1.3.2杨辉三角与二项式定理的性质

【解析】 T6＝Cn5(2x)5，T7＝Cn6(2x)6，依题意有 C5n25＝Cn626⇒n ＝8.
故(1＋2x)8 的展开式中，二项式系数最大的项为
T5＝C48·(2x)4＝1 120x4. 设第 k＋1 项系数最大，则有
Ck8·2k≥Ck8－1·2k－1 C8k·2k≥Ck8＋1·2k＋1
3r≥6－1 r， ∴5－1 r≥r＋3 1.
∴72≤r≤92，∵r∈N，∴r＝4.
∴展开式中系数最大的项为
T5＝C45x
2 3
(3x2)4＝405x
26 3
.
|素养提升|
1．杨辉三角的作用 (1)杨辉三角的作用 ①直观地看出或探究二项式系数的性质； ②当二项式系数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系 数． (2)解决与杨辉三角有关的问题的一般方法是： 观察―→分析试验―→猜想结论―→证明．
特别提醒：二项式系数的最大项与二项展开式的项数有关．
|巩固提升|
1．C133＋C323＋C333＋…＋C3333除以 9 所得的余数是( ) A．2 B．6 C．7 D．3
解析：C313＋C233＋…＋C3333＝233－1＝(23)11－1＝811－1＝(9－1)11 －1＝C101·911－C111·910＋C211·99－…＋C1110·9－1－1＝C101·911－C111·910＋ C211·99－…＋C1110·9－2.
跟踪训练 1 (1)如图所示，满足①第 n 行首尾两数均为 n；② 表中的递推关系类似杨辉三角，则第 n 行(n≥2)的第 2 个数是 _n_2－__n_＋___2．
2
(2)如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第 n 行的首尾两个数 均为__2_n_－__1__．
解析：(1)由图中数字规律可知，第 n 行的第 2 个数是 [1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝nn2－1＋1. (2)由 1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以 an＝2n－1.
跟踪训练 2 若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6.
解析：(1)令 x＝0，则 a0＝－1， 令 x＝1，则 a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令 x＝－1，则
∴S19＝(C21＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C120)＋C121 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C32＋…＋C211)
＝2＋120×9＋C312＝274.
方法归纳 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是： (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察； (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据 的规律.
令 x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.② (1)∵a0＝C70＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(①－②)÷2，得 a1＋a3＋a5＋a7＝－12－37＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得 a0＋a2＋a4＋a6＝－12＋37＝1 093. (4)∵(1－2x)7 展开式中，a0，a2，a4，a6 大于零，而 a1，a3，a5， a7 小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)， ∴由(2)(3)即可得其值为 2 187.
课堂探究 互动讲练 类型一 与“杨辉三角”有关的问题 [例 1]
如图所示，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头所示的数组成一 个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前 n 项和为 Sn， 求 S19.
【解析】 由图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C21，第 3 项是 C32，第 4 项是 C13，…，第 17 项是 C120，第 18 项是 C110，第 19 项是 C121.
r-6
，
由32r－6＝0 得 r＝4，
故 T5＝(－1)4C64＝15，故选 A.
答案：A
3．(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋ a11(x－1)11，则 a1＋a2＋a3＋…＋a11 的值为________．
解析：令 x＝1，得 a0＝－2. 令 x＝2，得 a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0. ∴a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2. 答案：2
可见，上式被 9 除，余－2，即余 7，故余数为 7. 答案：C
2．已知1x－
xn 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则

展开式中的常数项等于( )
A．15 B．－15
C．20 D．－20
解析：由题意知 n＝6，Tr＋1＝Cr61x6－r·(－
x)r＝(－1)rCr6x
3 2
解析：只有 x5 的系数最大，x5 是展开式的第 6 项，第 6 项为中 间项，展开式共有 11 项，故 n＝10.
答案：C
5．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋ a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．
解析：依题可得 a0＋a2＋a4＝－(a1＋a3＋a5)＝16， 则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256. 答案：－256
的方法求得.
跟踪训练 3 已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比 各项的二项式系数和大 992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
解析：(1)令 x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝(1＋3)n＝4n， 又展开式中各项的二项式系数之和为 2n. 由题意知，4n－2n＝992. ∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍)，或 2n＝32，∴n＝5. 由于 n＝5 为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间 两项，它们分别是
⇒5≤k≤6，又 k∈{0,1,2，…，8}，
故 k＝5 或 k＝6.
故系数最大的项为 T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
方法归纳 (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当 n 为奇 数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时，中间一项的二 项式系数最大． (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需 根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式
() A．第 8 项 B．第 7 项 C．第 9 项 D．第 10 项
解析：由组合数性质知 C210＝C180，故与第 3 项二项式系数相同 的项是第 9 项．故选 C.
答案：C
4．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有 x5 的系数最大， 则 n 等于( )
A．8 B．9 C．10 D．11
2．(x－1)11 展开式中 x 的偶次项系数之和是( ) A．－2 048 B．－1 023 C．－1 024 D．1 024
解析：(x－1)11＝C101x11＋C111x10(－1)＋C211x9·(－1)2＋…＋(－1)11， 偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024.
答案：C
3．在(a＋b)10 的二项展开式中与第 3 项二项式系数相同的项是
T3＝C25 T4＝C35
(3x2)2＝90x6，
(3x2)3＝270x
22 3
.
(2)展开式的通项公式为
T ＝C 3 ·x r＋1
rr 5
2 (5+2r) 3
．
假设 Tr＋1 项系数最大，则有CCr5r533rr≥≥CCr5r5－＋11··33rr－＋11，，
∴55－ －55rr！！ ！ ！rr！ ！×≥34≥－6r－！5！rr！＋5！1r－！1×！3， .
方法归纳 (1)赋值法是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有 利于问题的解决，可以取一个值或几组值，也可以取几组值，解决 问题时要避免漏项等情况． (2)一般地，二项式展开式 f(x)的各项系数的和为 f(1)，奇次项
系数和为12[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为12[f(1)＋f(－1)].
类型二 二项展开式系数和问题
[例 2] 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
【解析】 令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1， ①
值．当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当 n 是
奇数时，中间两项的二项式系数
相等，且同时取到最大值．
3．各二项式系数的和
(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n. (2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1.
|自我尝试|
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( √ ) (2) 二 Biblioteka Baidu 式 展 开 式 中 系 数 最 大 项 与 二 项 式 系 数 最 大 项 是 相 同 的．( × ) (3)二项式展开式的二项式系数和为 C1n＋C2n＋…＋Cnn.( × )
【课标要求】 1.能运用函数观点分析处理二项式系数的性质. 2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用.
自主学习 基础认识
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系 数相等． (2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两 个数的和，即 Crn＋1＝Crn－1＋Crn.
－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7②
①－② 由 2 ，得
a1＋a3＋a5＋a7＝12[128－(－4)7]＝8
256.
①＋② (3)由 2 ，得
a0＋a2＋a4＋a6＝12[128＋(－4)7]＝－8 128.
类型三 二项式系数的性质 [例 3] (1＋2x)n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展 开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
2．二项式系数的性质 (1)对称性：在(a＋b)n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两 个二项式系数相等，即 Cn0＝Cnn，Cn1＝Cnn－1，…，Crn＝Cnn－r. (2)增减性与最大值：当 k<n＋2 1时，二项式系数是逐渐增大的， 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取到最大
中间两项是第n＋2 1，n＋2 3项，它们的二项式系数是 Cn－2 1n， Cn＋2 1n，这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大值．
(3)各二项式系数和：C0n＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n 源于(a＋b)n＝Cn0 an＋C1nan－1b＋…＋Cnnbn 中令 a＝1，b＝1，即得到 C0n＋C1n＋C2n＋… ＋Cnn＝2n.
2．对二项式系数性质的三点说明 (1)对称性：源于组合数的性质“Cnm＝Cnn－m”，基础是 C0n＝Cnn＝ 1，然后从两端向中间靠拢，便有 C1n＝Cnn－1，Cn2＝Cnn－2，…. (2)最大值：①当 n 是偶数时，(a＋b)n 的展开式共 n＋1 项，n
＋1 是奇数，这时展开式的形式是
中间一项是第n2＋1 项，它的二项式系数是 Cn2n，它是所有二项 式系数中的最大值；②当 n 是奇数时，(a＋b)n 的展开式共有 n＋1 项，n＋1 是偶数，这时展开式的形式是