第二次课 整除的概念
小学整除知识点总结
小学整除知识点总结一、整除的概念整除就是某个数，除尽了另一个数，即余数为0。
例如8 ÷ 4 = 2，9 ÷ 3 = 3，都是整除的情况。
其中8被4整除，9被3整除。
二、整除的特点1. 被除数是整除数的整倍数；2. 如果一个数能被2整除，那么它一定是偶数；3. 如果一个数能被3整除，那它的各位数字之和也是3的倍数；4. 如果一个数能被5整除，那么它的末尾数字必须是0或5；5. 如果一个数能被6整除，那么它既能被2整除，也能被3整除；6. 如果一个数能被9整除，那么它的各位数字之和也是9的倍数。
三、整除的判断方法整除的判断方法有多种，根据题目要求选择不同的方法来进行计算。
下面列举一些常见的整除判断方法：1. 除数能否整除的判断方法：可以直接将被除数÷除数得到商，如果商为整数，则被除数能被除数整除；2. 末尾数字的规律判断：对于末尾为0、2、4、6、8的数，能被2整除；对于末尾为0、5的数，能被5整除；3. 各位数字之和判断：对于各位数字之和能被3、6、9整除的数，能被3、6、9整除。
四、整除的应用整除运用非常广泛，不仅在数学中应用广泛，也涉及到日常生活中的计算。
下面列举一些整除在日常生活中的应用：1. 购物找零：购物时，有时需要进行找零，这就需要进行整除的运算。
2. 时间计算：小时和分钟的计算也需要进行整除运算，如几点钟开始上课，几点钟下课等。
3. 数学题中的应用：解决数学题中的知识点，有时需要用到整除的运算方式。
总结：小学整除作为数学学习的重要知识点之一，在日常生活中也有着广泛的应用。
掌握整除的相关知识和技巧，除了能够帮助孩子们更好地学习数学知识外，也能够帮助他们在日常生活中更好地解决实际问题。
因此，家长和老师应该引导孩子们认真学习整除知识，并能够帮助他们将整除知识与日常生活相结合，更好地掌握和应用整除的相关知识。
数的整除知识点范文
数的整除知识点范文数的整除是数学中一个重要的概念和知识点，它在数论、代数、几何等领域都有广泛的应用。
本文将详细讨论数的整除的定义、性质、判定方法以及一些常见的相关概念和定理。
一、整除的定义和性质在数学中，如果一个整数a能够被另一个整数b整除（即a能够被b整除），则称a是b的倍数，b是a的约数。
用数学符号表示为：如果a是b的倍数，则记作b，a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
如果a不能被b整除，则记作b∤a，读作“b不整除a”或“a不能被b整除”。
整除具有以下几个基本的性质：1.对于任意整数a，a，a（即一个数能够整除它自身）。
2.如果a，b且b，c，则a，c（即如果a能够整除b，b能够整除c，那么a可以整除c）。
3.对于任意整数a，1，a且a，a（即1能够整除任何数，任何数整除它本身）。
4.如果a，b且b≠0，则，a，≤，b，（即如果一个数能够整除另一个非零数，那么它的绝对值要小于等于另一个数的绝对值）。
二、整除的判定方法和性质1.朴素整除判定法：要判断一个数a是否能够被另一个数b整除，可以用以下方法：（1）求出a的所有约数；（2）判断b是否为a的约数之一这种方法的时间复杂度是O(a)。
2.整除的性质：（1）如果a，b且a，c，则a，(bx+cy)，其中x和y是任意整数。
（2）如果a，b且a，c，则a，(b±c)。
（3）如果a，b且a，(b±c)，则a，c。
三、相关概念和定理1. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是指整数a和b的最大正约数，记作gcd(a, b)；最小公倍数是指整数a和b的最小正倍数，记作lcm(a, b)。
两者满足以下性质：（1）gcd(a, b) = gcd(b, a)；（2）如果a能够整除b，则gcd(a, b) = ，a；（3）gcd(a, b) * lcm(a, b) = ，a * b。
2.质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地分解为若干个质数的乘积。
除法中的整除与余数概念解析知识点总结
除法中的整除与余数概念解析知识点总结除法是数学中的一项基本运算，常用于将一个数与另一个数进行分割。
在除法运算中，有两个重要概念：整除和余数。
本文将对这两个概念进行解析，并总结相关的知识点。
一、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数的情况。
常用的符号表示是用“|”表示，例如a能整除b，可以写作a|b。
如果一个数能被另一个数整除，那么被除数就是整数除数的倍数。
例如，4能整除12，可以表示为4|12。
这意味着12是4的倍数，可以用4乘以3得到12。
同样地，一个数也一定能被1整除。
整除的特点：1. 一个数能够被自身整除，例如a|a。
2. 一个数能够整除1，例如1|a。
3. 一个数能够整除0，例如a|0。
注意到0除以任何非零数都是0。
二、余数的概念余数是指在进行除法运算时，被除数中剩下的未被整除的部分。
用符号“%”表示余数。
例如，a除以b的余数可以表示为a%b。
例如，7除以2，商是3，余数是1，可以表示为7÷2=3...1，或者7%2=1。
这意味着7除以2得到的商是3，余数是1。
余数的特点：1. 如果一个数能够整除另一个数，那么余数为0。
例如，4除以2，商是2，余数是0。
2. 余数一定小于除数。
三、整除和余数的应用整除和余数在数学中有着广泛的应用，尤其在代数、数论以及计算机科学领域。
1. 判断整除：通过判断一个数能否被另一个数整除，可以得到结论。
例如，判断一个数能否被2整除，可以观察该数的个位数是否为偶数。
2. 模运算：在计算机科学中，余数的概念常被应用于模运算，即求除法运算的余数。
例如，判断一个数是奇数还是偶数，可以进行模2运算，如果余数为0，则为偶数；如果余数为1，则为奇数。
3. 素数判断：判断一个数是否为素数，可以利用整除的概念。
如果一个数除以2至少有一个整数解，那么该数就不是素数。
4. 重复数字判断：通过整除和余数的概念，可以判断一个数是否存在重复数字。
例如，如果一个三位数能整除10，那么它至少有一位是0，这就是存在重复数字。
整除知识点总结与练习
整除知识点总结与练习一、整除的定义整除是指对于两个整数a和b，如果a能够被b整除，即a除以b的结果是一个整数，则称a能够被b整除，记作b|a。
其中a称为被除数，b称为除数，整数的除法结果称为商。
例如，6÷3=2，6除以3的结果是2，因此6能够被3整除，即3|6。
整除的定义表明了整除的两个基本特点：1. 整数a能够被整数b整除的定义是a÷b的结果是一个整数。
2. 整除的概念是具有传递性的，即如果a能够被b整除，b能够被c整除，则a能够被c整除。
二、整除的判定在计算整除时，通常需要用到整除的判定方法。
整除的判定方法主要有以下几种：1. 除法判定法：即直接计算被除数除以除数的结果是否为整数。
2. 因数判定法：利用被除数和除数的因数来判断整除关系。
3. 余数判定法：如果a能够被b整除，那么a÷b的余数为0。
4. 分解质因数判定法：将被除数和除数分解质因数，如果被除数分解后能够完全包含除数分解质因数的情况，那么a能够被b整除。
下面通过一些实例来说明整除的判定方法：例1：判断24能否被6整除？方法一：除法判定法，直接计算24÷6=4，结果为整数，因此24能够被6整除。
方法二：因数判定法，24的因数包括1、2、3、4、6、8、12，其中6是24的因数，因此24能够被6整除。
方法三：余数判定法，24÷6=4余0，余数为0，因此24能够被6整除。
方法四：分解质因数判定法，24=2³×3，6=2×3，24的分解质因数包含6的分解质因数，因此24能够被6整除。
综上所述，24能够被6整除。
例2：判断35能否被5整除？方法一：除法判定法，35÷5=7，结果为整数，因此35能够被5整除。
方法二：因数判定法，35的因数包括1、5、7、35，其中5是35的因数，因此35能够被5整除。
方法三：余数判定法，35÷5=7余0，余数为0，因此35能够被5整除。
整除
整除整除（一）基础知识：1.整除的定义、性质.定义：如果a、b、c 是整数并且，a÷b=c。
则称a能被b整除或者b能整除a ，记做，否则称为a不能被b整除或者b不能整除a，记做.性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和与差也能被c整除.性质2：如果b与c的乘积能够整除a，那么b、c都能整除a.性质3：如果b、c都能整除a，并且b、c互质，那么b、c的乘积也能够整除a.性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a.性质5：如果b和c的乘积能够被a整除，并且a，b互质，那么c能够被a整除.2.被2（5）整除特征：以2，4，6，8，0（5，0）结尾.3.被3，9整除特征：数字和被3，9整除.4.被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除.5.被11整除特征：奇数位数字和与偶数位数字和之差能被11整除. （“奇偶位差法”）.6.被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差能被7、11、113整除.7.整除性质、特征的综合应用，末尾0的个数问题的处理，运用设未知量求解整除问题.例题：例1、如果六位数能够被105整除，那么后两位数是多少？[答疑编号5721130101]【解答】设六位数为，105=3×5×7，依次考虑被3，5，7整除得到得到唯一解a＝8，b＝5.故后两位为85.例2、求所有的x，y ，使得 .[答疑编号5721130102]【解答】72＝8×9，根据整除9性质易得x＋y＝8或17，根据整除4 的性质y＝2或6，分别可以得到5位数32652、32256，检验可知只有32256满足题意.例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费元，其中处字迹已经模糊不清，请你补上中的数字并且算出每只羽毛球的单价.2[答疑编号5721130103]【解答】解得：a=7，b=1所以方框处的数字是7和1，单价5.37元.例4、要使六位数能够被63整除，那么商最小是多少？[答疑编号5721130104]【解答】63=7×9.再考虑该数能被9整除，有a＋b＋c＝2或11或20. 由于要求最小的商也就是最小的被除数，先希望a＝0. 此时，易验证b＝0，b＝1无解，而在b＝2时，有解c＝9，所以最小的被除数是100296，最小的商是1592.3例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除.[答疑编号5721130105]【解答】168=3×7×8，用6，7，8各两次，数字和42，是3的倍数.而用6、7、8组成的3位数是8的倍数的只有768，776 .当后三位是768，776时，前三位只有12种取法，经实验只有数768768符合题目要求。
高等代数课件-§13整除的概念
04 整除的应用
在多项式分解中的应用
01
整除是多项式分解的重要工具，通过整除可以找到 多项式的根，从而将其分解为因式。
02
利用整除性质，可以将多项式中的项进行分组，从 而简化多项式的结构。
03
在进行因式分解时，整除可以帮助确定公因式，使 分解过程更加简便。
在矩阵运算中的应用
01 在矩阵运算中，整除可以用来计算行列式值，从 而判断矩阵是否可逆。
应用场景
在高等代数中，最大公因式主要用于 解决多项式的整除问题，而最小多项 式则更多地应用于矩阵的特征值计算 和求解方程组等领域。
03 欧几里得算法
欧几里得算法的原理
欧几里得算法基于辗转相除法的 原理，通过不断将大数除以小数， 直到余数为0，最终得到两个数
的最大公约数。
该算法基于数学归纳法的原理， 通过递归的方式不断缩小问题规
最小多项式的定义与性质
最小多项式的定义
对于给定的矩阵或多项式，最小多项式是满足条件的最小次数的 多项式。
唯一性
对于给定的矩阵或多项式，最小多项式是唯一的。
整除性
最小多项
关系描述
最大公因式和最小多项式在数学上存 在一定的联系，但它们分别描述了不 同的概念。
，从而找到方程组的解向量。
03
整除还可以用来验证解的正确性，确保找到的解满足
原方程组。
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模，最终得到最大公约数。
欧几里得算法的原理还可以用数 学公式表示，即gcd(a, b) =
gcd(b, a mod b)，其中mod表 示取余操作。
欧几里得算法的实现步骤
1 2
初始化
选择两个需要求最大公约数的数a和b，其中a>b。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。
理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。
一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
整除属于除尽的一种特殊情况。
二、整除的五条基赋性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。
三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基赋性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。
（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。
①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。
【推理过程】：2、5都是10的因数，根据整除的基赋性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。
任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基赋性质（1），则这个数能被2或5整除。
又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基赋性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。
整除重点知识点总结
整除重点知识点总结一、整除的概念1. 整除的定义：如果一个整数a除另一个整数b（且b≠0）的商仍为整数，那么我们说a 能被b整除，记作b|a。
即$a\%b=0$2. 被除数、除数、商、余数：（1）被除数：被除数是指被除数的整数（2）除数：除数是指除数的整数（3）商：商是指商的整数（4）余数：当被除数能被除数整除时，商为整数，余数为零当被除数不能被除数整除时，商不为整数，余数不为零二、整除的性质1. 0的整除性：0是任何整数的倍数。
2. 正整数的整除性：（1）整数c能被整数a、b整数：若c既能被a整数，又能被b整数，则c能被a，b的最小交集整数整除。
（2）整除的传递性：若a能被b整数，b能被c整数，则a能被c整数。
3. 负整数的整除性：（1）整数c能被整数a整数：若c能被a整数，c能被-a、-b整数。
（2）整除的传递性：若a能被b整数，b能被c整数，则a能被c整数。
三、整除的判断方法1. 用倍数表示：若整数a能被整数b整数，则整数a是整数b的倍数（倍数是指数字b 的n倍，n是整数）。
2. 用因数表示：若整数a能被整数b整数，则整数a是整数b的因数（因数是指a能被整数b整数）。
3. 用除法表示：若整数a能被整数b整数，则整数a÷整数b=商。
若商是整数，则整数a 能被整数b整数。
四、整除的应用1. 整数的奇偶性判断：一个数能够被2整数，称为偶数；一个数不能被2整数，称为奇数。
2. 整数的哪些整除：（1）整数判断：整数5能被整数2整数，因为5÷2=2余1；整数3不能被整数2整数，因为3÷2=1余1。
（2）一元一次方程：整数代表数的值，整除代表数的比值。
五、整除的解题方法1. 整除的运算规则：整除的加减乘除法规则。
2. 整数的乘法和除法：整数的乘法、整数的除法。
3. 整数的乘法和除法法则：整数的乘法、整数的除法法则。
4. 整数的乘法和除法法则：整数的乘法、整数的除法法则。
解整分是整数中的一个重要知识点，通过综合上述知识点的学习，我们可以更好地应用整除知识解决实际问题，提高数学解题的能力。
中考数学整除知识点总结
中考数学整除知识点总结一、整除的定义在中学数学中，我们把两个整数a和b(a≠0)满足条件a÷b = c（c是整数），就称a能被b 整除，b能整除a，记作b | a。
另外，任意整数都能被1整除，0不能被任何数整除。
二、整除的性质1. 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
2. 如果a能被b整除，且b能被c整除，那么a能被c整除。
3. 如果a能被b整除，b≠0，那么a和b的绝对值之差能被b整除。
4. 如果a能被m整除，b能被m整除，那么a ± b（a和b同号）也能被m整除。
5. 如果a能够被b整除，而b不等于0，那么a的倍数中也能被b整除。
三、整除的运算1. 整除与乘法运算如果a能被b整除，且c≠0，那么a×c能被b×c整除。
2. 整除与除法运算如果a能被b整除，且c≠0，那么a÷c能被b÷c整除。
四、整除定理1. 整除定理一如果整数a能被整数b整除，那么a必能被b的所有因数整除。
2. 整除定理二如果整数a和b均为非零整数，则a能被b整除的充分必要条件是当且仅当b的所有质因数都是a的质因数时a能被b整除。
五、奇数与偶数整除的性质在奇数和偶数之间也有一些特殊的表现。
奇数与奇数相乘或相加、偶数与偶数相乘或相加、奇数与偶数相乘或相加，分析后都是奇数，而偶数与偶数相除或奇数与偶数相除就一定是偶数。
六、整除在数论中的应用整除在数论中有着非常重要的应用，比如素数、最大公因数和最小公倍数等问题都是基于整除概念来研究的。
（1）素数素数就是只能被1和自身整除的自然数，素数是数论中的基本概念。
（2）最大公因数最大公因数是指有多个数的一个共同因子中最大的一个数，它是整除概念在数论中的一个重要应用。
（3）最小公倍数最小公倍数是指一个自然数所有公倍数中，除1之外最小的一个数。
整除是数学中一个基础而又重要的概念，它贯穿于整个数学学科，涉及到了很多数学问题的解答。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结一、整除的概念。
1. 定义。
- 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数能被除数整除，或者说除数能整除被除数。
例如，15÷3 = 5，我们就说15能被3整除，或者说3能整除15。
2. 整除的表示方法。
- 若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作ba。
二、数的整除特征。
1. 能被2整除的数的特征。
- 个位数字是0、2、4、6、8的整数能被2整除。
例如12、34、560等都能被2整除。
2. 能被3整除的数的特征。
- 一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。
例如123，各位数字之和为1 + 2+3 = 6，6能被3整除，所以123能被3整除。
3. 能被5整除的数的特征。
- 个位数字是0或5的整数能被5整除。
如10、15、205等都能被5整除。
4. 能被9整除的数的特征。
- 一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。
例如279，各位数字之和为2+7 + 9=18，18能被9整除，所以279能被9整除。
5. 能被11整除的数的特征。
- 把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被11整除。
例如132，奇位数字之和为1+2 = 3，偶位数字是3，它们的差为0，0是11的倍数，所以132能被11整除。
三、整除的性质。
1. 传递性。
- 如果ab且bc，那么ac。
例如，如果3能整除6，6能整除18，那么3能整除18。
2. 可加性。
- 如果ab且ac，那么a(b + c)。
例如，5能整除10，5能整除15，那么5能整除10 + 15=25。
3. 可减性。
- 如果ab且ac，那么a(b - c)。
例如，7能整除21，7能整除14，那么7能整除21-14 = 7。
2024年六年级数学《数的整除》精彩教案设计
2024年六年级数学《数的整除》精彩教案设计一、教学内容本节课选自2024年六年级数学教材第二章《数的整除》第1节，内容包括整除的概念、性质、判定方法以及与倍数的关系。
详细内容如下：1. 整除的定义：当一个整数a除以大于0的整数b，商为整数且余数为0时，我们称a能被b整除。
2. 整除的性质：若a能被b整除，那么a的任意倍数也能被b整除。
3. 整除的判定方法：通过因数分解、试除法等方法判断一个数是否能被另一个数整除。
4. 倍数与整除的关系：若a能被b整除，则a是b的倍数。
二、教学目标1. 理解整除的概念，掌握整除的性质，能正确判断两个数之间是否存在整除关系。
2. 学会使用因数分解、试除法等方法判断一个数是否能被另一个数整除。
3. 掌握倍数与整除的关系，能灵活运用整除知识解决实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：整除性质的运用，因数分解和试除法的灵活运用。
教学重点：整除的定义，整除与倍数的关系。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
2. 学具：练习本、铅笔、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入利用生活实例，如分苹果、糖果等，让学生体会整除的意义。
2. 例题讲解（1）通过具体例题讲解整除的定义和性质。
（2）讲解因数分解和试除法判定整除的方法。
3. 随堂练习（1）让学生根据例题尝试解决类似问题。
（2）针对练习中的错误，及时纠正并讲解。
4. 小组讨论（1）讨论整除在实际生活中的应用。
（2）探讨整除与倍数的关系。
（2）拓展整除知识，引入最大公因数、最小公倍数等概念。
六、板书设计1. 整除的定义2. 整除的性质3. 判定整除的方法4. 倍数与整除的关系七、作业设计1. 作业题目（2）找出36的所有因数，并判断哪些是36的倍数。
2. 答案（1）6能被2整除，12能被3整除，18能被3整除，24能被3整除，30能被5整除。
（2）36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，其中2、3、4、6、12、18、36是36的倍数。
数学整除知识点总结
数学整除知识点总结一、整除的基本概念1.1 整数的定义首先，我们需要了解一下整数的概念。
在数学中，整数是指包括正整数、负整数和零在内的所有整数，用…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…来表示。
整数是一个非常宽泛的概念，其中包含了无穷尽的实数，因此整数之间的关系也有着非常复杂的性质。
1.2 整除的定义在整数之间，如果存在一个整数a，使得另一个整数b能够被a整除，那么我们就说a能够整除b，记作a|b。
即如果存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b。
此时，a称为除数，b称为被除数，c称为商。
另外，如果a不等于0，且存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b；如果a等于0，那么b等于0时，我们也说a能够整除b。
1.3 整数除法整数除法是整除概念的具体实现。
在整数除法中，我们需要用到除数、被除数、商以及余数等概念。
具体来说，对于整数a、b（a≠0）、r，如果整数b能够被整数a整除，即a|b，那么一定存在整数q使得b=aq；此时q称为商，r称为余数，并且0≤r<|a|。
1.4 整数的倍数我们知道，整数之间是存在整数除法的，一个整数能够整除另一个整数，那么它们之间是具有一定倍数关系的。
在数学中，如果一个整数a能够整除另一个整数b，也就是a|b，那么我们就说b是a的倍数，a是b的因数。
1.5 整除的运算规律在整数之间的整除运算中，有一些规律是需要引起我们的注意的。
首先，对于任意整数a，0能够整除a；其次，任意整数a，a都能够整除自己，即a能够整除a，且a|a。
以上就是整除的基本概念及其相关内容。
从这些内容中我们可以看到，整除是一个非常基础的概念，但是它对于数学的发展和应用有着非常重要的作用。
下面我们就来具体讨论一下整除的性质。
二、整除的性质整除的性质是整数之间的一种特殊关系，它具有一些特殊的性质。
下面我们将介绍一下整除的性质。
2.1 整数的连通性一个整数a能够整除另一个整数b，那么我们可以得到一个推论：对于任意整数a、b、c （a、b、c≠0），如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。
小学数学整除的知识点梳理
小学数学整除的知识点梳理
小学数学整除的知识点梳理
数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数
商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作
b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：
①末三位上数字所组成的'数与末三位以前的数字所组成数之差
能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
初中数学整除知识点总结
初中数学整除知识点总结首先，我将介绍整除的定义。
在数学中，整除是指对于两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a=bc，那么我们就说"b整除a"，并且记作b|a。
其中，a被称为被除数，b被称为除数，c被称为商。
如果一个整数被另一个整数整除，那么我们称这个整数为被除数的倍数，除数的倍数还包括所有的负数和零。
需要注意的是，当除数等于1时，所有的整数都是1的倍数。
接下来，我将介绍整除的性质。
整除有一些基本的性质，这些性质在运算中具有很重要的作用。
首先，整数a一定能被1整除，即1|a。
其次，任何整数都能被其本身整除，即a|a。
另外，整除具有传递性，如果a|b且b|c，则a|c。
同时，整除还满足结合律和分配律，即如果a|b且b|c，则a|c；如果a|b，则对于任何整数m和n，都有ma|mb和a(n+m)。
另外，如果a|b且a|c，则a|(b+c)。
在学习整除的过程中，学生还需要了解整数的除法。
整数的除法与小学学习的除法有所不同，因为整数包括正整数、负整数和零。
当除数与被除数都是正整数时，除法的计算与小学除法相同；当被除数为零时，任何除数都不能整除被除数；当除数为零时，除法运算是无意义的；当被除数和除数中有一个负数时，商的正负性由被除数和除数而定，如果被除数和除数同号，商为正，如果被除数和除数异号，商为负。
整除还有一些特殊的性质和规律，这些性质和规律在解决具体问题时非常有用。
首先，当一个整数能同时被m和n整除时，它一定能被它们的最小公倍数整除；其次，如果一个整数能同时被m和n整除，那么它一定能被它们的公因数p整除；另外，一个整数如果能同时被m和n整除，那么它一定能被它们的最大公因数整除。
在学习整除的过程中，学生还需要掌握一些求解整数问题的方法。
求解整除问题的方法有很多种，其中最常用的方法是因式分解。
因式分解是将一个整数分解成几个整数的乘积，这些整数称为因子。
通过因式分解，我们可以得到一个整数的所有因子，从而更加深入地了解这个整数的性质。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结
整除是指一个数能够完全被另一个数整除，即没有余数。
下面是整除的一些基本知识
点总结：
1. 除数和被除数：在进行整除运算时，将一个数称为被除数，另一个数称为除数。
被
除数除以除数得到的商是整数，即能够整除。
2. 余数：如果除数不能够整除被除数，就会有余数产生。
余数是指除法运算中，被除
数去除除数后剩下的数。
3. 除法符号：在整除运算中，使用除号（÷）来表示除法运算。
例如，12 ÷ 3 = 4，
表示12能够被3整除，结果是4。
4. 整除的判断：通过余数是否为零来判断一个数能否整除。
如果余数为零，则能整除；如果余数不为零，则不能整除。
5. 奇偶性判断：一个偶数可以被2整除，没有余数；而一个奇数不能被2整除，会有
余数。
6. 最大公约数：最大公约数是指两个或多个数中能够整除所有数的最大正整数。
可以
使用欧几里得算法来求解最大公约数。
7. 最小公倍数：最小公倍数是指两个或多个数的公共倍数中最小的正整数。
可以通过
最大公约数来求解最小公倍数。
8. 整除性质：整除具有传递性、结合性和分配性。
具体来说，如果a能整除b，b能整除c，那么a就能整除c；a能整除b，b能整除a，那么a和b互为倍数关系；如果a 能整除b，那么a也能整除b的倍数。
此外，整除运算还满足交换律和消去律。
这些是关于整除的基本知识点总结，希望对你有帮助。
探索除法的整除与非整除的概念与运算
探索除法的整除与非整除的概念与运算除法是我们生活中常见的数学运算之一，它用于将一个数分成若干等分。
而在除法运算中，整除与非整除是我们经常遇到的概念。
本文将探索除法的整除与非整除的概念与运算，从而加深对这个数学概念的理解。
除法的概念很简单，即将一个被除数分成若干等分，每一份称为一份除数。
整除的含义是被除数能够被除数整除，即没有余数。
例如，5除以1的结果是5，这是一个整数；而6除以2的结果是3，同样也是一个整数。
那么，如何判断一个数是否能够被另一个数整除呢？首先，我们要了解除法运算中的基本术语，即被除数、除数、商和余数。
被除数是被除的数，除数是用来除以被除数的数，商是运算结果中的整数部分，余数是运算结果中剩余的部分。
当被除数能够被除数整除时，商是一个整数，而余数为零。
例如，10除以2的结果是5，商为5，余数为0。
这种情况下，我们称10能够被2整除，10是2的倍数。
而当被除数不能被除数整除时，商是一个小数，而余数不为零。
例如，7除以2的结果是3.5，商为3.5，余数为1。
这种情况下，我们称7不能被2整除，7不是2的倍数。
除法的非整除概念还包括一种特殊情况，即除数为零的情况。
在数学中，除数不能为零，因为任何数除以零的结果都是无穷大或无穷小，这是没有意义的。
除法运算还涉及到除法的性质，包括交换律、结合律和分配律。
具体来说，交换律表示除法运算中除数和被除数的顺序可以交换，即a 除以b等于b除以a；结合律表示多个除数相乘后再除以被除数的结果与分别将每个除数除以被除数后再相乘的结果是相同的；分配律表示将一个数除以分别与多个数相加（或相减）的结果等于将这个数分别除以这些数后再相加（或相减）的结果。
为了更好地理解除法的整除与非整除的概念与运算，我们可以通过一些例子来加深印象。
例如，假设我们要计算100除以7的结果，我们可以直接进行计算，得到商为14，余数为2，即100除以7等于14余2。
这说明100不能被7整除，且商为14余2。
高等代数§1.3 整除的概念
§1.3
一、整除 1．定义
整除的概念
定义1 设 f ( x ), g ( x ) P [ x ], 若存在 h ( x ) P [ x ] 使得
f ( x ) g ( x )h( x )
f 1 x q 1 x g x r1 x
其中 r1 x < g ( x ) 或者 r1 ( x ) 0 . 于是
f
x b ax
1
nm
q 1 x g x r1 x .
即有 q ( x ) b 1 a x n m q 1 x , r x r1 x 使
但 q x － q x ＋ g x g x , 矛盾．
所以 q x q x , 从而 r x = r x . 唯一性得证．
整除的判定
推论2 设 f ( x ), g ( x ) P [ x ] 且 g ( x ) 0 , 则
f ( x ) q ( x ) g ( x ) r ( x ),
结论成立．
下面讨论 n m 的情形， 对 n 作数学归纳法． 次数为0时结论显然成立． 结论已成立． 假设对次数小于n的 f ( x ) ，
现在来看次数为n的情形．
设 f ( x ) 的首项为 a x n , g ( x ) 的首项为 b x m , ( n m ) 则 b 1 a x n m g x 与 f ( x ) 首项相同，因而，多项式
整除的概念
§1.3整除的概念注：1. 在[]P x 中，加、减、乘封闭，但除法不封闭，整除是一种特殊关系．2. 和中学中所学代数一样，作为形式表达式，也能用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式。
引例，设32()3456f x x x x =+-+ 2()31g x x x =-+.我们可以按下面的格式来做除法：23232223134563133931386133913317x x x x x x x x x x x x x x -++-++-+-+-+-于是求得商为3x+13，余式为3x-7.所得结果可以写成3223456(313)(31)(317)x x x x x x x +-+=+-++-这个求法实际上是具有一般性，下面就按这个想法来证明一元多项式环的一个基本性质。
一. 带余除法对(),()[]f x g x P x ∀∈，()0g x ≠，一定存在(),()[]q x r x P x ∈，使()()()()f x q x g x r x =+ *成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或()0r x =。
且这样的()g x ，()r x 是唯一决定的。
(称q(x)、()r x 为 ()g x 除()f x 的商和余式)证：1） 若()0f x = ，则令()()0q x r x ==.结论成立． 2） 若()0f x ≠，设(),()f x g x 的次数分别为,n m ，对n 作(第二)数学归纳法．当n<m 时，显然取()0q x =，()()r x f x =,*式成立。
n m ≥的情形。
假设当次数小于n 时，()q x ，()r x 的存在已证。
现在看次数为n 的情形。
设n m ≥，且假设对次数小于n 的()f x ，结论已成立．下证次数n 的情形．令,n m ax bx 分别是()f x ,()g x 的首项，n m ≥．则()1n m b ax g x --与()f x 首项相同，因而，多项式()1()()n-m f x f x b ax x -1=-g 的次数小于n 或为零多项式．若()()f x ∂1=0，令()g x b ax =-1n-m ，()0r x =．即得证． 若()()f x >∂10，由归纳假设，存在11(),()q x r x ，使得()()()()111f x q x g x r x =+其中 ()()()1()f x <g x ∂∂ 或1()0r x =．于是()()()()()111n m f x b ax q x g x r x --=++．再证唯一性．若有()()()()f x q x g x r x =+， ()()()()()0r x g x r x ∂<∂或＝． ()()()(),f x q xg x r x ''=+ ()()()()()0r x g x r x ''∂<∂或＝则 ()()()()()()q x g x r x q x g x r x ''+=+()()()()()()q x q x g x r x r x ''⇒－＝－ ()()()()()0,0q x q x g x r x r x ''≠≠≠若，由有－()()()()()()()()()()()()()()()max ,q x q x g x r x r x r r g x g x '''∴∂∂∂≤∂∂<∂<∂－＋＝－ 而 ()()()()()()()q x q x g x g x '∂∂≥∂－＋，矛盾． 所以，()()q x q x '=，从而()()r x r x '=．二、整除1．定义：（整除）设(),()[]f x g x P x ∈，若()[]h x P x ∃∈，使()()()f x g x h x =则称()g x 整除()f x ，记作()|()g x f x注意：1) ()|()g x f x 时， 称()g x 为()f x 的因式， ()f x 为()g x 的倍式． 2) ()g x 不能整除()f x 时记作：()|()g x f x ．3) ()0g x =时，()()()0()0,()[]f x g x h x h x f x P x ===∀∈ 2．定理１ （整除的判定）(),()[],()0f x g x P x g x ∀∈≠()()|()()()0g x f x g x f x ⇔=除的余式r x证明 如果r (x )=0,那么f (x )=q (x )g (x ),即g (x )|f (x ). 反过来，如果g(x )|f (x ),那么()()()()()0f x q x g x q x g x ==+即r (x )=0.证毕。
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第二次课 整除的概念
教学目标要求：理解多项式整除概念和性质,熟练掌握带余除法及整除的性质。
教学内容：１．带余除法定理和综合除法 ２．整除的概念 ３．整除的性质。
教学重点与难点：多项式整除的概念和性质,带余除法定理；带余除法定理的理论证明.．
一、 带余除法与综合除法
１．带余除法
定理1 设f (x ), g (x )都是F [x ]中的多项式,且g (x )≠0,那么总可以在F [x ]中找到q (x )和r (x ),使得
f (x )=
g (x )q (x )+r (x )
这里r (x )=0或者r (x )的次数小于g (x )的次数,满足以上条件的q (x )和r (x )只有一对. 证明 : 可行性
若是f (x )=0或者f (x )的次数小于g (x )的次数,取q (x )=0,r (x )=f (x ),可使（2）式成立.
若 0∂(f (x ))≥0∂(g (x )),令
f (x )=a 0x n +a 1x n -1+…+a n -1x +a n
g (x )=b 0x m +b 1x m -1+…+b m -1x +b m
这里 a 0≠0,b 0≠0,且n ≥m
g (x )=b 0x m +b 1x m -1+…+b m -1x +b m m
n m n n n n n x a b x a b x f a x a n a x a ------+=++++110100101110)(
1
111111010)(n n n n a x a x a x f x a +++=+-
2221,21220210)(n n n n a x a x a x f x a ++++-
由此得： )()()(0101x g x a b x f x f m n ---=,
)()()(01012x g x a b x f x f m n ---=,
………………
)()()(10,1101x g x a b x f x f m n k K k k ------=
而 f k (x )=0或f k (x )=0的次数小于m ,把这些等式加起来得
)())(()(110,1101010010x f x a b x a b x a b x g x f k m n k m n m n k ++++=-------- 取 )()(,)(1
10,1101010010x f x r x a b x a b x a b x q k m n k m n m n k =+++=-------- ,命题得证.
唯一性：若还有q ’(x ),r ’(x ),使f (x )=g (x )q ’(x )+r ’(x ),则由f (x )=g (x )q (x )+r (x ),得g (x )(q (x )-q ’(x ))=r ’(x )-r (x ).。
若是r ’(x )-r (x ) ≠0,则q (x )-q ’(x ) ≠0,,左边次数不小于 g (x )的次数,右边次数小于g (x )的次数,这不可能.于是r ’(x )-r (x )=0,从而q (x )-q ’(x )=0。
这种由f (x ),g (x )出发求q (x ),r (x )的作法叫带余除法,q (x )叫商式,r (x )叫余式.
２．方法
（1） 长除法,（2）待定系数法
３．例题
4．综合除法
二、多项式的整除
1． 定义
整除：数域P 上的多项式g (x )称为整除f (x ),如果有数域P 上的多项式h (x )使等式
f (x )=
g (x )
h (x )
成立。
我们用g (x )|f (x )表示整除。
当g (x )|f (x )时,就称g (x )为f (x )的因式,称f (x )为g (x )的倍式.既是f (x )的因式,又是g (x )的因式称为f (x ),g (x )的公因式。
2． 判别法
定理：设f (x ),g (x )是数域P 上的多项式,g (x )0≠,则g (x )|f (x ) ⇔g (x )除f (x )的余式为零。
证明： 若g (x )≠0,则g (x )|f (x ) ⇔ f (x )=g (x )q (x )+r (x )且r (x )=0
三、整除的性质
1、f (x ) | g (x ), g (x ) | h (x )⇒f (x ) | h (x ).
2、h (x ) | f (x ), h (x ) | g (x )⇒h (x ) |（f (x )±g (x )）.
3、h (x ) | f (x )⇒h (x ) | f (x )g (x ).
4、h (x ) | f i (x ), i =1,2,…t , g i (x )∈F [x ]
⇒h (x ) | (f 1(x )g 1(x )+f 2(x )g 2(x )+…+f t (x )g t (x )).
5、零次多项式,整除任一多项式
证明：设f (x )=a 0+a 1x +…+a n x n ,则
c x f =)()(
10n n x c
a x c a c a +++ 6、cf (x ) | f (x )(c ≠0).
因为f (x )=c
1 (cf (x )). 7、f (x ) | g (x ), g (x ) | f (x )⇒f (x )=cg (x ) pf ：g (x )=f (x )u (x ), f (x )=g (x )υ(x ), f (x )=f (x )u (x )υ(x ).
若 f (x )=0； 则g (x )=0；若f (x )≠0,则因u (x )v (x )=1, 可知0
∂(u (x )v (x ))=0.
从而0∂(u (x ))=0, 0∂(v (x ))=0,即f (x )=cg (x ). Remark 整除是多项式之间的一种关系,若f (x ) | g (x ),则说f (x )≤g (x ),这样可以规定F [x ]中的一种偏序关系.
四、整除与所论数域无关性
设数域F ’含有数域F ,而f (x )和g (x )是F [x ]的两个多项式,如果在F [x ]里g (x )不能整除f (x ),那么在F ’ [x ]里g (x )也不整除f (x ).
证明： 若g (x )=0,在F [x ]中g (x )不整除f (x ) ,则f (x )≠0,在F ’[x ]中f (x )≠0,故在F ’[x ]中,g (x )不整除f (x ).
若 g (x )≠0,在F [x ]中下列等式成立
f (x )=
g (x )q (x )+r (x ),且r (x )≠0
上述等式在F ’ [x ]中仍然成立,故在F ’ [x ]中仍有g (x )不整除f (x ).
作业：P 44 1(1),3（1),4(2),(3)。