组合变形
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材料力学 组合变形完整版汇总
材料力学
|FN|最大处 |T|最大处
|M|最大处
组合变形/组合变形和叠加原理
求基本变形横截面上的应力：
变形类型
拉压
内力
轴力FN
正应力
FN/A 无
切应力 无 Tρ/Ip 无
忽略不计
扭转
纯弯曲
扭矩T
弯矩M
My/Iz
横力弯曲 弯矩M+剪力Fs My/Iz
材料力学
4.将危险截面的应力叠加，并进行强度校核
C L A D
30º
1.3m
F
材料力学
1.3m
B
组合变形/拉压与弯曲的组合
思路分析：பைடு நூலகம்
选AB为研究对象， 求A、B处的约束反力
C L A D
30º
根据受力分析判断AB杆 的变形组合类型 压缩和弯曲的组合
1.3m F
1.3m
B
分解成基本变形
做出压缩的轴力图和弯曲的弯矩图，确定危险截面 将D截面压缩的压应力与弯曲的最大压应力叠加， 进行强度校核
组合变形/拉压与弯曲的组合
巩固练习
练习一：图示的压力机框架为实心圆截面，直径d=100mm，最 大加工压力为F=12KN，已知材料许用应力为100Mpa，试校核 框架立柱的强度。
200
F
F
材料力学
组合变形/拉压与弯曲的组合
思路分析：
根据受力情况判断立柱的
变形组合类型
200
F
拉伸和弯曲的组合
拉伸： 求轴力，绘制轴力图 弯曲： 求弯矩，绘制弯矩图
2FL
FL
求中点处的最大正应力：
FL FL Wz Wy 0 2FL Wz Wy
求固定端的最大正应力：
|FN|最大处 |T|最大处
|M|最大处
组合变形/组合变形和叠加原理
求基本变形横截面上的应力：
变形类型
拉压
内力
轴力FN
正应力
FN/A 无
切应力 无 Tρ/Ip 无
忽略不计
扭转
纯弯曲
扭矩T
弯矩M
My/Iz
横力弯曲 弯矩M+剪力Fs My/Iz
材料力学
4.将危险截面的应力叠加，并进行强度校核
C L A D
30º
1.3m
F
材料力学
1.3m
B
组合变形/拉压与弯曲的组合
思路分析：பைடு நூலகம்
选AB为研究对象， 求A、B处的约束反力
C L A D
30º
根据受力分析判断AB杆 的变形组合类型 压缩和弯曲的组合
1.3m F
1.3m
B
分解成基本变形
做出压缩的轴力图和弯曲的弯矩图，确定危险截面 将D截面压缩的压应力与弯曲的最大压应力叠加， 进行强度校核
组合变形/拉压与弯曲的组合
巩固练习
练习一：图示的压力机框架为实心圆截面，直径d=100mm，最 大加工压力为F=12KN，已知材料许用应力为100Mpa，试校核 框架立柱的强度。
200
F
F
材料力学
组合变形/拉压与弯曲的组合
思路分析：
根据受力情况判断立柱的
变形组合类型
200
F
拉伸和弯曲的组合
拉伸： 求轴力，绘制轴力图 弯曲： 求弯矩，绘制弯矩图
2FL
FL
求中点处的最大正应力：
FL FL Wz Wy 0 2FL Wz Wy
求固定端的最大正应力：
工程力学第十一章 组合变形
土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。
简述几种工程中常见的组合变形
简述几种工程中常见的组合变形
在工程中，组合变形是指由多个形式不同的变形组合而成的变形形式，常见的组合变形有以下几种：
1. 弯曲和剪切组合变形：当物体同时受到弯曲和剪切的变形时，会出现这种组合变形形式。
在制造和使用过程中，这种变形会导致物体的强度和刚度下降。
2. 拉伸和压缩组合变形：当物体同时受到拉伸和压缩的变形时，会出现这种组合变形形式。
这种变形会影响物体的强度和刚度，严重时会导致物体的破坏。
3. 扭曲和弯曲组合变形：当物体同时受到扭曲和弯曲的变形时，会出现这种组合变形形式。
这种变形会影响物体的形状和尺寸，严重时还会影响物体的使用功能。
4. 压缩和剪切组合变形：当物体同时受到压缩和剪切的变形时，会出现这种组合变形形式。
这种变形会影响物体的强度和刚度，严重时还会导致物体的破坏。
以上是几种工程中常见的组合变形，工程师需要对这些组合变形进行分析和评估，以保证工程设计的可靠性和安全性。
- 1 -。
工程力学组合变形
2) 内力分析：
内力图如图所示，危险截面为D截面， 其内力为：FN=-5kN，M=2.5kN.m
3) 应力分析：
FC
C
FAy FAx 30
A
L
D
L
B
F=10kN
FN
-
8.66kN
2.5kN.m
M
+
D截面旳上边沿点为危险点，为最大压应力。
矩形截面梁 宽b=40mm 高h=60mm
[]=120MPa
FC
P
R
Ｍ
二、组合变形工程实例
P
q
h
水坝
H
压弯组合变形:同步发生轴向压缩与弯曲
G1 D 烟囱
h
拉弯组合变形:同步发生轴向拉伸与弯曲
弯扭组合变形:同步发生弯曲与扭转 辘轳从深井中提水
P
P
三、组合变形旳研究措施 —— 叠加原理
对于组合变形下旳构件，在线弹性范围内、小变形 条件下，可先将荷载简化为符合基本变形外力作用条件 旳外力系，分别计算构件在每一种基本变形下旳内力、 应力或变形。然后利用叠加原理，综合考虑各基本变形 旳组合情况，以拟定构件旳危险截面、危险点旳位置及 危险点旳应力状态，并据此进行强度计算。
max
FN A
M ≤ [ ]
W
max
FN M ≤ [ ]
AW
式中FN和M是指危险截 面旳轴力和弯矩，轴力拉为 正，压为负，弯矩则用绝对 值代入。
提议：进行危险点旳应力分 析时，绘出应力分布图！
对拉压（弯）组合变形杆件进行应力分析时，一般忽视了弯曲剪应 力，所以横截面上只有正应力，各点处于单向应力状态。
1. External force analysis and determine basic deformation 外力分析，拟定基本变形
内力图如图所示，危险截面为D截面， 其内力为：FN=-5kN，M=2.5kN.m
3) 应力分析：
FC
C
FAy FAx 30
A
L
D
L
B
F=10kN
FN
-
8.66kN
2.5kN.m
M
+
D截面旳上边沿点为危险点，为最大压应力。
矩形截面梁 宽b=40mm 高h=60mm
[]=120MPa
FC
P
R
Ｍ
二、组合变形工程实例
P
q
h
水坝
H
压弯组合变形:同步发生轴向压缩与弯曲
G1 D 烟囱
h
拉弯组合变形:同步发生轴向拉伸与弯曲
弯扭组合变形:同步发生弯曲与扭转 辘轳从深井中提水
P
P
三、组合变形旳研究措施 —— 叠加原理
对于组合变形下旳构件，在线弹性范围内、小变形 条件下，可先将荷载简化为符合基本变形外力作用条件 旳外力系，分别计算构件在每一种基本变形下旳内力、 应力或变形。然后利用叠加原理，综合考虑各基本变形 旳组合情况，以拟定构件旳危险截面、危险点旳位置及 危险点旳应力状态，并据此进行强度计算。
max
FN A
M ≤ [ ]
W
max
FN M ≤ [ ]
AW
式中FN和M是指危险截 面旳轴力和弯矩，轴力拉为 正，压为负，弯矩则用绝对 值代入。
提议：进行危险点旳应力分 析时，绘出应力分布图！
对拉压（弯）组合变形杆件进行应力分析时，一般忽视了弯曲剪应 力，所以横截面上只有正应力，各点处于单向应力状态。
1. External force analysis and determine basic deformation 外力分析，拟定基本变形
工程力学-组合变形
s
强度条件为 nb
n
塑性材料 脆性材料
(2) 概述复杂应力状态下的强度计算：
组合变形的构件内危险点多为二向或三向应力状态。
难以用实验测定各种应力状态而建立强度条件，常常依 据部分实验结果提出假设，推测材料失效的原因，从而 建立强度理论。
5
§14.2 强度理论概论
强度理论 (theory of strength)
(1) 两种失效现象：屈服和断裂
各种材料的强度不足引起的失效现象不同，表现为屈服 和断裂两类。
(2) 衡量变形的程度：
衡量构件受力变形程度的量有应力、应变、能量等。
(3) 强度理论：
根据材料破坏现象和大量的实验资料，人们对强度的失 效提出了各种假说，称为强度理论。
不同的强度理论认为，材料按某种方式（屈服或断裂）
在二向应力状态下， 为两个非零主应力，
则在 为坐标的平面坐标系中， 当 同号时，失效准则为
当 异号时，失效准则为
28
故任意情况下失效准则在 所示。
平面中为六角形，如图
若某一平面应力状态其两个非零主应力
所在的点 M ，落在六来自形区域之内，则该应力状态不会引起屈服。
若点 M 落在六角形边界上，则该应力状态会引起材料 屈服。
本章主要内容：
(1) 介绍几种常见的强度理论； (2) 讨论工程中常见的斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉
（压）、弯扭等组合变形形式的强度计算。
2
第14章 组合变形 (combined deformation)
§14.1 组合变形的概念与分析方法
四种基本变形
拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲。
组合变形 (combined deformation)
十三 组合变形
例：直径为20 mm的圆截面水平直角折杆，受垂直力 P=0.2 kN， 已知［σ］=170 MPa，试用第三强度理论确定 a 的许可值。 解：由内力图可知，截面 A 是危险截面。
A
B
轴的抗弯截面系数：
M图
圆轴弯扭组合变形强度条件:
2Pa
（按第三强度理论）
T图
C
Pa Pa
a 的许可值：
中性轴是一条通过截面形心的直线。
中性轴
二、位移计算 斜弯曲的概念 为了计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法：
中性轴
总挠度 f 与中性轴垂直。源自斜弯曲：梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面不重合。 否则称为平面弯曲。
挠曲线平面 载荷平面
特例： 当
时，梁弯曲后挠曲线所在平面与载荷作用面
重合，此时发生平面弯曲。比如：
将P分解：
产生轴向拉伸； 产生弯曲变形。
组合变形横截面上的应力：
轴力引起截面上的正应力：
弯矩引起截面上的正应力：
FN
Mz
总应力：
危险截面的应力：
FN
拉(压)弯组合变形强度条件：
Mz
◆ 偏心压缩（以矩形截面为例）：
d c
例：具有切槽的正方形木杆，受力如图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应力σt 和最大压应 力σc；
（1）力作用的独立性原理 即在线弹性、小变形的前提下，任一载荷所引起的变
形对其它载荷作用的影响可忽略不计。
第一节 组合变形的概念
二、 组合变形
3、组合变形的基本解法
（2）基本步骤： ① 将作用于构件的载荷分解，得到与原载荷静力等效的几 组载荷，使构件在每一组载荷作用下只产生一种基本变形； ② 分别计算构件在每一组基本变形载荷下的内力、应力、 变形； ③ 将各种基本变形载荷下的应力、变形叠加得总的应力、 变形； ④ 最后作强度或刚度计算。
组合变形
MT WT
在杆的根部a处取一单元体分析
y 0, x B , x T
计算主应力
1 B B 2 2 ( ) T 2 3 2
2 0
第三、第四强度理论
r 3 4
2 B 2 T
2 2 r4 B 3 T
即最大安全载荷为 790N。
r3
M 2 T2 W
(0.2Q ) 2 (0.18Q ) 2 6 80 10 0.033 32 Q 790N
例8-5 某齿轮轴，n=265r/min、NK=10kW、D1=396mm， D2=168mm， =20o ， d=50mm，[]= 50MPa。校核轴的强度。
C max
N M max c A Wz
例8-1 悬臂吊车,横梁由 25 a 号工字钢制成，l=4m，电葫芦重 Q1=4kN，起重量Q2=20kN, =30º , []=100MPa，试校核强度。
（1）外力计算
取横梁AB为研究对象，受力如 图b所示。
梁 上载荷为 P =Q1+Q2 = 24kN， 斜杆的拉力S 可分解为XB和YB
f
f f
2 y
2 z
如悬臂梁自由端挠度等于P的分量 平面内挠度的几何叠加。
py , pz
在各自弯曲
pl 3 fy cos 3 EI z 3 EI z pz l 3 pl 3 fz sin 3 EI y 3 EI y
pyl 3
故自由端的总挠度：
f
f f
2 y
2 z
总挠度 f 的方向线与y轴之间的夹角 可由下式求得
如图b所示。
（2）作内力图
工程力学组合变形
取=0 ，以y0、z0代
表中性轴上任一点的坐
标，则可得中性轴方程
2024/1/28
1
zF iy2
z0
yF iz2
y0
0
23
可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不 通过截面形心的直线。
求出中性轴在y、z两轴上的截距
ay
iz2 yF
,
az
iy2 zF
z
对于周边无棱角的截面，可作两条
D1(y1,z1)
2024/1/28
10
0.642 qa 2
0.444qa 2 0.321 qa 2
A
DC
0.617 a
A
DC
My 图 (N m) B
B Mz 图 (N m)
0.456 qa 2 0.383 qa 2
在xoz主轴平面内的 弯矩图(y轴为中性轴)
在xoy主轴平面内的 弯矩图 (z轴为中性轴)
0.266 qa 2
4.强度分析 根据危险点的应力状态和杆件的材料按强度 理论进行强度计算。
2024/1/28
3
§8-2 斜弯曲
一、概念
平面弯曲：外力施加在梁的对称面（或主平面） 内时，梁将产生平面弯曲。
即梁变形后，轴线位于外力所在的平面之内。 对称弯曲：平面弯曲的一种。
斜弯曲梁变形后，轴线位于外力所在的平面之外。
2024/1/28
F A
FzF Wy
FyF Wz
危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为
t,max [ t ] c,max [ c ]
2024/1/28
26
补充例题 图示矩形截面钢杆，用应变片测得杆件上、下
表面的轴向正应变分别为εa＝1×10－3、 εb ＝0.4×10－3， 材料的弹性模量E＝210GPa 。(1).试绘出横截面上的正
《材料力学》第八章组合变形
解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
组合变形
三向受拉应力状态。
1 b
断裂破坏仅与最大正应力有关。适用于脆性材料的二向或
2最大正应变理论（第二强度理论） ：
由于
1 1 [ 1 ( 2 3 )] E
1 b
当最大正应变等于强度极限对应的正应变时，断裂破坏。
b
b
E
1 ( 2 3 ) b
m
x
m m
Pz
z Py y
m
z
P
P
y
Py P sin Pz P cos
矩形截面梁，作用集中力P与Z轴成角，确定m—m截面的应力
m
m
Mz
z
Mz My
m
z
My
m
M
y
y
Py P sin Pz P cos M yz Iy
Mzy Iz
M y Pz x Px cos M cos M z Py x Px sin M sin
z y cos sin 0 Iy Iz
过形心的斜直线
最大、最小正应力，a、b两点。
斜弯曲时中性轴斜率与弯矩作用面的关系
z y cos sin 0 中性轴方程 Iy Iz z Iy tan tan y Iz
z
y
中性轴
当 I y I z 时， 说明载荷作用面与中性层不垂直 当 Iy Iz 时
1 3 2
对应第四强度理论
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 3 2
复杂应力状态危险点单元体的强度条件：
ri [ ]
ri
1 b
断裂破坏仅与最大正应力有关。适用于脆性材料的二向或
2最大正应变理论（第二强度理论） ：
由于
1 1 [ 1 ( 2 3 )] E
1 b
当最大正应变等于强度极限对应的正应变时，断裂破坏。
b
b
E
1 ( 2 3 ) b
m
x
m m
Pz
z Py y
m
z
P
P
y
Py P sin Pz P cos
矩形截面梁，作用集中力P与Z轴成角，确定m—m截面的应力
m
m
Mz
z
Mz My
m
z
My
m
M
y
y
Py P sin Pz P cos M yz Iy
Mzy Iz
M y Pz x Px cos M cos M z Py x Px sin M sin
z y cos sin 0 Iy Iz
过形心的斜直线
最大、最小正应力，a、b两点。
斜弯曲时中性轴斜率与弯矩作用面的关系
z y cos sin 0 中性轴方程 Iy Iz z Iy tan tan y Iz
z
y
中性轴
当 I y I z 时， 说明载荷作用面与中性层不垂直 当 Iy Iz 时
1 3 2
对应第四强度理论
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 3 2
复杂应力状态危险点单元体的强度条件：
ri [ ]
ri
第10章 组合变形
+=
t ,max
c,max
t ,max
=
Fl Wy
−
F A
c ,max
=
− Fl Wy
−
F A
5、拉（压）弯组合变形下的强度计算
t ,max
=
Fl Wy
−
F A
[ t ]
c ,max
=| − Fl Wy
−
F A
|
[ c ]
拉弯组合变形下的危险点处于 单向应力状态
=
2
−
1 2
2 + 4 2
讨论 下列三组公式的适用范围？
第一组
任何截面、任何变形、任何应力状态
第二组
σ x或σy等于零的任何截面、任何变形的平面应力状态
第三组
圆截面、弯扭组合变形
例题：直径为D的直角拐作用一集中力Fp，画 弯矩和扭矩图，提取危险点的应力状态，写 出第三、四强度理论的相当应力
（1）受力分析与计算简图 （2）内力分析与内力图、确定危险截面 （3）由应力分布规律确定危险点，提取应力状态，确定主应力 （4）根据材料及危险点的应力状态选用合适的设计准则
1、等截面杆件的直径为D，长度为L，承受均布 载荷q、拉力P、以及外力偶M的联合作用，写 出第三强度理论的相当应力的表达式。
q
工程实例 (Engineering examples) 摇臂钻
D
3F
2F F
FD 2
1、外力向轴线简化，判定基本变形 弯扭组合 且为单向弯；
2、作内力图，确定危险面
My 3FL
T
FD/2
3 危险面上的内力
4、危险面上应力的分布规律，确定危险点
组合变形
第10章组合变形§10-1 组合变形的概念1.组合变形的概念组合变形：构件往往会发生两种或两种以上的基本变形的这类变形。
在前面各章分别讨论了杆件在拉(压)、剪切、扭转和弯曲基本变形时的应力和强度计算。
工程实际中，杆件在荷载作用下所发生的变形，经常是两种或两种以上基本变形的组合，这种变形称为组合变形。
例如图10．1(a)所示屋架檩条的变形，是由y/z两个方向的平面弯曲变形组成的斜弯曲；如图10．1(b)所示厂房柱，在偏心力F作用下，会发生压缩和弯曲的组合变形；如图10．1(c)所示的卷扬机轴在力F作用下，则发生弯曲和扭转的组合变行。
2．组合变形的分析方法及计算原理处理组合变形问题的方法：1.将构件的组合变形分解为基本变形；2.计算构件在每一种基本变形情况下的应力；3.将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合变形情况下的应力。
叠加原理是解决组合变形计算的基本原理叠加原理应用条件：即在材料服从胡克定律，构件产生小变形，所求力学量定荷载的一次函数的情况下，计算组合变形时可以将几种变形分别单独计算，然后再叠加，即得组合变形杆件的内力、应力和变形。
计算原理：（1）圣维南原理以静力等效力系代替构件原有的荷载，为此，要求构件为细长杆，且所求应力的截面远离外力作用点；（2）叠加原理 按各基本变形计算后进行叠加，为此，要求构件处于线弹性范围内，且变形很小，可按构件的原始形状的尺寸进行计算。
在小变形和线弹性条件下，杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响，即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很小可以忽略）。
因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下杆件内应力的叠加。
本章中组合变形下杆件的应力计算，将以各基本变形的应力及叠加法为基础。
叠加法的主要步骤：a 、将组合变形按照各基本变形的条件，分解为几种基本变形，简称分解。
b 、利用基本变形的应力计算公式，分别计算各点处的正应力和切应力。
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算
第11章 组合变形
z
c ,max
(2)若 [ t ] [ c ] [ ] ,
则
FN M max [ c ] A Wz
25
max Max { t ,max , c ,max } [ ]
[例11-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所 示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试选 T Y Ty A 择工字梁型号。 XA D
= +
Fz
z
叠加原理
x
y
Fy
z
在线弹性范围
小变形条件下
x y
8
二、内力分析
m m x L
xy平面弯曲
y z
Mz
z
x x
Fy
m y
z
m Fz m x L
xz平面弯曲
y
z
x
My
x
m y
9
二、内力分析
m A m x L m A L 危险截面：杆件根部A截面
10
z x y
FL
弯矩：Mz Fy x
xy平面弯矩图
M
A
A
A
=
B
压弯组合 B 轴向拉压
+
B 平面弯曲
32
F F1
内力分析
M
F
A
A
M A
A
B 轴向拉压
B FN(轴力)
B 平面弯曲
B
33) M(弯矩
应力分析
FN
z
M
z
y
FN ( y, z) A
y
z
y
+
z
y
M σ(y, z) y Iz
c ,max
(2)若 [ t ] [ c ] [ ] ,
则
FN M max [ c ] A Wz
25
max Max { t ,max , c ,max } [ ]
[例11-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所 示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试选 T Y Ty A 择工字梁型号。 XA D
= +
Fz
z
叠加原理
x
y
Fy
z
在线弹性范围
小变形条件下
x y
8
二、内力分析
m m x L
xy平面弯曲
y z
Mz
z
x x
Fy
m y
z
m Fz m x L
xz平面弯曲
y
z
x
My
x
m y
9
二、内力分析
m A m x L m A L 危险截面：杆件根部A截面
10
z x y
FL
弯矩：Mz Fy x
xy平面弯矩图
M
A
A
A
=
B
压弯组合 B 轴向拉压
+
B 平面弯曲
32
F F1
内力分析
M
F
A
A
M A
A
B 轴向拉压
B FN(轴力)
B 平面弯曲
B
33) M(弯矩
应力分析
FN
z
M
z
y
FN ( y, z) A
y
z
y
+
z
y
M σ(y, z) y Iz
第十二章 工程力学之组合变形
二、叠加原理 杆在组合变形下的应力和变形分析，一般可利用叠加原理。
叠加原理： 实践证明，在小变形和材料服从虎克定律的前提下， 杆在几个载荷共同作用下所产生的应力和变形，等于每个载荷 单独作用下所产生的应力和变形的总和。 当杆在外力作用下发生几种基本变形时，只要将载荷简化为一 系列发生基本变形的相当载荷，分别计算杆在各个基本变形下 所产生的应力和变形，然后进行叠加，就得到杆在组合变形下 的应力和变形。 另外，在组合变形情况下，一般不考虑弯曲剪应力。
（2）根部截面的内力分析
作轴的扭矩图和弯矩图如图12-6（c）所示。
根部截面上的扭矩 T m 120 N m
弯矩
M Pl 3Fl 3 960 0.12 346 N m
（3）应力分析
根部截面在弯曲、扭转基本变形下的应力分布如图12-6（d） 所示
由此可见，A点既有正应力，也有剪应力，B点只有剪应力
max N M 5.9 115 120.9MPa
最大应力几乎等于许用应力，故可安全工作。
例12-2：图12-5（a）所示为一钻床，在零件上钻孔时，钻床的 立柱受到的压力为P=15kN。已知钻床的立柱由铸铁制成，许用 拉应力，［σ拉］=35MPa，e=400mm试计算立柱所需的直径d。 解： （1）内力分析，判断变形 形式 用截面法求立柱横截面上 的内力，如图12-5（b）所 示，横截面上的内力有两 个，轴力FN和弯矩M，且 有
可见， Tx和Fcx使AC产生轴向压缩，而Ty、P和Fcy产生弯曲变 形，所以AC杆实际发生的是轴向压缩与弯曲的组合变形。 （2）作内力图，找出危险截面 AC梁的轴力图和弯矩图如图12-4（b）所示。
从图中可以看出，在梁的中间截面上有最大弯矩，而轴力在各 个截面上是相同的，所以，梁的中间截面是危险截面。
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§9-1 组合变形和叠加原理 说明:小变形前提
图示纵横弯曲问题,横截面上 内力为 FN P
M x ql q x x 2 Pv x 2 2
当变形较大时,弯矩中与 挠度有关的附加弯矩不能略 去.虽然梁是线弹性的,弯矩、 挠度与P的关系却是非线性的 因而不能用叠加法.除非梁的 刚度较大,挠度很小,轴力引起 的附加弯矩可以略去.
9.1.3叠加原理
构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的 独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内力、 应力、应变和位移等是各个单独载荷作用下的值的 叠加
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从胡 克定律; 2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进 行分解与叠加计算,且能保证与加载次序无关.
（3） 压缩正应力 FRAx 0.866 F A A （4） 最大弯曲正应力 1.2 FR Ay 0.6 F max Wz Wz （5）危险点的应力
A D F 1.2m
30° 1.2m
B
FRAy FNAB
FRAx A F D
30°
Fy
B
c max
0.866 F 0.6 F 94.37MPa [ ] A Wz 满足强度要求。
Fy
B
AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形
Fx
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载 F= 34kN,横梁材料的许用应力为[]=125MPa.校核横梁 AB的强度. C
（2）内力分析，确定危险截面
已知：l＝4m， []=160MPa， =5°，P=60kN 求：校核梁的强度。
M z max 59.77kNm M y max 7.76kNm 解： 3. 应力分析，危险点：
单位：mm3 D1 =5° P
危险点在D2，D1处，塑性材料，只计算一处即可
max
M z max M y max 59.77 106 5.23 106 160.3MPa 3 3 Wz Wy 692.2 10 70.8 10
Py 29kN Pz 7.76kN
P
简支梁，当小车至梁中点时，Mmax。 ∴危险截面是梁跨度中点处的截面。 Py l M z max 59.77kNm 4 Pz l M y max 5.23kNm 4
§9-2 斜弯曲 例题9.1
D2
32a工字钢
Wz 692.2 10 3 , W y 70.8 10 3
由于σmax仅比[]大0.19%，故可认为安全。
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
9.3.1变形举例
F
(a)
当杆件上同时作用有轴向外力和横向外力，如图所 示，则杆件的变形为轴向拉伸（或压缩）与弯曲的 组合变形。 横向力引起的剪切变形忽略不计。
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
9.3.2内力与应力计算
－ FN图
A D F 1.2m
30° 1.2m
B
+
M图
FRAy
Fy FNAB
30°
中间截面为危险截面. 最大正应力发生 在该截面的上下边缘，上压下拉。
FRAx
A F D
B
Fx
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载 F= 34kN,横梁材料的许用应力为[]=125MPa.校核横梁 AB的强度. C
'
+
''
=
Fx
(a)
(b)
(c)
(d)
（3）应力分析：应用叠加原理 轴力 单独作用时，横截面上的正应力σ’如图（b） 横向力 作用下梁发生平面弯曲，正应力σ’’如图（c）
加号代表代数和， 使用时注意拉应 FN M ' ' ' y （9.8） 力取正，压应力 总应力： A Iz 取负
一是载荷作用在一个平面内，但载荷作用面与 梁的纵向对称面不重合（图a）；
二是载荷都作用在对称面内，但不在同一纵向 对称面内（图b）。
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
考察图示矩形截面梁，对其进行分析计算：
（1）外力分析：荷载分解
Py Pco s Pz Psin
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
Iy
Iz
Iy
Iz
上式为没有截距的直线方程，可见此时中性轴通过截 面形心。如图所示。
§9-2 斜弯曲 9.2.4中性轴分析
sin cos z y0 设中性轴与y轴的夹角为 ，则由 Iy Iz
z Iy 得 tan cot y Iz
工程中，一般 I y I z
说明， tan cot
9.1.2组合变形工程实例
F F
马达卷扬机 弯扭组合变形
M FR
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生 弯曲 + 扭转
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
屋架传来的压力
吊车传来的压力
自重 风 力
牛腿柱
压弯组合变形
§9-1 组合变形和叠加原理
（2）内力分析：距自由端为x的任意截面A上引起 的弯矩分别为：
M y Pz x Px sin M z Py x Px cos
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
（3）应力分析：对应的应力分布，如图所示。
于是，A截面上任意点处正应力由平面弯曲正应力公 式计算。得：
Fx
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载 F= 34kN,横梁材料的许用应力为[]=125MPa.校核横梁 AB的强度. C
（3） 压缩正应力 FRAx 0.866 F A A （4） 最大弯曲正应力 1.2 FR Ay 0.6 F max Wz Wz （5）危险点的应力
90 也就是
这表明：斜弯曲时，中性轴与加载方向不垂直，这是 斜弯曲与平面弯曲的重要区别之一。
§9-2 斜弯曲 9.2.5最大正应力和强度条件
以上一悬臂梁为例，如右图所示
（1）最危险截面：为固定端截面 （2）最危险截点：为正应力最大点 可根据叠加原理分析得出，如下图所示
最大正应力为：
§9-2 斜弯曲 9.2.4中性轴分析
上例中，斜弯曲截面应力分布如图所示
根据中性轴处正应力为零，令（9.3）式等于零便可 得中性轴方程： M y z M z y P x( z sin y cos ) 0
sin cos z y 0 （9.4）中性轴方程 Iy Iz
Mzy （M z ) Iz
（M y )
Myz Iy
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
（3）应力分析：一点总应力
以截面上第一限点（y，z）为例
压应力
Mzy （M z ) Iz
拉应力
（M y )
Myz Iy
利用叠加原理，该点总应力为：
Myz Iy
Mz y z sin y cos P x( ) （9.3） Iz Iy Iz
3.应力分析
画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形 下的应力叠加,建立危险点的强度条件
§9-2 斜弯曲
9.2.1斜弯曲变形工程实例
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
檩条受到的荷载作用在铅垂作用面内，然而， 檩条弯曲变形后的轴线并不在铅垂作用面内。因此， 檩条发生斜弯曲变形。
§9-2 斜弯曲
9.2.2斜弯曲变形的前提条件
z0
F
y
z1
350
F
z
150 50 150 50
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
z0
F F
y
z1
350
z
150 50 150 50
解：（1）确定形心位置
A=1510-3 m2 z0 =7.5 cm Iy = 5310 cm4
计算截面对中性轴 y 的惯性矩
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
z0
P
将P沿两主轴分解:
Py P cos 60 cos 5 59.77kN
Pz P sin 60 sin 5 5.23kN
§9-2 斜弯曲 例题9.1
已知：l＝4m， []=160MPa， =5°，P=60kN 求：校核梁的强度。 解： 2. 内力分析，危险截面： 32a工字钢
FN ' A
M '' y Iz
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
9.3.3最大正应力和强度条件 F ' Fy
+
''
=
Fx
(a)
(b)
(c)
(d)
（1）危险截面：轴力各截面相等，弯矩固定端最大。 综合可知，固定端最危险。 （2）危险点：如图（d）可知，最危险点在固定端的 最下边缘。
Fy
F
Fx
(a)
以图（a）所示的受力杆件为例，说明拉（压）与 弯曲组合时的正应力及其强度计算。 （1）荷载分析：荷载F可以分为两个方向，轴向Fx 和横向Fy （2）内力分析：轴力由水平分力Fx 决定；弯矩由 横向分力Fy 决定。