等比数列例题解析

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等差数列与等比数列十大例题

等差数列与等比数列十大例题例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==，所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅，所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)，即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1)。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。

例2、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．（I ）求1a 及n a ；（II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值．解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ，对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或例3、等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列（1）求{n a }的公比q ；（2）求1a －3a ＝3，求n s 解：（Ⅰ）依题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++由于 01≠a ，故 022=+q q又0≠q ，从而21－=q 5分（Ⅱ）由已知可得321211=--）（a a 故41=a从而））（（）（））（（n nn 211382112114--=----=S 10分例 4、已知数列{}n a 满足， *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝.()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

高一数学等比数列试题答案及解析

高一数学等比数列试题答案及解析1.已知是等比数列，且，，那么的值等于（）A．5B．10C．15D．20【答案】A【解析】由于是等比数列，，，又.故选A.【考点】等比中项.2.在各项都为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，前三项和为21，则( )．A．33B．72C．84D．189【答案】C【解析】由,故选C.【考点】等比数列性质.3.在等比数列中，已知前n项和=，则的值为（）A．－1B．1C．5D．-5【答案】D【解析】当=1时，===，当≥2时，==-=，∵是等比数列，∴公比为5，∴==5，解得=-5.【考点】等比数列定义；数列前n项和与第n项关系4.已知等比数列公比，若，，则 .【答案】42【解析】因为所以【考点】等比数列的有关运算5.已知数列{an }的前n项和为Sn，满足an¹ 0，，．（1）求证：；（2）设，求数列{bn }的前n项和Tn．【答案】（1）见解析（2）Tn=【解析】（1）由，变形为，然后利用累加法可证得结果. （2）由，．两式相减得，即，然后利用等差等比数列的前n项和公式即可求得结果.试题解析：（1）证明：∵，an¹ 0，∴．则，，…，（n≥2，）．以上各式相加，得．∵，∴．∴（n≥2，）．∵n = 1时上式也成立，∴（）．（2）∵，∴．两式相减，得．即．则．= =．【考点】递推关系式；累加法求和；等差等比数列的前n项和公式.6.已知实数列成等比数列，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】记该数列为，并设该等比数列的公比为，则有，所以所以，故选C.【考点】等比数列的通项公式.7.等比数列满足，则公比__________.【答案】【解析】设公比为，根据等比数列的通项公式可得，，两式相除可得.【考点】等比数列的通项公式.8.已知等比数列的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A．23B．21C．19D．17【答案】D【解析】法一：设公比为，则依题意有，所以，所以，选D；法二：依题意可知，所以，所以，选D．【考点】等比数列的通项及其前项和公式．9.在等比数列中，如果，那么等于（）A．2B．C．D．4【答案】D【解析】∵，∴，故选D．【考点】等比数列的性质．10.设成等比数列，其公比为2，则的值为( ) A．B．C．D．1【答案】A【解析】因为成等比数列，其公比为2，所以.因此.【考点】等比数列11.设,则等于 ( )【答案】C【解析】因为为一个以为首项,为公比等比数列前项的和,所以选C.【考点】等比数列求和12.已知等比数列中，则 ( )A．6B．﹣6C．±6D．18【答案】C【解析】因为，在等比数列中，如果，，那么，。

高二数学等比数列试题答案及解析

高二数学等比数列试题答案及解析1.已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若,,求.【答案】（Ⅰ）=2n （Ⅱ）=.【解析】（Ⅰ）将2（）=+,代入,得=8,∴+=20构造方程组，又单调递增，∴ =2>1, =2,∴=2n（Ⅱ）根据第一问，可得，需要构造数列，采取错位相减的思想求和∴①∴②∴①-②得＝.试题解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入, 得=8,∴+=20∴解之得或又单调递增，∴ ="2," =2,∴=2n（Ⅱ）,∴①∴②∴①-②得＝【考点】等差等比数列的综合.2.设公比为q（q＞0）的等比数列{an }的前n项和为Sn．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=_________．【答案】【解析】由已知可得，，两式相减得即，解得或（舍），答案为.【考点】等比数列的性质与应用3.在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由等比数列的性质得，，由于各项为正，，由等比数列的性质得，【考点】等比数列的性质的应用.4.已知三正数、2、成等比数列，则的最小值为______．【答案】【解析】由已知得，且，则，等号成立。

【考点】（1）等比中项的定义；（2）基本不等式的应用。

5.设正数数列为等比数列，，记.（1）求和；（2）证明: 对任意的，有成立.【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】（1）对照条件易得等比数列的通项公式，进而得；（2）对于与自然数有关的命题的证明可优先考虑用数学归纳法，用数学归纳法证题时，首先要掌握好数学归纳法证题的规范、完整的证题步骤，而真正的难点和重点是由假设来推导第步，这里要充分地利用假设，若是对于恒等式的证明在利用了假设以后就很容易推导出第步，但是对于不等式的证明在利用了假设以后还不能一下子就推导出第步，还需要对照目标进行适当的放缩处理才能推导出第步，放缩处理是有难度，且需要技巧的，这需要在学习中去积累.试题解析：（1）依题意可知，又，所以，从而，进而有． 4分（2）证明：①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立． 5分②假设当时，不等式成立，即成立． 7分那么当时，则左边右边 12分所以当时，不等式也成立.由①、②可得对任意的，都有恒成立． 14分（另解：此题也可直接用放缩法证明.即用）【考点】1.等比数列知识；2.数学归纳法在证明不等式方面的应用；3.放缩法证明不等式.6.已知等比数列满足则（）A．64B．81C．128D．243【答案】Ａ【解析】由等比数列满足得公比,将q=2代入，所以，故选A．【考点】等比数列．7.在等比数列{an }中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是( )A．－B．C．±D．±3【答案】B【解析】由韦达定理得，，由题易知，。

数学等比数列试题答案及解析

数学等比数列试题答案及解析1.设数列是等比数列，满足，且，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，，又，∵，∴，∴，故，，，所以.【考点】本题考查等比数列通项公式等基础知识，意在考查学生推理和基本的运算能力．2.设是等比数列的前项和，若，则．【答案】【解析】设等比数列的公比为，由已知得，，故，解得，故．【命题意图】本题考查等比数列前n项和以及通项公式等基础知识，意在考查基本运算能力.3.已知等比数列的公比为正数，且，则（）A．B．C．D． 2【答案】B．【解析】由已知及等比数列的性质得，故选B．【考点】本题考查等比数列通项公式等知识，意在考查等比数列性质的应用及简单的计算能力．4.（本题满分16分）已知数列的前项和满足：（t为常数，且）．（1）求的通项公式；（2）设，试求t的值，使数列为等比数列；（3）在（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】（1）当时，，得． 2分当..时，由，即，①得，，②①②，得，即，所以，所以是首项和公比均为t的等比数列，于是． 5分（2）由（1）知，，即， 7分要使数列为等比数列，必须满足，而，于是，解得，当时，，由，知是首项和公比均为的等比数列． 10分（3）由（2）知，，所以，由不等式恒成立，得恒成立， 12分设，由，所以当时，，当时，， 14分而，所以，即．故k的取值范围是． 16分【命题意图】本题考查等比数列、数列前项和等知识，意在考查运算求解能力，数学综合论证能力.5. .【答案】63【解析】由方程，可得，【考点】本题考查解一元二次方程，等比数列的求和公式。

6. ·江西理）等比数列x，3x+3，6x+6，…的的第四项等于（）A．-24B．0C．12D．24【答案】A【解析】由x，3x+3，6x+6成等比数列得选A.【考点】该题主要考查等比数列的概念和通项公式，考查计算能力.7.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()A．B．C．D．【答案】D【解析】【解1】∵等比数列中∴当公比为1时，，；当公比为时，，从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）故选D；【解2】∵等比数列中∴∴当公比时，；当公比时，∴故选D；【考点】此题重点考察等比数列前项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用；【突破】特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前项和，以及均值不等式的应用，特别是均值不等式使用的条件；8.若数列{an }是首项为1，公比为a=的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值是（）A．1B．2C．D．【答案】B【解析】由.9.已知等比数列｛an ｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an=______________。

高三数学等比数列试题答案及解析

高三数学等比数列试题答案及解析1.设等不数列{an }的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=( )A． 31B．32C．63D． 64【答案】C【解析】由已知条件可得解得，所以，故选C. 【考点】等比数列的性质.2.公比为的等比数列的各项都是正数，且，则= （）A．B．C．D．【答案】（B）【解析】由等比数列的各项都是正数，且.所以.又公比为即.故选（B）【考点】1.等比数列的性质.2.等比数列的通项公式.3.已知等比数列{an }满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（）A．64B．81C．128D．243【答案】A【解析】由a2+a3=q（a1+a2）=3q=6，∴q=2∴a1（1+q）=3，∴a1=1，∴a7=26=64故选A4.设正项等比数列的前项积为，若，则=__________.【答案】1【解析】设等比数列的通项公式为故答案为1【考点】等比数列的通项公式；等比数列的乘积运算.5.设正项等比数列的前项积为，若，则=__________.【答案】1【解析】正项等比数列的首项为与公比，由【考点】等比数列的通项公式；等比数列的乘积运算.6.函数图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数图象上的点到原点的距离的最小值为1，最大值为3，故，即，而，因此选B.【考点】等比数列的性质.7.已知数列满足，，定义：使乘积为正整数的k叫做“简易数”.则在[3,2013]内所有“简易数”的和为 .【答案】2035【解析】∵，∴，则“简易数”为使为整数的整数，即满足，∴，则在区间内所有“简易数”的和为.【考点】1.新定义题；2.等比数列的前n项和公式.8.已知等比数列的前项和为，若，，则的值是 .【答案】－2【解析】由得，∴，∴，．【考点】等比数列的通项公式与前项和．9.已知等比数列中，＝1，＝2，则等于( ).A．2B．2C．4D．4【答案】C【解析】，，，可见，，依旧成等比数列，所以，解得.【考点】等比数列的性质10.已知正项数列，其前项和满足且是和的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2) 符号表示不超过实数的最大整数，记，求.【答案】(1) 所以；(2) .【解析】(1) 由①知②通过①②得整理得，根据得到所以为公差为的等差数列，由求得或.验证舍去.(2) 由得，利用符号表示不超过实数的最大整数知，当时，，将转化成应用“错位相减法”求和.试题解析：(1) 由①知② 1分由①②得整理得 2分∵为正项数列∴，∴ 3分所以为公差为的等差数列，由得或 4分当时，，不满足是和的等比中项.当时，，满足是和的等比中项.所以. 6分(2) 由得， 7分由符号表示不超过实数的最大整数知，当时，， 8分所以令∴① 9分② 10分①②得即. 12分【考点】等差数列的通项公式，对数运算，“错位相减法”.11.在各项均为正数的等比数列{an }中，已知a2＝2a1＋3，且3a2，a4，5a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝log3an，求数列{anbn}的前n项和Sn.【答案】（1）3n，n∈N（2）Sn＝【解析】(1)设{an}公比为q，由题意得q>0，且解得 (舍)，所以数列{an }的通项公式为an＝3·3n－1＝3n，n∈N．(2)由(1)可得bn ＝log3an＝n，所以anbn＝n·3n.所以Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，所以3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1，两式相减得，2Sn＝－3－(32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－(3＋32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－＋n·3n＋1＝，所以数列{an bn}的前n项和Sn＝.12.已知两个数k＋9和6－k的等比中项是2k，则k＝________．【答案】3【解析】由已知得(2k)2＝(k＋9)(6－k)，k∈N*，∴k＝3.13.已知等比数列{an }是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________．【答案】63【解析】因为等比数列{an }是递增数列，所以a1＝1，a3＝4，则q＝2，故S6＝＝63.14.已知数列{an }为等比数列,且a1a13+2=4π,则tan(a2a12)的值为()A．±B．-C．D．-【答案】C【解析】∵a1a13=,a2a12=,∴=,∴tan(a2a12)=tan=tan=,故选C.15.已知数列{an }是等差数列,a2=6,a5=12,数列{bn}的前n项和是Sn,且Sn+bn=1.(1)求数列{an}的通项公式.(2)求证:数列{bn}是等比数列.(3)记cn =,{cn}的前n项和为Tn,若Tn<对一切n∈N*都成立,求最小正整数m.【答案】(1) an=2n+2 (2)见解析 (3) 2012【解析】(1)设{an }的公差为d,则a2=a1+d,a5=a1+4d.∵a2=6,a5=12,∴解得:a1=4,d=2.∴an=4+2(n-1)=2n+2.(2)当n=1时,b1=S1,由S1+b1=1,得b1=.当n≥2时,∵Sn =1-bn,Sn-1=1-bn-1,∴Sn -Sn-1=(bn-1-bn),即bn=(bn-1-bn).∴bn =bn-1.∴{bn}是以为首项,为公比的等比数列.(3)由(2)可知:bn=·()n-1=2·()n.∴cn====-,∴Tn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-<1,由已知得≥1,∴m≥2012,∴最小正整数m=2012.16.一个由正数组成的等比数列，它的前4项和是前2项和的5倍，则此数列的公比为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设此数列的公比为q，根据题意得q>0且q≠1，由，解得q＝2.17.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．【答案】6【解析】设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6.18.在等比数列{an }中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则a5＋a6等于________．【答案】80【解析】q2＝＝2，a5＋a6＝(a3＋a4)q2＝40×2＝80.19.Sn 是等比数列{an}的前n项和，a1＝，9S3＝S6，设Tn＝a1a2a3…an，则使Tn取最小值的n值为________．【答案】5【解析】设等比数列的公比为q，故由9S3＝S6，得9×，解得q＝2，故＝a n ＝×2n－1，易得当n≤5时，<1，即Tn<Tn－1；当n≥6时，Tn>Tn－1，据此数列单调性可得T5为最小值．20.已知等比数列{an }是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.【答案】63【解析】∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，因此S6＝＝63.21.已知公比为的等比数列的前项和为，则下列结论中：（1）成等比数列；（2）；（3）正确的结论为（）A．（1）（2）．B．（1）（3）．C．（2）（3）．D．（1）（2）（3）．【答案】C【解析】根据等比数列的性质，，则，，(2)(3)是正确的，但当时，(1)不正确，故选C．【考点】等比数列的前项和与等比数列的定义．22.在等比数列{an }中，a4＝4，则a2·a6等于()A．4B．8C．16D．32【答案】C【解析】23.在等比数列{an }中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于()．A．2n＋1－2B．3n C．2n D．3n－1【答案】C【解析】∵数列{an }为等比数列，设公比为q，∴an＝2q n－1，又∵{an＋1}也是等比数列，则(an＋1＋1)2＝(a n＋1)·(a n＋2＋1)⇒＋2a n＋1＝a n a n＋2＋a n＋a n＋2⇒a n＋a n＋2＝2a n＋1⇒a n(1＋q2－2q)＝0⇒q＝1.即an ＝2，所以Sn＝2n.24.在等比数列{an }中，2a3－a2a4＝0，则a3＝________；{bn}为等差数列，且b3＝a3，则数列{bn}的前5项和等于________．【答案】210【解析】在等比数列中2a3－a2a4＝2a3－＝0，解得a3＝2.在等差数列中b3＝a3＝2，所以S5＝＝5b3＝5×2＝10.25.设等比数列{an }的公比q＝2，前n项和为Sn，若S4＝1，则S8＝ ()．A．17B．C．5D．【答案】A【解析】由于S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1，S8＝S4＋a5＋a6＋a7＋a8＝S4＋S4·q4，又q＝2.所以S8＝1＋24＝17.故选A26.已知数列为等比数列，，，，则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】①,②,③，由①②③得,,故选D.【考点】1.等比数列的定义；2.不等式求范围.27.数列{}的前n项和为，．（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）若，．求不超过的最大整数的值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由，令可求，时，利用可得与之间的递推关系，构造等可证等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求，利用错位相减法可求数列的和；（Ⅲ）由（Ⅰ）可求，进而可求，代入P中利用裂项求和即可求解试题解析：解:(Ⅰ) 因为，所以①当时，，则， .（1分）②当时，， .（2分）所以，即，所以，而， .（3分）所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． .（4分）（Ⅱ）由(Ⅰ)得．所以①② .（6分）②-①得： .（7分）（8分）（Ⅲ）由(Ⅰ)知（9分）而，（11分）所以，故不超过的最大整数为．（14分） .【考点】1.递推关系；2.等比数列的概念；3.数列求和.28.正项递增等比数列{}中，，则该数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，或（舍）．【考点】等比数列的运算性质．29.若等比数列的第项是二项式展开式的常数项，则 .【答案】【解析】展开式的通项公式为，其常数项为，所以.【考点】1、二项式定理；2、等比数列.30.设Sn 为等比数列{an}的前n项和，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴.【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的前n项和公式.31.在等比数列中，若，则 .【答案】.【解析】由于数列为公比数列，所以，由于，所以.【考点】等比数列的性质32.已知，数列是首项为，公比也为的等比数列，令（Ⅰ）求数列的前项和；（Ⅱ）当数列中的每一项总小于它后面的项时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查数列的通项公式和数列求和问题，考查学生的计算能力和分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想和转化思想.第一问，利用等比数列的通项公式先写出数列的通项公式，利用对数的性质得到的通项公式，从而列出，它符合错位相减法，利用错位相减法求和；第二问，有题意得，讨论的正负，转化为恒成立问题，求出.试题解析：（Ⅰ）由题意知，.∴..以上两式相减得.∵，∴.（Ⅱ）由.由题意知，而，∴. ①（1）若，则，，故时，不等式①成立；（2）若，则，不等式①成立恒成立.综合（1）、（2）得的取值范围为.【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的前n项和公式；3.错位相减法；4.恒成立问题.33.已知等比数列前项和为()A．10B．20C．30D．40【答案】C【解析】等比数列中，依次3项和依然成等比数列，即，，，成等比数列，其值分别为2,4,8,16，故.【考点】等比数列的性质.34.设等比数列满足公比，，且{}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若，则的所有可能取值的集合为．【答案】【解析】任取数列中两项和，则也是数列中的项，又，，所以可能为，即的值可能为.【考点】等比数列的通项公式和性质.35.已知公差不为零的等差数列与公比为的等比数列有相同的首项，同时满足，，成等比，，，成等差，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设数列的首项为，等差数列的公差为,，将，，代入得，化简得，解得，代入（1）式得.【考点】1、等差数列的通项公式；2、等比数列的性质.36.等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（2）当b=2时，记求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用的关系求解；（2）由（1）和b=2求得，进而求得,利用错位相减法可得.试题解析：∵对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上. ∴得,当时,,当时,,又∵{}为等比数列,∴, 公比为, ∴.（2）当b=2时，,则相减,得=∴【考点】1.等比数列通项公式；2.数列求和；3.数列中的关系.37.在正项等比数列中，，则的值是( )A．10000B．1000C． 100D．10【答案】A【解析】因为，所以，所以，.【考点】1.对数的性质；2.等比数列的性质.38.若等比数列满足，，则公比__________;前项_____.【答案】2，【解析】，由，解得，故.考点定位：本题考查了等比数列的通项公式、前n项公式和数列的性质.39.已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有.函数，数列的首项（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求证：是等比数列并求通项公式（Ⅲ）令，，求数列的前n项和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ） ;（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由①得② 1分由②—①，得即： 2分由于数列各项均为正数，3分即数列是首项为，公差为的等差数列，数列的通项公式是 4分（Ⅱ）由知，所以， 5分有，即， 6分而，故是以为首项，公比为2的等比数列. 7分所以 8分（Ⅲ）， 9分所以数列的前n项和错位相减可得 12分【考点】等差数列、等比数列的通项公式，“错位相减法”。

专题32 等比数列(解析版)

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
【小问2详解】由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
3.（2022·浙江卷T20）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
（1）若，求；
（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
2023高考一轮复习讲与练
专题32等比数列
练高考明方向
1.（2022·全国乙（理）T8）已知等比数列的前3项和为168，，则（）
A.14B.12C.6D.3
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，
基本方法：
等比数列的三种常用判定方法：
定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a ＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列
通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
(Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若 ,求 .
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .

题型05 等比数列通项公式、前n项和公式及其变形公式(解析版)

11.(高考题)在各项均为正数的等比数列 an 中，若 a2 1， a8 a6 2a4 ，则 a6 的值是
．
【解析】： q4 q2 2 0 ， q2 2 ， a6 a2 q4 4 。
12.( 高考题 ) 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，公比不为 1 ，若 a1 1 ，且对任意的 n N ，都有
2
17
D.
2
【解析】：
S4
a2 2
a2
2a2
4a2
15 ，选
C。
a2
a2
2
4.(2009 年新课标全国卷 7)等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 4a1 ，2a2 ，a3 成等差数列，若 a1 =1，则 S4 =
(
)
A.7
B.8
C.15
D.16
【解析】： 4a2 4a1 a3 q 2 ， S4 1 2 4 8 15 ，选 C。
an
中,
a1
=
1 2
, a4 =-4,则公比 q =______；
a1
a2
...
an
_________。
【解析】： q =－2；前 n 项和为： 2n1 1 。 2
3.(高考题)在等比数列 {an } 中，若
a1
1，
a4
1 8
，则该数列的前
10
项和为
(
)
A.
2
1 28
【解析】：选 B。
B.
2
1 29
C.
2
1 210
D.
2
1 211
4.(高考题)设 f (n) 2 24 27 210 23n10(n N ) ，则 f (n) 等于 (

等比数列典型例题及详细解答

1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q __表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1. 3．等比中项若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )1．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )A ．21B ．42C ．63D ．84 答案 B解析设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 答案 C解析根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.3．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 C解析数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4 ＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.4．(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．答案 2n －1解析由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1，又∵数列{a n }为递增数列，∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2. ∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.5．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．答案 27,81解析设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.题型一等比数列基本量的运算例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________. 答案 (1)B (2)4或－4解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4(1－125)1－12＝314.(2)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q 1＋q 2＝25，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－16，q ＝12.故a 3＝4或a 3＝－4.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(1)在正项等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 (1)D (2)3n －1解析 (1)设公比为q ，则由题意知0＜q ＜1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 8＝a 4·a 6＝6，a 4＋a 6＝5，得a 4＝3，a 6＝2，所以a 5a 7＝a 4a 6＝32.(2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1.题型二等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2 (n ≥2)， ② ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1 (n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1) (n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1 (n ≥2)，故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)解由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，故a n ＝(3n －1)·2n －2. 引申探究例2中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变探求数列{a n }的通项公式．解由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n . ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1， ∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＝1，当n ＝1时上式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．(1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4， ∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.综上，a 2＝4，a 3＝8.(2)证明 a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，① ∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型三等比数列的性质及应用例3 (1)在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________. (2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.答案 (1)51 (2)－12解析 (1)由a 6a 10＋a 3a 5＝41及a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24，得a 24＋a 28＝41.因为a 4a 8＝5，所以(a 4＋a 8)2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝41＋2×5＝51.又a n >0，所以a 4＋a 8＝51.(2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠±1，则可得S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.思维升华 (1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n 项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量．(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1等于( )A.12 B.22C. 2D ．2(2)等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案 (1)C (2)C解析 (1)由等比数列的性质得a 3a 9＝a 26＝2a 25，∵q ＞0，∴a 6＝2a 5，q ＝a 6a 5＝2，a 1＝a 2q＝2，故选C.(2)设等比数列{a n }共有2k ＋1(k ∈N *)项，则a 2k ＋1＝192，则S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2k －1＋a 2k ＋1＝1q (a 2＋a 4＋…＋a 2k )＋a 2k ＋1＝1q S 偶＋a 2k ＋1＝－126q ＋192＝255，解得q ＝－2，而S 奇＝a 1－a 2k ＋1q 21－q 2＝a 1－192×(－2)21－(－2)2＝255，解得a 1＝3，故选C.12．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．思维点拨 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明．规范解答(1)解设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .[3分] (2)证明由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n(2n＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.[8分]当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.[10分]故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.[12分]温馨提醒 (1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有 ①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况．②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论． ③项数的奇、偶数讨论．④等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.[方法与技巧] 1．已知等比数列{a n }(1)数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，{1a n }也是等比数列． (2)a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a m a n －m ＋1. 2．判断数列为等比数列的方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列；也可用a n a n －1＝q (q是不等于0的常数，n ∈N *，n ≥2)⇔数列{a n }是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n 的初始值不同．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n a n ＋1a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列．[失误与防范]1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．等比数列性质中：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，不能忽略条件q ≠－1.A 组专项基础训练 (时间：35分钟)1．已知等比数列{a n }中，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝2，则a 6＋a 7等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2答案 C解析因为a 2＋a 3，a 4＋a 5，a 6＋a 7成等比数列，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝2，所以(a 4＋a 5)2＝(a 2＋a 3)(a 6＋a 7)，解得a 6＋a 7＝4.2．等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1等于( ) A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2 C ．n 2 D ．(n －1)2答案 A解析由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n ，从而得a n ＝2n .方法一 log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)a n ]＝log 22n (2n －1)＝n (2n －1)．方法二取n ＝1，log 2a 1＝log 22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B ，D ；取n ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＝log 22＋log 24＋log 28＝6，而22＝4，排除C ，选A.3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15答案 C解析设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C.4．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，则a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020的值为( ) A ．2 015·1010 B ．2 015·1011 C ．2 016·1010 D ．2 016·1011答案 C解析 ∵lg a n ＋1＝1＋lg a n ，∴lg a n ＋1a n＝1， ∴a n ＋1a n＝10，∴数列{a n }是等比数列， ∵a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，∴a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020＝1010(a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010)＝2 016×1010.5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3 答案 B解析设公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2mS m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8. ∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.6．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________．答案 3解析由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得 a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3， ∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4a 3＝3.7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.答案 11解析由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝1－(－2)53＝11.8．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1 024解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3，∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1， ∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.9．数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2，b n ＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝4. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由b n ＋1＝2b n ＋2，得b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)，。

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等比数列·例题解析【例1】已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }．[ ]A ．是等比数列B ．当p ≠0时是等比数列C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列D ．不是等比数列分析由S n ＝p n (n ∈N*)，有a 1=S 1＝p ，并且当n ≥2时， a n =S n －S n-1＝p n －p n-1＝(p －1)p n-1故－，因此数列成等比数列≠－≠a =(p 1)p {a }p 0p 10(p 1)p 2n n 1⇔--=-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪--()()p pp p p n 212 但满足此条件的实数p 是不存在的，故本题应选D ．说明数列{a n }成等比数列的必要条件是a n ≠0(n ∈N*)，还要注意对任∈，≥，都为同一常数是其定义规定的准确含义．n *n 2N a a nn -1【例2】已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ．解 ∵1，x 1，x 2，…，x 2n ，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q 2n+1x 1x 2x 3...x 2n ＝q .q 2.q 3...q 2n =q 1+2+3+ (2)=q2n(1+2n)2==+q n n n ()212【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－，求通项公12式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．解 (1)a =a q q =5252-∴－12∴＝＝－＝∵·＝··＝a a q 4()()(2)a a a a a a a =8n 2n 2n 2n 4354234543----1212 ∴a 4＝2又＝＝∴a a a a a a a a a a =a =322635423456452【例4】已知a ＞0，b ＞0且a ≠b ，在a ，b 之间插入n 个正数x 1，x 2，…，x n ，使得a ，x 1，x 2，…，x n ，b 成等比数列，求证…＜．x x x a b n n122+证明设这n ＋2个数所成数列的公比为q ，则b=aq n+1∴∴……＜q b ax x x aqaq aq aqab a b n n n nnn ++====+1122122【例5】设a 、b 、c 、d 成等比数列，求证：(b －c)2＋(c －a)2＋(d －b)2＝(a －d)2．证法一 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列∴a b b c c d== ∴b 2＝ac ，c 2＝bd ，ad ＝bc∴左边=b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2＋d 2－2bd ＋b 2 =2(b 2－ac)＋2(c 2－bd)＋(a 2－2bc ＋d 2)＝a 2－2ad ＋d 2 ＝(a －d)2＝右边证毕．证法二 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，设其公比为q ，则： b ＝aq ，c ＝aq 2，d=aq 3∴左边＝(aq －aq 2)2＋(aq 2－a)2＋(aq 3－aq)2 ＝a 2－2a 2q 3＋a 2q 6 =(a －aq 3)2 ＝(a －d)2=右边证毕．说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b 、c 的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b 、c 的路子．证法二则是把a 、b 、c 、d 统一化成等比数列的基本元素a 、q 去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．【例6】求数列的通项公式：(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列．解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n ＋＋＋⇒∴{a n ＋1}是等比数列 ∴a n ＋1=3·3n-1 ∴a n =3n －1(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n －＋－－⇒∴{a n+1－a n }是等比数列，即 a n+1－a n =(a 2－a 1)·2n-1=3·2n-1再注意到a 2－a 1=3，a 3－a 2=3·21，a 4－a 3=3·22，…，a n －a n-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到a =3[1222]=3=3(21)n 2n-2n 1＋＋＋…＋·－21211n ----说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{a n ＋1}是等比数列，(2)中发现{a n+1－a n }是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．【例7】 a a a a (a a )a 2a (a a )a a a =0a a a a 1234122242213422321234若实数、、、都不为零，且满足＋－＋＋＋求证：、、成等比数列，且公比为．证 ∵a 1、a 2、a 3、a 4均为不为零的实数∴＋－＋＋＋为实系数一元二次方程等式＋－＋＋＋说明上述方程有实数根．(a a )x 2a (a a )x a a =0(a a )a 2a (a a )a a a =0a 122222132232122242213422324∴上述方程的判别式Δ≥0，即[2a (a a )]4(a a )(a a )=4(a a a )0(a a a )02132122222322213222132－＋－＋＋－－≥∴－≤又∵a 1、a 2、a 3为实数∴－≥必有－即(a a a )0a a a =0a =a a 2213222132213因而a 1、a 2、a 3成等比数列又∵a =2a 42()()()a a a a a a a a a a a a 1312222131213212++=++= ∴a 4即为等比数列a 1、a 2、a 3的公比．【例8】若a 、b 、c 成等差数列，且a ＋1、b 、c 与a 、b 、c ＋2都成等比数列，求b 的值．解设a 、b 、c 分别为b －d 、b 、b ＋d ，由已知b －d ＋1、b 、b ＋d 与b －d 、b 、b ＋d ＋2都成等比数列，有b =(b d 1)(b d)b =(b d)(b d 2)22－＋＋①－＋＋②⎧⎨⎪⎩⎪整理，得b =b d b db =b d 2b 2d222222－＋＋－＋－⎧⎨⎪⎩⎪ ∴b ＋d=2b －2d 即b=3d 代入①，得9d 2=(3d －d ＋1)(3d ＋d) 9d 2=(2d ＋1)·4d 解之，得d=4或d=0(舍) ∴b=12【例9】已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d ，又知d ≠1，且a 4=b 4，a 10=b 10：(1)求a 1与d 的值； (2)b 16是不是{a n }中的项？思路：运用通项公式列方程解 (1)a =b a =b 3d =a da 9d =a da (1d )=3d a (1d )=9d4410101131191319由＋＋－－－－⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎪⎩⎪⇒⎧⎨⎪⎩⎪a⇒⇒==-=-==-d d 2=063＋－舍或∴d d a d d 1231331222()(2)∵b 16=b 1·d 15=－32b 1且＋·－－∴a =a 3d =22=b b =b d =2b =22b =a =2413441313113- ∴b 16=－32b 1=－32a 1，如果b 16是{a n }中的第k 项，则－32a 1=a 1＋(k －1)d∴(k －1)d=－33a 1=33d∴k=34即b 16是{a n }中的第34项．【例10】 {a }b =(12)b b b =218b b b =18n n a n 123123设是等差数列，，已知＋＋，，求等差数列的通项．解设等差数列{a n }的公差为d ，则a n =a 1＋(n －1)d∴·b =(12)b b =(12)(12)=(12)b n a 13a a +2d 2(a +d)221111+-()n d1由，解得，解得，代入已知条件整理得＋b b b =18b =18b =12b b b =18b b =14b b =1781232321231313b b b 123218++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解这个方程组，得b =2b =18b =18b =21313，或， ∴a 1=－1，d=2或a 1=3，d=－2∴当a 1=－1，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=2n －3 当a 1=3，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=5－2n【例11】三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解法一按等比数列设三个数，设原数列为a ，aq ，aq 2 由已知：a ，aq ＋4，aq 2成等差数列即：2(aq ＋4)=a ＋aq 2①a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列即：(aq ＋4)2=a(aq 2＋32)⇒aq 2=4a ＋②①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．a =2q =3a =29q =52618⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪-29109509解法二按等差数列设三个数，设原数列为b －d ，b －4，b ＋d由已知：三个数成等比数列即：(b －4)2=(b －d)(b ＋d)⇒8b d =162－①b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列即b 2=(b －d)(b ＋d ＋32)⇒32b d 32d =02－－②①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．b =269d =83b =10d =82618⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎩-29109509解法三任意设三个未知数，设原数列为a 1，a 2，a 3 由已知：a 1，a 2，a 3成等比数列得：①a =a a 2213a 1，a 2＋4，a 3成等差数列得：2(a 2＋4)=a 1＋a 3②a 1，a 2＋4，a 3＋32成等比数列得：(a 2＋4)2=a 1(a 3＋32)③①、②、③式联立，解得：或a =29a =109a =509a =2a =6a =18123123-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪ 说明将三个成等差数列的数设为a －d ，a ，a ＋d ；将三个成等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到a aq aq (a aq)2aq简化计算过程的作用．【例12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．分析本题有三种设未知数的方法方法一设前三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则第四个数由已知条件可推得：()a d a+2方法二设后三个数为b ，bq ，bq 2，则第一个数由已知条件推得为2b －bq ．方法三设第一个数与第二个数分别为x ，y ，则第三、第四个数依次为12－y ，16－x ．由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，解法一 a d a a d 设前三个数为－，，＋，则第四个数为．()a d a+2依题意，有－＋＋＋a d =16a (a d)=12()a d a+⎧⎨⎪⎩⎪2解方程组得：或－a =4d =4a =9d =61122⎧⎨⎩⎧⎨⎩所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法二设后三个数为：b ，bq ，bq 2，则第一个数为：2b －bq依题意有：－＋＋2b bq bq =16b bq =122⎧⎨⎩ 解方程组得：或b =4q =2 b =9q =131122⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法三设四个数依次为x ，y ，12－y ，16－x ．依题意有＋－·－－x (12y)=2yy (16x)=(12y)2⎧⎨⎩ 解方程组得：或x =0y =4x =15y =91122⎧⎨⎩⎧⎨⎩ 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．【例13】已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．解设成等差数列的三个数为b －d ，b ，b ＋d ，由已知，b －d ＋b ＋b ＋d=126 ∴b=42这三个数可写成42－d ，42，42＋d ．再设另三个数为a ，aq ，aq 2．由题设，得a 42d =85ap 42=76aq 42d =842＋－＋＋＋⎧⎨⎪⎩⎪ 整理，得－①②＋③a d =43aq =34aq d =422⎧⎨⎪⎩⎪ 解这个方程组，得 a 1=17或a 2=68当a=17时，q=2，d=－26当时，，a =68q =12d =25 从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67．【例14】已知在数列{a n }中，a 1、a 2、a 3成等差数列，a 2、a 3、a 4成等比数列，a 3、a 4、a 5的倒数成等差数列，证明：a 1、a 3、a 5成等比数列．证明由已知，有 2a 2=a 1＋a 3①a =a a 3224·②③211435a a a =+由③，得·由①，得代入②，得··a =2a a a +a a =a +a 2a =a +a 243535213321323535a a a a +整理，得a =a (a +a )a +a 351235即 a 3(a 3＋a 5)=a 5(a 1＋a 3)a a a =a a a a a =a a 323515353215＋＋∴·所以a 1、a 3、a 5成等比数列．【例15】已知(b －c)log m x ＋(c －a)log m y ＋(a －b)log m z=0．(1)设a ，b ，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证：x ，y ，z 成等比数列．(2)设正数x ，y ，z 依次成等比数列，且公比不为1，求证：a ，b ，c 成等差数列．证明 (1)∵a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0 ∴b －c=a －b=－d ，c －a=2d代入已知条件，得：－d(log m x －2log m y ＋log m z)=0 ∴log m x ＋log m z=2log m y∴y2=xz∵x，y，z均为正数∴x，y，z成等比数列(2)∵x，y，z成等比数列且公比q≠1∴y=xq，z=xq2代入已知条件得：(b－c)log m x＋(c－a)log m xq＋(a－b)log m xq2=0 变形、整理得：(c＋a－2b)log m q=0∵q≠1 ∴log m q≠0∴c＋a－2b=0 即2b=a＋c即a，b，c成等差数列。

数学史等比数列求和例题

数学史等比数列求和例题等比数列是一种常见的数列，其每个项与前一个项的比相等。

求等比数列的和是数学中一个基础的问题，也是实际应用中经常遇到的问题。

本文将介绍等比数列求和的例题，让读者更好地掌握这一知识点。

例题1：已知等比数列的首项为2，公比为3/2，求前10项的和。

解析：设等比数列的第n项为an，则有an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

根据等比数列的性质，可以得到：S10 = a1*(q^0 + q^1 + q^2 + ... + q^9)将a1、q代入上式，得到：S10 = 2 * (1 + 3/2 + (3/2)^2 + ... + (3/2)^9) 这是一个等比数列的求和，可以使用等比数列求和公式：Sn = a1*(1-q^n)/(1-q)。

将该公式代入上式，得到：S10 = 2 * (1 - (3/2)^10)/(1 - 3/2) = 2 * (1 - 59049/1024) / (-1/2) = 2 * (59049/1024 - 1) = 114682/1024 = 112.02 因此，等比数列的前10项的和为112.02。

例题2：已知等比数列的首项为1，公比为2，求前n项的和。

解析：同样设等比数列的第n项为an，则有an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

根据等比数列的性质，可以得到：Sn = a1*(q^0 + q^1 + q^2 + ... + q^(n-1))将a1、q代入上式，得到：Sn = 1 * (1 + 2 + 2^2 + ... + 2^(n-1))这是一个等比数列的求和，可以使用等比数列求和公式：Sn = a1*(1-q^n)/(1-q)。

将该公式代入上式，得到：Sn = 1 * (1 - 2^n)/(1 - 2) = 2^n - 1因此，等比数列的前n项的和为2^n - 1。

等比数列知识点总结材料与典型例题

实用标准等比数列知识点总结与典型例题A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2 ab 或A . ab注意：同号的两个数才有等比中项, 并且它们的等比中项有两个(5、等比数列的判定方法: aqa n 或q(q 为常数，a “ 0)佝｝为等比数列a n6、等比数列的证明方法:7、等比数列的性质:等比数列的定义: a na n 12,且n N ，q 称为公比通项公式: a n n 1 a 〔 n ag —q q 0,A0，首项：a 1 ;公比：q推广: n m a n a m q n mOn q—amqna nam3、等比中项:(2)数列a n 是等比数列 a n 2 a n 1 a n 14、等比数列的前 n 项和S n 公式:(1 )当q 1时,S n na !a i a n qA'B n A'(A, B, A',B'为常数)(2)等比中项：a n 2 a n 1 a n 1 ( a n 1 a n 10) ｛a n ｝为等比数列(3)通项公式:a n A B n A B 0｛a n ｝为等比数列(1)如果a,代b 成等比数列，那么(1)用定义：对任意的n ，都有a n 1依据定义：若_a ^ qa n 1q 0 n 2,且 nN 或a n 1 qa n ｛a “｝为等比数列(2)对任何m, n N，在等比数列｛a n ｝中，有a n a m q设此数列公比为q ，则8a i a ? a i a i q 64 2 6 “(i)⑵(3)若m n s t(m, n, s,t N )，则a n a m a s a t 。

特别的，当 m n 2k 时，得a n a m等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1 .等比数列｛a n ｝中，a i a 9 64, a 3 a ? 20 ,求 an .思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a i 和q 的二元方程组，解出a i 和 3 7，可以利用性质可求出a 3、a ?，再求a ii . 解析:注：a i a na 2a n 1a 3a n 2q ，可得a ii ;或注意到下标1 9由(2)得：a i q 2(1 q 4)20 (3)/.a-i 0.由(1)得：(a -q 4)264 , /.a-q 4 8 (4)1 /•2q 4 5q2 2 0 解得 q 2 2 或 q 2 - 2当 q 2 2 时，a 1 2, an @ q 10 64;1当 q 时，a 1 32, a n 4 q 1.2法—:a 1 a ? a 3 a 7 64 ,又 a 3 a 7 20 ,/•a ?、a 7为方程x 220x 640的两实数根,a 3 16 「 a 34 或a 7 4 a 7162. a ? ［、.• £11 — 1 或 an 64 .a 3总结升华:① 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量;② 解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）• 举一反三：【变式1】｛a n ｝为等比数列，a 1=3，a g =768，求a 6。

高中等比数列(含解析)

(4)公比q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(n∈N*).
(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则 =q.
(6){an},{bn}是等比数列,则{λan}, ,{anbn}, 也是等比数列(λ≠0,n∈N*).xk-*/w
(7)通项公式an=a1qn-1= ·qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.
典
例
等比数列的前项和为，则 ______为，则也成等比数列，
而所以成等比数列，故，
所以 .
反
思
本题根据等比数列的前项和的性质可知也成等比数列，再利用即求得，即得结果.本题的解题关键在于熟知等比数列的“等距片段和”也成等比数列，进而突破难点.
(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.
(9)三个数成等比数列,通常设为 ,x,xq;四个数成等比数列,通常设为 , ,xq,xq3.
解
读
对于等比数列中的这些结论要做到熟悉，有的需要记忆，有的需要了解推导过程。当用到这些结论时要会根据等差数列前n项和公式、通项公式推导。例如第（1）中的
【详解】依题意得等比数列{an}的通项，所以，因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，因为，所以，所以数列的前n项和为 .
5．已知数列是等比数列，为其前项和，若，则（）
A．50B．60C．70D．80
【答案】B
【详解】数列是等比数列，，，，也成等比数列，即，，，也成等比数列，易知公比，，，

等比数列练习含答案

课时作业9 等比数列时间：45分钟满分：100分课堂训练1．已知a 、b 、c 成等比数列，且a ＝2，c ＝6，则b 为( ) A ．23 B ．－2 3 C ．±2 3 D ．18【答案】 C【解析】由b 2＝ac ＝2×6＝12，得b ＝±2 3.2．公差不为零的等差数列{a n }，a 2，a 3，a 7成等比数列，则它的公比为( )A ．－4B ．－14 C.14 D ．4【答案】 D【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知d ≠0，且a 23＝a 2a 7，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，化简，得a 1＝－23d .∴a 2＝a 1＋d ＝－23d ＋d ＝13d ， a 3＝a 2＋d ＝13d ＋d ＝43d ， ∴a 3a 2＝4，故选D.3．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.【答案】 2【解析】设{a n }的公比为q ，则a 4＝a 2q 2，a 3＝a 2q . a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝4，又a 2＝2，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1. 又{a n }为递增数列，则q ＝2. 4．在等比数列{a n }中， (1)若a 4＝27，q ＝－3，求a 7； (2)若a 2＝18，a 4＝8，求a 1和q .【分析】 (1)(2)问直接利用等比数列通项公式的变形来求解．【解析】 (1)a 7＝a 4·q 7－4＝a 4·q 3＝27×(－3)3＝－729. (2)由已知得a 4a 2＝q 2，即q 2＝818＝49，∴q ＝23或q ＝－23.当q ＝23时，a 1＝a 2q ＝1823＝27.当q ＝－23时，a 1＝a 2q ＝18－23＝－27.综上⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23.【规律方法】该题易出错的地方在于由q 2＝49求q 时误认为q >0而漏掉q ＝－23的情况，导致错解．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】 B【解析】由a 1＝98，a n ＝13，q ＝23，即13＝98·(23)n －1， ∴n ＝4.2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D.12【答案】 D【解析】由已知得a 5a 2＝q 3，故142＝q 3，即q 3＝18，解得q ＝12.故选D.3．等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( ) A ．±4 B ．4 C ．±14D.14【答案】 A【解析】由a n ＝18·2n －1＝2n －4知，a 4＝1，a 8＝24，其等比中项为±4.4．已知等比数列{a n }中，a 2 008＝a 2 010＝－1，则a 2 009＝( ) A ．－1 B ．1C ．1或－1D ．以上都不对【答案】 C【解析】 ∵a 2 008，a 2 009，a 2 010成等比数列，∴a 22 009＝a 2 008·a 2 010＝1，∴a 2 009＝1或－1.5．已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则等比数列{a n }的公比q ＝( )A.14B.12 C ．2 D ．8【答案】 B【解析】 a 4＋a 6＝a 1q 3＋a 3q 3＝(a 1＋a 3)，q 3＝10·q 3＝54，∴q ＝12.故选B.6．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB ，然后3min 自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________min ，该病毒占据64MB(1MB ＝210KB)．( )A ．45B ．48C ．51D ．42【答案】 A【解析】设病毒占据64MB 时自身复制了n 次，由题意可得2×2n ＝64×210＝216，解得n ＝15.从而复制的时间为15×3＝45(min)．7．(2013·江西理)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24【答案】 A【解析】本题考查等比数列的定义．由等比中项公式(3x ＋3)2＝x (6x ＋6) 即x 2＋4x ＋3＝0. ∴x ＝－1(舍去)或x ＝－3.∴数列为－3，－6，－12，－24.故选A.8．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2 【答案】 C【解析】设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列， ∴a 3＝a 1＋2a 2. ∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q .∴q 2－2q －1＝0. ∴q ＝1±2.∵各项都是正数，∴q >0.∴q ＝1＋ 2. ∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 二、填空题(每小题10分，共20分)9．(2013·广东文)设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________.【答案】 15【解析】 a 1＝1，q ＝－2，则|a 2|＝2，a 3＝4，|a 4|＝8， ∴a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15.10．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值为__________．【答案】 1316【解析】 a 23＝a 1a 9，(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，∴a 1＝d ，a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d＝1316.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为q ，且b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2.求数列{a n }与{b n }的通项公式．【分析】设出等差数列的公差，根据已知条件列出关于公差d 与公比q 的方程组求解出公差d 与公比q ，然后代入通项公式即可求得通项公式．【解析】设{a n }的公差为d .因为⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋dq ，解得q ＝3或q ＝－4(舍)，d ＝3，故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3n －1.12.已知等比数列{a n }的通项公式为a n ＝3(12)n －1，若数列{b n }的通项为b n ＝a 3n ＋a 3n －1＋a 3n －2(n ∈N ＋)，求证数列{b n }为等比数列．【分析】要证明数列{b n }为等比数列，只需证b n ＋1b n ＝常数即可．【解析】 b n ＋1b n ＝a 3n ＋3＋a 3n ＋2＋a 3n ＋1a 3n ＋a 3n －1＋a 3n －2＝3(12)3n ＋2＋3(12)3n ＋1＋3(12)3n3(12)3n －1＋3(12)3n －2＋3(12)3n －3 ＝3(12)3n [(12)2＋12＋1]3(12)3n －3[(12)2＋12＋1] ＝(12)3＝18(常数)．所以数列{b n}是等比数列．【规律方法】等比数列是特殊的函数，用指数函数的方法来研究等比数列，一定要抓住指数函数的性质和运算方法，这是解题的关键．。

等比数列基础习题选(附详细解答)

等比数列基础习题选（附详细解答）一．选择题（共27小题）1．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）．．D4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是（）D．．或﹣n15．（文）在等比数列{a n}中，，则tan（a1a4a9）=（）．C D．17．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）．C D2222．在等比数列{a n}中，若a3a4a5a6a7=243，则的值为（）．C D．2．222C．二．填空题（共3小题）28．已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+3，则此数列的一个通项公式是_________．29．数列的前n项之和是_________．30．等比数列{a n}的首项a1=﹣1，前n项和为S n，若，则公比q等于_________．参考答案与试题解析一．选择题（共27小题）1．（2008•浙江）已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）．．，=，D4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是（）D．．或﹣．由题意可得，×=3项和是=7．已知数列{a n}满足，其中λ为实常数，则数列{a n}（），此时，*，当且仅当成立；；，当且仅当，∴n=16等于，得到15．（文）在等比数列{a n}中，，则tan（a1a4a9）=（）．C D．=，，17．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）．C D项和对=322±，22．在等比数列{a n}中，若a3a4a5a6a7=243，则的值为（），再将化简，即可求得=．C D．列出方程组=112．=3222C．为等比数列，故用等比数列的求和公式化简，与最后一项合并后，将求出的值代入即可求出==16=•=8=二．填空题（共3小题）28．已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+3，则此数列的一个通项公式是2n+1﹣3．29．数列的前n项之和是．=故答案为：30．等比数列{a n}的首项a1=﹣1，前n项和为S n，若，则公比q等于．得出=1+q=∴，，，故答案为：定义，避免了在转化。

等比数列及其前n项和知识点讲解+例题讲解(含解析)

等比数列及其前n 项和一、知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝2.等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .证明：（1）当q ≠-1且q ≠0时，A a a a a S n n =++++=...321，n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S =+++=++++=-+++ (2123212)n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S 222221332221223......=+++=++++=-+++所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n（2）当q= -1时，<1>、当n 为奇数时，1a S n=，132,0a S S n n ==1120a a S S n n -=-=-， 11230a a S S n n =-=-所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n<2>、当n 为偶数时，032===n n n S S S ，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n不能构成等比数列小结：1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A.－12B.－2C.2D.12解析由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.答案 D3.在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.解析设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案 27，814.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A.2B.4C.92D.6解析根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4. 答案 B5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322fC.1225fD.1227f解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为122的等比数列，设此数列为{a n }，则a 8＝1227f ，即第八个单音的频率为1227f . 答案 D6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.解析由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，解得n ＝6.答案 6考点一等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.(2)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝634，解得⎩⎨⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 (1)－8 (2)32规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.【训练1】 (1)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝( ) A.9B.15C.18D.30(2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2S 3＝2（a 1＋a 1q ＋a 1q 2）＝8a 1＋3a 1q ，a 1q 3＝16，解得q ＝2，a 1＝2，所以S 4＝2（1－24）1－2＝30.(2){a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.答案 (1)D (2)1考点二等比数列的判定与证明【例2】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)解由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.【训练2】 (2019·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)，又由题意知a 1－2a 1＝－3，所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.考点三等比数列的性质及应用【例3】 (1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40B.60C.32D.50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D.2(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.解析 (1)根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0，由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.(2)法一由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a (a ≠0)，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.答案 (1)B (2)73数学运算——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.类型1 等差数列两个性质的应用在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；等差中项）(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.解析 (1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2.又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38，显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5. 答案 (1)10 (2)5类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18B.－18C.578D.558 解析 (1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案 (1)C (2)A类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . 若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m (q 为公比).【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________. 解析 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0.则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案 (1)2 (2)3116三、课后练习1.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T 1>1的n 的最小值为( )A.4B.5C.6D.7 解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6. 答案 C 2.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n －1)C.9n －1D.14(3n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1). 答案 B 3.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝______.解析 ∵{a n }是等比数列，a 3a 11＝2a 25，∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1（1－q 4）1－q ＋a 1（1－q 12）1－q ＝λa 1（1－q 8）1－q， ∴1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)，将q 4＝2代入计算可得λ＝83.答案 834.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数).(1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ；(2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n . 解 (1)因为a n ＋1＝2a n ＋λ，所以a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ). 又a 1＝1，所以当λ＝－1时，a 1＋λ＝0，数列{a n ＋λ}不是等比数列，此时a n ＋λ＝a n －1＝0，即a n ＝1；当λ≠－1时，a 1＋λ≠0，所以a n ＋λ≠0，所以数列{a n ＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列，此时a n ＋λ＝(1＋λ)2n －1，即a n ＝(1＋λ)2n －1－λ.(2)由(1)知a n ＝2n －1，所以n (a n ＋1)＝n ×2n ， T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2. 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.。

等比数列的前n项和典型例题含解答

倒序相加法
总结词
将等比数列倒序写，然后正序和倒序分别求和，最后取两者和的一半。
详细描述
首先将等比数列倒序写，然后正序和倒序分别求和，最后取两者和的一半。这种方法适用于公比q满足q≠1的情况。
错位相减法
总结词
将等比数列的一项乘以公比的负一次方后错位相减，得到一个等差数列，再求和。
VS
详细描述
$frac{a_5}{a_4} = frac{32}{-16} = 2$
由于相邻两项之比相等，所以这个数列是等比数列。04CHAPTER
等比数列前n项和的实际应用
在金融中的应用
贷款还款
等比数列前n项和公式常用于计算贷款的分期还款额，例如房屋贷款、汽车贷款等。
投资回报
在投资领域，等比数列前n项和公式可用于计算复利，即投资的利息或收益会逐年增长。
化。
元素周期表
元素周期表中的元素按照原子序数排列，形成等差数列，而元素的某些性质则可能呈现等比数列的变化趋势。
05
CHAPTER
等比数列前n项和的练习题及答案
练习题一及答案
题目：求等比数列 1, 2, 4, 8, ... 的前n项和。
等比数列的前n项和公式为
将 $a_1 = 1$ 和 $r = 2$ 代入公式，得到
在此添加您的文本16字
等比数列的前n项和公式为
在此添加您的文本16字
$S_n = frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$
在此添加您的文本16字
将 $a_1 = frac{1}{2}$ 和 $r = frac{1}{2}$ 代入公式，得到
在此添加您的文本16字
$S_n = frac{frac{1}{2}(1 - (frac{1}{2})^n)}{1 frac{1}{2}} = 1 - (frac{1}{2})^n$

等比数列公式例题

等比数列公式例题等比数列是指一组数据中相邻两项之比均相等的数列。

等比数列有很多应用，一般用于计算等比数列中已知项的未知项或者求解未知数列中的特定项。

也可以用于解决物理问题。

以下是一些等比数列的具体例题。

例题1：已知等比数列{an}的前三项a1=2，a2=4，a3=8，求数列的n项。

解：设等比数列的公比为q，则有a1=2，a2=4，a2 = q×a1。

又有a3=8，a3=q×a2，故有q×q×a1=a3，从而有q=2。

故数列的通项公式为an=2^(n-1)×a1，即an=2^(n-1)×2，当n=7时，a7=2^(7-1)×2=64。

例题2：已知等比数列{an}满足a2/a1=2/3，求前n项a1，a2，a3，…，an的和Sn。

解：设等比数列的公比为q，则有a2/a1=2/3，即q=3/2。

设Sn=a1+a2+…+an，则由等比数列的求和公式可知Sn=a1×(1-q^n)/(1-q)。

由题意知q=3/2，代入Sn=a1×(1-q^n)/(1-q)，得Sn=a1×(1-(3/2)^n)/(1/2)，即Sn=2a1×(1-(3/2)^n)。

例题3：若等比数列{an}中，a1=1，a17=128，求数列的公比q。

解：这是一个求数列公比的问题，等比数列的公式为an=a1×q^(n-1)，由题意可知a1=1，a17=128，将数列公式代入得到1×q^(17-1)=128，从而q=2。

以上就是关于等比数列的公式的例题的介绍，从以上例题可以看出，等比数列的公式对于解决等比数列中已知项的未知项或者求解未知数列中的特定项具有很强的实用性。

有关等比数列的更多理论以及具体例题，考生可以自行查阅相关资料了解。

初三数学等差等比数列应用题解析

初三数学等差等比数列应用题解析初三数学-等差等比数列应用题解析数列是数学中常见的一种数的排列形式，它在初等数学中有着重要的应用。

等差数列和等比数列是最为常见的数列类型之一，它们在解决实际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍几个初三数学中的等差等比数列应用题，并给出解析过程。

一、小明的奖金小明得到一笔奖金，他决定将这笔奖金按照一个等差数列分配给自己的三个朋友。

已知第一个人得到的奖金是2000元，而第三个人得到的奖金是4000元。

求小明的奖金是多少？解析：设小明的奖金为a，公差为d。

根据等差数列的性质可知：a = 2000，a + 2d = 4000。

将第一个等式代入第二个等式得：2000 + 2d = 4000，2d = 4000 - 2000 = 2000，d = 2000 / 2 =1000。

将d的值代入第一个等式中得到：a = 2000。

因此，小明的奖金是2000元。

二、小明的存款计划小明从现在开始，每个月将他的存款增加50元。

他计划连续存款2年，到第24个月时，他的存款总额为多少？解析：设小明第一个月的存款为a，公差为d（即每个月增加的金额为d）。

根据等差数列的性质可知：a + (24-1)d = a + 23d。

每个月增加的金额是50元，即d = 50。

将d的值代入等式中得：a + 23 × 50 = a + 1150。

因此，小明第一个月的存款为a，存款总额为a + 1150元。

三、图书馆的图书数量一个图书馆每年的积压图书数量呈等比数列递增。

已知第一年积压图书数量为1000本，而第五年积压图书数量为2000本。

求第八年积压图书的数量。

解析：设第一年积压的图书数量为a，公比为r。

根据等比数列的性质可知：a × r^4 = 2000，a × r^7 = ?将已知条件代入第一个等式得到：a × r^4 = 2000。

作为等比数列，我们可以得到公比r为：r = ∛(2000/1000) = 2^(1/3)。