【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣2×4=2﹣8=﹣6．故答案为：﹣6【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．若方程x2+2x+1=m有两个相等的实数根，则m的值是0 ．【考点】根的判别式．【分析】将原方程整理成一般式，再根据方程有两个相等的实数根可得根的判别式△=0，即可得关于m的方程，解方程可得m的值．【解答】解：原方程整理，得：x2+2x+1﹣m=0，∵方程有两个相等的实数根，∴△=22﹣4×1×（1﹣m）=0，即4﹣4+4m=0，解得：m=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：①△＞0⇒方程有两个不等实数根；②△=0⇒方程有两个相等实数根；③△＜0⇒方程没有实数根．13．如图，⊙O的半径为1，OA=2.5，∠OAB=30°，则AB与⊙O的位置关系是相离．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】如图，作OH⊥AB于H，求出OH与半径半径即可判断AB与⊙O的位置关系．【解答】解：如图，作OH⊥AB于H，在RT△AOH中，∵∠OAH=30°．OA=2.5，∠OHA=90°，∴OH=OA=＞1，∴⊙O与AB相离．故答案为：相离．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，记住圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切，圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆相交，圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离，属于中考常考题型．14．如图，矩形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，点E是边CD上一动点，已知AC=10，CD=6，则OE的最小值是 4 ．【考点】矩形的性质．【分析】先由勾股定理求出BC=8，再证明OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线等于第三边的一半求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10，∠BCD=90°，∴BC===8，当OE⊥CD时，OE最小，此时OE∥BC，∵OB=OD，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=BC=4；故答案为：4．【点评】本题考查了矩形的性质和三角形的中位线定理、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证出OE是三角形的中位线是解决问题的关键．15．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则cos∠ABC的为．【考点】勾股定理的逆定理．【专题】计算题．【分析】连接AC，则AC，BC，AB的长度可以计算出来，根据AC，BC，AB判定△ABC为直角三角形，根据AC=BC判定∠ABC=45°．【解答】解：连接AC，延长AD交CD的延长线于D，由题意可知∠D=90°，则AC==，BC==，AB==，∵AC2+BC2=AB2∴△ABC直角三角形，∵AC=BC，∴∠A=∠B==45°．cos45°=故答案为．【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了等腰直角三角形底角为45°的性质，本题中求证△ABC是直角三角形是解题的关键．16．方程x2+mx+m﹣3=0的两根分别为x1，x2，且x1＜0＜x2＜1，则m的取值范围是1＜m＜3 ．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣3，利用x1＜0＜x2＜1得到x1x2＜0，x1﹣1＜0，x2﹣1＜0，则（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，所以m﹣3+m+1＞0，然后解两个关于m的不等式得到m的范围．【解答】解：根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣3，∵x1＜0＜x2＜1，∴x1x2＜0，x1﹣1＜0，x2﹣1＜0，∴m﹣3＜0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，x1x2﹣（x1+x2）+1＞0，即m﹣3+m+1＞0，解得m＞1，∴1＜m＜3．故答案为1＜m＜3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．三、解答题（46分）17．一个袋子中装有大小完全相同的3个乒乓球，其中2个白色，1个黄色．请你用它为甲、乙两位同学设计一个能决定胜负的公平的摸球游戏规则．并说明公平的理由．【考点】游戏公平性．【分析】制定游戏规则关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可．【解答】解：游戏规则：从袋子中摸出一个球，记录其颜色，放回，搅匀，再从袋子中摸出一球；若两个都是白色，则甲胜；若两个为一个黄色一个白色，则乙胜，（游戏规则不唯一）理由如下：从树形可知，共有9种可能，且都是等可能，其中两个都是白色的有4种可能，一个黄色一个色的有4种可能，∴P（甲）=P（乙）=，∴游戏公平．【点评】此题考查了游戏的公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．18．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为一边上一点，请你用量角器，在BC边上确定E，使CE=BD，简述你的作法．并说明理由．【考点】作图—基本作图．【分析】直接利用量角器测量出∠BAD的度数，再测出∠BAD=∠CAE，进而得出E点位置．【解答】解：用量角器测量出∠BAD的度数，进而以AC为边，测出∠BAD=∠CAE，进而得出E 点位置，理由：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中∵，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD=EC．【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．19．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD于M，EN⊥DC于N．（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；（2）当∠MBE与△CNE的某一个内角相等时，求AD的长；（3）当四边形MEND与△BDE的面积相等时，求AD的长．【考点】三角形综合题．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA，由三角形的外角性质和角平分线得出得出∠DAC=∠BDE，即可得出结论；（2）存在以下两种情况①当∠B=∠ECN时；②当∠B=∠CNE时，根据相似三角形的性质即可求得；（3）根据四边形MEND与△BDE的面积相等，得到△DME与△BME的面积相等．证明△BME∽△BCA，△CDE∽△CBD，即可解答．【解答】解：（1）∵AD=CD，∴∠A=∠ACD．∵∠CDB=∠A+∠ACD，∴∠CDB=2∠A．∵DE平分∠CDB，∴∠BDE=∠CDB=∠A．∴DE∥AC．（2）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5．∵EM⊥BD，EN⊥CD，∴∠BME=∠CNE=90°．存在以下两种情况①当∠B=∠ECN时，∴CD=BD，∵∠B+∠A=90°，∠ECN+∠ACD=90°，∴∠A=∠ACD．∴CD=AD．∴AD=BD=AB=．②当∠B=∠CNE时∴NE∥AB．∴∠ADC=∠CNE=90°．∴∠ADC=∠ACB．∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴．∴AD=．综上可得：AD=或．（3）∵∠EDN=∠EDM，∠DNE=∠DME=90°，DE=DE，∴△DNE≌△DME．∵四边形MEND与△BDE的面积相等，∴△DME与△BME的面积相等．∴DM=BM．∵EM⊥BD，∴DE=BE．∴∠B=∠BDE=∠CDE．∵∠B=∠B，∠BME=∠ACB=90°，∴△BME∽△BCA．∴．∴．∵∠DCE=∠DCB，∴△CDE∽△CBD．∴．∴CD=．∴CE=．∴BD=．∴BE=．∴AD=AB﹣BD=5﹣=．【点评】此题考查了平行线的判定，还考查了相似三角形的判定与性质，解题时要注意数形结合思想的应用，要注意不规则图形的面积的求解方法．20．如图，矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，2），顶点B，C分别在x轴，y轴的正半轴上（1）求证：∠OCB=∠ABE；（2）求OC长的取值范围；（3）若D的坐标为（m，n），请说明n随m的变化情况．【考点】矩形的性质；坐标与图形性质；二次函数的最值．【分析】（1）根据矩形的性质得出∠CBA=∠COB=90°，求出∠OCB+∠CBO=90°，∠CBO+∠ABE=90°，即可得出答案；（2）过A作AF⊥x轴于F，证△COB∽△BEA，得出比例式，设OB=x，则BE=4﹣x，求出OC=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，即可得出答案；（3）求出n=﹣（m﹣6）2+4，根据二次函数的性质得出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠CBA=∠COB=90°，∴∠OCB+∠CBO=90°，∠CBO+∠ABE=90°，∴∠OCB=∠ABE；（2）解：如图1，过A作AF⊥x轴于F，则∠COB=∠BEA=90°，∵∠OCB=∠ABE，∴△COB∽△BEA，∴=，∵A（4，2），∴AE=2，OE=4，设OB=x，则BE=4﹣x，代入求出OC=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，∵C在y轴的正半轴上，∴OC的范围是0＜OC≤2；（3）解：如图2，过D作DM⊥y轴于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB=90°，DC=AB，∴∠DMC=∠DCA=90°，∴∠MDC+∠MCD=90°，∠MCD+∠OCB=90°，∴∠MDC=∠OCB=∠ABE，在△DMC和△BEA中∴△DMC≌△BEA，∵D的坐标为（m，n），A（4，2），设OB=x，BE=4﹣x，∴MC=2，OM=n，DM=m=BE=4﹣x，∴由（2）知：由②得：x=m﹣4，代入①整理后得：n=﹣（m﹣6）2+4，∵m=4﹣x，B在x轴的正半轴上，n﹣2=﹣（x﹣2）+2，∴0＜m＜4，2＜n≤4，∴当0＜m＜4时，n随m的增大而增大．【点评】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质的应用，能根据题意得出二次函数的解析式是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．。