二次型的标准型

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举例说明将二次型化成标准型的方法

举例说明将二次型化成标准型的方法1. 使用平方配方法将二次型化简成标准型。

对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以通过将其分解为(x - y)^2 + 4y^2，得到标准型。

2. 使用线性代数的变量代换方法将二次型化简成标准型。

对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以令u = x - y和v = y，然后将原二次型转化为标准型u^2 + 2v^2。

3. 使用正交变换将二次型化简成标准型。

正交变换可以通过特征值分解或奇异值分解来实现。

对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以进行正交变换，得到标准型x'^2 + 2y'^2。

4. 使用特征值分解将二次型化简成标准型。

特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。

通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。

5. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型。

奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。

通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。

6. 使用正交变换将二次型化简成标准型的等价二次型。

正交变换不仅可以将二次型转化为标准型，还可以将其转化为等价二次型，即具有相同特征值但不同特征向量的二次型。

7. 使用特征值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。

特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。

通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。

8. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。

奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。

通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。

9. 使用主轴变换将二次型化简成标准型。

主轴变换是一种可以将二次型的矩阵表示转化为对角矩阵的变换。

10. 使用化简平方矩阵的方法将二次型化简成标准型。

化简平方矩阵是一种通过行和列的线性组合得到的矩阵，可以将二次型的矩阵表示简化为对角矩阵。

11. 使用特征值问题的解法将二次型化简成标准型。

6.2 二次型的标准型

y1 = x1 + x2 + x3 , 令 y2 = x 2 + 2 x 3 , y = x3 , 3
X = CY
x1 = y1 − y2 + y3 , 即 x 2 = y2 − 2 y3 , x = y3 , 3
1 −1 1 其中 C = 0 1 − 2 . 0 0 1
其中，r 为 A 的秩，其中，的秩， di ≠ 0 . 证明 (略) 6
第六章二次型
§6.2 二次型的标准形
三、二次型的的基本问题
问题一二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形? 二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形化为标准形问题二如何化二次型为标准形如何化二次型为标准形? 常见的方法针对二次型拉格朗日(Lagrange)配方法。拉格朗日( )配方法。针对二次型所对应的对称阵针对二次型所对应的对称阵二次型所对应的行列对称初等变换法；行列对称初等变换法；正交变换法。正交变换法。
(3) 将 h(Z) 化为规范型
2 2 2 h( Z ) = z1 − z 2 + 16 z 3 ,
z1 = w1 , w1 = z1 , w2 = 4 z3，即 z2 = w3 , 令 z = (1 / 4)w , w = z , 3 2 3 2
代入得 h(Z )
A B= I
64748 64 4 4 4 7 8 T Pm L P2T P1T A P1 P2 L Pm
行变换列变换
Λ . I P1 P2 L Pm P 14 4 2 3
列变换
17
第六章二次型
§6.2 二次型的标准形

5.2 二次型的标准形

19
例5 已知二次型
f 5 x12 5 x22 Cx32 2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3
的秩为2.（1）求：参数C；（2）将二次型化为标准型，并求出正交变换矩阵. 解（1）写出二次型 f 的矩阵,
5 1 3 A 1 5 3 3 3 C
0 1 0 1 ( 1)(－3) 0 1
2
1
解之得特征值 1 1 E－A X , 得基础解系
X1 ( 1,0, 1)T
15
当2 3时,由齐次线性方程组 3E－A X 0, 得基础解系当3 0时,由齐次线性方程组 0 E－A X 0, 得基础解系
则可逆的线性变换X = CY将二次型 f 化为标准形
2 2 2 f X T AX Y T C T ACY y1 2 y2 3 y3
例2 用配方法化二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
8
解 f 中没有平方项,为出现平方项,先作可逆线性变换，令
x1 y1 y2 x2 y1 y2 y3 x3
1 1 0 C1 1 -1 0 , 0 0 1
用矩阵表示为X = C1Y，其中
得
2 f 2 y12 2 y2 4 y1 y3 8 y2 y3
§5.2 二次型的标准形
一.配方法
二.正交变换法
三.实二次型的规范形
四.小结与思考题
1
要使二次型 f X T AX 经非奇异线性变换 X = CY 变成只含有平方项的标准形，这就是要使

二次型标准型

二次型标准型二次型是高等数学中的一个重要概念，它在数学和物理学中都有广泛的应用。

在矩阵和线性代数的学习中，我们经常会接触到二次型，因此了解二次型的标准型是非常重要的。

本文将详细介绍二次型标准型的相关概念和性质，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来回顾一下二次型的定义。

二次型是指含有平方项的多项式，通常表示为。

\[Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+\cdots+2a_{ij}x_ix_j\]其中，$a_{ij}$为常数，$x_1,x_2,\cdots,x_n$为变量。

二次型的标准型是指通过合适的线性变换，将原二次型化为一个只含平方项的形式。

具体来说，对于任意的二次型，都存在一组新的变量，通过线性变换后，原二次型可以化为标准型。

标准型的形式为。

\[k_1y_1^2+k_2y_2^2+\cdots+k_ny_n^2\]其中，$k_1,k_2,\cdots,k_n$为常数，$y_1,y_2,\cdots,y_n$为新的变量。

接下来，我们来具体介绍如何将一个二次型化为标准型。

首先，我们需要找到一个合适的线性变换矩阵，通过这个矩阵的作用，将原二次型化为标准型。

具体的变换方法可以通过求解线性代数方程组来得到。

在这个过程中，我们会用到矩阵的特征值和特征向量的相关知识，因此对于矩阵的理解和运用是非常重要的。

在实际的计算过程中，我们可以通过对称矩阵的对角化来得到二次型的标准型。

对称矩阵的对角化是一个非常重要的结果，它保证了对称矩阵可以通过合适的相似变换化为对角矩阵，从而简化了二次型标准型的计算过程。

除了对称矩阵的对角化外，我们还可以通过配方法将二次型化为标准型。

配方法是一种常用的技巧，通过合适的配方法，我们可以将二次型中的平方项配方成完全平方式，从而更容易地化为标准型。

二次型的标准型正交变换和非正交变换的关系

二次型的标准型正交变换和非正交变换的关系二次型的标准型正交变换和非正交变换是两种不同的二次型变换方法。

正交变换是二次型标准型的一-种变换方式，其优点是可以将二次型矩阵化为对角矩阵，同时保持矩阵的正交性。

具体来说，对于任意-个二次型，存在正交矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵，其中A是二次型的矩阵。

这种变换方法主要用于实对称矩阵的对角化，因为实对称矩阵可以找到一个正交矩阵，使得该正交矩阵的转置矩阵等于该实对称矩阵的送矩阵。

二次型的非正交变换也是二次型标准型的一种变换方式，但与正交变换不同，它不要求保持矩阵的正交性。

非正交变换可以将二次型的矩阵化为对角矩阵。

但与正交变换不同的是。

它不保持矩阵的正交性。

因此，非正交变换可以用于任何二次型的标准型化。

而不仅仅适用于实对称矩阵。

总的来说，二次型的标准型正交变换和非正交变换都是将二次型矩阵化为对角矩阵的方法，但它们所适用的场合和要求不同。

正交变换主要用于实对称矩阵的对角化，而非正交变换则可以用于任何二次型的标准型化。

二次型的标准型

二次型的标准型
二次型的标准型
二次型的标准型
本章只讨论变量取实值，系数也为实数的实二次型.二次型可以用矩阵的乘积形式表示，令
则二次型就可以写成下面的形式：
f(x1,x2,…,xn)=xTAx
（7-10）
其中，AT=A（即A为实对称矩阵）.
二次型的标准型
根据式（7-10），n个变量的实二次型 f(x)与n阶实对称矩阵A有一一对应的关系，称矩阵A为二次型f(x1,x2,…,xn)的矩阵，A的秩 r(A)定义为二次型 f(x1,x2,…,xn)的秩.反过来，对于任意一个给定的n阶实对称矩阵A，可以得到唯一的一个以A为矩阵的二次型xTAx，其中x=(x1,x2,…,xn)T.
【例7-2】
二次型的标准型
在二次型的研究中，中心问题之一是要对给定的二次型式
（7-9），确定一个可逆矩阵P，使通过可逆线性变换
x=Py
（7-11
将f(x1,x2,…,xn)=xTAx化简为新变量y1,y2,…,yn的标准型 f=d1y21+d2y22+…+dny2n=yTDy （7-12）
其中D=diag(d1,d2,…,dn) 把式（7-11）代入式（7-10），得
f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)
=yT(PTAP)y
二次型的标准型
故若能找到可逆矩阵P，使 PTAP=D （7-13）
其中,D为对角阵，则得到二次型的标准型.这就是说，化实二次型为标准型的问题可归结成上述由式（7-13）表出的矩阵问题，即下面定义的，实对称矩阵相合于实对角阵的问题.
二次型的标准型
定义7-4
对n阶矩阵A与B，若存在n阶可逆矩阵P，使
B=PTAP

二次型化为标准规定型的三种方法

2x1x2
2x1x 3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
化为标准形
解:配方化简
x12
2x1x2
2x1x3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
x12 2x1(x2 x3) (x2 x3)2 (x2 x3)2 2x22 4x2x3 x32
x1 x2 x3 2 x22 2x2x3
x1 x2 x3 2 x2 x3 2 x32
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
y
1
1
即
y
2
y 3
0
0
0 1 0
z 1 z 2 z 1
1 ,Y 2 3
实二次型f(x1, x2, , xn )=XT AX (AT A), 由于A为实对称，则存在正交矩阵Q使得
Q 1AQ QT AQ diag(1, 2, , n ),
于是线性替换X=QY(称为正交变换)化f为
标准型1y12
2y
2 2
n
y
2 n
.
定理对于任意n元实二次型f(x1, x2, , xn ) X T AX (AT A),都存在正交变换X=QY化f为
令
y1
y2
x1
x2 x2
x x3
3
y3 x3
即
x1 x2
y1 y2
y2 y3
x3 y3
1 1 0 C 0 1 1 1 0

线性代数—二次型的标准形和规范形PPT课件

问题，等价于该二次型的矩阵 A 合同于一个对角矩阵的问
题。
下面介绍二次型化为标准形的方法。
2
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1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的基本步骤： 1. 若二次型含有的平方项，则先把含有
x 的乘积项集中，然后配方，再对其余i 的变量同 x样进i 行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
第12页/共33页
1
2
2
1 2 , 2 1 , 3 0 ,
2
0
1
正交化，
3
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
,
再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵
1 3 2 5 2 45
P 2 3 1 5 4 45
2 3
(x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
4
第4页/共33页
f (x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 1
1 1
1
A 1 3
1
1
11 11 1 3
1
1
1
1 13 01 1
0 0
0 10
1 1 11 11
0
1 0 10
,
1
1 1 11
,
1
2
1,
E
A
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 11
0 0 0

第五章二节二次型的标准形和规范形

T 得对应的特征向量 a3 = (1,1,1)
将 a3单位化： 1 1 1 1 T g3 = a 3 = ( ,, ) a3 3 3 3
令矩阵
轾1 犏犏2 犏犏1 Q = (g1, g2 , g3 ) = 犏犏 2 犏犏犏0 犏臌
1 6 1 6 2 6
1 3 1 3 1 3
Q为正交矩阵，且所作正交变换为 X = QY.
2 2 2 = 2(x1 + x1x2 - x1x3 ) + 2x2 + 2x3 + 2x2 x3 1 1 2 3 2 3 2 = 2(x1 + x2 - x3 ) + x2 + x3 + 3x2 x3 2 2 2 2 1 1 2 3 = 2(x1 + x2 - x3 ) + (x2 + x3 )2 2 2 2
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = y1 + y2 + y3
但是，上面线性变换的矩阵轾 1 0 1 犏 C= 犏 1 1 0 犏犏 0 -1 1 臌而det C = 0，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。解由已知条件，二次型可用配方法标准化 2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x1x2 + 2x2 x3 - 2x1x3
1 类似可得对应于特征值l 2 = l 3 = - 的线性无关的特征向量 2 a 2 = (- 1,1,0)T , a3 = (- 1,0,1)T .
利用施密特正交化方法，将 a 2 , a3 正交化：令
T a3 b2 1 1 b2 = a 2 = (- 1,1,0)T , b3 = a3 - T b2 = (- ,- ,1)T b2 b2 2 2 将a1, b2 , b3单位化，有

6.1二次型及其标准形

1 2 0 A 2 2 3.
0 3 3
见书上例2、例3.
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）．例如
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
其中1,2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 ,,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n;
4.
将
特征向量
1
,
2
,,
正
n
交化,
单位化,
得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij),则上述可逆线性变换可记作
x Cy
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
这样问题就演变为如何找出n阶可逆矩阵C使得CT AC 为对角矩阵。
定义：如果对于n阶方阵A和B，存在n阶可逆矩阵P，使
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型;
例１写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.

二次型的标准型

二次型的标准型
xx年xx月xx日
目录
• 引言 • 二次型的表示 • 二次型的变换 • 二次型的标准型 • 结论
01
引言
什么是二次型
二次型定义
二次型是一种由实数变量和二次形式构成的数学对象，一般形式为 $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$，其中$x_i$是实数变量。
VS
二次型的变量
二次型的向量表示
二次型的向量表示法中，向量是单位向量。
二次型的向量表示法可以用来计算向量的长度，以及求解向量的加法和数量积。
二次型的几何意义
二次型的几何意义可以表示为平面上一个点的轨迹。二次型的几何意义可以用来求解最短路径问题，以及计算点到直线的距离。
03
二次型的变换
合同变换
1 2
定义
合同变换是在线性代数中，通过非奇异线性变换将一个二次型化为标准型。
弹性力学
在弹性力学中，物体的应变能密度通常表示为应变向量的二次型。通过将应变能密度表示为标准型，可以简化弹性力学问题的求解过程，并得到一些有用的物理性质。

二次型的表示
二次型的矩阵表示
二次型的矩阵表示法中，矩阵是实对称矩阵。
二次型的矩阵表示法可以用来求解线性方程组，以及判断线性变换是否可逆。
二次型标准型的计算和模拟需要大量的计算资源和时间，对于大规模高复杂度的系统可能存在计算效率低下的问题。
THANKS
谢谢您的观看
应用
相似变换在矩阵的分解和化简、特征值求解等领域有着广泛的应用。
位似变换
定义
位似变换是在复数域上的一种线性变换，通过位似变换可以将一个复二次型化为具有相同主轴长度的复二次型。
过程

二次型的正定性与标准型

二次型的正定性与标准型二次型是数学中的重要概念，广泛应用于线性代数、微积分、几何等领域。

在二次型的研究中，正定性是一个重要的性质，而标准型则是对二次型的一种标准化表示。

本文将详细介绍二次型的正定性与标准型。

一、二次型的定义与性质二次型是形如$Q(x)=\mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x}$的函数，其中$\mathbf{x}$是$n$维向量，$\mathbf{A}$是$n \times n$的对称矩阵。

二次型具有以下性质：1. 对称性：二次型$Q(x)$中的矩阵$\mathbf{A}$是对称矩阵，即$\mathbf{A}=\mathbf{A}^T$。

2. 数域上的二次型：二次型中的矩阵$\mathbf{A}$可以是实数域$\mathbb{R}$ 上的或者复数域 $\mathbb{C}$ 上的。

3. 齐次性：$Q(kx)=k^2Q(x)$，其中$k$是标量。

4. 可加性：$Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+2\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{y}$。

在研究二次型的正定性与标准型之前，我们先来看一下正定性的定义。

二、正定性的定义与性质正定性是指一个二次型的取值范围。

一个二次型$Q(x)$具有以下性质：1. 正定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x)>0$时，二次型$Q(x)$称为正定二次型。

2. 半正定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x) \geq 0$时，二次型$Q(x)$称为半正定二次型。

3. 负定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x)<0$时，二次型$Q(x)$称为负定二次型。

4. 半负定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x) \leq 0$时，二次型$Q(x)$称为半负定二次型。

正定二次型在数学和应用中具有重要意义，例如在优化问题、矩阵理论和最小二乘法中经常用到。

二次型化为标准型的三种方法

f
(x1, x2,..., xn )
a11
x121
2x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
a
x2
22 2
...
2a2n xn2
配方
...... ann xn2
a11 x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
2
1
a11
a12x2 a13x3 ... a1n xn
x1
x1
xxx2222xxx3332222xxx22222x344xx32去324掉4xx2配x2 3x方3 后多出来的项
x1 x2 x3 2 x2 2x3 2.
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
例1 化二次型 f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形,并求所用的变换矩阵.
解
含有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
x12 2x1 x2 2x1 x3 2x22 5x32 6x2 x3
B
1
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
2x1x2
2x1x 3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
化为标准形
解:配方化简
x12
2x1x2
2x1x3
2x
2 2
4x2x3

二次型的标准型

二次型的标准型的存在性
对于任何一个二次型，都存在可逆矩阵P，使得P^TAP成为标准型。这个结论是二次型理论的重要基础。
二次型的标准型的唯一性
如果两个可逆矩阵P和Q都可以将二次型表示为标准型，那么它们一定可以通过相同的对角矩阵来表示，也就是说，这两个标准型是等价的。
二次型的几何意义拓展
二次型的几何意义
案例二：二次型在力学计算中的应用
总结词
二次型在力学计算中被广泛应用，它可以帮助我们更好地理解和分析物体的运动和受力情况。
VS
详细描述
在力学计算中，二次型可以用于表示和度量物体的质量和能量等物理量。例如，二次型可以用于计算物体的动能和势能，以及分析物体的运动轨迹和振动频率。通过使用二次型，我们可以更好地理解和分析物体的运动和受力情况，从而更好地预测和控制物体的行为。
变得简单易解。
02
确定二次型的类型
通过观察标准型，可以确定二次型的类型。例如，对于一个实对称矩
阵来说，它的标准型一定是对角矩阵。
03
唯一性
由于任何二次型都可以化为标准型，并且这种标准型是唯一的，因此
在进行数值计算时，将二次型化为标准型可以避免数值误差的影响。
二次型的几何背景
二次型的几何意义
任何一个二次型都可以看作是向量空间中的一种度量。例如，对于一个三维向量空间来说，其上的任何一个二次型都可以表示为三个向量的内积的组合。
二次型的图形表示
通过图形的方式，可以形象地表示二次型的形状和大小。例如，对于一个椭圆来说，其上的任何一个点都可以用一个二次型来表示。
02
二次型的矩阵表示
二次型与矩阵的关系
1
二次型可以被表示为矩阵形式，矩阵中的每个元素对应于二次型中对应的项。

二次型的标准型和规范型

小结: 设A为实对称矩阵, (1)求一可逆矩阵P, 使P 1 A P为对角矩阵. (2)求一正交矩阵Q, 使Q 1 A Q为对角矩阵. (3)求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. (4)求一正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵.
பைடு நூலகம்
2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f (x) xT Ax为标准形化实对称矩阵A为对角矩阵. (2)任一方阵均可利用对等的初等行、列变换化为对角矩阵. 这里, " 对等"指的是作一次初等行变换后, 立即再作一次同种的初等列变换.
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的修。筑权 ②修路成为中国人救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑权收归国有。 4．制约因素政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入正轨。
二、水运与航空
1．水运 (1)1872年,
方法： A 对等的初等行、列变换对角矩阵
E 同样的初等列变换 C CT AC为对角矩阵 . 作线性变换 x Cy,则可将二次型 f (x) xT Ax化为标准形 g( y) yT (CT AC) y.
例4 将二次型f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3化为标准形. 例5 将二次型f (x1, x2 , x3) 2x1x2 2x1x3 6x2 x3化为标准形.
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始

二次型的标准型特征值

二次型的标准型特征值
二次型的标准型是指将二次型写成特征值的形式。

假设一个n维实对称矩阵A表示二次型，其标准型可以表示为：
Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λny_n^2
其中，λ1, λ2, ..., λn是矩阵A的特征值，y1, y2, ..., y_n是对应于特征值的特征向量。

这意味着通过对矩阵A进行特征值分解，我们可以将二次型表示为特征值和特征向量的加权和形式。

需要注意的是，特征值一般按照非递增顺序排列，即λ1 ≥λ2 ≥ ... ≥λn。

这样一来，标准型中特征值大的项对应的特征向量所决定的方向对二次型的影响更大。

总结起来，二次型的标准型可以通过特征值分解得到，它是特征值和特征向量的加权和形式，并且特征值按照非递增顺序排列。