中国海洋大学高等数学试题答案
海大试卷
中国海洋大学07-09年线性代数期末考试题及答案/dispbb s.asp?boardid=19&Id=71959&page=10模拟电子技术.rar003-2008学年数字电子技术2004.rar:模拟电子技术.rar/dispbbs.asp?boardid=19&Id=82634&page=11微机技术及应用/view/263541294b73f242336c5f4c.html海大高等数学历年试题/dispbbs.asp?boardid=19&Id=82625&page=6海大近代史马基军概马基/dispbbs.asp?boardid=84&Id=34890&page=9《C程序设计》课程期末上机考试/view/c87d6d69a45177232f60a252.html07-08组织学与胚胎学A卷/view/373cf31ffc4ffe473368ab52.html07-08组织学与胚胎学B卷/view/e1096d2b3169a4517723a352.html《思想道德修养与法律基础》课程教学大纲/view/239a8638376baf1ffc4fad52.html《食品包装学》试卷(A)及答案/view/8b757360ddccda38376baf52.html《食品包装学》试卷(B)及答案/view/d23681ccda38376baf1fae52.html《审计学原理》教学大纲07-081/view/5f072b232f60ddccda38a052.html2002会计学本科《审计学原理》考试题(A卷)/view/731d9450ad02de80d4d84052.html2002会计学本科《审计学原理》考试题(A卷)答案/view/f0558280d4d8d15abe234e52.html2003年《细胞生物学》期末试卷参考答案/view/2a78e8daa58da0116c174952.html2004年《细胞生物学》期末试卷参考答案/view/c1dafc116c175f0e7cd13752.html2005-2006天然药化试题A/view/bea41a93daef5ef7ba0d3c52.html2006-2007海洋生态学试题B及参考答案/view/ad58fac30c22590102029d5d.html2005年细胞生物学命题2005年细胞生物学命题_参考答案及评分标准/view/48595e020740be1e650e9a5d.html 2006年贝类增养殖学试题/view/493d7bd3240c844769eaee5c.html 2006年微生物学期中试题B卷/view/998b780c844769eae009ed5c.html 2006年细胞生物学试题参考答案/view/9b4337d97f1922791688e85c.html 2006通信电子线路A卷参考答案/view/ba417e79168884868762d65c.html 2007-08食品加工机械试卷A-答案/view/7fbb0e4de518964bcf847c5c.html 2007-08食品加工机械试卷B/view/6214b918964bcf84b9d57b5c.html 2007-2008海洋生态学试卷A及参考答案/view/a4129384b9d528ea81c7795c.html 2007-2008数学物理方程A/view/1db3ddc758f5f61fb736665c.html 2007-2008学年天然药化试题A/view/8e6f574c2e3f5727a5e9625c.html 2007理论力学A/view/3115723f5727a5e9856a615c.html 2008-09食品加工机械试卷B存档版/view/bd1b6f6c1eb91a37f1115c5c.html 2007理论力学B/view/4fe04637f111f18583d05a5c.html 2007理论力学B参考答案/view/486ead11f18583d04964595c.html 2007年传播学试题A/view/a248ad8583d049649b66585c.html 2008-09食品加工机械试卷A存档版/view/989e54a1284ac850ad02425c.html 2008-09食品加工机械试卷A-答案/view/73139450ad02de80d4d8405c.html 2009理论力学随堂测验参考答案/view/166adfc4bb4cf7ec4afed05f.html 2008-09食品加工机械试卷B-答案/view/4f9de74cf7ec4afe04a1df5f.html 2009理论力学随堂测验/view/3563dbc24028915f804dc25f.html 病毒学期末试卷/view/a99950225901020207409c5f.html 200702数学物理方法A卷_1Access数据库程序设计/view/10585b40be1e650e52ea995f.htmlC语言期中笔试2007年5月/view/70540eea551810a6f524865f.html VB程序设计期中试题/view/42424ca6f524ccbff121845f.htmlVB上机考试新版2008-5/view/08fca924ccbff121dd36835f.html操作系统/view/633642b91a37f111f1855b5f.html产业经济学/view/486dad11f18583d04964595f.html传播学试题A/view/cc3c14d7c1c708a1284a445f.html传播学试题B/view/108d9dc708a1284ac850435f.html传播学试题B (1)/view/989d54a1284ac850ad02425f.html传播学试题试题A答案/view/52fb744ac850ad02de80415f.html传播学试题试题B答案/view/2f8fe5f3f90f76c661371a5f.html重力勘探/view/94511f323968011ca3009165.html 中级英语/view/0896c23143323968011c9265.html 中国现当代文学/view/7b41f345b307e87101f69665.html 中国戏剧起源/view/37082221af45b307e8719765.html 中国民族民间音乐/view/fd276f687e21af45b307a865.html 中国编辑出版史/view/fe2fa24733687e21af45a965.html 政治学原理/view/25676b6baf1ffc4ffe47ac65.html /view/d23f81ccda38376baf1fae65.html 语言测试/view/4e3d96aedd3383c4bb4cd265.html 娱乐文化专题/view/d1d7d8868762caaedd33d465.html 影视鉴赏/view/e4264a8884868762caaed565.html /view/9b4437d97f1922791688e865.html 英语词汇学/view/441835eae009581b6bd9eb65.html 仪器分析复习/view/ef915908763231126edb115a.html /view/9b53d84769eae009581bec65.html /view/493a7bd3240c844769eaee65.html 药物分析/view/b52aa86527d3240c8447ef65.html 药剂学/view/7859b3f9aef8941ea76e055a.html /view/f468b206eff9aef8941e065a.html /view/2f8ae5f3f90f76c661371a5a.html /view/e045a300bed5b9f3f90f1c5a.html 行政法学/view/bc4d32db6f1aff00bed51e5a.html 新闻采访与写作/view/fa6d6d126edb6f1aff001f5a.html 现代检测技术/view/b8e839ce050876323112125a.html 现场总线技术/view/92264b11cc7931b765ce155a.html 药理学/view/8d4dfe1614791711cc79175a.html 物理化学/view/28227b284b73f242336c5f5a.html 物理海洋学/view/2e76387d27284b73f242505a.html /view/bdd53929647d27284b73515a.html 无机非金属材料概论/view/3e54ab8a6529647d2728525a.html 微型计算机系统/view/10a42b0bf78a6529647d535a.html 微生物学/view/c27b04fb770bf78a6529545a.html /view/948d6fd4b14e852458fb575a.html 西方文明史/view/128cdceb6294dd88d0d26b5a.html 微机技术及应用/view/485e5e020740be1e650e9a5a.html 微观经济学/view/1c7d050102020740be1e9b5a.html 统计学/view/ad5ffac30c22590102029d5a.html 通信原理/view/35375d1ca300a6c30c229f5a.html 通信电子线路B卷参考答案/view/946e1f323968011ca300915a.html 通信电子线路2006B卷/view/08a9c23143323968011c925a.html 通信电子线路2006A卷/view/e02e5df69e3143323968935a.html 天气学原理/view/4d01dc4d2b160b4e767fcf5a.html 天气学课程学习方法指导及参考/view/9b76cd5f804d2b160b4ec05a.html 天气学/view/3564dbc24028915f804dc25a.html 天气过程要点及知识综合/view/b4dbb03a87c24028915fc35a.html。
中国海洋大学《线性代数》试卷-2021-2022学年第一学期期末试卷A卷
中国海洋大学2021年秋季学期《线性代数》课程试卷试卷 A 考试方式 闭卷 考试时间（120分钟）一. 单项选择题1.设非齐次线性方程组B AX =中,,)(r A r n m =⨯则下列结论成立的为( )A.r=m 时,方程组有解;B.r=n 时,方程组有唯一解;C.m=n 时,方程组有唯一解;D.r<n 时,方程组有无穷解. 解: A.r=m 时,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.2.设A 为m ×n 矩阵,B 为n 维列向量,则下列结论成立的是( ) A. 若0=AX 仅有零解,则B AX =有唯一解; B. 若0=AX 有非零解,则B AX =有无穷解; C. 若B AX =有无穷解,则0=AX 仅有零解; D. 若B AX =有无穷解,则0=AX 有非零解. 解: D.若B AX =有无穷解,则n A r <)(,故0=AX 有非零解.3.设A 为n 阶实矩阵,TA 是A 的转置矩阵,则对于线性方程组(I): 0=AX 和(II) 0=AX A T,必有 ( )A.(II)的解是(I)的解,(I)的解也是(II)的解;B.(II)的解是(I)的解,但(I)的解不是(II)的解;C.(I)的解不是(II)的解,(II)的解也不是(II)的解;D.(I)的解是(II)的解,但(II)的解不是(I)的解. 解: A.设 ),0(0≠=ξξA 则),0(00≠=⋅=ξξT T A A A 所以,(I)的解是(II)的解; 反之,设 ),0(0≠=ηηA A T则),0(0)()()(≠==ηηηηηA A A A T T T η为一个列向量,所以必有: 0=ηA .亦即: (II)的解是(I)的解. 因此,选A.4.21,ββ是非齐次线性方程组B AX =的两个不同解,21,αα是对应导出组的基础解系.21,k k 为任意常数,则B AX =的通解为( )A.;2)(2121211ββααα-+++k k B.;2)(2121211ββααα++-+k k C.;2)(2121211ββββα-+++k k D..2)(2121211ββββα++-+k k解: B.211,ααα-线性无关,并且是导出组的解,所以211,ααα-为导出组的一个基础解系;221ββ+为B AX =的特解,故选(B).5.设321,,ααα为四元线性方程组B AX =的三个解向量,且3)(=A r ,T)4,3,2,1(1=α,T )3,2,1,0(32=+αα,c 为任意常数,则B AX =的通解为( )A.,11114321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c B. ,32104321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c C. ,54324321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c D. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321c解: C.T )4,3,2,1(1=α为B AX =的一个特解.其导出组的基础解系仅含一个向量,且)(2321ααα+-为导出组的一个非零解, 故B AX =的通解为)](2[3211αααα+-+c .6.齐次线性方程组AX =,0111113212=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x λλλλ若存在三阶非零方阵B 满足0=AB ,则( ) A.λ=-2,且|B |=0; B. λ=-2,且|B |≠0; C. λ=1,且|B |=0; D. λ=1,且|B |≠0. 解: C.B 的三个列向量均为0=AX 的解向量,即方程组0=AX 有非零解,故|A |=-(2)1-λ=0,从而λ=1;当λ=1时,r(A )=1,故0=AX 基础解系包含两个向量,矩阵B 的三个列向量必线性相关, 所以|B |=0.7.若TT )1,1,0(,)2,0,1(21-==ξξ均为方程组0=AX 的解,则A 为( )A.()112-, B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--110102,C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110201 , D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110224解: A.解一:TT )1,1,0(,)2,0,1(21-==ξξ线性无关,故基础解系的秩≥2,从而r(A )=1,答案为(A);解二:令),(21ξξ=X ,一一验证可得(A)中矩阵满足0=AX ,故选(A).8.已知,96342321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t Q P 为三阶非零阵,且,0=PQ 则( )A.P t ,6=的秩必为1;B. P t ,6=的秩必为2;C. P t ,6≠的秩必为1;D. P t ,6≠的秩必为2. 解: C.若0=PQ ,则必有)(Q r 小于或等于方程组0=PX 的基础解系所包含向量个数.从而 .3)()(≤+Q r P r 又因为P 为三阶非零阵, 所以.0)(≠P r若,6≠t 则,2)(=Q r 此时必有,113)(0=-≤<P r 即必有.1)(=P r若,6=t 则,1)(=Q r 此时必有,213)(0=-≤<P r 即必有1)(=P r 或.2)(=P r 所以应选C.9.设.),,(,),,(,),,(321332123211T T T c c c b b b a a a ===ααα则三直线0=++i i i c y b x a 其中)3,2,1(022=≠+i b a i i 交于一点的充分必要条件为( )A. 321,,ααα线性相关;B. 321,,ααα线性无关;C. );,(),,(21321αααααr r =D. 321,,ααα线性相关; 21,αα线性无关. 解: D.三直线有一交点,说明21,αα线性无关, 3α可由21,αα线性表示.故选(D);二.填空题 1.设);,,2,1,(,j i n j i a a j i ≠=≠ ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----11312112232221321 (1111)n n n n n n n a a a a a a a a a a a a A ,,111,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= B x x x X n 则方程组B X A T=的解为 . 解: (1,0,0,…,0)T .|A |为范得蒙行列式,故|TA |≠0,方程组有唯一解.矩阵方程对应的线性方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---1 (11)132211232222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x由观察可知 (1,0,0,…,0)T 为方程组的解.2.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221t A ,B 为三阶非零矩阵,且0=AB ,则=t . 解: 3-=t若0=AB ,则B 的列向量为齐次线性方程组0=AX 的解.B 为三阶非零矩阵,所以齐次线性方程组0=AX 有非零解.从而有,0||=A 解得3-=t .3.若向量组321,,ααα线性无关,(1) 321332123211222αααβαααβαααβ-+=+-=++-=，，线性 ； (２)3213321232113432232αααηαααηαααη++=++=++=，，线性 ．解: (1) 相关;(2)无关对(1)中向量有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=211121112),,(,),,(321321αααβββ,321,,βββ线性无关0211121112≠---,故(1)相关;类似可得(2)无关.4.向量组)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321--==-=αααt 的秩为2,则t = 解: t =3.解一:用行列式为0.0321=ααα 得t =3解二:用矩阵的初等变换得 t =3.5.n 阶矩阵A 各行元素和为0,且r(A )=n-1,则方程组0=AX 的通解为 解: k(1,1,…,1),k 为任意常数.(1,1,…,1)满足方程,方程基础解系仅含一个向量, 故通解为k(1,1,…,1),k 为任意常数. 三.计算题1.设向量组)2(,,,21≥n n ααα 线性无关,,,,,,111322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=--s s s s s讨论s βββ,,,21 的线性关系. 解:设02211=+++s s k k k βββ ,整理得:)()()(122111=++++++-s s s s k k k k k k ααα ,由)2(,,,21≥n n ααα 线性无关得1211=+==+=+-s s s k k k k k k ,线性方程组对应的系数行列式为1)1(111000 (00110)0001110001--+==s D所以,(1)当s 为奇数时,D=2≠0,方程组仅有零解, s βββ,,,21 线性无关;(2) 当s 为偶数时,D=0,方程组有非零解, s βββ,,,21 线性相关. 2.设A 为n m ⨯矩阵,B 为m n ⨯矩阵,E 为n 阶单位阵()n m >.已知E BA =,试判断A 的列向量组是否线性相关?为什么? 解: 因为 ,)()()(n E r AB r A r ==≥ 另一方面, n A r ≤)(显然成立, 所以必有 .)(n A r = 从而A 的列向量组线性无关.3. 设向量组321,,ααα线性相关,向量组432,,ααα线性无关,问:(1) 1α能否用32,αα线性表示? (2) 4α能否用321,,ααα线性表示?解: (1) 由向量组432,,ααα线性无关可知32,αα线性无关,而321,,ααα线性相关,故必有1α可用32,αα线性表示.(2) 若4α能由321,,ααα线性表示,由(1)结果知4α应能由32,αα线性表示,这与432,,ααα线性无关矛盾. 所以4α不能由321,,ααα线性表示.4.设);,,2,1(),,,(21n r r i a a a T in i i i <== α是n 维实向量,且r ααα,,,21 线性无关.已知Tn b b b ),,,(21 =β是线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0.............................00221122221211212111n rn r r n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a的非零解向量,试判断向量组βααα,,,,21r 的线性关系.解: 设有一组数k k k k r ,,,,21 使得 02211=++++βαααk k k k r r 成立.因为Tn b b b ),,,(21 =β是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0.............................00221122221211212111n rn r r n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的解,且0≠β,所以有: ),,,2,1(0r i T i ==βα即:),,,2,1(0r i i T ==αβ因此,在02211=++++βαααk k k k r r 两侧同乘Tβ得02211=++++ββαβαβαβT r T r T T k k k k ,即:0=ββT k .但0≠ββT,故必有0=k .从而由02211=++++βαααk k k k r r 得 02211=+++r r k k k ααα .r ααα,,,21 线性无关,所以有: 021====r k k k .因此, 向量组βααα,,,,21r 的线性无关.四.证明题1. 设有向量组(I) 321,,ααα,(II) ,,,,4321αααα(III) ,,,,5321αααα 且r(I)=r(II)=3,r(III)=4,证明: 45321,,,ααααα-线性无关. 证明: 设,0)(454332211=-+++αααααk k k k 由r(I)=r(II)=3得4α可由321,,ααα唯一线性表示,设为3322114ααααl l l ++=,代入得,0)()()(54343324221411=+-+-+-ααααk k l k k l k k l k 因为,,,,5321αααα线性无关,所以 ,04433422411==-=-=-k k l k k l k k l k 从而04321====k k k k ,得证.2.对n 阶方阵A ,若存在正整数k 使得0=αk A ,且01≠-αk A .证明向量组ααα1,,,-k A A 线性无关.证明: 设1110=+++--αααk k A t A t t上式两侧同乘以1-k A :)(11101=+++---αααk k k A t A t t A即)1(21110=+++---αααk k k k A t A t A t由0=αk A 得 0)1(21====-+αααk k k A A A所以应有10=-αk A t而01≠-αk A ,从而必有00=t .因此有111=++--ααk k A t A t 同理上式两侧同乘以2-k A 得 01=t .类似可得12===-k t t所以向量组ααα1,,,-k A A 线性无关性得证.3.设321,,ααα为齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系. 证明: 133221,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系. 证明: 因为)3,2,1(0==i A i α,所以, 0)(2121=+=+ααααA A A .即: 21αα+为方程组0=AX 的一个解.同理可得: 1332,αααα++也是方程组0=AX 的解. 以下只需证明133221,,αααααα+++的线性无关性. 设0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ,整理得:)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关,所以必有322131=+=+=+k k k k k k解得: 0321===k k k 即: 321,,ααα线性无关.4.设t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系,0≠βA . 证明t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关.证明: 设0)()()(22110=+++++++t t k k k k αβαβαββ其中tj k j ,2,1(=)为任意实数.则)(22110=++++∑=t t tj j k k k k αααβ (*)上式两侧同乘以A 得)(22110=++++∑=t t tj j A k A k A k A k αααβ因为t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系, 所以应有021====t A A A ααα . 从而)(0=∑=tj j A k β而0≠βA ,所以必有 0=∑=tj jk代入(*)得 02211=+++t t k k k ααα由t ααα,,,21 线性无关得 021====t k k k 又由0=∑=tj jk得 00=k所以必有t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关.。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分2. 函数f(x)在x=a处可导，那么f'(a)等于（）A. f(a)的值B. f(x)在x=a处的斜率C. f(a)的极限D. f(a)的平均变化率3.下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = cos(x)D. f(x) = e^x4. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）A. ln|x| + CB. x + CC. 1/x + CD. e^x + C5. 多元函数f(x, y)的偏导数f_x表示（）A. 仅对x求导B. 对x和y同时求导C. x和y的乘积求导D. f对x的积分二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限相等。
（）2. 一切初等函数在其定义域内都可导。
（）3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调增加，则f'(x)≥0。
（）4. 二重积分可以转化为累次积分。
（）5. 泰勒公式是麦克劳林公式的推广。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在点x=a处的极限为______，记作______。
2. 若f(x) = 3x² 5x + 2，则f'(x) =______。
3. 不定积分∫sin(x)dx的结果是______。
4. 二重积分∬D dA表示______的面积。
5. 泰勒公式中，f(n)(a)表示______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述导数的定义。
2. 解释什么是函数的极值。
3. 简述定积分的基本思想。
4. 举例说明如何应用微分方程解决实际问题。
5. 简述多元函数求导的基本法则。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x) = x²e^x的导数。
2. 计算定积分∫(从0到π) sin(x)dx。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）。
A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + 1C. f(x) = 1/xD. f(x) =√x3. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）。
A. ln|x| + CB. x + CC. x^2/2 + CD. e^x + C4. 多元函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 1)处的偏导数f_x'是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 35. 线性方程组Ax=b有唯一解的条件是（）。
A. A为满秩矩阵B. A为方阵C. A为可逆矩阵D. A为零矩阵二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。
（）2. 任何连续函数都一定可导。
（）3. 二重积分可以转换为累次积分。
（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
（）5. 两个矩阵的乘积一定是方阵。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x在x=0处的导数f'(0)等于______。
2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上______。
3. 微分方程y'' y = 0的通解是______。
4. 矩阵A的行列式记作______。
5. 向量组线性相关的充分必要条件是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要说明罗尔定理的内容。
2. 什么是函数的极值？如何求函数的极值？3. 简述泰勒公式的意义。
4. 什么是特征值和特征向量？5. 简述空间解析几何中直线的方程。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x。
2. 求函数f(x) = x^3 3x的导数。
3. 计算不定积分∫(cos x)dx。
4. 求解微分方程y' = 2x。
5. 计算二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中D是由x轴，y轴和直线x+y=1围成的区域。
中国海洋大学高数Ⅱ-22013春期末A卷
＋---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第1页 共2页 ＋中国海洋大学全日制本科课程期末考试试卷_2013_年 春 季学期 考试科目： 高等数学2-2 学院： 数学科学学院 试卷类型： A 卷 命题人: 《高等数学》课程组 审核人：________考试说明：本课程为闭卷考试，共_2__页，总计100分．题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分得分一、填空题 (共10 题，每题3分，共 30 分)1. 已知22ln y x z +=，则=∂∂+∂∂2222yzx z ____________．2. 已知),(v u F 有连续偏导数，且方程0),(=++z y z x F 确定隐函数),(y x z z =， 则dz _____________．3. 交换积分次序：∫∫22),(xxdy y x f dx =_____________．4. 函数221),(y x y x f −−=在点)1,1(处的梯度=gradf _________ ．5. 微分方程xyx y dx dy 2+=满足初时条件1)1(=y 的特解为_________ ． 6．曲线t z t y t x ===,,23与平面533=+−z y x 平行的切线为 _______________ ． 7．函数333y x xy z −−=的极大值为___________． 8．设D ：122≤+y x ,二重积分=I dxdy y x D∫∫+2)(=___________．9. 幂级数∑∞=+02n nn x 的和函数=)(x S _________ ．10. 将函数x x f arctan )(=展成麦克劳林级数为____________．学号: 姓名: 专业年级: 授课教师： 考场教室号: 座号:----------------装---------------- -------------订--- ------------------------线------------------------＋---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第2页 共2页 ＋ 二、完成下列各题(共6题，每题8 分，共48 分)1． 已知),,(v u f 有二阶连续偏导数，且),(22xy y x f z +=，求yx z∂∂∂2．2． 求椭球面1235222222=++z y x 在点32,33,35(处的切平面与三个坐标平面所围四面体的体积．3． 求微分方程x e y y y −=−′−′′32的通解．4． 设半球体Ω：2222R z y x ≤++（0≥z ）,计算三重积分=I dv z yz xe z ∫∫∫Ω++)(2． 5． 设L ：1)1(22=+−y x ,计算第一类曲线积分 =I ds y x L)(22∫+．6. 设Σ是椭球面14222=++z y x 取外侧，计算第二类曲面积分=I ∫∫Σ++++22244zy x zdxdyydzdx xdydz ．三、计算题与证明题 (第1题12分 ,第2题10分,共22 分)1. 空间中，某质点在变力},,{xy zx yz F =→的作用下由坐标原点运动到椭球面1222222=++c z b y a x 位于第一卦限点),,(000z y x 处．试求 1) 力→F 所作的功；2）当000,,z y x 取何值时功最大，并求出这个最大值．2. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x y x y x f ， 证明：函数),(y x f 在)0,0(处偏导数存在但不可微．。
中国海洋大学《线性代数》试卷-2021-2022学年第二学期期末试卷A卷
中国海洋大学2021年春季学期《线性代数》课程试卷试卷 A 考试方式 闭卷 考试时间（120分钟）一.填空题1.若二次型322123222132122),,(x tx x x x x x x x x f ++++=为正定二次型,则t 的取值范围为 解: .22<<-t二次型对应矩阵为,120211012⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tt A应用二次型A 为正定二次型的充分必要条件为A 的顺序主子式全大于零:显然 ,011112,0221>==>=D D由021||23>-==tA D 得 .22<<-t二.计算题1.设二次型323121232232184434),,(x x x x x x x x x x x f +-+-=. (1) 写出二次型f 的矩阵表示;(2)用正交变换把二次型f 化为标准型,并写出相应的正交矩阵.解: (1).342442220)(),,(321321321AX X x x x x x x x x x f T =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=(2)求解特征多项式:)36)(1(34244222||2=--=+-----=-λλλλλλA E得特征根为 .6,6,1321-===λλλ求解对应矩阵方程)3,2,1(0)(==-i X A E i λ得特征向量分别为.)2,1,1(,)2,5,1(,)1,0,2(321T T T -==-=ξξξ各自单位化得.)62,61,61(,)302,305,301(,)51,0,52(321T T T -==-=ηηη记 ),(321ηηη=P 作正交变换,PY X = 则f 标准化为 .66232221y y y f -+=2.设二次型323121232221321222),,(x x x x x x x x x x x x f βα+++++=经正交变换PY X =化为23222y y f +=,其中T T y y y Y x x x X )(,)(321321==是三维列向量,P 是3阶正交矩阵, 试求常数.,βα解: 记原二次型及其标准型所对应的矩阵分别为A 和B ,即,200010000,11111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A ββαα由.1B AP P =-得 ||||B E A E -=-λλ,即2100||11111||--=-=---------=-λλλλλββλααλλB E A E解得 λλλβαλβαλλ22)()2(32322223+-=-+--+- 两多项式相等则对应系数项相等,所以有⎪⎩⎪⎨⎧=-=--0)(22222βαβα 解得 0==βα.3.设矩阵,21010*********⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y A(1)已知A 的一个特征值为3,求y ; (2) 求矩阵P ,使)()(AP AP T为对角矩阵.解:(1) 将3代入特征方程得 01100130000310013|3|=-----=-y A E解得 2=y (2)由P A P AP A P AP AP T T T T 2)()(==知 只需求矩阵P ,使P A P T 2为对角矩阵.计算得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5404500001000012A 为对称矩阵,其特征值为 .9,14321====λλλλ对应于1321===λλλ的特征向量为.)1,1,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(321T T T -===ξξξ对应于94=λ的特征向量为.)1,1,0,0(4T=ξ 验证以上四个向量已经两两正交,分别单位化得,)21,21,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(321T T T -===ηηη.)21,21,0,0(4T =η令),(4321ηηηη=P 则=)()(AP AP T ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=9000100001000012P A P T .或者,应用配方法:24243222143242322212432159)54(5855),,,(x x x x x x x x x x x X A X x x x x f T ++++=++++==令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+===44433221154x y x x y xy x y 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-===44433221154y x y y x y x y x则二次型标准化为242322214321595),,,(y y y y x x x x f +++=所求矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10005410000100001P ,=)()(AP AP T⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=59000500001000012P A P T .4.考虑二次型32322123222132142244),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=λ. 问λ为何值时,f 为正定二次型?解: 应用二次型A 为正定二次型的充分必要条件为A 的顺序主子式全大于零:二次型对应矩阵为,4212411⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=λλA 则应有,0441,01221>-==>=λλλD D 0844||23>+--==λλA D解不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧>+-->-08440422λλλ得 ⎩⎨⎧<<-<<-1222λλ所以当12<<-λ时,f 为正定二次型.5. 设B A ,分别为n m ,阶正定矩阵,试判定分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B AC 00是否为正定矩阵.解: 根据正定矩阵定义:AX X f T=正定的充分必要条件为AX X f T =>0,(对任意X ≠0).设 0,,),,(,),,(11≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛===Z Y X Z y y Y x x X Tn Tm ,则X,Y 不全为0,不妨设X ≠0,由题意得)0,0(,0,0≠≠>>Y X BY Y AX X TT 所以(),00000>+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=BY Y AX X Y X B A Y X Z B AZ CZ Z TT T T T T从而C 为正定矩阵. 四.证明题1. 设A 是m 阶正定矩阵,n m B ⨯是实矩阵,证明:.)(n B r AB B T=⇔正定证明: 充分性:显然AB B T是对称矩阵.设X 为任意非零向量,则)()()(BX A BX X AB B X T T T = 因为,)(n B r =所以方程组0=BX 有唯一零解, 从而若0≠X ,则必有0≠BX .又因为A 是m 阶正定矩阵,所以.0)()()(>=BX A BX X AB B X TT T 必要性.对任意非零向量X 有0)()()(>=BX A BX X AB B X TT T . 其中必有0≠BX .亦即方程组0=BX 有唯一零解. 由此可得 .)(n B r =2. 设A 为正定矩阵,证明1||>+A E .证明: 设A 的特征值为),,2,1(n i i =λ,因为A 为正定矩阵,所以A 的特征值全大于0.而A E +的特征值为),,2,1(1n i i =+λ, 所以1)1(||1>+=+∑=ni i A E λ.3.设A 为m ×n 阶矩阵,E 为n 阶单位矩阵,已知,A A E B T+=λ试证:当0>λ时, B 为正定矩阵.证明:,)(B A A E A A E A A E B TT T T T =+=+=+=λλλ所以B 为对称矩阵. 设,),,(1≠=X x x X T n ,则)()()()(AX AX X X X A A X X X X A A E X BX X T T T T T T T T +=+=+=λλλ0>λ0,≠X ,所以X X T λ>0, )()(AX AX T>0,0>λ从而 BX X T >0, 即B 为正定矩阵.。
高等数学期中A考卷及答案 海大
高等数学试卷大题 一二三四五六七八九十成绩一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、设f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则f x '(,)32=（ ）(A) 59 (B) 56 (C) 58 (D) 552、设曲面z xy =在点(,,)326处的切平面为S ，则点(,,)124-到S 的距离为（ ） （A ）-14 （B ）14 （C ）14（D ）-143、设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 ( )4、函数y x z 2+=在点（3，5）沿各方向的方向导数的最大值为（ ）(A)5 (B) 0 (C) 3(D) 25、曲线2,ln ),1sin(t z t y t x ==-=在对应于1=t 点处的切线方程是（ ） (A) 1111-==z y x ; (B) 21111-=-=z y x ; (C)2111-==z y x ; (D) 211z y x ==. 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、设u xy yx=+，则∂∂∂2u x y = 。
2、设f x y (,)有连续偏导数，u f e e xy=(,)，则d u = 。
3、设L 是从点A (－1，－1)沿曲线x 2+xy +y 2=3经点E (1，－2)到点B (1，1)曲线段，则曲线积分________.4、设u f x y =(,)在极坐标：x r y r ==cos ,sin θθ下，不依赖于r ，即u =ϕθ()，其中ϕθ()有二阶连续导数，则∂∂∂∂2222u x uy+=________________.5、设,则I =________________。
三、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )曲面S 1x y z =，求该曲面的切平面使其在三个坐标轴上截距之积最大。
中国海洋大学—线性代数试卷及答案
2007-2008学年 第2学期 期末考试试卷《线性代数》课程试题(A 卷) 共 3页 第 1 页考试说明：本课程为闭卷考试，考试时间100分钟。
满分为：100分一．填空题（每题3分，共15分）1．设3R 的基为1231110,1,1001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则123β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在基123{,,}ααα下的坐标为 。
2．已知方阵A ，且满足方程220A A I --=，则A 的逆矩阵1A -= 。
3．设A 为3阶实对称矩阵, 向量()T5,2,11=ξ,()Tk k 3,2,2=ξ分别对应于特征值2和3的特征向量, 则=k 。
4．若矩阵12323536A t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩()2r A =，则t = 。
5．设,A B 为3阶矩阵，且2,3A B ==，则12AB -= 。
二．单项选择题（每题3分，共15分）1．向量组12,,,(2)m m ααα> 线性相关的充要条件是( )。
(A) m ααα,,,21 中至少有两个向量成正比； (B) m ααα,,,21 中至少有一个零向量；(C) m ααα,,,21 中至少有一个向量可由其余的向量线性表示； (D) m ααα,,,21 中任一部分组线性相关。
题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分优选专业年级 X X X X X X X 学号 姓名 授课教师 座号--------------------------------装装--------------------------------订订--------------------------------线线--------------------------------2．已知n 阶行列式0A =，则下列表述正确的是（ ）。
（A ）行列式A 主对角线上的元素全为零； （B ）A 的行向量组线性相关；（C ）方程0AX =仅有零解； （D ）*A 的秩为n 。
中国海洋大学vhdl习题
习题七1.写出下面方程的阶,判别它们是齐次还是非齐次的,线性还是非线性的.(1)u t −u xx +1=0;(2)u t −u xx +xu =0;(3)u t −u xxt +uu x =0;(4)u tt −u xx +x 2=0;(5)u x +e y u y =0;(6)u t +u xxxx +√1+u =0;(7)u x (1+u 2x )−1/2+u y (1+u 2y )−1/2=0.2.求下面的一阶线性偏微分方程的通解:(1)xu x −2yu y =0;(2)xu x +yu y =0;(3)xu x +3u =x 2;(4)xu x +2u y −2u =0;(5)(1+x 2)u x +u y =0;(6)3u y +u xy =0;(7)u x −u y =1;(8)yu x −xu y =3x ;(9)x 2u x +y 2u y =(x +y )u ;(10)au x +bu y +cu =0.3.求解下面的初值问题:(1){u t =x 2,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=x 2,−∞<x <+∞.(2){2u t +3u x =0,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=sin x,−∞<x <+∞.(3){u t −au x =0,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=x 2,−∞<x <+∞.4.求方程u x −u y =1满足条件u (x,0)=x 2的解.5.求方程yu x +xu y =u 分别满足条件u (x,0)=x 3和条件u (0,y )=y 3的解.6.求方程u x +3y 23u y =2满足条件u (x,1)=1+x 的解.7.求解方程u x +u y +u =1,使其在曲线y =x 2+x (x >0)上满足条件u (x,y )=sin x .8.试证明如果u 1(x,t )和u 2(x,t )分别是下面两个热传导方程初值问题{u 1t =a 2u 1xx ,−∞<x <+∞,t >0,u 1(x,0)=φ1(x ),−∞<x <+∞和{u 2t =a 2u 2yy ,−∞<y <+∞,t >0,u 2(y,0)=φ2(y ),−∞<y <+∞的解,则u (x,y,t )=u 1(x,t )u 2(y,t )是初值问题{u t =a 2(u xx +u yy ),−∞<x,y <+∞,t >0,u (x,y,0)=φ1(x )φ2(y ),−∞<x,y <+∞1的解.9.函数1+x,1−x和1+x+x2是线性相关还是线性无关的?为什么?10.下面哪些算子是线性的?(1)Lu=u x+xu y;(2)Lu=u x+uu y;(3)Lu=u x+u2y;(4)Lu=u x+u y+1.11.证明非齐次线性算子方程Lu=f的任意两个解的差是齐次线性算子方程Lu=0的解.12.判别下列方程的类型,并将其化为标准型:(1)4u xx+5u xy+u yy+u x+u y=2;(2)u xx−4u xy+4u yy=e y;(3)u xx+u xy+u yy+u x=0.13.求方程3u xx+10u xy+3u yy=0的通解.14.求方程u xx+2u xy+u yy=0的通解.15.判断能否找到方程u xx+2u xy+5u yy+u x=0的通解?为什么?16.对偏微分方程u tt=a2u xx+bu x,其中a,b为常数,寻找合适的函数变换u(x,t)=w(x)v(x,t)使得v满足的偏微分方程中不含一阶偏导数项.17.化简偏微分方程u tt=a2u xx+bu x+cu t+du,其中a,b,c,d为常数.18.试求满足方程u tt=a2u xx和u2t=a2u2x的公共解.习题八1.求解下列特征值问题:(1){X′′+λX=0,0<x<l,X′(0)=X′(l)=0;(2){X′′+λX=0,0<x<l,X′(0)=X(l)=0;(3){X′′+λX=0,a<x<b,X(a)=X(b)=0;(4){X′′+λX=0,0<x<l,X(0)=0,X′(l)+γX(l)=0;2.一根长为l的弦,两端固定,初始位移为A sin πxl,初始速度为零.求该弦的振动规律.3.求解混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=sinπxl,u t(x,0)=sinπxl,0≤x≤l.24.求解混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=sin3πxl,u t(x,0)=x(l−x),0≤x≤l.5.求解混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u x(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=cosπx2l,0≤x≤l,u t(x,0)=cos3πx2l+cos5πx2l,0≤x≤l.6.一根长为l的均匀细杆,它的初始温度为常数u0,两端温度恒为零.试求杆上的温度分布情况.7.求解混合问题u t=u xx,0<x<1,t>0, u x(0,t)=u x(1,t)=0,t≥0,u(x,0)=1+cosπx,0≤x≤1.8.用分离变量法求解梁振动方程混合问题u tt+a2u xxxx=0,0<x<l,t>0, u(0,t)=u xx(0,t)=u(l,t)=u xx(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),u t(x,0)=ψ(x),0≤x≤l.9.求解阻尼弦振动方程混合问题u tt=a2u xx−2hu t,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),u t(x,0)=ψ(x),0≤x≤l,其中0<h<aπl是一个常数.10.求解混合问题u t=a2u xx−b2u,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),0≤x≤l,其中b为已知常数.311.求解混合问题u tt=a2u xx+g,0<x<l,t>0, u(0,t)=0,u x(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=u t(x,0)=0,0≤x≤l,其中g为已知常数.12.求解混合问题u t=u xx+sinπx,0<x<1,t>0, u(0,t)=u(1,t)=0,t≥0,u(x,0)=0,0≤x≤1.13.求解具有放射性衰变的热传导方程混合问题u t=a2u xx+A e−βx,0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=T0,0≤x≤l,其中A,β,T0均为已知常数.14.求解混合问题u tt=u xx,0<x<1,t>0, u(0,t)=E,u(1,t)=0,t≥0,u(x,0)=u t(x,0)=0,0≤x≤1,其中E为已知常数.15.求解混合问题u t=a2u xx,0<x<l,t>0, u x(0,t)=0,u(l,t)=u0,t≥0,u(x,0)=u0lx,0≤x≤l,其中u0为已知常数.16.设弹簧的一端固定,另一端在外力作用下作周期振动,此时归结为混合问题u tt=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=0,u(l,t)=A sinωt,t≥0,u(x,0)=u t(x,0)=0,0≤x≤l,其中A,ω>0为已知常数,试求解.417.求解混合问题u t=a2u xx,0<x<l,t>0, u(0,t)=A sinωt,u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=0,0≤x≤l,其中A,ω>0为已知常数.18.试证明如果w(x,t;τ)是混合问题w t=a2w xx,0<x<l,t>τ, w(0,t;τ)=w(l,t;τ)=0,t≥τ,w(x,τ;τ)=f(x,τ),0≤x≤l的解,其中τ≥0表示初始时刻,则u(x,t)=∫tw(x,t;τ)dτ是混合问题u t=a2u xx+f(x,t),0<x<l,t>0, u(0,t)=u(l,t)=0,t≥0,u(x,0)=0,0≤x≤l的解.这是热传导方程混合问题的齐次化原理. 19.考察由下列定解问题描述的矩形平板上的温度分布u xx+u yy=0,0<x<a,0<y<b, u(0,y)=0,u(a,y)=0,0≤y≤b,u(x,0)=f(x),u(x,b)=0,0≤x≤a,其中f(x)为已知的连续函数.20.求解定解问题u xx+u yy=0,0<x<a,0<y<b, u x(0,y)=A,u x(a,y)=A,0≤y≤b,u y(x,0)=B,u y(x,b)=B,0≤x≤a,其中A,B为已知常数.21.求解单位圆上的拉普拉斯方程狄利克雷边值问题u rr+1ru r+1r2uθθ=0,0<r<1,−π≤θ≤π, u(1,θ)=f(θ),−π≤θ≤π,5其中f(θ)分别为(1)f(θ)=A cosθ;(2)f(θ)={A,|θ|<α,0,|θ|≥α,这里A和α都是常数.22.求解定解问题u rr+1ru r+1r2uθθ=0,0<r<l,0≤θ≤α, u(r,0)=0,u(r,α)=0,0≤r≤l,u(l,θ)=f(θ),0≤θ≤α,其中f(θ)为已知的连续函数,而α<2π.习题十1.求下列函数的傅里叶变换(1)sin axx(a>0);(2)1x2+a2;(3)sinηx2,cosηx2(η>0);(4)x e−ax2(a>0).2.已知∫+∞−∞f(ξ)dξ(x−ξ)2+a2=1x2+b2(0<a<b),求未知函数f(x).3.用傅里叶变换求解下列定解问题(1){u t+au x=f(x,t),−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=φ(x),−∞<x<+∞,(2)u tt=a2u xx+f(x,t),−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=0,−∞<x<+∞,u t(x,0)=0,−∞<x<+∞,(3){u t=u xx+tu,−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=f(x),−∞<x<∞.(4)u tt+2u t=u xx−u,−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=0,−∞<x<+∞,u t(x,0)=x,−∞<x<+∞,(5)∗u tt+a2u xxxx=0,−∞<x<+∞,t>0, u(x,0)=φ(x),−∞<x<+∞,u t(x,0)=0,−∞<x<+∞.4.试证明若w(x,t;τ)是齐次初值问题{w t=w xx,−∞<x<+∞,t>τ,w(x,τ;τ)=f(x,τ),−∞<x<∞.6的解,则u(x,t)=∫tw(x,t;τ)dτ是非齐次初值问题{u t=u xx+f(x,t),−∞<x<+∞,t>0,u(x,0)=0,−∞<x<+∞.的解.这就是热传导方程初值问题的齐次化原理.5.利用延拓法求解热传导半无界问题u t=a2u xx,x>0,t>0, u x(0,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),x≥0.6.利用延拓法求解弦振动半无界问题u tt=a2u xx,x>0,t>0, u(0,t)=0,t≥0,u(x,0)=φ(x),u t(x,0)=ψ(x)x≥0.7.求下列函数的拉普拉斯变换(1)f(t)=e−2t;(2)f(t)=t2;(3)f(t)=sin t cos t;(4)f(t)=cosh t;(5)f(t)=cos2kt;(6)f(t)=sin2t cos3t.8.求函数f(t)=(t−1)[H(t−1)−H(t−2)]的拉普拉斯变换,其中H(t)是单位阶跃函数.9.求下列函数的拉普拉斯变换(1)f(t)=(t−1)2e t;(2)f(t)=e−2t sin3t;(3)f(t)=H(3t−5);(4)f(t)=t e−3t sin2t;(5)f(t)=∫t0t e−3t sin2t d t;(6)f(t)=t∫te−3t sin2t d t.10.按定义10.4计算下列卷积(1)t∗t;(2)t∗e t;(3)t∗sin t;(4)cos t∗cos t;(5)sin t∗cos t;(6)e kt sin t∗e kt cos t.11.求下列函数的拉普拉斯逆变换7(1)1s+5;(2)2s4;(3)1s2+9;(4)2s+3s2+4;(5)s−2(s+1)(s−3);(6)s+1s2+s−6;(7)s(s2−1)2;(8)1s3(s2+4);(9)s2+2s−1s(s−1)2;(10)s(s2+1)(s2+4);(11)s+8s2+4s+5;(12)s+2(s2+4s+5)2;(13)s(s2+1)2;(14)2s2+3s+3(s+1)(s+3)3;(15)1(s−1)(s−2)(s+3).12.利用拉普拉斯变换公式计算如下积分(1)∫+∞0e−t sin2t d t;(2)∫+∞t e−3t cos2t d t.13.求解下列微分方程(1){y′+y=1,t>0,y(0)=0.(2){y′−y=−3e2t,t>0,y(0)=2.(3){y′′−6y′+9y=e3t,t>0,y(0)=y′(0)=0.(4){y′′−3y′+2y=5,t>0,y(0)=1,y′(0)=2.(5){y′′−2y′+2y=2e t cos t,t>0,y(0)=y′(0)=0.(6){y′′−2y′+5y=e t sin2t,t>0,y(0)=0,y′(0)=7/4.(7){y′′′+3y′′+3y′+y=6e−t,t>0,y(0)=y′(0)=y′′(0)=0.(8){y′′′+2y′′+y′=−2e−2t,t>0,y(0)=2,y′(0)=y′′(0)=0.14.求解下列微分方程组(1)x′+2x+2y=10e2t,y′+y−2x=7e2t,x(0)=1,y(0)=3.(2)3x′+y′+2x=1,x′+4y′+3y=0,x(0)=y(0)=0.15.求解积分方程f(t)=sin t+2∫tcos(t−τ)f(τ)dτ.16.利用拉普拉斯变换求解下列定解问题(1){u xy=1,x>0,y>0, u(0,y)=y+1,u(x,0)=1.(2)u tt=a2u xx,x>0,t>0, u(x,0)=0,u t(x,0)=b,u(0,t)=0.8(3)u t =a 2u xx ,0<x <l,t >0,u x (0,t )=0,u (l,t )=u 0,u (x,0)=u 1(u 0,u 1为常数).(4)u tt =a 2u xx +cos ωt,x >0,t >0,u (x,0)=0,u t (x,0)=b,u (0,t )=0.习题十一1.求出下列弦振动方程初值问题的解:(1)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=0,u t (x,0)=1;(2)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=sin x ,u t (x,0)=x 2;(3)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=x 3,u t (x,0)=x ;(4)u tt −a 2u xx =0,u (x,0)=cos x ,u t (x,0)=e −1.2.求解无限长弦的自由振动,设弦的初始位移为φ(x ),初始速度为−aφ′(x ).3.对方程u tt =4u xx ,x ∈R ,t >0,写出点(4,1)的依赖区间,区间[2,4]的决定区域.4.求解弦振动问题的古尔萨问题u tt =u xx ,−∞<x <+∞,t >0,u (x,−x )=φ(x ),−∞<x <+∞,u (x,x )=ψ(x ),−∞<x <+∞,其中φ(x ),ψ(x )为充分光滑的已知函数,且φ(0)=ψ(0).5.试求出方程∂∂x [(1−x h )2∂u ∂x ]=1a 2(1−x h )2∂2u∂t 2的通解为u =f (x −at )+g (x +at )h −x,其中h 为已知常数,f,g 为充分光滑的任意函数.提示：令v (x,t )=(h −x )u (x,t ).6.一根无限长的弦与x 轴的正半轴重合,并处于平衡状态中,弦的左端位于原点.当t >0时左端点作微小振动A sin ωt ,试求弦的振动规律为u (x,t )= 0,t ≤x a ,A sin ω(t −x a ),t >x a ,其中A,ω为已知常数.97.求解定解问题u xx +2u xt −3u tt =0,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=sin x,−∞<x <+∞,u t (x,0)=x,−∞<x <+∞,8.求解下列非齐次弦振动方程初值问题:(1)u tt −a 2u xx =x +at,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=0,−∞<x <+∞,u t (x,0)=0,−∞<x <+∞,(2) u tt −u xx =t sin x,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=0,−∞<x <+∞,u t (x,0)=sin x,−∞<x <+∞,(3) u tt −u xx =−1,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=sin x,−∞<x <+∞,u t (x,0)=x,−∞<x <+∞,(4)u tt −a 2u xx =x,−∞<x <+∞,t >0,u (x,0)=0,−∞<x <+∞,u t(x,0)=3,−∞<x <+∞.习题九1.在点x =x 0处用幂级数方法求解下列微分方程:(1)y ′′−xy =0,x 0=0,1;(2)y ′′−xy ′−y =0,x 0=0,1;(3)(1−x )y ′′+y =0,x 0=0;(4)(1−x 2)y ′′−xy ′+4y =0,x 0=0.2.试判别x =−1,0,1是下面方程的什么点（常点、正则奇点或非正则奇点）:(1)xy ′′+(1−x )y ′+xy =0;(2)(1−x 2)y ′′−2xy ′+n (n +1)y =0;(3)2x 4(1−x 2)y ′′+2xy ′+3x 2y =0;(4)x 2(1−x 2)y ′′+2xy ′+4y =0.3.写出下列方程的指标方程及其根:(1)x 3y ′′+(cos 2x −1)y ′+2xy =0;(2)4x 2y ′′+(2x 4−5x )y ′+(3x 2+2)y =0;(3)x 2y ′′+3xy ′+4xy =0;(4)x 3y ′′−4x 2y ′+3xy =0.4.求出下列方程的两个线性无关的弗罗贝尼乌斯级数解:(1)xy ′′+2y ′+xy =0;(2)xy ′′−y ′+4x 3y =0;(3)x 2y ′′−x 2y ′+(x 2−2)y =0;(4)4xy ′′+2y ′+y =0.5.证明勒让德多项式P n (x )满足:(1)P n (−1)=(−1)n ;(2)P 2m −1(0)=0;(3)P 2m (0)=(−1)m(2m )!22m (m !)2.106.证明勒让德多项式有如下的积分表示公式,即施列夫利公式P n(x)=12n2πiC(z2−1)n(z−x)n+1d z,(1)其中C是围绕x的任意周线.7.利用上题中的施列夫利公式,取积分路径为圆周C:|z−x|=√1−x2,证明勒让德多项式的拉普拉斯积分表示公式P n(x)=1π∫π(x+i√1−x2cosφ)n dφ.(2)设x=cosθ,进一步证明|P n(x)|=|P n(cosθ)|≤1.8.证明P n(x)在开区间(−1,1)内有n个单零点.9.证明P n(x)=n∑k=0(n+k)!(n−k)!(k!)22k(x−1)k.10.证明勒让德多项式满足递推关系式P n(x)=P′n+1(x)−2xP′n(x)+P′n−1(x),n=1,2,···.11.证明n∑k=0(2k+1)P k(x)=P′n(x)+P′n+1(x),n=0,1,2,···.12.证明∫1−1P n(x)d x=0,n=1,2,···.13.证明∫1−1(1−x2)[P′n(x)]2d x=2n(n+1)2n+1,n=0,1,2,···.14.计算下列积分:(1)∫1−1xP n(x)P n+1(x)d x;(2)∫1−1x2P n(x)P n+2(x)d x;(3)∫1−1[xP n(x)]2d x.15.将函数f(x)=5x3+3x2+x+1展开成F–L级数.16.将单位阶跃函数f(x)={0,−1<x<0,1,0≤x<1展成F–L级数.17.将函数f(x)=|x|在区间(−1,1)内展开成F–L级数.1118.求解球坐标系下的下列定解问题:(1)∆u =0,r >1,u (1,θ)=cos 2θ,lim r →+∞u (r,θ)=0.(2) ∆u =0,1<r <2,u (1,θ)=cos θ,u (2,θ)=1+cos 2θ.(3)∆u =0,r <a,0≤θ<π2,u (a,θ)=u 0,∂u ∂n θ=π2=0.19.试求半径为R 的球体的定常温度分布.假定球面上的温度分布恒为u (R,θ)=u 0cos θ.20.有一个单位球,使其上半球面温度恒为1,下半球面温度恒为0.试求球内的温度分布.21.在半径为a 的接地金属球壳内,在到球心的距离为b 的位置处放置一个点电荷4πε0q .求球内的电势分布.22.设半径为a 的半球球面保持恒温u 0cos θ,底面保持零度.求半球内的温度分布.23.在电场强度为E 0的均匀电场中放进一个接地导体球,球的半径为a .设球心即球坐标系的原点处的电势为u 0,求球外的电势分布.24.用分离变量法求偏微分方程∂2u ∂t 2−∂∂x [(1−x 2)∂u∂x]=0,−1<x <1的通解.25.证明P m n (−x )=(−1)m +n P mn (x ).26.证明如下递推公式:(1)(1−x 2)12[P m n (x )]′=P m +1n (x )−mx (1−x 2)−12P mn (x );(2)2mx (1−x 2)12P m n (x )=P m +1n (x )+[n (n +1)−m (m −1)]P m −1n (x ).27.证明递推公式(9.52)和(9.53).28.利用递推公式(9.50)–(9.53)证明如下递推公式:(1)P m n (x )=xP m n −1(x )+(n +m −1)(1−x 2)12P m −1n −1(x );(2)(1−x 2)12P m +1n (x )=(n −m )xP m n (x )−(n +m )P m n −1(x );(3)(1−x 2)[P m n (x )]′=(n +m )P m n −1(x )−nxP m n (x );(4)(1−x 2)[P m n (x )]′=mxP mn (x )−(n +m )(n −m +1)(1−x 2)12P m −1n(x ).1229.将下列函数展开成球面调和函数的广义傅里叶级数:(1)sinθcosφ;(2)32(5cos2θ−1)sinθsinφ;(3)3sin2θcos2φ−1.30.在半径为r0的球体外部区域求解∂2u∂r2+2r∂u∂r+1r2sinθ∂∂θ(sinθ∂u∂θ)+1r2sin2θ∂2u∂φ2=0,r>r0,0<θ<π,−∞<φ<+∞, u(r0,θ,φ)=u0(sin2θcos2φ−13),0≤θ≤π,−∞<φ<+∞,limr→+∞|u(r,θ,φ)|<+∞,0≤θ≤π,−∞<φ<+∞.31.分别在半径为r0的球体的内部区域和外部区域求解∆3u=0,u(r0,θ,φ)=4sin2θ(cosφsinφ+12).32.分别在半径为r0的球体的内部区域和外部区域求解∆3u=0,u r(r0,θ,φ)=−sin2θcos2φ+13.33.在内半径为r1,外半径为r2的球壳区域内求解∆3u=0,u(r1,θ,φ)=u1cosθ,u(r2,θ,φ)=u2sinθcosθsinφ,其中u1,u2为常数.34.在半径为r0的球体内部区域求解泊松方程定解问题{∆3u=Ar cosθ,u(r0,θ,φ)=0,其中A为常数.35.证明对任意实数x有e x2(z−1z)=+∞∑n=−∞J n(x)z n,0<|z|<+∞.因为这个等式,函数e x2(z−1z)称为贝塞尔函数的母函数（或生成函数）.1336.证明e i x cosθ=J0(x)+2+∞∑n=1i n J n(x)cos nθ.这个等式的物理意义为平面波按柱面波展开.由它导出cos(x cosθ)=J0(x)+2+∞∑m=1(−1)m J2m(x)cos2mθ,sin(x cosθ)=2+∞∑m=0(−1)m J2m+1(x)cos(2m+1)θ.37.证明:(1)cos x=J0(x)+2+∞∑m=1(−1)m J2m(x);(2)sin x=2+∞∑m=0(−1)m J2m+1(x);(3)1=J0(x)+2+∞∑m=1J2m(x);(4)x=2+∞∑m=0(2m+1)J2m+1(x).38.利用第35题的结论证明J n(x)=12πiCe x2(ζ−1ζ)ζn+1dζ,n=0,±1,±2,···,其中C是任一围绕z=0的周线.进一步证明当C为单位圆周时有J n(x)=1π∫πcos(x sinθ−nθ)dθ.39.证明J0(x)=2π∫1cos xt√1−t2d t.由此证明J0(x)在(π/2,π)内有一个零点.40.证明|J n(x)|≤1,n=0,1,2,···.41.证明除原点外,Jν(x)和J′ν(x)的其它零点都是单零点.42.试证贝塞尔函数的加法公式J n(x+y)=+∞∑k=−∞J k(x)J n−k(x),n=0,±1,±2,···.43.证明1=J20(x)+2+∞∑k=1J2k(x).1444.证明:(1)J2(x)−J0(x)=2J′′0(x);(2)J3(x)+3J′0(x)+4J′′′0(x)=0;(3)J2(x)=J′′0(x)−x−1J′0(x);(4)x2J′′n(x)=(n2−n−x2)J n(x)+xJ n+1(x).45.证明∫x n J0(x)d x=x n J1(x)+(n−1)x n−1J0(x)−(n−1)2∫x n−2J0(x)d x.46.计算积分:(1)∫J3(x)d x;(2)∫x4J1(x)d x.47.计算积分∫+∞e−ax J0(bx)d x,其中a,b为实数,a>0.48.设ωm是J1(x)的第m个正零点,m=1,2,···.将函数f(x)=x在区间(0,1)上展为J1(ωm x)的傅里叶-贝塞尔级数.49.设ωm是J0(x)的第m个正零点,m=1,2,···.将函数f(x)=1−x2在区间(0,1)上展为J0(ωm x)的傅里叶-贝塞尔级数.50.考虑一个半径为a、高为h的均匀圆柱体,下底和侧面的温度保持为零度,上底温度分布恒为u0,求柱内稳定的温度分布.51.考虑一个半径为a、高为h的均匀圆柱体,侧面绝热,下底的温度保持为零度,上底温度分布恒为1−r2a2,求柱内稳定的温度分布.52.设有半径为1的薄均匀圆盘,边界上温度为0,初始温度分布为1−r2,求盘内的温度分布.53.考虑一个半径为R的无限长均匀圆柱体,侧面保持常温u0,柱内初始温度为0,求柱内的温度分布.54.考虑一张边界固定的环形膜,内外半径分别为r1和r2,试求它振动的特征频率.55.证明半奇数阶第二类贝塞尔函数Y n+12(x)=(−1)n+1J−(n+12)(x).这说明所有的半奇数阶第二类贝塞尔函数都是初等函数,从而所有的第二类球贝塞尔函数也都是初等函数.56.证明艾里微分方程y′′−xy=0的通解可以表示为y=CJ13(2i3x32)+DY13(2i3x32).57.证明微分方程x2y′′+axy′+(x2−ν2)y=0(a=1)可以化为贝塞尔方程.15。
高等数学A(二)B期末考卷及解答海大
高等数学A(二)B期末考卷及解答海大一、选择题（每题1分，共5分）1. 设函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=2，则下列选项中正确的是（）A. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 0B. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 2C. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 1D. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 22. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足0≤f(x)≤1，则下列选项中正确的是（）A. ∫(0,1) f(x) dx = 0B. ∫(0,1) f(x) dx = 1C. ∫(0,1) f(x) dx = 0.5D. 无法确定3. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=3，则下列选项中正确的是（）A. A可逆B. A不可逆C. A的行列式为0D. A的行列式为34. 设函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为yy0=2(xx0)，则下列选项中正确的是（）A. f'(x0)=0B. f'(x0)=1C. f'(x0)=2D. f'(x0)不存在5. 设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f'(x)>0，则下列选项中正确的是（）A. f(x)在[a,b]上单调递增B. f(x)在[a,b]上单调递减C. f(x)在[a,b]上取得最大值D. f(x)在[a,b]上取得最小值二、判断题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处连续。
（）2. 若函数f(x)在区间[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上一定连续。
（）3. 矩阵A的行列式为0，则A不可逆。
（）4. 二重积分的值与积分次序无关。
（）5. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f'(x)>0。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 设函数f(x)=x^33x，则f'(x)=______。
(完整word版)高等代数 中国海洋大学 期末考试试卷
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试试卷
数学科学 学院 《高等代数》课程试题(A 卷) 共 2 页 第 1 页 112
3
1n n
n a a a a a -⎤⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的循环矩阵的集合，的子空间.
BA . 1
λ
授课教师命题教师或
命题负责人签字年月日院系负责人签
字年月日
共2 页第2 页
中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷
五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x .
六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,,是V 上的线性变换，且=
.
证明:
的值域与核都是
的不变子空间.
七(10分)设2n 阶矩阵a
b a b A b a
b
a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足
()()0p f q f =(零变换)
求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f
S q f =⊕==。
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中国海洋大学继续教育学院命题专用纸（函授）3x a
= 2√xlnx - 2 ＊ 2√x + C
= 2√x（lnx - 2) + C
= 4√x[(1/2）（lnx — 2）］ + C
= 4√x（ln√x - 1) + C
四．应用题（本题共２道小题，每道小题１5分,共30分)
１．一房地产公司有５０套公寓要出租，当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去，当月租金增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费，试问房租定为多少可获得最大利润？
设有x 套公寓租出去,每月租金增加50(50-x)元，总获利为f(x ），
则f （x ）=［50(50-x ）+1000］·x —x ·100，
f ’（x ）=-100x+3400，
令f ’(x ）=0，得唯一驻点x=34，此时f （x)达到最大值，
故租金定为1000+50×16=1800(元）．
２．设质点沿x 轴作直线运动,任意时刻t 的加速度2
()123sin a t t t =-,已知初速度(0)5v =，初始位移(0)3s =-，求质点的速度()v t 及位移()s t ．
（1) a=12t^2-3sint
v =∫（12t^2-3sint ）dt
= 4t^3 +3cost + C1
v(0） =3+C1= 5
C1=2
v=4t^3 +3cost +2
（2) s =∫（4t^3 +3cost +2)dt
= t^4+3sint + 2t + C2
s （0)= C2=-3
s= t^4+3sint + 2t-3
教学负责人
签 字 年 月 日。