数值分析试题

《计算机数学基础(下)》数值分析试题 2000、8

之六(2002、7已用) 一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1.数值x *的近似值x =0.1215×10－

2，若满足≤-*x x ( )，则称x 有4位有效数字.

(A)

21×10－3 (B) 21×10－4 (C) 21×10－5 (D) 2

1×10－6

2. 设矩阵A ＝⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡------52111021210，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( )

(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡04.02.01.002.01.02.00 (B) ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡14.02

.01.012.01.02.01

(C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------04.02.01.002.01.02.00 (D) ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡021

102120

3. 已知y =f (x )的均差f (x 0,x 1,x 2)=314，f (x 1,x 2,x 3)=315，f (x 2,x 3,x 4)=15

91，f (x 0,x 2,x 3)=318

,

那么均差f (x 4,x 2,x 3)=( )

(A) 315 (B) 318 (C) 1591 (D) 3

14

4. 已知n =4时牛顿－科茨求积公式的科茨系数,15

2,4516,907)4(2)4(1)

4(0===C C C 那么

)4(3C ＝( )

90

39

152********)D (152)C (4516)B (907)A (=---

5.用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收敛的是( ) (A) e x －x －1＝0，[1,1.5]，令x k +1=1e -k x

(B) x 3－x 2－1=0，[1.4,1.5], 令211

1k

k x x +=+

(C) x 3－x 2－1=0，[1.4,1.5], 令32

11k k x x +=+

(D) 4－2x =x ，[1,2], 令)4(log 21x x k -=+

二、填空题(每小题3分，共15分) 6.sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 . 7.设矩阵A 是对称正定矩阵，则用 迭代法解线性方程组A X =b ，其迭代解数列一定收敛. 8. 已知f (1)=1,f (2)=3,那么y =f (x )以x =1，2为节点的拉格朗日线性插值多项式为 .

9. 用二次多项式2210)(x a x a a x ++=ϕ,其中a 0, a 1, a 2是待定参数，拟合点(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ). 那么参数a 0, a 1, a 2是使误差平方和 取最小值的解.

10. 设求积公式

∑⎰=≈n

k k k

b

a

x f A

x x f 0

)(d )(，若对 的多项式积分公式

精确成立，而至少有一个m +1次多项式不成立。则称该求积公式具有m 次代数精度.

三、计算题(每小题15分，共60分) 11.用列主元消去法解线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=++-=-+-=+-6

15318153312321321321x x x x x x x x x

计算过程保留4位小数.

12. 取m =4,即n =8，用复化抛物线求积公式计算积分

⎰

+2

.10

2d )1l n (x x

计算过程保留4位小数.

13. 用牛顿法解方程x －e －

x =0在x =0.5附近的近似根. 要求n n x x -+1<0.001. 计算过程保留5位小数. 14.取h =0.1, 用改进欧拉法预报－校正公式求初值问题

⎩⎨

⎧=++='1

)0(12

y y x y 在x =0.1, 0.2处的近似值. 计算过程保留3位小数. 四、证明题(本题10分） 15.

求证由此构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数为1.

《计算机数学基础(下)》数值分析试题答案 2000、8

之六

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1. D

2.A

3.C

4. B

5.A

二、填空题(每小题3分，共15分)

6. 00625.01016

1

10821112=⨯=⨯⨯-+-

7. 高斯－赛德尔

8 2x －1. 9.

∑=-n

k k k

x y

1

2

))((ϕ或

∑=---n

k k k k

x a x a a y

1

2

2210)(

10. 不超过m 次

三、计算题(每小题15分，共60分)

11. [A b ]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----6111151318153

312 (选1821-=a 为主元) (5分)

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−6111153312151318)

,(21r r (换行，消元)

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−++

7166.54944.07

166.1053333.210

151

318

1

3121811812

r r r r (选1667.132=a 为主元，并换行消元) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+5428.98142.300

1667.54944.01667

.10151

3182

3321667.11

)

,(r r r r (10分)

系数矩阵为上三角形矩阵，于是回代得解

000.1)18/(]0000.230000.315[0000.27166.1/]0000.34944.07166.5[0

000.38

142.35428.9123=-⨯-+-==⨯-===x x x 方程组的解为X ≈(1.000 0,2.000 0,3.000 0)T (15分).

12. 解 n =8, h =15.08

2.1=-,f (x )=ln(1+x 2)

计算列表

代入抛物线求积公式

)](2)(4[3

d )1ln(6427531802.102f f f f f f f f f h x x ++++++++=+⎰

＝4225.0]987.023961.148920.0[315

.0=⨯+⨯+ (15分)

13. 令f (x )= x －e －x

，取x 0=0.5，则)e )(e 5.0()5.0()5.0(5.05.0----=''f f =0.064 61>0，

于是取初始值x 0=0.5. (3分) 牛顿迭代公式为

n n

x x n n n n n n x x x f x f x x --++--='-=e 1e )()(1(n =0,1,2,…) (7分)

x 0=0.5,

56631.0e

1e 5.05.05

.05

.01=+--=--x (11分) 31066.001=-x x

(7分)