关于实数完备性的基本定理

第七章 实数的完备性§1 关于实数完备性的基本定理1. 验证数集⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-n n1)1(有且只有两个聚点11-=ξ和12=ξ.分析:根据聚点定义2'',分别找各项互异的收敛数列{}n x ,{}n y ⊂⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-n n1)1(,使其极限分别为-1和1.再由聚点定义2,用反证法，对1,±≠∈∀a R a ,关键在找存在ε,使U(ε,a )内含有⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-n n 1)1(中有限多个点.解：记()()() 2,11211,211122=-=-=+-=-n n y n x n n n n 则 {}n x ,{}n y ⊂⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-n n 1)1(,且1lim ,1lim -==∞→∞→n n n n y x .由定义2''知，1,121=-=ξξ为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-n n 1)1(的两个聚点.对1,±≠∈∀a R a ，则取{}1,1min 210+-=a a ε， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-n n 1)1(落在U(0,εa )内部至多只有有限点, 则α不是其聚点. 2．证明 任何有限数集都没有聚点.分析：由聚点定义2即可证明.证明：由定义2知，聚点的任何邻域内都含有数集的无穷多个点，而对于有限数集，不可能满足此定义，因此，任何有限数集都没有聚点。

3．设{}),(n n b a 是一个严格开区间套，即满足,1221b b b a a a n n <<<<<<< 且0)(lim =-∞→n n n a b .证明：存在唯一的一点ξ，使),2,1( =<<n b a n n ξ。

分析：构造闭区间套{}],[n n d c ，应用区间套定理得证。

证明：i) 设21++=n n n a a c ，21++=n n n bb d 则[][]11,,++⊃n n n n dcd c （ ,2,1=n ）且 0)(lim =-∞→n n n c d .由区间套定理知，存在唯一的ξ，使得() ,2,1=<≤≤<n b d c a n n n n ξ.ii)若同时存在ξξ≠'且n n b a <'<ξ (n=1,2……)，则)2,1(00 =-<-'=<n a b n n ξξε，而0)(lim =-∞→n n n a b 0ε<，矛盾。

故必有ξξ='.由i)、ii)结论得证.4.试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立。

分析：有理数集⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11有上确界e ,而e 是无理数,e 也是其聚点,极限.还可用2的精确到小数点后一位、二位……的不足近似值数列与过剩近似值数列{}n a 与{}n b 来解决.解： 取2的精确到小数点后一位、二位……的不足近似值数列与过剩近似值数列{}n a 与{}n b ，即.,415.1,42.1,5.1;,414.1,41.1,4.1321321 ======b b b a a a则{}{}n n b a ,均为有理数列；而 i)由确界原理知，有界数列必有确界，且在实数范围内，{}{}2inf sup ==n n b a 。

故在有理数范围内{}n a 有上界但无上确界，{}n b 有下界但无下确界。

ii) 由单调有界定理知，{}n a 单调增加有上界，{}n b 单调减少有下界，故n n n n b a ∞→∞→lim ,lim 均存在。

在实数范围内2lim lim ==∞→∞→n n n n b a 。

但由极限的唯一性知，在有理数范围内n n n n b a ∞→∞→lim ,lim 均不存在。

iii) 由聚点定理知，有界无穷数列必有聚点，在实数范围内{}{}n n b a ,均有唯一聚点2。

故在有理数范围内，有界无穷数列{}{}n n b a ,均无聚点。

iv) 由于在实数范围内2lim =∞→n n a ，故对于0,0>∃>∀N ε，当Nm n >≥时，ε<-m n a a ，而在有理数范围内，{}n a 依然满足柯西准则条件，但{}n a 无极限。

5．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+=n n H 1,21 ,2,1=n , 问 （1）H 能否覆盖)1,0(？（2）能否从H 中选出有限个开区间覆盖(i) ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 (ii) ⎪⎭⎫⎝⎛1,1001? 分析: 根据聚点定义,若能覆盖，则关键在于找出针对每个点相对应的开区间；若不能，则关键在找出点，使得它不含于任何一个给定的开区间.解： （1）对于()1,0∈∀x ，由阿基米德性质知,只须取+∈N n 0，使得2100+<<n x n ,则H n n x ⊂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈001,21,由x 的任意性知,H 能覆盖(0,1).(2) i) 若在H 中存在⎪⎭⎫⎝⎛21,0的一个有限开覆盖H ，则在H 的有限个开区间中可找到最靠近0点的开区间。

记为⎪⎭⎫⎝⎛+N N 1,21，则取⎪⎭⎫⎝⎛∈+=21,0310N x ，由于2131+<+N N ，故这一点0x 不属于H 中任一开区间，与H 为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0的有限开覆盖矛盾。

故不能对⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0有限覆盖。

ii) 取⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+=n n H 1,21（98,,2,1 =n ）H ⊂,则H 覆盖了⎪⎭⎫⎝⎛1,1001.故能对⎪⎭⎫⎝⎛1,1001有限覆盖.6．证明：闭区间[]b a ,的全体聚点的集合是[]b a ,本身。

分析：根据聚点定义 2 ，首先对[]b a x ,∈∀，0>∀δ，[]b a ,中有无穷多个点属于),(δx U 。

再对∉∈∀x R x ,[]b a ,，即()a x ,∞-∈或()+∞∈,b x ，关键在找到一个确定的00>δ，使),(0δx U 中不含[]b a ,中无穷多个点。

证明：i) 对于[]b a x ,∈∀，当b a x ,≠时，对于x 的任意邻域()δδ+-x x ,，限制δ:{}x b a x --≤<,m in 0δ，则[]()),(,,δδδx U x x b a =+-⋂中有无穷个点. 当a x =时，对于a 的任意邻域()δδ+-a a ,，限制δ:a b -≤<δ0，则[]()()δδδ+=+-⋂a a a a b a ,,,中有无穷个点. 当b x =时，对于b 的任意邻域()δδ+-b b ,，限制δ: a b -≤<δ0，则[]()()b b b b b a ,,,δδδ-=+-⋂中有无穷个点.ii) 若x 是[]b a ,的聚点，且[]b a x ,∉，当()a x ,∞-∈，令()x a -=210δ，则u ()[]b a x ,;0⋂δ是空集. 当()+∞∈,b x ，令()b x -=210δ，则u ()[]b a x ,;0⋂δ是空集.综合上述两种情形,则结论成立.7.设{}n x 为单调数列.证明:若{}n x 存在聚点,则必是唯一的,且为{}n x 的确界。

分析：不妨设{}n x 为递增数列（递减数列同理可证）.设聚点ζ，设a 为任一实数且ζ≠a ，关键在找0ε,使()0,εa U 中最多含有{}n x 的有限多个项。

用确界与数列极限的定义处理.证明: 设递增数列{}n x 的聚点,ζ,设a 为任一实数且ζ≠a ,不妨设()同理可证ζζ><a a ,取020>-=aζε,由聚点定义,()0,εζU 中含有{}n x 的无限多个项,设()εζ,U x N ∈,由{}n x 的递增性,当N n x x N n ≥≥时，,故()0,εa U 中最多含有{}n x 的有限多个项：121,,-N x x x ,所以a 不可能是{}n x 的聚点,由a 的任意性,ζ为{}n x 的唯一聚点。

现在证明：ζ={}n x sup ,事实上，（1） ζ为{}n x 的上界，反之，若存在ζ>N x ，则当n>N 时，有ζ>n x ，取,0>-=ζεN x 则在()εζ,U 内最多含有{}n x 的有限多个项n x ，n=1,2,……N-1,与聚点相矛盾。

（2）因为对正整数ε，()εζ,U x n ∈∃，从而,εζ->n x 结合（1）便知{}n x sup =ζ. 对递减数列类似可证.8．试用有限覆盖定理证明聚点定理。

分析：设E 为有界无穷点集，因此存在0>M ,使得[]M M E ,-⊂。

由上述习题6知，[]M M ,-的聚点均含于[]M M ,-，故E 若有聚点，必含于[]M M ,-。

再利用反证法，对于[]M M x ,-∈∀，必有相应的0>x δ，使得()x x U δ,内至多只有点E x ∈（若E x ∉，则()x x U δ,中不含E 中之点）。

所有这些邻域的全体形成[]M M ,-的一个无限开覆盖，根据有限覆盖定理，当中有有限个邻域覆盖[]M M ,-，也覆盖了E ，由()x x U δ,构造含意知，这有限个邻域中至多有有限个点属于E ，这与E 为无穷点集相矛盾。

因此，在[]M M ,-内一定有E 的聚点.证明： 设E 为有界无穷点集，因此存在0>M ,使得[]M M E ,-⊂。

由上述习题6知，[]M M ,-的聚点均含于[]M M ,-，故E 若有聚点，必含于[]M M ,-。

反证法：若E 无聚点，即[]M M ,-中任何一点都不是E 的聚点，则对于[]M M x ,-∈∀，必有相应的0>x δ，使得()x x U δ,内至多只有点E x ∈（若E x ∉，则()x x U δ,中不含E 中之点）。

所有这些邻域的全体形成[]M M ,-的一个无限开覆盖：()[]{}M M x x x H x x ,,-∈+-=δδ。

由有限覆盖定理知，H 中存在有限个开区间能覆盖[]M M ,-。

记 ()[]{}H n k M M x x x H k x x kk⊂=-∈+-=,,2,1,,, δδ。

为[]M M ,-的一个有限开覆盖，则H 也覆盖E ，由()x x U δ,构造含意知，H 中n 个邻域内至多有有限个点属于E ，这与E 为无穷点集相矛盾。

因此，在[]M M ,-内一定有E 的聚点。

由此聚点定理得证。

9．试用聚点定理证明柯西收敛准则。

分析：必要性可根据极限的定义和不等式的性质证得； 充分性： 设数列{}n a ，先说明若对于,0,0>∃>∀N ε当N n m >,时，有.ε<-m n a a 则此数列为有界数列；再由聚点定理推论知，有界数列必含有收敛子列，故{}n a 必有收敛子列{}kn a 。