重庆市外国语学校2020-2021学年高一数学6月月考试题

重庆市外国语学校2020-2021学年高一数学6月月考试题（满分150分，120分钟完成）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题只有一个正确选项） 1．已知集合{}1,0,1A =-，101x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．||||a b >B ．2a ab >C ．11a b> D ．11a b a>- 3．若直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直，则实数m 的值为（ ） A ．2-B ．12-C ．12D ．24．下列函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数的是（ ） A ．()cos2f x x = B ．()sin 2f x x = C ．()cos f x x =D ．()sin f x x =5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则3a =（ ） A ．17B ．29C ．23D ．356．在等差数列{}n a 中，若29,a a 是方程2260x x --=的两根，则3478a a a a +++的值为（ ） A ．4B ．2C ．﹣4D ．﹣27.已知角α是第二象限角，则1sin 222cos 2αα-++=（ ） A ．ααcos sin + B ．ααcos 3-sinC ．ααsin -cos 3D ．ααcos -sin8．已知)3,4(=a ，()9,9b =-，则a 在a b +方向上的投影为（ ） A ．165B ．335C ．1613D ．33139．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，60,1A b ==，这个三角形的面积为3，则a =（ ） A ．2B ．10C ．23D ．1310．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知222b c a bc +=+，且2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形11．圆()()22128x y -++=上到直线03=++y x 的距离等于2的点的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，等边ABC ∆的边长为2，顶点,B C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上滑动，M 为AB 中点，则OA OM ⋅的最大值为（ ） A ．7 B ．572+ C ．72D ．333+二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则4a =_______.14. 两平行直线340x y +-=与2690x y +-=的距离是______． 15．已知向量(3,2)a =-，(,1)b x y =-且a ∥b ，若,x y 均为正数，则32x y+的最小值是_______.16．过点()5,0P -作直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈的垂线，垂足为M ，已知点()3,11N ，则MN 的取值范围是______. 三、解答题17．已知直线l ：20ax y a ++=，1l ：10x ay a ++-=，圆C ：228120x y y +-+=.（1）当a 为何值时，直线l 与1l 平行；（2）当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB =l 的方程.18．已知函数2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期和单调增区间； （2）求函数()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.19．已知函数()()224f x x mx m m R =-+-∈.（1）当1m =时，求不等式()0f x ≥ 的解集；（2）当2x >时，不等式()1f x ≥-恒成立，求m 的取值范围.20．已知数列{}n a 为正项等比数列，满足34a =，且5a ，43a ，6a 构成等差数列，数列{}n b 满足221log log n n n b a a +=+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141n n c S =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .21．如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，60CAB ︒∠=，120BCD ︒∠=，2AC =. （1）若15ABC ︒∠=，求DC ；（2）记ABC θ∠=，当θ为何值时，BCD ∆的面积有最小值？求出最小值.22．已知数列{}n a 满足11a =，点()11,1n n a a +++在直线2y x =上.数列{}n c 满足11c a =，121111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+（2n ≥且n *∈N ）. （1）求{}n a 的通项公式；（2）（i ）求证：111n nn n c a c a +++=（2n ≥且n N ∈）； （ii ）求证：2311151113n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.重庆外国语学校2020-2021学年（下）6月月考高2022级•数学试题（满分150分，120分钟完成）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题只有一个正确选项） 1．已知集合{}1,0,1A =-，101x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-【答案】B 【详解】 解：101x x +≤-，()()1101x x x +-≤⎧⎪∴⎨≠⎪⎩，所以{}11B x x =-≤<， 又∵{}1,0,1A =-，∴{}1,0A B ⋂=-． 故选：B ．2．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（） A ．||||a b > B ．2a ab >C ．11a b> D ．11a b a>- 【答案】D 【解析】0a b <<，有a b >，A 正确；因为0a <，所以2a ab >，B 正确；11a b>，C 正确； 当2,b 1a =-=-时，11a b =--，112a =-，11a b a>-不成立，D 错误． 故选D.3．若直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直，则实数m 的值为（ ） A ．2- B ．12-C ．12D ．2【答案】D 【详解】因为直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直， 所以20m -=，得2m =． 故选：D ．4．下列函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数的是（ ） A ．()cos2f x x = B ．()sin 2f x x = C ．()cos f x x = D ．()sin f x x =【答案】C 【详解】()cos2f x x =的最小正周期为2π，故排除； ()sin 2f x x =不是周期函数，故排除；()cos f x x =的最小正周期是π，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，故正确；D. ()sin f x x =的最小正周期是2π，故排除. 故选：C.5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则3a =（ ） A ．17 B ．29C ．23D ．35【答案】B 【详解】依题意{}n a 为等差数列，且3d =-，199559()9207,232a a S a a +===∴=， 35229a a d ∴=-=.故选：B.6．在等差数列{}n a 中，若29,a a 是方程2260x x --=的两根，则3478a a a a +++的值为（ ） A ．4 B ．2C ．﹣4D ．﹣2【答案】A 【详解】由题意知292a a +=，则3794822()4a a a a a a +++==+. 故选：A7.已知角α（ ） A ．ααcos sin + B ．ααcos 3-sin C ．ααsin -cos 3 D ．ααcos -sin【答案】B8．已知()4,3a =，()9,9b =-，则a 在a b +方向上的投影为（ ） A ．165B ．335C ．1613D ．3313【答案】C 【详解】因为()()()4,39,95,12a b +=+-=-，所以a 在a b +方向上的投影为()cos ,a a b a a ab a b⋅++=+4,35,121613⋅-==.9．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，60,1A b ==则a =（ ） A ．2BC ．D 【答案】D 【解析】依题意11sin 1sin 60322S bc A c ==⋅⋅=4c =，由余弦定理得13a ==.10．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C 【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π， 故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ．11．圆()()22128x y -++=上到直线03=++y x 的点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【详解】解：由题意，圆心坐标为（1，−2），半径为， ∴圆心到直线03=++y x 的距离为2=d ，∴圆()()22128x y -++=上到直线03=++y x 的点共有3个. 故选：C12．如图，等边ABC ∆的边长为2，顶点,B C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上滑动，M 为AB 中点，则OA OM ⋅的最大值为（ ）A 7B ．572C ．72D ．3332+【答案】B 【详解】设OBC θ∠=，则()()B 2,0,?0,2cos C sin θθ,A 22,233cos cos sin ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, M 2,33cos cos sin ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,22223333OA OM cos cos cos cos sin sin ππππθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⨯-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2242633cos cos cos cos ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+223sin πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2213246?24632cos cos cos cos cos cos πθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()25133523322θ72222cos sin cos cos sin θθθθθϕ=++=+=++ 其中3tan θ=∴OA OM ⋅的最大值为572+ 故选B.二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则4a =_______.【答案】7 【详解】由题得4431697a S S =-=-=. 故答案为：714．两平行直线340x y +-=与2690x y +-=的距离是____________________．【解析】在直线x ＋3y －4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x ＋6y －9＝0的距离d 即为两平行直线之间的距离．d15．已知向量(3,2)a =-，(,1)b x y =-且a ∥b ，若,x y 均为正数，则32x y+的最小值是_________. 【答案】 8试题分析：由a ∥b 得3(1)2233y x x y -=-⇒+=，因此3232231491()(12)(128333x y x y x y x y y x ++=+=++≥+=，当且仅当49x y y x =时取等号16．过点()5,0P -作直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈的垂线，垂足为M ，已知点()3,11N ，则MN 的取值范围是______.【答案】13⎡⎣【分析】先将直线化为()()2430--+--=m x y x y ，可知直线过定点()1,2Q -，可得M 在以PQ 为直径的圆上运动，求出圆心和半径，由圆的性质即可求得最值. 【详解】由直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈化为()()2430--+--=m x y x y ，令24030x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2Q -，因为M 为垂足，所以PQM ∆为直角三角形，斜边为PQ ，所以M 在以PQ 为直径的圆上运动，由点()5,0P -可知以PQ 为直径的圆圆心为()2,1C --，半径为==r则MN 的取值范围-≤≤+CN r MN CN r，又因为13==CN ，所以MN的取值范围是13⎡+⎣.故答案为：13⎡+⎣.三、解答题17．已知直线l ：20ax y a ++=，1l ：10x ay a ++-=，圆C ：228120x y y +-+=.（1）当a 为何值时，直线l 与1l 平行；（2）当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB =l 的方程. 【答案】（1）1a =；（2）7140x y -+=或20x y -+=. 【详解】解：（1）当0a ≠ 时，直线l 的斜率k a =-，1l 的斜率11k a=-，由两直线平行可知， 1a a-=-，解得1a =或1a =-.当1a =时，l ：20x y ++=，1l ：0x y +=，符合题意， 当1a =-时，l ：20x y -+-=，1l ：20x y -+=，此时两直线重合，不符合题意. 当0a =时，l ：0y =，1l ：10x +=，两直线垂直，不符合题意； 综上所述：1a =.（2）由题意知，C ：()2244x y +-=，则圆的半径2r，圆心为()0,4C ，则圆心到直线l 的距离d=.由AB ==()2242214a a +-+=整理得，2870a a ++= ，解得7a =-或1a =-.故所求直线方程为7140x y -+=或20x y -+=.18．已知函数2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期和单调增区间； （2）求函数()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【答案】（1）T π=；（2）,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（3）3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭1cos 212sin 2262x x x π-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭ 所以T π=．由222262k x k πππππ-+≤-≤+，得 ,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．19．已知函数()()224f x x mx m m R =-+-∈.（1）当1m =时，求不等式()0f x ≥ 的解集；（2）当2x >时，不等式()1f x ≥-恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）(][),12,-∞-⋃+∞（2）(],6-∞ 【详解】（1）因为1m =，所以()22f x x x =--.所以220x x --≥，即()()210x x -+≥， 解得1x ≤-或2x ≥.故不等式()0f x ≥的解集为(][),12,-∞-⋃+∞.（2）当2x >时，不等式()1f x ≥-恒成立等价于232x m x -≤-在()2,+∞上恒成立.因为2x >，所以20x ->，则()()()222421312446222x x x x x x x -+-+-==-++≥=---. 当且仅当122x x -=-，即3x =时，等号成立. 故m 的取值范围为(],6-∞.20．已知数列{}n a 为正项等比数列，满足34a =，且5a ，43a ，6a 构成等差数列，数列{}n b 满足221log log n n n b a a +=+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141n n c S =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ） 12n n a -=，21n b n =- ；（Ⅱ）21n nT n =+ 【详解】解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q(q 0>)，由题意，得256466a a a q q +=⇒+= 解得2q =或3q =-（舍）又3141a a =⇒=所以 1112n n n a a q --==221log log 121n n n b a a n n n +=+=-+=-(Ⅱ)()()1212122n n n n n b b S n ⎡⎤+-+⎣⎦===． ∴211114122121n c n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，∴11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21．如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，60CAB ︒∠=，120BCD ︒∠=，2AC =.（1）若15ABC ︒∠=，求DC ；（2）记ABC θ∠=，当θ为何值时，BCD ∆的面积有最小值？求出最小值. 【答案】（12；（2）633-. 【详解】（1）在四边形ABCD 中，因为AD AB ⊥，120BCD ∠=，15ABC ︒∠= 所以135ADC ︒∠= ，在ACD ∆中,可得906030CAD ︒︒︒∠=-=，135ADC ︒∠=，2AC = 由正弦定理得:sin sin CD ACCAD ADC=∠∠,解得：2CD = .（2）因为60CAB ∠=，AD AB ⊥可得30CAD ∠=, 四边形内角和360得150ADC θ∠=-，∴在ADC ∆中，()()21sin 30sin 150sin 150DC DC θθ=⇒=--.在ABC ∆中，23sin 60sin sin BC BC θθ=⇒=， ()131sin12024sin 150sin BCD S DC BC θθ∆∴=⋅⋅=⨯- 2334413133sin cos sin sin 2cos 222444θθθθθ==+-+()3413sin 260θ=-+,当75θ=时，S 取最小值633-.22．已知数列{}n a 满足11a =，点()11,1n n a a +++在直线2y x =上.数列{}n c 满足11c a =，121111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+（2n ≥且n *∈N ）. （1）求{}n a 的通项公式；（2）（i ）求证：111n nn n c a c a +++=（2n ≥且n N ∈）； （ii ）求证：2311151113n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】(1) 21nn a =-; (2)证明见解析【详解】(1) 将()11,1n n a a +++代入2y x =有()1121n n a a ++=+,故数列{}1n a +是以112a +=为首项,2为公比的等比数列.所以12nn a +=,即21n n a =-(2) (i)证明：因为121111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+,故1112111111n n n n n n nc c a a a a a a a ++-=++⋅⋅⋅++=+. 即111n n n n c c a a +++=,故()111n n n n a c a c +++=⋅即111n n n n c ac a +++=（2n ≥且n N ∈）.证毕. (ii)由题111c a ==,22111c a a ==,又22213a =-=,故223c a ==.当2n ≥时111n n n n c ac a +++=. 故322323*********n n n c c c c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 331122112234134111111111=33n n n n n n n n n n c c a a c c c a c c a c c c c a a a a a ++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1211211111111121212121n n n n a a a a --=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++----. 即证明12111115212121213n n -++⋅⋅⋅++<----.先证明21112132n n -≤⋅-()2,n n N +≥∈ ,即证当()2,n n N+≥∈时2211132212132n nn n --≤⋅⇔⋅≤-⇔- 2223242121n n n ---⋅≤⨯-⇔≥显然成立.故21112132nn -≤⋅-()2,n n N +≥∈. 所以121121111111111 (2121212133232)n n n --++⋅⋅⋅++≤++⋅++⋅---- 11111132215215111132332312n n n ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=+-=-⋅<⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 成立.。