第二次课 整除的概念

第二次课 整除的概念

教学目标要求：理解多项式整除概念和性质,熟练掌握带余除法及整除的性质。 教学内容：１．带余除法定理和综合除法 ２．整除的概念 ３．整除的性质。

教学重点与难点：多项式整除的概念和性质,带余除法定理；带余除法定理的理论证明.．

一、 带余除法与综合除法

１．带余除法

定理1 设f (x ), g (x )都是F [x ]中的多项式,且g (x )≠0,那么总可以在F [x ]中找到q (x )和r (x ),使得

f (x )=

g (x )q (x )+r (x )

这里r (x )=0或者r (x )的次数小于g (x )的次数,满足以上条件的q (x )和r (x )只有一对. 证明 : 可行性

若是f (x )=0或者f (x )的次数小于g (x )的次数,取q (x )=0,r (x )=f (x ),可使（2）式成立.

若 0∂(f (x ))≥0∂(g (x )),令

f (x )=a 0x n +a 1x n -1+…+a n -1x +a n

g (x )=b 0x m +b 1x m -1+…+b m -1x +b m

这里 a 0≠0,b 0≠0,且n ≥m

g (x )=b 0x m +b 1x m -1+…+b m -1x +b m m

n m n n n n n x a b x a b x f a x a n a x a ------+=++++110100101110)(

1

111111010)(n n n n a x a x a x f x a +++=+-

2221,21220210)(n n n n a x a x a x f x a ++++-

由此得： )()()(0101x g x a b x f x f m n ---=,

)()()(01012x g x a b x f x f m n ---=,

………………

)()()(10,1101x g x a b x f x f m n k K k k ------=

而 f k (x )=0或f k (x )=0的次数小于m ,把这些等式加起来得

)())(()(110,1101010010x f x a b x a b x a b x g x f k m n k m n m n k ++++=-------- 取 )()(,)(1

10,1101010010x f x r x a b x a b x a b x q k m n k m n m n k =+++=-------- ,命题得证.

唯一性：若还有q ’(x ),r ’(x ),使f (x )=g (x )q ’(x )+r ’(x ),则由f (x )=g (x )q (x )+r (x ),得g (x )(q (x )-q ’(x ))=r ’(x )-r (x ).。

若是r ’(x )-r (x ) ≠0,则q (x )-q ’(x ) ≠0,,左边次数不小于 g (x )的次数,右边次数小于g (x )的次数,这不可能.于是r ’(x )-r (x )=0,从而q (x )-q ’(x )=0。这种由f (x ),g (x )出发求q (x ),r (x )的作法叫带余除法,q (x )叫商式,r (x )叫余式.

２．方法

（1） 长除法,（2）待定系数法

３．例题

4．综合除法

二、多项式的整除

1． 定义

整除：数域P 上的多项式g (x )称为整除f (x ),如果有数域P 上的多项式h (x )使等式

f (x )=

g (x )

h (x )

成立。我们用g (x )|f (x )表示整除。

当g (x )|f (x )时,就称g (x )为f (x )的因式,称f (x )为g (x )的倍式.既是f (x )的因式,又是g (x )的因式称为f (x ),g (x )的公因式。

2． 判别法

定理：设f (x ),g (x )是数域P 上的多项式,g (x )0≠,则g (x )|f (x ) ⇔g (x )除f (x )的余式为零。 证明： 若g (x )≠0,则g (x )|f (x ) ⇔ f (x )=g (x )q (x )+r (x )且r (x )=0

三、整除的性质

1、f (x ) | g (x ), g (x ) | h (x )⇒f (x ) | h (x ).

2、h (x ) | f (x ), h (x ) | g (x )⇒h (x ) |（f (x )±g (x )）.

3、h (x ) | f (x )⇒h (x ) | f (x )g (x ).

4、h (x ) | f i (x ), i =1,2,…t , g i (x )∈F [x ]

⇒h (x ) | (f 1(x )g 1(x )+f 2(x )g 2(x )+…+f t (x )g t (x )).

5、零次多项式,整除任一多项式

证明：设f (x )=a 0+a 1x +…+a n x n ,则

c x f =)()(

10n n x c

a x c a c a +++ 6、cf (x ) | f (x )(c ≠0).

因为f (x )=c

1 (cf (x )). 7、f (x ) | g (x ), g (x ) | f (x )⇒f (x )=cg (x ) pf ：g (x )=f (x )u (x ), f (x )=g (x )υ(x ), f (x )=f (x )u (x )υ(x ).

若 f (x )=0； 则g (x )=0；若f (x )≠0,则因u (x )v (x )=1, 可知0

∂(u (x )v (x ))=0.

从而0∂(u (x ))=0, 0∂(v (x ))=0,即f (x )=cg (x ). Remark 整除是多项式之间的一种关系,若f (x ) | g (x ),则说f (x )≤g (x ),这样可以规定F [x ]中的一种偏序关系.

四、整除与所论数域无关性

设数域F ’含有数域F ,而f (x )和g (x )是F [x ]的两个多项式,如果在F [x ]里g (x )不能整除f (x ),那么在F ’ [x ]里g (x )也不整除f (x ).

证明： 若g (x )=0,在F [x ]中g (x )不整除f (x ) ,则f (x )≠0,在F ’[x ]中f (x )≠0,故在F ’[x ]中,g (x )不整除f (x ).

若 g (x )≠0,在F [x ]中下列等式成立

f (x )=

g (x )q (x )+r (x ),且r (x )≠0

上述等式在F ’ [x ]中仍然成立,故在F ’ [x ]中仍有g (x )不整除f (x ).

作业：P 44 1(1),3（1),4(2),(3)