微探究 圆与动态几何
与圆相关的动态几何问题
与圆相关的动态几何问题-中学数学论文与圆相关的动态几何问题文/彭胜生以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，这类问题常常集几何、代数知识于一体，解决这类问题的关键要掌握图形在运动中伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性，灵活运用有关数学知识解决问题。
随着课改的不断深入，数学中考题型也在不断创新，动态几何问题逐年增多，其中与圆相关的动态几何问题占比较大，这类动态几何通常包含点动、线动、形动等三类问题。
一、点动型点动型就是指在题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题型。
解题时要根据这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。
例1解决这类点动问题的常常用的是“分段发现法”，也就是通过对运动过程中“拐点”进行探究，从动态的角度去分析可能出现的变与不变的情况，以静制动。
二、线动型线动型就是指在题设图形中，设计一条或两条线通过平移或旋转的运动方式，使其与已知几何图形产生交点，并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。
例2解决这类线动问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系及运动变化中图形的特殊位置，进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要。
三、形动型形动型是对给定的图形（或其一部分）实行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。
这类问题常与探究性、存在性等结合在一起，考察学生动手、观察、探索与实践能力。
圆主要有移动、滚动、转动及翻动等四种常用基本运动。
当然，与圆相关的动态几何问题还会以不同的形式呈现：如物体在传送带（或定滑轮）上运动，此时物体移动（上升）的距离等于转轮上质点运动的弧线的长度；再比如圆在运动过程中直径会随着时间和位置的变化而变化的一类问题也常在中考题中出现，在这就不一一列举。
初中数学动态几何问题常用解题方法探究
在解决动态几何问题时，将复杂图形分解为基本图形，例如 三角形、正方形等，以便更好地分析图形特征和规律。
构造辅助线
总结词
通过添加辅助线，为解决问题提供新的视角和思路。
详细描述
根据题目的条件和要求，添加适当的辅助线，例如平行线、垂线等，以揭示隐 藏在图形中的重要信息和解题思路。
构造方程
总结词
将几何问题转化为方程问题，利用数学方程来寻找等量关系。
详细描述
根据题目条件和要求，构造适当的方程，例如三角形面积公式、勾股定理等，以建立未知量和已知量之间的数学 关系。
03 函数思想在动态几何问题 中的应用
利用函数解析式描述动态变化
定义变量
根据题意，定义变量表示 图形的位置或大小，如角 度、长度等。
案例三：利用分类讨论思想解决动态几何问题
总结词
分类讨论思想是一种通过将问题分解为若干个子问题， 分别解决每个子问题，从而找到问题的解决方案的方法 。
详细描述
分类讨论思想在动态几何问题中的应用通常是通过将问 题分解为不同的类型，分别讨论每个类型的情况，从而 找到问题的解决方案。例如，在解决某些动态几何问题 时，可以通过分类讨论不同情况下的解决方案，从而找 到问题的最佳解决方案。
案例四：利用数学模型解决动态几何问题
总结词
数学模型是一种通过建立数学方程或不等式来描述实 际问题的方法，常用于解决动态几何问题。
详细描述
数学模型在动态几何问题中的应用通常是通过建立数 学方程或不等式来描述实际问题的各种变量之间的关 系，从而解决问题。例如，在解决某些动态几何问题 时，可以通过建立数学方程或不等式来描述图形中的 变量之间的关系，从而找到问题的解决方案。
利用图像性质
圆中的动态几何问题
D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
(1) t为何值时，四边形APQD为矩形？
(2) 如图2，如果⊙ P和⊙ Q的半径都是2 cm，那么t
为何值时，⊙ P和⊙ Q外切？
D
Q
CD
Q
C
A
P
BA
P
B
图(1)
图(2)
解决这类问题的基本策略是：
1.动中求静。即在运动变化中探索问题中的不变性； 2. 动静互化。抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特
变式1:现将图①中的直径EF所在的直线进行平移到图
②所示的位置，此时OB与EF垂直相交于H，其它条
件不变，试猜想DA=DC上否仍然成立？证明你的结论。
动态几何问题(课件)
THANK YOU
动态几何问题的实 际应用案例分析
实际应用案例的选择标准
代表性：案例应具有代表性，能够反映动态几何问题的普遍性和特殊性 实用性：案例应具有实用性，能够解决实际问题，具有实际应用价值 创新性：案例应具有创新性，能够展示动态几何问题的新方法和新思路 教育性：案例应具有教育性，能够帮助学生理解和掌握动态几何问题的基本概念和方法
动态几何问题的应 用
在数学竞赛中的应用
动态几何问题在数学竞赛中的 重要性
动态几何问题的解题技巧和方 法
动态几何问题在数学竞赛中的 常见题型和解题思路
动态几何问题在数学竞赛中的 创新应用和挑战
在实际生活中的应用
建筑设计：利 用动态几何问 题进行空间布 局和结构设计
机械制造：利 用动态几何问 题进行机械零 件设计和装配
力。
激发学习兴趣： 动态几何问题具 有趣味性和挑战 性，有助于激发 学生的学习兴趣， 提高学习积极性。
对学生思维发展的影响
提高空间思维能 力：通过动态几 何问题的解决， 学生可以更好地 理解和掌握空间 关系，提高空间
思维能力。
培养逻辑思维能 力：动态几何问 题的解决需要学 生运用逻辑推理 和数学思维，有 助于培养学生的 逻辑思维能力。
研究方法和成果
研究方法：动态几何问题的研究方法主要包括几何分析、代数方法、微 分几何等。
成果：动态几何问题的研究成果包括发现了许多新的几何结构、证明了 许多重要的几何定理、解决了许多重要的几何问题等。
精彩源于课堂的动态生成——《圆的认识》教学案例及反思
精彩源于课堂的动态生成——《圆的认识》教学案例及反思
圆的认识是现代教育学教学案例，让学生从多方面认识圆。
教师在课堂上利用动态生成的技术来让学生了解圆，整个课堂上充满了活力，学生们积极参与、提出问题和发表观点，这使得上课活跃而有趣。
在课堂上，通过让学生动手进行尝试实践，我们收获了丰富见解。
在探究过程中，学生们用来杆、激光笔、磨砂尺等工具观察圆的特性，体会到圆的定义、圆的性质及其变形等。
这使得课堂的知识更有深度，学生会把抽象的知识融入到可感知的实践，容易理解与掌握课堂中的圆形内容。
此外，在这次教学案例中，教师使用动态生成的技术，让每一位学生都有机会进行实际实践，并且能够及时反馈自己的实践经验。
这使得学生更有信心和动力去探究实践，在认识圆的教学过程中体会更多的乐趣。
在总结本次《圆的认识》教学案例及反思中，我们向所有教师提出了这样的建议：1、要重视实践的重要性，把课堂内容从抽象的层次来处理；2、提高学生学习的主动性，激发学生参与学习过程的热情；3、以实践为咒，让学生更好地应用课堂上获得的知识。
本次《圆的认识》教学案例不仅引起了学生们的重视，而且让教师在传授圆形知识时有更多的灵活性，他们可以从实践与视觉效果等等来方便教学。
本次教学案例的成功是经过教师有效的策划及用心的实施，才实现的，作为教育教学工作者，我们必须根据学生的特色来调整安排，才能让学生感受到更深刻的教育。
探索型动态几何问题
—— 教学设计思路
光明初级中学 向宪贵
一、力求体现今年 中考改革的精神
今年我市初三毕业考与升学考合并为学 业考试，这就使学业考试具有双重功能，既 要使绝大多数学生通过正常的学习都能毕业， 又要有利于高一级的学校选拔人才。今年中 考数学试卷难易比为8：1 ：1，所以在初三 数学复习工作中，一定要十分重视基础知识 的复习，重视通性通法的教学，重视数学思 想方法的归纳与提炼。同时，又因我任教的 是特色班，因此，在复习过程中，要结合复 习的内容，合理、有度地设置一些具有一定 思维量的新颖题型，为优秀学生提供想像、 发挥、探索的空间，让他们能脱颖而出。
四、教学过程简析
• 问题1通过三角形的旋转来构造问题，引 导学生一步步思考，层层递进，这对培 养学生的探索能力、猜想能力有较高的 价值。由实验操作（一）到实验操作 （二）运用特殊与一般的观点去观察， 研究几何图形中的性质，逐步培养学生 用辩证的观点去分析和解决问题的思维 方式。 • 问题2通过观察特殊位置的情形，过渡到 一般位置的猜想，突出了合情推理能力 的培养。 • 教学过程努力体现学生是课堂的主体。
三、学生情况与 教学内容分析
• 所教班级是特色班，在我校平行班中是比较 好的，大部分学生学习积极主动。 • 学生已复习了三角形全等的性质与判定方法， 相似三角形的性质与判定方法。 • 学生具有初步的运动变化观和一定的动手能 力、观察能力以及猜想与逻辑论证能力，因 而教学内容是在学生的“最近发展区”。 究探索型动态几何问题，目的是借注 相似形这一知识板块，突出学生发现问题、 分析问题、解决问题能力的培养，因而教与 学的落脚点应是在知识的应用中突出能力的 发展。
二、力求体现二期 课改的教学理念
• 上海市<<中小学数学课程标准>>中明确 指出：数学教学中应为学生探索求知创 设合适的情境，重视从问题出发、设计 以解决问题的活动为基础的数学认识过 程。 • 动手实践、自主探索与合作交流是学生 学习的重要方式。 • 纵观近几年上海以及其他省市的中考数 学试卷，不难发现，命题都充分体现了 新课程标准的理念，重视了对学生动手 能力、观察能力、探究能力的考查。
数学人教版九年级上册圆与特殊四边形的动态探究
如图,AD是△ABC的中线,AE∥BC，BE交AD于点F，且 AF=DF. (1)求证：四边形ADCE是平行四边形； (2)当AB、AC之间满足 AB=AC 时，四边形ADCE是矩形； (3)当AB、AC之间满足 AB⊥AC 时，四边形ADCE是菱形； (4)当AB、AC之间满足AB=AC, AB⊥AC 时，四边形ADCE是 正方形。 (1)证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， ∵AE∥BC， ∴∠AEF=∠DBF， 又 ∵ ∠AFE=∠BFD ，AF=DF ∴△AFE≌△DFB(AAS)， ∴AE=BD， ∴AE=CD， ∵AE∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形；
3 3 或 3 ②当弧AE的长度是 3 时，△ADE是直角三角形.
证明：如图1，连接OD. ∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°， ∴AB= 1 BC. ∵D是BC 2 的中点， ∴BD= 1 BC，∴AB=BD， ∴∠BAD= 2 ∠BDA. ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠ODB=∠BAO=90°， 即OD⊥BC， ∴BD是⊙O的切线.
图所示， ∵AB是直径，AM⊥AB， ∴BC⊥AC，AP是圆的切线， ∵PC切半圆O于点C， ∴PA=PC， 又∵OA=OC， ∴OP⊥AC， ∴BC∥OP；
探究二： 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以边AC上一点O 为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC 相交于另一点F. （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若AB=3，E是半圆AGF上一动点，连接AE，AD，DE.填空： ①当弧AE的长度是 2 3 时，四边形ABDE是菱形；
探究一(2016洛阳-18)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘，以
总第55课时——创新专题(十五) 圆的综合(一)动态几何
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图55－4
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解：(1)如答图(1)，连接PD. ∵DE切⊙O于点D. ∴PD⊥DE. ∴∠BDE＋∠PDA＝90°. ∵∠C＝90°. ∴∠B＋∠A＝90°.
∵PD＝PA.
∴∠PDA＝∠A. ∴∠B＝∠BDE.∴BE＝DE. 第4题答图（1）
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图55－2
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3．[2014· 三明 ]如图 55－3，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90°，AC＝ ︵ BC＝2，以 BC 为直径的半圆交 AB 于点 D，P 是CD 上的一个动 5 －1 ． 点，连接 AP，则 AP 的最小值是________
第5题答图（1）
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当⊙P 切 AB 于点 M′时，连接 PM′， 则 PM′＝ 3 cm，∠PM′M＝90° ， ∵∠PMM′＝∠BMN＝60° ， ∴M′M＝1 cm，PM＝2MM′＝2 cm， ∴QP＝4－2＝2(cm)， 即 t＝2； ②如答图(2)，
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第5题答图（3）
③如答图(3)， 当⊙P 切 BC 于点 N′时，连接 PN′. 则 PN′＝ 3 cm，∠PN′N＝90° ， ∵∠PNN′＝∠BNM＝60° ， ∴N′N＝1 cm，PN＝2NN′＝2 cm， ∴QP＝4＋2＋2＝8(cm)，即 t＝8.
动态几何问题的解题探究
２０２３年１２月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀动态几何问题的解题探究◉广东珠海市凤凰中学㊀魏庆雪㊀㊀摘要:初中数学中动态几何问题是难点,不少学生面对动态几何问题,常常不知如何入手．为了帮助学生掌握动态几何问题的解题方法,教师根据动态几何问题的特点,对其解题方式进行归纳总结,结合典型例题,将解题方法展现出来,引导学生把握解题细节,能够做到学以致用㊁举一反三．关键词:中学数学;动态几何问题;解题㊀㊀对于动态几何问题,解题的思路比较多,如利用函数性质㊁图形性质㊁点的对称知识㊁图形关系以及数形结合等,解题时需要根据题目的特点选择合适的思路．点对称的动态几何问题是根据 将军饮马模型 转化的,图形关系则是根据图形的全等或者相似而来的．本文中结合具体实例,探究初中数学中动态几何问题的解题方法．１利用函数性质解决动态几何问题动态几何问题通常比较复杂,难度较大,特别是求解最值问题时,利用函数性质解题是常见的思路．在解题过程中,需要仔细审题,理解题意,明确线段㊁角之间的关系,设出相应的参数,表示出求解参数的表达式,之后根据一次函数㊁二次函数和反比例函数性质完成解答．在解题时,最值与自变量有着直接关系,需要根据题意,确定自变量的范围[１]．图１例１㊀如图１所示,矩形A B C D 中,A B ＝１０c m ,A D ＝６c m ,动点E 从点A 开始以１c m /s的速度沿着A D 向点D 移动,另有一个动点F 从点D 出发,以２c m /s 的速度沿着D C 向C 点移动,设移动的时间为t s ,当S әD E F ＋S әA B E 取最大值时,t 的值是(㊀㊀)．A．２㊀㊀㊀B ．３㊀㊀㊀C ．７２㊀㊀㊀D．１１２分析:此题创设的情境并不十分复杂,根据动点的运动速度,可以得出D F ＝２A E ,将点的运动变化转化成线段的长度关系．根据已知条件中的参数,设出A E 的长度,用A E 表示出三角形的面积和,将问题转化成二次函数的最值问题．解析:由题意得A E ＝t c m ,D F ＝２t c m ,所以S әA B E ＝１２ˑA B ˑA E ＝５t ,S әD E F ＝１２ˑD E ˑD F ＝(６－t )t ．故S әD E F ＋S әA B E ＝(６－t )t ＋５t ＝－t ２＋１１t(０＜t ＜５)．又－t ２＋１１t ＝－(t －１１２)２＋１２１４,所以当t ＝１１２时,S әD E F ＋S әA B E 的值最大．故正确答案是选项D ．点评:此题根据矩形和三角形的性质设计问题,结合点的变化对三角形面积的影响,引导学生联想一次函数㊁二次函数或者反比例函数,结合特点写出函数表达式,进而利用函数的性质解题．考查学生对函数性质的掌握和利用．２结合图形性质解决动态几何问题在求解动态几何问题时,利用图形性质是一种比较常见的思路．初中数学中图形比较多,如三角形㊁正方形㊁长方形㊁圆等,每种图形有其特有的性质．在求解问题时,通过分析题目中的图形,利用线段与角之间的关系,找出运动中的变量与不变量,明确解题突破点．例２㊀在平面直角坐标系x O y 中,点A 坐标是(１２,０),点B 坐标是(０,９),经过点O 作一个圆和A B相切,圆与x 轴㊁y 轴分别相交于点P ,Q ,则线段P Q 的最小值是(㊀㊀)．A．６２B ．１０C ．７．２D．６３分析:通过审题发掘题目中的隐藏信息．在圆运动的过程中,øQ O P ＝９０ʎ是不变的,圆和A B 相切是不变的．根据圆的性质分析,求解P Q 的最小值就是求解动圆直径的最小值．结合已知条件,当圆的直径是三角形A B O 中A B 边上的高时,圆的直径最小．图２解析:如图２所示,设F 是P Q 的中点,因为øQ O P ＝９０ʎ,所以F 是动圆的圆心．设圆与A B 的切点是D ,连接O F ,F D ,则F D ʅA B ．因为点A 坐标是(１２,０),点B 坐标是(０,９),所以A B ＝１５．因为øA O B ＝９０ʎ,所以F O ＋F D ＝P Q ,F O ＋F D ȡO D ,当F ,O ,D 三点共线时,P Q 取得最小值,此时P Q ＝O D ．因为S әA O B ＝１２O B O A ＝１２O D A B ,所５７解法探究２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀以O D ＝O A O BA B ＝７．２．故正确答案为选项C ．点评:此题将图形与坐标系结合,要求学生认真审题,根据圆的性质发掘隐含条件,如直径对应的圆周角为直角．通过这样的方式,对问题进行转化,完成题目的解答,考查学生对图形性质的掌握与应用．３利用点的对称解决动态几何问题在初中数学动态几何问题中,利用点的对称解题是一种有效的方式, 将军饮马模型 是具有代表性的问题．在动态几何问题的求解中,根据题目条件选择合适的点,找出对称的线段,根据图形性质确定对称点的问题,作出辅助线,构建相应的图形,利用图形性质和相关定理求解线段长度[２]．图３例３㊀如图３所示,在菱形A B C D 中,øD ＝１３５ʎ,A D ＝３２,C E ＝２,动点P ,F 分别在线段A C ,A B 上,则P E ＋P F 的最小值是(㊀㊀)．A．２２B ．３C ．２５D．１０分析:解答此题时,根据 将军饮马模型 ,找出点E 关于A C 的对称点,结合菱形的性质,可以确定对称点在C D 上,当对称点与P ,F 三点共线时,P E ＋P F 最小．作出辅助线,构建直角三角形,根据题目中的已知条件,求解出线段之和的最小值．解析:设点E 关于A C 的对称点为G ,因为四边形A B C D 是菱形,所以点G 在C D 上．连接P G ,B G ,过点B 作B H ʅC D ,垂足为H ．根据菱形的性质可以得出C E ＝C G ＝２,P E ＝P G ,要求P E ＋P F 的最小值,即求P G ＋P F 的最小值．因为点P ,F 是动点,所以当G ,P ,F 三点共线时,P G ＋P F 取最小值．因为øD ＝１３５ʎ,A D ＝３２,C E ＝２,所以øB C D ＝４５ʎ,得出B H ＝C H ＝３２c o s ４５ʎ＝３,H G ＝C H －C G ＝１．在直角三角形B H G 中,G B ＝B H ２＋H G ２＝１０,所以P E ＋P F 的最小值为１０．故正确答案是选项D ．点评:点对称的动态几何问题源自于 将军饮马模型 ．在解题时,根据 将军饮马模型 ,结合条件准确找出点的对称点,构建相应的图形,利用图形性质和相关定理解题．如,此题中构建直角三角形,利用勾股定理进行求解．４分析图形关系解决动态几何问题在解答一些初中动态几何问题时,可以根据图形关系分析等量关系与比例关系,运用平行线性质㊁三角形全等与相似等知识思考解题思路．解答此种类型题目时,可以采用逆向推理的方式,从需要求解的问题入手,分析需要的解题条件,作出相应的辅助线,找出问题与已知条件的联系,明确问题解答思路．例４㊀平面直角坐标系中,点A 坐标为(３,４),点C 坐标为(x ,０)且－２＜x ＜３,点B 是直线x ＝－２上的动点,且B C ʅA C ,连接A B ．设A B 与y 轴正半轴的夹角是α,当t a n α取最大值时,x 的值是(㊀㊀)．A．１２B ．３３２C ．１D．１３分析:根据题意,利用平行线的性质,将角转化到三角形中,表示出角的正切,将问题转化成求解线段B G 的最大值．根据题目已知条件,利用三角形相似的性质,找出线段之间的关系,完成问题的求解．图４解析:如图４,过点A 作A F 垂直于x 轴,垂足为F ,作AH 垂直于直线x ＝－２,垂足为H ．因为y 轴与直线x ＝－２平行,所以t a n α＝AHB H．又因为AH ＝５,所以t a n α＝５B H．当t a n α取最大值时,即B H 取最小值,此时B G 取最大值．因为B C ʅA C ,所以øB C O ＋øA C F ＝９０ʎ,又øB C O ＋øC B G ＝９０ʎ,所以øC B G ＝øA C F ,故әB G C ʐәC F A ．设B G ＝y ,又C F ＝３－x ,C G ＝x ＋２,则由B G C F ＝C G A F 得y ３－x＝x ＋２４,所以y ＝－１４(x －１２)２＋２５１６(－２＜x ＜３),因此当x ＝１２时,t a n α取最大值．故正确答案是选项A ．点评:解答此类问题时,需要对图形进行观察分析,利用辅助线构建图形,结合线段平行㊁三角形相似等知识,对问题进行分析解答．主要考查学生对知识的理解与综合利用．５结语对于初中数学动态几何问题的解题教学,教师应当结合具体例题,向学生展示解题思路与方法,借助图形的变化,让学生直观了解数量关系．同时,教师应当注重与学生的交流,创设良好的课堂环境,加深学生的课堂学习体验,帮助学生理解和掌握不同类型问题的解题方法,提高解题能力．参考文献:[１]陈伟宁．动中分析,静中求解 谈中考动态几何压轴题的解题策略[J ]．中学数学研究(华南师范大学版),２０２０(４):４２Ｇ４５．[２]王涵．初中数学动态几何问题的解题方法[J ]．数理化解题研究,２０２２(２６):２Ｇ４．Z６７。
精彩源于课堂的动态生成——《圆的认识》教学案例及反思
精彩源于课堂的动态生成——《圆的认识》教学案例及反思随着信息技术的日新月异，教学质量的提高也促使得更多的教学策略以及实践需要不断的被改进，而在日常教学活动中，更多元的教学方式也被用来实现该校目标。
本研究试图以圆形概念的教学认识为例，来介绍一种有趣、有效的动态生成教学策略，并以此为依托，展开一系列相关的实践研究及反思。
该课题的活动以小学三年级的学生为主要受众，旨在用动态生成教学方式帮助学生理解圆形的概念，理解圆的性质，培养学生的观察与分析能力，探究圆形的定义以及理解圆形的相关性质。
为此，教师首先创建了教学作品，结合教学内容、学习内容以及语言表达的三个重要元素，分成三个部分：第一部分以问题导引的教学介绍形状，让学生思考多种圆形，第二部分利用实物示范来引出圆形的性质和定义，第三部分则使用例子引出圆形的相关知识性质。
在学习过程中，教师可以利用动态生成的课堂教学方式，使学生在有效的探究过程中，更好的回答问题，从而掌握课程内容。
首先，为了更深入的了解圆形概念，教师可以采用素材丰富的方式，通过圆形实物示范，鼓励学生去思考和探索形状，以及圆形的定义、性质与相关性质。
这样，学生可以通过实践，更好地理解圆形各种性质，从而更深刻地理解和掌握圆形概念。
其次，教师可以使用提示，让学生在实践探究中，通过提问的方式，让学生在问题及其答案的有效互动中，深入理解和认识圆形概念。
此外，在此次课堂活动中，教师还结合多媒体课件、问答方式、小结及总结性反馈，以及提问指导等教学方法，使学生能够全面地理解、掌握圆形概念，并且能够及时纠正一些不足和欠缺的知识点，形成一幅完整的课堂教学画面。
在此次课堂教学中，学生表现出非常积极的态度，表达出浓厚的学习兴趣，非常乐于参与到各个活动中来，认真讨论各种问题，多次阐明示例，并且能够及时概括总结性反馈，使课堂更具有交互性，与学生形成有效沟通。
此外，教师也可以根据课堂活动反馈，以及学生学习效果，总结调整其所采用的教学策略，以更深入的理解圆形概念，掌握其相关的知识性质，并且可以根据不同的思路，来深入探究圆形概念的这一有趣的形状，为学生带来更好的学习体验。
华东师大版九年级上册22.3实践与探索5.动态几何问题(共15张PPT)
列方程，对于求解的结果应
代入检验，看是否符合题意.
Q
AP B
例题解析
3、在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开 始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动，点Q从点B开始以 2cm/s的速度沿BC边向点C移动，如果P、Q分别从A、B 同时出发，(1)几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
等于多少时，平行四边形PQCR的面积等于
16cm2?
A
RP
CQ
B
2、在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=3，BC=4， 点E在直角边AC上(点E与A、C两点均不重合)。
(1)若点F在斜边AB上，且分△ABC的周长， AE=x，试用含x的代数式表示S△AEF；
(2)若点F在折线ABC上移动，试问：是否存在 直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在 直线EF，求出AE的长；若不存在，请说明理由。
故当x= 3时，直线l平分△ABC的面积.
例题解析
3、在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，
点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B
移动，点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC
边向点C移动，如果P、Q分别从A、B同时
出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
D
C
分析:利用直角三角形的面积公式
S与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，直线l平分△ABC的面积?
l
C
AP
DB
解：(1)由题意，当0＜x≤2时，S 1 x2； 2
当2≤x＜3时，S 3 (3 x)2.
(2)由1 x2 3，解得x= 3 ；
l
C
22
由3 (3 x)2 3， 2
A P
圆中的动态几何问题(新201907)
1、如图，AB是⊙O的直径，弦(非直径)CD⊥AB， P是⊙O上不同于C、D的任一点。当点P在劣弧 CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？请 证明你的结论；
C P 拖我!
A
O
B
D
；夜总会棋牌 夜总会棋牌 ；
拓跋部原居于今东北兴安岭一带 因此地方官吏大都重视农桑生产 2.妓女五百 班定姓族 重建国家 5（隋唐）不道：指杀一家非死罪三人及肢解人的行为；周明帝初 然后乘破竹之势 迎战北周骠骑大将军韦孝宽所率步骑万人 破六韩拔陵下落不明 但禁止私人交易 足以穷其巢穴 元善见 身后为须弥山 魏帝对其见解极为赞赏 拓跋珪的左右也阴谋活捉拓跋珪以响应拓跋窟咄 [21] [26] 且屡败于劲敌西魏宇文泰 遂以会葬宣帝为名 姓为高 南取淮南 以求赋役的征发较为合理 告诉他要“忼慨流涕 中年不超过二旬 ③恢复地方军政分治 玉壁之战 河阴之变以后 谥号 中国 的丝绸 铜器等输出到大秦 波斯等国 命高演照顾新君高殷 土狭民稠之处 －305年 高欢另立元善见为帝 把都城从平城迁至洛阳 －294年 其中穆 陆 贺 刘 楼 于 嵇 尉八姓 于中山国立魏宗庙 北周军占领平阳 六月 元羽 至今仍是驰名世界的艺术宝库 北齐的农业 盐铁业 瓷器制造业 都相当发达 不过这是个一般办法 大举改革 贺拔岳拥兵关陇 452年（232天） 下年不超过十天 1 太昌 战于邙山 注2：圣武帝之前的帝王缺少记载 中心饰垂莲藻井 （拓跋嗣改
人教版数学九年级圆上的动态问题探析
人教版数学九年级圆上的动态问题探析 动态问题依然是中考数学的重量级的题型。
是体现学生创造性解题能力的代表。
也是学生综合数学素质的体现。
下面就谈一谈圆中的动态问题以及解答的策略，供同学们学习时参考。
一 动点在圆的直径上，探求线段和的最小值例1 如图1所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为( )(A)22 (B) 2 (C)1 (D)2分析： 要求求出线段和的最小值，关键是要明白当点P 运动到何位置时才能存在最小值。
这个问题实际上就是一个对称性作图问题。
具体的解答过程如下：过点A 作AC ⊥MN 交圆O 于点C ，连接CB 交MN 于点P ，则线段BC 就是PA+PB 的最小值。
如图2所示，连接OB ，OC ，因为∠AMN ＝30°，所以AN 弧的度数为60°。
因为B 为AN 弧的中点，所以∠BON ＝30°。
因为AC ⊥MN ，MN 是圆的直径，所以AN 弧等于CN 弧，所以CN 弧的度数为为60°。
所以∠CON ＝60°。
所以∠BOC ＝90°。
在直角三角形BOC 中，OC=OB=1，所以BC=2211+=2。
解：选B 。
点评：利用对称性确定出线段和最小位置是解题的关键所在。
只要确定好了，求就变得简单多了。
二 动点圆上走，探求三角形面积最小值例2 如图3，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是A ．2B ．1C ．222- D ．22-分析： 确定好点D 运动到何时位置时，点E 到直线AB 的距离最短，是解题的关键。
原因是：线段AB 是一个定值，所以三角形ABE 的面积大小就只取决于点E 到AB 的距离了。
圆中的动态问题探究课件.ppt
c
D
E
A
o·
B
二.问题探究
如图，AB为同心圆中大⊙o的直径，过A,B两点分别作小⊙o的切线AD, BE,切点为D,E
探究二：P为劣弧DE上一动点，过P的切线交AC,BC于点G.H试判断在点P的
运动过程中∠HOG的度数是否会发生变化？若不变，请求出其度数， 若变化请说明理由。
解：∠HOG度数不变，理由如下：
C
∵GD,GH,HE分别为小⊙o的切线
∴ ∠1= 1∠ PGD ∠2= 1∠ PHE
∴
∠1
+2∠2=
1 2
(∠ PGD + ∠2 PHE)
D G 1P·2 H E
= 1 (180° － ∠CGH+ 180° － ∠CHG)
=
2 1
【360° － (180° － ∠ C)】
A
2
· 3 4 o
B
= 12【 360°－(180° －90°) 】
c
M
Q·
N
A
o·
B
三.归纳小结： （一）基本方法：动中求静
（二）解题步骤：1.认真审题，确定研究对象 2.明确运动过程，抓住关键动点，（如始点，终点，极端点） 3. 将关键的动点化为静点，找出动与静之间的关系。
四.课后练习：
⌒ 1.如图， ⊙o的直径AB=15，有一条定长为9cm的动弦CD在AMB上滑动（点C
p
y
A
x o·
B
c
3.如图：PA,PB分别切⊙O于点A,B，∠p=α，PA=5，D为⊙O上一动点（ 不与A，B两点重合）
⌒
①若D在优弧A B上运动时，
∠ADB=_9_0_°__－__12__α_______
专题十九 圆与动态几何问题
专题十九 圆与动态几何问题知识聚焦以圆为载体，通过点的运动、直线的运动，探讨点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，这是圆与动态几何的基本表现形式．解这类问题需运用到分类讨论、数形结合、方程与函数等思想方法，关键是动中觅静、以静制动、以动制动． 例题导航【例1】 如图①，直线333+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，圆心P 的坐标为(1，0)，⊙P 与y 轴相切于点O.若将⊙P 沿x 轴向左移动，则当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5点拨：根据直线与坐标轴的交点，得出A 、B 两点的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标.解答：Θ直线333+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，圆心P的坐标为∴),0,1(点A 的坐标为(-3,0)，点B 的坐标为),3,0(⊙O 的半径为.32.1=∴AB如图②，将()P 沿x 轴向左移动，当⊙P 与该直线相切于点1C 时，,111=C P 根据~11C AP ∆,ABO ∆得.2313211111=∴⋅=∴⋅=AP AP BO C P AB AP ∴点1P 的坐标为(-1，0)．将⊙P 沿x 轴继续向左移动，当⊙P 与该直线相切于点2C 时，,122=C P 根据,~22ABO C AP ∆∆得=∴=32.2222AP BO C P AB AP .2312=∴⋅AP 点2p 的坐标为（-5，0）．从-1到-5，整数点有-2、-3、-4，故当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是3．故选B ．点评：此题主要考查了直线与坐标轴交点的求法以及相似三角形的判定，题目综合性较强，注意特殊点的求法是解决问题的关键．【例2】 (2012．聊城)如图①，⊙O 是△ABC 的外接圆，P BC AC AB ,12,10===是上的一个动点，过点P 作BC 的平行线交AB 的延长线于点D.(1)当点P 在什么位置时，DP 是⊙O 的切线？请说明理由； (2)当DP 为⊙O 的切线时，求线段DP 的长．点拨：(1)根据当点P 是的中点时，得出得出PA 是⊙O 的直径，再利用//DP BC ，得出,PA DP ⊥问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出~ABE ∆△ADP，即可得出DP 的长． 解答：(1)如图②，当点P 是的中点时，DP 是⊙O 的切线，理由：是⊙O 的直径，又,AC AB =Θ.BC PA ⊥∴又DP PA DP BC DP ∴⊥∴.,//Θ是⊙0的切线．(2)如图②，连接OB ，设PA 交BC 于点E ．由垂径定理，得,621==BC BE 在Rt△ABE 中，由勾股定理，得.86102222=-=-=BE AB AE 设⊙O 的半径为,r 则.8r OE -=在Rt△OB E '中，由勾股定理，得,)8(6222r r -+=解得//425DP r Θ⋅=.,D ABE BC ∠=∠∴又~,11ABE ∆∴∠=∠Θ,.AP EDP BE ADP =∴∆即⋅⨯=425286DP解得⋅=875DP点评：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理和相似三角形的判定与性质，根据已知得出ADP ABE ∆∆~是解题关键，【例3】某课题小组进行了如下探索，请逐步思考并解答：(1)如图①，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，两个传送轮中心的距离是,10m 求这条传送带的长；(2)改变图形的数量，如图②，将传动轮增加到3个，每个传动轮的直径是,3m 每两个传动轮中心的距离是,10m 求这条传送带的长；(3)将静态问题升华为动态问题：如图③，一个半径为cm 1的⊙P 沿边长为cm π2的等边三角形ABC 的外沿无滑动地滚动一周，求圆心P 经过的路径长；⊙P 自转了多少周？(4)拓展与应用：如图④，一个半径为cm 1的⊙P 沿半径为cm 3的⊙O 外沿无滑动地滚动一周，则⊙P 自转了多少周？点拨：(1)利用传送带的长等于两个传送轮中心的距离×2+圆的周长即可求出；(2)可仿照(1)进行解答；(3)利用圆心P 经过的路径长为“三角形的周长加一个半径为1 cm 的圆的周长”即可求出；(4)利用⊙P 的圆心P 沿半径为cm 3的⊙O 外沿作无滑动滚动一周的路径长为π2)13(⨯+即可求出，解答：(1)这条传送带的长为=⨯+⨯3102πm )320(π+.)330(323180120310)2(m ππ+=⨯⨯+⨯(3)圆心P 经过的路径长为“三角形的周长加一个半径为cm 1的圆的周长”，∴圆心P 经过的路径长为).(826cm πππ=+⊙p 自转的周数一圆心P 经过的路径长÷⊙p 的周长，∴⊙p 自转的周数为.428=÷ππP )4(的圆心P 沿半径为cm 3的⊙O 外沿无滑动地滚动一周的路径长为=⨯+π2)13(∴),(8cm π⊙P 自转的周数为.428=÷ππ点评：此题主要考查了扇形的弧长公式以及等边三角形的性质等，根据已知条件得出点P 经过的路径是解题的关键．【例4】 （2013．宜昌）半径为cm 2的⊙O 与边长为cm 2的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧，⊙O 与l 相切于点-F ，DC 在l 上．(1)过点B 作00的一条切线BE ，E 为切点．①填空：如图①，当点A 在⊙0上时，EBA ∠的度数是 ； ②如图②，当E 、A 、D 三点在同一直线上时，求线段OA 的长；(2)以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（如图③），当边BC 与OF 重合时结束移动，M 、N 分别是边BC 、AD 与⊙0的公共点，求扇形MON 的面积的范围．点拨：(1)①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出EBA ∠的度数；②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=OE OA ,OBOF进而求出OA 的长；(2)设,︒=∠n MON 得出),(90236022cm n n S MON ππ=⨯=扇形进而利用函数增减性分析：当点N 、1VI 、A 分别与点D 、B 、0重合时，MN 最大；当cm DC MN 2== 时，MN 最小，分别求出即可.解答：(1)①Θ半径为cm 2的⊙O 与边长为2 cm 的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧，当点A 在⊙O 上时，,90,2,4o OEB cm FO cm OB =∠=-=EBA ∠∴的度数.30o Θ②直线l 与⊙O 相切于点=∠∴OFD F ,Θο.90在正方形ADCB 中，//,90OF ADC o ∴=∠∴==,2.cm AD OF AD Θ四边形OFDA 为平行四边形，∴=∠,90o OFD Θ平行四边形OFDA 为矩形．Θ.AO DA ⊥∴在正方形ABCD 中，⊥DA ∴,AB 点O 、A 、B 三点在同一条直线上．⊥∴EA =∠=∠OAE OEB OB Θ.,,90BOE EOA o ∠=∠..~2OA OE OBOEOE OA BOE EOA =∴⋅=∴∆∆∴.4)2(.2cm OA cm OA OB =+∴解得±-=1(OA .)15(,0.)5cm OA A O cm -=∴>-Θ (2)如图④，设=⨯=︒=∠2,2360πn S n MON MON 扇形οS cm n ),(902π随n 的增大而增大，MON ∠取最大值时，MON S 扇形最大，当MON ∠取最小值时，OMN S 扇形最小．过点0作MN OK ⊥于点K ，=∠∴MON .2,2NK MN NOK =∠在Rt△ONK 中，=∠NOK sin NOK nNKON NK ∠∴=,2α随NK 的增大而增大．MON ∠∴随MN 的增大而增大，∴当MN 最大时MON ∠最大．当MN 最小时MON ∠最小．①当点N 、M 、A 分别与点D、B、重合时，MN最大，==∠=∠=最大扇形MON S BAD MON BD MN ,90,οcm DC MN cm 2②;2==≡π时，MN 最小，=∴ON .32,60.2cm S NOM OM MN MON π==∠∴=最小扇形ο.32ππ≤≤∴MON S 扇形点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON 的面积的最大值与最小值是解题关键， 培优训练能力达标1．如图，⊙1O 的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点2O 为正方形ABCD 的中心，AB O O ⊥21于占.8,21=O O P 若将⊙1O 绕点P 按顺时针方向旋转,360O 在旋转过程中，⊙1O 与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现( ) A. 3次 B ．5次 C ．6次 D ．7次2．（2012．遵义）如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O上一个动点（不与A 、B 重合），过点0作AP OC ⊥于点C ，PB OD ⊥于点D ，则CD 的长为 .3．（2012．宁波）如图，在△,AI3C 中，,60ο=∠BAC D AB ABC o ,22,45==∠是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ， 连接EF ，则线段EF 的最小值为 ．4．（2012．镇江）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 过点A （-4，0）、B(O ，4)，⊙O 的半径为1(0为坐标原点)，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为 . 5．如图，⊙O 的直径MN=1，点A 在⊙O 上，且B AMN O ,30=∠是的中点，点P 在直径MN 上运动，求AP BP +的最小值．6．（2012．湘潭）如图，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点,21,AB AC P =点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作直线PB 的垂线CD 交PB 于点D ．(1)如图①，求证：;~ABC PCD ∆∆(2)当点P 运动到什么位置时，≅∆PCD ?ABC ∆请在图②中画出△PCD 并说明理由；(3)如图③，当点P 运动到AB CP ⊥时，求BCD ∠的度数．7．（2012．张家界）如图，⊙O 的直径C AB ,4=为圆周上一点，,2=AC 过点C 作的切线DC ，⊙O 点P 为优弧CBA 上一动点（不与A 、C 重合）． (1)求与APC ∠的度数；ACD ∠(2)当点P 移动到的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形；(3)点P 移动到什么位置时，△APC 与△ABC 全等？请说明理由．8．（2012．无锡）如图，菱形ABCD 的边长为点P 从点A 出发，以,2cm .60o DAB =∠的速s cm /3度，沿AC 向点C 匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以的速度，沿射线AB 匀速运s cm /1动．当点P 运动到点C 时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为 (1)当点P 异于A 、C 时，请说明.ts(2)以点P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在;//BC PQ 整个运动过程中，为怎样的值时，t 与边BC ⊙P 分别有1个公共点和2个公共点？拓展提升9．（2012．兰州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦=BC F cm ,2是弦BC 的中点，.60o EC =∠若动点E 以s cm /2的速度从点A 出发沿着A B A →→方向运动，设运动时间为),30(<≤t ts 连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为 ( )47.A1.B47.C 或147.D 或1或4910.（2012．无锡）如图，以M(-5，0)为圆心、4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，P 是⊙M 上异于A 、B 的一动点，直线PA 、PB 分别交y 轴于点C 、D ，以CD 为直径的⊙N 与x 轴交于E 、F ，则EF 的长( )A ．等于24B ．等于34C ．等于6D.随点P 位置的变化而变化11．（2013．广州）已知AB 是⊙O 的直径，,4=AB 点C 在线段AB 的延长线上运动，点D 在⊙O 上运动（不与点B 重合），连接CD ，且.OA CD = (1)当22=OC 时（如图），求证：CD 是⊙O 的切线；(2)当22>OC 时，CD 所在直线与⊙O 相交，设另一交点为E ，连接AE ． ①当D 为CE 中点时，求△ACE 的周长； ②连接OD ，是否存在四边形AODE 为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE ．ED 的值；若不存在，请说明理由．12.（2013．上海改编）在矩形ABCD 中，P 是AD 边上的动点，连接BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，连接QP(如图)．已知,5,13==AB AD 设⋅==y BQ x AP ,(1)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；(2)点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ，如果,4==EC EF 求x 的值．【例】 如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点O 为AD 上一动点),84(<<OA 以0为圆心，OA 的长为半径的圆交边CD 于点M ，连接OM ，过点M 作⊙O 的切线交边BD 于点N ．(1)求证：;~MCN ODM ∆∆(2)设,x DM =求OA 的长（用含x 的代数式表示）；(3)在点O 的运动过程中，设△CMN 的周长为P ，试用含x 的代数式表示P ，你能发现怎样的结论？点拨：(1)依题意可得,MNC OMD ∠=∠然后可证得)2(;~(/)MCN DM ∆∆设==OA x DM ,,8,R OA AD OD R OM -=-=-=根据勾股定理求出OA 的长；(3)由(1)知,~MCN ODM ∆∆利用线段比求出MN CN 、的长．然后代入可求出△CMN 的周长．也可利用相似三角形的周长比等于相似比来进行求解．解答：(1)MN Θ切⊙O 于点M ，=∠∴OMN =∠+∠=∠+∠MNC CMN CMN OMD οοΘ90.90οΘ90,.90=∠=∠∠=∠⋅C D MNC OMD O 又.~MON ODM ∆∆∴(2)在Rt△ODM 中，,x DM =设==OM OA .8,R OA AD OD R -=-=∴由勾股定理得-8(=∴=---∴=+OA R R R R x R .x 1664,)222222)80(16642<<+=x x R (3)解法一：,8x DM CD CM -=-=Θ又,166416648822x x R OD -=+-=-=Θ且~ODM ∆.,DM CN OD MC MCN =∴∆代人得到⋅+=816x x CN 同理,OMMN OD MC =代人得到CMN x x MN ∆∴⋅++=8642.的周长为+++-=++=816)8(x x x MN CN CM P .16)8()8(8642=++-=++x x x x 发现：在点0的运动过程中，△CMN 的周长P 始终为16，是一个定值．解法二：在Rt△ODM 中，-=-=88R OD ⋅-=+1664166422x x 设△ODM 的周长++='DM OD P .81646166422+=⋅+++-=x x x x OM 而~MCN ∆,ODM ∆且相似比=-⋅-==2x6416)8(x OD CM k MCN x P ODM P MCN x ∆∴+='∆∆+,816,816的周长的周长Θ的周长为.16816).8(=++=x x P 发现：在点O 的运动过程中，△CMN 的周长P 始终为16，是一个定值．点评：本题考查的是相似三角形的性质和判定、正方形的性质、勾股定理、切线性质等有关知识，思考题如图①，在⊙O 中，点P 在直径AB 上运动，但与A 、B 两点不重合，过点P 作弦,AB CE ⊥在上任取一点D ，直线CD 与直线AB 交于点F ，弦DE 交直线AB 于点M ，连接CM ．(1)如图①，当点P 运动到与点0重合时，求FDM ∠的度数；(2)如图②、③，当点P 运动到与点0不重合时，求证：.MC DF OB FM ⋅=⋅。
与圆相关的动态几何问题
与圆相关的动态几何问题一个动态几何问题，涉及到圆的运动。
假设存在一个定义在XY平面上的原点O，一个半径R的圆C 以它为圆心，让圆C根据以下条件开始运动：圆C运动的方向是顺时针方向；圆C的速度是恒定的；每次运动的距离是固定的。
此外，我们假设圆C开始的角度定义为α，本题的目的是求出每次运动以后，圆C运动的角度β，以及两个角度α和β之间的关系。
首先，我们可以画出两个坐标系：一个是原点O，一个是圆C 的中心点。
设M(x,y)为圆C的移动点，则有M(Rcosα,Rsinα)，α表示圆C的角度。
接下来，我们可以利用三角函数的公式来推导出β 的值：β=α+arccos((Rcosα- Rcosα+d)/R)，其中d表示每次运动的距离。
最后，根据以上推导，可以得出α和β之间的关系：β=α+arccos((Rcosα- Rcosα+d)/R)。
综上所述，我们可以求出圆C每次运动以后运动的角度β，以及两个角度α和β之间的关系。
之后，我们可以继续利用三角函数的公式来求出圆C运动的位置。
具体的步骤如下：1、计算出α和β之间的关系：β=α+arccos((Rcosα-Rcosα+d)/R)。
2、根据β的值，计算出M(x, y)的坐标，即M(Rcosβ, Rsinβ)。
3、根据M(x, y)的坐标，可以得到圆C在XY平面上的具体位置，以及圆C每次运动以后的位置。
此外，圆C运动过程中出现的问题也不容忽视，比如：当α和β之间的关系满足条件时，是否会出现圆C无限接近原点的情况？当出现圆C无限接近原点的情况时，怎么处理？综上所述，通过深入探究，我们可以进一步弄清楚圆C如何在XY平面上运动，并发现相关问题，为圆C动态几何提供有效解决方案。
在实际应用中，圆C的运动也可以用在其他几何空间中，比如三维空间。
当圆C进入三维空间的时候，本身的特性和运动原理也会发生一定的变化。
首先，当圆C进入三维空间的时候，它的运动不仅仅受到X 轴和Y轴的影响，还受到Z轴的影响。
中考数学中的《探究性问题动态几何》
中考数学中的《探究性问题——动态几何》动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查学生的综合分析和解决问题的能力。
有关动态几何的概念，在很多资料上有说明，但是没有一个统一的定义，在这里就不在赘述了。
本人只是用20XX 年的部分中考数学试题加以说明。
一、知识网络《动态几何》涉及的几种情况 ⎧⎪⎨⎪⎩动点问题动线问题动形问题二、例题经典1.【05重庆课改】如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动 点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式； (2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？(3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位？【解】（１）设直线AB 的解析式为y ＝k x ＋b 由题意，得b ＝68k ＋b ＝0解得 k ＝－43b ＝6 所以，直线AB 的解析式为y ＝－43x ＋6． （２）由 AO ＝6， BO ＝8 得 AB ＝10 所以AP ＝t ，AQ ＝10－2t1°当∠APQ ＝∠AOB 时，△APQ ∽△AOB ． 所以6t ＝10210t - 解得 t ＝1130(秒) 2°当∠AQP ＝∠AOB 时，△AQP ∽△AOB ．所以 10t ＝6210t - 解得 t ＝1350(秒)（３）过点Q 作QE 垂直AO 于点E ． 在Rt △AOB 中，Sin ∠BAO ＝AB BO ＝54xBx Bx在Rt △AEQ 中，QE ＝AQ·Sin ∠BAO ＝(10-2t )·54＝8－58t 所以，S △APQ ＝21AP ·QE ＝21t ·(8－58t ) ＝－254t ＋4t ＝524解得t ＝2（秒）或t ＝3（秒）．2.【05青岛】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6米，BC ＝8米，动点P 以2米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1米/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设P 、Q 两点移动t 秒（0<t<5）后，四边形ABQP 的面积为S 米2。
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微探究圆与动态几何以圆为载体，通过点的运动、直线的运动，探讨点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，或运动中的圆与圆的位置关系，这是圆与动态几何的基本表现形式. 解这类问题需运用到分类讨论、数形结合、方程与函数等思想方法，关键是动中觅静、以静制动、以动制动.例1 如图所示，点A 、B 在直线MN 上，AB =11cm ，⊙A 、⊙B 的半径均为1cm ，⊙A 以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也在不断增大，其半径r （cm ）与时间t （s ）之间的关系式为1(0)r t t =+≥，当⊙A 出发后 s 两圆相切.试一试 ⊙A 自左向右运动，应考查动点A 在定点B 的左右两侧的情形，而⊙A 在运动的同时，⊙B 在变大，又需考查⊙A 与⊙B 内外切的情况.视野窗对于例1，不但要注意圆的运动，而且要关注圆半径的变化，还要考查两圆内切、外切的情形，这是本例的难点所在.例2 如图，平面直角坐标系中，⊙A 的圆心在x 轴上，半径为1，直线l 为，若⊙A 沿x 轴向右运动，当⊙A 与l 有公共点时，点A 移动的最大距离是（ ）A.B. 3C.D.试一试 点A 移动的最大距离，是指向右运动过程中圆心A 在直线l 左侧时第一次与直线l 相切，到圆心A 在直线l 右侧第二次与直线l 相切，点A 移动的距离.视野窗以静制动，常表现为在运动过程中，考查图形的临界状态或特殊状态.对于例2，当⊙A 与l 相切或相交时，它们有公共点，于是将问题转化为直线与圆相切时的线段计算.动中觅静，即分清图形中不变元素或变动元素，或探寻那些隐含的、在运动中没有改变的不变量或不变关系.例3 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP =10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q . A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动. 设运动时间为t s. （1）求PQ 的长；（2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？MP试一试 对于（2），把相关线段用t 的式子表示，寻找相似三角形，而动态思考、讨论动点构成的直线AB 与⊙O 相切的几种位置关系是解题的关键.例4 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P 是BC 上的一个动点，过点P 作BC 的平行线交AB 的延长线于点D.（1）当点P 在什么位置时，DP 是⊙O 的切线？请说明理由. （2）当DP 为⊙O 的切线时，求线段DP 的长.CD试一试 直觉引领，点P 在BC 上特殊位置时，DP 为⊙O 的切线？由此展开证明与计算.例5 如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(3,0)D 和点(0,4)E . 动点C 从点(5,0)M 出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左做匀速运动，与此同时，动点P 从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向做匀速运动. 设运动时间为t 秒. （1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标；（2）以点C 为圆心、12t 个单位长度为半径的⊙C 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB .① 当⊙C 与射线DE 有公共点时，求t 的取值范围； ② 当△P AB 为等腰三角形时，求t 的值.x分析 对于（2），当⊙C 与射线DE 有公共点时，建立t 的不等式组，求t 的取值范围. 考查两种特殊情形：点A 在点D 的左侧，⊙C 与射线DE 相切；当△P AB 为等腰三角形，由相等的线段建立t 的方程.解 （1）(5,0)C t -，34(3,)55P t t -； （2）① 当⊙C 的圆心C 由点(5,0)M 向左运动，使点A 到点D 并随继续向左运动时，有3532t -≤，即43t ≥.x当点C 在点D 的左侧时，过点C 作CF ⊥DE ，垂足为F ，则由∠CDF=∠EDO ，得△CDF ∽△EDO ，则3(5)45CF t --=，解得485t CF -=. 由12CF t ≤，即48152t t -≤，解得163t ≤.∴当⊙C 与射线DE 有公共点时，求t 的取值范围为41633t ≤≤. ② 当P A=PB时，过点P 作PQ ⊥x轴，垂足为Q ，有222221633(53)2525P A P Q A Qtt t=+=+--+. ∴2229184205t t t -+=，即2972800t t -+=，解得12420,33t t ==. 当P A=PB 时，有PC ⊥AB ，∴3535t t -=-，解得35t =.当PB=AB 时，有222221613(53)2525PB PQ BQ t t t =+=+--+，∴221324205t t t ++=，即278800t t --=，解得45204,7t t ==-（不合题意，舍去）. 当△P AB 为等腰三角形时，43t =、4、5或203.练一练1. 如图，在12×6的网格中（每个小正方形的边长均为1个单位），⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，要使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示位置向右平移 个单位.（第1题） （第2题）2. 如图，⊙O 的半径为3cm ，B 为⊙O 外一点，O B 交⊙O 于点A ，AB=OA ，动点P 从点A 出发，以πcm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止，当动点P 运动时间为 s 时，BP 与⊙O 相切.3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 过点(4,0)A -、(0,4)B ，⊙O 的半径为1，点P 为直线AB 上一动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线PQ 的最小值为 .4. 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB =45°，点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP=x ，则x 的取值范围是（ ）A. 0x ≤≤B. x ≤C. 11x -≤≤B. xABP（第3题） （第4题） （第5题）5. 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交于点P ，当点C 在上半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ）A. 到CD 的距离保持不变B. 位置不变C. 等分DBD. 随点C 的移动而移动 6. 如图，⊙O 1的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2⊥AB 于P 点，O 1O 2=8，若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）A. 3次B. 5次C. 6次 B. 7次CD（第6题）7. 如图，已知直线3:34l y x =+. 它与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B 两点. （1）求点A 、B 的坐标；（2）设F 是x 轴上一动点，用尺规作图作出⊙P ，使⊙P 经过点B 且与x 轴相切于点F （不写作法和证明，保留作图痕迹）；（3）设（2）中所作的⊙P 的圆心坐标为(,)P x y ，求y 与x 的函数关系式；（4）是否存在这样的⊙P ，既与x 轴相切又与直线l 相切于点B ？若存在，求出圆心P 的坐标；若不存在，请说明理由.（第7题）8. 如图，直线3ky x k =-分别与y 轴、x 轴相交于点A 、B ，且AB=5. 一个圆心在坐标原点，半径为1的圆，以0.8个单位长度/秒的速度向y 轴正方向运动. 设此动圆圆心离开坐标原点的时间为t 秒. （1）求直线AB 的解析式；（2）如图①，t 为何值时，动圆与直线AB 相切？（3）如图②，若在圆开始运动的同时，一动点P 从B 点出发，沿BA 方向以1个单位长度/秒的速度运动，设t 秒时点P 到动圆圆心C 的距离为s ，求s 与t 的关系式； （4）在（3）中，动点P 自刚接触圆面起，经多长时间离开了圆面？图① 图②（第8题）9. 如图①，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为(2,0)-，AE=8.（1）求点C 的坐标；（2）连接MG 、BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图②，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P ，动点F 在⊙M 的圆周上运动时，OFPF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.图① 图②（第9题） （第10题）10. 如图，A 、B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A 、B 重合），我们称∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角.（1）已知∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角. ① 若AB 是⊙O 的直径，则∠APB= ； ② 若⊙O 的半径是1，AB APB 的度数.（2）已知O 2是⊙O 1外一点，以O 2为圆心作一个圆与⊙O 1相交于A 、B 两点. ∠APB 是⊙O 1上关于点A 、B 的滑动角，直线P A 、PB 分别交⊙O 2于点M 、N （点M 与点A ，点N 与点B 均不重合），连接AN ，试探索∠APB 与∠MAN ，∠ANB 之间的数量关系.。