五年级奥数测试卷及答案上

五年级奥数测试卷

一、填空

1、在不大于100的自然数中，被13 除后商和余数相同的数有多少个，分别是( )。答：14 的倍数都可以。有8 个。0 ，14，28，42，56，70，84，98

2、a、b 是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么a 与b 的和可以

有( )种不同的值。

答：不妨设A>B

72 的约数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72。共12 个

72=2*2*2*3*3

当A=72 时，有11 种B；

当A=36 时，有2 种B；8、24

当A=24 时，有2 种B；9、18

当A=18 时，有1 种B；8

当A=12 时，无；

当A=9 时，有1 种B；8

共计11+2+2+1+仁17种，所以有17种A+B的值。

这类题的解法是：

1. 找出这个最小公倍数的所有因数，用这个最小公倍数与这些因数组合(除它本身外) 。

2. 在这些因数中找出不是倍数关系且积不小于这个最小公倍数的两个数的所有组合，去除最

小公倍数不是72 的组合。

3. 把1 和2 找出的组数个数相加即可。如本题的个数即为11+7=18 个

3、有一个七层塔，每一层所点灯的盏数都等于上一层的 2 倍，一共点了381 盏灯。

求顶层点了( )盏灯。

答：因为381 是一个奇数，而每一层都是上一层的 2 倍，所以顶层一定是一个奇数，如果顶层是 1 盏灯，那么1+2+4+8+16+32+64不够，顶层是 3 盏的话，3+6+12+24+48+96+192=381.

4、有这样一个百层球垛，这个球垛第一层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有

6个小球，第四层有10个小球，第五层有15个小球，……第一百层有( )个小球。

这一百层共有( )个小球。

答：第一层：1；第二层：3；第三层：6；第四层：10；第五层：15 规律：第一层：1；第二层：1+2=3；第三层：1+2+3=6；第四层：1+2+3+4=10；第五层：1+2+3+4+5=15 根据等差数列公式：

Sn=(a1+an) x n/2

第100 层小球个数：1+2+3+••…+100=(1+100) x 100/2=5050

100 层共有小球个数：1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+ ......+(1+2+3+ (100)

=1x (1+1)/2+2 x (2+1)/2+3 x (3+1)/2+ …… +100x (100+1)/2

=1/2x [(1+12)+(2+22)+(3+32)+ …… +(100+1002)]

=1/2 X [(1+2+3+ ……+100)+(12+22+32+……+1002)]

=100x (100+1) x (100+2)/6 =171700

证明过程：根据(n+1)3=n3+3n2+3n+1,得(n+1)3 - n3=3n2+3n+1.

n3-( n- 1)3=3( n-1)2+3( n-1)+1

33- 23=3X 22+3X 2+1

23- 13=3X 12+3X 1+1.

把这n个等式两端分别相加，得：

(n+1)3 -1=3(12+22+32+....+n2)+3(1+2+3+...+n)+n XI

n3+3n2+3n+1 -1- n=3(12+22+32+....+n2)+ 3(1+2+3+...+n)

(n 3+3 n2+2 n)/3=(12+22+32+....+n2)+(1+2+3+...+n)

所以：(12+22+32+....+n2)+(1+2+3+...+n)=n(n+1)(n+2)/3

5、一本书的页码由7641个数码组成，这本书共有( )页。

答：这本书的页数是四位数，1〜999共用2889个数码，(7641 —2889)+ 4=1188,因四位

数是从1000开始的，所以页数为999 + 1188= 2187

6、某校举行体育达标测评，分两试进行，初试达标人数比未达标人数的3倍多14人, 复试达标人数增加33人，正好是未达标人数的5倍，问有（）人参加了达标测评。

答：设初试未达标人数为X则3x+14+33=5*（x-33）解得x=106

总人数3x+14+x=438

7、10块的巧克力，小明每天至少吃一块，直至吃完，问共有（）种不同的吃巧克力的方案。

答：这个问题属于排列组合问题，用插板法，把十块巧克力排成一排，中间有9各空当。如果10天吃完，就用9个板插入9个空档，即C9/9,如果9天吃完，就用8个板插入9个空档，即

C8/9,依此类推，如果2天吃完，就用1个板插入9个空档，即C1/9,如果1天吃完, 就用0个板插入9个空档，即C0/9,结果为（C9/9+C8/9+C7/9...+C0/9）=2A9=512 种方案。

另答：设X为几块巧克力，则就是2的（X-1 ）次方。

8、小明要登上15级台阶，每步登上2级或3级台阶，共有（）种不同登法。答：因为每次登2级或3级，所以登1级的方法数是0，登2级和3级的方法数都是1,登4级的方法数是登1级与登2级的方法数之和，即0+仁1.依此类推，登n级的方法数是登（n-3）级与登（n-2）级的方法数之和。所以这串数（取法数）中，从第4个数起，每个数都是它

前面第3个数与前面第2个数之和。登完15级台阶共有28种不同取法。具体表格如下：

二、解答题：

1、某校五年级有两个班，每班的人数都是小于50的整十数。期末数学考试两个班的

总平均分为78分，其中一班平均82分，二班平均75分。一班和二班各有多少人？解答：解设一班