结构化学基础习题答案_周公度_第版

【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10-14s -1

，如用它作为

光电极的阴极当用波长为300nm 的紫外光照射该电池时，

发射光电子的最大速度是多少？

解：2

01

2hv hv mv =+

()1

2

01

81234

1419312 2.998102 6.62610 5.46410300109.10910h v v m m s J s s m kg υ------⎡⎤=⎢⎥

⎣⎦

⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯-⨯⎢⎥ ⎪⨯⎝⎭⎢⎥=⎢⎥⨯⎢⎥⎣⎦

1

34141231512 6.62610 4.529109.109108.1210J s s kg m s ----⎡⎤⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⨯⎣⎦

=⨯

【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长： （a ）

质量为10-10kg ，运动速度为0.01m

·s -1的尘埃；

（b ）

动能为0.1eV 的中子； （c ）

动能为300eV 的自由电子。

解：根据关系式： (1)

34221016.62610J s

6.62610m 10kg 0.01m s h mv λ----⨯⋅=

==⨯⨯⋅

34-11 (2) 9.40310m

h p λ-==⨯ 34(3) 7.0810m

h p λ-==⨯

【1.7】子弹（质量0.01kg ，速度1000m ·s -1

），尘埃（质量10-9kg ，速度10m ·s -1）、作布郎运动的花粉（质量10-13kg ，速度1m ·s -1）、原子中电子（速度1000 m ·s -1）等，其速度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？

解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为： 子

弹

：

343416.2610 6.63100.01100010%h J s

x m

m v kg m s ---⨯⋅∆===⨯⋅∆⨯⨯⋅

尘

埃

：

3425916.62610 6.6310101010%h J s

x m m v kg m s ----⨯⋅∆=

==⨯⋅∆⨯⨯⋅

花

粉

：

34

201316.62610 6.631010110%h J s

x m

m v kg m s ----⨯⋅∆===⨯⋅∆⨯⨯⋅

电

子

：

3463116.626107.27109.10910100010%h J s x m m v kg m s ----⨯⋅∆===⨯⋅∆⨯⨯⨯⋅ 【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约6

10m -）观察不到电子衍射（用100000V 电压加速电子）。 解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定

度为：

9911 1.22610/1.2261010000

1.22610x h h x m p h V

m

m λ---=

==⨯=⨯=⨯ 这不确定度约为光学光栅周期的10－

5倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10－

5倍，用光学光栅观察不到电子衍射。

解法二：若电子位置的不确定度为10－6

m ，则由不确定关

系决定的动量不确定度为：

34628

16.62610106.62610x h J s p x m

J s m ----⨯∆=

=∆=⨯ 在104

V 的加速电压下，电子的动量为：

5.40210x x p m J s m υ==⨯

由Δp x 和p x 估算出现第一衍射极小值的偏离角为：

28

12315

arcsin arcsin 6.62610arcsin 5.40210arcsin100x x o p p J s m J s m θθ-----∆==⎛⎫⨯ ⎪

⨯⎝⎭≈ 这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子衍射。

【1.11】2

ax

xe ϕ

-=是算符22224d a x dx ⎛⎫

- ⎪⎝

⎭的本征函数，求其本征值。

解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得：

2

2222222244ax d d a x a x xe dx dx ψ-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()

2222224ax ax d xe a x xe dx --=- ()

2222222

2232323242444ax ax ax ax ax ax ax d e ax e a x e dx

axe axe a x e a x e -------=--=--+-

2

66ax

axe a ψ

-=-=-

因此，本征值为6a -。

【1.13】im e

φ

和cos m φ对算符d

i

d φ是否为本征函数？若

是，求出本征值。

解：im im d i

e ie d φ

φ

φ=，im im me φ

=-

所以，im e φ是算符d i d φ的本征函数，本征值为

m -。

而

()cos sin sin cos d

i

m i m m im m c m d φφφφφ=-=-≠

所以cos m φ不是算符d i

d φ的本征函数。

【1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。

证：在长度为l 的一维势箱中运动的粒子的波函数为：

()n x ψ01x <<

n =1，2，3，……

令n 和n ’表示不同的量子数，积分：

()()()()()()()()()()()()()()000

2sin 2sin sin sin sin 222sin

sin sin sin l

n n l l

l

x

n x

x x d dx l l

n x n x

dx

l l l

n n n n x x l l l n n n

n l l n n n n x x l l n n n n n n n n n n n n πψψτππππππππ

πππ

π

π

π==⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-+⨯⨯⎢⎥

⎣⎦⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥=-

⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦-+=

-

-+⎰⎰

n 和n 皆为正整数，因而()n n -和()n n +皆为正整数，

所以积分：

()()0

l

n

n x x d ψψτ=⎰

根据定义，()n x ψ和()n x ψ互相正交。

【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为

()n n x

x l πϕ 1,2,3n =⋅⋅⋅ 式中l 是势箱的长度，x 是粒子的坐标(

)0x l <<，求粒

子的能量，以及坐标、动量的平均值。

解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：

n n πx ˆH ψ(x )cos )l = =)x = 即：

228n E ml =

（2）由于

ˆˆx

()(),x n n x c x ψψ≠无本征值，只能求粒子坐标的平均值：

()()x l x n sin l x l x n sin l x x ˆx x l *

l n l *n d 22d x 000⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππψψ

()

x l x n cos x l

dx l x n sin x l l l

d 22122002⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛=ππ

2000122sin sin d 222l l l x l n x l n x x x l n l n l ππππ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰ 2l =

（3）由于()()ˆˆp

,p x n n x x c x ψψ≠无本征值。按下式计算

p x 的平均值:

()()1

*

0ˆd x n x n p x p

x x ψψ=⎰

d 2n x ih d n x x l dx l πππ⎛=- ⎝⎰

20sin cos d 0

l n x n x x l l l ππ=-=⎰

【1.19】若在下一离子中运动的

π

电子可用一维势箱近

似表示其运动特征： 估计这一势箱的长度

1.3l nm =，根据能级公式

2

2

2

/8n E n h ml =估算

π电子跃迁时所吸收的光的波长，并与实验值510.0

nm 比较。

H 3N C C C

C C

C C

N

CH 3

3

H

H H H 3

解：该离子共有10个

π电子，当离子处于基态时，

这些电子填充在能级最低的前5个

π

型分子轨道上。离

子受到光的照射，

π

电子将从低能级跃迁到高能级，跃

迁所需要的最低能量即第5和第6两个分子轨道的的能级差。此能级差对应于棘手光谱的最大波长。应用一维势箱粒子的能级表达式即可求出该波长：

22222

652226511888hc

h h h E E E ml ml ml λ

∆=

=-=

-=

()

22

318193481189.109510 2.997910 1.31011 6.626210506.6mcl h kg m s m J s

nm

λ----=

⨯⨯⨯⨯⨯⨯=

⨯⨯=

实验值为510.0nm ，计算值与实验值的相对误差为-0.67%。

【1.20】已知封闭的圆环中粒子的能级为：

22

228n n h E mR π=

0,1,2,3,n =±±±⋅⋅⋅

式中n 为量子数，R 是圆环的半径，若将此能级公式近似

地用于苯分子中6

6π离域

π键，取R=140pm ，试求其

电子从基态跃迁到第一激发态所吸收的光的波长。