组合变形
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90 也就是
这表明：斜弯曲时，中性轴与加载方向不垂直，这是 斜弯曲与平面弯曲的重要区别之一。
§9-2 斜弯曲 9.2.5最大正应力和强度条件
以上一悬臂梁为例，如右图所示
（1）最危险截面：为固定端截面 （2）最危险截点：为正应力最大点 可根据叠加原理分析得出，如下图所示
最大正应力为：
Fy
F
Fx
(a)
以图（a）所示的受力杆件为例，说明拉（压）与 弯曲组合时的正应力及其强度计算。 （1）荷载分析：荷载F可以分为两个方向，轴向Fx 和横向Fy （2）内力分析：轴力由水平分力Fx 决定；弯矩由 横向分力Fy 决定。
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
9.3.2内力与应力计算 F
Fy
z0
F
y
z1
350
F
z
150 50 150 50
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
z0
F F
y
z1
350
z
150 50 150 50
解：（1）确定形心位置
A=1510-3 m2 z0 =7.5 cm Iy = 5310 cm4
计算截面对中性轴 y 的惯性矩
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
z0
FN ' A
M '' y Iz
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
9.3.3最大正应力和强度条件 F ' Fy
+
''
=
Fx
(a)
(b)
(c)
(d)
（1）危险截面：轴力各截面相等，弯矩固定端最大。 综合可知，固定端最危险。 （2）危险点：如图（d）可知，最危险点在固定端的 最下边缘。
Iy
Iz
Iy
Iz
上式为没有截距的直线方程，可见此时中性轴通过截 面形心。如图所示。
§9-2 斜弯曲 9.2.4中性轴分析
sin cos z y0 设中性轴与y轴的夹角为 ，则由 Iy Iz
z Iy 得 tan cot y Iz
工程中，一般 I y I z
说明， tan cot
A D F 1.2m
30° 1.2m
B
FRAy FNAB
FRAx A F D
30°
Fy
B
c max
0.866 F 0.6 F 94.37MPa [ ] A Wz 满足强度要求。
Fx
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
例题9.3 小型压力机的铸铁框架如图所示.已知材料的 许用拉应力 [t] =30MPa ,许用压应力 [c] =160MPa.试 按立柱的强度确定压力机的许可压力F.
§9-1 组合变形和叠加原理 说明:小变形前提
图示纵横弯曲问题,横截面上 内力为 FN P
M x ql q x x 2 Pv x 2 2
当变形较大时,弯矩中与 挠度有关的附加弯矩不能略 去.虽然梁是线弹性的,弯矩、 挠度与P的关系却是非线性的 因而不能用叠加法.除非梁的 刚度较大,挠度很小,轴力引起 的附加弯矩可以略去.
F F
y
z1
350 n n 150
z 50 50 150
F
n
FN My
n
（2） 分析立柱横截面上的内力和应力 在 n-n 截面上有轴力 FN及弯矩 My
§9-1 组合变形和叠加原理 9.1.4处理组合变形的基本方法
1.外力分析 将外力进行简化分解, 把构件上的外力转化为几个静力 等效载荷，使之每个载荷对应一种基本变形，即将组合 变形分解为基本变形。 2.内力分析 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截 面.分别计算在每一种基本变形下构件的应力
一是载荷作用在一个平面内，但载荷作用面与 梁的纵向对称面不重合（图a）；
二是载荷都作用在对称面内，但不在同一纵向 对称面内（图b）。
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
考察图示矩形截面梁，对其进行分析计算：
（1）外力分析：荷载分解
Py Pco s Pz Psin
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
Mzy （M z ) Iz
（M y )
Myz Iy
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
（3）应力分析：一点总应力
以截面上第一限点（y，z）为例
wk.baidu.com
压应力
Mzy （M z ) Iz
拉应力
（M y )
Myz Iy
利用叠加原理，该点总应力为：
Myz Iy
Mz y z sin y cos P x( ) （9.3） Iz Iy Iz
（2）内力分析：距自由端为x的任意截面A上引起 的弯矩分别为：
M y Pz x Px sin M z Py x Px cos
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
（3）应力分析：对应的应力分布，如图所示。
于是，A截面上任意点处正应力由平面弯曲正应力公 式计算。得：
My Mz max ( ) （9.5） Wy Wz max
强度条件为：
max （9.7）
§9-2 斜弯曲 例题9.1
工字钢简支梁
l 2 l 2
32a工字钢
P
已知：l＝4m， []=160MPa，=5°，P=60kN 求：校核梁的强度。 解： 1. 外力分析：
9.1.2组合变形工程实例
F F
马达卷扬机 弯扭组合变形
M FR
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生 弯曲 + 扭转
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
屋架传来的压力
吊车传来的压力
自重 风 力
牛腿柱
压弯组合变形
§9-1 组合变形和叠加原理
FN M max 最大正应力： max A W z FN M max （9.9） 强度条件： max A Wz
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载 F= 34kN,横梁材料的许用应力为[]=125MPa.校核横梁 AB的强度. C
－ FN图
A D F 1.2m
30° 1.2m
B
+
M图
FRAy
Fy FNAB
30°
中间截面为危险截面. 最大正应力发生 在该截面的上下边缘，上压下拉。
FRAx
A F D
B
Fx
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载 F= 34kN,横梁材料的许用应力为[]=125MPa.校核横梁 AB的强度. C
已知：l＝4m， []=160MPa， =5°，P=60kN 求：校核梁的强度。
M z max 59.77kNm M y max 7.76kNm 解： 3. 应力分析，危险点：
单位：mm3 D1 =5° P
危险点在D2，D1处，塑性材料，只计算一处即可
max
M z max M y max 59.77 106 5.23 106 160.3MPa 3 3 Wz Wy 692.2 10 70.8 10
第九章 组合变形
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 组合变形和叠加原理 斜弯曲 拉伸或压缩与弯曲的组合 弯曲和扭转的组合 偏心压缩和截面核心
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.1四种基本变形： 轴向拉伸与压缩 Axial tension/compression 剪切 Shear 扭转 Torsion 弯曲 Bending 此外，还有组合变形Combined Deformation
Py 29kN Pz 7.76kN
P
简支梁，当小车至梁中点时，Mmax。 ∴危险截面是梁跨度中点处的截面。 Py l M z max 59.77kNm 4 Pz l M y max 5.23kNm 4
§9-2 斜弯曲 例题9.1
D2
32a工字钢
Wz 692.2 10 3 , W y 70.8 10 3
9.1.3叠加原理
构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的 独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内力、 应力、应变和位移等是各个单独载荷作用下的值的 叠加
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从胡 克定律; 2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进 行分解与叠加计算,且能保证与加载次序无关.
Fy
B
AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形
Fx
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载 F= 34kN,横梁材料的许用应力为[]=125MPa.校核横梁 AB的强度. C
（2）内力分析，确定危险截面
§9-2 斜弯曲 9.2.4中性轴分析
上例中，斜弯曲截面应力分布如图所示
根据中性轴处正应力为零，令（9.3）式等于零便可 得中性轴方程： M y z M z y P x( z sin y cos ) 0
sin cos z y 0 （9.4）中性轴方程 Iy Iz
3.应力分析
画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形 下的应力叠加,建立危险点的强度条件
§9-2 斜弯曲
9.2.1斜弯曲变形工程实例
檩条受到的荷载作用在铅垂作用面内，然而， 檩条弯曲变形后的轴线并不在铅垂作用面内。因此， 檩条发生斜弯曲变形。
§9-2 斜弯曲
9.2.2斜弯曲变形的前提条件
'
+
''
=
Fx
(a)
(b)
(c)
(d)
（3）应力分析：应用叠加原理 轴力 单独作用时，横截面上的正应力σ’如图（b） 横向力 作用下梁发生平面弯曲，正应力σ’’如图（c）
加号代表代数和， 使用时注意拉应 FN M ' ' ' y （9.8） 力取正，压应力 总应力： A Iz 取负
解：（1） 荷载分析：分析AB的受力情况
M 0 F sin 30 2.4 1.2F 0 A NAB
Fx 0 Fy 0
FNAB F
FRAx 0.866F FRAy 0.5 F
FRAx
A D F 1.2m
30° 1.2m
B
FRAy FNAB
A F D
30°
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
F M F
这类由两种或两种以上基 本变形组合而成的变形， 称为组合变形。
拉弯组合变形
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
本章介绍几种常见的组合 变形，分别是：斜弯曲、 拉弯或压弯组合、弯扭组 合、偏心压缩。
压弯组合变形
§9-1 组合变形和叠加原理
P
将P沿两主轴分解:
Py P cos 60 cos 5 59.77kN
Pz P sin 60 sin 5 5.23kN
§9-2 斜弯曲 例题9.1
已知：l＝4m， []=160MPa， =5°，P=60kN 求：校核梁的强度。 解： 2. 内力分析，危险截面： 32a工字钢
（3） 压缩正应力 FRAx 0.866 F A A （4） 最大弯曲正应力 1.2 FR Ay 0.6 F max Wz Wz （5）危险点的应力
A D F 1.2m
30° 1.2m
B
FRAy FNAB
FRAx A F D
30°
Fy
B
c max
0.866 F 0.6 F 94.37MPa [ ] A Wz 满足强度要求。
由于σmax仅比[]大0.19%，故可认为安全。
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
9.3.1变形举例
F
(a)
当杆件上同时作用有轴向外力和横向外力，如图所 示，则杆件的变形为轴向拉伸（或压缩）与弯曲的 组合变形。 横向力引起的剪切变形忽略不计。
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
9.3.2内力与应力计算
Fx
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载 F= 34kN,横梁材料的许用应力为[]=125MPa.校核横梁 AB的强度. C
（3） 压缩正应力 FRAx 0.866 F A A （4） 最大弯曲正应力 1.2 FR Ay 0.6 F max Wz Wz （5）危险点的应力
这表明：斜弯曲时，中性轴与加载方向不垂直，这是 斜弯曲与平面弯曲的重要区别之一。
§9-2 斜弯曲 9.2.5最大正应力和强度条件
以上一悬臂梁为例，如右图所示
（1）最危险截面：为固定端截面 （2）最危险截点：为正应力最大点 可根据叠加原理分析得出，如下图所示
最大正应力为：
Fy
F
Fx
(a)
以图（a）所示的受力杆件为例，说明拉（压）与 弯曲组合时的正应力及其强度计算。 （1）荷载分析：荷载F可以分为两个方向，轴向Fx 和横向Fy （2）内力分析：轴力由水平分力Fx 决定；弯矩由 横向分力Fy 决定。
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
9.3.2内力与应力计算 F
Fy
z0
F
y
z1
350
F
z
150 50 150 50
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
z0
F F
y
z1
350
z
150 50 150 50
解：（1）确定形心位置
A=1510-3 m2 z0 =7.5 cm Iy = 5310 cm4
计算截面对中性轴 y 的惯性矩
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
z0
FN ' A
M '' y Iz
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
9.3.3最大正应力和强度条件 F ' Fy
+
''
=
Fx
(a)
(b)
(c)
(d)
（1）危险截面：轴力各截面相等，弯矩固定端最大。 综合可知，固定端最危险。 （2）危险点：如图（d）可知，最危险点在固定端的 最下边缘。
Iy
Iz
Iy
Iz
上式为没有截距的直线方程，可见此时中性轴通过截 面形心。如图所示。
§9-2 斜弯曲 9.2.4中性轴分析
sin cos z y0 设中性轴与y轴的夹角为 ，则由 Iy Iz
z Iy 得 tan cot y Iz
工程中，一般 I y I z
说明， tan cot
A D F 1.2m
30° 1.2m
B
FRAy FNAB
FRAx A F D
30°
Fy
B
c max
0.866 F 0.6 F 94.37MPa [ ] A Wz 满足强度要求。
Fx
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
例题9.3 小型压力机的铸铁框架如图所示.已知材料的 许用拉应力 [t] =30MPa ,许用压应力 [c] =160MPa.试 按立柱的强度确定压力机的许可压力F.
§9-1 组合变形和叠加原理 说明:小变形前提
图示纵横弯曲问题,横截面上 内力为 FN P
M x ql q x x 2 Pv x 2 2
当变形较大时,弯矩中与 挠度有关的附加弯矩不能略 去.虽然梁是线弹性的,弯矩、 挠度与P的关系却是非线性的 因而不能用叠加法.除非梁的 刚度较大,挠度很小,轴力引起 的附加弯矩可以略去.
F F
y
z1
350 n n 150
z 50 50 150
F
n
FN My
n
（2） 分析立柱横截面上的内力和应力 在 n-n 截面上有轴力 FN及弯矩 My
§9-1 组合变形和叠加原理 9.1.4处理组合变形的基本方法
1.外力分析 将外力进行简化分解, 把构件上的外力转化为几个静力 等效载荷，使之每个载荷对应一种基本变形，即将组合 变形分解为基本变形。 2.内力分析 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截 面.分别计算在每一种基本变形下构件的应力
一是载荷作用在一个平面内，但载荷作用面与 梁的纵向对称面不重合（图a）；
二是载荷都作用在对称面内，但不在同一纵向 对称面内（图b）。
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
考察图示矩形截面梁，对其进行分析计算：
（1）外力分析：荷载分解
Py Pco s Pz Psin
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
Mzy （M z ) Iz
（M y )
Myz Iy
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
（3）应力分析：一点总应力
以截面上第一限点（y，z）为例
wk.baidu.com
压应力
Mzy （M z ) Iz
拉应力
（M y )
Myz Iy
利用叠加原理，该点总应力为：
Myz Iy
Mz y z sin y cos P x( ) （9.3） Iz Iy Iz
（2）内力分析：距自由端为x的任意截面A上引起 的弯矩分别为：
M y Pz x Px sin M z Py x Px cos
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
（3）应力分析：对应的应力分布，如图所示。
于是，A截面上任意点处正应力由平面弯曲正应力公 式计算。得：
My Mz max ( ) （9.5） Wy Wz max
强度条件为：
max （9.7）
§9-2 斜弯曲 例题9.1
工字钢简支梁
l 2 l 2
32a工字钢
P
已知：l＝4m， []=160MPa，=5°，P=60kN 求：校核梁的强度。 解： 1. 外力分析：
9.1.2组合变形工程实例
F F
马达卷扬机 弯扭组合变形
M FR
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生 弯曲 + 扭转
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
屋架传来的压力
吊车传来的压力
自重 风 力
牛腿柱
压弯组合变形
§9-1 组合变形和叠加原理
FN M max 最大正应力： max A W z FN M max （9.9） 强度条件： max A Wz
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载 F= 34kN,横梁材料的许用应力为[]=125MPa.校核横梁 AB的强度. C
－ FN图
A D F 1.2m
30° 1.2m
B
+
M图
FRAy
Fy FNAB
30°
中间截面为危险截面. 最大正应力发生 在该截面的上下边缘，上压下拉。
FRAx
A F D
B
Fx
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载 F= 34kN,横梁材料的许用应力为[]=125MPa.校核横梁 AB的强度. C
已知：l＝4m， []=160MPa， =5°，P=60kN 求：校核梁的强度。
M z max 59.77kNm M y max 7.76kNm 解： 3. 应力分析，危险点：
单位：mm3 D1 =5° P
危险点在D2，D1处，塑性材料，只计算一处即可
max
M z max M y max 59.77 106 5.23 106 160.3MPa 3 3 Wz Wy 692.2 10 70.8 10
第九章 组合变形
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 组合变形和叠加原理 斜弯曲 拉伸或压缩与弯曲的组合 弯曲和扭转的组合 偏心压缩和截面核心
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.1四种基本变形： 轴向拉伸与压缩 Axial tension/compression 剪切 Shear 扭转 Torsion 弯曲 Bending 此外，还有组合变形Combined Deformation
Py 29kN Pz 7.76kN
P
简支梁，当小车至梁中点时，Mmax。 ∴危险截面是梁跨度中点处的截面。 Py l M z max 59.77kNm 4 Pz l M y max 5.23kNm 4
§9-2 斜弯曲 例题9.1
D2
32a工字钢
Wz 692.2 10 3 , W y 70.8 10 3
9.1.3叠加原理
构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的 独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内力、 应力、应变和位移等是各个单独载荷作用下的值的 叠加
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从胡 克定律; 2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进 行分解与叠加计算,且能保证与加载次序无关.
Fy
B
AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形
Fx
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载 F= 34kN,横梁材料的许用应力为[]=125MPa.校核横梁 AB的强度. C
（2）内力分析，确定危险截面
§9-2 斜弯曲 9.2.4中性轴分析
上例中，斜弯曲截面应力分布如图所示
根据中性轴处正应力为零，令（9.3）式等于零便可 得中性轴方程： M y z M z y P x( z sin y cos ) 0
sin cos z y 0 （9.4）中性轴方程 Iy Iz
3.应力分析
画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形 下的应力叠加,建立危险点的强度条件
§9-2 斜弯曲
9.2.1斜弯曲变形工程实例
檩条受到的荷载作用在铅垂作用面内，然而， 檩条弯曲变形后的轴线并不在铅垂作用面内。因此， 檩条发生斜弯曲变形。
§9-2 斜弯曲
9.2.2斜弯曲变形的前提条件
'
+
''
=
Fx
(a)
(b)
(c)
(d)
（3）应力分析：应用叠加原理 轴力 单独作用时，横截面上的正应力σ’如图（b） 横向力 作用下梁发生平面弯曲，正应力σ’’如图（c）
加号代表代数和， 使用时注意拉应 FN M ' ' ' y （9.8） 力取正，压应力 总应力： A Iz 取负
解：（1） 荷载分析：分析AB的受力情况
M 0 F sin 30 2.4 1.2F 0 A NAB
Fx 0 Fy 0
FNAB F
FRAx 0.866F FRAy 0.5 F
FRAx
A D F 1.2m
30° 1.2m
B
FRAy FNAB
A F D
30°
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
F M F
这类由两种或两种以上基 本变形组合而成的变形， 称为组合变形。
拉弯组合变形
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.2组合变形工程实例
本章介绍几种常见的组合 变形，分别是：斜弯曲、 拉弯或压弯组合、弯扭组 合、偏心压缩。
压弯组合变形
§9-1 组合变形和叠加原理
P
将P沿两主轴分解:
Py P cos 60 cos 5 59.77kN
Pz P sin 60 sin 5 5.23kN
§9-2 斜弯曲 例题9.1
已知：l＝4m， []=160MPa， =5°，P=60kN 求：校核梁的强度。 解： 2. 内力分析，危险截面： 32a工字钢
（3） 压缩正应力 FRAx 0.866 F A A （4） 最大弯曲正应力 1.2 FR Ay 0.6 F max Wz Wz （5）危险点的应力
A D F 1.2m
30° 1.2m
B
FRAy FNAB
FRAx A F D
30°
Fy
B
c max
0.866 F 0.6 F 94.37MPa [ ] A Wz 满足强度要求。
由于σmax仅比[]大0.19%，故可认为安全。
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
9.3.1变形举例
F
(a)
当杆件上同时作用有轴向外力和横向外力，如图所 示，则杆件的变形为轴向拉伸（或压缩）与弯曲的 组合变形。 横向力引起的剪切变形忽略不计。
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
9.3.2内力与应力计算
Fx
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
例题9.2 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载 F= 34kN,横梁材料的许用应力为[]=125MPa.校核横梁 AB的强度. C
（3） 压缩正应力 FRAx 0.866 F A A （4） 最大弯曲正应力 1.2 FR Ay 0.6 F max Wz Wz （5）危险点的应力