立体几何中有关平行、垂直常用的判定方法
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有关平行、垂直问题常见判定方法
一、 线线平行的判定
1、 公理4:平行于同一直线的另两直线互相平行. a ∥b ,b ∥c ==> a ∥c
2、 三角形中位线平行于底边;平行四边形对边平行;棱柱侧棱互相平行.
3、 线面平行的性质:一条直线与一个平面平行,过该直线的平面与已知平面相交,该直线
与交线平行.
a ∥α,a ⊂β,
αβ=b ==> a ∥b
β
αb
a
4、 面面平行的性质:两个平面平行,同时与第三个平面相交,所得的两条交线互相平行.
α∥β,
γα=a ,
γβ=b ==> a ∥b
γ
β
αb a
5、 平行于同一平面的两直线互相平行.
a ⊥α,
b ⊥α ==> a ∥b
αb
a
二、 线面平行的判定
1、 线面平行的判定定理:若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此c b a
平面平行.
a ⊄α,
b ⊂α,a ∥b ==> a ∥α
αb
a
2、 若两平面平行,则一个平面内的任一直线与另一平面平行.
α∥β,a ⊂α ==> a ∥β
α
βa
3、 α⊥β,a ⊥β,a ⊄α ==> a ∥α
β
α
a
4、 a ⊥b ,b ⊥α,a ⊄α ==> a ∥α
α
a
b
三、 面面平行的判定
1、 面面平行的判定定理:若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个
平面平行.
a ⊂α,
b ⊂α,
a b =O ,a ∥β,b ∥β ==> α∥β
O
α
β
a bα
β
a
2、垂直于同一直线的两个平面互相平行.
a⊥α,a⊥β==> α∥β(见上图)
3、平行于同一平面的两个平面互相平行.
α∥γ,β∥γ==> α∥β
α
γ
β
4、柱体的上下底面互相平行
四、线线垂直
1、线线垂直的定义:a与b所成的角为直角.
2、线面垂直的定义:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内的任一直线都垂直.
a⊥α,b⊂α==> a⊥b
α
a
b
3、a⊥α,b∥α==> a⊥b
αa
b
4、三垂直定理及其逆定理
l ⊥α( H 为垂足),a ⊂α,HM 是斜线PM 在平面α内的射影
三垂线定理(垂影则垂斜):a ⊥HM ==> a ⊥PM
三垂线定理的逆定理(垂斜则垂影):a ⊥PM ==> a ⊥HM
l
M H P
αa
5、a ⊥α,b ⊥β,α⊥β ==> a ⊥b
β
α
a
b
五、线面垂直的判定
1、线面垂直的判定定理:若一直线和平面内的两相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
a ⊂α,
b ⊂α,
a
b =O , l ⊥a ,l ⊥b ==> l ⊥α
l
O αa
b
2、a ∥b ,a ⊥α ==> b ⊥α
αb
a
3、直棱柱的侧棱与底面垂直
4、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,也垂直于另一个平面
α∥β,a ⊥α ==> a ⊥β
α
β
a
5、面面垂直性质:两平面垂直,一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
α⊥β,αβ=l ,a ⊂α,a ⊥l ==> a ⊥β
l β
α
a
5、 两相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也与第三个平面垂直.
αβ=l ,α⊥γ,β⊥γ ==> l ⊥γ
l γ
β
α
六、面面垂直的判定
1、定义:两平面相交所成二面角为直二面角.
2、判定定理:若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
a ⊥β,a ⊂α ==> α⊥β
l β
α
a
2、a ∥α,a ⊥β ==> α⊥β
β
αa