高三数学试题(应届理科)
高三理科数学试题及答案
高三理科数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数y=\(\frac{1}{x}\)的图象在第一象限内是（）A. 递增函数B. 递减函数C. 先递增后递减D. 先递减后递增2. 已知向量\(\vec{a}=(3,-2)\)，\(\vec{b}=(2,3)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值为（）A. -5B. 5C. 13D. -133. 已知双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>0，b>0，若该双曲线的渐近线方程为y=±\(\frac{b}{a}\)x，则该双曲线的离心率为（）A. \(\sqrt{2}\)B. \(\sqrt{3}\)C. \(\sqrt{5}\)D. 24. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，若f(x)在区间(1,2)内有零点，则零点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知等比数列{an}的前n项和为S_n，若S_3=7，S_6=28，则S_9的值为（）A. 63B. 77C. 84D. 1266. 已知直线l的方程为y=kx+b，若直线l过点(1,2)且与直线y=-2x 平行，则直线l的方程为（）A. y=-2x+4B. y=-2x+3C. y=2x-1D. y=2x+17. 已知函数f(x)=\(\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)，若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则该函数的值域为（）A. (0,+∞)B. (-∞,+∞)C. [0,+∞)D. R8. 已知抛物线C的方程为y^2=4x，若直线l与抛物线C相切，则直线l的斜率的取值范围为（）A. (-∞,0]B. (0,+∞)C. [0,+∞)D. R9. 已知椭圆E的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>b>0，若椭圆E的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，则椭圆E 的短轴长为（）A. \(\sqrt{2}\)B. 1C. 2D. \(\sqrt{3}\)10. 已知函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为\(\frac{7}{12}\)，则f(x)在区间[2,3]上的平均值为（）A. \(\frac{7}{20}\)B. \(\frac{7}{15}\)C. \(\frac{7}{12}\)D. \(\frac{7}{10}\)二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为\(\frac{7}{12}\)，则f(x)在区间[2,3]上的平均值为\(\frac{7}{20}\)。
高三数学试卷理科及答案
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是（）。
A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 02. 下列函数中，是奇函数的是（）。
A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^2 + 13. 在等差数列{an}中，若a1 = 2，d = 3，则第10项an的值为（）。
A. 27B. 28C. 29D. 304. 若等比数列{bn}中，b1 = 2，b3 = 8，则公比q的值为（）。
A. 2B. 4C. 8D. 165. 下列命题中，正确的是（）。
A. 函数y = log2(x + 1)的图像在y轴上无定义B. 函数y = e^x的图像在第一象限内单调递减C. 函数y = sin(x)的周期为πD. 函数y = tan(x)的图像在y轴上无定义6. 已知直线l的方程为2x - y + 3 = 0，点P(1, 2)到直线l的距离为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 47. 在直角坐标系中，点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)构成三角形ABC，则三角形ABC的面积S为（）。
A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(2) = 4，则f(3)的值为（）。
A. 6B. 8C. 10D. 129. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，则前n项和Sn的表达式为（）。
A. Sn = n^2 + 2nB. Sn = n^2 + 3nC. Sn = n^2 + 4nD. Sn = n^2 + 5n10. 已知等比数列{bn}中，b1 = 3，b3 = 27，则前n项和Tn的表达式为（）。
A. Tn = 3^nB. Tn = 3^(n+1)C. Tn = 3^(n-1)D. Tn = 3^(n-2)二、填空题（每小题5分，共25分）11. 若函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，则a的取值范围是__________。
河南省2023届高三上学期第一次考试数学理科试题(解析版)
“顶尖计划”2023届高中毕业班第一次考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}223,N ,18400A x x n nB x x x ==+∈=--<∣∣，则A B 中的元素个数为（）A.8B.9C.10D.11【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合B ，再根据已知列出不等式，求解判断作答.【详解】解不等式218400x x --<得：220x -<<，即{|220}B x x =-<<，而{}23,N A x x n n ==+∈∣，由22320n -<+<解得：51722n -<<，又N n ∈，显然满足51722n -<<的自然数有9个，所以A B 中的元素个数为9.故选：B 2.已知复数33i2i z =+，则z =（）A.1B.35C.355D.3【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】因为()()()33i 2i 3i 3i 36i 2i 2i 2i 2i 55z +====-++--+，因此，5z ==.故选：C.3.已知非零向量a 、b满足a b =r r ，且()2a b b +⊥ ，则,a b <>= （）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】由已知可得出()20a b b +⋅= ，利用平面向量数量积的运算性质求出cos ,a b <> 的值，结合平面向量夹角的取值范围可求得结果.【详解】因为()2a b b +⊥ ，则()222cos ,0a b b a b a b b +⋅=⋅<>+= ，a b = ，可得1cos ,2a b <>=- ，因为0,πa b ≤<>≤ ，因此，2π,3a b <>= .故选：C.4.某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为34，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为（）A.2732B.916C.2764D.932【答案】A 【解析】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率加法公式即可求解.【详解】解：因为每次命中目标的概率均为34，且每次命中与否相互独立，所以连续射击3次，至少命中两次的概率322333327C 144432P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A.5.已知函数()2sin 3cos f x x x =+在x ϕ=处取得最大值，则cos ϕ=（）A.13 B.13C.13-D.31313-【答案】A 【解析】【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.【详解】()()2sin 3cos f x x x x θ=+=+，其中θ为锐角，sin 13θ=.因为当x ϕ=处取得最大值，所以22πϕθπ+=+k ，k Z ∈，即22πϕθπ=-+k ，k Z ∈，所以313cos cos 2sin 213πϕθπθ⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭k .故选：A6.已知定义域为R 的偶函数()f x 满足()(4)0f x f x +-=，且当[2,2)x ∈-时，2()4f x x =-，则(2021)f =（）A.3-B.1- C.1D.3【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，探讨出函数()f x 的周期，再结合已知函数式求解作答.【详解】因R 上的偶函数()f x 满足()(4)0f x f x +-=，即有()()()4f x f x f x -=-=--，则(8)(4)()f x f x f x -=--=-，因此，函数()f x 是周期为8的周期函数，2(2021)(25285)(5)(1)[(1)4]3f f f f =⨯+==--=---=.故选：D7.我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（dăo ），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的外接球的表面积约为（）（注:1丈=10尺，π取3）A.1185平方尺B.1131平方尺C.674平方尺D.337平方尺【答案】B 【解析】【分析】根据题意作图，再由底面周长求得底面半径，连接上下底面圆心，取中点为外接圆的圆心，根据勾股定理，可得外接圆半径，可得答案.【详解】由1丈=10尺，则4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下图：则11,2·48BC AB π==，即8AB =，假设点D 为圆柱外接圆的圆心，即AD 为外接圆的半径，且112BD DC ==，在Rt ABD △中，222AB BD AD +=，解得294.25AD =，则外接球的表面积241131S AD π=⋅=，故选：B.8.甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去,,A B C 三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）A.28种B.32种C.36种D.42种【答案】C 【解析】【分析】先将甲、乙看成一个元素，然后先分组后排列可得.【详解】将甲、乙看成一个元素A ，然后将A 、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有21142122C C C 6A =种，再将3组分到3个不同小区有33A =6种，所以满足条件的安排方法共有66=36⨯种.故选：C9.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(,4)m -，其中0m <，若7cos 225α=-，则πtan 2m α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.2B.12-C.43-D.34-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数定义求出tan α，再利用二倍角的余弦公式结合齐次式法求解作答.【详解】依题意，4tan 0mα=->，又22222222cos sin 1tan 7cos 2cos sin cos sin 1tan 25ααααααααα--=-===-++，解得4tan 3α=，从而得3m =-，所以3πsin()π3πcos 132tan(tan()3π22sin tan 4cos(2m ααααααα-+=-===-=---.故选：D10.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且斜率为1-的直线交C 于A 、B （其中A 在x轴上方）两点，交C 的准线于点M ，且16AB =，O 为坐标原点，则OM =（）A.2B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式求出p 的值，可求得点M 的坐标，再利用平面间两点间的距离公式可求得OM 的值.【详解】抛物线C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，直线AB 的方程为2⎛⎫=--⎪⎝⎭p y x ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立222p y x y px⎧⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得22304p x px -+=，2290p p ∆=->，由韦达定理可得123x x p +=，则12416x x p A p B =++==，可得4p =，联立22p x p y x ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩可得2p x y p ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即点()2,4M -，因此，OM ==.故选：D.11.已知32()2(2)3f x x a x x =+--是奇函数，则过点(1,2)P -向曲线()y f x =可作的切线条数是（）A.1B.2C.3D.不确定【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出a ，再求出函数()f x 的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答.【详解】因函数()f x 是奇函数，则由()()0f x f x -+=得()2220a x -=恒成立，则2a =，即有3()23f x x x =-，2()63'=-f x x ，设过点(1,2)P -向曲线()y f x =所作切线与曲线()y f x =相切的切点为3000(,23)Q x x x -，而点(1,2)P -不在曲线()y f x =上，则320000232631x x x x ---=+，整理得32004610x x +-=，即2000(21)(221)0x x x ++-=，解得012x =-或0132x -±=，即符合条件的切点有3个，所以过点(1,2)P -向曲线()y f x =可作的切线条数是3.故选：C12.设双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为点12(,0),(,0)F c F c -，过点(2,0)P c -且斜率为12的直线与双曲线的左、右两支分别交于,M N 两点，若||3||PN PM =，且直线2F N 的斜率为3，则Γ的离心率为（）A.132B.2C.2D.2【答案】B 【解析】【分析】通过题意可以得到直线PN 和直线2NF 的方程，两条方程联立可以得到N 的坐标，代入双曲线即可求出答案【详解】解：由题意可得直线PN 的方程为()122y x c =+，直线2NF 的方程为()3y x c =-，所以()()1223y x c y x c ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得8595c x cy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即89,55c c N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将89,55c c N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线可得2222648112525c c a b-=即()22222648112525c c a c a -=-，所以2264811125251e e -=⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为1,e >所以e =故选：B二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2()log (1)f x x a =-+在区间(2,3)上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为_____.【答案】(1,0)-【解析】【分析】结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解【详解】解：由对数函数的性质，可得()f x 为单调递增函数，且函数()f x 在(2,3)上有且仅有一个零点，所以()()230f f ⋅<，即(1)0a a ⋅+<，解得10a -<<，所以实数a 的取值范围是(1,0)-，故答案为：(1,0)-14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数:()f x =_____.①()()()1212f x x f x f x =+;②当,()0x ∈+∞时，()f x 单调递减;③()f x 为偶函数.【答案】12log x （不唯一）【解析】【分析】根据对数函数性质即可做出判断.【详解】性质①显然是和对数有关，性质②只需令对数的底01a <<即可，性质③只需将自变量x 加绝对值即变成偶函数.故答案为：12log x （不唯一）15.已知平面上的动点P 到点(0,0)O 和(2,0)A 的距离之比为32，则点P 到x 轴的距离最大值为_____.【答案】【解析】【分析】设(,)P x y ，然后根据题意列方程化简可得点P 的轨迹是以(6,0)-为圆心，为半径的圆，从而可求得答案.【详解】设(,)P x y ，因为动点P 到点(0,0)O 和(2,0)A 的距离之比为32，2=，22223(2)4x y x y +=-+，2222443(44)3x y x x y +=-++，221212x y x ++=22(6)48x y ++=，所以点P 的轨迹是以(6,0)-为圆心，所以点P 到x 轴的距离最大值为故答案为：16.微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中P 处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在,A B 处观察该无人机（两人的身高忽略不计），C 为无人机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距100m ，甲观察无人机的仰角为45︒，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度PC ，则这两个角可以是_____.（写出所有符合要求的编号）①BAC ∠和ABC ∠；②BAC ∠和PAB ∠;③PAB ∠和PBA ∠；④PAB ∠和ABC ∠.【答案】①③④【解析】【分析】①：根据已知先解ABC 得AC ，然后可得；②：根据已知直接判断可知；③：先解PAB △得PA ，然后可得；④：先由最小角定理的BAC ∠，解ABC 可得AC ，然后可得.【详解】①：当已知BAC ∠和ABC ∠时，在ABC 利用内角和定理和正弦定理可得AC ，然后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故①正确；②：当已知BAC ∠和PAB ∠时，在ABC 已知一角一边，在PAB △中已知一角一边，显然无法求解，故②错误；③：当已知PAB ∠和PBA ∠时，在PAB △中已知两角一边，可解出PA ，然后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故③正确；④：当已知PAB ∠和ABC ∠时，可先由最小角定理求得BAC ∠，然后解ABC 可得AC ，最后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故④正确.故答案为：①③④三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知251,15a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若23log 2n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）23n a n =-（2）1(25)210n n T n +=-⨯+【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组直接求解可得；（2）由错位相减法可得.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，由题设可得111,51015a d a d +=⎧⎨+=⎩解得112,a d =-⎧⎨=⎩所以1(1)223n a n n =-+-⨯=-.【小问2详解】由（1）知2log 23n b n n =-，所以223nn bn =-可得(23)2nn b n =-⨯，所以231121232(25)2(23)2n n n T n n -=-⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①23412121232(25)2(23)2n n n T n n +=-⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②②减①可得:341112222(23)2n n n T n ++=⨯----+-⨯ 118(12)(23)2212n n n -+⨯-=-⨯+--1(25)210n n +=-⨯+18.某工厂共有甲、乙两个车间，为了比较两个车间的生产水平，分别从两个车间生产的同一种零件中各随机抽取了100件，它们的质量指标值m 统计如下:质量指标值m [)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[]80,100甲车间（件）152025319乙车间（件）510153931（1）估计该工厂生产这种零件的质量指标值m 的平均数;（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表（表中数据单位:件），并判断是否有99%的把握认为甲、乙两个车间的生产水平有差异.60m <60m ≥合计甲车间乙车间合计附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()2P K k≥0.050.010.001k3.8416.63510.828【答案】（1）58；（2）列联表见解析，有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.【解析】【分析】（1）根据给定的数表，求出各组数据的频率，再列式计算作答.（2）完善22⨯列联表，计算2K 的观测值，再与临界值比对作答.【小问1详解】由所给数据，各组的频率分别为0.1，0.15，0.2，0.35，0.2，所以该工厂生产这种零件的质量指标值m 的平均数的估计值为：100.1300.15500.2700.35900.258⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】22⨯列联表如下：60m <60m ≥合计甲车间6040100乙车间3070100合计90110200所以22200(60704030)18.18210010090110K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为18.182大于6.635，所以有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,24,ACB AA AC BC M ︒∠====为棱1AA 上靠近1A 的三等分点，N 为棱AC 的中点，点P 在棱BC 上，且直线PN ∥平面1BMC .（1）求PC 的长;（2）求二面角1P BM C --的余弦值.【答案】（1）23PC =（2）22110【解析】【分析】(1)在1CC 上取一点Q ，使得CP CQ =，根据面面平行判定定理证明平面PQN平面1BMC ，再根据面面平行性质定理确定CQ 的长即可，(2)建立空间直角坐标系，求出平面PBM ，平面1BC M 的法向量，根据二面角向量公式求二面角1P BM C --的余弦值.【小问1详解】在1CC 上取一点Q ，使得CP CQ =，连接,PQ NQ .由已知得11CC AA CB ==，所以1CQ CPCC CB=所以1PQ BC ∥.因为PQ ⊄平面1BMC ，1BC ⊂平面1BMC ，所以PQ ∥平面1BMC .又因为PN ∥平面1,BMC PN PQ P ⋂=，,PN NQ ⊂平面PQN ，所以平面PQN 平面1BMC .平面11ACC A 平面PQN QN =，平面11ACC A 平面11BC M MC =，根据面面平行的性质可知1//MC QN .在矩形11ACC A 中，可得11CQN A MC ∽，所以11123A M CQ CN A C ==，所以2233PC CQ CN ===.【小问2详解】以C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则182(0,0,0),(0,0,4),(0,4,0),2,0,,0,,033C C B M P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.114(0,4,4),2,0,3C B C M ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，8102,4,,0,,033BM BP ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面1C MB 的法向量为()111,,m x y z =r，则110,0,C B m C M m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以1111440,420,3y z x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取13z =得()2,3,3.m = 设平面PMB 的法向量为()222,,n x y z =r ，则0,0,BM n BP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 所以22228240,3100,3x y z y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩取23z =-，得()4,0,3.n =- 所以22cos ,110m n m n m n ⨯++⨯-⋅===-⋅结合图可知二面角1PBM C --的余弦值为110.20.过椭圆22:143x y C +=上任意一点P 作直线:l y kx p=+（1）证明:2234p k + ;（2）若0,p O ≠为坐标原点，线段OP 的中点为M ，过M 作l 的平行线,l l ''与C 交于,A B 两点，求ABP △面积的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）32.【解析】【分析】（1）联立椭圆方程与直线方程，消元整理一元二次方程，由题意，该方程有解，则判别式大于等于零，可得答案.（2）设出题目中的两点，根据平行，设出另一条直线，根据中点，找出两直线的截距之间的关系，联立椭圆方程与直线方程，消元整理一元二次方程，写出韦达定理，根据三角形的等积变换，利用分割法，整理函数，根据（1），可得答案.【小问1详解】联立221,43,x y y kx p ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：()2223484120k x kpx p +++-=，因为点P 在C 上，所以()()2222644412340,k p p k ∆=--+ 化简得2234p k + .【小问2详解】设:l y kx m '=+，点()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭.由已知得00y kx p =+，所以00222y x p k =⋅+，即点00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭满足方程2p y kx =+，所以2p m =.由221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++.所以122.34x x k-==+∣所以121||2ABPABOSS m x x ==-==令2234m t k =+，因为2223444p k m += ，所以10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.所以32ABPS ==所以ABP △面积的最大值为32.21.设函数()()e xf x mx m m =--∈R .（1）讨论()f x 的单调性;（2）若()f x 有两个零点1x 和2x ，设1202x x x +=，证明：()00f x '>（()f x '为()f x 的导函数）.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分0m ≤、0m >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）由函数零点的定义可得出1212e 0e 0x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，可得出1212e e x x m x x -=-，将所证不等式等价变形为12212212eex x x x x x --->-，令1202x x t -=>，即证e e 2t t t -->，构造函数()e e 2t t g t t -=--，其中0t >，利用导数分析函数()g t 的单调性，即可证得结论成立.【小问1详解】解：因为()e x f x mx m =--，则()e xf x m '=-，若0m ≤，对任意的x ∈R ，则()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；若0m >，令()e 0xf x m '=-=，得ln x m =，当ln x m <时，()0f x '>，当ln x m >时，()0f x '<.所以()f x 的增区间为(),ln m -∞，减区间为()ln ,m +∞.综上所述，当0m ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当0m >时，函数()f x 的增区间为(),ln m -∞，减区间为()ln ,m +∞.【小问2详解】证明：不妨令12x x >，由题设可得1212e 0e 0x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，两式相减整理可得1212e e x x m x x -=-.所以()1212121222012e e ee 2x x x x x x x xf x f m x x ++''+-⎛⎫==-=- ⎪-⎝⎭，要证()00f x '>，即证1212212e e e 0x x x x x x +-->-，即证12212212eex x x x x x --->-，令1202x x t -=>，即证e e 2t t t -->，其中0t >，构造函数()e e 2ttg t t -=--，其中0t >，则()e e 220t t g t -'=+->=，所以，函数()g t 在()0,∞+上单调递增，所以，当0t >时，()()00g t g >=，即e e 2t t t -->，故原不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(cos sin )(,0),(cos sin )x m m y m ϕϕϕϕϕ=-⎧≠⎨=+⎩为参数以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 504πθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.（1）写出l 的直角坐标方程;（2）若l 与C 只有一个公共点，求m 的值.【答案】（1）50x y +-=（2）102=±m 【解析】【分析】(1)利用和差化积的正弦公式把直线l 的极坐标方程展开，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求解.(2)先得出曲线C 的普通方程，再联立方程，利用判别式等于0即可求解.【小问1详解】由l 的极坐标方程可得sin cos 50ρθρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可知，直角坐标方程为：50x y +-=.【小问2详解】由C 的参数方程可得2222x y m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 的普通方程为222480x y m +-=.联立方程22250480x y x y m +-=⎧⎨+-=⎩得：2254010080x x m -+-=，因为直线l 与曲线C 只有一个公共点，所以()222404510081604000m m∆=-⨯⨯-=-=，解得：2=±m .[选修4-5:不等式选讲]23.已知,,a b c 均为正实数，且1abc =.（1）求124a b c++的最小值;（2）证明:222++≥+++++bc ac ab b c a c a b.【答案】（1）6（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元基本不等式求解即可.（2）利用基本不等式证明即可得到答案.【小问1详解】由基本不等式可知1246++≥==a b c ，当且仅当124a b c ==，即1,1,22a b c ===时等号成立，所以124a b c++的最小值为6.【小问2详解】因为1abc =，所以111bc ac ab a b c++=++.11242+≥=≥=++a b a b a b .同理可得114b c b c+≥+，114a c a c+≥+所以4111442⎛⎫++≥++⎪+++⎝⎭a b c b c a c a b，当且仅当a b c==时等号成立.所以111222++≥+++++a b c b c a c a b，即222. ++≥+++++ bc ac abb c a c a b。
高三数学理科真题试卷答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 函数y=2^x在R上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 无单调性答案：A解析：指数函数y=2^x的底数大于1，因此其在R上单调递增。
2. 已知函数f(x)=x^2+2x-3，其图像的对称轴是（）A. x=-1B. x=1C. x=-3D. x=3答案：B解析：二次函数f(x)=x^2+2x-3的对称轴为x=-b/2a，即x=-2/2=-1。
3. 若向量a=(2,3)，向量b=(-3,4)，则向量a与向量b的数量积是（）A. 0B. -1C. 1D. 6答案：B解析：向量a与向量b的数量积为a·b=2(-3)+34=-6+12=6，故选B。
4. 已知等差数列{an}的公差d=3，且a1+a5=24，则a3=（）B. 12C. 15D. 18答案：A解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，由题意得a5=a1+4d，代入a1+a5=24得2a1+4d=24，解得a1=6，代入an=a1+(n-1)d得a3=6+23=9。
5. 下列不等式中，正确的是（）A. |x|<1B. |x|≤1C. |x|>1D. |x|≥1答案：B解析：绝对值不等式|x|≤1表示x的取值范围在-1到1之间，包括-1和1。
6. 已知函数f(x)=x^3-3x，其图像在x=0处的切线斜率为（）A. 0B. -3C. 3D. 6答案：B解析：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-3，代入x=0得f'(0)=-3。
7. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的实部是（）A. 0B. 1D. 2答案：A解析：复数z在复平面上的几何意义为点z到点1和点-1的距离相等，即点z位于点1和点-1的中垂线上，因此z的实部为0。
8. 已知函数f(x)=ln(x+1)，其定义域是（）A. (-1, +∞)B. [-1, +∞)C. (-∞, -1)D. (-∞, -1]答案：A解析：对数函数的定义域要求对数内的值大于0，因此x+1>0，解得x>-1。
高三数学期末考试试题(理科)
高三数学期末考试试题（理科)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求。
）1、设集合 ( ）A、 B、 C、 D、2、已知是数列的前项和，，则是（ )A、等差数列B、等比数列C、既是等差数列又是等比数列D、既不是等差数列又不是等比数列3、若函数的值域是，则函数的值域是（ )A、 B、 C、 D、4、函数的单调递增区间是( ）A、 B、 C、 D、5、是成立的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、非充分非必要条件6、若点的坐标为,为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，为使得取得最小值，则点的坐标( )A、 B、 C、 D、7、已知椭圆，过椭圆的右焦点作轴垂线交椭圆于两点，若以为直径的圆过坐标原点，则椭圆的离心率为（ )A、 B、 C、 D、8、在中，，则一定是（）A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形9、已知向量，若与的夹角为，则直线与圆的位置关系是（）A、相切B、相交C、相离D、随的值而定10、已知向量,曲线上一点到的距离为6，为中点，为坐标原点，则（）A、1B、2C、5D、1或511、若方程的两根分别为椭圆和双曲线的离心率，则的范围是（）A、 B、 C、 D、12、已知曲线点及点从点观察点要使视线不被曲线挡住，则实数的范围( ）A、 B、 C、 D、二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知为偶函数，且，则__________.14、各项不为零的等差数列中，有,数列是等比数列，且,则 __________.15、已知函数的定义域为R，且，，则__________.16、设函数，有下列结论：①点是函数图象的一个对称中心；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数的最小正周期是;④将函数的图象向右平移个单位后，对应的函数是偶函数.其中所有正确结论的序号是。
三、解答题：(解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、（本小题满分12分）已知函数，其中，，其中，若相邻两对称轴间的距离等于。
高三数学(理科)试题及答案
高三数学(理科)试题及答案高三数学(理科)试题及答案试题一：1. 解方程：(1) 解方程 $3x - 5 = 4x + 7$(2) 解方程 $2x^2 + 5x - 3 = 0$2. 已知函数 $f(x) = \frac{3}{x+1}$，求 $f(2) \cdot f(-2)$ 的值。
3. 已知 $\triangle ABC$，$AB = 3$，$BC = 4$，$AC = 5$。
求$\angle BAC$ 的大小。
4. 已知等差数列 $a_1 = 3$，$d = 4$。
求前10项的和 $S_{10}$。
5. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^2 - 2x - 3$。
求顶点坐标和焦点坐标。
答案：1.(1) 将 $4x + 7$ 移项得 $3x - 4x = 7 + 5$，化简得 $x = -12$。
(2) 使用因式分解法或配方法，将方程 $2x^2 + 5x - 3 = 0$ 化简为$(2x - 1)(x + 3) = 0$。
解得 $x = \frac{1}{2}$ 或 $x = -3$。
2. 代入函数 $f(x)$ 的定义，得到 $f(2) \cdot f(-2) = \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{1} = 3$。
3. 根据余弦定理，$AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot\cos(\angle BAC) = BC^2$。
代入已知条件，解得 $\cos(\angle BAC) = -\frac{7}{25}$。
因为 $\angle BAC$ 是锐角，所以 $\angle BAC =\arccos\left(-\frac{7}{25}\right)$。
4. 使用等差数列的求和公式 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中$S_{10}$ 是前10项的和，$n = 10$，$a_1 = 3$，$d = 4$。
高三数学试卷(理科)答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数$f(x) = 2^x - 1$，则$f(-1)$的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A2. 在三角形ABC中，$A=45^\circ$，$B=60^\circ$，$a=6$，则$cosC$的值为（）A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\frac{1}{2}$ D. $\frac{\sqrt{6}}{4}$答案：B3. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=3$，公差$d=2$，则第10项$a_{10}$的值为（）A. 17B. 18C. 19D. 20答案：A4. 函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$的对称中心为（）A. (1, -3)B. (1, 3)C. (-1, -3)D. (-1, 3)答案：A5. 已知向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (1, 2)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为（）A. 7B. 5C. 4D. 3答案：A6. 下列命题中，正确的是（）A. 函数$f(x) = \frac{1}{x}$在定义域内单调递增B. 向量$\vec{a}$与$\vec{b}$垂直的充分必要条件是$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$C. 二次函数$y = ax^2 + bx + c$的开口方向由系数$a$决定D. 等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$答案：D7. 已知函数$f(x) = \log_2(x+1)$，则$f^{-1}(2)$的值为（）A. 1B. 0C. -1D. 3答案：B8. 在等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，公比$q=3$，则第5项$a_5$的值为（）A. 54B. 27C. 18D. 9答案：A9. 已知直线$l: x - 2y + 1 = 0$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则圆心到直线$l$的距离为（）A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$B. $\sqrt{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ D. $\sqrt{3}$答案：B10. 函数$f(x) = e^x + e^{-x}$的极值点为（）A. $x=0$B. $x=\frac{\pi}{2}$C. $x=\pi$D. 无极值点答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
高三数学试卷理科答案解析
一、选择题1. 答案：D解析：本题考查函数的奇偶性。
根据函数的定义域关于原点对称，可得f(-x) = -f(x)，即函数为奇函数。
所以正确答案为D。
2. 答案：B解析：本题考查数列的通项公式。
由等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入a1 = 2，d = 3，得an = 2 + 3(n-1)。
当n = 10时，an = 2 + 3(10-1) = 29。
所以正确答案为B。
3. 答案：A解析：本题考查导数的应用。
由题意，f(x)在x = 1处的导数为0，则f'(1) = 0。
所以正确答案为A。
4. 答案：C解析：本题考查复数的运算。
将复数z = 1 + i写成极坐标形式，得z =√2(cos(π/4) + isin(π/4))。
所以正确答案为C。
5. 答案：B解析：本题考查二项式定理的应用。
根据二项式定理，(a + b)^n = Σ(nCk)a^(n-k)b^k，其中k = 0, 1, ..., n。
代入n = 4，a = x，b = 2，得(2x + 1)^4 =16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1。
所以正确答案为B。
二、填空题6. 答案：-1/2解析：本题考查三角函数的周期性。
由题意，sin(2x + π/6) = -1/2。
因为sin函数的周期为2π，所以2x + π/6的取值范围为[2kπ - 5π/6, 2kπ + π/6]，其中k为整数。
解得x的取值范围为[kπ - π/2, kπ - π/6]，其中k为整数。
所以x的值为-1/2。
7. 答案：-2解析：本题考查一元二次方程的根。
根据一元二次方程的求根公式，x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)。
代入a = 1，b = -2，c = 1，得x = (2 ± √(4 - 4)) / 2 = 1。
所以正确答案为-2。
8. 答案：3π/2解析：本题考查向量积的应用。
(完整版)高三理科数学试卷(含答案),推荐文档
C． f (x) 的最小正周期为 ，其图象的一条对称轴为 x 12
D． f (x) 的最小正周期为 ，其图象的一条对称轴为 x 6
7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． 2 2 3
B． 4 2 3 2
2
2
2
2
6 2 7 2
8. 若直线 l : ax by 1 0 始终平分圆 M ：
x2 y2 4x 2 y 1 0 的周长，则 a 22 b 22 的最小值为
俯视图 （第 7 题图）
A． 5
B．5
C． 2 5
D．10
9. 设 b、c 表示两条直线，、 表示两个平面，下列命题中真命题是
A．若 c ∥ ， c ⊥ ，则
则阴影部分所表示的集合为
A．x x 2
B．x 2 x 1
C．x 1 x 2
D．x 2 x 2
2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是
A． y 2 x
B． y lg x x2 1
C． y 2x 2x
D． y lg 1 x 1
3．若曲线 f (x) x 4 x 在点 P 处的切线平行于直线 3x y 0 ，则点 P 的坐标为
A． 669
11.
B． 670
C． 1338
D．1340
在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，设向量
OA a,OB b,其中a (3,1),b (1,3). 若 OC a b,且0 1， C 点所
有可能的位置区域用阴影表示正确的是
A
B
C
D
．
．
．
．
（数学（理科）试卷参考答案及评分标准共 10 页 第 2 页）
（Ⅱ）求
高三理科数学试卷含答案
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象开口向上，且过点$(1, 2)$，$(-2, 5)$，则$a$，$b$，$c$的关系是（）A. $a > 0$，$b^2 - 4ac > 0$B. $a > 0$，$b^2 - 4ac < 0$C. $a < 0$，$b^2 - 4ac > 0$D. $a < 0$，$b^2 - 4ac < 0$2. 已知复数$z = a + bi$（其中$a, b \in \mathbb{R}$），若$\overline{z} = \frac{1}{2}z$，则$b$的值为（）A. $1$B. $-1$C. $0$D. 不存在3. 下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（）A. $f(x) = x^2$B. $f(x) = \sqrt{x}$C. $f(x) = \frac{1}{x}$D. $f(x) = x^3 - x$4. 若$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$，则$a$的值为（）A. $2$B. $3$C. $4$D. $5$5. 已知向量$\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (3, 4)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为（）A. $5$B. $10$C. $-5$D. $-10$6. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_3 = 12$，$S_5 = 30$，则$a_1$的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 在平面直角坐标系中，点$(2, 3)$关于直线$x + y = 5$的对称点坐标为（）A. $(1, 2)$B. $(3, 2)$C. $(2, 1)$D. $(1, 4)$8. 若函数$f(x) = x^3 - 3x$在$x = 1$处取得极值，则$f'(1)$的值为（）A. $-2$B. $0$C. $2$D. $3$9. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n + 1$，则数列的前$n$项和$S_n$的表达式为（）A. $S_n = n^2 + n$B. $S_n = n^2 + 2n$C. $S_n = 2n^2 + n$D. $S_n = 2n^2 + 2n$10. 若等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1 = 1$，$q = 2$，则$S_4$的值为（）A. $15$B. $18$C. $21$D. $24$二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
届高三理科数学六大专题训练题含详解
5高三数学(理科)专题训练 A. —B. -C. —D.—6.下列关系式中正确的是()《三角函数、三角包等变换与解三角形》A. sinllsin168C. sin11sin1687.在锐角cos10 sin168sin 11 cos10sin168 cos10cos10 sin11ABC中,角A,B.D.1 . 选择题为三角形的一个内角,边长分别为a,b.若2asinB角A等于()B所对的J3b,则tan A.1212c13B,()VC。
沪2.函数y sin x和函数增函数的区间是()12有cosx者B是A . - B. - C. - D.8.已知函数f (x) Acos( x )(A则f(x)是奇函数”是“0, 0,R),A. [2k. [2k ,2k Lk2— ](k2](k Z)BZ)C. [2k ,2ka](k Z)D.[2k -,2k25 3.已知sin(一2 ](kZ)2A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件二、填空题9.已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形中心角是1弧度，则该扇形面积是.1,那么510.设sin2 sincos A.() 2 B. 54.在图中,1C.51D. 25 5tan2 的值是11.在锐角ABC中,BC 1, BA、B是单位圆。
上的AC2 A,则小匕的值等于cosA点，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为(3,4),5 5且AOB是正三角形.则cos COB的值为(),AC的取值范围为12.函数 f(x) si 的最大传A.C. 4 3、3103 4 310B.D.4 3.3103 4 . 310-2 sin cos(x )三、解答题山13.已知函数f(x) 3sin( x )( 0,- -)5,将函数y 3cosx sin x(x R)的图象向左平移m(m 0)个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是() 的图象关于直线x —对称，且3图象上相邻两个最高点的距离为⑴求和的值;3 / ,求⑵右 f (—) 2 cos( ，)的值. 14 .已知向量， 1、।a (cosx, -), b2x R,设函数f (x)(1)求f (x)的最小正周期; (2)求f (x)在［0,—］上的最大值和2最小值.■ ---(3sin x, a b.15 .已知函数f (x) Asin(x —), x R,且 4f(- ) 3. 12 2(1)求A 的值；3⑵若 f( ) f()二, 2 求 f(3).416 .已知函数f (x) 3 sin xcos x Q x R,且函数f (x)的最小正周期为.(1)求的值和函数f(x)的单调增区问；(2)在ABC 中，角A,B,C 所对的边分 别是a,b,c,又A 4f (一 一) —, b 2, ABC 的面积 2 3 5等于3,求边长a 的值. 17 .已知函数x x xf (x) 2 sin - cos - . 3 cos -4 4 2(1)求函数f(x)的最小正周期及 最值;(2)令g(x) f (x 3),判断函数 g(x)的奇偶性，并说明理由.18 .在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 已知a b, c 3,(1)求角C 的大小；4(2)若sin A —,求 ABC 的面积.5("，1cos2 x,2高三数学(理科)专题训练数列一、选择题1.数列\；’275,2.虎,/1,,的一个通项公式是()A. a n J3n 3B. a n J3n 1C. a n J3n 1D. % Cn 32.已知等差数列⑶｝中,a? a9 16冏1,则a12的值是()A. 15B. 30C. 31D. 643.等比数列⑶｝中，a〔a9 64, a3 a? 20,则an 的值是()A. 1B. 64C. 1 或64D. 1 或324. ABC的三边a,b, c既成等差数列又成等比数列，则此三角形是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5.已知数列｛a n｝满足二、填空题9.在等差数列｛a n｝中，a〔a3 a5 12, a3 a4 a5 8,则通项a n 1 a n a n 1(n 2), a1 记S n a1 a2 a3结论正确的是()1, a2 3, a n,则下列A. a2014C. a2014 a20143,S2014a20141,S20141 ,S2053, S20'514142B.2D.6.如果在等差数列｛a n｝中,a3 a4 a5 12,那么a〔a2 a?()A. 14B. 21C. 28D. 357.数列｛a n｝中，a11,a2 2 3,a3 4 5 6,a47 那么a10 ()A. 495B. 505C. 550D. 5958.各项均为实数的等比数列｛a n｝的前n项和为S n,若S10 10, S30 70,贝US40 ()A. 150B. 200C. 150 或200D. 400 或50 a n .10.设等比数列｛a n｝的前n项和为S n,若"I 3,则S9 .11.设平面内有n条直线(n 2),其中任意两条直线都相交且交点不同；若用f(n)表示这n条直线把平面分成的区域个数，则f (2) , f(3) , f(4) .当n 4 时，f (n) .12.已知数列｛a n｝的通项公式为n 1a n log2----------(n N*).设其刖n 项n 2和为S n,则使S n 5成立的最小自然数n是.三、解答题13.等差数列｛a n｝的前n项和为S n,a123,公差d为整数，且第6 项为正，从第7项起变为负.(1)求d的值；(2)求S n的最大值；(3)当S n是正数时，求n的最大化14.设a1,d为实数，首项为诩、公差为d的等差数列｛a n｝的前n项和为S n,满足&S6 15 0.⑴若S5 5,求S6及为；(2)求d的取值范围.[0,5.，已知数歹｛a n｝的首项a1 a,S n是,薮列｛a n｝的前n项和，且满足S2 3n2a n S21,a n 0,(1)若数列｛a n｝是等差数列，求a 的值；(2)确定a的取值集合M,使a M时，数列｛a n｝是递增数列.16 .已知｛a n ｝为递增的等比数列，且⑶自0}{ 10, 6, 2,0,1,3,4,16}.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)是否存在等差数列｛b n ｝,使得对一切n N *都成立？若存在， 求出bn ；若不存在，说明理由.17 .等差数列｛a n ｝各项均为正整数，a 1 3,前n 项和为S n ,等比数列 ｛b n ｝中，b 1 1,且b 2s 2 64, ｛b a n ｝ 是公比为64的等比数列.(1)求 a n 与 b n ；1 113 (2)证明：-——3S 1 S 2S n 418.已知数列｛a n ｝, S n 为其前n 项的 和，S n n a n 9, n N *.(1)证明数列｛a n ｝不是等比数列；(2)令b n a n 1,求数列｛b n ｝的通项公式b n ；(3)已知用数列｛b n ｝可以构造新数 列.例如：｛sin b n ｝,…，请写出用数列｛b n ｝构造 出的新数列｛P n ｝的通项公式，使数 列｛P n ｝满足以下两个条件，并说明 理由.①数列｛ P n ｝为等差数列；②数列a 〔b na 2b n 1a 3b n 2a nb 12n{3b n }, {2b n1}, {b ：}, {，}, {2b n },｛P n｝的前n项和有最大值.高三数学(理科)专题训练三＜概率〉一、选择题1 .对满足A B的非空集合A、B有下列四个命题：其中正确命题的个数为()①若任取x A,则x B是必然事件②若x A,则x B是不可能事件③若任取x B,则x A是随机事件④若x B,则x A是必然事件A. 4B. 3C. 2D. 12.从1, 2,…，9中任取两个数，其中在下列事件中，是对立事件的是()①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数②至少有一个是奇数和两个都是奇数③至少有一个是奇数和两个都是偶数④至少有一个奇数和至少有一个偶数A.①B.②④C.③D.①③3.如图所示，设D是图中边长为4 的正方形区域，E是D内函数y x2图象下方的点构成的区域，向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为()A. 1B. 1C. -D. 12 3 4 54.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记硬币正面向上”为事件A,骰子向上的点数是3”为内任取A. 1B. 1C. -D. 2 3 36.已知随机变量服从正态分布N(0, 2),若P( 2) 0.023, WJP( 2 2)的值为()7.把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投8.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布~N(80,102),则下列命题中不正确的是()事件B,则事件A、件发生的概率是()B中至少有一A. —B. -C.12 2172D-5.如图所示，圆C内切于扇形AOB, AOB 一,若在扇形AOB3点，则该点在圆C内的概率为()点，此点落在星形内2 2 *2 1 2 ,()4 2 c 4 1A . — 1B . — C.——A.该市这次考试的数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成绩标准差为10二、填空题9.盒子里共有大小相同的三只白球、一只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是. 10.在集合{x|x —,n 1,2,3, ,10}中任取6 1个元素，所取元素恰好满足方1一程cosx -的概率是.211.在区间［3,3］上随机取一个数x,使得|x 1 | |x 2| 1成立的概率为.12.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为旦，则参20 加联欢会的教师共有 _______ 人.13.已知三、解答题14.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是1,得到黑球或黄球的概率是—,3 12得到黄球或绿球的概率也是-,12试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？15.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是2和3.现安排甲组研发新产品A,3 5乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获得利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.16.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续3天里，有连续2 大的日销售量都不低于100个且另一大的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量2{(x, y)|x y 6,x Qy 0}, A {(x, y)|x 4, y 0,x y 0}. 若向区域上随机投一点P,则P落入区域A的概率是.不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E(X)及方差D(X).17设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0605050.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2) X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.18乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上记3分，落点在1分，其它情况记0分，落点D上记1在C上的概率为—，在D上的概率为 5 3.假设共有两次来球且落在A, B上 5 各一次，小明的两次回球互不影响. 求：(I )小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(II )两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.高三数学（理科）专题训练四《立体几何初步》一、选择题1.已知ABC的三个顶点为A（3,3,2）、B（4, 3,7）、C（0,5,1）, 则BC边上的中线长为（）A. 5B. 4C. 3D. 22.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 183. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是（）A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱4.已知m、n表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（）A .若m// , n〃，则m// nB.若m// ,m n,,则nC.若m , m n,,贝U n〃D.若m , n ,，则m n5.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积为（）A. 10 cm3B. 20 cm3c 10 3 20 3C. ---- c m D . ---- cm6.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB BC CA 2,则球的半径是（）7.用a,b,c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：其中正确的命题是（）①若a // b,b // c,则a // c;②若 a b,b c,贝U a c;③若a// ,b//，则a//b;④若a ,b ，则a//b.A.①②B.②③C.①④D.③④8. 一个圆锥和一个半球有公共底A.3B. 4C. - D. 45 5二、填空题9.已知三棱柱ABC顶点都在球。
2022-2023学年高三上学期开学考试数学(理)试题含答案
（2）求学生甲答对的题数 的分布列和数学期望.
19.在四棱锥 中，点 是棱 上一点， ， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值.
20.已知椭圆C： 的右顶点是M（2，0），离心率为 ．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 的内角 的对边分别是 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ，且 ，求 的周长.
18.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为 ，答对每道冬奥知识题的概率为 ，每题答对与否不影响后续答题.
【答案】
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
C.D层次的女生和E层次的男生在整个样本中频率相等
高考理科数学试题(带答案解析)
高考理科数学试题(带答案解析)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的（1）在等差数列{}n a 中,241,5a a ==,则{}n a 的前5项和5S =（A）7（B）15（C）20（D）25【答案】：B【解析】：422514,d a a =-=-=2d =,1252121,3167a a d a a d =-=-=-=+=+=155()5651522a a S +⨯⨯===【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式,解题时要认真审题,仔细解答．（2）不等式1021x x -≤+的解集为（A）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦（B）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C）[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭（D）[)1,1,2⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦（3）对任意的实数k ,直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（A）相离（B）相切（C）相交但直线不过圆心（D）相交且直线过圆心（4）8+的展开式中常数项为（A）3516（B）358（C）354（D）105【答案】B【解析】：8821881()2rrr r r r r T C C --+==令820r -=解得4r =展开式中常数项为4458135()28T C ==【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开式的常数项（5）设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两根,则tan()αβ+的值（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】：A【解析】：tan tan 3,tan tan 2αβαβ+==,则tan tan 3tan()31tan tan 12αβαβαβ++===---【考点定位】本此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值．（6）设,,x y R ∈向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===- ,且,//a c b c ⊥ ,则||a b +=（C）（D）10（7）已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（A）既不充分也不必要的条件（B）充分而不必要的条件（C）必要而不充分的条件（D）充要条件【答案】：D【解析】：由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]上的增函数可知在[-1,0]减函数,又2为周期,所以[3,4]上的减函数【考点定位】本题主要通过常用逻辑用语来考查函数的奇偶性和对称性,进而来考查函数的周期性．根据图象分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答本题的关键．（8）设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示,则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f（9）设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a ,且长为a 的棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是（A ）(0,2)（B ）(0,3)（C ）(1,2)（D ）(1,3)【答案】：A【解析】：2221()22BE =-=,BF BE <,22AB BF =<,【考点定位】本题考查棱锥的结构特征,考查空间想象能力,极限思想的应用,是中档题．（10）设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭,则A B 所表示的平面图形的面积为（A ）34π（B ）35π（C ）47π（D ）2π[【答案】：D【解析】：由对称性：221,,(1)(1)1y x y x y x≥≥-+-≤围成的面积与221,,(1)(1)1y x y x y x≤≥-+-≤围成的面积相等得：A B 所表示的平面图形的面积为22,(1)(1)1y x x y ≤-+-≤围成的面积即2122R ππ⨯=25115112lim lim 555n n n n nn n→∞→∞++++===【考点定位】本题考查极限的求法和应用,n 都没有极限,可先分母有理化再求极限；（13）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =【答案】：c =145【解析】：由35cos ,cos 513A B ==得412sin ,sin ,513A B ==由正弦定理sin sin a bA B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===由余弦定理22a c =2+b -2cbcosA 得22590c -c+56=0则c =145【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系．同时要求学生牢记特殊角的三角函数值．（14）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点,若25,,12AB AF BF =<则AF =。
高三数学理科测试题函数、导数、三角函数、解三角形(供参考)
高三数学《函数与导数、三角函数与解三角形》测试题（理科）一、选择题1．设2:f x x →是集合A 到集合B 的映射，若{}1,2B =，则AB 为( ) A ．∅B ．{1}C ．∅或{2}D ．∅或{1}2．函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为( ) A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（1，e ）3．若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2a -∞上为减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，23)D ．(0，1)∪(1，23)4.若0()ln 0xe x g x xx ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g = ( )A ．12B ．1C ．12e D ．ln 2-5．已知32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则有 ( ) A ．0b < B ．01b <<C ．12b <<D ．2b >6. 已知函数()f x 定义域为R ，则下列命题：①若()y f x =为偶函数，则(2)y f x =+的图象关于y 轴对称. ②若(2)y f x =+为偶函数，则()y f x =关于直线2x =对称. ③若函数(21)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的图象关于直线12x 对称. ④若(2)(2)f x f x -=-，则则()y f x =关于直线2x =对称. ⑤函数(2)y f x =-和(2)y f x =-的图象关于2x =对称.其中正确的命题序号是 ( ) A.①②④ B.①③④ C.②③⑤ D.②③④ 7.y ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数8.把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π6个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为y ＝sin x ，则( )xA ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝π129.若函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫－π8，0 B.⎝⎛⎭⎫π8，0 C ．(0,0)D.⎝⎛⎭⎫－π4，0 10.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如右图所表示，A 、B 分别为最高与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数的一条对称轴为( )A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝1D ．x ＝211.tan10°＋tan50°＋tan120°tan10°·tan50°的值应是( )A ．－1B ．1C ．－ 3D.3 12. 函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设).3(),21(),0(f c f b f a ===则 ( )A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b <<二、填空题13．设()f x 是定义在R 上且以3为周期的奇函数，若(1)1f ≤，23(2)1a f a -=+，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数xx x f 2)(+=，x x x g ln )(+=，1)(--=x x x h 的零点分别为,,21x x 3x ，则321,,x x x 的大小关系是 ．15.已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．16.对于函数f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x －1(x ∈R )给出下列命题：①f (x )的最小正周期为2π；②f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；③直线x ＝π8是f (x )的图像的一条对称轴；④f (x )的图像可以由函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π4而得到．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的都填上)． 三、简答题17.在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin 2A ＋B2－cos2C ＝72.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．18.在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．19.向量m ＝(a ＋1，sin x )，n ＝(1,4cos(x ＋π6))，设函数g (x )＝m ·n (a ∈R ，且a 为常数)．(1)若a 为任意实数，求g (x )的最小正周期；(2)若g (x )在[0，π3)上的最大值与最小值之和为7，求a 的值．20.设函数22()(1)ln(1)f x x x =+-+ (1)求函数)(x f 的单调区间;(2)当]1,11[--∈e ex 时，不等式()f x m <恒成立,求实数m 的取值范围; (3)关于x 的方程2()f x x x a =++在[0,2]上恰有两个相异实根，求a 的取值范围. 21.设函数bx xex f xa +=-)(，曲线)(x f y =在点（2，)2(f ）处的切线方程为4)1(+-=x e y .（1）求a ,b 的值； （2）求)(x f 的单调区间. 22.答案解析选择题 1—5 DBCAA 6—12 CDBAC CB填空题 13. 213aa <-≥或 14. 321x x x >> 15.[－1,2] 16.②③ 简答题17.[解析] (1)∵A ＋B ＋C ＝180°，4sin 2A ＋B 2－cos2C ＝72.∴4cos 2C 2－cos2C ＝72，∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72，∴4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴7＝(a ＋b )2－3ab ，解得ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.18.[解析] (1)由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233，当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.19.[解析] g (x )＝m ·n ＝a ＋1＋4sin x cos(x ＋π6)＝3sin2x －2sin 2x ＋a ＋1 ＝3sin2x ＋cos2x ＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋a(1)g (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ，T ＝π.(2)∵0≤x <π3，∴π6≤2x ＋π6<5π6当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，y max ＝2＋a .当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，y min ＝1＋a ，故a ＋1＋2＋a ＝7，即a ＝2.20. (1)函数定义域为),1()1,(+∞---∞ ,,1)2(2]11)1[(2)(++=+-+='x x x x x x f 由,0)(>'x f 得210x x -<<->或 ；由,0)(<'x f 得.012<<--<x x 或则递增区间是(2,1),(0,)--+∞递减区间是(,2),(1,0)-∞--。
高三数学试卷理科试题
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1在x=1处取得极值，则该极值为（）A. 2B. -2C. 4D. 02. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 25，S9 = 81，则公差d等于（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与圆x^2 + y^2 = 4相交于A、B两点，若|AB|=2√2，则k的取值范围是（）A. k∈(-1, 1)B. k∈(-√2, √2)C. k∈(-∞, -1)∪(1, +∞)D. k∈(-∞, √2)∪(√2, +∞)4. 已知函数f(x) = x^2 - 2ax + a^2，若f(x)的图像关于x=a对称，则a的值为（）A. 0B. 1C. -1D. a5. 若等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 2，公比q = 3，则S6等于（）A. 2187B. 2624C. 729D. 40966. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则sinA + sinB + sinC等于（）A. 3√2/2B. 4√2/2C. 5√2/2D. 6√2/27. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1在x=1处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -28. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 55，S15 = 135，则公差d等于（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与圆x^2 + y^2 = 4相交于A、B两点，若|AB|=2，则k的取值范围是（）A. k∈(-1, 1)B. k∈(-√2, √2)C. k∈(-∞, -1)∪(1, +∞)D. k∈(-∞, √2)∪(√2, +∞)10. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，若f(x)的图像关于x=2对称，则x的取值范围是（）A. x∈(-∞, 2]B. x∈[2, +∞)C. x∈(-∞, 2)∪(2, +∞)D. x∈(-∞, +∞)二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处取得极值，则a+b+c的值为______。
高三数学理科试卷含答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的对称中心为：A. (0, 0)B. (1, 0)C. (0, -3)D. (1, -3)2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10的值为：A. 19B. 21C. 23D. 253. 函数y = log2(3x - 1)的定义域为：A. x > 0B. x ≥ 0C. x > 1/3D. x ≥ 1/34. 已知复数z = 2 + 3i，则|z|的值为：A. 5B. 6C. 7D. 85. 下列不等式中，正确的是：A. x^2 > 0B. x^2 ≥ 0C. x^2 < 0D. x^2 ≤ 06. 函数y = e^x在定义域内是：A. 单调递减B. 单调递增C. 先增后减D. 先减后增7. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则第5项b5的值为：A. 54B. 48C. 42D. 368. 下列各式中，正确的是：A. sin(π/2) = 1B. cos(π/2) = 1C. tan(π/2) = 1D. cot(π/2) = 19. 函数y = |x|的图像是：A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 双曲线的一部分10. 下列各式中，正确的是：A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab - b^2二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。
）11. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点为______。
12. 等差数列{an}的首项a1 = 5，公差d = -3，则第10项a10 = ______。
高三数学理科试卷及答案
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（）A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sqrt{x} \)D. \( f(x) = \frac{1}{x} \)2. 已知数列\( \{a_n\} \)的通项公式为\( a_n = 2^n - 1 \)，则\( a_{10} \)的值为（）A. 1023B. 1024C. 2047D. 20483. 函数\( f(x) = x^3 - 3x \)的图像在（）A. \( x = 0 \)处取得极小值B. \( x = 0 \)处取得极大值C. \( x = -1 \)处取得极小值D. \( x = -1 \)处取得极大值4. 若\( \triangle ABC \)中，\( a = 3 \)，\( b = 4 \)，\( c = 5 \)，则\( \cos A \)的值为（）A. \( \frac{3}{5} \)B. \( \frac{4}{5} \)C. \( \frac{5}{12} \)D. \( \frac{12}{5} \)5. 已知复数\( z = 1 + i \)，则\( |z|^2 \)的值为（）B. 3C. 4D. 56. 下列不等式中，正确的是（）A. \( 2^x > 3^x \)对所有\( x > 0 \)成立B. \( \log_2 x > \log_3 x \)对所有\( x > 1 \)成立C. \( \sin x > \cos x \)对所有\( x \in (0, \frac{\pi}{2}) \)成立D. \( \tan x > \sec x \)对所有\( x \in (0, \frac{\pi}{2}) \)成立7. 设\( f(x) = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)），若\( f(1) = 2 \)，\( f(-1) = 0 \)，\( f(0) = 1 \)，则\( a + b + c \)的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的公差为\( d \)，首项为\( a_1 \)，则\( a_{10} - a_5 \)的值为（）A. 5dB. 4dC. 3dD. 2d9. 若函数\( f(x) = \ln x \)在区间\( [1, e] \)上的最大值为\( M \)，则\( M \)的值为（）A. 1C. \( \ln 2 \)D. \( \ln e \)10. 已知向量\( \vec{a} = (1, 2) \)，\( \vec{b} = (2, 3) \)，则\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每小题5分，共25分）11. 函数\( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1} \)的值域为______。
全国高三数学试卷理科及
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 1在区间[-1, 1]上的图像与x轴有三个交点，则下列结论正确的是（）A. f'(x)在区间[-1, 1]上恒大于0B. f'(x)在区间[-1, 1]上恒小于0C. f''(x)在区间[-1, 1]上恒大于0D. f''(x)在区间[-1, 1]上恒小于02. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 12，S6 = 48，则公差d等于（）A. 2B. 3C. 4D. 63. 设函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最小值为（）A. 3B. 2C. 1D. 04. 已知等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则该数列的通项公式an等于（）A. 2n - 1B. 2^nC. 2nD. 2n + 15. 在直角坐标系中，点P(m, n)在直线y = mx + 1上，且在圆x^2 + y^2 = 1上，则m的取值范围是（）A. [-1, 1]B. (-1, 1)C. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)D. (-∞, 1) ∪ (1, +∞)6. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R）满足|z - 1| = |z + 1|，则实数a等于（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在7. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像关于点（1, 0）对称的是（）A. x轴B. y轴C. 原点D. 直线x = 18. 在三角形ABC中，若a = 3, b = 4, c = 5，则角A的余弦值cosA等于（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/29. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn = 2n^2 + 3n，则数列{an}的通项公式an等于（）A. n^2 + 3nB. n^2 + 2n + 3C. 2n^2 + 3nD. 2n^2 + 2n + 310. 若向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值cosθ等于（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/5二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10 = _______。
高三数学试卷理科新高考
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2的图像与x轴的交点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知向量a = (1, -2)，向量b = (2, 1)，则向量a·b的值为（）A. -3B. -5C. 1D. 33. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 20，S10 = 50，则公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)在区间[1, 3]上单调递增，则f(x)的对称轴方程为（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 45. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且a1 + a2 + a3 = 24，a2 + a3 +a4 = 54，则a1的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 86. 若平面直角坐标系中，点A(1, 2)，点B(3, 4)，点C(5, 6)，则三角形ABC的面积为（）A. 2B. 4C. 6D. 87. 已知数列{an}满足an = 2an-1 + 1，且a1 = 1，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^nD. an = 2^n - 28. 若平面直角坐标系中，点P(2, 3)，点Q(4, 6)，则线段PQ的中点坐标为（）A. (1, 2)B. (2, 3)C. (3, 4)D. (4, 6)9. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1，若f(x)在区间[0, 3]上的最大值为9，则f(x)的导数f'(x)的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 20，S10 = 50，则数列{an}的公差d与首项a1的关系为（）A. d = a1B. d = 2a1C. d = 3a1D. d = 4a1二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
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15.解：设离散性随机变量 可能取的值为 ，所以
，即 ，又 的数学期望 ，则 ，即 ， ,∴ .
三、解答题：
16．解:
……6分
当 ……10分
综上：函数 的单调增区间（ ）单调减区间（ ）……（12分）
（注：没有考虑定义域只扣6分）
17．解：设 表示第 辆车在一年内发生此种事故， ．由题意知 ， ， 独立，
（Ⅰ）获赔的概率；（Ⅱ）获赔金额 的分布列与期望．
18．（本小题满分12分）
已知命题 ：复数 对应的点落在复平面的第二象限；命题 ：以 为首项，公比为 的等比数列的前 项和极限为2。若命题“ 且 ”是假命题，“ 或 ”是真命题，求实数 的取值范围。
19．（本小题满分12分）
设函数 是奇函数（ 都是整数，且 ， ， 在 上是单调递增.
16．(本小题满分12分）
求函数 的单调区间.
17．（本小题满分12分）
某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆 元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获 元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 ， ， ，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：
12．点P在曲线 上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是；
13．曲线 在点 处的切线方程为；
14．数列{xn}的通项 ；
15．设离散型随机变量 可能取的值为1，2，3，4。 （ 1，2，3，4）。又 的数学期望 ，则 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
且 ， ， ．
（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
．
（Ⅱ） 的所有可能值为 ， ， ， ．
，
，
，
．
综上知， 的分布列为
求 的期望有两种解法：
解法一：由 的分布列得
（元）．
解法二：设 表示第 辆车一年内的获赔金额， ，
则 有分布列
故 ．同理得 ， ．
综上有 （元）．
18．解：命题 有： ……………2′
由①得： ……………3′
10
D
A
D
D
B
D
A
A
A
B
9.解：选A。由 又
故选A.
10.解：选B．这一组抛物线共 条，从中任意抽取两条，共有 种不同的方法．它们在与直线 交点处的切线的斜率 ．若 ，有两种情形，从中取出两条，有 种取法；若 ，有三种情形，从中取出两条，有 种取法；若 ，有四种情形，从中取出两条，有 种取法；若 ，有三种情形，从中取出两条，有 种取法；若 ，有两种情形，从中取出两条，有 种取法．由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有 种，故所求概率为 ．本题是把关题．
不可能正确的是（）
5．已知 在区间 上递增，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
6． ，则 等于（）
A．1B．0C．3D．
7．曲线 上的点到直线 的最短距离是（）
A． B． C． D．0
8．若(1－2x)9展开式的第3项为288，则 的值是（）
A. 2B.1C. D.
9．已知随机变量 服从正态分布 ， ，则 （）
（Ⅱ） ， ………6′
猜想 ，下用数学归纳法证明之.（略）………8′
（Ⅲ） ，则
假设 时命题成立，即 ，则
,
由上知，则 .………13′
21．解：（Ⅰ）依题意，令
……4′
（Ⅱ）
（ⅰ）当 时， ，
，若存在满足条件的点M，则有：
, ,即这样的点M存在，且坐标为
………9′
（ⅱ）
令 (x)=0，即3x2+4bx+b2+c=0；而 =16b2－12(b2+c)=4(b2－3c)，
荆门市实验高中高三数学试题（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． ，则 （）
A． B．
C． D．
2．复数 的值是（）
A．2B． C． D．
3．设函数 在点 处连续，则 ＝（）
A． B． C． D．
4．设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，
（或由定义域关于原点对称得 ）
又 由①得 代入②得 ，又 是整数，得 …………6′
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，当 ， 在 上单调递增，
在 上单调递减.下用定义证明之.…………8′
设 ，则
，因为 ， ，
，故 在 上单调递增；
同理，可证 在 上单调递减.……………………12′
20．解证：（Ⅰ）令 得 ……4′
由②得： ……………4′
由上得满足P的m的取值范围是： 或 ……………5′
对命题 ,有： ……………7′
又 ……………9′
得： 且 ……………10′
又命题“ 且 ”是假命题，“ 或 ”是真命题，则m的范围是
……………12′
19．解：（Ⅰ）由 是奇函数，得 对定义域内x恒成立，则
对对定义域内x恒成立，即 …………2′
（Ⅱ）设函数 ，
（ⅰ）当 时，在函数 的图像上是否存在点 ，使得 在点 的
切线斜率为 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
（ⅱ）若函数 在 内有极值点，求c的取值范围.
荆门市实验高中高三数学试题（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A． B． C． D，
10．已知一组抛物线 ，其中 为2、4、6、8中任取的一个数， 为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 交点处的切线相互平行的概率是（）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为 ，那么在第 组中抽取的号码个位数字与 的个位数字相同，若 ，则在第7组中抽取的号码是；
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）当 ， 的单调性如何？用单调性定义证明你的结论.
20．（本小题满分13分）
函数 对任意实数 都有 .（Ⅰ） Nhomakorabea 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的值，猜想 的表达式并用数学归纳法证明
你的结论；
（Ⅲ）若 ，求证： .
21．（本小题满分14分）
已知 函数 的图像与函数 的图象相切.
（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；
若 =0，则 (x)=0有两个相等的实根，设为x0，此时 (x)的变化如下：
x
x0
（
+
0
+
于是 不是函数 的极值点.
的变化如下：
x
x1
（
+
0
—
0
+
由此， 的极小值点.
综上所述，当且仅当
………14′