断裂力学线弹性理论优秀课件
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线弹性断裂力学(第一章)
数值方法的精度和稳定性
在模拟断裂过程中，数值方法需要具 有高精度和稳定性，以准确预测断裂 行为。
未来发展方向
跨尺度建模
发展能够跨越不同尺度的建模方法，从微观到宏观，以更全面地理解 断裂行为。
人工智能和机器学习在断裂力学中的应用
利用人工智能和机器学习技术，对断裂行为进行预测和优化。
实验技术的创新
开发更先进的实验技术，以更准确地测量材料的断裂性能。
03
裂纹的分类和扩展模式
裂纹的分类
表面裂纹
裂纹仅在材料表面形成，不深 入内部。
疲劳裂纹
由于循环应力或交变载荷引起 的裂纹，通常起始于应力集中 区域。
穿透裂纹
裂纹贯穿整个材料，导致材料 完全断裂。
内部裂纹
裂纹起始于材料内部，可能向 表面扩展或深入更深层次。
环境裂纹
由于环境因素（如腐蚀、温度 等）引起的裂纹。
05
线弹性断裂力学的挑战和未来发展
当前面临的挑战
复杂材料和结构的断裂行为
随着新材料和复杂结构的广泛应用， 理解和预测其断裂行为变得越来越具 有挑战性。
多尺度断裂问题
由于材料和结构的尺度差异，如何在 不同尺度上模拟和预测断裂行为是一 个重要问题。
实验验证的困难
由于断裂的突发性和复杂性，建立有 效的实验验证方法是一项巨大的挑战。
弹性常数
总结词
弹性常数是描述材料弹性的重要参数，包括杨氏模量、泊松比等。
详细描述
弹性常数是衡量材料在受力作用下的弹性性能的参数，包括杨氏模量、泊松比等。杨氏模量是描述材料在拉伸或 压缩过程中抵抗变形的能力，而泊松比则表示材料在横向受力和纵向受力时变形程度的关系。这些弹性常数对于 材料的选择和设计具有重要的意义。
断裂力学-线弹性理论(共53张PPT)
断裂动力学
● 1948年N．F．Mott(莫特), 进行了裂纹快速扩展速度的定量计算并将动能引入Griffith能量准 那么;
● 1951年，E．H．Yoffe(约飞) ,提出了恒长度裂纹的匀速扩展模型，计及惯性力，对 裂纹分叉作定量分析;
1960年，J．W．Craggs(克拉格斯) ,提出了裂纹面受载而加载点随裂纹前进的匀速扩展半 无限长裂纹模型；
K反映了裂尖应力场的强弱；足标1表示是1型。
sij越大，K越大；裂纹尺寸a越大，K越大。 K的量纲为[应力][长度]1/2，常用MPa m。
(5-1)式是中心穿透裂纹无穷大板的解。 断裂力学研究表明，K1可以更一般地写为：
K1 s a f (a,W,...)
f(a,W,...)为几何修正函数，可查手册。 特别地，当a<<w或a/w0时，即
这种连续介质模型仍是一种理想的模型，在远离 裂纹尖端的区域是适宜的，而在裂纹尖端附近的 小区域(原子或晶体结构的尺度范围)是否适宜， 还需深入到微观领域，弄清微观的断裂机理，才 能更好地了解力学因素在裂纹尖端的断裂过程中 是如何发挥作用的，才能深入了解宏观断裂的现
二、断裂力学中的几个根本概念
● Griffth(格里菲斯)裂纹
●1960年，D．S.Dugdale (达格代尔) 研究裂纹尖端的塑性区。
●1961年，A．A．Wells(威尔斯)提出的裂纹张开位移(COD)准那么。
●1968年,J.R．Rice(赖斯)提出用围绕裂纹尖端的与路径无关的线积分来研究裂纹尖 端的变形及J积分准那么。
●1968年，J．W．Hutchinson(哈钦森)及J．R．Rice与G．R．Rosengren
● 1977 Comninou(康尼诺)，和1988Delale(迪拉尔)和Erdogan，1989 Hutchinson ,和 Sun(锁志刚)提出的能量释放率扩展准那么；
《线弹性断裂力学》课件
02
它涉及到材料或结构的强度、韧 性和耐久性等方面的评估，对于 工程结构的安全性和可靠性至关 重要。
断裂力学的重要性
在工程领域中，许多结构如桥梁、高 层建筑、压力容器等都需要承受较大 的外力，因此断裂力学对于这些结构 的可靠性评估具有重要意义。
通过断裂力学的应用，可以预测结构 在各种载荷下的行为，从而采取相应 的措施来提高结构的强度、韧性和耐 久性。
意义。
裂纹扩展的驱动力
总结词
裂纹扩展的驱动力是指促使裂纹扩展的力或能量来源，是线弹性断裂力学中的重要研究内容。
详细描述
裂纹扩展的驱动力可以来自外部载荷、温度梯度、化学腐蚀等多种因素。这些驱动力会导致裂纹面上 的应力分布发生变化，从而促使裂纹扩展。研究裂纹扩展的驱动力有助于深入了解材料的断裂机制和 行为，为结构的安全性和可靠性设计提供理论支持。
总结词
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的物理量，是线弹性断裂力学中的重要参数。
详细描述
弹性模量是指材料在弹性范围内，抵抗变形的能力。它是衡量材料刚度的指标，表示材料在单位应变下所需的应 力。弹性模量越大，材料抵抗变形的能力越强。在工程应用中，了解材料的弹性模量对于预测结构的强度和稳定 性至关重要。
未来研究展望
发展更为精确的数值模拟方法
利用高性能计算机和先进的数值方法，模拟更为复杂的断裂行为，提 高预测精度。
深入研究复杂环境和服役条件下的断裂问题
针对高温、高压、腐蚀等复杂环境和服役条件下的材料和结构，深入 研究其断裂行为和失效机理。
跨学科合作与交流
加强与其他学科领域的合作与交流，如物理学、化学、生物学等，以 促进对材料断裂行为的深入理解。
有限元分析方法可以处理复杂 的几何形状、材料非均匀性和 多种物理场耦合等问题，具有 广泛的应用前景。
它涉及到材料或结构的强度、韧 性和耐久性等方面的评估，对于 工程结构的安全性和可靠性至关 重要。
断裂力学的重要性
在工程领域中，许多结构如桥梁、高 层建筑、压力容器等都需要承受较大 的外力，因此断裂力学对于这些结构 的可靠性评估具有重要意义。
通过断裂力学的应用，可以预测结构 在各种载荷下的行为，从而采取相应 的措施来提高结构的强度、韧性和耐 久性。
意义。
裂纹扩展的驱动力
总结词
裂纹扩展的驱动力是指促使裂纹扩展的力或能量来源，是线弹性断裂力学中的重要研究内容。
详细描述
裂纹扩展的驱动力可以来自外部载荷、温度梯度、化学腐蚀等多种因素。这些驱动力会导致裂纹面上 的应力分布发生变化，从而促使裂纹扩展。研究裂纹扩展的驱动力有助于深入了解材料的断裂机制和 行为，为结构的安全性和可靠性设计提供理论支持。
总结词
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的物理量，是线弹性断裂力学中的重要参数。
详细描述
弹性模量是指材料在弹性范围内，抵抗变形的能力。它是衡量材料刚度的指标，表示材料在单位应变下所需的应 力。弹性模量越大，材料抵抗变形的能力越强。在工程应用中，了解材料的弹性模量对于预测结构的强度和稳定 性至关重要。
未来研究展望
发展更为精确的数值模拟方法
利用高性能计算机和先进的数值方法，模拟更为复杂的断裂行为，提 高预测精度。
深入研究复杂环境和服役条件下的断裂问题
针对高温、高压、腐蚀等复杂环境和服役条件下的材料和结构，深入 研究其断裂行为和失效机理。
跨学科合作与交流
加强与其他学科领域的合作与交流，如物理学、化学、生物学等，以 促进对材料断裂行为的深入理解。
有限元分析方法可以处理复杂 的几何形状、材料非均匀性和 多种物理场耦合等问题，具有 广泛的应用前景。
工程断裂力学线弹性断裂力学
第二章线弹性断裂力学（LEFM）§2-1 裂纹尖端的引力场和位移场§2-2 Westergaard 方法§2-3 Griffith理论（1921）—脆性材料断裂理论23Griffith§2-4 能量原理§2-5 应力强度因子的计算§26 裂纹尖端的塑性区2-6§2-1 裂纹尖端的引力场和位移场21裂纹尖端的引力场和位移场§211 裂纹的类型2-1-1•按照裂纹的几何特征分类♥穿透裂纹：♥表面裂纹：♥深埋裂纹：•按照裂纹的受力和断裂特征分类：♥张开型：（Ⅰ型，opening mode，or tensile mode）♥滑开型：（Ⅱ型, sliding mode, or in-plane shear mode）sliding mode or in-plane shear mode ♥撕开型：（Ⅲ型, tearing mode, or anti-plane shear mode）()♥混合型：( 或复合型，mixed mode)§2-1-2 裂纹尖端的引力场和位移场§2－1－1 裂纹的类型•按照裂纹的几何特征分类穿透裂纹厚度方向贯穿的裂纹♥穿透裂纹：厚度方向贯穿的裂纹。
♥表面裂纹：深度和长度皆在构件的表面，常简化为半椭圆裂纹。
深埋裂纹：裂纹的三维尺寸都在构件内部常简化为椭园裂纹♥深埋裂纹：裂纹的三维尺寸都在构件内部，常简化为椭园裂纹。
•按照裂纹的受力和断裂特征分类mode IO i d mode II Slidi d mode III Tearing mode Opening mode Sliding mode Tearing mode•按照裂纹的受力和断裂特征分类：♥张开型：（Ⅰ型，opening mode，or tensile mode）特征外加拉应力垂直于裂纹面，也垂直于裂纹扩展的前沿线在外力的作特征：外加拉应力垂直于裂纹面，也垂直于裂纹扩展的前沿线。
断裂力学总ppt
2
§1.1 能量平衡理论
1913年，Inglis,无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题 1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题，利用Inglis解得 到Griffith裂纹。
1. 能量释放率与G准则
取一厚度为B的无限大玻璃板，将板拉
长后固定两端。板受均匀拉伸应力 σ 作
用，则板内储存的应变能为
)
=
lim
z →∞
σz = σ
z2 − a2
( ) lim
z →∞
Z
' 1
(
z
)
=
lim
z →∞
− σa 2
z2 − a2 3/2
=0
在裂纹表面 y=0 x < a 处
Z1(z) =
σz =
z2 − a2
σx
x2 − a2
⎧σ
⎪
x
=
σ
⎨σ y = σ
⎪⎩τ xy = 0
虚数！
y=0
Re Z1(z) = 0
)
=
∂ ∂y
(−
Im
Z1 )
=
−
Re
Z1
( ) ∂2
∂y 2
y Im Z1
=
∂ ∂y
(Im Z1
+
y
Re
Z1 )
=
2 Re
Z1
−
y
Im
Z1'
将上面两式代入应力表达式 ( ) σ
＝
x
∂ 2ϕ ∂y 2
＝ ∂2 ∂y 2
Re Z1
+
∂2 ∂y 2
y Im Z1
σ x＝Re Z1 − y Im Z1'
§1.1 能量平衡理论
1913年，Inglis,无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题 1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题，利用Inglis解得 到Griffith裂纹。
1. 能量释放率与G准则
取一厚度为B的无限大玻璃板，将板拉
长后固定两端。板受均匀拉伸应力 σ 作
用，则板内储存的应变能为
)
=
lim
z →∞
σz = σ
z2 − a2
( ) lim
z →∞
Z
' 1
(
z
)
=
lim
z →∞
− σa 2
z2 − a2 3/2
=0
在裂纹表面 y=0 x < a 处
Z1(z) =
σz =
z2 − a2
σx
x2 − a2
⎧σ
⎪
x
=
σ
⎨σ y = σ
⎪⎩τ xy = 0
虚数！
y=0
Re Z1(z) = 0
)
=
∂ ∂y
(−
Im
Z1 )
=
−
Re
Z1
( ) ∂2
∂y 2
y Im Z1
=
∂ ∂y
(Im Z1
+
y
Re
Z1 )
=
2 Re
Z1
−
y
Im
Z1'
将上面两式代入应力表达式 ( ) σ
＝
x
∂ 2ϕ ∂y 2
＝ ∂2 ∂y 2
Re Z1
+
∂2 ∂y 2
y Im Z1
σ x＝Re Z1 − y Im Z1'
清华大学断裂力学讲义第三章线弹性断裂力学
在前面的平面问题求解中,需要确定两个解析函数(z)和(z) ，其实在对称和
反对称特例下，可利用Westergaard函数进一步简化为一个解析函数的求解。
以I型问题为例：
F Re zz zdz
12 x1，0＝0 x1 , 利用了对称性
2F F,
Imzz z Imzz z 0
x2 0
12
x2
Re
Z
I
2u1 Re z
2u2 Im z
2u1
2
1
Re
ZI dz x2 ImZI Ax1
2u2
1 2
Im
ZI dz x2 ReZI Ax2
当 x2= 0时剪应力为零，这意味着裂纹面是主平面。
例：双轴载荷下含中心裂纹的无穷大板
自由裂纹表面：
i 0 22
u1
x1, 0
1 4
a2 x12
K II
lim
za
i
Z
II
z
2 z a
x1 a
III型裂纹的复变函数表示方法 为了统一
应力场 位移场
32 i 31 ZIII
u3 Im ZIII
III型中心裂纹承受远场均匀剪切
ZIII
z z2 a2
KIII a
u3
x1, 0
x2 0
zz z A A为实常数 x2 0
u v u v x y y x
解析延拓（定义见下页）： z A zz
I型裂纹的Westergaard应力函数： ZI z 2z
附：解析延拓数学定理 若 f1 在 R1中解析， f2 在 R2 中解析，且 R1 R2 ，如果
f1 f2 in R1 R2
1
反对称特例下，可利用Westergaard函数进一步简化为一个解析函数的求解。
以I型问题为例：
F Re zz zdz
12 x1，0＝0 x1 , 利用了对称性
2F F,
Imzz z Imzz z 0
x2 0
12
x2
Re
Z
I
2u1 Re z
2u2 Im z
2u1
2
1
Re
ZI dz x2 ImZI Ax1
2u2
1 2
Im
ZI dz x2 ReZI Ax2
当 x2= 0时剪应力为零，这意味着裂纹面是主平面。
例：双轴载荷下含中心裂纹的无穷大板
自由裂纹表面：
i 0 22
u1
x1, 0
1 4
a2 x12
K II
lim
za
i
Z
II
z
2 z a
x1 a
III型裂纹的复变函数表示方法 为了统一
应力场 位移场
32 i 31 ZIII
u3 Im ZIII
III型中心裂纹承受远场均匀剪切
ZIII
z z2 a2
KIII a
u3
x1, 0
x2 0
zz z A A为实常数 x2 0
u v u v x y y x
解析延拓（定义见下页）： z A zz
I型裂纹的Westergaard应力函数： ZI z 2z
附：解析延拓数学定理 若 f1 在 R1中解析， f2 在 R2 中解析，且 R1 R2 ，如果
f1 f2 in R1 R2
1
清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学PPT课件
III型裂纹的复变函数表示方法 为了统一
应力场 位移场
32 i 31 ZIII
u3 Im ZIII
III型中心裂纹承受远场均匀剪切
lim
r0
2
r
22 12
r,0
r,
0
32
r
,
0
KI,II,III与G之间的关系?
George Rankine Irwin
G.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal3of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).
a
0 i2
x1,
0
ui
a
x1,
dx1
wtip a
5
如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？
可由能量平衡来理解
F
裂纹扩展
Gda dU Fd
逐渐放松保持力过程
wtip da dU Fd
F
这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。
x2
x2
σ
x1
首先假设固定位移加载
针对III型裂纹
x2
A
B
σ
x1
a
x2
u
u
x1
a
KIII
lim
x1 0
2 x1 32 x1, 0
32 x1, 0
KIII
2 x1
u3 u3+ a x1, u3- a x1, =2u3+ a x1, =
断裂力学-线弹性理论
上式是裂尖应力场的主项，还有r0阶项等。
r0时，应力sij以r-1/2的阶次趋于无穷大；
其后r0阶项等成为次要的，可以不计。 r， sij趋于零；但显然可知, 当q=0时，在x轴 上远离裂纹处，应有sy=s，且不受r的影响。故 此时应以其后的r0阶项为主项。
断裂力学关心的是裂纹尖端附近的应力场。
断裂动力学
● 1948年N．F．Mott(莫特), 进行了裂纹快速扩展速度的定量计算并将动 能引入Griffith能量准则;
● 1951年，E．H．Yoffe(约飞) ,提出了恒长度裂纹的匀速扩展模型，计及 惯性力，对裂纹分叉作定量分析;
1960年，J．W．Craggs(克拉格斯) ,提出了裂纹面受载而加载点随裂纹前进 的匀速扩展半无限长裂纹模型； 1960年, K B．Broberg(布洛伯格), 提出的裂纹从零长度开始对称地向两侧匀 速开裂模型较有实际意义。 ●Rice等多人先后导出了裂纹以等速传播情况的渐近应力场与位移场,提出 了动态应力强度因子概念及裂纹动态起始扩展准则、运动裂纹传播与止裂 准则、能量释放率准则。 尚处于初创阶段，除了线性材料的稳定裂纹动态起始扩展问题和对弹性波 的散射问题有较系统的直接解法作定量分析外，线性材料的裂纹快速传播 与止裂问题、非线性材料的动态裂纹问题、分叉问题等都是当前重要的研 究课题。
裂尖的应力强度因子K1： K1 s a
K反映了裂尖应力场的强弱；足标1表示是1型。
sij越大，K越大；裂纹尺寸a越大，K越大。
K的量纲为[应力][长度]1/2，常用MPa m 。
(5-1)式是中心穿透裂纹无穷大板的解。 断裂力学研究表明，K1可以更一般地写为：
K1 s a f ( a ,W ,...)
宏观裂纹指材料制造或加工及使用过程中形成的宏观尺度(10-2cm以上)的类 裂纹缺陷。在实际结构中这种裂纹的存在是难免的。
第二章_线弹性断裂力学
r 3 2k 3 cos 2 cos 2 2 w 0(平面应变)
E
( x y )dz (平面应力)
K II a
其中：
3 平面应力 k 1 3 4 平面应变
3）III型裂纹尖端的应力场
对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对 于III型裂纹，由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行 于xy平面的位移u=0，v=0，只有z方向的位移w≠0，显 然这一问题不属于平面问题，它是反平面问题。
推论： “无限大”平板，在裂纹面上x=-a到x = a到受 到均匀分布的张力P作用。 K I p a
（d）“无限大”平板，具有长为2a的中心穿透裂纹，
在无穷远处受到单向均匀拉应力的作用。
KI a
KI 0
（e）“无限大”平板，受二向均匀拉伸应力作用，
在x轴上有一系列长度为2a，间距为2b的穿透裂纹。
xz yz
K III 2 r K III
sin
2
2 2 r x y z xy 0 K III a
cos
K III 2r w sin G 2 u 0
第三节 应力场强度因子
1）不同裂纹下的应力场强度因子 （1）无限大板中的I型裂纹 (a) “无限大”平板具有长为2a的中心穿透裂纹 ，在“无限远”处受到双向拉应力作用。
ij
r
（c）适用于裂纹尖端附近区域，即要求r＜＜a。 应力分量由两部分组成：一部分是关于场分布 的描述，它随点的坐标而变化，通过的奇异性及角 分布函数 f 来体现；另一部分是关于场强度的描 述，由应力强度因子KI来表示，它与裂纹体的几何 及外加载荷有关。
《弹性力学绪论》PPT课件
结构安全评定的过程、方法及发展趋势
评定过程：
① 无损检测，确定缺陷 ② 应力分析，总体应力分析和缺陷部位的应力
分析 ③ 确定力学性能 b s KIc ④ 断裂力学参数分析(应力强度因子,J积分,
COD)，判定危险程度
评定方法
① 确定性评定方法 ② 概率安全评定方法
elastic plastic fracture mechanics（EPFM）
• 脆性断裂与韧性断裂
韧度（toughness）：材料在断裂前的变形 中吸收能量的能力
脆性（brittle） ：韧度低 韧性（ductile） ：韧度高 脆性断裂：断裂前无明显塑性变形（无颈缩） 韧性断裂：断裂前有明显塑性变形（有颈缩）
建立裂纹扩展的临界条件，并依此进行抗断设计 与寿命估计等。
本课程有关内容对经济社会的意义
使“安全性和经济性问题”达到更高层次的 一致。
可以对经济社会带来更大的经济效益。
一、使“安全性和经济性问题”达到更高 层次的一致
实践证明，理想的、无缺陷的（设计时 所理想）状态是没有的。实际工程中总是存 在着缺陷，但这些缺陷对结构（构件）安全 性的影响究竟有多大是需要评定的。这种评 定使我们可以在更经济的条件下保证结构 （构件）的安全使用。
•韧性断裂：断裂前有明显塑性变形
• 脆性断裂：断裂前没有明显的塑性变形
•脆性断裂与韧性断裂
•脆性断裂与韧性断裂
脆性断裂发生突然。
韧性断裂从启裂到失稳扩展有一段进程。
静止的裂纹→亚临界裂纹扩展，卸载后裂纹 扩展停止→失稳扩展，100m/s，立即卸载也不 一定停止
低温、截面积增大、裂纹长度增大等会增大 脆性断裂的可能性。
断裂力学 (Fracture Mechanics)
断裂力学讲义第五章 线弹性断裂力学
第五章 线弹性断裂力学§5.1 引 言断裂力学是从材料强度问题提出的。
随着固体物理、物理力学等学科的发展，人们已能够大致从理论上计算出某些固体材料（特别是单晶体）的理论强度t σ。
例如，Orowan(1949)得到πσ2/E t ≈, Zhurkov （1957）得到E t ≈σ。
其中E 为杨氏模量。
但试验中测得的实际材料强度远远低于计算所得的理论强度, 两者往往相差几个数量级。
这一情况吸引着不少科学家去研究现有材料的强度比理论强度低的原因。
人们很早就认识到这是由于实际固体中存在着大量缺陷所致。
但这种认识在很长一段时期里只停留在定性说明阶段。
而对于缺陷如何定量地影响材料的强度，直到断裂力学的产生，才得到较明显的进展。
§4.2介绍了含椭圆孔平板受拉伸时的弹性解。
当拉伸应力σ垂直于椭圆长轴时，长轴端点处的环向应力最大。
由§4.2可得()σσb a /21max += (5.1)又椭圆长轴端点处的曲率半径为a b /2=ρ, 因此(5.1)又可以改写成()σρσ/21max a += (5.2)因而应力集中系数α为ρα/21a += (5.3)当ρ很小时，α很大。
当0→b 时，椭圆孔就退化为长为a 2的直线裂纹。
更一般的提法是0→ρ。
按上述计算公式得到∞→α。
这样的结果不能用传统的连续介质力学的观点来解释。
Griffith 没有直接考虑裂纹尖端的应力，绕过这一矛盾，而计算由于裂纹的存在，整个弹性板所释放的弹性势能为(参看§5.4)'/22E a W c πσ= (5.4)为简便起见，设板的厚度为1. 其中E 为杨氏弹性模量。
由于裂纹的出现，增加的表面能为：Γa S 4= (5.5) 其中Γ为单位面积的表面能。
Griffith 认为当裂纹端部扩展一小段长度da （裂纹长度从2a →2a+2da ）时，弹性势能的释放率dW c /da ，如果大于或等于表面能的增加率dS/da ，则裂纹处于不稳定状态，势必进一步扩展，因此而得到裂纹扩展的条件为dadSda dW c =(5.6) 将(5.4)，(5.6)代入上式，得临界应力σg 为：⎪⎭⎪⎬⎫-==)( )1(/2)( /22平面应变平面应力νπΓσπΓσa E a E g g (5.7)其中E 、Γ是材料常数。
断裂力学_课件
结论1
1
max
theory
E
a0
2
(1-7)
该式表明，完整晶体的理论断裂强度与材料的晶格常 数a0，弹性模量Ｅ及表面能密度γ有关。
２ 有缺陷材料的实际强度——弹力方法
具有裂纹的弹性体受 力以后，在裂纹尖端区域 将产生应力集中现象。但 是应力集中是局部性的， 离开裂纹尖端稍远处，应 力分布又趋于正常。在裂 纹尖端区域应力集中的程 度与裂纹尖端的曲率半径 有关。这种应力集中必然 导致材料的实际断裂强度 远低于该材料的理论断裂 强度。
尖端的尖锐度是有严格限制的。
必须注意，Griffith所研究的仅限于材料是理想脆性的情况
。实际上绝大多数金属材料在断裂前和断裂过程中裂纹尖端
都存在塑性区，裂尖也因塑性变形而钝化，此时Griffith理论
失效，这也就是Griffith理论长期得不到重视和发展的原因。
总结
1
c
2E a
2
其应变能密度为：
U
2 0
m
ax
s
in(2
x )dx
max
2
cos
2x
2 0
max
(1-4) (1-5)
该能量应等于两个新的断面的表面能，设γ为单位面 积的表面能，则有
max
2
2 max
(1-6)
将(1-6)带入(1-4)，得：
在裂纹(缺陷)。
结论2
c
E
4a
(1-11)
从式(1-11)可见，当应力达到σ c值时，裂纹开裂，而使裂 纹长度2a增加，这样又将使σ c值降低，则裂纹继续扩展 ，最后 导致整个固体材料断裂，所以它是裂纹失稳扩展的条件。
清华大学断裂力学讲义线弹性断裂力学PPT学习教案
z rei
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复变函数基础知识回顾（续）
复变函数： w ux, y ivx, y f z f x iy
复变函数的导数：如果
lim
z 0
f
z0
z
z
f
z0 存在，
称为 f z在 z0 可导。
解析函数的概念：如果函数 f z在 z0 及 z0 的邻域内处处可
导，那么称 f z在 z0 解析。如果 f z在区域 D 内每一点 解析，那么称 f z在 D 内解析，或称 f z是 D 内的一个
加减法： x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 y1 y2 乘法： x1 iy1x2 iy2 x1x2 y1y2 ix2 y1 x1y2 除法：满足 z2z z1,z2 0的 z ，称为 z1 除以 z2 的商
z
z1 z2
x1x2 y1 y2 x22 y22
杂化或修正
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反平面剪切问题（一个相对简单的问题）
3, 0
3
1 2 u3,
3 23
整理可得调和方程（或由Navier方程直接简化）
渐近解
2u3 0
如何求解？
2u3
2u3 2r
1 r
u3 r
1 r2
2u3 2
0
u3 r1uˆ3
d 2uˆ3 d 2
12
uˆ3
0
uˆ3 C1 sin 1 C2 cos 1
3 0 u x1, x2
1 2
u , u .
1
2
1
33
E
1
, 0
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8
是否对于各种含裂纹构型是否必须得分别求解？ 是否有共同的特点与规律？
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复变函数基础知识回顾（续）
复变函数： w ux, y ivx, y f z f x iy
复变函数的导数：如果
lim
z 0
f
z0
z
z
f
z0 存在，
称为 f z在 z0 可导。
解析函数的概念：如果函数 f z在 z0 及 z0 的邻域内处处可
导，那么称 f z在 z0 解析。如果 f z在区域 D 内每一点 解析，那么称 f z在 D 内解析，或称 f z是 D 内的一个
加减法： x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 y1 y2 乘法： x1 iy1x2 iy2 x1x2 y1y2 ix2 y1 x1y2 除法：满足 z2z z1,z2 0的 z ，称为 z1 除以 z2 的商
z
z1 z2
x1x2 y1 y2 x22 y22
杂化或修正
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反平面剪切问题（一个相对简单的问题）
3, 0
3
1 2 u3,
3 23
整理可得调和方程（或由Navier方程直接简化）
渐近解
2u3 0
如何求解？
2u3
2u3 2r
1 r
u3 r
1 r2
2u3 2
0
u3 r1uˆ3
d 2uˆ3 d 2
12
uˆ3
0
uˆ3 C1 sin 1 C2 cos 1
3 0 u x1, x2
1 2
u , u .
1
2
1
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E
1
, 0
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是否对于各种含裂纹构型是否必须得分别求解？ 是否有共同的特点与规律？
线弹性断裂力学(第一章)
这就是平面应变断裂韧性。
不随厚度变化。 KIc
2.3.4 K断裂准则
2. K准则与G准则的关系
K准则与G准则作为断裂判据，有何关系？ 比较一下I型裂纹的应力强度因子与能量释放率： 对于平面应力状态 能量释放率 GI
2a
E
K 2 E
K Kc
G Gc
K c2 Gc E
理想脆性材料在线弹性条件下有
用应力强度因子来建立裂纹发生扩展的判据。
对于Ⅰ型裂纹，当 K K c (平面应变) K Kc (平面应力) 时，
裂纹处于失稳扩展的临界状态。这就是K断裂准则。 而 K c K IC 分别称为平面应力状态和平面应变状态的 临界应力强度因子
2.3.4 K断裂准则
1. K准则表达式
K准则究竟能否成立 ？
Gc 2 S
G准则的裂纹临界扩展条件 2E S c a 2E S c a 说明K准则与G准则实际上是等同的。
K c 2E S
K Kc
2.3.4 K断裂准则
2. K准则与G准则的关系
根据弹性力学分析
平面应力状态
K GI E
K Gc E
2
E /(1 )代替E
a 3 x cos (1 sin sin ) 2 2 2 2r a 3 y cos (1 sin sin ) 2 2 2 2r a 3 xy sin cos cos ) 2 2 2 2r
因而，K准则是确实成立的。
Kc
2.3.4 K断裂准则
材料的断裂韧性值与裂纹处的应力状态有关，不同的应力状 态对应的断裂韧性值不一样。由于构件的厚度确定了构件中的 应力状态，所以构件厚度直接影响材料的断裂韧性。 当厚度较小时，趋于平面应力状态，断裂韧性值较高，称为 平面应力断裂韧性。不同的厚度所对应的 K c 值不相同，有一 个最佳厚度，其所对应的值最高。厚度增加时， K c 值减小。 当厚度增加到某一个数 值时，裂纹尖端趋于平面 应变状态，此时的断裂韧 性值是一个较低的常值，
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界面断裂力学
●1959年，M.L.Williams(威廉姆斯), 用渐近级数展开法得到各向同性弹 性双材料界面裂纹尖端附近应力具有振荡奇异性的结论。
1965年，England(英格兰)发现由于应力振荡性，裂纹面会出现相互嵌 入现象。
● 1988年, Rice用复变函数法得到渐近应力场和位移场的表达式, 旨在消 除振荡与嵌入这种物理上不合理的现象而提出的接触区模型。
断裂力学的研究方法：
从弹性或弹塑性力学理论出发，把裂纹作 为一种边界条件，考察裂纹顶端的应力场、 应交场和位移场，设法建立这些场与控制断 裂的物理参量的关系和裂纹尖端附近的局部 断裂条件。
这种连续介质模型仍是一种理想的模型，在远离裂纹尖端的 区域是合适的，而在裂纹尖端附近的小区域(原子或晶体结构 的尺度范围)是否合适，还需深入到微观领域，弄清微观的断 裂机理，才能更好地了解力学因素在裂纹尖端的断裂过程中 是如何发挥作用的，才能深入了解宏观断裂的现象。
二、断裂力学中的几个基本概念
● Griffth(格里菲斯)裂纹
材料在生产、加工和使用中会产生缺陷和裂 纹，如冶炼、铸骸、焊接、热处理、中子辐 射、氢的渗入等。夹杂物、空穴、切口都是 缺陷，它们在尖端处的曲率半径不为零。对 于类裂纹型的缺陷可以简化为裂纹，认为其 尖端处的曲率半径等于零。这样的简化是偏 于安全的，把这种型纹称为Griffth(格里菲 斯)裂纹。
断裂动力学
● 1948年N．F．Mott(莫特), 进行了裂纹快速扩展速度的定量计算并将动能 引入Griffith能量准则;
● 1951年，E．H．Yoffe(约飞) ,提出了恒长度裂纹的匀速扩展模型，计及惯 性力，对裂纹分叉作定量分析;
1960年，J．W．Craggs(克拉格斯) ,提出了裂纹面受载而加载点随裂纹前进 的匀速扩展半无限长裂纹模型；
(罗森洛伦)分别发表了I型裂纹尖端应力应变场的弹塑性分析，即著名的 HRR奇异解，这是J积分可作为断裂准则的理论基础。
●J积分准则与COD准则一样，也只能作为起裂准则。裂纹稳定扩展准则的 建立则是当前这一领域的主要研究方向，已提出的准则：l型裂纹基于应变 的稳定扩展准则、1型裂纹和I型裂纹基于开口位移的稳定扩展准则。
纤维增强的复合材料)的相间界面裂纹扩展规律
断裂力学的任务：
●研究裂纹体的应力场、应变场与位移场，寻找 控制材料开裂的物理参量；
●研究材料抵抗裂纹扩展的能力——韧性指标 的变化规律，确定其数值及测定方法；
●建立裂纹扩展的临界条件——断裂准则；
●含裂纹的各种几何构形在不同荷载作用下，控 制材料开裂的物理参量的计算。
平面应变
平面应变
平面应力
平面应力
三、发展简史
线弹性断裂力学
●1913年，Ing1is(英格列斯)将物体内缺陷理想化为椭圆形切口，用线弹 性理论计算了含椭圆孔无限大板受均匀拉伸的问题，按应力集中的观点解 释了材料实际强度远低于理论强度是由于固体材料存在缺陷的缘故。
● 1921年，A．A．Griffith用弹性体能量平衡的观点研究了玻璃、陶瓷等 脆性材料中的裂纹扩展问题，提出了脆性材料裂纹扩展的能量准则。
●1960年，D．S.Dugdale (达格代尔) 研究裂纹尖端的塑性区。
●1961年，A．A．Wells(威尔斯)提出的裂纹张开位移(COD)准则。
●1968年,J.R．Rice(赖斯)提出用围绕裂纹尖端的与路径无关的线积分来研 究裂纹尖端的变形及J积分准则。
●1968年，J．W．Hutchinson(哈钦森)及J．R．Rice与G．R．Rosengren
●裂纹种类
按其在构件中的位置可分为贯穿裂纹(穿透板 厚的裂纹)、表面裂纹、深埋裂纹、角裂纹等。
工程 常见 裂纹
B
s
W
2a
s 中心裂纹
s
a
s 边裂纹
at
s
2c
s 表面裂纹
●裂纹基本类型
根据裂纹受力情况，裂纹分为三种基本类型：
• 张开型
滑开型
撕开型
●断裂方式
同一材料可能发生脆性断裂，也可能发生韧 性断裂，与受力状态、温度、应变速率、截 面厚度等有关。
1960年, K B．Broberg(布洛伯格), 提出的裂纹从零长度开始对称地向两侧匀 速开裂模型较有实际意义。
●Rice等多人先后导出了裂纹以等速传播情况的渐近应力场与位移场,提出了 动态应力强度因子概念及裂纹动态起始扩展准则、运动裂纹传播与止裂准则、 能量释放率准则。
尚处于初创阶段，除了线性材料的稳定裂纹动态起始扩展问题和对弹性波的 散射问题有较系统的直接解法作定量分析外，线性材料的裂纹快速传播与止 裂问题、非线性材料的动态裂纹问题、分叉问题等都是当前重要的研究课题。
宏观裂纹指材料制造或加工及使用过程中形成的宏观尺度(10-2cm以上)的类 裂纹缺陷。在实际结构中这种裂纹的存在是难免的。
断裂力学分支：
●线弹性断裂力学 脆性断裂的规律
●弹塑性断裂力学 韧性断裂规律
●断裂动力学 快速加载或裂纹快速扩展时的断裂问题
●界面断裂力学 多相物质组成的新材料(如高强度合金、陶瓷、
● 1955年， C．R．Irwin(欧文)提出应力场强度观点和应力强度因子断裂 准则。该准则与Grwith能量准则构成了线弹性断裂力学的核心内容。
● 1963年，F．Erdogan(艾多甘)和G．C Sih(薛昌明)提出混合型裂纹扩 展问题的最大拉应力理论。1973年，薛昌明又提出混合型裂纹的应变能密 度理论。
断裂力学线弹性理论
绪论
一、断裂力学的内容、任务与研究方法
●60年代开始发展，固体力学新分支； ●有微观断裂力学与宏观断裂力学之分； ●微观断裂力学从微观结构出发，研究断裂过程的物理本质，如 材料缺陷的成核、断裂的微观机理等，屑固体物理的范畴。 ●宏观断裂力学从宏观的连续介质力学角度出发，研究含缺陷下 宏观裂纹的扩展、失稳开裂、传扬和止裂规律。
今后在这领域里的主要研究方向是三维问题、表面裂纹问题、各向异性体 问题等奥洛文)和Irwin各自独立地用能量观点研究塑性材料的 裂纹扩展问题。他们认为，对于塑性材料，抵抗表面张力所作的功要比抵 抗塑性变形作的功小很多，从而提出了塑性材料裂纹扩展的能量判据。