关于实数完备性的基本定理

第七章 实数的完备性

§1 关于实数完备性的基本定理

1. 验证数集⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧+-n n

1)

1(有且只有两个聚点11

-=ξ

和12

=ξ.

分析:根据聚点定义2'',分别找各项互异的收敛数列

{}n x ,{}n y ⊂⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧+-n n

1)

1(,使其极限分别为-1和1.再由聚点定义2,用反证法，对1,±≠∈∀a R a ,关键在找存在ε,使U(ε,a )内含有⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

+

-n n 1)1(中有限多个点.

解：记()()() 2,11

211,2111

22=-=

-=+

-=-n n y n x n n n n 则 {}n x ,{}

n y ⊂

⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧+-n n 1)1(,且1lim ,1lim -==∞

→∞→n n n n y x .由定义2''知，

1,121=-=ξξ为⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

+-n n 1)1(的两个聚点.

对1,±≠∈∀a R a ，则取{}1

,1min 2

1

0+-=a a ε， ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

+

-n n 1)1(落在U(0,εa )内部至多只有有限点, 则α不是其聚点. 2．证明 任何有限数集都没有聚点.

分析：由聚点定义2即可证明.

证明：由定义2知，聚点的任何邻域内都含有数集的无穷多个点，而对于有限数集，不可能满足此定义，因此，任何有限数集都没有聚点。

3．设{}),(n n b a 是一个严格开区间套，即满足

,1221b b b a a a n n <<<<<<< 且0)(lim =-∞

→n n n a b .证明：存在唯一的一点

ξ，使),2,1( =<

分析：构造闭区间套{}],[n n d c ，应用区间套定理得证。

证明：i) 设21++=

n n n a a c ，2

1++=n n n b

b d 则[][]11,,++⊃n n n n d

c

d c （ ,2,1=n ）且 0)(lim =-∞

→n n n c d .由区间套定理知，存在唯一的ξ，使得() ,2,1=<≤≤

ii)

若同时存在ξξ≠'且n n b a <'<ξ (n=1,2……)，则

)2,1(00 =-<-'=

→n n n a b 0ε<，矛

盾。故必有ξξ='.

由i)、ii)结论得证.

4.试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立。

分析：有理数集⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n

n 11有上确界e ,而e 是无理数,e 也是其聚

点,极限.还可用2的精确到小数点后一位、二位……的不足近似值

数列与过剩近似值数列{}n a 与{}n b 来解决.

解： 取2的精确到小数点后一位、二位……的不足近似值数列与过剩近似值数列{}n a 与{}n b ，即

.

,415.1,42.1,5.1;,414.1,41.1,4.1321321 ======b b b a a a

则{}{}n n b a ,均为有理数列；而 i)

由确界原理知，有界数列必有确界，且在实数范围内，

{}{}2inf sup ==n n b a 。故在有理数范围内{}n a 有上界但无上确界，

{}n b 有下界但无下确界。

ii) 由单调有界定理知，

{}n a 单调增加有上界，{}n b 单调减少有下界，故n n n n b a ∞

→∞

→lim ,lim 均存在。在实数范围内2lim lim ==∞

→∞→n n n n b a 。但由极限的唯一性知，在有理数范围内n n n n b a ∞

→∞

→lim ,lim 均不存在。

iii) 由聚点定理知，有界无穷数列必有聚点，在实数范围内{}{}

n n b a ,均有唯一聚点2。故在有理数范围内，有界无穷数列{}{}n n b a ,均无聚点。

iv) 由于在实数范围内2lim =∞

→n n a ，故对于0,0>∃>∀N ε，当N

m n >≥时，ε<-m n a a ，而在有理数范围内，{}n a 依然满足柯西准则条件，但{}n a 无极限。

5．设⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⎪⎭⎫

⎝⎛+=n n H 1,21 ,2,1=n , 问 （1）H 能否覆盖)1,0(？

（2）能否从H 中选出有限个开区间覆盖(i) ⎪⎭

⎫ ⎝⎛21,0 (ii) ⎪⎭

⎫

⎝⎛1,1001? 分析: 根据聚点定义,若能覆盖，则关键在于找出针对每个点相对应的开区间；若不能，则关键在找出点，使得它不含于任何一个给定的开区间.

解： （1）对于()1,0∈∀x ，由阿基米德性质知,只须取+∈N n 0，使得21

00+<<

n x n ,则H n n x ⊂⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∈001,21,由x 的任意性知,H 能覆盖(0,1).

(2) i) 若在H 中存在⎪⎭

⎫

⎝⎛21,0的一个有限开覆盖H ，则在H 的有

限个开区间中可找到最靠近0点的开区间。记为⎪⎭

⎫

⎝⎛+N N 1,21，则取⎪⎭⎫

⎝⎛∈+=

21,0310N x ，由于2

131+<+N N ，故这一点0x 不属于H 中任一开区间，与H 为⎪⎭

⎫ ⎝⎛21,0的有限开覆盖矛盾。故不能对⎪⎭

⎫ ⎝⎛21,0有限覆盖。

ii) 取⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎪⎭⎫

⎝

⎛+=n n H 1,21（98,,2,1 =n ）H ⊂,则H 覆盖了⎪⎭⎫

⎝⎛1,1001.故能对⎪⎭

⎫

⎝⎛1,1001有限覆盖.