海南中学2020届高三数学第二次月考试题卷 (含答案)

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2020届海南省海南中学高三第二次月考数学试题(解析版)

2020届海南省海南中学高三第二次月考数学试题一、单选题 1．设集合M ＝{x|x ＝2k ×180°＋45°，k ∈Z}，N ＝{x|x ＝4k×180°＋45°，k ∈Z}，那么( ) A ．M ＝N B ．N ⊆MC ．M ⊆ND ．M∩N ＝∅【答案】C【解析】变形表达式为相同的形式，比较可得．【详解】由题意可{|18045}{|2145}2kM x x k Z x x k k Z ==⋅︒+︒∈==+⋅︒∈得，（），，即M 为45︒的奇数倍构成的集合，又{|18045}{|145}4kN x x k Z x x k k Z ==⋅︒+︒∈==+⋅︒∈，（），，即N 为45︒的整数倍构成的集合，M N ∴⊆，故选C ．【点睛】本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题． 2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【答案】B 【解析】【详解】设塔顶的a 1盏灯，由题意{a n }是公比为2的等比数列， ∴S 7=()711212a --=381，解得a 1=3．故选B ．3．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（） A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】便宜没好货，故“好货”一定“不便宜”， “不便宜”不一定是“好货”. 故选：A . 【点睛】本题考查了充分条件，意在考查学生的推断能力.4．相关变量,x y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（）A ．1201r r <<<B ．2101r r <<<C ．1210r r -<<<D ．2110r r -<<< 【答案】D【解析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断. 【详解】由散点图得负相关，所以12,0r r <，因为剔除点()10,21后，剩下点数据更具有线性相关性，r 更接近1，所以2110r r -<<<.选D. 【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.5．下列函数中，既是奇函数，又在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．2sin x y x =-B ．122xx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin y x x =-D ．cos y x x =-【答案】B【解析】由奇函数的定义先可排除选项A,D 再利用函数单调性判断B,C ，即可得选项. 【详解】由奇函数的定义()()f x f x -=-，可知A,D 不满足奇函数的定义，排除A,D ；由2xy =与12x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭均为增函数，知122xx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为增函数，B 正确；对于sin y x x =-，有10y cosx -'=<，所以sin y x x =-为减函数，D 不正确. 故选B. 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断及单调性的判断，属于基础题. 6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则105S S 等于( ) A ．－3 B ．5C ．33D ．－31【答案】C【解析】由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出105S S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则()()61636333111119111a q S q q q S qa q q---===+=---，得2q =，因此，()()101105510555111111233111a q S q q q S q a qq---===+=+=---，故选C. 【点睛】本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用． 7．一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x ，y ，z ，当且仅当y ＞x ，y ＞z 时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（） A ．23B ．13C ．16D ．112【答案】B【解析】根据题意，分析“凸数”的定义，可得要得到一个满足三个不相同的数组成的三位“凸数”，在{1，2，3，4}的4个整数中任取3个数字，组成三位数，再将最大的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上即可，再利用古典概型概率计算公式即可得到所求概率．【详解】解：从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率81243P ==，故选：B ．【点睛】本题主要考查古典概型的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，属于基础题．8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos2cos22cos2A B C +=，则cos C 的最小值为（）A ．B ．2C ．12D ．12-【答案】C【解析】化简得到()2cos cos 2cos 1C A B C --=-，故()11cos 2cos 1cos A B C C-<-=-+≤，解得答案. 【详解】cos2cos22cos2A B C +=，即()()2cos cos 2cos2A B A B C +-=，即()2cos cos 2cos 1C A B C --=-，故()11cos 2cos 1cos A B C C-<-=-+≤. 解得：1cos 12C ≤<，当3A B C π===时cos C 有最小值为12. 故选：C . 【点睛】本题考查了三角恒等变换求范围，意在考查学生的计算能力和转化能力.9．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称【答案】B【解析】根据函数的图象，求得函数()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】根据给定函数的图象，可得点C 的横坐标为3π，所以1()2362T πππ=--=，解得T π=，所以()f x 的最小正周期T π=，不妨令0A >，0ϕπ<<，由周期T π=，所以2ω=，又06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3πϕ=，所以()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,3x k k Z ππ+=∈，解得,26k x k Z ππ=-∈，当3k =时，43x π=，即函数()f x的一个对称中心为4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的图象关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称．故选B ．【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题． 10．已知函数(1)y f x =+的图象关于y 轴对称，且函数()f x 在(1,)+∞上单调，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且418()()f a f a =，则{}n a 的前21项之和为（） A ．0 B ．252C ．21D ．42【答案】C【解析】由函数y ＝f （x+1）的图象关于y 轴对称，可得y ＝f （x ）的图象关于x ＝1对称，由题意可得418a a 2+=，运用等差数列的性质和求和公式，计算可得到所求和．【详解】函数()y f x 1=+的图象关于y 轴对称，平移可得()y f x =的图象关于x 1=对称，且函数()f x 在()1,+∞上单调，由数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()418f a f a =，可得418a a 2+=，所以121418a a a a 2+=+=，可得数列{}n a 的前21项和()1212121a a S 212+==.故选：C. 【点睛】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．11．已知函数()cos (0)f x wx wx w =+>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是（） A ．8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．8,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,73⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】由题意，函数()cos 2sin()6f x x x x πωωω=+=+，令6x t πω+=，所以()2sin f x t =，在区间上,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦恰有一个最大值点和最小值点，则函数()2sin f x t =恰有一个最大值点和一个最小值点在区间,[436]6πωππωπ+-+，则3246232362ππωππππωππ⎧-<-+≤-⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩，解答8203314ωω⎧≤<⎪⎨⎪≤<⎩，即834ω≤<，故选B ．【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12．若函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足()()2e x f x g x -=，则( )A ．()()()231f f g -<-<-B ．()()()132g f f -<-<-C ．()()()213f g f -<-<-D ．()()()123g f f -<-<-【答案】D【解析】根据奇函数偶函数性质计算函数表达式，代入数值比较大小. 【详解】若函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足()()2e xf xg x -=()()()()2e 2e x x f x g x f x g x ----=+=⇒-()4x x e e f x -+=()2x xe e g x --= 代入数值知：()()()123gf f -<-<- 故答案为D 【点睛】本题考查了根据奇偶函数性质求函数表达式，是函数性质里的常考题目.二、填空题 13．()()532xx a -+的展开式的各项系数和为32，则该展开式中4x的系数是______.【答案】5【解析】化简得到()()()()5553322x x a x a x x a -+=+-+，计算1a =，根据二项式定理计算得到答案. 【详解】()()()()5553322x x a x a x x a -+=+-+，取1x =得到()5132a +=，故1a =.()51x +的展开式的通项式为：515r rr T C x -+=，分别取1r =和4r =得到系数为：145525C C ⨯-=.故答案为：5. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 14．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【答案】212【解析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到n an的最小值．【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33．从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞，则f （n ）在)+∞上是单调递增，在(0上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．又因为55355a =，66321662a ==，所以n a n的最小值为62162a =故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．15．已知函数y ＝()f x 的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是122y x =＋，则()()1'1f f ＋＝________. 【答案】3【解析】由题意知()()115'112222f f ＝，＝＋＝，所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3. 答案：3.16．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为______. 【答案】15【解析】设购买水果的总价为y ，当120y ≥时，则()70%80%y y x ⋅≤-⋅恒成立，解得8yx ≤，得到答案. 【详解】设购买水果的总价为y ，当0120y <<时，易知成立；当120y ≥，则()70%80%y y x ⋅≤-⋅恒成立，解得8yx ≤恒成立. 当买两盒草莓，即120y =时，8y取最小值，故x 取最大值为15. 故答案为：15. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的应用，意在考查学生的应用能力.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n 项，…，按原来顺序组成一个新数列{}n b ，记该数列的前n 项和为n T ，求n T 的表达式.【答案】（1）21n a n =+；（2）224n n T n +=+-【解析】（1）根据题意得到181350a d +=，()()2111312a d a a d +=⋅+，解得答案，利用等差数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式；（2）221nn b =⋅+，利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1）3550S S +=，即181350a d +=；1a ，4a ，13a 成等比数列，故24113a a a =⋅，即()()2111312a d a a d +=⋅+；解得13,2a d ==，故()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+；（2）221nn b =⋅+，故21242412nn n T n n +-=⋅+=+--.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.18．已知函数()sin(3)4f x x π=+.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值.【答案】（1）22[,]34312k k ππππ-+，k Z ∈；（2）或．【解析】试题分析：（1）将34x π+看作一个整体，根据正弦函数sin y x =的单调递增区间便可得()sin(3)4f x x π=+的单调递增区间.（2）将3α代入4()cos()cos 2354f απαα=+得4sin()cos()cos 2454ππααα+=+.求三角函数值时，首先考虑统一角，故利用和角公式和倍角公式化为单角α的三角函数得：4sin cos (cos sin )(cos sin )(sin cos )5αααααααα+=--+.注意这里不能将sin cos αα+约了.接下来分sin cos 0αα+=和sin cos 0αα+≠两种情况求值.试题解答：（1）22232()24243123k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈；（2）由题设得：4sin()cos()cos 2454ππααα+=+，即4sin cos (cos sin )(cos sin )(sin cos )5αααααααα+=--+，. 若sin cos 0αα+=，则cos sin αα-= 若sin cos 0αα+≠，则241(cos sin )cos sin 5αααα=-⇒-=【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.19．在ABC ∆中，锐角C 满足252sin cos 232C C π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. （1）求角C 的大小；（2）点P 在BC 边上，3PAC π∠=，3PB =，sin 38BAP ∠=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3C π=；（2【解析】（1）化简得到sin 232C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据22,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭得到答案. （2）根据正弦定理得到AB =根据余弦定理得到2PA =，再计算面积得到答案. 【详解】（1）252sin cos 232C C π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简得到33sin 2cos 2222C C -=.即sin 23C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，22,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故233C ππ-=，3C π=.（2）易知APC ∆为等边三角形，故23APB ∠=π. 根据正弦定理：2sin sin3PB ABPABπ=∠，故AB =根据余弦定理：2222co 23sAB PA PB PA PB π=+-⋅，解得2PA =，故5BC =，2AC =.1sin 232ABC S CA CB π∆=⋅=. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的综合应用能力.20．已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14a =，()*134n n a S n N +=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2log n n n a b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：89n T <. 【答案】（1）4nn a =；（2）证明见解析【解析】（1）利用公式1n n n a S S -=-结合等比数列的定义可得出数列{}n a 的通项公式；（2）化简得到21244nn n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，利用错位相减法计算得到868994n n n T +=-⨯，得到证明. 【详解】（1）()*134n n a S n N+=+∈，当2n ≥时，134nn aS -=+，两式相减得到14n n a a +=，213416a a =+=，214a a ∴=，所以，数列{}n a 是以4为首项，以4为公比的等比数列，故4nn a =；（2）2log n n n a b a =，即42nn b n ⋅=，故21244nn n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故2111242444n n T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，23111112424444n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .相减得到：23412341322222211111224444444444444n n n n n n n T ++⎛⎫=+++++-=+++++- ⎪⎝⎭L L111112122122684411434433414n n n n n n n n +++⎛⎫⨯- ⎪+⎛⎫⎝⎭=-=--=- ⎪⨯⎝⎭-，化简整理得到：86889949n n n T +=-<⨯，得证. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，错位相减法，证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.21．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：交付金额（元）支付方式（0,1000]（1000,2000] 大于2000仅使用A 18人 9人 3人仅使用B 10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】(Ⅰ) 25； (Ⅱ)见解析； (Ⅲ)见解析.【解析】(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；(Ⅱ)首先确定X 可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可.(Ⅲ)由题意结合概率的定义给出结论即可. 【详解】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：1003025540---=人，则：该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率4021005p ==. (Ⅱ)由题意可知，仅使用A 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占35，金额大于1000的人数占25，仅使用B 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占25，金额大于1000的人数占35，且X 可能的取值为0,1,2.()32605525p X ==⨯=，()22321315525p X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525p X ==⨯=，X 的分布列为：其数学期望：()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ)我们不认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率．学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”. 【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关. 22．设函数()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数.（1）若()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，且()g x 在(1,)+∞上有最小值，求a 的取值范围；（2）若()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论. 【答案】（1）(,)a e ∈+∞（2）当0a ≤或1a e -=时，()f x 的零点个数为1；当10a e -<<时，()f x 的零点个数为2.【解析】【详解】（1）∵11()0ax f x a x x='-=-<，考虑到函数()f x 的定义域为(0,)+∞，故0a >，进而解得1x a ->，即()f x 在1(,)a -+∞上是单调减函数. 同理，()f x 在1(0,)a -上是单调增函数. 由于()f x 在(1,)+∞是单调减函数，故1(1,)(,)a -+∞⊆+∞，从而11a -≤，即1a ≥.令()0x g x e a '=-=，得ln x a =，当ln x a <时，()0g x '<；当ln x a >时，()0g x '>，又()g x 在(1,)+∞上有最小值，所以ln 1a >，即a e >，综上所述，(,)a e ∈+∞.（2）当0a ≤时，()g x 必是单调增函数；当0a >时，令()0xg x e a '=->，解得x a e <，即ln x a >，∵()g x 在(1,)-+∞上是单调函数，类似（1）有ln 1a ≤-，即10a e -<≤，综合上述两种情况，有1a e -≤. ①当0a =时，由(1)0f =以及1()0f x x'=>，得()f x 存在唯一的零点； ②当0a <时，由于()(1)0a a a f e a ae a e =-=-<，(1)0f a =->，且函数()f x 在[,1]a e 上的图象不间断，∴()f x 在(,1)a e 是单调增函数，∴()f x 在(,1)a e 上存在零点. 另外，当0x >时，1()0f x a x'=->，则()f x 在(0,)+∞上是单调增函数，()f x 只有一个零点.③当10a e -<≤时，令1()0f x a x¢=-=，解得1x a -=. 当10x a -<<时，()0f x '>；当1x a ->时，()0f x '<. ∴1x a -=是()f x 的最大值点，且最大值为1()ln 1f a a -=--.1)当ln 10a --=，即1a e -=时，()f x 有一个零点x e =.2)当ln 10a -->，即10a e -<<时，()f x 有两个零点. 实际上，对于10a e -<<，由于11()10f e ae--=--<，1()0f a ->，且函数()f x 在11[,]e a --上的图象不间断，∴()f x 在11(,)e a --上存在零点.另外，当1(0,)x a -∈时，1()0f x a x'=->，故()f x 在1(0,)a -上是单调增函数，∴()f x 在1(0,)a -上有一个零点.下面需要考虑()f x 在(,)a+∞１上的情况，先证112()()0a f e a a e ---=-<，为此，我们要证明：当x e >时，2x e x >，设2()xh x e x =-，则，再设()()2x l x h x e x ='=-，则()2xl x e =-'.当1x >时，()220xl x e e =->->'，∴()()l x h x '=在(1,)+∞上是单调增函数，故当2x >时，2()2(2)40x h x e x h e ''=->=->，从而()h x 在(2,)+∞上是单调增函数，进而当x e >时，22()()0x e h x e x h e e e =->=->，即当x e >时，2x e x >.当10a e -<<，即1a e ->时，11112()()0a a a f e a ae a a e -----=-=-<，又1()0f a ->，且函数()f x在11[,]a a e --的图象不间断，∴()f x 在11(,)a a e --上存在零点. 又当1x a ->时，1()0f x a x'=-<，故()f x 在1(,)a -+∞是单调减函数，所以，()f x 在1(,)a -+∞上只有一个零点.综上所述，当0a ≤或1a e -=时，()f x 的零点个数为1；当10a e -<<时，()f x 的零点个数为2. 【考点定位】本小题主要考查导数的运算及用导数研究函数的性质，考查函数、方程及不等式的相互转化，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.。

海南省海口市第四中学2020届高三数学上学期第二次月考试题(含解析)

【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是 3 ，且每个顶点都在球 O 的球面上，
∴设此直三棱柱两底面的中心分别为 O1,O2 ，则球心 O 为线段 O1O2 的中点，
设球 O
的半径为
R
，则
R2
3 2
2
2 3
3 2
2 3
21 4
∴球 O 的表面积 S 4 R2 21 .
故答案为 21 ．
足 xf '(x) 2 f (x) ，所以 xf '(x) 2 f (x) 0 ，因为 g(x) x2 f (x) ，所以
g
(
x)
2
xf
(
x)
x2
f
x
0
，所以函数
g
x
在
(0,
)
上单调递增，所以
g
x
在
(, 0) 上单调递减，由不等式 g x g(1 x) ，等价于 g
x
g(1
x)
x 1
C. {1，2，4，6}
D.
{1，2，3，4，5}
【答案】C
【解析】
试题分析：根据补集的运算得
ðUP 2, 4, 6,(ðUP) Q 2, 4, 61, 2, 4 1, 2, 4, 6 ．故选 C.
【考点】补集的运算.
【易错点睛】解本题时要看清楚是求“ ”还是求“ ”，否则很容易出现错误；一定要注
D. 在回归分析中，可用相关指数 R2 的值判断模型的拟合效果， R2 越大，模型的拟合效果
越好【答案】D 【解析】【分析】
依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，即可得到答案.
【详解】依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，选项 D 是正确的．

海南中学2020届高三第二次月考试题 (答案)

记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于
1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付
金额大于1000元”．
由题设知，事件C，D相互独立，且
P(C )

93 30

0.4,
P(D) 14 1 0.6 ． 25
所以 P( X 2) P(CD) P(C)P(D) 0.24 ，
ad1

3 2
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
即 an＝2n＋1......................................................................................................5 分 (2)由已知，得 bn＝ a2n ＝2×2n＋1＝2n＋1＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1) ＝411－－22n＋n＝2n＋2－4＋n...... .....................................................................10 分
则由上个月的样本数据得 P(E)

1 C330

1 4060
．
答案示例1：可以认为有变化．理由如下： P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．........................................12 分

海南省2020届高三上学期第二次月考数学试卷

高三年级第二次月考试题数学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，请认真阅读答题卡上的注意事项，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷选择题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U =R ，集合{}|0A x x =<，{}2,1,0,1,2B =--，那么B A C U ⋂)(等于( ) A ．{}0,1,2 B ．{}1,2 C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--2．关于命题“当[]1,2m ∈时，方程220x x m -+=没有实数解”，下列说法正确的是（ )A ．是全称量词命题，假命题B ．是全称量词命题，真命题C ．是存在量词命题，假命题D ．是存在量词命题，真命题3．设,a b r r为非零向量，则“a r ∥b r”是“,a b r r方向相同”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点（） A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度 C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度5．已知)3,2(=a ，)1,(-=m m b ，)3,(m c =，若b a //，则c b •=（）A.-5B.5C.1D.-16．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（）A.B.C.D.7．已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<8．复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 的实部与虚部之和为( ) A ．2B ．2-C ．1D ．09．已知函数21()44f x x x=-，则 ()f x 的大致图象是 ( )A ．B ．C ．D ．10．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2B ．2C ．2 D ．411．设'()f x 是函数()f x 的导函数，若'()0f x >，且1212,()x x R x x ∀∈≠，1212()()22x x f x f x f +⎛⎫+< ⎪⎝⎭，则下列选项中不一定正确的一项是（）A ．(2)()()f f e f π<<B ．'()'()'(2)f f e f π<<C ．(2)'(2)'(3)(3)f f f f <-<D ．'(3)(3)(2)'(2)f f f f <-<12．已知函数a x e x f x -=)(，xx e ax e x g )(3)(-=，若方程有4个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分） 13．已知i 是虚数单位，复数21iz i =-，则在复平面上复数z 对应的点坐标______. 14．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地，去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子原高一丈(丈尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为__________尺．15．曲线52x y e -=+在点(0，3)处的切线方程为________．16．己知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有以下结论： ①()f x 的图象关于直线y 轴对称 ②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫⎪⎝⎭④()f x 的最大值为12则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0a C c A b B ++=.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆3353，求ABC ∆的周长.18、（本小题满分12分）在正项等比数列{}n a 中，11a =且32a ，5a ，43a 成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若数列{}n b 满足n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19、函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域（2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值20、（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ADC ︒∠=，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点，AB CE =.（1）求证：//DE 平面ACF ；（2）求异面直线EO 与AF 所成角的余弦值；（3）求AF 与平面EBD 所成角的正弦值.21、（本小题满分12分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元（假设这100名农民工的月工资均在[]25,55（百元）内）且月工资收入在[)45,50（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥ 0.05 0.01 0.005 0.001 0k3.8416.6357.87910.82822.（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln f x x ax a x =-+- （I ）若2a ≥-讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a >，且对于函数()f x 的图象上两点()()()()()11122212,,P x f x P x f x xx <，存在()012,x x x ∈，使得函数()f x 的图象在0x x =处的切线12//l PP .求证：1202x x x +<.高三第一学期第二次月考一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案AABBACCDBACB二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分） 13. (1,1). 14.15. y ＝－5x ＋3 16. ②④ 三、解答题17、（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0a C c A b B ++=.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为334，其外接圆的半径为33，求ABC ∆的周长.【详解】（Ⅰ）由题意，因为cos cos 2cos 0a C c A b B ++=，由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B B ++=，即()sin 2sin cos 0A C B B ++=，由A C B π+=-，得sin 2sin cos 0B B B +=，又由(0,)B π∈，则sin 0B >，所以12cos 0B +=，解得1cos 2B =-，又因为(0,)B π∈，所以23B π=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知23B π=53， 5323=5b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，可得2225a c ac =++，因为ABC ∆1sin 2ac B ==，解得3ac =，所以()()2222253a c ac a c ac a c =++=+-=+-，解得：a c += 所以ABC ∆的周长5L a c b =++=.18、（本小题满分12分）在正项等比数列{}n a 中，11a =且32a ，5a ，43a 成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若数列{}n b 满足n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】（1）53412231a a a a =+⎧⎨=⎩Q 42311112231a q a q a q a ⎧=+∴⎨=⎩2q ∴=，12q =-0n a >Q ，2q ∴= 1112n n n a a q --==（2）12n n n n n b a -==Q 01211232222n n n S -∴=++++L 121112122222n n n n n S --=++++L ①-②得211111122222n n n nS -=++++-L12212222n n n n n +⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭1242n n n S -+∴=-19、函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域（2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值【详解】（1）根据图象可知171,4123A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x Tππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈⎪⎝⎭， ||,0,23k ππϕϕ<∴==Q()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时sin t 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以值域为21,02⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭()()3[4,2]F x f x =-∈--对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上则max ()0h t ≤恒成立而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩，解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m ≤-，则m 的最大值为265-.20、（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ADC ︒∠=，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点，AB CE =.（1）求证：//DE 平面ACF ；（2）求异面直线EO 与AF 所成角的余弦值；（3）求AF 与平面EBD 所成角的正弦值. 【详解】解：（1）如图，连接OF ，因为底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，可得O 点为BD 的中点，又F 为BE 的中点，所以OF 为BDE V 的中位线，可得OF∥DE,又OF ACF ∈,DE 不在平面ACF 内，可得//DE 平面ACF ；（2）如图连接C 点与AD 中点位x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴建立空间直角坐标系，设菱形ABCD 的边长为2，可得CE=2，可得E(0，0，2)，O(32,123可得：31(,2)2EO =-u u u r ,(3,0,1)AF =-u u u r ,设异面直线EO 与AF 所成角为θ，可得222222311(3)0(2)(1)5222cos =2531()()(2)(3)(0)(1)22EO AF EO AFθ-+⨯+-⨯-⋅==++-⨯-++-u u u r u u u r u u u r u u u r ，（3）可得3,-1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),可得n 0(3,3,0)DB ⋅=u u u u r r ,(0,2,2)BE =u u u r ,设平面EBD 的一个法向量为n r，可得n 0DB ⋅=u u u r u r ，n 0BE ⋅=u u u r r ,可得n r的值可为(-3,-1,1)，由(3,0,1)AF =--u u u r可得AF 与平面EBD 所成角的正弦值为n n AF AF ⋅r u u u r r u u u r 2222223)3)5554(3)(1)(1)(3)(0)(1)-==-+-+-++-.21、（本小题满分12分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元（假设这100名农民工的月工资均在[]25,55（百元）内）且月工资收入在[)45,50（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥ 0.05 0.01 0.005 0.001 0k3.8416.6357.87910.828【详解】（Ⅰ）Q 月工资收入在[)45,50（百元）内的人数为15∴月工资收入在[)45,50（百元）内的频率为：150.15100=；由频率分布直方图得：()0.02240.0150.151m n +++⨯+= 化简得：20.07m n +=……①由中位数可得：()0.025********.5m n ⨯+⨯+⨯-= 化简得：540.2m n +=……② 由①②解得：0.02m =，0.025n = （Ⅱ）根据题意得到列联表：技术工非技术工总计月工资不高于平均数19 3150()2210019193131 5.7610.82850505050K ⨯⨯-⨯∴==<⨯⨯⨯∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关22.（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln f x x ax a x =-+- （I ）若2a ≥-讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a >，且对于函数()f x 的图象上两点()()()()()11122212,,P x f x P x f x xx <，存在()012,x x x ∈，使得函数()f x 的图象在0x x =处的切线12//l PP .求证：1202x x x +<. 【详解】（1）解：易得，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()1221x x a a f x x a x x-+=-+='-，令()0f x '=，得1x =或2ax =-. ①当0a ≥时，01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.此时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞. ②当20a -<<时，12ax -<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 02ax <<-或1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 此时，()f x 的减区间为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，增区间为0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，()1,+∞.③当2a =-时，0x >时，()()2210x f x x-'=>，函数()f x 单调递增；此时，()f x 的减区间为()0,+∞.综上，当0a ≥时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞：当20a -<<时，()f x 的减区间为,12a⎛⎫- ⎪⎝⎭，增区间为0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.()1,+∞；当2a =-时，()f x 增区间为()0,+∞.（2）证明：由题意及导数的几何意义，得()()()1121021R P f x f x f x k x x =='--()()22222111211ln 1ln x ax a x x ax a x x x ⎡⎤⎡⎤-+---+-⎣⎦⎣⎦=-()211222ln2x a x x x a x x =+-+++由（1）中()f x '得()121212222x x a f x x a x x +⎛⎫=+-+-⎪+⎭'⎝. 易知，导函数()()21af x x a x=-+-' (0)a >在()0,+∞上为增函数，所以，要证1202x x x +<，只要证()1202x x f x f +⎛⎫< ⎪⎝'⎭'，即212112ln2x a x a x x x x <--+，即证()2121122ln x x xx x x ->+. 因为210x x >>，不妨令21x t x =，则()()21ln 1t g t t t -=-+ (1)t >. 所以()()()()222114011t g t t t t t -=-=+'>+ (1)t >，所以()g t 在()1,t ∈+∞上为增函数，所以()()10g t g >=，即()21ln 01t t t -->+，所以()21ln 1t t t ->+，即ln 211t t t >-+，即()2121122lnx x x x x x ->+. 故有1202x x x +<（得证）.。

海南省2020届高三数学上学期第二次月考试题

高三数学上学期第二次月考试题（满分：150分时间：120分钟）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁U P）∪Q=（）A. B. C. 2,4, D. 2,3,4,2.已知p：（x-1）（x-2）≤0，q：log2（x+1）≥1，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列命题中的假命题是（）A. ,B. ,C. ,D. ,4.以下四个命题中是真命题的是（）A. 对分类变量x与y的随机变量的观测值k来说,k越小,判断“x与y有关系”的把握程度越大B. 两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于0C. 若数据,,,,的方差为1,则,,,,的方差为2D. 在回归分析中,可用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好．5.若b＜a＜0，则下列结论不正确．．．的是( )A. B. C. D.6.某地市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ～N(100，σ2)，已知P(80＜ξ≤100)＝0.45，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A. 5份B. 10份C. 15份D. 20份7.已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则xy的最大值为（）A. B. 1 C. D.8.随机变量X的分布列如表所示，若E（X）=，则D（3X-2）=（）A. 9B. 7C. 5D. 39.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是A. 奇函数B. 周期是C. 关于直线对称D. 关于点对称10.当x∈R时，不等式kx2-kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是（）A. B.C. D.11. 若，，且函数在处有极值，则的最小值为A.B.C.D.12. 已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f （x ），其导函数为f ′（x ），对任意正实数x 满足xf ′（x ）＞-2f （x ），若g （x ）=x 2f （x ），则不等式g （x ）＜g （1-x ）的解集是（）A.B.C.D.二、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 设函数f （x ）=，则f （）的值为_________14. 设x ∈R ，向量，且，则=________15. 一正三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为_____16. 若函数f (x )＝ln x －ax ＋1，a ∈R 有零点，则实数a 的取值范围是_______ 三、解答题（共70分） 17. (本小题12分)已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式（2）求f （x ）的单调增区间；（3）求f （x ）在区间上的最大值和最小值．18. (本小题10分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足4a n -3S n =2，其中n ∈N *．（Ⅰ）求证：数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）设b n =a n -4n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．19.(本小题12分)某大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛．经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训．下图是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图．赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数不低于85票的可进入决赛，其中票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．(1)从进入决赛的选手中随机抽出2名，X表示其中拥有“优先挑战权”的人数，求X的分布列和数学期望；(2)请填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为进入决赛与选择的导师有关？下面的临界值表仅供参考：(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)20.(本小题12分) 如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B-AD-E的大小．21.(本小题12分)设椭圆C：=1（a＞b＞0），过点Q（，1），右焦点F（，0），（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=k（x-1）（k＞0）分别交x轴，y轴于C，D两点，且与椭圆C交于M，N两点，若，求k值，并求出弦长|MN|．22.(本小题12分)已知函数f（x）=ax2-ln x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）是否存在实数a，使函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．答案一、选择题二、填空题13. 14.15. π21 16.]1,(-∞17.(本小题12分)解：（1）由图象知A =1，由图象得函数的最小正周期为，则由得ω=2)2sin()(ϕ+=∴x x f 又1)62sin()6(=+⨯=ϕππf)(223Z k k ∈+=+∴ππϕπ)(26Z k k ∈+=∴ππϕ又2πϕ<6πϕ=∴)62sin()(π+=∴x x f（2）∵，∴．∴．所以f （x ）的单调递增区间为．（3）∵，∵， ∴．∴．当，即时，f （x ）取得最大值1；当，即时，f （x ）取得最小值．18.(本小题10分)（Ⅰ）证明：因为4a n -3S n =2，①所以当n =1时，4a 1-3S 1=2，解得a 1=2；当n ≥2时，4a n -1-3S n -1=2，②…3 分由①-②，得4a n -4a n -1-3（S n -S n -1）=0，所以a n =4a n -1，由a 1=2，得a n ≠0，故{a n }是首项为2，公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得a n =2×4n -1．所以b n =a n -4n =4n -1-4n ，则{b n }的前n 项和T n =（40+41+…+4n -1）-4（1+2+3+…+n ）=-4×=314-n -2n 2-2n19.(本小题12分)解：(1)由题中茎叶图可知，进入决赛的选手共13名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名．根据题意，X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝＝， P (X ＝1)＝＝， P (X ＝2)＝＝.X 的分布列如下：E (X )＝0×＋1×＋2×＝.(2)由茎叶图可得2×2列联表如下：K 2＝≈5.584>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为进入决赛与选择的导师有关． 20. (本小题12分)证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE 中，由DE =BE =1，CD =2，得BD =BC =，由AC =，AB =2得AB 2=AC 2+BC 2，即AC ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC ⋂平面BCDE=BC 从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC ⊥DE ，又DE ⊥DC ，从而DE ⊥平面ACD ；（Ⅱ）21.(本小题12分)解：（Ⅰ）椭圆过点Q （，1），可得+=1，由题意可得c =，即a 2-b 2=2，解得a =2，b =，即有椭圆C 的方程为+=1；（Ⅱ）直线l ：y =k （x -1）与x 轴交点C （1，0），y 轴交点D （0，-k ），联立，消y 得，（1+2k 2）x 2-4k 2x +2k 2-4=0，①设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=，=（x2-1，y2），=（-x1，-k-y1），由，得：x1+x2==1，解得k=±．由k＞0得k=代入①得2x2-2x-3=0，x1+x2=1，x1x2=-，可得|MN|=•=•=．22.(本小题12分)解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2-ln x，f（1）=1，，f′（1）=1，∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-y=0．（Ⅱ）∵f（x）=ax2-ln x，a∈R，∴此函数的定义域为（0，+∞），=，当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，e]上是减函数，∴当x=e时，f（x）取得最小值f（e）=ae2-1=，解得a=＞0与a≤0矛盾；当a＞0时，令f′（x）=0，得(舍)，，在（0，）上，f′（x）＜0，在（，+∞）上，f′（x）＞0，∴当＜e，即a＞时，函数f（x）在（0，）上是减函数，在（，e）上是增函数，∴当x=时，f（x）取得最小值，令=，得a=，符合题意．当≥e，即0＜a≤时，函数f（x）在（0，e]是减函数，∴当x=e时，f（x）取得最小值，即ae2-1=，解得a=与0＜a≤矛盾．综上，存在a=，使函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为．。

海南省2022届高三数学上学期第二次月考试题

海南省东方市2020届高三数学上学期第二次月考试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合,,则等于( )A. 1,B.C.D.2.已知全集,集合,图中阴影部分所表示的集合为( )A. B. C. D.3.命题,的否定是( )A. B.C. D.4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论：,；；方程的两根之和大于0；,其中正确的个数是( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5.,下列不等式中成立的是( )A. B. C. D.6.已知向量,若为正数,则的最小值是A. 9B. 8C.D.7.“”是“关于x的不等式恒成立”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.古代数学名著张丘建算经中曾出现过高息借贷的题目：“今有举取他绢,重作券；要过限一日,息绢一尺；二日息二尺；如是息绢日多一尺今过限一百日,问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品,每过期一天便加纳一天利息债务过期一天要纳利息一尺绢,过期二天则第二天便再纳利息二尺,这样,每天利息比前一天增加一尺若过期100天,欠债方共纳利息为A. 100尺B. 4950尺C. 5000尺D. 5050尺9.已知是第二象限角,且,则( )A. B. C. D.10.已知向量,,若,则( )A. B. C. D. 111.曲线在点处切线的斜率等于( )A. 2eB. eC. 2D. 112.若等比数列的前项和为,且,,则( )A. B. 15 C. 31 D. 或31二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域为 ________________．14.函数在区间上的最大值为1,则实数______．15.函数的值域为______ ．16.将函数的图象向左平移3个单位,得函数的图象如图,点分别是函数图象上y轴两侧相邻的最高点和最低点,设,则的值为_________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(满分10分)化简求值,要求给出必要的化简步骤：18.（满分12分）的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知．1求C. 2若,的面积为,求的周长．19.（满分12分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表：1请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解析式；2将图象上所有点向左平行移动个单位长度,并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变,得到的图象若图象的一个对称中心为,求的最小值；3在2条件下,求在上的增区间．20.（满分12分）已知在等比数列中,,且,,成等差数列．求数列的通项公式；若数列满足：,求数列的前n项和．21.（满分12分）已知函数．求函数的解析式和单调区间；设,若对任意,,不等式恒成立,求实数b的取值范围．22.（满分12分）已知常数,e为自然对数的底数,函数,．写出的单调递增区间,并证明；讨论函数在区间上零点的个数．2021学年度高三第一学期【答案】1. A2. A3. B4. B5. B6. B7. C8. D9. A10. A11. C12. D13.14. 115.16.17. 解：；．18. 解：Ⅰ在中,,已知等式利用正弦定理化简得：,整理得：,即,；Ⅱ由余弦定理得,,,,,,的周长为．19. Ⅰ根据表中已知数据,解得数据补全如下表：x0 5 0 0且函数表达式为Ⅱ由Ⅰ知,得．令,解得,．由可知,当时,取得最小值Ⅲ由题意得,令,得,又,或,的增区间为,．20. 解：设等比数列的公比为q,,,成等差数列,,,．21. 解：,,,,,由及 0'/>得；由及得或, 故函数的单调递增区间是,单调递减区间是,．若对任意,,不等式恒成立,问题等价于,由可知,在上,是函数的极小值点,这个极小值点是唯一的极值点,故也是最小点,所以,,,当时,；当时,；当时,；问题等价于或或,解得或或,即,所以实数b的取值范围是．22. 解：,得的单调递增区间是,故的单调递增区间为；,,,即,即得证；,由,得,列表x单调递减极小值单调递增当时,函数取极小值,无极大值, 由,,,,,,当,即时,函数在区间不存在零点,当,即时,若,即时,函数在区间不存在零点,若,即时,函数在区间存在一个零点,若,即时,函数在区间存在两个零点,综上所述,在上,我们有结论：当时,函数无零点；当时,函数有一个零点；当时,函数有两个零点．【解析】1. 解：,0,1,,0,1,,1,．故选：A．求解一元二次不等式化简B,再由交集运算得答案．本题考查交集及其运算,考查一元二次不等式的解法,是基础题．2. 【分析】本题考查Venn图表达集合的关系及运算,阴影部分表示的是在集合A中,但不在集合B中的元素,由图可知结果．【解答】解：阴影部分表示的是在集合A中,但不在集合B中的元素,由图可知,图中阴影部分所表示的集合为,故选A．3. 【分析】本题主要考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题,所以：命题,的否定是：．故选B．4. 【分析】根据已知中二次函数的图象,逐一分析四个结论的真假,可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了二次函数的图象和性质,难度中档．【解答】解：抛物线开口向下,,抛物线对称轴,且抛物线与y轴交于正半轴,,,故错误；由图象知,当时,,即,故正确,令方程的两根为、,由对称轴,可知,即,故正确；由可知抛物线与x轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：,当时,,故正确．故选B．5. 【分析】此题利用特殊值排除错误选项使解题变得简洁,此题是一道基础题．由题意,可以令,,代入A,B,C,D进行排除求解．【解答】解：,令,,,故A错误；,故C错误；,,故D错误；故选B．6. 【分析】本题考查了平面向量的坐标运算与基本不等式的应用问题,是基础题目．根据向量的平行可以得到,再根据基本不等式即可求出答案．【解答】解：向量且,,．,,当且仅当,时取等号,故的最小值是8,故选B．7. 【分析】本题主要考查充分必要条件的定义,解题的关键是正确求出不等式恒成立的条件,属于基础题．【解答】解：当时,不等式等价为,此时不满足条件．当时,要使不等式恒成立,即,即,,故选C．8. 【分析】本题考查等差数列的前n项和,是基础的计算题．【解答】解：设债务过期一天要纳利息为尺绢,过期二天第二天纳利息尺绢,可知每天要纳绢的尺数构成等差数列,公差为,又,过期100天,欠债方共纳利息为．故选D．9. 【分析】本题主要考查三角函数的知识点,根据题意得,从而即可得到,根据是第二象限角,即可得到答案．【解答】解：因为,两边平方,因为,,,是第二象限角,所以．故选A．10. 解：,,且,,即．则．故选：A．由已知可得,求得,然后利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查数量积的坐标运算,考查三角函数的恒等变换及化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是中档题．11. 【分析】本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础．求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为,当时,,即曲线在点处切线的斜率．故选C．12. 解：设等比数列的公比为,,,,,消去,化为,解得．时,；,．则,或．故选：D．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．13. 【分析】本题考查复合函数的定义域求解,属于基础题目．由真数大于0,得出求解不等式得出即可．【解答】解：由题意可得,解得,故函数的定义域为．故答案为．14. 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键．根据函数的图象为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得,利用函数在区间上的最大值为1,可求实数a的值．【解答】解：函数的图象为开口向上的抛物线,函数的最大值在区间的端点取得,,,或解得,实数a等于1,故答案为1．15. 解：时,,当且仅当时“”成立,时,,当且仅当时“”成立,故函数的值域是：,故答案为：．根据基本不等式的性质通过讨论x的范围求出函数的值域即可．本题考查了基本不等式的性质,考查对勾函数的性质,是一道基础题．16. 【分析】本题考查正弦函数的图象变换,余弦定理,两角差的正切公式,考查计算能力,属于中档题,根据函数图象的变换,求得的值,由正弦函数的性质,求得M和N的坐标,利用余弦定理求得的值,即可求得．【解答】解：函数的图象向左平移3个单位,得, 则,,则,因此,由,则,所以,的值为,故答案为．17. 本题主要考查了对数与指数运算,熟练掌握运算法则是解决此类问题的关键．直接由指数的运算法则即可得到结果；直接由对数运算法则即可计算出结果．18. Ⅰ已知等式利用正弦定理化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根据sin C不为0求出cos C的值,即可确定出出C的度数；利用余弦定理列出关系式,利用三角形面积公式列出关系式,求出的值,即可求的周长．此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及三角函数的恒等变形,熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19. 本题考查三角函数的图象和性质以及图象变换,属于中档题．Ⅰ本小题考查三角函数图象的画法及解析式,根据表中所给数据即可补充完整并写出函数解析式；Ⅱ本小题考查图象变换及的图象和性质,根据条件平移之后利用对称中心得到,即可求出的最小值；Ⅲ由题意得,令,得,再将其对应到即可．20. 本题考查等差与等比数列的综合应用,属于中档题．利用等差数列的性质和等比数列的通项公式即可求解；利用分组求和即可解答．21. 利用函数的导数,求解,推出函数的解析式,通过导函数的符号,得到函数的单调区间．若对任意,,不等式恒成立,问题等价于,分别求解两个函数的最小值,通过b的范围讨论推出结果．本题考查函数的导数的综合应用,函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力．22. 本题主要考查了导数的运用,运用导数研究函数的单调性和极值,运用导数证明不等式以及用导数研究函数的零点个数,考查了分析能力和转化能力,属于较难题．根据,即在上单调递增,再根据,得到,即,即得证；先运用导数研究的单调性和极值,根据可得,得,,然后分当,即时和当,即时,分别探究在区间上零点的个数,再综合即可．。

海南省海口市灵山中学2020届上学期高三第二次月考试题

海南省海口市灵山中学2020届上学期高三第二次月考试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数()cos 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是（） A ．2π B ．πC ．2πD ．4π 2．函数()f x =） A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞3．已知x ∈R ,则“230x x ->”是“40x ->”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（）A ．()sin f x x =B ．()1f x x =-+C ．()3f x x x =+D ．()2ln 2x f x x-=+ 5．在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=13，则sinB=( ) A ．15 B ．59 CD ．16．33sin 25x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2x 的值为（） A ．725- B ．1425 C ．1625- D ．19257．已知3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13=-β，β是第三象限角，则()cos βα-的值是（）A ．3365-B ．6365C ．5665D ．5665-8．将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（）A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期是πC ．()3y f x =的图像关于直线2x π=对称 D ．()y f x =的图像关于02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 9．已知()()214,1log ,1a a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩是(),-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（）A ．0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．11．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上递增，1()03f =，则满足18(log )0f x >的x 的取值范围是（）A ．（0，+∞）B ．11(0,)(,2)82⋃C ．1(0,)(2,)2+∞D ．1(0,)2 12．设函数()()()000f x R x x f x ≠的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（）A ．()()0,x R f x f x ∀∈≤B ．()0x f x --是的极小值点C ．()0x f x --是的极小值点D ．()0x f x ---是的极小值点二、填空题13．若209,T x dx T =⎰则常数的值为 .14．已知函数()()()3log 090x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则34f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________．15．若函数()lg (f x ax =是R 上的奇函数，则a 的值为_____．16．1(0,)2x ∈时，4log x a x <恒成立，则a 的取值范围是_________________________三、解答题17．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图．（1）()f x 的最小正周期及解析式；（2）设()()cos2g x f x x =-，求函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值． 18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C =（1）求角C 的大小；（2cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．19．已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+．（1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值．20．四棱锥S ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知135DAB ∠=，BC =2SB SC AB ===，F 为线段SB 的中点．（1）求证：//SD 平面CFA ；（2）求平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值．21．已知函数()()1ln m f x x m x m R x -=--∈，()212x x g x x e xe =+-，（1）当[]1,x e ∈，求()f x 的最小值，（2）当2m ≤时，若存在21,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得对任意[]22,0x ∈-，()()12f x g x ≤成立，求实数m 的取值范围.22．选修4 - 4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线1C 的极坐标方程为28sin 15ρρθ=-，曲线2C 的参数方程为(α为参数)．（1）将1C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若2C 上的点Q 对应的参数为34απ=，P 为1C 上的动点，求的最小值． 23．已知函数()2223f x x x =++-．（1）若x R ∃∈，使得不等式()f x m <成立，求m 的取值范围；（2）求使得等式()41f x x ≤-成立的x 的取值范围．参考答案1．B【分析】利用余弦函数的周期性求解．【详解】()f x 的最小正周期是22T ππ==．故选：B ．【点睛】本题考查函数的周期性，掌握余弦函数的周期性是解题关键．2．C【分析】对数函数定义域及分母不为0，结合起来即可求得定义域.【详解】要使函数有意义，则20log 10x x >⎧⎨->⎩即220log log 2x x >⎧⎨>⎩解得2x > 故选：C .【点睛】本题考查了对数函数真数大于0，同时分母不为0的定义域问题，属于基础题.3．B【分析】先解出不等式x 2﹣3x ＞0，再判断命题的关系．【详解】x 2﹣3x ＞0得，x ＜0，或x ＞3；∵x ＜0，或x ＞3得不出x ﹣4＞0，∴“x 2﹣3x ＞0”不是“x﹣4＞0”充分条件；但x ﹣4＞0能得出x ＞3，∴“x 2﹣3x ＞0”是“x﹣4＞0”必要条件．故“x 2﹣3x ＞0”是“x﹣4＞0”的必要不充分条件．故选B ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．4．D【分析】可以先确定单调性，排除两个选项，再利用奇偶性排除一个选项，得出正确结论．【详解】()sin f x x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是递增，在[1,1]-上也递增， 1,1()11,1x x f x x x x --≥-⎧=-+=⎨+<-⎩在[1,1]-上递减， 3()f x x x =+在R 上是增函数，在[1,1]-递增，24()ln ln 122x f x x x -⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭在[1,1]-上递减．排除A ，C ，又()1f x x =-+中(0)1f =-，函数不是奇函数，排除C ，故选：D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题关键．5．B【解析】试题分析：由正弦定理得355sin 1sin 93B B =∴=，故选B ．考点：正弦定理的应用6．A【分析】根据诱导公式，先得到3cos 5x =-，再由二倍角的余弦公式，即可得出结果. 【详解】由33sin 25x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭得3sin 25x π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则3cos 5x =-，因此27cos 22cos 125x x =-=-. 故选：A.【点睛】本题主要考查由三角函数值求三角函数值，熟记二倍角公式，以及诱导公式即可，属于基础题型.7．A【分析】由平方关系求得sin α，cos β，再由两角差的余弦公式计算．【详解】 ∵3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13=-β，β是第三象限角， ∴4sin 5α，5cos 13β=-， ∴5312433cos()cos cos sin sin 13513565βαβαβα⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A ．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角差的余弦公式，属于基础题，在用平方关系求值时需注意角的范围．8．D【解析】试题分析：将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数sin()cos 2y x x π=+=，因为cos()02y π=-=，所以()-02y f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于点，对称，选D.考点：三角函数图象的变换，三角函数诱导公式，三角函数的图象和性质.9．C【分析】根据分段函数的单调性，只需函数在每段上单调递减且()2141a a f -+≥即可.【详解】因为()()214,1log ,1a a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩是(),-∞+∞上的减函数，所以21001214log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得1162a ≤<. 故选：C.【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，考查了一次函数、对数函数的单调性，属于中档题. 10．C【分析】根据函数()y xf x '=的图象，依次判断()f x 在区间(,1)-∞-，(1,0)-，(0,1)，(1,)+∞上的单调性即可．【详解】由函数()y xf x '=的图象可知：当1x <-时，()0xf x '<，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当10x -<<时，()0xf x '>，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当01x <<时，()0xf x '<，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当1x >时，()0xf x '>，()0f x '>，此时()f x 单调递增．故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．C 【分析】由题意可得偶函数()f x 在[)0+∞，上递增，在(]0-∞，上递减，结合题意可得181log 3x >①，或181log 3x <- ②，分别求得①②的解集，再取并集，即得所求．【详解】由题意可得偶函数()f x 在[)0+∞，上递增，在(]0-∞，上递减，且11033f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故由18log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭可得181log 3x > ①，或181log 3x <- ②．由①可得 lg 1133lg 2x >，1lg lg 2x <，解得102x <<．由②可得 lg 1133lg 2x <-，1lg lg lg 22x >-=，解得2x >．综上可得，不等式的解集为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性在解不等式中的应用，解对数不等式，对数的熟练运算是解题的关键，属于中档题． 12．D 【详解】对于A 选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B 中的()f x -是将()f x 的图象关于y 轴对称，所以0x -是其极大值点,错误；对于C 中的()f x -是将()f x 的图象关x 轴对称，所以0x 才是其极小值点，错误；而对于D 中的()f x --是将()f x 的图象关原点对称，故0x -是其极小值点，正确. 故选D.【解析】依题意331|()933TxT==，所以3T=14．3 2 -【分析】先计算34f⎛⎫- ⎪⎝⎭，再计算34f f⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【详解】由已知33423934f--⎛⎫-==⎪⎝⎭，∴33223333log342f f f--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：32 -．【点睛】本题考查求分段函数值，考查对数的运算法则，属于基础题．15．±1．【分析】由奇函数的定义求解．【详解】∵()f x是奇函数，∴222()()lg(lg(lg(1)0 f x f x ax ax x a x-+=-+=+-=，221(1)1a x+-=恒成立，∴1a=±，a=±时，())f x x=的定义域均为R，满足题意，故答案为：±1．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性的定义是解题关键．16．对于任意10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，总有4log xax <恒成立，则在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时y log a x =的图象恒在4x y =的上方．在同一坐标系中分别画出指数函数和对数函数图象，据此可求得a 的取值范围．【详解】当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数4xy =的图象如下图所示：因为对于任意10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，总有4log x a x <恒成立，则y log a x =的图象恒在4xy =的上方因为y log a x =与4xy =的图象相交于1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭时代入对数函数，求得2a =所以此时a 的取值范围为2⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的综合应用，根据函数图像及交点求得参数值，进而求得取值范围，属于难题．17．（1）最小正周期为π，π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）12- 【分析】（1）由三角函数的图象，结合三角函数的性质，可求出,,A ωϕ，进而可得到()f x 的解析式与最小正周期；（2）将()f x 代入()()cos2g x f x x =-，计算可得()g x πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可求出π26x -的取值范围，进而可求出()g x 的最小值. 【详解】（1）由图可得1A =，2ππ2π36T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，又2πT ω=，所以2ω=．当π6x =时，()1f x =，可得πsin 216ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以ππ22π62k ϕ⨯+=+()k ∈Z ，即π2π6k ϕ=+，因为π2ϕ<，所以6π=ϕ，所以π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）()()cos2g x f x x =-πsin 2cos 26x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππsin 2cos cos 2sin cos 266x x x =+-12cos 22x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x -≤-≤．当ππ266x -=-，即0x =时，()g x 取得最小值，即()()min π10sin 062g x g ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查三角函数的最值，考查三角函数解析式的求法，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题. 18．（1）4C π；（2）最大值为2，此时5,.312A B ππ==【详解】（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（2）由（1）知3.4B A π=-于是cos()cos()4cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时2sin()6A π+取最大值2．cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==19．（1）4a b ==；（2）见解析. 【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线()y f x =在点()()0,0f 处切线方程为44y x =+，建立方程，即可求得a ，b 的值；（2）利用导数的正负，可得()f x 的单调性，从而可求()f x 的极大值．试题解析：（1）()()24xx eax b f a x =++--'．由已知得()04f =，()04f '=．故4b =，8a b +=．从而4a =，4b =．（2）由（1）知，()()2414xf x ex x x =+--，()()()14224422x x f x e x x x e ⎛⎫=+--=+- ⎝'⎪⎭．令()0f x '=得，ln2x =-或2x =-．从而当()(),2ln 2,x ∈-∞--+∞时，()0f x '>；当()2,ln 2x ∈--时，()0f x '<．故()f x 在(),2-∞-，()ln 2,-+∞上单调递增，在()2,ln 2--上单调递减．当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值为()()2241f e--=-．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x '；(3)解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．20．（1）证明见解析；（2）13【分析】（1）连BD ，交AC 于点E ，连EF ，可得//EF SD ，然后根据线面平行的判定定理可得//SD 平面CFA ；（2）取BC 的中点O ，连结SO 、AO ，可证明,,OA OC OS 两两垂直，建立空间直角坐标系，再利用向量法求二面角的余弦值即可．【详解】（1）连结BD ，交AC 于点E ，连接EF ，如图所示：由于底面ABCD 为平行四边形，可知E 为BD 的中点，在SBD 中，F 为SB 的中点，//EF SD ∴，又∵EF ⊂平面CFA ，SD ⊄平面CFA ，//SD ∴平面CFA ；（2）取BC 的中点O ，连结SO 、AO ，由题意可知△SBC 为等腰三角形，则SO BC ⊥，且SO ==在△ABC 中，2AB =，BC =45CBA ︒∠=，由余弦定理，2222cos AC AB BC AB BC CBA =+-⋅∠，则2AC ==，则2AB AC ==，222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥，即ABC 为等腰直角三角形，所以12OA BC ==AO BC ⊥，又∵平面SBC ⊥底面ABCD ，平面SBC 底面ABCD BC =，AO ⊂底面ABCD ，∴AO ⊥平面SBC .∵,SO OC ⊂平面SBC ，∴,AO SO AO OC ⊥⊥，以BC 的中点O 为坐标原点，OA 、OC 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则有)A，()0,B，()C，)D，(S ，(2,0,SA =，(0,SB=，(SC =，()2,CD =，设平面SAB 的法向量为1(,,)n x y z =，1100n SA n SB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00=-=⎪⎩，令1z =，则1x =，1y =-，则()11,1,1n =-是平面SAB 的一个法向量，同理设平面SCD 的法向量为()2,,n a b c =，2200n CD n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00==，令1a =-，则1b =，1c =，则()21,1,1n =-是平面SCD 的一个法向量，设平面SAB 与平面SCD 所成二面角为θ，则θ为锐角，所以12121211cos cos ,33n n n n n n θ⋅-=<>===⋅.【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21．（1）答案见解析；（2）21,21e e e ⎡⎤-+⎢⎥+⎣⎦. 【详解】（1）()1ln (0)m f x x m x x x-=--> ， ()()()221111x x m m m f x x x x ---⎡⎤-⎣⎦'∴=-+= ，当2m ≤时，()f x 在[]1,x e ∈上()f x ' ()()min 0,12f x f m ≥==- ，当1m e ≥+ 时，()f x 在[]1,e 上()0f x '≤ ，()()min 1m f x f e e m e-==--，当21m e <<+时，()f x 在[]1,1x m ∈-上()0f x '≤，[]1,x m e ∈-上()0f x '≥ ，()()()min 12ln 1f x f m m m m =-=---，（2）已知等价于()()12min min f x g x ≤ ，由（1）知2m ≤时()f x 在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上()()()min 10,m f x f x f e e m e-≥==--' ，而()()()11xxxg x x e x e x e'=+-+=- ，当[]22,0x ∈-，()()()22min 0,01g x g x g '≤== ，所以12,1m m e m e-≤--≤ ，所以实数m 的取值范围是21,21e e e ⎡⎤-+⎢⎥+⎣⎦.22．（1）228150x y y +-+＝；（21 【解析】试题分析：（1）利用222cos {sin x y x y ρθρθρ===+，将曲线1C 的极坐标方程转化为直角坐标系方程；（2）当34απ=时，利用曲线2C 的参数方程得()2,1Q -，根据（1）圆的直角坐标系方程，可知点Q 到1C 的圆心()0,4PQ 的最小值．试题解析：解:（1）根据222cos {sin x y x y ρθρθρ===+，可得228150x y y +-+＝；（2）当34απ=时，得()2,1Q -，点Q 到1C 的圆心()0,4所以PQ1．考点：坐标系与参数方程． 23．（1）5m >；（2）(]3,1,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）根据绝对值三角不等式，得到()f x 的最小值，即可得出结果；（2）根据绝对值三角不等式取等号的条件，即可直接得出结果. 【详解】（1）因为()2223223222325f x x x x x x x =++-=++-≥++-=，当且仅当312x -≤≤时，等号成立；又x R ∃∈，使得不等式()f x m <成立，所以只需min ()f x m <，即5m >；（2）由()2223222341f x x x x x x =++-≥++-=-，又()41f x x ≤-，故()=41f x x -，当且仅当()()22230x x +-≥时，等号成立，解得32x ≥或1x ≤-. 即使得等式()41f x x ≤-成立的x 的取值范围为(]3,1,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，属于常考题型.。

海南2020届高三数学上学期第二次月考试题

高三数学上学期第二次月考试题本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（共60分)一、单选题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1．已知集合{}20A x x x =+≤，{}ln(21)B x y x ==+，则A B =（）A ．1,02⎛⎤-⎥⎝⎦B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎛⎤⎥⎝⎦ D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦2．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D 23．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（） A ．40B ．60C ．80D ．1004．函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则a 的取值范围是（） A ．3a ≥B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．3a ≤-5．已知0.61.2 1.22,log2.4,log3.6x y z ===，则（） A ．x y z <<B ．x z y <<C ．z x y <<D ．y x z <<6．直线l 是平面α外的一条直线，下列条件中可推出//l α的是（） A ．l 与α内的一条直线不相交 B ．l 与α内的两条直线不相交 C ．l 与α内的无数条直线不相交D ．l 与α内的任意一条直线不相交7．函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间为（） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,48．已知向量()()cos ,,2,1a sin b θθ==-，且a b ⊥，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（） A ．13B ．3-C ．3D ．13-9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，当(]0,1x ∈时，()2ln xf x x =+，则()2019f = A ．2-B ．2C ．12-D ．1210．将函数()3sin (0)f x x x ωωω=->的图象向右平移6π个单位长度，所得图象过点,12π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为（） A ．1B ．2C ．32D ．2311．已知a R ∈，函数()22,1ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩，且对任意的实数x ，()0f x ≥恒成立，则a 的取值范围为（） A ．[]0,2B ．[]0,eC ．[]1,2D ．[]1,e12．已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b：-=>>的一个焦点F 与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点相同，1C 与2C 交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（） A 2 B 3C ．2D 21第II 卷（共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每个小题5分，共20分。

海南2020届高三数学上学期第二次月考试题

高三数学上学期第二次月考试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合,,则等于( )A. 1,B.C.D.2.已知全集,集合,图中阴影部分所表示的集合为( )A. B. C. D.3.命题,的否定是( )A. B.C. D.4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论：,；；方程的两根之和大于0；,其中正确的个数是( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5.,下列不等式中成立的是( )A. B. C. D.6.已知向量,若为正数,则的最小值是A. 9B. 8C.D.7.“”是“关于x的不等式恒成立”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.古代数学名著张丘建算经中曾出现过高息借贷的题目：“今有举取他绢,重作券；要过限一日,息绢一尺；二日息二尺；如是息绢日多一尺今过限一百日,问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品,每过期一天便加纳一天利息债务过期一天要纳利息一尺绢,过期二天则第二天便再纳利息二尺,这样,每天利息比前一天增加一尺若过期100天,欠债方共纳利息为A. 100尺B. 4950尺C. 5000尺D. 5050尺9.已知是第二象限角,且,则( )A. B. C. D.10.已知向量,,若,则( )A. B. C. D. 111.曲线在点处切线的斜率等于( )A. 2eB. eC. 2D. 112.若等比数列的前项和为,且,,则( )A. B. 15 C. 31 D. 或31二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域为 ________________．14.函数在区间上的最大值为1,则实数______．15.函数的值域为______ ．16.将函数的图象向左平移3个单位,得函数的图象如图,点分别是函数图象上y轴两侧相邻的最高点和最低点,设,则的值为_________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(满分10分)化简求值,要求给出必要的化简步骤：18.（满分12分）的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知．1求C. 2若,的面积为,求的周长．19.（满分12分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表：1请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解析式；2将图象上所有点向左平行移动个单位长度,并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变,得到的图象若图象的一个对称中心为,求的最小值；3在2条件下,求在上的增区间．20.（满分12分）已知在等比数列中,,且,,成等差数列．求数列的通项公式；若数列满足：,求数列的前n项和．21.（满分12分）已知函数．求函数的解析式和单调区间；设,若对任意,,不等式恒成立,求实数b的取值范围．22.（满分12分）已知常数,e为自然对数的底数,函数,．写出的单调递增区间,并证明；讨论函数在区间上零点的个数．【答案】1. A2. A3. B4. B5. B6. B7. C8. D9. A10. A11. C12. D13.14. 115.16.17. 解：；．18. 解：Ⅰ在中,,已知等式利用正弦定理化简得：,整理得：,即,；Ⅱ由余弦定理得,,,,,,的周长为．19. Ⅰ根据表中已知数据,解得数据补全如下表：且函数表达式为Ⅱ由Ⅰ知,得．令,解得,．由可知,当时,取得最小值Ⅲ由题意得,令,得,又,或,的增区间为,．20. 解：设等比数列的公比为q,,,成等差数列,,,．21. 解：,,,,,由及 0'/>得；由及得或, 故函数的单调递增区间是,单调递减区间是,．若对任意,,不等式恒成立,问题等价于,由可知,在上,是函数的极小值点,这个极小值点是唯一的极值点,故也是最小点,所以,,,当时,；当时,；当时,；问题等价于或或,解得或或,即,所以实数b的取值范围是．22. 解：,得的单调递增区间是,故的单调递增区间为；,,,即,即得证；,由,得,列表当时,函数取极小值,无极大值, 由,,,,,,当,即时,函数在区间不存在零点,当,即时,若,即时,函数在区间不存在零点,若,即时,函数在区间存在一个零点,若,即时,函数在区间存在两个零点,综上所述,在上,我们有结论：当时,函数无零点；当时,函数有一个零点；当时,函数有两个零点．【解析】1. 解：,0,1,,0,1,,1,．故选：A．求解一元二次不等式化简B,再由交集运算得答案．本题考查交集及其运算,考查一元二次不等式的解法,是基础题．2. 【分析】本题考查Venn图表达集合的关系及运算,阴影部分表示的是在集合A中,但不在集合B中的元素,由图可知结果．【解答】解：阴影部分表示的是在集合A中,但不在集合B中的元素,由图可知,图中阴影部分所表示的集合为,故选A．3. 【分析】本题主要考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题,所以：命题,的否定是：．故选B．4. 【分析】根据已知中二次函数的图象,逐一分析四个结论的真假,可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了二次函数的图象和性质,难度中档．【解答】解：抛物线开口向下,,抛物线对称轴,且抛物线与y轴交于正半轴,,,故错误；由图象知,当时,,即,故正确,令方程的两根为、,由对称轴,可知,即,故正确；由可知抛物线与x轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：,当时,,故正确．故选B．5. 【分析】此题利用特殊值排除错误选项使解题变得简洁,此题是一道基础题．由题意,可以令,,代入A,B,C,D进行排除求解．【解答】解：,令,,,故A错误；,故C错误；,,故D错误；故选B．6. 【分析】本题考查了平面向量的坐标运算与基本不等式的应用问题,是基础题目．根据向量的平行可以得到,再根据基本不等式即可求出答案．【解答】解：向量且,,．,,当且仅当,时取等号,故的最小值是8,故选B．7. 【分析】本题主要考查充分必要条件的定义,解题的关键是正确求出不等式恒成立的条件,属于基础题．【解答】解：当时,不等式等价为,此时不满足条件．当时,要使不等式恒成立,即,即,,故选C．8. 【分析】本题考查等差数列的前n项和,是基础的计算题．【解答】解：设债务过期一天要纳利息为尺绢,过期二天第二天纳利息尺绢,可知每天要纳绢的尺数构成等差数列,公差为,又,过期100天,欠债方共纳利息为．故选D．9. 【分析】本题主要考查三角函数的知识点,根据题意得,从而即可得到,根据是第二象限角,即可得到答案．【解答】解：因为,两边平方,因为,,,是第二象限角,所以．故选A．10. 解：,,且,,即．则．故选：A．由已知可得,求得,然后利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查数量积的坐标运算,考查三角函数的恒等变换及化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是中档题．11. 【分析】本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础．求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为,当时,,即曲线在点处切线的斜率．故选C．12. 解：设等比数列的公比为,,,,,消去,化为,解得．时,；,．则,或．故选：D．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．13. 【分析】本题考查复合函数的定义域求解,属于基础题目．由真数大于0,得出求解不等式得出即可．【解答】解：由题意可得,解得,故函数的定义域为．故答案为．14. 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键．根据函数的图象为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得,利用函数在区间上的最大值为1,可求实数a的值．【解答】解：函数的图象为开口向上的抛物线,函数的最大值在区间的端点取得,,,或解得,实数a等于1,故答案为1．15. 解：时,,当且仅当时“”成立,时,,当且仅当时“”成立,故函数的值域是：,故答案为：．根据基本不等式的性质通过讨论x的范围求出函数的值域即可．本题考查了基本不等式的性质,考查对勾函数的性质,是一道基础题．16. 【分析】本题考查正弦函数的图象变换,余弦定理,两角差的正切公式,考查计算能力,属于中档题,根据函数图象的变换,求得的值,由正弦函数的性质,求得M和N的坐标,利用余弦定理求得的值,即可求得．【解答】解：函数的图象向左平移3个单位,得, 则,,则,因此,由,则,所以,的值为,故答案为．17. 本题主要考查了对数与指数运算,熟练掌握运算法则是解决此类问题的关键．直接由指数的运算法则即可得到结果；直接由对数运算法则即可计算出结果．18. Ⅰ已知等式利用正弦定理化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根据sin C不为0求出cos C的值,即可确定出出C的度数；利用余弦定理列出关系式,利用三角形面积公式列出关系式,求出的值,即可求的周长．此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及三角函数的恒等变形,熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19. 本题考查三角函数的图象和性质以及图象变换,属于中档题．Ⅰ本小题考查三角函数图象的画法及解析式,根据表中所给数据即可补充完整并写出函数解析式；Ⅱ本小题考查图象变换及的图象和性质,根据条件平移之后利用对称中心得到,即可求出的最小值；Ⅲ由题意得,令,得,再将其对应到即可．20. 本题考查等差与等比数列的综合应用,属于中档题．利用等差数列的性质和等比数列的通项公式即可求解；利用分组求和即可解答．21. 利用函数的导数,求解,推出函数的解析式,通过导函数的符号,得到函数的单调区间．若对任意,,不等式恒成立,问题等价于,分别求解两个函数的最小值,通过b的范围讨论推出结果．本题考查函数的导数的综合应用,函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力．22. 本题主要考查了导数的运用,运用导数研究函数的单调性和极值,运用导数证明不等式以及用导数研究函数的零点个数,考查了分析能力和转化能力,属于较难题．根据,即在上单调递增,再根据,得到,即,即得证；先运用导数研究的单调性和极值,根据可得,得,,然后分当,即时和当,即时,分别探究在区间上零点的个数,再综合即可．。

2020届高三数学上学期第二次月考试题理(含解析)_1

2020届高三数学上学期第二次月考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）已知集合，，则A. B. C. D.A. B. C. D.设，则A. B. C. D.在中，D为边BC上的一点，且，则A. B. C. D.已知函数，则是“曲线在点处的切线与坐标轴围成的面积为的A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件设，则A. B. C. D.在公差d不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则A. 1B. 2C. 3D. 4若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为A. B.C. 或D. 或已知在上单调递减，且，则A. B. C. 1 D.在以C为钝角的中，是单位向量，，的最小值为，则A. B. C. D.定义在R上的函数满足，且对任意的都有其中为的导数，则下列一定判断正确的是A. B.C. D.在数列中，且，则A. 3750B. 3700C. 3650D. 3600二、填空题（本大题共4小题）若x，y满足约束条件则的最小值为______已知数列满足，则的前10项和为______．已知向量，，且，则______．函数图象的对称中心是______．三、解答题（本大题共6小题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．求C；若，求，的面积设等比数列的前n项和为，且．求的通项公式；若，求的前n项和．某生态农庄有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为300米，A为直径延长线上的点，米，E为半圆上任意一点，以AB 为一边作等腰直角，其中BC为斜边．若；，求四边形OACB的面积；现决定对四边形OACB区域地块进行开发，将区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？已知数列的前n项和为，，公差不为0的等差数列满足，证明：数列为等比数列．记，求数列的前n项和．已知函数．求的单调区间与最值；证明：函数在上是增函数．在直角坐标系xOy中线C的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为．求直线l和曲线C的普通方程；已和点，且直线l和曲线C交于A，B两点，求的值．2020届高三数学上学期第二次月考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）已知集合，，则A. B. C. D.A. B. C. D.设，则A. B. C. D.在中，D为边BC上的一点，且，则A. B. C. D.已知函数，则是“曲线在点处的切线与坐标轴围成的面积为的A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件设，则A. B. C. D.在公差d不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则A. 1B. 2C. 3D. 4若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为A. B.C. 或D. 或已知在上单调递减，且，则A. B. C. 1 D.在以C为钝角的中，是单位向量，，的最小值为，则A. B. C. D.定义在R上的函数满足，且对任意的都有其中为的导数，则下列一定判断正确的是A. B.C. D.在数列中，且，则A. 3750B. 3700C. 3650D. 3600二、填空题（本大题共4小题）若x，y满足约束条件则的最小值为______已知数列满足，则的前10项和为______．已知向量，，且，则______．函数图象的对称中心是______．三、解答题（本大题共6小题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．求C；若，求，的面积设等比数列的前n项和为，且．求的通项公式；若，求的前n项和．某生态农庄有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为300米，A为直径延长线上的点，米，E为半圆上任意一点，以AB为一边作等腰直角，其中BC为斜边．若；，求四边形OACB的面积；现决定对四边形OACB区域地块进行开发，将区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？已知数列的前n项和为，，公差不为0的等差数列满足，证明：数列为等比数列．记，求数列的前n项和．已知函数．求的单调区间与最值；证明：函数在上是增函数．在直角坐标系xOy中线C的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为．求直线l和曲线C的普通方程；已和点，且直线l和曲线C交于A，B两点，求的值．。

2020届海南省高三第二次(线上)联合考试数学试题Word版含解析

2020届海南省高三第二次(线上）联合考试数学试题一、单选题1．已知集合{|ln 1}A x x =<，{|12}B x x =-<<，则A B =I （）A ．(0,)eB ．(1,2)-C ．(1,)e -D ．(0,2) 【答案】D【解析】解不等式ln 1x <，化简集合A ，根据交集定义即可求解.【详解】因为{|ln 1}A x x =<{|0}x x e =<<，所以{|02}A B x x ⋂=<<.故选:D【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关键，属于基础题.2．已知复数z =，则复数z 的共轭复数z =（）A ．122i -B ．122i -C ．122i +D ．122+ 【答案】A【解析】复数z 实数化，即可求解.【详解】因为z ===，所以12z i =-. 故选:A【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数定义，属于基础题.3．抛物线218y x =的焦点坐标是（） A ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,032⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()2,0【答案】C【解析】化简得28x y =，即得焦点坐标.【详解】由题得28x y =，所以抛物线的焦点坐标为(0,2).故选：C【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（）A ．甲得分的平均数比乙的大B ．乙的成绩更稳定C ．甲得分的中位数比乙的大D ．甲的成绩更稳定【答案】B 【解析】根据图形中的数据，可求出甲乙的平均数，中位数，分析数据的离散程度，确定方差大小，即可求解.【详解】甲、乙得分的平均数均为13，中位数均为13，甲得分的方差明显比乙大.故选:B【点睛】本题考查数据的处理以及数据的分析，属于基础题.5．函数ln ||cos ()sin x x f x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-U 的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的奇偶性和特殊值可判断.【详解】解：因为ln ||cos ()()sin x x f x f x x x⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，()02f π±=，()03f π>，()0f π<，故排除B 、C , 故选：D . 【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.6．把边长为4的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当直线BD 和平面ABC 所成的角为60o 时，三棱锥D ABC -的体积为( ) A ．823 B ．63 C ．863 D ．1623【答案】C【解析】取AC 的中点O ，作DM BO ⊥，结合等腰三角形三线合一、线面垂直判定定理可证得AC ⊥平面BOD ，由线面垂直性质证得BM AC ⊥；根据线面垂直判定定理和线面角的定义可知60DBO ∠=o ，由此可确定DM 的长，即所求三棱锥的高；由棱锥体积公式计算可得结果.【详解】取AC 的中点O ，连接,BO DO ，作DM BO ⊥AD DC =Q ，AB BC = AC DO ∴⊥，AC BO ⊥,BO DO ⊂Q 平面BOD ，BO DO O =I AC ∴⊥平面BODDM ⊂Q 平面BOD DM AC ∴⊥又DM BO ⊥，,BO AC ⊂平面ABC ，BO AC O ⋂= DM ∴⊥平面ABCBD ∴与平面ABC 所成角即为DBO ∠，则60DBO ∠=oDO BO =Q DBO ∴∆为等边三角形11616222BO DO ==+=Q 6DM ∴=111864463323D ABC ABC V S DM -∆∴=⋅=⨯⨯⨯= 故选：C【点睛】本题考查三棱锥体积的求解问题，涉及到直线与平面所成角的求解、线面垂直的判定与性质定理的应用；关键是能够确定直线与平面所成角的位置，进而求得三棱锥的高.7．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为( )A ．10B ．15C ．20D ．24 【答案】A【解析】将问题等价转化为将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内，进而求得结果.【详解】问题等价于将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内 ∴关灯方案共有：3510C =种故选：A【点睛】本题考查组合数的应用，关键是能够将问题进行等价转化为符合插空法的形式.8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为（）A ．98πB ．196πC ．784πD ．13723π 【答案】B 【解析】先做出BD 与1AC 所成角的角下图中的∠BOE ，设,,CE x OE BE =用x 表示，然后用余弦定理求出x ，求出长方体的对角线，即长方体的外接球的直径，可求出答案.【详解】连AC 与BD 交于O 点,则O 为AC 中点，取1CC 中点E ，连,BE OE ，则1//AC OEEOB ∴∠为异面直线BD 与1AC 所成角,设,CE x =则236BE x =+8AB =，6AD =，25,25OB OC OE x ===+在OBE ∆中，由余弦定理得2222362cos BE x OB OE OB OE EOB =+=+-⨯⨯∠222362525225x x x +=++-+26x =1246CC x ==36649614++=所以长方体的外接球的半径为7，所以长方体外接球的表面积为196π.故选:B【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理，以及长方体外接球的表面积，做出空间角，解三角形是解题的关键，属于较难题.二、多选题9．双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线上的点(3M -关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F ，点P 是双曲线上的动点，则PM PF +的值可能为( )A ．4B ．43C ．2D ．3【答案】ABD【解析】由渐近线上的点的坐标可求得渐近线方程；利用对称关系可知OM OF =，由此求得c ；当,,P M F 三点共线且P 在双曲线右支上时，可知PM PF +取得最小值MF ，无最大值，由此可判断各个选项能否取得.【详解】由双曲线方程得渐近线方程为：b y x a=± (3M -Q 在渐近线上 ∴渐近线方程为3y x =设坐标原点为O ，则OM OF = 132c ∴=+=当,,P M F 三点共线且P 在双曲线右支上时，PM PF +最小 ()()()22min 210323PM PF MF ∴+==++-=又P 为双曲线上的动点 PM PF ∴+无最大值,,A B D Q 选项中的值均大于23C 选项中的值小于23,,A B D ∴选项中的值均有可能取得故选：ABD【点睛】本题考查双曲线中的距离之和的最值问题的求解，关键是能够确定最小值取得的位置，进而确定最小值.10．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中正确的是( )A ．若//αβ，则m α⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l m ⊥，则//l βD ．若//m α，则αβ⊥【答案】AD【解析】根据空间中平行与垂直关系的判定与性质定理依次判断各个选项即可得到结果.【详解】若一条直线垂直于两平行平面当中的一个，则一定垂直于另一个，可知A 正确； αβ⊥Q ，m β⊥ //m α∴或m α⊂，又//l α ,l m ∴可能平行、相交或异面，B 错误； m β⊥Q ，l m ⊥ //l β∴或l β⊂，C 错误；//m αQ α\内必存在直线m 的平行线n ，又m β⊥ n β∴⊥n α⊂Q αβ∴⊥，D 正确.故选：AD【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，考查学生对于空间中平行与垂直关系相关定理的掌握.11．已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则( ) A ．M 的最小值为25B ．当M 最小时，2125x =C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，265x = 【答案】BC 【解析】将所求最小值转化为为函数ln 2y x x =-+图象上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方；利用导数可求得与直线242ln 20x y +--=平行的函数的切线，由此可求得切点坐标，则切点到直线距离的平方即为所求最小值，利用点到直线距离公式求得最小值；求得过切点且与242ln 20x y +--=垂直的直线方程，两直线方程联立即可求得M 最小时，2x 的值.【详解】由111ln 20x x y --+=得：111ln 2y x x =-+()()221212x x y y -+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点到直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方由ln 2y x x =-+得：11y x'=- 与直线242ln 20x y +--=平行的直线的斜率为12-则令1112x -=-，解得：2x = ∴切点坐标为()2,ln 2()2,ln 2∴到直线242ln 20x y +--=的距离d ==即函数ln 2y x x =-+上的点到直线242ln 20x y +--= ()()221212x x y y ∴-+-的最小值为245d = 过()2,ln 2与242ln 20x y +--=垂直的直线为()ln 222y x -=-即24ln 20x y --+=由242ln 2024ln 20x y x y +--=⎧⎨--+=⎩，解得：125x =，即当M 最小时，2125x = 故选：BC【点睛】本题考查两点间距离的最小值的求解问题，关键是能够通过等价转化将问题转化为曲线上的点到直线距离的最小值的求解问题，可知与直线平行并和曲线相切的直线所形成的切点到直线的距离最小.12．已知定义在R 上的函数()f x ，对于任意的,x y R ∈恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且()00f ≠，若存在正数t ，使得()0f t =.给出下列四个结论:①()01f =；②2124t f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()f x 为偶函数；④()f x 为周期函数. 其中正确的结论的编号是( )A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】ACD【解析】取0x y ==即可得到①正确；取2t x y ==可知②错误；取0x =，可得()()-=f y f y ，知③正确；取0x x t =+，y t =可化简得到()()002f x t f x +=-，可知4t 为周期，④正确.【详解】取0x y ==，则()()()20020f f f +=()00f ≠Q ()01f ∴=，①正确；取2t x y ==，则()()2022t f t f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2122t f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，②错误；取0x =，则()()()()()202f y f y f f y f y +-== ()()f y f y ∴-=()f x ∴为偶函数，③正确；取0x x t =+，y t =，则()()()()000220f x t f x f x t f t ++=+=()()002f x t f x ∴+=- ()()()00042f x t f x t f x ∴+=-+=()f x ∴为周期函数，④正确.故选：ACD【点睛】本题考查抽象函数的性质的求解问题，解决此类问题常采用赋值法的方式配凑出所需的形式，进而得到函数性质.三、填空题13．已知向量(1,)a m =v ，b =v ，若a b ⊥v v ，则m =__________．【答案】1【解析】根据垂直向量的坐标关系，即可求解.【详解】由1(022m ⨯+⨯-=，得1m =. 故答案为:1【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.14．712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 项的系数是__________．（用数字作答）【答案】560- 【解析】分析：先求出二项式712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式，令x 的指数等于1，求出r 的值，即可求得展开式中x 项的系数. 详解：712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为 ()()()71772177212r r rr r r r r T C x x C x ----+=-=-， 7213r r -=⇒=，展开式x 项的系数为()334712560C -⨯=- 故答案为560-.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15．已知,a b ∈R ，且240a b +-=，则24a b +的最小值为______.【答案】8【解析】利用基本不等式即可求得结果.【详解】由240a b +-=得：24a b +=224228a b a b ∴+=+≥===（当且仅当222a b =，即2a b =时取等号）故答案为：8【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，属于基础题.16．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f e x f e x +=-，且()00f =，当(]0,x e ∈时，()ln f x x =.已知方程()1sin 22x x e f π⎛⎫=⎪⎝⎭在区间[],3e e -上所有的实数根之和为3ea .将函数()23sin 14x x g π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移a 个单位长度，得到函数()h x 的图象，则a =__________，()8h =__________. 【答案】2 4【解析】根据函数()f x 为偶函数且()()f e x f e x +=-，所以()f x 的周期为2e ，()1sin 22x x e f π⎛⎫=⎪⎝⎭的实数根是函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为6e ，从而可得参数a 的值，最后求出函数()h x 的解析式，代入求值即可. 【详解】解：因为()f x 为偶函数且()()f e x f e x +=-，所以()f x 的周期为2e .因为(]0,x e ∈时，()ln f x x =，所以可作出()f x 在区间[],3e e -上的图象，而方程()1sin 22x x e f π⎛⎫=⎪⎝⎭的实数根是函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点的横坐标，结合函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[],3e e -上的简图，可知两个函数的图象在区间[],3e e -上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为6e ，所以63e ea =，故2a =.因为()2353sin 1cos 4222x x g x ππ⎛⎫=+=-+⎪⎝⎭，所以()()35cos 2222x h x π⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦35cos 222x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故()()35cos 44228h π=+=.故答案为：2；8 【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题.四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n kn k =++.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1) 42n a n =- (2) 84n nT n =+【解析】（1）根据前n 项和为n S 与通项的关系，即可求出结论；（2）用裂项相消法，求出数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】（1）当1n =时，1122a S k ==+，当2n ≥时，2212[2(1)(1)]42n n n a S S n kn k n k n k n k -=-=++--+-+=-+{}n a 是等差数列，41222k k ⨯-+=+，得0k =所以42n a n =- （2）因为111111()(42)(42)82121n n n b a a n n n n +===--+-+，所以11111111(1)()()8383582121n T n n =-+-++--+L 11(1)82184n n n =-=++ 【点睛】本题考查由数列的前n 项和求通项，考查用裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题.18．明初出现了一大批杰出的骑兵将领，比如徐达、常遇春、李文忠、蓝玉和朱棣.明初骑兵军团击败了不可一世的蒙古骑兵，是当时世界上最强骑兵军团.假设在明军与元军的某次战役中，明军有8位将领，善用骑兵的将领有5人；元军有8位将领，善用骑兵的有4人.（1）现从明军将领中随机选取4名将领，求至多有3名是善用骑兵的将领的概率；（2）在明军和元军的将领中各随机选取2人，X 为善用骑兵的将领的人数，写出X 的分布列，并求EX .【答案】（1）1314（2）分布列见解析，94EX =【解析】（1）由概率运算公式及对立事件的概率的求法求解即可；（2）由题意有随机数0,1,2,3,4X =，再求出对应的概率，然后求出分布列，期望即可. 【详解】解：（1）设从明军将领中随机选取4名将领，则有4名是善用骑兵的将领的概率为4548517014C P C ===，故从明军将领中随机选取4名将领，至多有3名是善用骑兵的将领的概率为11413114P =-=. （2）由题意知，0,1,2,3,4X =，则()2234228893920C C C C P X ===，()1121125344432288169392C C C C C C P X C C +===，()111122225344543422881592392P X C C C C C C C C C C +==+=， ()21111254453422881253392C C C C C C P X C C +===，()2254228830153929416C C C C P X ====，所以X 的分布列为6915912530912343923923923924EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了随机变量的期望与分布列，重点考查了运算能力，属中档题.19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值； (2)若b =c a -的取值范围. 【答案】(2)( 【解析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果.【详解】（1）由正弦定理可得：2sin sin 2sin cos A C B C -=A B C π++=Q ()sin sin A B C ∴=+()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C C B C B C C B C ∴+-=+-=即2cos sin sin B C C =()0,C π∈Q sin 0C ∴≠ 1cos 2B ∴=()0,B π∈Q 3B π∴= 23AC π∴+=2sin sin 23A C B π+⎛⎫∴+==⎪⎝⎭（2）由（1）知：sin sin 3B π==2sin sin sin 2a c bA C B∴==== 2sin c C ∴=，2sin a A =()2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin c a C A C B C C B C B C∴-=-=-+=--2sin sin sin 2sin 3C C C C C C π⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭23A C π+=Q 203C π∴<< ,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭(2sin 3C π⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，即c a -的取值范围为(【点睛】本题考查解三角形知识的相关应用，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式和辅助角公式的应用、与三角函数值域有关的取值范围的求解问题；求解取值范围的关键是能够利用正弦定理将边长的问题转化为三角函数的问题，进而利用正弦型函数值域的求解方法求得结果. 20．已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ⎫⎪⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，若点A 在直线1y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值. 【答案】(1)22112y x +=；【解析】（1）由离心率和焦点坐标可求得a ，根据222b a c =-求得2b ，进而得到椭圆标准方程；（2）设(),1A t ，()00,B x y ，由垂直关系可知0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，由此可得00y t x =-；结合22021x y +=可将2AB 化简为20201122x x ++，根据对号函数的性质及(]200,1x ∈可求得2AB 的最小值，进而得到结果. 【详解】（1）由2c e a ==，2c =得：1a = 22212b a c ∴=-= ∴椭圆C 的标准方程为22112y x +=（2）设(),1A t ，()00,B x yOA OB ⊥Q 000OA OB tx y ∴⋅=+=u u u r u u u r若00x =，则00y =，此时B 不在椭圆C 上 00x ∴≠ 0y t x ∴=-又220021x y +=()()()2222222200000000200111y y AB x t y x y x y x x ⎛⎫∴=-+-=++-=+++ ⎪⎝⎭222200002200111112222x x x x x x --=+++=++ (]200,1x ∈Q 2111222AB ∴≥++=（当且仅当21x =时取等号） min 2AB ∴=【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的最值问题的求解；求解最值问题的关键是能将所求距离化为关于某一变量的函数的形式，利用函数值域的求解方法可求得结果.21．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，60BAD ∠=︒，1CD =，2AD =，4AB =，点G 在线段AB 上，3AG GB =，11AA =.（1）证明：1D G ∥平面11BB C C . （2）求二面角11A D G A --的余弦值.【答案】(1)见解析 (2)53131【解析】（1）连接1C B ，证明11GB CD D C P P 得到四边形11GBC D 为平行四边形，故11D G C B P 得到证明.（2）作DH AB ⊥于H ，以D 点为坐标原点，分别以DH ，DC ，1DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，计算平面11A D G 的法向量为()1,3,33m =u r ，平面1AD G 的法向量为()1,0,3n =r，计算夹角得到答案.【详解】（1）证明：连接1C B ，因为底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，44AB CD ==，3AG GB =，则11GB CD D C P P ，且111GB D C ==，所以四边形11GBC D 为平行四边形，则11D G C B P .又1C B ⊂平面11BB C C ，1D G ⊄平面11BB C C ，所以1D G ∥平面11BB C C .（2）作DH AB ⊥于H ，以D 点为坐标原点，分别以DH ，DC ，1DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()10,0,1D ，()13,1,1A -，)3,1,0A-，()10,0,1D ，()3,2,0G，所以()113,1,0D A =-u u u u r ，)13,2,1D G =-u u u u r，()0,3,0AG =u u u r.设平面11A D G 的法向量为()111,,m x y z =u r，则1111111130,320,D A m x y D G m x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u u v v u u u u v v 令11x =，得(3,33m =u r . 设平面1AD G 的法向量为()222,,n x y z =r，则2122230,320,AG n y D G n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v vu u u u v v 令21x =，得(3n =r . 所以531cos ,31431m n ==⨯u r r因为二面角11A D G A --. 【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22．已知函数()f x 的定义域为R 且满足2()()f x f x x -+=，当0x ≥时，'()f x x <.（1）判断()f x 在(,0]-∞上的单调性并加以证明；（2）若方程()f x x =有实数根0x ，则称0x 为函数()f x 的一个不动点，设正数0x 为函数()(1)1x x g x xe a e x =+-++的一个不动点，且0001()(1)2f x f x x +≥-+，求a 的取值范围.【答案】(1) 单调递减. 见解析 (2) 2[,)22e e ++∞-（或)+∞）. 【解析】（1）根据已知条件'()f x x <，构造函数2()()2x x f x ϕ=-，可证()x ϕ在[0,)+∞上单调递减.，再通过()x ϕ的奇偶性，可得出2()()2x x f x ϕ=-在(,0]-∞上单调递减，即可判断()f x 在(,0]-∞上的单调性；（2）0001()(1)2f x f x x +≥-+转为为（1）中的()x ϕ两个函数值，利用()x ϕ的单调性，求出0x 的范围，再根据不动点的定义转化为()g x x =在1(0,]2有解，，分离参数11x x a x e +=+-，转化为研究y a =与函数1()1x x m x x e +=+-在1(0,]2有交点，通过两次求导得出1()1x x m x x e +=+-在1(0,]2单调性，即可求出在a 的范围. 【详解】（1）令2()()2x x f x ϕ=-，则'()'()x f x x ϕ=-，∵当0x ≥时，'()f x x <，∴'()0x ϕ<，∴2()()2x x f x ϕ=-在[0,)+∞上单调递减，又∵2()()f x f x x -+=，∴22()()()()022x x x x f x f x ϕϕ+-=-+--=，∴()x ϕ为奇函数，∴2()()2x x f x ϕ=-在(,0]-∞上单调递减.又∵22x y =在(,0]-∞上单调递减，∴2()()2x f x x ϕ=+在(,0]-∞上单调递减.（2）由（1）可知，2()()2x x f x ϕ=-在R 上单调递减.∵0001()(1)2f x f x x +≥-+，∴00()(1)x x ϕϕ≥-， ∴001x x ≤-，故012x ≤.∵正数0x 为函数()g x 上的一个不动点，∴方程()g x x =在1(0,]2上有解，即方程(1)10x xxe a e +-+=在1(0,]2上有解，整理得：1(1)11111x x x x x xe x e x x a x e e e +-+++===+---. 令1()1x x m x x e +=+-，2(2)'()(1)x x x e e x m x e --=-，设()2x h x e x =--，1(0,]2x ∈，则'()10xh x e =->，∴()h x 在1(0,]2上单调递增，又15()022h =<， ∴()20xh x e x =--<，∴2(2)'()0(1)x x x e e x m x e --=<-， ∴()m x 在1(0,]2上单调递减，∴1()()2m x m ≥=()m x ≥），即a 的取值范围是)+∞（或)+∞）. 【点睛】本题考查利用导数研究函数性质的综合应用，构造函数法判断函数的单调性，注意审题，对于新定义问题转化为函数的零点，并用分离参数法研究函数的零点问题，属于难题.。

2020届海南省高三第二次联合考试数学试题(解析版)

20．已知椭圆 : 的离心率为，右焦点为 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为坐标原点，若点在直线上，点在椭圆上，且，求线段长度的最小值.
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由离心率和焦点坐标可求得，根据求得，进而得到椭圆标准方程；
（2）设，，由垂直关系可知，由此可得；结合可将化简为，根据对号函数的性质及可求得的最小值，进而得到结果.
【详解】
取，则
，①正确；
取，则，②错误；
取，则
为偶函数，③正确；
取，，则
为周期函数，④正确.
故选：
【点睛】
本题考查抽象函数的性质的求解问题，解决此类问题常采用赋值法的方式配凑出所需的形式，进而得到函数性质.
三、填空题
13．已知向量，，若，则 __________．
【答案】1
【解析】根据垂直向量的坐标关系，即可求解.
【答案】BC
【解析】将所求最小值转化为为函数图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方；利用导数可求得与直线平行的函数的切线，由此可求得切点坐标，则切点到直线距离的平方即为所求最小值，利用点到直线距离公式求得最小值；求得过切点且与垂直的直线方程，两直线方程联立即可求得最小时，的值.
【详解】
，或，又可能平行、相交或异面，错误；
，或，错误；
内必存在直线的平行线，又
，正确.
故选：
【点睛】
本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，考查学生对于空间中平行与垂直关系相关定理的掌握.
11．已知，，记，则( )
A．的最小值为 B．当最小时，
C．的最小值为 D．当最小时，

海南高三高中数学月考试卷带答案解析

海南高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合 M ={x|}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =A．[1,2）B．[1,2]C．（ 2,3]D．[2,3]2.设集合则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3.复数的共轭复数是A．B．C．D．4.双曲线的实轴长是A．2B．2C．4D．45.已知函数=Asin(ωx+ф)(A>0,ω>0)的图像在y轴右侧的第一个最高点为M(2,2),与x轴在原点右侧的第一个交点为N(5,0),则函数的解析式为A．2sin(x+)B．2sin(x-)C．2sin(x+)D．2sin(x+)6.实数x,y满足的取值范围为A．B．C．D．7.已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是A．B．4C．D．58.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为A．B．1C．D．9.曲线在点,处的切线方程为A．B．C．D．10.设是周期为2的奇函数，当时，，则=A ．B ．C ．D ．11.观察下列各式：则，…，则的末两位数字为（） A ．01B ．43C ．07D ．4912.已知函数若有则的取值范围为A ．B ．C ．D ．二、填空题1.在正三角形中，是上的点，，则。

2.若变量x ，y 满足约束条件，则的最小值是_________．3.已知，且，则的值为__________4.以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为三、解答题1.在△中，角、、的对边分别为，满足，且.（1）求的值；（2）若，求△的面积.2.已知等比数列{a n }的公比q=3，前3项和S 3=。

（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若函数在处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f （x ）的解析式。

3.(1) 求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程．(2)求与圆外切于（2，4）点且半径为的圆的方程.4.设f(x)=2x 3+ax+bx+1 的导数为,若函数的图象关于直线对称，且.](Ⅰ)求实数,的值;(5分)(Ⅱ)求函数的极值5.已知函数,函数⑴当时,求函数的表达式;⑵若,函数在上的最小值是2 ,求的值;⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.6.如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。

海南省海口市第四中学2020届高三数学上学期第二次月考试题

海南省海口市第四中学2020届高三数学上学期第二次月考试题（满分：150分时间：120分钟）一、选择题：（每小题5分，共60分）UPQ={1，2，4}3，5}，，，3，4，5，6}，集合 ={11.，已知全集2={1，PQ=（则（?））∪U A.B. C. 2,4, D. 2,3,4,pxxqxpq的（ +1）≥1，则）-1）（）≤0，-2是：log2.（已知：（2A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件下列命题中的假命题是（）3., B. A. ,, D. C. ,以下四个命题中是真命题的是（）4.kkxxyy有关系”的把握与与越小,的随机变量的观测值判断“来说对分类变量A. ,程度越大B. 两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于0,的方差为2,的方差为1,,C. 则若数据,,,,,,越大,可用相关指数的值判断模型的拟合效果D. 在回归分析中,模型的拟合效果越好．ba＜0，则下列结论不正确的是5.若( ) ＜．．．D.C.A.B.2N(100，σξ～)6.，已知某地市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩P(80＜ξ≤100)＝0.45，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A. 5份B. 10份C. 15份D. 20份xyxyxy的最大值为（ =2，则＞0，2）+7.已知＞0， D. B. 1C.A.DXXEX-2）=（（8.随机变量3的分布列如表所示，若（））=，则X -1 0 1abPB. 7A. 9 C. 5D. 3的图象，则下列关于函数的图象向左平移个单位，得到函数9.将函数的说法正确的是A. 奇函数B. 周期是D. 关于点对称关于直线C. 对称2kxkxRkx的取值范围是（恒成立，则10.当∈时，不等式＞-+10）- 1 -B.C. A.D.，且函数的最小值为在处有极值，则11.，若D. A. C. B.xfxfxxxfx′满足）（，），其导函数为12.对任意正实数已知定义域为{′|（≠0}的偶函数2xxgfxgfxxgxx 1-（-2）＞），则不等式（）），若（（）的解集是（）=）＜（（D.A.C.B.20分）（每小题5分，共二、填空题：_________f）的值为（f（x），则13.=设函数Rx=________设，且∈，则，向量14.OO_____ 的表面上，则球15.的表面积为一正三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球aRaxaxfx_______ 1，若函数有零点，则实数()＝ln∈－的取值范围是16.＋分）（共70三、解答题已知函数分)(本小题1217.?????),?)(A?0,?f(x)?A sin(x?02的部分图象如图所示．xf）求函数（）的解析式（1xf（）的单调增区间；（2）求xf上的最大值和最小值．（3）求（）在区间a{（Ⅰ）求证：数列*NSnaanS =2∈，其中．分18.(本小题10)已知数列{}的前项和满足4-3nnnn为等比数列；}n Tnbnba．的前{（Ⅱ）设=-4，求数列}项和nnnn- 2 -(本小题12分19.)某大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛．经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训．下图是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图．赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数不低于85票的可进入决赛，其中票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．XX的表示其中拥有“优先挑战权”的人数，求(1)从进入决赛的选手中随机抽出2名，分布列和数学期望；(2)请填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为进入决赛与选择的导师有关？下面的临界值表仅供参考：2Knabcd)＋＋(参考公式：＋＝，其中＝ABCDEABCBCDE，中，) 如图，在四棱锥平面-⊥平面分20.(本小题12CDEBEDABCDDEBEAC =．=1=90°，=，=2，= ∠∠=DEACD；⊥平面（Ⅰ）证明：BADE的大小．（Ⅱ）求二面角--- 3 -abQFC（，），右焦点0），＞0），过点（21.本小题(12分)设椭圆，=1：（1＞C的方程；（Ⅰ）求椭圆lykxkxyCDCM，）分别交轴，（Ⅱ）设直线两点，且与椭圆：轴于=交于（-1）（，＞0kMNN|．|，求两点，若值，并求出弦长afxf（1））处的切线方程；）在点（1，（Ⅰ）2xaRfxax．（，）= -ln)22.(本小题12分已知函数∈当时，求函数=1 （aeafx，若存在，求出，）在区间（0上的最小值为]（Ⅱ）是否存在实数，使函数（的值，若不存在，请说明理由．- 4 -海口四中2020届高三第一学期数学月考（2）答案一、选择题二、填空题?21(??,1] 13. 14. 15. 16.A=1，解：（1）由图象知17.(本小题12分)由图象得函数的最小正周期为，则由得ω=2????)??1)?sin(2f(?)?2(x)?sin(x?f又66???????(k?Z?2k(?Z)?k????)?2k 632???????又62?)x??sin(2?f(x)6（2）∵，∴．∴．fx）的单调递增区间为．（所以（3）∵，∵，∴．∴．fx）取得最大值1；，即时，（当fx）取得最小值．，即时，（当aS=2，①-3 本小题10分)（Ⅰ）证明：因为418.(nn naSa=2；，解得-3时，所以当=14=2 111- 5 -naS=2，②…3 分≥2时，4 当-3nn-1-1aaSS）=0，-3（ -由①②，得4--4nnnn-1-1aa， =4所以nn-1aa≠0，=2由，得n1a}是首项为2，公比为{4的等比数列．故nn-1a=2×4．（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得n n-1nabn=4所以-4，=-4nn n 41n2-101nnTbnn-2-= =4×-4（1+2+3+…+）则{ -2}的前+4项和=（4+4+…）nn319.(本小题12分)解：(1)由题中茎叶图可知，进入决赛的选手共13名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名．X的可能取值为0,1,2.根据题意，XPPPXX＝.( ＝(＝＝1)2)＝ (＝＝0)＝，＝，X的分布列如下：X 0 1 2PEX)＝0×＋1×(＋2×＝.列联表如下：由茎叶图可得2×2(2)甲班乙班合计10 13进入决赛 3未进入决赛 17 10 27合计 20 20 402K＝≈5.584>5.024，的前提下可以认为进入决赛与选择的导师有关．0.025因此在犯错误的概率不超过(本小题12分20.)BCDEDEBECDBDBC=，=2，得证明：（Ⅰ）在直角梯形中，由 ===1，222ACABABACBCACBC，得，即= +⊥由=，=2ABCBCDEABCBCDE=BC 平面又平面，平面⊥平面 ACBCDE，从而⊥平面ACDEDEDCDEACD；，从而⊥平面所以⊥，又⊥（Ⅱ）- 6 -Q），（，21.(本小题12分)解：（Ⅰ）椭圆过点122bac=，即，=2-可得+=1，由题意可得ba解得==2，，C即有椭圆+=1的方程为；kDyykxxCl，-1（，0），），（Ⅱ）直线：轴交点=（0-1）与轴交点（2222kxkykx联立得，（1+2+2），①，消-4-4=0xyNyMxxx +，，设（），（），则=，212112- 7 -yykxx-=（-=（），-1，，-），1212xx=+=1，由，得：21kkk=±＞ 0得=．由解得代入①2xxxxxx=1得2，-2，-3=0， =-+2121MN．=可得|=?|=?2fxxxaf=1），（，）=（-ln122.(本小题12分)解：（Ⅰ）当=1时，f =1，′（1），yfxfx））处的切线方程为=0（-）在点（1，．（∴函数12Rxafxax 0）=∈-ln，+∞），，（Ⅱ）∵（，∴此函数的定义域为（ =，efxafx，上是减函数，0恒成立，∴]当（≤0时，）在（′（0）＜2aefexefx（∴当-1==）时，=（）取得最小值，aa与=＞0解得矛盾；≤0xaf，得时，令)），，′（=0当＞0(舍xffx 0′（′（，）＜0，+∞）上，，在（）上，在（0）＞，xeaef，）上是增函时，函数）在（，即（＞∴当0，）上是减函数，在（＜数，xfx，=时，）取得最小值（∴当a，得=，符合题意．=令efaex当]＜0，≤时，函数是减函数，（）在（≥0，即2aexxef，时，（-1=）取得最小值，即∴当=aa＜矛盾．≤解得0=与exaf．0，使函数综上，存在=（）在区间（，]上的最小值为- 8 -。

海南省海口市第四中学2020届高三数学上学期第二次月考试题

海南省海口市第四中学2020届高三数学上学期第二次月考试题（满分：150分时间：120分钟）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁U P）∪Q=（）A. B. C. 2,4, D. 2,3,4,2.已知p：（x-1）（x-2）≤0，q：log2（x+1）≥1，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列命题中的假命题是（）A. ,B. ,C. ,D. ,4.以下四个命题中是真命题的是（）A. 对分类变量x与y的随机变量的观测值k来说,k越小,判断“x与y有关系”的把握程度越大B. 两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于0C. 若数据,,,,的方差为1,则,,,,的方差为2D. 在回归分析中,可用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好．5.若b＜a＜0，则下列结论不正确．．．的是( )A. B. C. D.6.某地市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ～N(100，σ2)，已知P(80＜ξ≤100)＝0.45，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A. 5份B. 10份C. 15份D. 20份7.已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则xy的最大值为（）A. B. 1 C. D.8.随机变量X的分布列如表所示，若E（X）=，则D（3X-2）=（）A. 9B. 7C. 5D. 39.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是A. 奇函数B. 周期是C. 关于直线对称D. 关于点对称10.当x∈R时，不等式kx2-kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是（）A. B.C. D.11. 若，，且函数在处有极值，则的最小值为A.B.C.D.12. 已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f （x ），其导函数为f ′（x ），对任意正实数x 满足xf ′（x ）＞-2f （x ），若g （x ）=x 2f （x ），则不等式g （x ）＜g （1-x ）的解集是（）A.B.C.D.二、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 设函数f （x ）=，则f （）的值为_________14. 设x ∈R ，向量，且，则=________15. 一正三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为_____16. 若函数f (x )＝ln x －ax ＋1，a ∈R 有零点，则实数a 的取值范围是_______ 三、解答题（共70分） 17. (本小题12分)已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式（2）求f （x ）的单调增区间；（3）求f （x ）在区间上的最大值和最小值．18. (本小题10分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足4a n -3S n =2，其中n ∈N *．（Ⅰ）求证：数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）设b n =a n -4n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．19.(本小题12分)某大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛．经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训．下图是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图．赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数不低于85票的可进入决赛，其中票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．(1)从进入决赛的选手中随机抽出2名，X表示其中拥有“优先挑战权”的人数，求X的分布列和数学期望；(2)请填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为进入决赛与选择的导师有关？下面的临界值表仅供参考：(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)20.(本小题12分) 如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B-AD-E的大小．21.(本小题12分)设椭圆C：=1（a＞b＞0），过点Q（，1），右焦点F（，0），（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=k（x-1）（k＞0）分别交x轴，y轴于C，D两点，且与椭圆C交于M，N两点，若，求k值，并求出弦长|MN|．22.(本小题12分)已知函数f（x）=ax2-ln x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）是否存在实数a，使函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．海口四中2020届高三第一学期数学月考（2）答案一、选择题二、填空题13. 14.15. π21 16.]1,(-∞17.(本小题12分)解：（1）由图象知A =1，由图象得函数的最小正周期为，则由得ω=2)2sin()(ϕ+=∴x x f 又1)62sin()6(=+⨯=ϕππf)(223Z k k ∈+=+∴ππϕπ)(26Z k k ∈+=∴ππϕ又2πϕ<6πϕ=∴)62sin()(π+=∴x x f（2）∵，∴．∴．所以f （x ）的单调递增区间为．（3）∵，∵， ∴．∴．当，即时，f （x ）取得最大值1；当，即时，f （x ）取得最小值．18.(本小题10分)（Ⅰ）证明：因为4a n -3S n =2，①所以当n =1时，4a 1-3S 1=2，解得a 1=2；当n ≥2时，4a n -1-3S n -1=2，②…3 分由①-②，得4a n -4a n -1-3（S n -S n -1）=0，所以a n =4a n -1，由a 1=2，得a n ≠0，故{a n }是首项为2，公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得a n =2×4n -1．所以b n =a n -4n =4n -1-4n ，则{b n }的前n 项和T n =（40+41+…+4n -1）-4（1+2+3+…+n ）=-4×=314-n -2n 2-2n19.(本小题12分)解：(1)由题中茎叶图可知，进入决赛的选手共13名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名．根据题意，X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝＝， P (X ＝1)＝＝， P (X ＝2)＝＝.X 的分布列如下：E (X )＝0×＋1×＋2×＝.(2)由茎叶图可得2×2列联表如下：K 2＝≈5.584>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为进入决赛与选择的导师有关． 20. (本小题12分)证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE 中，由DE =BE =1，CD =2，得BD =BC =，由AC =，AB =2得AB 2=AC 2+BC 2，即AC ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC ⋂平面BCDE=BC 从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC ⊥DE ，又DE ⊥DC ，从而DE ⊥平面ACD ；（Ⅱ）21.(本小题12分)解：（Ⅰ）椭圆过点Q （，1），可得+=1，由题意可得c =，即a 2-b 2=2，解得a =2，b =，即有椭圆C 的方程为+=1；（Ⅱ）直线l ：y =k （x -1）与x 轴交点C （1，0），y 轴交点D （0，-k ），联立，消y 得，（1+2k 2）x 2-4k 2x +2k 2-4=0，①设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=，=（x2-1，y2），=（-x1，-k-y1），由，得：x1+x2==1，解得k=±．由k＞0得k=代入①得2x2-2x-3=0，x1+x2=1，x1x2=-，可得|MN|=•=•=．22.(本小题12分)解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2-ln x，f（1）=1，，f′（1）=1，∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-y=0．（Ⅱ）∵f（x）=ax2-ln x，a∈R，∴此函数的定义域为（0，+∞），=，当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，e]上是减函数，∴当x=e时，f（x）取得最小值f（e）=ae2-1=，解得a=＞0与a≤0矛盾；当a＞0时，令f′（x）=0，得(舍)，，在（0，）上，f′（x）＜0，在（，+∞）上，f′（x）＞0，∴当＜e，即a＞时，函数f（x）在（0，）上是减函数，在（，e）上是增函数，∴当x=时，f（x）取得最小值，令=，得a=，符合题意．当≥e，即0＜a≤时，函数f（x）在（0，e]是减函数，∴当x=e时，f（x）取得最小值，即ae2-1=，解得a=与0＜a≤矛盾．综上，存在a=，使函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为．。

海南省儋州市第一中学2020届高三上学期第二次月考数学试卷 Word版含答案

2019-2020学年度第一学期高三年级第二次月考试题数学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，请认真阅读答题卡上的注意事项，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷选择题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U =R ，集合{}|0A x x =<，{}2,1,0,1,2B =--，那么B A C U ⋂)(等于( ) A ．{}0,1,2 B ．{}1,2 C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--2．关于命题“当[]1,2m ∈时，方程220x x m -+=没有实数解”，下列说法正确的是（ )A ．是全称量词命题，假命题B ．是全称量词命题，真命题C ．是存在量词命题，假命题D ．是存在量词命题，真命题3．设,a b 为非零向量，则“a ∥b ”是“,a b 方向相同”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点（） A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度 C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度5．已知)3,2(=a ，)1,(-=m m b ，)3,(m c =，若b a //，则c b ∙=（）A.-5B.5C.1D.-16．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（）A.B.C.D.7．已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<8．复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 的实部与虚部之和为( )AB ．C ．1D ．09．已知函数21()44f x x x=-，则 ()f x 的大致图象是 ( )A ．B ．C ．D ．10．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B =,且2b ac =，则a cb+的值为( )A ．2BC ．2D ．411．设'()f x 是函数()f x 的导函数，若'()0f x >，且1212,()x x R x x ∀∈≠，1212()()22x x f x f x f +⎛⎫+< ⎪⎝⎭，则下列选项中不一定正确的一项是（）A ．(2)()()f f e f π<<B ．'()'()'(2)f f e f π<<C ．(2)'(2)'(3)(3)f f f f <-<D ．'(3)(3)(2)'(2)f f f f <-<12．已知函数a x e x f x -=)(，xx e ax e x g )(3)(-=，若方程有4个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分） 13．已知i 是虚数单位，复数21iz i =-，则在复平面上复数z 对应的点坐标______. 14．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地，去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子原高一丈(丈尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为__________尺．15．曲线52x y e -=+在点(0，3)处的切线方程为________．16．己知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有以下结论： ①()f x 的图象关于直线y 轴对称 ②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫⎪⎝⎭④()f x 的最大值为12则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0a C c A b B ++=.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆，求ABC ∆的周长.18、（本小题满分12分）在正项等比数列{}n a 中，11a =且32a ，5a ，43a 成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若数列{}n b 满足n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19、函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域（2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值20、（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ADC ︒∠=，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点，AB CE =.（1）求证：//DE 平面ACF ；（2）求异面直线EO 与AF 所成角的余弦值；（3）求AF 与平面EBD 所成角的正弦值.21、（本小题满分12分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元（假设这100名农民工的月工资均在[]25,55（百元）内）且月工资收入在[)45,50（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．22.（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln f x x ax a x =-+- （I ）若2a ≥-讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a >，且对于函数()f x 的图象上两点()()()()()11122212,,P x f x P x f x xx <，存在()012,x x x ∈，使得函数()f x 的图象在0x x =处的切线12//l PP .求证：1202x x x +<.2019至2020学年度高三第一学期第二次月考一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分） 13. (1,1). 14.15. y ＝－5x ＋3 16. ②④ 三、解答题17、（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0a C c A b B ++=.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为4，求ABC ∆的周长.【详解】（Ⅰ）由题意，因为cos cos 2cos 0a C c Ab B ++=，由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B B ++=，即()sin 2sin cos 0A C B B ++=，由A C B π+=-，得sin 2sin cos 0B B B +=，又由(0,)B π∈，则sin 0B >，所以12cos 0B +=，解得1cos 2B =-，又因为(0,)B π∈，所以23B π=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知23B π=， 232=⨯，解得5b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，可得2225a c ac =++，因为ABC ∆1sin 2ac B ==，解得3ac =，所以()()2222253a c ac a c ac a c =++=+-=+-，解得：a c += 所以ABC ∆的周长5L a c b =++=.18、（本小题满分12分）在正项等比数列{}n a 中，11a =且32a ，5a ，43a 成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若数列{}n b 满足n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】（1）53412231a a a a =+⎧⎨=⎩42311112231a q a q a q a ⎧=+∴⎨=⎩2q ∴=，12q =-0n a >，2q ∴= 1112n n n a a q --==（2）12n n n n n b a -== 01211232222n n n S -∴=++++ 121112122222n n n n n S --=++++ ①-②得211111122222n n n nS -=++++-12212222n n n n n +⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭1242n n n S -+∴=-19、函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域（2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值【详解】（1）根据图象可知171,4123A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x Tππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈⎪⎝⎭， ||,0,23k ππϕϕ<∴==()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时sin t 2⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以值域为1,02⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭()()3[4,2]F x f x =-∈--对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上则max ()0h t ≤恒成立而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩，解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m ≤-，则m 的最大值为265-.20、（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ADC ︒∠=，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点，AB CE =.（1）求证：//DE 平面ACF ；（2）求异面直线EO 与AF 所成角的余弦值；（3）求AF 与平面EBD 所成角的正弦值. 【详解】解：（1）如图，连接OF ，因为底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，可得O 点为BD 的中点，又F 为BE 的中点，所以OF 为BDE的中位线，可得OF∥DE,又OF ACF ∈,DE 不在平面ACF 内，可得//DE 平面ACF ；（2）如图连接C 点与AD 中点位x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴建立空间直角坐标系，设菱形ABCD 的边长为2，可得CE=2，可得E(0，0，2)，O(2,12可得：31(,2)22EO =-,(1)AF =-,设异面直线EO 与AF 所成角为θ，可得11(0(2)(1)cos ==20EOAF EO AF θ+⨯+-⨯-⋅==，（3）可得,-1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),可得n 0(DB ⋅=,(0,2,2)BE =,设平面EBD 的一个法向量为n ，可得n 0DB ⋅=，n 0BE ⋅=,可得n的值可为，由(1)AF =- 可得AF 与平面EBD所成角的正弦值为n n AF AF⋅=5==.21、（本小题满分12分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元（假设这100名农民工的月工资均在[]25,55（百元）内）且月工资收入在[)45,50（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【详解】（Ⅰ）月工资收入在[)45,50（百元）内的人数为15∴月工资收入在[)45,50（百元）内的频率为：150.15100=；由频率分布直方图得：()0.02240.0150.151m n +++⨯+= 化简得：20.07m n +=……①由中位数可得：()0.025********.5m n ⨯+⨯+⨯-= 化简得：540.2m n +=……② 由①②解得：0.02m =，0.025n = （Ⅱ）根据题意得到列联表：()2210019193131 5.7610.82850505050K ⨯⨯-⨯∴==<⨯⨯⨯∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关22.（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln f x x ax a x =-+- （I ）若2a ≥-讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a >，且对于函数()f x 的图象上两点()()()()()11122212,,P x f x P x f x xx <，存在()012,x x x ∈，使得函数()f x 的图象在0x x =处的切线12//l PP .求证：1202x x x +<. 【详解】（1）解：易得，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()1221x x a a f x x a x x-+=-+='-，令()0f x '=，得1x =或2ax =-. ①当0a ≥时，01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.此时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞. ②当20a -<<时，12ax -<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 02ax <<-或1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 此时，()f x 的减区间为,12a ⎛⎫-⎪⎝⎭，增区间为0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞.③当2a =-时，0x >时，()()2210x f x x-'=>，函数()f x 单调递增；此时，()f x 的减区间为()0,+∞.综上，当0a ≥时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞：当20a -<<时，()f x 的减区间为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，增区间为0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭.()1,+∞；当2a =-时，()f x 增区间为()0,+∞.（2）证明：由题意及导数的几何意义，得()()()1121021R P f x f x f x k x x =='--()()22222111211ln 1ln x ax a x x ax a x x x ⎡⎤⎡⎤-+---+-⎣⎦⎣⎦=-()211222ln2x a x x x a x x =+-+++由（1）中()f x '得()121212222x x a f x x a x x +⎛⎫=+-+-⎪+⎭'⎝. 易知，导函数()()21af x x a x=-+-' (0)a >在()0,+∞上为增函数，所以，要证1202x x x +<，只要证()1202x x f x f +⎛⎫< ⎪⎝'⎭'，即212112ln2x a x a x x x x <--+，即证()2121122ln x x xx x x ->+. 因为210x x >>，不妨令21x t x =，则()()21ln 1t g t t t -=-+ (1)t >. 所以()()()()222114011t g t t t t t -=-=+'>+ (1)t >，所以()g t 在()1,t ∈+∞上为增函数，所以()()10g t g >=，即()21ln 01t t t -->+，所以()21ln 1t t t ->+，即ln 211t t t >-+，即()2121122lnx x x x x x ->+. 故有1202x x x +<（得证）.。

海南高三高中数学月考试卷带答案解析

海南高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设，，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．2.如果，那么（）A．1B．-1C．2D．3.函数的大致图象为（）4.在等差数列中，，数列是等比数列，且，则（）A．1B．2C．4D．85.已知向量，则在方向上的射影为（）A．B．C．D．6.设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（）A．B．C．D．7.阅读程序框图，输出的结果是（）A．A B．B C．C D．D8.已知，且，则（）A．B．C．D．9.已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（）A．-12B．-16C．-20D．010.盒子中有6只灯泡，其中4只正品，2只次品，有放回地从中任取两次，每次只取一只，则事件：取到的两只中正品、次品各一只的概率（）A．B．C．D．11.在中，角A,B,C所对的边分别是，，则角C的取值范围是（）A．B．C．D．12.已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为，当时，恒成立，则k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.函数的零点个数为个．2.已知，那么．3.半径为2的球的内接几何体的三视图如图，则其体积为．4.抛物线与双曲线上一点的有共同的焦点，两曲线在第一象限的交点为，且到焦点的距离为5，则双曲线的离心率= ．三、解答题1.已知中，角A,B,C的对边分别为,且．（1）求角B的大小；（2）设向量，边长，求当取最大值时，三角形的面积的值．2.某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若A杯都选对，则月工资定为3500；若4杯选对3杯，则月工资定为2800，否则月工资定为2100，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望．3.如图，在四棱锥中，已知，．（1）求证：；（2）已知点F在棱PD上，且求三棱锥的体积．4.椭圆C：的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，A,B为椭圆C上的两点，O为坐标原点，设直线OA,OB,AB的斜率分别为．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求k的取值范围．5.已知函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）设函数，其中b为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．6.选修4-1：几何证明选讲如图，P是圆O外一点，PD为切线，割线PEF经过圆心O，若PF=12，,求证：是等腰三角形．7.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴为正半轴建立直角坐标系，曲线M的方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点在曲线M上，点，FP平行于x轴交曲线M于点，求证：PO//BA．8.选修4-5：不等式选讲已知．海南高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设，，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以.【考点】元素与集合的关系.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第一步是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2.如果，那么（）A．1B．-1C．2D．【答案】D【解析】因为，所以，.【考点】1.复数运算；2.对数运算.3.函数的大致图象为（）【答案】A【解析】，把的图象向右平移的单位.【考点】图象平移.4.在等差数列中，，数列是等比数列，且，则（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】因为为等差数列，所以，又为等比数列，则.【考点】等差、等比数列.5.已知向量，则在方向上的射影为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，则，则在方向上的射影既是在方向上的射影为.【考点】向量运算.6.设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为直线是它的一条对称轴，排除B，D，因为图象过点，排除选项A,选C.【考点】三角函数图象与性质.7.阅读程序框图，输出的结果是（）A．A B．B C．C D．D【答案】C【解析】根据平行与垂直的判断与性质知是假命题，是真命题，所以是真命题.【考点】算法与程序框图.8.已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，因为，所以，即，所以，.【考点】1.对数运算；2.定积分.9.已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（）A．-12B．-16C．-20D．0【答案】A【解析】，，又，所以.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的周期性.10.盒子中有6只灯泡，其中4只正品，2只次品，有放回地从中任取两次，每次只取一只，则事件：取到的两只中正品、次品各一只的概率（）A．B．C．D．【答案】B【解析】从只灯泡中有放回的任取两只，共有种不同的取法，分成两种情况：第一种情况：第一次取到正品，第二次取到次品；第二种情况：第一次取到次品，第二次取到正品，则.【考点】分步计数原理.11.在中，角A,B,C所对的边分别是，，则角C的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，又因为,得.【考点】解三角形.【思路点晴】在解决有关三角形有关的问题时，往往要考虑正弦定理和余弦定理.正弦定理的形式是：，其中为三角形外接圆的半径.余弦定理的形式是，本题中，由于已知条件给的是边长的关系，所以我们考虑用余弦定理，先求出的表达式，然后利用基本不等式求取值范围.12.已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为，当时，恒成立，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，因为是方程的两个不等实根，显然时，，恒成立，为最大值，从而，，解得.【考点】1.函数与导数；2.恒成立问题.【思路点晴】本题是一个综合性问题.首先根据题意“已知是方程的两个不等实根”我们一般会想到判别式要大于零，还有列出根与系数关系.但是本题中，这个条件主要用在函数上面，也就是表达式里面，恰好含有这个方程，由此可以判断导函数恒大于零，原函数单调递增，由此求得最大值.二、填空题1.函数的零点个数为个．【答案】【解析】令，分别画出左右两个图象如下图所示，由此可知这两个图象有两个交点，也即原函数有两个零点.【考点】函数零点问题.2.已知，那么．【答案】【解析】．【考点】三角恒等变换.3.半径为2的球的内接几何体的三视图如图，则其体积为．【答案】【解析】从三视图可知，球的内接几何体是一个圆锥接一个圆柱.球的半径为，则圆锥的高为，圆锥的底面半径为,圆柱的底面半径,所以：.【考点】三视图求表面积和体积.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为；长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.4.抛物线与双曲线上一点的有共同的焦点，两曲线在第一象限的交点为，且到焦点的距离为5，则双曲线的离心率= ．【答案】【解析】抛物线，，，.【考点】1.抛物线与双曲线的位置关系；2.双曲线离心率.【思路点晴】抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．三、解答题1.已知中，角A,B,C的对边分别为,且．（1）求角B的大小；（2）设向量，边长，求当取最大值时，三角形的面积的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据正弦定理，将转化为，即，；（2）化简，所以当时，取最大值，此时，根据正弦定理求得，，.试题解析：（1）由题意：所以（2）因为所以所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得：，【考点】1.解三角形；2.正、余弦定理.2.某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若A杯都选对，则月工资定为3500；若4杯选对3杯，则月工资定为2800，否则月工资定为2100，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望．【答案】（1）分布列见解析；（2）.【解析】（1）依题意可知的可能取值为，且满足超几何分布，由此计算得分布列；（2）由（1）可求得月工资可能性有三种可能，且概率分别为，从而可以求得工资的期望.试题解析：（1）X的所有可能取值为0,1,2,3,4,则，所以所求的分布列为X 01234（2）设Y表示该员工的月工资，则Y的所有可能取值为3500，2800，2100，相对的概率分别为，所以，所以此员工工资的期望为2280元。