中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
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(1) 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程,其相关函数为
t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({,且是一个周期为T 的函数,即0),()(≥=+τττB T B ,求方差函数)]()([T t X t X D +-。
解:由定义,有:
)(2)0()0()}()({2)0()0()]}
()()][()({[2)]
([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D
(2) 试证明:如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程,且0)0(=X ,那么它必是一个马
尔可夫过程。
证明:我们要证明:
n t t t <<<≤∀ 210,有
}
)()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P
形式上我们有:
}
)()(,,)(,)({}
)()(,,)(,)(,)({}
)(,,)(,)({}
)(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=
======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P
因此,我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与2
,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。
由独立增量过程的定义可知,当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时,增量
)0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立,由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下,即
有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知,在11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与
2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立,结果成立。
(3) 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值(00=W )的、有平稳增量和独立增量的过程,
且对每个0>t ,),(~2t N W t σμ,问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程,为什么?
解:任取n t t t <<<≤∀ 210,则有:
n k W W W k
i t t t i i k ,,2,1][1
1 =-=∑=-
由平稳增量和独立增量性,可知))(,0(~121----i i t t t t N W W i i σ并且独立 因此),,,(1121---n n t t t t t W W W W W 是联合正态分布的,由
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1121211110011001n n n t t t t t t t t W W W W W W W W 可知是正态过程。
(4) 设}{t B 为为零初值的标准布朗运动过程,问次过程的均方导数过程是否存在?并
说明理由。
解:标准布朗运动的相关函数为:
},min{),(2t s t s R B σ=
如果标准布朗运动是均方可微的,则),(/
t t R B 存在,但是:
20/0/),(),(lim ),(0
)
,(),(lim
),(σ=∆-∆+==∆-∆+=+→∆-+→∆+t
t t R t t t R t t R t
t t R t t t R t t R B
B t B B B t B
故),(/
t t R B 不存在,因此标准布朗运动不是均方可微的。
(5) 设t N ,0≥t 是零初值、强度0>λ的泊松过程。写出过程的转移函数,并问在均
方意义下,0,0
≥=
⎰t ds N Y t
s
t 是否存在,为什么?
解:泊松过程的转移率矩阵为:
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛----= λλλλ
λλ
λλ
0000
Q
其相关函数为:st t s t s R N 2
},min{),(λλ+=,由于在t ∀,),(t t R N 连续,故均方积分存在。
(6) 在一计算系统中,每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关,以0
表示误差状态,1表示无误差状态,设状态的一步转移矩阵为:
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5.05.025.075.01110
0100
p p p p
P
试说明相应齐次马氏链是遍历的,并求其极限分布(平稳分布)。
解:由遍历性定理可知此链是遍历的,极限分布为)3/1,3/2(。
(7) 设齐次马氏链{}{},4,3,2,1,0,=≥S n X n 一步转移概率矩阵如下:
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=002/12/1002/12/12/12/1002/12/100
P (a )写出切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C -K 方程); (b )求n 步转移概率矩阵;
(c )试问此马氏链是平稳序列吗? 为什么?
解:(a )略
(b )⎩⎨
⎧====偶数
奇数
n P n P P n P n
2
)( (c )此链不具遍历性
(8) 设0,)1()()(≥-=t X t Y t N ,其中}0);({≥t t N 为强度为0>λ的Poission 过程,随
机变量X 与此Poission 过程独立,且有如下分布:
0,2/1}0{,4/1}{}{>=====-=a X P a X P a X P
问:随机过程0),(≥t t Y 是否为平稳过程?请说明理由。
由于:0)}({=t Y E
{
}{}{
}
{
}{}
{}
1222)(220
)(1220
1212)()(2)()(2
)()()(22)
()(2)()(22122!)]([)1(2
})()({)()()1(2)
1(2)1(2)1()1(),(121212*********t t e a e a e n t t a n t N t N P n t N t N E a E a E a E X E X E t t R t t n t t n n
n t N t N t N t N t N t N t N t N t N t N t N Y -===--==-=--=-=-=-=-⋅=---∞
=--∞=---+++∑∑τλλτ
λλ
故)}({t Y 是平稳过程。
(9) 设0,2≥+=t Yt X X t ,其中X 与Y 独立,都服从),0(2
σN
(a )此过程是否是正态过程?说明理由。 (b )求此过程的相关函数,并说明过程是否平稳。
证明:(a )任取 n t t t N n <<<≤∈ 210,,则有: