立体几何中有关平行、垂直常用的判定方法

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有关平行、垂直问题常见判定方法

一、 线线平行的判定

1、 公理4:平行于同一直线的另两直线互相平行. a ∥b ,b ∥c ==> a ∥c

2、 三角形中位线平行于底边;平行四边形对边平行;棱柱侧棱互相平行.

3、 线面平行的性质:一条直线与一个平面平行,过该直线的平面与已知平面相交,该直线

与交线平行.

a ∥α,a ⊂β,

αβ=b ==> a ∥b

β

αb

a

4、 面面平行的性质:两个平面平行,同时与第三个平面相交,所得的两条交线互相平行.

α∥β,

γα=a ,

γβ=b ==> a ∥b

γ

β

αb a

5、 平行于同一平面的两直线互相平行.

a ⊥α,

b ⊥α ==> a ∥b

αb

a

二、 线面平行的判定

1、 线面平行的判定定理:若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此c b a

平面平行.

a ⊄α,

b ⊂α,a ∥b ==> a ∥α

αb

a

2、 若两平面平行,则一个平面内的任一直线与另一平面平行.

α∥β,a ⊂α ==> a ∥β

α

βa

3、 α⊥β,a ⊥β,a ⊄α ==> a ∥α

β

α

a

4、 a ⊥b ,b ⊥α,a ⊄α ==> a ∥α

α

a

b

三、 面面平行的判定

1、 面面平行的判定定理:若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个

平面平行.

a ⊂α,

b ⊂α,

a b =O ,a ∥β,b ∥β ==> α∥β

O

α

β

a bα

β

a

2、垂直于同一直线的两个平面互相平行.

a⊥α,a⊥β==> α∥β(见上图)

3、平行于同一平面的两个平面互相平行.

α∥γ,β∥γ==> α∥β

α

γ

β

4、柱体的上下底面互相平行

四、线线垂直

1、线线垂直的定义:a与b所成的角为直角.

2、线面垂直的定义:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内的任一直线都垂直.

a⊥α,b⊂α==> a⊥b

α

a

b

3、a⊥α,b∥α==> a⊥b

αa

b

4、三垂直定理及其逆定理

l ⊥α( H 为垂足),a ⊂α,HM 是斜线PM 在平面α内的射影

三垂线定理(垂影则垂斜):a ⊥HM ==> a ⊥PM

三垂线定理的逆定理(垂斜则垂影):a ⊥PM ==> a ⊥HM

l

M H P

αa

5、a ⊥α,b ⊥β,α⊥β ==> a ⊥b

β

α

a

b

五、线面垂直的判定

1、线面垂直的判定定理:若一直线和平面内的两相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.

a ⊂α,

b ⊂α,

a

b =O , l ⊥a ,l ⊥b ==> l ⊥α

l

O αa

b

2、a ∥b ,a ⊥α ==> b ⊥α

αb

a

3、直棱柱的侧棱与底面垂直

4、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,也垂直于另一个平面

α∥β,a ⊥α ==> a ⊥β

α

β

a

5、面面垂直性质:两平面垂直,一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

α⊥β,αβ=l ,a ⊂α,a ⊥l ==> a ⊥β

l β

α

a

5、 两相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也与第三个平面垂直.

αβ=l ,α⊥γ,β⊥γ ==> l ⊥γ

l γ

β

α

六、面面垂直的判定

1、定义:两平面相交所成二面角为直二面角.

2、判定定理:若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.

a ⊥β,a ⊂α ==> α⊥β

l β

α

a

2、a ∥α,a ⊥β ==> α⊥β

β

αa

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