六西格玛经济效益的计量模型

2007年　7月第26卷　第4期　数理统计与管理App licati on of Statistics and ManagementJul 1,2007Vol 126　No 14收稿日期:2006年06月16日 基金项目:广东省自然基金项目(04010490)、广东省科技计划资助项目(2004B10101010) 文章编号:1002-1566(2007)04-0662-07六西格玛经济效益的计量模型王斌会　胡志萍(暨南大学统计系,广州,510632)摘要:以田口玄一的质量损失函数作为研究的基础,利用六西格玛管理中最常用的西格玛水平,推导出衡量六西格玛经济效益的额外成本计量模型,以便推行六西格玛管理的公司或机构便于衡量六西格玛管理法的经济效益。

关键词:六西格玛;西格玛水平;额外成本;经济效益;计量模型中图分类号:F406.2文献标识码:AThe Econo m i c Benef itM odel of S i x S i gmaWANG B in 2hui,HU Zhi 2p ing(Econom ic College of J inan University,Guangzhou,51632)Abstract:The paper deduced the econometric model t o evaluate the econom ic benefit of Six Sig ma base on the Quality Engineering and the Loss Functi on of Taguchi .The modelwas verified that it ’s suitable f or Six Sig ma manage ment and it ’s convenient f or the companies who will i m p le ment the Six Sig ma p r oject t o assess the econom ic benefit .Key W ords:six sig ma;sig ma level;excess cost;econom ic benefit;econometric model1　质量损失函数传统的质量管理学对质量与经济效益之间的关系研究起源于20世纪50年代,当时美国的质量管理专家朱兰和菲根堡姆等人首先提出了质量成本的概念,进而把产品质量同企业的经济效益联系起来。

1971年,日本学者千住镇雄,水野纪一合作出版了《质量管理的经济计算》一书,提出了进行质量经济分析和评价质量管理经济性的一些基本思路和原则。

另一个日本的质量管理专家田口玄一则创立了质量工程学,他提出的“玄口方法”使产品设计过程的质量管理和工序质量控制比较直接地与经济利益相联系。

1987年,摩托罗拉首创了新的质量管理方法———六西格玛管理法。

本文希望在以上众多研究的基础上,建立起衡量六西格玛管理法经济效益的简便又实用的计量模型。

首先,本文的计量模型是建立在田口玄一的质量损失函数(Loss Functi on )的研究基础上的(如图1),这个函数用来描述质量损失与质量波动之间的关系:L (x )=k (x -T )2=kσ2(1-1)图1　质量损失函数其中,x 为质量特性值,L (x )为当质量特性为x 时的波动损失,T 为理想的目标值,σ为质量波动的标准差,k 为比例常数,k =(A 0/Δ20),A 0(Rep lace ment Cost )是产品不符合规范时的损失,Δ0为产品的规范界限。

2　质量损失函数的改进与额外成本为了研究六西格玛管理法的经济效益,我们引入额外成本的概念。

参照美国质量协会(AS Q )的定义,笔者将额外成本定义为:质量特性值偏离目标值时产生的成本,与田口玄一博士提出的质量损失是同一个概念,但更具有经济意义。

由图一所示,当质量特性值等于目标值T 时,质量损失为零。

Donald J.W heeler对田口博士的质量损图2　改进的质量损失函数失模型作了改进(如图2),以更有现实意义的角度来衡量质量损失,即采用了额外成本这个指标来对质量的经济意义进行衡量。

当质量特性值低于规范下限(LS L )时为废品区,单位产品的损失为固定值C s (Cost of Scrap,包括原材料成本、消耗的能源、工人工资等);当质量特性值高于规范上限(US L )时为返修品区,单位产品的返修成本也是固定值C R (Cost of Re work,包括各种添加的原材料成本、消耗的能源、工人工资等);当质量特性值在规范上限和规范下限之间时,和田口玄一的质量损失函数一样,额外成本为二次曲线。

3　额外成本的计量模型定义f (x )为质量特性x 的概率密度函数,将f (x )与额外成本联系起来(如图3)。

Donald J.W heeler 提出如下具有现实意义的额外成本的计量模型。

令EC (Excess Cost )表示额外成本,则EC = L (x )f (x )dx(3-1)图3　额外成本与质量特性的概率分布笔者在此基础上,并假设质量特性x 服从正态分布,则如图三所示,额外成本有四部分组成(C S ,质量特性值落在LSL 与目标值T 间产生的成本,质量特性值落在目标值T 与USL 间产生的成本和CR )。

也就是说,模型由四个区间的额外成本组成:(-∞,LSL ),[LSL,T ),(T,USL ],(USL,+∞)。

为方便讨论,本文将这四部分的额外成本分别用A 、B 、C 、D 表示。

详细的额外成本计量模型表示为:366王斌会,胡志萍:六西格玛经济效益的计量模型EC =A +B +C +D =C sLSL -∞f (x )dx +C sTLSL(x -T )2(LSL -T )2f (x )dx +C RUSL T(x -T )2(USL -T )2f (x )dx+C R+∞USLf (x )dx(3-2)值得注意的是,我们并没有假设质量特性的均值μ与目标值T 重合,此计量模型是允许质量特性存在漂移的,但必须处于统计控制状态(State of Statistical Contr ol ),即受控状态(Pr ocess in Contr ol )或稳定过程(Stable Pr ocess )。

4　六西格玛管理中西格玛水平的计算本文旨在建立起额外成本与西格玛水平的计量模型,以便推行或有意实施六西格玛战略的公司或机构更方便于衡量六西格玛管理法的经济效益。

六西格玛管理中最常用的衡量质量水平的指标是西格玛水平,如6σ就表示产品或服务的缺陷率只有百万分之三点四,即只有3.4D P MO (Defects PerM illi on Opportunity,每百万次缺陷数)。

图4　西格玛值西格玛水平(Sig ma Value ),也是过程能力的度量指标。

其计算公式中为:Z L =μ-LSL σ,Z U =USL -μσ(4-1)其中,Z L 表示规范下限的西格玛水平,Z U 表示规范上限的西格玛水平,US L (Upper Specificati on L i m it )表示规范上限,LS L (Lower Specificati on L i m it )表示规范下限;μ表示均值(质量特性的均值);σ表示质量特性的标准差。

5　计量模型的简化如前所述,假设质量特性(连续特性)服从正态分布N (μ,σ2),则其概率密度函数f (x )=12πσe(x -μ)22σ2,将此概率密度函数代入公式(3-2),得到EC =C sLSL-∞12πσe(x -μ)22σ2dx +C sT LSL(x -T )2(LSL -T )212πσe(x -μ)22σ2dx+C RUSL T(x -T )2(USL -T )212πσe(x -μ)22σ2dx +C R+∞USL12πσe(x -μ)22σ2dx(511)对质量特性进行标准化,令t =x -μσ,t 1USL -μσ,t 2=LSL -μσ,并结合规范上、下限的西格玛水平(公式4-1),t 1=Z U ,t 2=-Z L ,而T =12(LSL +USL )=μ+σ2(Z U -Z L ),于是EC =C s-Z L-∞12πe-t 22dt +C S12(Z U -Z L)-Z L[t -12(Z U -Z L )]2[Z L +12(Z U -Z L )]212πe-t 22dt466　数理统计与管理 第26卷　第4期　2007年7月+C RZ U12(Z U -Z L)[t -12(Z U -Z L )]2[Z U -12(Z U -Z L )]212πe-t 22dt +C R+∞Z U12πe-t 22dt (5-2)则四部分的额外成本A 、B 、C 、D 分别为:A =C S ・Φ(-Z L )=C S ・[1-Φ(Z L )]B =C S12(Z U -Z L)-Z L[t -12(Z U -Z L )]2[Z L +12(Z U -Z L )]212πe-t 22dtC =C RZ U12(Z U -Z L)[t -12(Z U -Z L )]2[Z U -12(Z U -Z L )]212πe-t 22dtD =C R ・[1-Φ(Z U )]对B 、C 部分进行计算和化简,得到B =-C S(Z U +Z L )212(Z U -Z L )-Z L[2t -(Z U -Z L )]22πt de-t 22=C S2π(Z U +Z L )2[ 12(Z U -Z L)-Z L4tde-t 22-4(Z U -Z L ) 12(Z U -Z L)-Z Lde t 22dt -(Zu -Z L 2)212(Z u -Z L)-Z Le-t 22dt )]=C S(Z U +Z L )2[4e r 22(Z U -Z L -t )2π|(Z U -Z L )2-Z L +(4+(Z U -Z L )2)(<(Z U -Z L2)-Φ(-Z L ))]=C S(Z U +Z L )2[2(Z U -Z L )2πe(Z U -Z L )28-4Z U2πe Z 2L2+(4+(Z U -Z L )2)(Φ(Z U -Z L2)-1+Φ(Z L ))]同理,C =C R(Z U +Z L )2[-4Z L2πe-Z 2U2-2(Z U -Z L )2πe-(Z U -Z L )28-(4+(Z U -Z L )2)(Φ(Z U -Z L2)-Φ(Z U ))]因此,额外成本为:EC =A +B +C +D=C S (1-Φ(Z L ))+C S(Z U +Z L )2[2(Z U -Z L )2πe-(Z U -Z L )28-4Z U2πe-Z 2L2+(4+(Z U -Z L )2)(Φ(Z U -Z L2)-1+Φ(Z L ))]+C R(Z U +Z L )2[-2(Z U -Z L )2πe(Z U -Z L )28-4Z L2πe-Z 2U2-(4+(Z U -Z L )2)(Φ(Z U -Z L2)-Φ(Z U ))]}+C R (1-Φ(Z U ))必须注意的是,这里计算出来的额外成本是单位产品的平均额外成本,要计算一批产品总的额外成本,须乘上产品的产量。