曲面形态连续介质有限变形理论—变形梯度及其基本性质
连续介质力学第四章
0 0
（ 4.47）
如果对变形梯度进行极分解:
0
F R U
，并且取 Q
0
R
T
,则
T
X , t ) h { { X ; F ( X , )} } R ( X , t ) h { { X ; U ( X , )} } R ( X , t ) （
（ 4.48）
为一常数
客观性原理认为,材料的本构关系不应该随观测者的改变而改变,即 在时空变换(4.2)式下,本构关系的形式是不变的,且本构关系中的张量应 该是客观性张量。
Network Optimization Expert Team
三、张量的客观性 1、客观性张量的定义
由(4.2)式,我们假定在参考时刻 t 0 ,有 Q ( t 0 ) I ,则根据(2.27)我们得到满 足如下的变形梯度的关系式
Network Optimization Expert Team
6、客观性原理
* * 现在考虑满足以下变换关系的两个时空系{ x , t }和 { x , t }
*
x
Q ( t ) x c ( t ), t
*
t a
( 4 .2 )
其中 Q ( t ) 为正交张量,
c ( t )为一向量, a
F Q (t ) F
*
( 4 .5 )
* * *
由极分解定理, F R U V R 和 F R U
U
*
V R
*
*
得
U , R Q R ,V
*
*
Q V Q
T
( 4 .6 )
同样的,根据(2.68)我们可以得到物质导数如下
第二章 连续介质塑性理论
ij ji
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z yz z Z 0 xz x y z
应力莫尔圆：
( x '
x y
2
)2 x ' y '2 (
x y
2
) 2 xy 2
（3）几何方程与小应变张量 ● 几何方程 小变形时的应变张量柯西（Cauchy）应变张量，位移与应变的关系称为几何方程
ε 1 ( u u ) 2
ij (ui , j u j ,i )
第二章 连续介质塑性理论
§2.1 预备知识
物体在外力作用下，会发生形状和尺寸的改变，称为变形。 弹性变形：外力除去后能恢复原状的变形 塑性变形：外力除去后不能恢复原状的变形
§2.1.1 单轴拉伸变形抗力曲线
（1）工程应力-应变曲线
工程应力（名义应力、条件应力）：试件所受载荷除以试件的原始截面积
P / A0
1 1
ij 应变速率：
1 i , j u j ,i ) (u 2
§2.1.3 不可压缩条件及等效应力、等效塑性应变
（1）不可压缩条件（Incompressibility condition）
d p ii 0
p ii 0 或
【例】 长方体塑性均匀变形 （2）等效应力（Effective stress）、应力强度
'ij sij ij m ij
3 应力偏量的特征方程： det[ 'ij ' ij ] ' J 2 ' J 3 0
微分几何与曲面的性质与变换
微分几何与曲面的性质与变换微分几何是数学中的一个分支，主要研究曲线和曲面的性质以及它们在空间中的变换。
通过微分几何的研究，我们能够深入了解曲面的形态、曲率以及它们的变换规律。
本文将重点探讨微分几何与曲面的性质与变换。
1. 曲面的定义与性质曲面是由平面来包裹而成的几何对象。
在微分几何中，我们主要关注的是二维曲面，即可以用二维投影来表示的曲面。
曲面可以通过参数方程来定义，例如常见的球面、圆柱面和锥面等。
曲面上的点可以由参数方程中的参数表示。
曲面的性质包括曲面的形状、曲率和法线等。
曲面的形状可以通过曲面的方程或参数方程来描述，例如曲面的曲率半径描述了曲面在某一点的局部弯曲程度。
曲面上每一点都有一个法线向量，它垂直于曲面，在计算曲面的性质时，法线的方向和长度起着重要的作用。
2. 第一基本形式微分几何中引入了第一基本形式的概念，用来刻画曲面上的测量性质。
第一基本形式是曲面上的度量，它由曲面的内部点之间的距离关系推导而来。
第一基本形式包含了曲面上的切线、曲率和曲面间的距离等信息。
通过第一基本形式，我们可以计算曲面上的曲率、曲面上两点之间的距离以及曲面上的长度等。
3. 曲面的变换微分几何中，曲面的变换是一个重要的研究对象。
曲面的变换包括刚体变换和仿射变换。
刚体变换是指在平移、旋转和缩放等约束下，可以保持曲面的形状和曲面上的相对距离不变。
仿射变换是指将曲面映射到另一个曲面，保持曲面上所有的直线和比例关系不变。
曲面的变换对于研究曲面的性质和形态有重要的意义。
通过变换，我们可以将一个曲面变形为另一个曲面，从而研究曲面的不同形态和性质。
变换还可以用于曲面的拓扑研究，通过变换可以判断两个曲面是否同胚，即是否存在一一对应的关系。
在计算机图形学和计算机视觉等领域中，曲面的变换是一个重要的研究内容。
通过曲面的变换，我们可以实现曲面的形变、变形以及场景中不同曲面之间的相互作用等效果。
微分几何与曲面的性质与变换之间有着密切的联系。
第三章 大变形运动学与连续介质力学(1)
从而有
dx ( I H ) dX ，
dxi ( iJ H iJ )dX J
dX ( I h) dx ，
dX I ( jI hIj )dx j
（2）参考构形体元与现时构形体元之间的变换
dx
dx '
dx ''
x dX X
x dX ' X
x dX '' X
第三章 大变形运动学与连续介质力学
小变形： 包括弹性或塑性小变形，应变 ~ 0.1% Cauchy应变与位移是线性关系——几何线性问题 大变形（有限变形） ：
ij (ui , j u j ,i )
1 2
应变大，有时达到 100~ 200%，甚至更大 Cauchy应变不再适用——几何非线性问题，需要建立新的变形描述理论 通常由纯变形（stretch），刚体转动（rigid body rotation）及刚体位移 （ translation）组成
ˆ ˆi E 通常取两个完全重合的直角坐标系： e I
则下标可不区分大小写
参考构形中的质点P，或质点X（XJ） 微小线元PQ记作向量dX
经过运动与变形后，在t 时刻： 构形C变为构形c 质点XJ（质点P）运动到p，位移为u p的空间坐标为x（xi） 线元PQ变为pq ， dX变为dx
质点X（XJ）的运动： x x ( X , t ) ， xi xi ( X J , t ) x X u ， xi iJ X J ui
小变形Cauchy应变 ： ij (ui , j u j ,i ) 2 11 22 cos 1 若 90 ，则 11 22 1 刚体转动任意一点的应变都是0。 只有当 0 时应变公式才有足够的精度 Cauchy应变不适用于大变形
曲面论的概念
曲面论的概念曲面论是微分几何学的一个分支，研究的对象是曲面及其在空间中的性质和变化。
曲面是三维空间中的一个二维物体，可以用参数方程或隐函数方程来描述。
曲面论的核心思想是通过微分几何工具来研究曲面的几何性质和变化规律。
首先，我们来看曲面的定义。
对于一个三维空间中的点P，如果存在一个邻域使得这个邻域内的点可以由两个独立的参数u和v来唯一确定，则这个邻域就构成了一个曲面。
曲面可以用参数方程表示为：\[\begin{cases}x = x(u,v) \\y = y(u,v) \\z = z(u,v)\end{cases}\]或者用隐函数方程表示为F(x,y,z)=0。
曲面论主要研究的内容可以分为以下几个方面：1. 曲面的基本性质：曲面论研究曲面的局部性质，例如曲面上的切向量、法向量、曲率等。
曲面上每一点都有一个与之相切的平面，称为切平面。
曲面的法向量是垂直于切平面的向量，它可以用曲面的参数方程来表示。
2. 第一基本形式：第一基本形式是曲面的内禀度量，描述了曲面上切向量的内积。
它反映了曲面的长度、角度、曲线弯曲等性质。
第一基本形式可以通过曲面的参数方程来计算。
3. 第二基本形式：第二基本形式是曲面对于切平面的曲率性质。
它与曲面的法向量和曲面的法向量的导数相关。
第二基本形式可以用曲面的方程来计算。
4. 高斯曲率和平均曲率：高斯曲率和平均曲率是曲面论中的重要概念。
高斯曲率是曲面上局部形状的量度，描述了曲面的弯曲程度。
平均曲率反映了曲面在某一点的整体弯曲情况。
5. 曲面的变化：曲面论还研究了曲面的变化规律，包括曲面的平移、旋转、放缩等。
这些变化可以通过微分几何的方法来描述和研究。
应用方面，曲面论在计算机图形学、计算机辅助设计、物理学、生物学等领域都有广泛的应用。
在计算机图形学中，曲面论可以用来构造和渲染三维模型。
在计算机辅助设计中，曲面论可以用来建立和分析复杂曲面形状。
在物理学中，曲面论可以用来描述空间中的电磁场、引力场等。
曲面论知识点总结
曲面论知识点总结曲面是三维空间中的一个特殊的几何概念，它在数学中有着重要的地位。
曲面理论研究曲面的性质、形状以及与其他几何概念之间的关系，广泛应用于物理学、计算机图形学、工程等领域。
本文将就曲面的定义、参数化、曲面的性质等知识点进行总结。
一、曲面的定义曲面是三维空间中的一种二维对象，可以用各种数学方法描述，常见的方法有参数方程和隐式方程。
常见的曲面包括球面、圆柱面、圆锥面等。
曲面的定义可以用数学语言描述为：在三维空间中，一般点(x, y, z)可以用参数形式描述为：P(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中u和v分别表示曲面上的两个参数。
根据参数的不同取值，曲面上的点可以覆盖整个曲面。
二、曲面的参数化曲面的参数化是指用参数的方法来描述曲面上的点。
参数化的目的是将曲面上的点与参数空间中的点建立起一一对应的关系，以方便对曲面上的点进行计算和研究。
不同的曲面可以采取不同的参数化方法，一般来说，可以采用自然参数化、球坐标参数化等方法来描述曲面。
例如，球面可以用球坐标参数化描述为：P(u, v) = (r * sinu * cosv, r * sinu * sinv, r * cosu)，其中u和v分别表示极角和方位角，r表示球的半径。
通过参数化，我们可以方便地对球面上的点进行计算和研究。
三、曲面的性质曲面有许多重要的性质，包括曲率、法线、切平面等。
这些性质可以帮助我们更好地理解曲面的形状和结构，从而在实际问题中应用。
以下就曲面的性质进行详细介绍：1. 曲率：曲率是描述曲面弯曲程度的重要概念，可以分为高斯曲率、平均曲率等多种类型。
曲率的计算可以通过偏微分方程或直接计算曲面上某点的曲率向量而得到。
2. 法线：曲面上的每一点都有一个与曲面垂直的法线，它可以用来描述曲面的方向。
法线在计算机图形学中有着重要的应用，可以用来进行阴影计算、光照计算等。
3. 切平面：曲面上的每一点都有一个切平面，它与曲面在该点的切线垂直。
连续介质力学作业(第二章)习题和答案
连续介质力学作业（第二章）参考答案1、初始构型和当前构型的转换关系：21122X X x +=，21222X X x +=，33X x = 其中()321,,X X X 为一个物质点在初始构型上的坐标，()321,,x x x 为同一个物质点在当前构型上的坐标。
参考基是~3~2~1,,e e e 标准正交基求：（1）变形梯度F（2）右Cauchy-Green 变形张量C （3）Green 变形张量E（4）初始构型上一向量~33~22~11~e X e X e X X ++=，变形后在当前构型上是~x ，证明~~~~X C X x x ••=•和()~~~~~~2X E X X X x x ••=•−•（5）左Cauchy-Green 变形张量b （6）Almansi 变形张量A解答：（1）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛3213211001220221X X X x x x （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=100232022310012202211001220221TTF F C（3）()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−=000041220224121I C E （4）~33~221~121~2222e X e X X e X X x +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=[]~~3213212321222123221221~~100023202232223232222XC X X X X X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=• []()~~321321212221~~~~210002120221222121XE X X X X X X X X X X X X X x x ••=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++=•−• （5）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001220221F ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•=1000232022310012202211001220221TTF F b（6）()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−=−10005.2220225.2211b I A2、一个连续体内的任意一点，初始时刻坐标为()Y X ,，经过t 时刻后，变为()y x ,，其中：atY X x +=，Y y = ，其中a 是常数。
连续介质力学大纲-2010
附件7:大连理工大学研究生课程教学大纲模板连续介质力学（课程名称）ΧΧΧΧ（课程编号）开课院系：工程力学系64学时/4学分任课教师：李锡夔，郭旭英文名称：Continuum Mechanics 开课学期：1课程作用与任务：连续介质力学是近代力学的一个重要分支，它以统一的观点研究模型化为连续介质的物体在外部及其内各部分相互作用下有关运动、变形等的宏观力学行为，是诸多力学课程的理论基础。
连续介质力学的基本框架建立在变形场论的基础之上，张量表示和运算是连续介质力学最基本的数学工具之一。
本课程的主要内容包括：张量理论基础；变形和运动的几何学描述；不同描述下连续介质运动的各种守恒律以及能量平衡方程；宏观连续体的本构理论等。
考虑到作为连续介质力学主要任务之一的初、边值问题求解，本课程特别注意到了与基于连续介质力学理论的有限元等数值方法的衔接，课程中还着重介绍了基于内变量理论以及热力学第二定律构建有限变形下弹塑性材料本构方程的一般理论和方法。
教学对象：博士、硕士(都可以）适合专业：力学、航空、汽车、造船、土木、水利、机械、材料、动力教学主要内容及对学生的要求：1、学习内容：向量和张量基础，变形与运动、应力与应变度量，质量和动量守恒方程和连续介质热动力学，弹塑性本构方程的一般途径2、实验内容：无3、先修知识：理论力学、材料力学、弹塑性力学基础知识考核方式：考试（闭卷）教材名称：主要参考书目：1．Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures, V olume 1: Essentials，(Chapter 4. Basic continuum mechanics.) M.A.Crisfield, Joun Wiley & Sons, 1991.2．Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures, V olume 2: Advanced topics (Chapter 10. More continuum mechanics.) M.A.Crisfield, Joun Wiley & Sons, 1997.3．Non-linear Finite Elements for Continua and Structures(Chapter 3. Continuum mechanics.) T.Belytschko, W.K.Liu, B.Moran, Joun Wiley & Sons, 2001. 4．连续介质力学基础, 黄筑平, 高等教育出版社, 2003.教学内容、教学方式及学时分配：编制人签字：主管研究生副院长（主任）签字：编制时间：。
大变形运动学与连续介质力学
σ
|
F
|1
FSF T
ST | F | (F 1σF T )T | F | F 1σT F T S 第二Piola-Kirchhoff应力张量是对称张量
Lagrange应力与Kirchhoff应力的关系：
Ij SIJ
x j X J X I x j
SIJ Ij
，或
Σ SF T
S
ΣF
T
§3.3.2 应力率
§3.2.4 变形率与应变速率张量
1．速度梯度及其分解
质点 P ' 相对于质点P 的相对速度为：
di
i (x j
xj ,t) i (x j ,t)
i x j
dx j
，
dυ υ dx x
速度梯度张量（Euler速度梯度张量）：
lij
i x j
i, j
，
l υ grad υ x
则 di lijdx j ， dυ ldx
F x βT X
cos sin 0
F sin cos 0
0
0 1
cos sin 0
F 1 sin cos 0
0
0 1
速度梯度：
f F 1 X β F T x
变形率：
旋转张量：
3．应变速率张量
（1）Green应变速率张量
线元长度平方的变化率：
d (ds2 dS 2 ) d (ds2 ) d (dxT dx) d (dxT dx) dυT dx dxT dυ
TJI N J
， T (N ) SN
SIJ 称为克希荷夫（Kirchhoff）应力张量，也叫伪应力张量或第二类皮奥拉克希荷夫（Piola-Kirchhoff）应力张量
微分几何第二章曲面论曲面的概念
VS
高斯曲率
设曲面$S$在点$P$处的两个主曲率分别为 $k_1, k_2$，则称$K = k_1k_2$为曲面在 点$P$处的高斯曲率。高斯曲率是曲面内蕴 几何量的重要代表，反映了曲面在一点处 的弯曲程度。
法截线和法截线族
法截线
设曲面$S$在点$P$处的法向量为 $mathbf{n}$，过点$P$且与法向量 $mathbf{n}$垂直的平面称为法截面。 法截面与曲面交于一条曲线，该曲线 称为法截线。
曲面性质
曲面具有连续性、光滑性、可定向性等性质。其中连续性指 曲面上任意两点都可以用一条连续曲线连接；光滑性指曲面 上任意一点都存在切线平面；可定向性指曲面存在连续的单 位法向量场。
曲面分类与举例
曲面分类
根据曲面的形状和性质，可以将曲面分为闭曲面、开曲面、紧致曲面、非紧致曲面等类 型。
举例
球面、环面、柱面、锥面等都是常见的曲面类型。例如，球面可以表示为 $mathbf{r}(theta, varphi) = (Rcosthetasinvarphi, Rsinthetasinvarphi,
法截线族
过曲面上一点的所有法截线构成的集 合称为该点的法截线族。法截线族在 微分几何中具有重要的研究价值，与 曲面的形状和性质密切相关。
04
曲面局部理论：可 展曲面与极小曲面
可展曲面定义及性质
定义
可展曲面是一类特殊的曲面，它可以在不改 变距离的情况下完全展开到一个平面上。也 就是说，它的高斯曲率为零。
02
第一基本形式与度 量性质
第一基本形式定义及性质
第一基本形式定义
第一基本形式是微分几何中曲面论的基本概念，用于描述曲面上的度量性质。它是一个二次微分形式，记作$I = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2$，其中$E, F, G$是曲面上的系数函数。
黄筑平,连续介质力学-概述说明以及解释
黄筑平,连续介质力学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述连续介质力学是力学中的一个重要分支，研究的是连续体（连续介质）的宏观运动和相互作用。
连续介质力学最初是为了研究流体和固体力学问题而发展起来的，后来逐渐扩展到其他领域，包括声学、热力学、电动力学等。
连续介质力学的基本概念是将物质视为连续不可分割的整体，在空间上是连续分布的。
通过将物质的宏观性质表示为连续介质场，如速度场、应力场、温度场等，来描述物质的宏观行为。
连续介质力学通过建立方程和边界条件，来描述物质的运动和相互作用。
连续介质力学的研究对象可以是流体、固体或其它物质形态。
在流体力学方面，连续介质力学可以研究流体的运动、压力、速度、密度等性质，包括液体和气体的流体力学。
在固体力学方面，连续介质力学可以研究固体的弹性、塑性、断裂、变形等性质，包括固体的力学性质和变形行为。
连续介质力学在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
在工程领域，可以通过连续介质力学来设计和优化结构、预测材料破坏、分析流体力学问题等。
在地球科学中，连续介质力学可以用于研究地震波传播、岩石变形等问题。
在生物医学领域，连续介质力学可以用于研究细胞变形、血液流动等生物力学问题。
总之，连续介质力学作为一门独立的力学分支，具有重要的理论价值和广泛的应用前景。
通过深入研究连续介质力学的基本概念和原理，我们可以更好地理解物质的宏观行为和相互作用，为解决实际问题提供理论支持和科学指导。
随着科学技术的不断进步和发展，连续介质力学的应用领域还将不断扩展，为人类社会的进步和发展做出更大的贡献。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括对整篇文章的组织和内容的概述。
1.2 文章结构本文主要围绕黄筑平和连续介质力学展开论述，文章分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分：在引言部分，我们将对黄筑平和连续介质力学进行简要介绍，包括作者的背景和相关研究领域的概述。
同时，我们将介绍本文的目的，即通过探讨连续介质力学的概念、原理和应用领域，强调其重要性和应用价值。
连续介质变形的基本方程
连续介质变形的基本方程在固体力学和流体力学中，连续介质变形是一个重要的研究领域。
连续介质是指在宏观上看起来是连续、均匀的物质。
而连续介质变形是指物质在受到外力作用下，发生了形状、大小、密度等方面的变化。
在研究连续介质变形时，我们通常会使用基本方程来描述其变化规律。
其中，固体力学和流体力学的基本方程略有不同。
以下是这两种基本方程的简要介绍：1. 固体力学的基本方程在固体力学中，连续介质的变形可以用应变张量描述。
应变张量是一个三维矩阵，用于描述物体在不同方向上的变形程度。
而应变张量的变化可以用应力张量描述。
应力张量是一个与应变张量大小相同的矩阵，用于描述物体在不同方向上所受的力的大小。
固体力学的基本方程可以用两个方程式表示：应力张量 = 杨氏模量×应变张量应变张量 = 变形张量×形变张量其中，杨氏模量是一个物质特有的常数，用于描述物体在受到力作用下的变形程度。
变形张量和形变张量分别描述物体在受到力作用下的形状变化和大小变化。
2. 流体力学的基本方程在流体力学中，连续介质的变形可以用速度场描述。
速度场是一个三维函数，用于描述物体在不同位置上的速度大小和方向。
而速度场的变化可以用压力场描述。
压力场是一个与速度场大小相同的函数，用于描述物体在不同位置上所受的压力大小。
流体力学的基本方程可以用两个方程式表示：动量方程：密度×加速度场 = 压力场的梯度场 + 体积力场连续性方程：质量守恒动量方程中，密度和加速度场描述物质的质量和运动状态。
压力场的梯度场和体积力场描述物质在不同位置上所受的力的大小和方向。
连续性方程描述物质在不同位置上的质量守恒。
微分几何与曲面的性质与变换
微分几何与曲面的性质与变换微分几何是研究曲线、曲面及其在高维空间中性质的一门学科。
曲面是微分几何研究的重要对象之一，掌握曲面的性质和变换是理解微分几何的关键。
本文将介绍微分几何的基本概念、曲面的性质以及曲面的变换。
一、微分几何的基本概念微分几何是微积分的一个分支，它以微积分的方法研究曲线、曲面以及更高维空间中的几何性质。
微分几何的基本概念包括曲线的参数化表示、切向量、曲率、曲面的参数化表示等。
在微分几何中，曲线通常被表示为参数形式。
例如，给定参数t，曲线可以表示为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中x(t)，y(t)，z(t)分别是曲线在x、y、z轴上的坐标函数。
切向量是曲线上某一点处切线的方向向量，它可以表示为曲线的导数向量。
曲率描述了曲线在某一点处的弯曲程度，它可以通过曲线的切向量的导数来计算。
曲面的参数化表示类似于曲线的参数化表示，只不过坐标函数变成了两个参数的函数。
二、曲面的性质曲面是三维空间中的一个二维对象，它有许多独特的性质。
曲面的性质包括曲率、法向量、第一和第二基本形式等。
曲率是描述曲面在某一点处曲率的一个度量。
曲率可以通过曲面的法向量和曲面上的切平面相互之间的关系来定义。
曲面的法向量是与曲面上的每个点处的切平面垂直的一个向量。
第一基本形式描述了曲面上切向量的内积，它刻画了曲面的局部几何性质。
第二基本形式描述了曲面上法向量的内积，它刻画了曲面的弯曲性质。
三、曲面的变换曲面的变换在微分几何中是一个重要的研究内容。
曲面的变换可以通过变换函数对曲面的坐标进行操作来实现。
常见的曲面变换包括平移、旋转、放缩等。
平移是将曲面沿着某一方向移动一定距离，旋转是将曲面绕着某一轴旋转一定角度，放缩是改变曲面的尺寸。
这些变换操作可以通过矩阵乘法来表示，从而方便实现对曲面坐标的变换。
此外，曲面的变换还可以通过曲面之间的映射来实现。
例如，曲面之间的正则映射可以将一个曲面映射到另一个曲面上，保持曲面上的点之间的距离关系不变。
力学 变形梯度 e
力学变形梯度e1.引言1.1 概述概述是一篇文章的开篇，用以介绍和概括文章的主题和内容。
在本文中，概述部分将对力学中的变形梯度进行简要介绍，并说明其在力学中的重要性和应用。
力学是物理学中研究物体运动和受力情况的分支学科，而变形梯度是力学中一个重要的概念。
变形梯度指的是物体在力的作用下发生形状、大小或方向上的变化时，各个点的变形程度和方向的变化率。
变形梯度在力学中有着广泛的应用。
它能够描述物体在力的作用下的形变情况，对于研究物体的弹性、塑性和断裂行为具有重要意义。
通过对变形梯度的分析，可以了解物体在受力过程中的应变分布，进而推导出物体的应力分布，为解决实际工程问题提供依据。
根据变形梯度的理论，我们可以预测材料在受力作用下的变形行为，从而指导工程设计和材料选择。
此外，变形梯度在材料加工、结构设计以及地震学等领域也有广泛的应用。
比如在航空航天工程中，通过对变形梯度的研究，可以优化飞行器的结构设计，提高其飞行性能和安全性。
变形梯度作为力学中的一个重要概念，不仅关系到基础理论研究，还对实际工程问题有着重要的指导作用。
因此，深入理解和研究变形梯度的定义和基本概念，对于推动力学领域的发展具有重要意义。
在接下来的文章中，我们将详细介绍变形梯度的定义和基本概念，并探讨其在力学中的应用。
希望通过本文对变形梯度的深入了解，能够增进对力学中此重要概念的理解，并促进力学领域的进一步研究和应用。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述和探讨力学中的变形梯度：第一部分，引言。
在引言部分，我们将概述变形梯度的基本概念和定义，说明其在力学中的重要性，并明确本文的目的。
第二部分，正文。
在正文部分，我们将首先详细介绍变形梯度的定义和基本概念，包括其数学表达和物理意义。
我们将探讨变形梯度在力学中的应用，如在材料力学、流体力学和固体力学等方面的具体应用案例，以及在这些领域中的意义和影响。
第三部分，结论。
在结论部分，我们将总结变形梯度的重要性，强调其在力学研究和工程应用中的价值。
体积形态连续介质有限变形理论—变形刻画
1. 利用性质1.2中相应结论, 有
t˙
˙◦
◦
◦
t
dX
限 dλ (λ)
=
F
·
dX dλ (λ)
=
F˙
·
dX dλ (λ)
=
L·
F
·
dX dλ (λ)
=
L
·
dX dλ (λ).
2. 利用性质1.2中相应结论, 有
有 t˙
t
◦
◦
∂X × ∂X (λ, µ) = |F |F˙ −∗ · ∂X × ∂X (λ, µ)
体积形态连续介质有限变形理论—变形刻画
谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系
麟
2015 年 4 月 2 日
锡
1
谢 知识要素
基于变形梯度的基本性质, 可按郭仲衡 (1980)关于一般有限变形理论的处理, 将变形的全
部刻画分为 4 类, 归结为如下 4 个性质.
1.1 变形梯度基本性质
稿
性质 1.1 (变形梯度基本性质).
性质 1.2 (初始物理构型－当前物理构型中有向线元、面元以及体元之间的关系式).
t
◦
变 1.
dX dλ (λ)
=
F
·
dX dλ
(λ);
t
t
◦
◦
2. ∂X × ∂X (λ, µ) = (|F |F −∗) · ∂X × ∂X (λ, µ);
限∂λ ∂µ
∂λ ∂µ
有
t
t
t
3.
∂X ,
∂X ,
∂X
∂λ ∂µ
有 式中最后一步利用了 Nanson 公式.
4
体积形态连续介质有限变形理论 -变形刻画
连续介质力学中变形梯度张量客观性表述的分歧-两点张量
连续介质力学中变形梯度张量客观性表述的分歧两点张量论文导读:：客观性是连续介质力学。
因此将其称为两点张量。
并明确指出变形梯度是客观性张量。
考虑到功共轭也存在相似的问题。
论文关键词：客观性，一点张量，两点张量，变形梯度，功共轭1简介客观性是连续介质力学，特别是连续固体介质力学中重要的一个概念，它强调了本构关系与刚体转动无关。
所谓客观性，也称为标架不变性、标架无差异，是指材料的本构关系不因观察者不同而发生形式上的变化，这就要求构建本构关系的应力应变张量在时空变换时遵守一定的准则以保证本构方程的标架不变性，即要求应力应变张量具有客观性。
变形梯度是一个联系初始构型与当前构型的两点张量，在连续介质力学中具有核心地位、是定义各类应变张量的基础，同时两点张量，基于变形梯度张量也可实现各类应力张量之间的转换。
由于在构建本构关系时直接应用的是应变（应力）及与其共轭的应力（应变），必须鉴别各类应力应变量的客观性，因此现有文献与教材对各类应力应变讨论较多，且对基于一点的应力应变张量的客观性的具有统一的观点[1-4]。
但对于变形梯度等两点张量的客观性的表述存在分歧，如匡震邦[3]与Belytschko等[4]对Euler-Lagrange两点张量的客观性给出了定义，并明确指出变形梯度是客观性张量，而黄克智[2]与Bock等[5]则认为变形梯度张量不是客观张量。
这种表述上的分歧在于张量客观性的定义不同，那么到底该如何理解张量的客观性？为此本文从变形梯度张量的定义及张量分类开始，然后介绍客观性的几种定义，并基于连续介质力学中张量的逆及功共轭角度分析了几种定义的差别论文参考文献格2变形梯度张量及张量的类型这里仅以欧式空间为例，考虑变形体在固定参考构形内质点的位置向量以表示，时刻当前构形的同一物质点的位置向量以表示，则变形体的运动可通过如下映射描述[6]（1）对于同一物质点，不随时间变化，称为物质坐标或Lagrange坐标，而是同一物质点在的空间位置，称为空间坐标或者Euler坐标。
第四章变形梯度与应变(徐春晖、李明瑞)
第四章 变形梯度与应变我们曾在第二章论述了小变形时的给出应变定义不适合有限变形，其要害就在于小变形时的应变定义将刚体转动也包含在应变定义内。
所以有限变形应变定义成功的关键就在于剔除刚体转动。
下面的讨论从一般性的曲线坐标开始，最后又回到直角坐标使公式得以简化。
§1准备知识设P为未变形物体C0内一点，其位置向量为R。
令p为P点在变形后的位形C内的相应一点，其位置向量分别为R与r。
一般情况下，R与r可由不同坐标系描述。
d R = G J dξJ;(4.1)d r = g i dηi。
(4.2) 基向量G J与g i在一般情况下可以任意选取，ξ J与ηi均为曲线坐标。
通常采用的取法有如下几种：a) 如果取d r = g J dξJ; (4.3) 即基向量不同，但变形前后坐标不变，则称之为拖动坐标 (convected coordinates)。
b) 取G J固结在未变形物体C0，当C0变形为C，G J随之变形为g J。
c) 取g J固结在已变形物体C，G J为相应的未变形前的，按照同一变形规律变过来的基向量。
d) G J与g i取为固定空间中的基向量，不随物体的变形而变，二者可以相同，也可不同，特别是二者均取之为同一的直角坐标系。
在变形前微线段的弧长向量平方为d R⋅d R = dξI dξJ G I⋅ G JG I⋅ G J = G IJ是基向量G I的度量张量。
变形后的弧长向量平方为d r⋅d r= dηi dηj g i⋅ g jg i⋅ g j = g ij是基向量g i的度量张量。
变形前后弧长平方的改变量为：d r⋅d r -d R⋅d R = dηi dηj g i⋅ g j- dξI dξJ G I⋅ G J。
如果将变形后的坐标看作是以变形前的坐标为自变量的函数，η = η(ξ)，则有dηi dηj= ∂ηi/∂ξM∂ηj/∂ξK dξM dξK变换张量的求和指标（一般称为哑标，可以用任意字母表示），有d r⋅d r - d R⋅d R= ∂ηm/∂ξI∂ηk/∂ξJ dξI dξJ g m⋅ g k - dξI dξJ G I⋅ G J=( g mk∂ηm/∂ξI∂ηk/∂ξJ- G IJ) dξI dξJ = 2E IJ dξI dξJ (4.4) 张量E IJ为Green-Lagrange应变张量，也有称之为Green应变张量或Lagrange应变张量。
第3章 有限变形
第3章 有限变形§3.1 有限变形这时说的变形，除连续性条件外，没有其余任何条件。
小变形：小位移，小转动，小应变，)(21)(21,,,,i j j i ij i j j i ij u u u u +=-=εω有限变形：大位移，大转动，大应变对于一个微小六面体：小变形下变为一个平行六面体 有限变形下仍变为一个平行六面体 这一条件不变变形几何学方面来研究变形 四个问题： 1）记录2）什么办法来描述 3）怎么度量4）有没有办法将变形分解§3.2 物体的构形和坐标系物体：连续介质，变形前用0K 代表，变形后物体用t K 代表0K ：物体，物质点的集合,被始构形(material configuration)； t K ：变形后的物体,现时构形(spatial configuration)，P ：物质点p ：空间点，物质点在空间所占的位置。
初始坐标系 ⅢⅡⅠX X X O -k 1现时构形ⅠXⅡXⅢX)(K X P)(kx pXOod2xx 3x1xu现时坐标系 321x x x o -构形：每一瞬时与物质点对应的空间点的集合。
0=t 瞬时，初始构形 0K0K ：初始构形，X 点的坐标（K X ）t K ：现时构形，（瞬时t 的构形），x 点的坐标（k x ） 全部采用直角坐标系§3.3 描写物体运动和变形的方法1． Lagrange 描述法用物质坐标k X 作自变量（描述物体的运动和变形）(,) (,)k k K t x x X t ==x x X研究物质点在不同时刻所对应的空间点（着眼点：跟踪物质点运动状况）2． Euler 描述法用空间坐标k x 作自变量（描述物体的运动和变形）(,) (,)K K k t X X x t ==X X x研究空间点x 处对不同时刻流径这一空间的物质点（着眼点：跟踪在一个空间点上，不同时刻对应的物质点）（前者跟踪同一个人，不同晚上睡不同的床位，后者跟踪同一张床，不同晚上由不同的人去睡）位移点：u=+-u d x X （其中d 不随时间而变，X 也与t 无关）速度和加速度：分两种表述方法 1）Lagrange 法22(,)(,)K K X t tX t t ∂==∂∂===∂X v ux a vu2）Euler 法：（研究流体的流动等）(,)k x t =v v ——流场(,)d(,)d (,) k k k k k kkx t x x t t t x t x t v t x ∂∂∂==+∂∂∂∂∂=+∂∂v v a v v v物质导数=局部导数+迁移导数§3.4 变形梯度有限变形：记录（构形），描述⎩⎨⎧EL，度量（本节研究）物体的有限变形的研究，离不开一点的领域，或取一个线元。
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变
形
理
∂xi A Σ (ξΣ , t)g i (xΣ , t)∆ξΣ A ∂ξΣ [ i ] [ B ] ∂xΣ A = ( ξ , t ) g ( x , t ) ⊗ G ( x ) · ∆ξΣ GB (xΣ ) Σ Σ i Σ A ∂ξ ] [ ] [ Σ ◦ ◦ . ∂xi A Σ ( ξ , t ) g ( x , t ) ⊗ G ( x ) · Σ ( ξ + ∆ ξ ) − Σ ( ξ ) , = Σ Σ i Σ Σ Σ Σ A ∂ξΣ ∂xi Σ (ξΣ , t)g i (xΣ , t) ⊗ GA (xΣ ) ∈ T 2 (R3 ), A ∂ξΣ
谢锡麟
VΣ
A m ξ Σ = {ξΣ }A=1
◦
DΣ
V xΣ x Σ = xΣ ( ξ Σ , t ) X
m+1
Σ ( xΣ , t 0 ) Xm
xm Σ
m−1 xΣ
m xΣ = { x i Σ }i=1
t
VΣ
Figure 1: 高维曲面理论构型构造示意 1. 计算曲面变形梯度的物质导数, 有
˙ ˙ ∂xi ∂xi ∂xi ˙ A A Σ Σ Σ ˙ ( ξ , t ) g ( x , t ) ⊗ G ( ξ ) = ( ξ , t ) g ⊗ G + (ξ Σ , t)g i (xΣ , t) ⊗ GA , F = Σ Σ i Σ i A A A ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ˙ ∂xi ∂ 2 xi ∂x ˙i Σ Σ ( ξΣ , t) = A Σ (ξ Σ , t) =: (ξΣ , t) = A A ∂ξΣ ∂ξΣ ∂t ∂ξΣ ∂ gi ∂ gi ˙ g i (xΣ , t) = (xΣ , t) + x ˙s (xΣ , t) = Σ ∂t ∂xs Σ 由此, 有
理
行相同而自然为零, 所以有
gs V ·
=
曲面变形梯度的行列式定义为 det F ( i ) √ gΣ ∂xΣ √ (ξ Σ , t). det A ∂ξΣ GΣ
证明 高维曲面理论的构型构造如图1所示, 以下按高维情形进行证明.
讲 稿
Σ Σ
·V.
2
谢
锡 麟
曲面形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质
曲面形态连续介质有限变形理论—变形梯度及其基本性质
谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 21 日
1.1
变形梯度的可微性定义
元之间的线性变换; 按微分学可做如下分析: Σ (ξ Σ + ∆ξΣ , t) − Σ (ξΣ , t) = =
此处
称为介质形态为曲面的连续介质有限变形运动的变形梯度, 或简称为 “曲面变形梯度” . 就曲面有限变形理论, 只有任意张量场沿着曲面上某一曲线的变化率, 就此可定义 “相对于 Euler 坐标的全梯度”, 如对 Φ, 可有 Φ⊗
论
讲 稿
∂Φ (xΣ , t) ⊗ g s . ∂xs Σ 1
与一般情形一致, 变形梯度可以理解为初始物理构型中有向线元同当前物理构型中有向线
∂xi ∂Σ A Σ ( x , t ) (ξ Σ , t)∆ξΣ Σ A ∂xi ∂ξ Σ Σ
谢
1 知识要素
锡 麟
曲面形态连续介质有限变形理论 -变形梯度及其基本性质 证明 基于置换算子, 相关方阵行列式可表示如下: ] [ ( i ) m ∑ ∂x ∂xΣ ∂x1 Σ · · · σ(Σ (ξΣ , t). det (ξ Σ , t) = sgnσ A σ (1) m) ∂ξΣ ∂ξ ∂ξ σ ∈P
1.3
限
适用于高维曲面理论. 1. 2.
Σ d F = (V ⊗ ) · F , 此处 dt Σ
变
变形梯度的基本性质
性质 1.2 (变形梯度基本性质). 变形梯度具有如下基本性质, 不仅适用于二维曲面理论而且 ∂ (xΣ , t); ∂xs Σ
Σ Σ
形
有
d det F = θ det F , 此处 θ dt
F
限
1.2
基础性引理
有
为研究曲面变形梯度的基本性质, 需要以下引理. 引理 1.1 (变形关系行列式物质导数). ( det ( i ) ˙) ∂xi ∂x ˙s ∂xΣ Σ Σ (ξ Σ , t) = (ξ Σ , t). s (xΣ , t) det A A ∂x ∂ξΣ ∂ξΣ Σ
如不引起混淆, 也可简称为变形梯度.
m
谢锡麟
Σ
Σ
由此, 可有 (
i=1
σ ∈Pm
论
Σ
˙) ∂xi Σ det (ξ Σ , t) A ∂ξΣ ˙1 ˙ m−1 m 1 2 m ∑ ∂x ∂x ∂xΣ ∂x ∂x ∂xΣ (ξ Σ , t) · · · σ(Σ + · · · + σΣ · · · σ(Σ = sgnσ σΣ (1) σ (2) m) (1) m−1) σ (m) ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ σ ∈ Pm ˙i m ∑ 1 m ∑ ∂x ∂x ∂x (ξ Σ , t) = sgnσ σΣ · · · σΣ · · · σ(Σ (1) (i) m) ∂ξ ∂ξ ∂ξ i=1 σ ∈Pm Σ Σ Σ ] [ m 1 i ∑ ∑ ∂xΣ ∂x ˙Σ ∂xm Σ = sgnσ · · · σ(i) · · · σ(m) (ξ Σ , t) σ (1) ∂ξ ∂ξΣ ∂ξΣ i=1 σ ∈Pm Σ [ ( ) ] m ∑ s i m ∑ ∂x ∂x1 ∂ x ˙ ∂x Σ Σ Σ = sgnσ (ξ , t) · · · (ξ , t) · · · σ(Σ (ξ , t) s (xΣ , t) σ (1) Σ σ (i) Σ m) Σ ∂x ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ Σ i=1 σ ∈Pm [ ] m ∑ ∑ ∂x ˙i ∂x1 ∂xs ∂xm Σ Σ Σ Σ = (xΣ , t) sgnσ · · · σ(i) · · · σ(m) (ξ Σ , t). σ (1) ∂xs ∂ξ ∂ξ ∂ξ Σ
在上式中, 对 σ 求和的结果为行列式, 故只有当 s = i 时此行列式才非零, 否则此行列式将有两 ( det [ ] ˙) m i 1 i m ∑ ∑ ∂xi ∂ x ˙ ∂x ∂x ∂x Σ Σ Σ (xΣ , t) sgnσ (ξ Σ , t) (ξ Σ , t) = · · · σΣ · · · σ(Σ i A σ (1) (i) m) ∂x ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ Σ i=1 σ ∈Pm ( i ) ∂x ˙s ∂xΣ Σ = (xΣ , t) det (ξ Σ , t). s A ∂xΣ ∂ξΣ