复变函数与积分变换模拟试卷(一)

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复变函数模拟试题(一)含答案

复变函数模拟试题试题(一)一. 填空题（每空3分，共15分） 1. 设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=, 则.___________=z2. 导函数xv ixu z f ∂∂+∂∂=)('在区域D 内解析的充要条件为________________.3. 设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段, 则⎰=cdz z .______________24. 幂级数∑∞=+012)2(n n n z i 的收敛半径为._____________=R5. 函数zz f 1c o s1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21 ±±=+=k k z k ππ处的留数.______________]),([Re =k z z f s二. 选择题（每题3分，共15分）1. 设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有,12||||21=+z z 则动点),(y x 的轨迹是 ( ).(A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线2下列函数中为解析函数的是( )(A) xyi y x 222-- (B) xyi x +2(C) )2()1(222x x y i y x +-+- (D) 33iy x +3. 设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数,则下列函数中为D 内解析函数的是( ).(A) ),(),(y x iu y x v + (B) ),(),(y x iu y x v -(C) ),(),(y x iv y x u - (D)xv i xu ∂∂-∂∂4. 设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的罗朗展开式有m个, 那么 )(=m .(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5. 分式线性变换zz w --=212把圆周1||=z 映射为( )(A)1||=w (B)2||=w (C) 1|1|=-w (D) 2|1|=-w三. (10分) 对于映射⎪⎭⎫⎝⎛+=z z 12ω，求出圆周4=z 的像. 四.(10分) 设),(),()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数, 且已知0),(),(22=-+-yx y x yv y x xu , 求函数)(z f .五.(10分) 设)(z f 在)1(><R R z 内解析, 且2)0(',1)0(==f f , 试计算积分dzzz f z z 221)()1(⎰=+, 并由此得出⎰xd e f 202)(2cos θθθ之值.六.(10分) 将函数)1()2ln(--z z z 在110<-<z 内展开成罗朗级数.七. (10分) 求一分式线性变换, 它把偏心圆环域93:{>-z z 且}168<-z 映射为同心圆环域1<<ωR , 并求非负数R 的值. 八. (10分) 用留数计算积分 ⎰+∞∞-++=32)106(x x dxI .九. (10分) 由下式定义的)(z p n 称为勒让德(Legendrc)多项式:])1([!21)(2nnn nn zdzdn z p -=,试证明)(z p n 能表示为 ⎰+--=cn nn n d z iz p ξξξπ12)(2)1(21)(其中c 是绕z 点的任一正向简单闭曲线. 特别地, 若取c 为圆周12-=-z z ξ,便可推得Laplace 公式: θθπd zz z p nzn )cos 1(1)(02⎰-+=复变函数模拟试题试题(一)答案一. 填空题 (1).2 (2).xv x u ∂∂∂∂,可微且满足.,222222xv yx u yx v xu ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂(3). 2 (4).22 (5).2)2()1(ππ+-k k二. 选择题: 1. (B) 2. (C) 3. (B) 4. (C) 5.(A) 三. 解: 记,,iv u iy x z +=+=ω 则映射)1(2z z +=ω相当于),(222yx iy x iy x iv u +-++=+ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=)(2)(22222y x yy v yx x x u (1) 对于圆周,4||=z 其参数方程为πθθθ20sin 4cos 4≤≤⎩⎨⎧==y x代入式(1)可得其像的参数方程为πθθθ20sin 215cos 217≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==v u这表示ω平面上的椭圆.12152172222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛vu四.解:由题设可知it s yu xv i yv xu iv u iy x z zf +≡++-=++=)())(()(是z 的解析函数,则有,,xt y s y t xs ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂再由022=-+-y x yv xu 得).(22y x s --=于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂=∂∂-=∂∂-=∂∂x x s yt y ys x t 22 )2()1(由式(1)得⎰+-=+-=)(2)()2(y xy y dx y t ϕϕ代入式(2)得,2)(,0)('2)('2c xy t c y y x y x +-=⇒==⇒-=+-ϕϕϕ所以,2c xy t +-=函数).0()(2)()(222≠+-=⇒+-=+---=+=z zic z z f ic z ic yxi y x it s z zf 将2222))(Im(,))(Re(yx cx y z f v yx cy x z f u ++-==++-==代入所给的等式022=-+-y x yv xu 可验证所求的函数cz zic z z f ,0(,)(≠+-=为实常数).五. 解: 由高阶导数公式021||22)]'()1[(2.)()1(==+=+⎰z z z f z i dz zz f z π.8))0(')0(2(2i f f i ππ=+= 又由复积分公式θθθθπθd ie ee f edz zz f z i i i i z 22021||22)()1()()1(⎰⎰+=+=θθπθd e f i i ⎰+=20)()cos 22(θθπθd ef i i ⎰=202)(2cos4即.2)(2cos 202πθθπθ=⎰d ef i六. 解: 由∑∞=--=-+=)1()1()1(111n nnz z z )1|1(|<-z∑∞=+-+-=--=-01)1(11)]1(1ln[)2ln(n n z n z z (|z-1|<1)可知当1|1|0<-<z 时∑∞=---=--=--0)1()1(11)2ln(111)1()2ln(n nnz z z zz z z z ∑∞=+-+-01)1(11n n z n=∑∞=+--01)1()1(n nn z ∑∞=-+0)1(11n nz n=∑∑=+∞=-+--nk nk n z k n 01)1)(1)1((.七. 解设21,z z 是关于圆周9|3|=-z 和16|8|=-z 都对称的一对点,那么圆心3, 21,z z 在同一直线上, 圆心8, 21,z z 在同一直线上, 从而 1z 与2z 在圆心3与圆心8的连线上,即21,z z 为实数. 可分别设为,,21x x 由对称点定义得⎩⎨⎧=--=--256)8)(8(81)3)(3(2121x x x x 解之,得.24,021-==x x 这样圆周9|3|=-z 可以写成,3124=+z z 圆周168=-z 可以写成2124=+z z . 分式线性变换24+=z z ρω把,,021∞↔↔x x 且把偏心圆周9|3|=-z 与16|8|=-z 分别映射为以原点0=ω为中心的同心圆周ρω31=与ρω21=, 让16|8|=-z 的像ρω21=对应圆周1=ω(区域的外边界互相对应), 只需取,2,2θρρi e == 从而242+=z z ei θω(θ为实数)将偏心圆环域{}16893:<->-z z z 且映射为同心圆环域,132<<ω 非负数32=R 即可.解:.83313,)106(1Re 23''32πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=-=i z i z i i z z s i I八. 解:.83313,)106(1Re 23''32πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=-=i z i z i i z z s i I九. 证令nnf )1(21)(2-=ξξ, 它在ξ平面上解析. 由高阶导数公式⎰+-=cn n d z f i z fn ξξξπ1)()()(21)(!1 即得⎰+--==-=cn nn n nnn nn d z iz fn z dz dn z p ξξξπ12)(2)(2)1(21)(!1])1[(!21)(再若c 为圆周),20(12πθξθ≤≤-+=iez z 由复积分计算公式, 并记i e z z α1122-=-, 得.)cos 1(1)2()cos 1(21)]2cos(1[21)121121(21)1(2)1121(21)(02220222)(2202022222θθπθπθθπθπθπππππαθθαππθθθd z z a t dt t z z d a ez z d e z z e z d e z e z e z zz z p nnnini i ni nni i n ⎰⎰⎰⎰⎰-+=-=-+=--+=-++-=--+-+-=--这里用到θcos 是以π2为周期的偶函数.。

2015年1全国自考工程数学—复变函数与积分变换模拟试卷(一)

2014年4月全国自考工程数学—复变函数与积分变换模拟试卷(一)一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

第1题【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第2题【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第3题A. z=0B. z=1C. z=-1D. 无奇点【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第4题【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第5题A. 1B. -1C. 0D. 2【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第6题A. 0B. 1C. -1D. 2【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第7题设f(z)=u+iv在点z0点解析，则不能断定f(z)在z0点()A. u,v满足C-R条件B. 可导C. 保形D. u,v可微【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第8题【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第9题下列变换中不正确的是（）【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第10题设z=1+i,则Im(sinz)=()A. sin1ch1B. cos1sh1C. cos1ch1D. sin1sh1【正确答案】 B二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

第1题 -1-i的辐角是___.【正确答案】 -3/4π+2kπ,k=0,±1,±2…【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分___第2题题中横线处答案为：【正确答案】 1【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分第3题题中横线处答案为：___【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分___第4题题中横线处答案为：【正确答案】【你的答案】本题分数2分修改分数你的得分___第5题题中横线处答案为：【正确答案】【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分第6题题中横线处答案为：___三、计算题（本大题共8小题，共52分）第1题【正确答案】【你的答案】本题分数6分你的得分修改分数第2题【正确答案】【你的答案】本题分数6分你的得分修改分数第3题【正确答案】【你的答案】本题分数6分你的得分修改分数第4题【正确答案】【你的答案】本题分数6分你的得分修改分数第5题【正确答案】【你的答案】本题分数6分你的得分修改分数第6题【正确答案】【你的答案】本题分数6分你的得分修改分数第7题【正确答案】【你的答案】本题分数6分你的得分修改分数第8题【正确答案】【你的答案】四、综合题（下列3个小题中，第1题必做，第2、3题中只选做一题。

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。

２.-8i得三个单根分别为：、、。

3.Lｎz在得区域内连续。

4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。

５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。

6. ﻩﻩ。

７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。

１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。

二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。

三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。

五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。

1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。

（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。

八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴４、空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立（２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。

复变函数与积分变换五套试题及答案

复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模，幅角。

)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为：，，。

3．Ln z 在的区域内连续。

4．的解极域为：。

z z f =)(5．的导数。

xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若=F [f (t )]，则= F 。

)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。

二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。

)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。

)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。

复变函数与积分变换模拟题

《复变函数与积分变换》模拟题一.单选题1.下列等式中,对任意复数z 都成立的等式是( C ).A.z ∙z̅=Re(z ∙z̅)B.z ∙z̅=Im(z ∙z̅)C.z +z̅=Re(z +z̅)D.z ∙z̅=|z̅|2.下列函数中,不在全平面内解析的函数是( A ).A.w=Re zB.w=z 2C.w=e zD.w=z+cosz3.下列复数中,位于第2象限的复数是( C ).A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i4.下列命题错误的是( D ).A.函数在一点解析一定在该点可导B.函数在一点解析一定在该点的领域内可导C.函数在邻域D 内解析一定在邻域D 内可导D.函数在邻域D 内可导不一定在领域D 内解析5.设C 为正向圆周|z|=1,则21(1)C dz z i -+⎰等于( A ). A.0 B.12πi C.2πi D.πi6.z=0是e z −1z 2( D ).A.二阶极点B.可去奇点C.本性奇点D.一阶极点7.对于幂级数,下列命题正确的是( B ).A.在收敛圆内,幂级数条件收敛B.在收敛圆内,幂级数绝对收敛C.在收敛圆周上,幂级数必处处收敛D.在收敛圆周上,幂级数必处处发散8.解析函数f (z )=u (x,y )+iv(x,y)的导函数为( B ).A.f ′(z )=u x +iu yB.f ′(z )=u x −iu yC.f ′(z )=u x +iv yD.f ′(z )=u y +iv x9.C 是正向圆周|z|=3,如果函数f(z)=( D ),则()0Cf z dz =⎰ A.3z−2 B.3(z−1)z−2 C.3(z−1)(z−2)2 D.3(z−2)210.下列结论正确的是( D ).A.如果函数f(z)在z 0点可导,则f(z)在z 0点一定解析B.如果f(z)在C 所围成的区域内解析,则()0Cf z dz =⎰ C.如果()0Cf z dz =⎰,则函数f(z)在C 所围成的区域内一定解析 D.函数f (z )=u (x,y )+iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)在该区域内均为调和函数.11. 下列结论不正确的是( B ).A.∞为sin 1z 的可去奇点B.∞为sin z 的本性奇点C.∞为1sin 1z 的孤立奇点 D.∞为1sin z 的孤立奇点12.下列结论不正确的是( C ).A.lnz 是复平面上的多值函数B.cosz 是无界函数C.sinz 是复平面上的有界函数D.e z 是周期函数.13.如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛,则级数在( C ).A.2-=z 点条件收敛B.i z 2=点绝对收敛C.i z+=1点绝对收敛 D.i z 21+=点一定发散.14、a=( A )时f(z)=x 2+2xy -y 2+i(ax 2+2xy+y 2)在复平面内处处解析.A.-1B.0C.1D.2二.判断题1.若函数f(z)在区域D 内解析,则f(z)在区域D 内沿任意一条闭曲线C 的积分为0.( ✘ )2.z=0是sin z z 的一阶极点.( ✘ )3.不同的函数经拉普拉斯变换后的像函数可能相同.( ✔ )4.函数在某区域内的解析性与可导性等价.( ✔ )5.若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D 内解析当且仅当ðu ðx ,ðu ðy ,ðv ðx ,ðv ðy 连续且满足柯西-黎曼方程.( ✘ )6.若u(x,y)的共轭调和函数,那么v(x,y)是(x,y)的共轭调和函数.( ✘ )7.函数若在某点可导一定在该点解析.( ✔ )8.函数在一点解析的充要条件是它在这点的邻域内可展开成幂级数.( ✘ )9.2cos 10zz z -=是的本性奇点.( ✘ )三.填空题 1.0!nn z n ∞=∑的收敛半径为 ∞ 。

自考复变函数与积分变换试题试卷真题

复变函数与积分变换试题一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)1.z=2-2i ，|z 2|=（）A.2B.8C.4D.82.复数方程z=cost+isint 的曲线是（）A.直线B.圆周C.椭圆D.双曲线3.Re(e 2x+iy )=（）A.e 2xB.e yC.e 2x cosyD.e 2x siny4.下列集合为有界单连通区域的是（）A.0<|z-3|<2B.Rez>3C.|z+a|<1D.π≤<πargz 215.设f(z)=x 3-3xy 2+(ax 2y-y 3)i 在Z 平面上解析，则a=（）A.-3B.1C.2D.36.若f(z)=u(x ，y)+iv(x ，y)在Z 平面上解析，v(x,y)=e x (ycosy+xsiny)，则u(x ，y)=（）A.e x (ycosy-xsiny)B.e x (xcosy-xsiny)C.e x (ycosy-ysiny)D.e x (xcosy-ysiny) 7.⎰=-3|i z |zdz =（）A.0B.2πC.πiD.2πi 8.⎰=---11212z z sinzdz |z |=（） A.0 B.2πisin1C.2πsin1D.1sin 21i π9.⎰302dz zcosz =（） A.21sin9 B.21cos9 C.cos9D.sin9 10.若f(z)=tgz ，则Res[f(z)，2π ]=（） A.-2πB.-πC.-1D.0 11.f(z)=2i)z(z cosz -在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（） A.0B.1C.2D.3 12.z=0为函数cosz 1的（） A.本性奇点B.极点C.可去奇点D.解析点 13.f(z)=)z )(z (121--在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（） A.∑∞=-01n n n z )( B.∑∞=-021n n z )z ( C.∑∞=-02n n )z ( D.∑∞=---0121n n n )z ()(14.线性变换ω=iz z i +-（） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<115.函数f(t)=t 的傅氏变换J [f(t)]为（）A.δ(ω)B.2πi δ(ω)C.2πi δ'(ω)D.δ'(ω)二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)16.若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.17.若cosz=0，则z=________.18.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2________. 19.幂级数∑∞=1n n n z n !n 的收敛半径是________.20.线性映射ω=z 是关于________的对称变换.三、计算题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)21.计算复数z=327-的值.22.已知调和函数v=arctg xy ,x>0，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式. 23.设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数，试确定a ，b 的值.24.求积分I=⎰+C dz z i 的22值，其中C ：|z|=4为正向. 25.求积分I=⎰+C zdz )i z (e 的42值，其中C ：|z|=2为正向. 26.利用留数计算积分I=⎰C zsinzdz ，其中C 为正向圆周|z|=1. 27.将函数f(z)=ln(3+z)展开为z 的泰勒级数.28.将函数f(z)=()22+z z 在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数. 四、综合题(下列3个小题中，第29小题必做，第30、31小题中只选做一题。

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为。

3、复数i i (1)-的指数形式为。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划） 1、2121z z z z +=+ （）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （）3、()()i i i 125432+=++ （）三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（）（A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

复变函数与积分变换考题附答案

答案：一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1sin )44--+i ππ2、1,1-+--i i3、2104+-=v u4、4+k e ππ5、12+i二、计算与解答题（本大题共8小题，每小题9分，总计72分）1.223e ()d ()==-⎰f z z ξξξξξ，当(1)||3,>z 22023e e ()()d =2[]'|()==-=-⎰z f z i z ξξξξξξπξξ 220222e ()e 212|2()=----==-z z i i z z ξξξξππξ (2)0||3,<<z 122222e e ()()d d -=+-⎰⎰C C z f z z ξξξξξξξξ2222221e e 21222----=+=z z z z i i i z z z πππ(3)0=z ，22033e 2()d (e )''|42!=====⎰i f z i ξξξξπξπξ 2、2()()(,)=++f z x y iv x y φ，由于2(,)()=+u x y x y φ为调和函数，故=-xx yy u u ，即''()2=-y φ，212()=-++y y C y C φ.由C-R 方程，12=,2==-+=-x y y x u x v u y C v 从而得到 132=++v xy C x C . 由于(0)'(0)0==f f ，得1230===C C C . 因此2222()(,)2,()2=-==-+=，y y v x y xy f z x y xyi z φ. 3、将函数21()-=z f z z在将01=z 处展开成泰勒级数，并指出收敛半径. 收敛半径1=R ，即|1|1-<z2101111()(1)()'(1)()'11(1)((1)(1))'(1)(1)∞∞+==-==--=--+-=----=--∑∑n n n nn n z f z z z z z z z z n z4、333241111()cos (1)2!4!2!4!==-+-=-+-z f z z z z z z z z11Re [(),0]4!24==s f z5、扩充复平面内函数3e ()(1e )=-zz f z z 的奇点为,0∞和使10,1,12,0,1,2,-=====±±z z e e z Ln i k k π当220,11(1)(1)2!2!2!=-=-+++=---=---z z z z k e z z z故0=z 是()f z 的四级极点.设()1,(2)0,'(2)0=-=≠z g z e g k i g k i ππ2,1,2,==±±z i k k π是一级极点.又lim 2→∞=∞k k i π，故∞不是孤立奇点.6、841d (2)(5)=--⎰z z z z812Re [(),]2(Re [(),5]Re [(),])===-+∞∑k k i s f z z i s f z s f z ππ851Re [(),5]lim(5)(),Re [(052→=-=∞-），]＝z s f z z f z s f z 所以，原式8152-＝-2iπ7、ℱ0000[()cos ]()cos ()2-+∞+∞---∞-∞+=⋅=⋅⎰⎰i t i t iwtiwte ef t t f t t edt f t e dt ωωωω00()()0011()()[()()]22+∞---+-∞=⋅+⋅=-++⎰i t i tf t e f t e dt F F ωωωωωωωωℱ0000[()cos ]()cos cos |1+∞--=-∞===⎰i t i t t f t t t te dt te ωωωδωω8、两边Laplace 变换得 2()(4)(1)=++sY s s s求逆变换得 4441()c o s s in 171717-=-++t y t e t t 三1、由卷积定理L a t t af t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰0d )(L ss aF t f 1)(]1*)([⋅=3、由C-R 方程得 '()0=+=-=x x y y f z u iv v iu ，得0====x x y y u v v u ，从而12,==u c v c ，故()f z 在D 内恒为常数.。

复变函数与积分变换模拟试题和答案

模拟试卷一一.填空题1. =⎪⎭⎫⎝⎛+-711i i . 2. I=()的正向为其中0,sin >=-⎰a z c dz z ez cz,则I= .3.z1tan 能否在R z <<0内展成Lraurent 级数？4．其中c 为2=z的正向：dz z z c1sin 2⎰=5. 已知()ωωωsin =F ，则()t f =二.选择题 1.()()z z z f Re =在何处解析(A) 0 (B)1 (C)2 (D)无2.沿正向圆周的积分.dz z zz ⎰=-221sin =(A)21sin i π. (B) 0. (C)1sin i π. (D)以上都不对.3．()∑+∞-∞=--n n nz 14的收敛域为(A) .4141<-<z . (B)e z <-<21 (C) 211<-<z . (D)无法确定 4. 设z =a 是()z f 的m 级极点,则()()z f z f '在点z =a 的留数是 .(A) m. (B) -2m. (C) -m. (D) 以上都不对. 三.计算题 1.()iv u z f +=为解析函数，322333y xy y x x v u --+=-，求u2．设函数()z f 与分别以z=a 为m 级与n 级极点，那么函数()()z g z f .在z=a 处极点如何？3．求下列函数在指定点z 0处的Taylor 级数及其收敛半径。

()1,102-==z zz f 4．求拉氏变换()t t f 6sin =（k 为实数）5. 求方程te y y y -=+'+''34满足条件()()100='=y y 的解.四.证明题1.利用e z的Taylor 展式，证明不等式zz ze z e e ≤-≤-112.若()=ϖF ℱ()[]t f (a 为非零常数) 证明：ℱ()[]⎪⎭⎫⎝⎛=a F a at f ϖ1 模拟试卷一答案一.填空题1. i2. 03.否 4．1/6- 5.()0.5,10,10.25,1t f t t t ⎧<⎪=>⎨⎪=⎩二.选择题1. (D)2. (A) 3．(A) 4. (C) 三.计算题1.233u x y y c =-+2．函数()()z g z f 在z=a 处极点为m+n 级3．()()121111n n f z n z R z ∞-===+=∑4．2636s +5.()3371442t t ty t e e te ---=-++.模拟试卷二一.填空题1. C 为1=z 正向，则⎰c dz z =2.()()2323lxy x i y nx my z f +++=为解析函数，则l, m, n 分别为 .3.2Re ,0shz s z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦4. 级数()∑∞=-122n nnz .收敛半径为5. δ-函数的筛选性质是二.选择题 1．()()1-=-t u e t f t ，则ℒ()f t =⎡⎤⎣⎦(A) .()11---s e s (B)()11---s e s (C)2()11---s e s (D) 以上都不对2．ℱ()[]()ωF t f =，则ℱ()()[]=-t f t 2(A)()()ωϖF F 2-' . (B)()()ωϖF F 2-'-.(C)()()ωϖF F i 2-'. (D) 以上都不对3．C 为3=z 的正向，().2103⎰-c zz dz(A) .1 (B)2 (C)0 (D) 以上都不对4. 沿正向圆周的积分dzz zz ⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-222sin π =(A).0. (B).2 (C).2+i. (D). 以上都不对.三.计算题1. 求sin(3+4i).2．计算()()⎰--cb z a z dz,其中a 、b 为不在简单闭曲线c 上的复常数，a ≠b.3．求函数()1,110=+-=z z z z f 在指定点z 0处的Taylor 级数及其收敛半径。

大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷

优秀学习资料欢迎下载20XX 年3月份《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷考试形式：闭卷试卷类型：（A ）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、B2、C3、C4、D5、B6、D7、B8、A9、C10、A一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（） A 、),(),(y x iu y x v +B 、),(),(y x iu y x v -C 、),(),(y x iv y x u -D 、xvi x u ∂∂-∂∂ 2、设),2,1(4)1( =++-=n n in n n α，则n n α∞→lim （） A 、等于0B 、等于1C 、等于iD 、不存在3、下列级数中，条件收敛的级数为（）A 、∑∞=+1)231(n niB 、∑∞=+1!)43(n nn iC 、∑∞=2ln n nn iD 、∑∞=++-11)1(n n n i4、21)(-=z z f 在1-=z 处的泰勒展开式为（） A 、3|1|)1(312101<++=-∑∞=+z z z n n n B 、3|1|)1(31210<++-=-∑∞=z z z n n n C 、3|1|)1(31210<++=-∑∞=z z z n n n D 、3|1|)1(312101<++-=-∑∞=+z z z n n n 5、设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的（） A 、可去奇点B 、本性奇点C 、m 级极点D 、小于m 级的极点6、设幂级数1,-∞=∞=∑∑n n n nn n znc z c 和101+∞=∑+n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是（）A 、321R R R <<B 、321R R R >>C 、321R R R <=D 、321R R R ==7、把z 平面上的点1,,1321-===z i z z 分别映射为w 平面上的点i w w w ===321,1,0的分式线性映射得（）A 、zzi w -+⋅=11 B 、zzi w +-⋅=11 C 、zzi w -+⋅=111D 、zzi w +-⋅=1118、设)0(0,0,0)(>⎩⎨⎧≥<=-ββt e t t f t，则F =)]([t f （） A 、22ωβωβ+-iB 、22ωβωβ++iC 、22ωβωβ--iD 、22ωβωβ-+i9、函数)2(t -δ的拉氏变换L =-)]2([t δ（） A 、1B 、se 2C 、se2-D 、不存在10、幂级数∑∞=0!n nzn 的收敛半径是（）A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、将幂函数i+15表示成三角形式为_______________________ 2、将幂函数i i 表示成指数形式为________________ 3、设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰zdz z C3)(_________。

复变函数积分变换模拟试卷及答案

习题一一、填空题（每空3分，共30分） 1.1211,,2z i z i =+=+则12z z ⋅= ，12arg()z z ⋅= ． 2.3. ()exp(2/2z π'+=4. (2)Ln i = ，cos i =5．.沿圆周C 的正向积分:1211z C z ze dz z -=+=-⎰Ñ ． 6. 级数(1)(1)nn n i z ∞=--∑的收敛半径R = ．7. ()sin(2)f z z =的泰勒展开式是８．函数()sin(3)f t t =的拉普拉斯变换为二、选择题（每题3分，共15分）1.方程52z -=所表示的曲线是（）（A ）椭圆（B ）直线3x =- （C ）直线2y = （D ）圆周2. 已知1()z e f z z-=，则]0),([Re z f s （）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3. 0=z 为4sin z zz-的( ) （A ）一级极点（B ）二级极点（C ）三级极点（D ）四级极点 4. 设s F()=L [()]f t ，则L 0[()]tf t dt ⎰的值是（）（A ）()F s js （B ）()(0)F s f s- （C ）()F s s （D ）()F s5. w 1F()=F 1[()]f t ，w 2F ()=F 2[()]f t ，下列关于Fourier 变换的卷积公式说法错误的是（）（A ）1221()()=()()f t f t f t f t ** （B ）F 1212[()()]()()f t f t F w F w *=⋅（C ）F 12121[()()]()()2f t f t F w F w π⋅=* （D ）F 1212[()()]()()f t f t F w F w ⋅=* 三．1.（本题5分）24,12C dz z z i ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭⎰Ñ其中:3C z =为正向. 2．（本题5分）利用留数计算221,1Cz dz C z +-⎰Ñ为正向圆周：3z = 3. （本题5分）计算1sin z zdz ⎰.四．假设1. （本题8分）假设2222()()f z x axy by i cx dxy y =+++++为解析函数，试确定,,,a b c d 的值.2.（本题8分）将函数2z ze e shz --=展开成z 的幂级数,并指出它的收敛半径.3.（本题8分）将函数21()(1)(2)f z z z =--分别在0|1|1,0|2|1z z <-<<-<内展成洛朗级数.4. （本题8分）函数2(1)(2)()(sin )z z f z z π--=有哪些奇点？如果是极点，指出它是几级极点。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案(1)

«复变函数与积分变换»期末试题（A)一．填空题(每小题3分，共计15分）1．231i-的幅角是( ）；2.)1(iLn+-的主值是（）；3。

211)(zzf+=,=)0()5(f（）;4．0=z是4sinzzz-的（）极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zfs（ )；二．选择题(每小题3分,共计15分）1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为（）；(A）yxiuuzf+=')(; （B）yxiuuzf-=')(;（C)yxivuzf+=')(；（D）xyivuzf+=')(。

2．C是正向圆周3=z,如果函数=)(zf（），则0d)(=⎰C zzf．（A）23-z；（B）2)1(3--zz; （C）2)2()1(3--zz; (D)2)2(3-z。

3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，则级数在(A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；(C ）i z+=1点绝对收敛； (D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( ）（A)如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；（B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C)如果0)(=⎰Cdz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（）．（A ）的可去奇点；为z1sin ∞（B ）的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分)（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ; （3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z(4）函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点?，如果有极点，请指出它的级。

复变函数与积分变换试题及答案1

复变函数与积分变换试题与答案一、填空题：（每题3分）1.i 31--的三角表达形式：；指数表达形式：；几何表达形式： . 2．=-i 2)3( ；3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度，则≤⎰z z f C d )( . 4．级数21n z z z +++++ 的和函数的解析域是。

5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是。

二、判断正确与错误（画对错号，每题3分）1．因为|sin |1z ≤，所以在复平面上sin z 有界。

（） 2、若函数()z f 在0z 处解析，则)()(z f n 也在0z 解析。

（） 3．如果u (x ,y )，v (x ,y )的偏导数存在，那么f (z )=u +iv 可导。

（） 4．在z o 处可导的函数，一定可以在z o 的邻域内展开成罗朗级数。

（）5. 解析函数构成的保形映照具有保圆性（）三、解答题（每题8分）1．设22()i f z xy x y =+，则()f z 在何处可导？何处解析？2．已知f （z ）的虚部为222121),(y x y x v +-=，求解析函数0)0()(=+=f iv u z f 且.3.求积分 ,C I zdz =⎰ C 为沿单位圆(||1)z =的逆时针一周的曲线。

4.求sin d (1)Czz z z -⎰，其中C 为||2z =。

5.求e d cos zCz z ⎰ ，其中C 为||2z =。

6．把函数)2)(1(12-+z z 在2||1<<z 内展开成罗朗级数。

7．指出 6sin )(zzz z f -= 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数。

8.求将单位圆 | z | < 1内保形映照到单位圆 | w | < 1内，且满足0)21(=f ，2)21(arg π='f 的分式线性映照。

四、利用拉氏变换求解微分方程（6分）⎩⎨⎧='==+'+''-1)0()0(34y y e y y y t （提示：1[]1t L e s -=+）试题答案一、填空题：（每题3分） 1.i 31--的三角表达形式：222[cos(2)sin(2)]33k i k ππππ-++-+; 指数表达形式：2(2)32k i eππ-+ ；几何表达形式：|12,-=2(1(2)3Arg k ππ-=-+. 2．=-i 2)3(222ln3k ieππ--+；3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度，则()d Cf z z ML ≤⎰.4．级数21nz z z +++++ 的和函数的解析域是||1z <。

(完整版)《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）:1.若f （z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z ）在z 0解析. （）2.有界整函数必在整个复平面为常数。

( ) 3。

若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ）4.若f （z ）在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f （z ）在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. （ ) 6。

若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。

( ） 7。

若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f （z)的可去奇点. ( )8。

若函数f （z ）在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠。

（ ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .（）10.若函数f(z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数。

（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2。

=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________。

5。

幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________。

6.若函数f （z ）在整个平面上处处解析，则称它是__________。

7。

若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8。

=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数。

9. zz sin 的孤立奇点为________ .10。

复变函数与积分变换试题一

复变函数与积分变换试题一复变函数与积分变换试题一2012年10月一、选择题(每小题3分，共12分)1.(cos θ+i sin θ)3=( )A.cos(3θ)+i sin(3θ)B.cos 3sin 3θθi +C.cos(3θ)+3i sin(3θ)D.cos 3sin 33θθi + 2.下列集合为无界单连通区域的是( )A.Re(z-5i )2≥B.| z-5i |3≤C.| z-5i |>0D.Im(z-5i )<-13.下列选项中不属于cosz 性质的是( )A.cosz 以2π为周期B.cosz 是偶函数C.cosz 是有界函数D.cosz 在Z 平面解析4.Ln(-1)的主值是( )A.-2πiB.-πiC.πiD.2πi二、填空题(每空4分，共20分)1.设点i z 2121--=,则其辐角主值arg z (-π<arg z ≤π)为_______.2. 设y 是实数，则sin(iy)的模为________.3、设a>0，则Lna=________.4、设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),如果________，则称f(z)满足柯西—黎曼条件.5、方程z=t+i t(t 是实参数)给出的曲线为________.三、解答题（1-4每题10分，5题13分，6题15分，共68分）1.设z =231i -,求｜z ｜及Arg z . 2、求复数z=i+1 i -1的实部、虚部、模和辐角. 3、说明函数f(z)=|z|在z 平面上任何点都不解析.4、计算积分⎰c dz z ||，其中C 是上半单位圆周，起点为-1，终点为1.5、验证233),(xy x y x u -=是Z 平面上的调和函数，并求以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ，且满足i f =)0(.6、求dz z z c ⎰-14sin 2π之值，其中C:|z|=2.。

02199复变函数与积分变换(2004-2020)试卷

2004 年 4 月高等教育自学考试全国统一命题考试复变函数与积分变换试题
（课程代码 2199）第一部分选择题（共 30 分）
一、单项选择题（本大题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分）
1．复数方程 z=2+ ei ( 为实参数，0≤ <2 )所表示的曲线为（
）
A．直线
B．圆周
y y sin t y(0) 0
[ y(t) ]；
2005 年上半年高等教育自学考试全国统一命题考试
复变函数与积分变换试卷
(课程代码 2199) 一、单项选择题(本大题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分)
1．设 z=3+4i,则 Re z 2 =
【】
A.-7 B．9 C．16 D．25
16．在复数域内，方程 cosz=0 的全部解为
。
17．设 C 为自点 z1=-i 至点 z2=0 的直线段，则 zdz C
.
18．设 z=x+iy，Re(iez)=
。
19．若 C 为正向圆周|z-3|=2，则 1 dz C zi
.
20．f(z)在单连通区域 D 内解析，(z) 是 f(z)的一个原函数，C 为 D 内一条正向闭曲线，则
(n) (z)dz C
.
三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
21．求出复数 z= (1 3i)4 的模和辐角.
22．设 z=x+iy，满足 Re(z2+3)=4，求 x 与 y 的关系式.
23．设 u=ax3-3xy2，v=3x2y-y3，z=x+iy.问当 a 取何值时，v 是 u 的共轭调和函数，并求出以 u 为实部的解析函数 f(z).

数学物理方法综合试题及答案 ()

复变函数与积分变换综合试题（一）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设cos z i =，则（）A ． Im 0z =B ．Re z π=C ．0z =D ．argz π= 2．复数3(cos,sin )55z i ππ=--的三角表示式为（） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．443(cos ,sin )55i ππD ．443(cos ,sin )55i ππ--3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰c z dz||等于（）A ．0B ．2πiC ．2πD ．－2π 4．设函数()0zf z e d ζζζ=⎰，则()f z 等于（） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答：5．1z =-是函数41)(z zcot +π的（） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4z π<<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（）A ．4411z w z +=-B ．44-11z w z =+C ．44z i w z i -=+D ．44z iw z i +=-7. 线性变换[]i i z z i z ae z i z i z aθω---==-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<18.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )xv x y e y y x y =+，则(,)uxy=（）A.(cos sin )ye y y x y -)B.(cos sin )xe x y x y -C.(cos sin )xe y y y y - D.(cos sin )xe x y y y -(cos sin )sin (cos sin cos )x x x ve y y x y e y x ve y y y x y y∂=++∂∂=-+∂[][]cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin (1)x x x iy iy iyz w u v v v i i z x x y xe y y y x y iy y ix y i y e y i y x y ix y iy y y y e e xe iye e z ∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂=-++++=++++-⎡⎤=++⎣⎦=+()()()()cos sin cos sin sin cos z x iy x x w ze x iy e e x iy y i y e x y y y i x y y y u iv+==+=++=-++=+⎡⎤⎣⎦()cos sin x u e x y y y =-9.()1(2)(1)f z z z =--在021z <-< 的罗朗展开式是（）A.∑∞=-01n nnz )( B.∑∞=-021n nz )z (C.∑∞=-02n n)z ( D .10(1)(2)nn n z ∞-=--∑10.320cos z z dz ⎰=（）A.21sin9 B.21cos9 C.cos9 D.sin9二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。