立体几何中有关平行、垂直常用的判定方法

有关平行、垂直问题常见判定方法
一、 线线平行的判定
1、 公理4：平行于同一直线的另两直线互相平行. a ∥b ，b ∥c ==> a ∥c
2、 三角形中位线平行于底边；平行四边形对边平行；棱柱侧棱互相平行．
3、 线面平行的性质：一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与已知平面相交，该直线
与交线平行．
a ∥α，a ⊂β，
αβ=b ==> a ∥b
β
αb
a
4、 面面平行的性质：两个平面平行，同时与第三个平面相交，所得的两条交线互相平行．
α∥β,
γα=a ,
γβ=b ==> a ∥b
γ
β
αb a
5、 平行于同一平面的两直线互相平行．
a ⊥α，
b ⊥α ==> a ∥b
αb
a
二、 线面平行的判定
1、 线面平行的判定定理：若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此c b a
平面平行．
a ⊄α，
b ⊂α，a ∥b ==> a ∥α
αb
a
2、 若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一平面平行．
α∥β，a ⊂α ==> a ∥β
α
βa
3、 α⊥β，a ⊥β，a ⊄α ==> a ∥α
β
α
a
4、 a ⊥b ，b ⊥α，a ⊄α ==> a ∥α
α
a
b
三、 面面平行的判定
1、 面面平行的判定定理：若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个
平面平行．
a ⊂α，
b ⊂α，
a b =O ,a ∥β,b ∥β ==> α∥β
O
α
β
a bα
β
a
2、垂直于同一直线的两个平面互相平行．
a⊥α，a⊥β==> α∥β(见上图)
3、平行于同一平面的两个平面互相平行．
α∥γ，β∥γ==> α∥β
α
γ
β
4、柱体的上下底面互相平行
四、线线垂直
1、线线垂直的定义：a与b所成的角为直角．
2、线面垂直的定义：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内的任一直线都垂直．
a⊥α，b⊂α==> a⊥b
α
a
b
3、a⊥α，b∥α==> a⊥b
αa
b
4、三垂直定理及其逆定理
l ⊥α( H 为垂足)，a ⊂α，HM 是斜线PM 在平面α内的射影
三垂线定理（垂影则垂斜）：a ⊥HM ==> a ⊥PM
三垂线定理的逆定理（垂斜则垂影）：a ⊥PM ==> a ⊥HM
l
M H P
αa
5、a ⊥α，b ⊥β，α⊥β ==> a ⊥b
β
α
a
b
五、线面垂直的判定
1、线面垂直的判定定理：若一直线和平面内的两相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
a ⊂α，
b ⊂α,
a
b =O , l ⊥a ,l ⊥b ==> l ⊥α
l
O αa
b
2、a ∥b ，a ⊥α ==> b ⊥α
αb
a
3、直棱柱的侧棱与底面垂直
4、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，也垂直于另一个平面
α∥β，a ⊥α ==> a ⊥β
α
β
a
5、面面垂直性质：两平面垂直，一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
α⊥β，αβ=l ，a ⊂α，a ⊥l ==> a ⊥β
l β
α
a
5、 两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也与第三个平面垂直．
αβ=l ，α⊥γ,β⊥γ ==> l ⊥γ
l γ
β
α
六、面面垂直的判定
1、定义:两平面相交所成二面角为直二面角.
2、判定定理:若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
a ⊥β，a ⊂α ==> α⊥β
l β
α
a
2、a ∥α，a ⊥β ==> α⊥β
β
αa。