2015年考研数学二真题
2015年考研数学二真题答案完整版
2015年考研数学二真题答案（完整版）（1）选D （A ）2212dx x x+∞+∞==+∞⎰，发散（B ）222ln 1(ln )2x dx x x +∞+∞==+∞⎰，发散 （C ）221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞⎰，发散 （D ）当x 足够大时，21x x e x <，221dx x +∞⎰收敛，2x x dx e+∞⎰收敛 （2）选B当0x ≠时，22sin sin00sin sin ()=lim(1)lim(1)x x t xx t t x t t t t t f x e x x→→+=+= （3）选A100()(0)1(0)=limlim cos x x f x f f x x xαβ-→→-'=存在 所以10α->，且(0)=0f '1111()=cossin f x x x x xααβββαβ---'+ 由0lim ()(0)0x f x f →''==，得10αβ-->，1αβ-> （4）选C由图易知，拐点为原点和与x 正半轴的交点，所以拐点数为2 （5）选D法一：,yu x y v x=+=所以,11u uvx y v v ==++ 所以222222(1)(,)(1)(1)1u u v u v f u v v v v -=-=+++ 2(1)1f u v u v ∂-=∂+，222(1)fu v v ∂-=∂+ 110u v fu ==∂=∂，1112u v f v ==∂=-∂法二：22(,)x f x y x y y+=-（1）（1）式对x 求导得，22f y f x u x v ∂∂-=∂∂（2） （1）式对y 求导得，12f fy u x v∂∂+=-∂∂（3）由1,1u v ==，得12x y ==，代入（2）（3）解得110u v fu ==∂=∂，1112u v f v ==∂=-∂ （6）选B 由y x =得，4πθ=由3y x =得，3πθ=由21xy =得，212cos sin 1,sin 2r r θθθ==由41xy =得，214cos sin 1,2sin 2r r θθθ==所以1sin 23142sin 2(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr πθπθθθθ=⎰⎰⎰⎰（7）解析：[]()()()()2211111111,120111140012121212A b ad a d a d a a d d Ax b a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦=↔↔====有无穷多解R(A)=R(A,b)<3或且或，故选（D ）（8）()()12322211231321222123,,,,22,1,,,,121,12-+A P e e e x Py y y y P AP Q e e e Q AQ x Qy y y y --==⎡⎤⎢⎥+-==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=设二次型对应的矩阵为二次型在正交变换下的标准型为则若则故在正交变换下的标准型为：，故选（A ）。
考研数学二2015真题及答案
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（）（A）2+∞⎰（B ）2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2xx dx e +∞⎰(2)函数20sin ()lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内（）（A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点(3)设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x 在0x =处连续，则（） （A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤(4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3(5).设函数(u v)f ，满足22(,)y f x y x y x+=-，则11u v f u ==∂∂与11u v fv ==∂∂依次是（） （A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12(6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y =围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰(7)．设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω(8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ）(A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设2231arctan ,3t x t d y dx y t t==⎧=⎨=+⎩则 （10）函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f =（11）设函数()f x 连续，2()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =（12）设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = （13）若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则(0,0)dz =（14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。
2015年考研数学二真题及答案
2
㌠
㌠
因此在正交变换 t ㌠
1 1
下的标准二次型为 2y12
y22 + y 2
综上所述，本题正确答案是 A。
【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次
型为标准形。
二、填空题：(9~1 )小题，每小题 4 分，共 24 分。
㌠ ‹浔
h2
(9)设
㌠
+
h则
2
㌠
㌠1
【答案】48
【解析】由参数式求导法
h ㌠ ሺ + 1݊2 +
对 积分得
h ㌠ ሺ + 1݊2 + − 1 + ψሺy݊
又 h ㌠ 2 + 2 ， 所以ψ y ㌠
所以 h ㌠ ሺ + 1݊2 + − 1
于是 h ㌠ ሺ2 + 2݊ ,
h ㌠ ሺ + 2 + 2 + 2݊ ,
h =2
令 h ㌠ ， h ㌠ 得驻点(0,-1)，所以
A= h 1 ㌠ 1
㌠ ሺ ݊的可疑拐点是
㌠ 的点及 ሺ ݊不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A 点两侧 ሺ ݊恒正，对应的点
不是 ㌠ 的拐点。
拐点，B 点两侧
异号，对应的点就是 ㌠
虽然f 不存在，但点 x ㌠ 两侧f ሺx݊异号，因而ሺ hfሺ ݊݊ 是 y ㌠
f x 的拐点。
综上所述，本题正确答案是 C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹
2015 年考研数学二真题
一、选择题：（1~8 小题,每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四
个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
2015年考研数学二真题及答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x+∞2dx =2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫xe +∞2dx =−∫x +∞2de −x=−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。
2015年考研数学真题(数二)
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（）（A ）2dx x+∞⎰（B ）2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2x x dx e+∞⎰(2)函数20sin ()lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内（） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点(3)设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（）（A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ (4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3(5).设函数(u v)f ，满足22(,)y f x y x y x+=-，则11u v fu ==∂∂与11u v f v==∂∂依次是（）（A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12(6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰(7)．设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b=有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D),a d ∈Ω∈Ω(8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ）(A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 设2231arctan ,3t x t d y dx y t t==⎧=⎨=+⎩则 （10）函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f =（11）设函数()f x 连续，2()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f = （12）设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x =（13）若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则(0,0)dz =（14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。
2015年考研数学二真题及答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)下列反常积分中收敛的是(A)∫1√x +∞2xx (B)∫xxxx +∞2xx (C)∫1xxxx+∞2xx (D) ∫x x x +∞2xx 【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x+∞2=2√x |2+∞=+∞；∫xxxx+∞2xx =∫xxx +∞2x (xxx )=12(xxx )2|2+∞=+∞；∫1xxxx+∞2xx =∫1xxx+∞2x (xxx )=ln ?(xxx )|2+∞=+∞； ∫xx +∞2xx =−∫x +∞2xx −x =−xx −x |2+∞+∫x −x +∞2xx=2x −2−x −x |2+∞=3x −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数x (x )=lim x →0(1+xxx x x )x2x 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有x (x )=lim x →0(1+xxx xx)x 2x=xlim x →0x 2x(1+xxx x x −1)=ex limx →0xxxxx=x x (x ≠0),x (x )在x =0处无定义，且lim x →0x (x )=lim x →0x x =1,所以 x =0是x (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数x (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,x >0).若x ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<x −β≤2 【答案】A 【解析】易求出x′(x )={xx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有x+′(0)=limx→0+x(x)−x(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，x−′(0)=0于是，x′(0)存在?α>1，此时x′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，x′(x)在x=0连续?α−β>1。
2015年考研数学真题及答案解析(数二)
1 sin 2θ 1 2sin 2θ
f (r cos θ , r sin θ )dr （D） ∫ dθ ∫
1
π 3 π 4
f ( r cos θ , r sin θ ) dr
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二
1 1 1 1 (7)．设矩阵 A= 1 2 a ，b= d ,若集合 Ω= {1, 2} ，则线性方程组 Ax = b 有无穷多个解的 1 4 a 2 d2
（1）式对 x 求导得， 解得
∂f ∂f = 0， ∂u u =1 ∂v
v =1
u =1 v =1
=−
1 2
（6）选 B 由 y = x 得， θ = 由y=
π 4
3 x 得， θ =
2
π 3
1 sin 2θ 1 2sin 2θ
由 2 xy = 1 得， 2r cos θ sin θ = 1, r =
D
（A）
∫ ∫
π 2 π 4
dθ ∫ sin12θ f (r cos θ , r sin θ )dr （B） ∫π2 dθ ∫
2 sin 2θ 4
1
π
1 sin 2θ 1 2sin 2θ 1 sin 2θ 1 2sin 2θ
f ( r cos θ , r sin θ ) dr
（C）
π 3 π 4
dθ ∫
(0) =
∫
x2
0
xf (t ) dt , 若 ϕ (1) = 1 ， ϕ ' (1) = 5 ，则 f (1) =
（12）设函数 y = y ( x ) 是微分方程 y '' + y ' − 2 y = 0 的解，且在 x = 0 处 y ( x) 取值 3，则 y ( x) = （13）若函数 z = z ( x, y ) 由方程 e
2015年考研数学二真题和答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x+∞2dx =2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫xe +∞2dx =−∫x +∞2de −x=−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。
2015年考研数学(二)真题含答案详解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分收敛的是( )(A)2+∞⎰(B) 2ln x dx x +∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D) 2x xdx e+∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)xx x dx x e e-=-+⎰，则2222(1)3lim (1)3xx x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内( )(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =. (3) 设函数()1cos ,00,0x x x f x x α⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ->(D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos10lim lim cosx x x x f x x x ααβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续则：()()10100lim cos 0x f f x xαβ+--+→''===得10α-> ()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则11u v fu ==∂∂与11u v f v==∂∂依次是 ( )(A)1,02 (B) 10,2 (C)1,02- (D) 10,2- 【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=，则,11u uv x y v v ==++，从而22(,)y f x y x y x+=-变为222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.故222(1)2,1(1)f u v f u u v v v ∂-∂==-∂+∂+， 因而111110,2u u v v ff uv ====∂∂==-∂∂.故选（D ）. (6)设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为(,)43D r r ππθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎩所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰故选B.(7) 设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω(D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +-(C)2221232y y y --(D) 2221232y y y ++【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） 二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 3arctan 3x t y t t=⎧⎨=+⎩则212t d y dx ==【答案】48【解析】2222333(1)11dydy t dt t dx dxdt t +===++ 2222[3(1)]d y d t dx dx=+=222222[3(1)]12(1)12(1)11d t t t dt t t dx dt t ++==++ 22148t d ydx ==. (10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)nf =_________ 【答案】()()21ln 2n n n --【解析】根据莱布尼茨公式得：()()()()()(2)222(1)0222ln 2(1)ln 22n n n n x n x n n f C n n ---=-===- (11) 设()f x 连续，()()20x x x f t dt ϕ=⎰，若()()11,15ϕϕ'==，则()1f =【答案】2【解析】已知2()()x x x f t dt ϕ=⎰，求导得2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰，故有10(1)()1,f t dt ϕ==⎰ (1)12(1)5,f ϕ'=+=则(1)2f =.(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3，则()y x =.【答案】22x x e e -+【解析】由题意知：()03y =，()00y '=，由特征方程：220λλ+-=解得121,2λλ==- 所以微分方程的通解为：212x x y C e C e -=+代入()03y =，()00y '=解得：12C =21C = 解得：22xxy e e-=+(13)若函数(),Z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则()0,0dz =.【答案】()1d 2d 3x y -+ 【解析】当0,0x y ==时0z =，则对该式两边求偏导可得2323(3)x y z x y z ze xy yz e x++++∂+=--∂ 2323(3)2x y z x y z ze xy xz e y++++∂+=--∂.将（0,0,0）点值代入即有 12,.(0,0)(0,0)33z z x y ∂∂=-=-∂∂则可得()(0,0)121|d 2d .333dz dx dy x y =--=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵，则行列式B =.【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】111,,32a kb =-=-=- 【解析】 方法一：因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++，33sin ()3!x x x o x =-+， 那么，23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===， 可得：100213a a b ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩．方法二： 由题意得300sin )1ln(lim )()(lim1kx xbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11limkx x bx x b x ax ++++=→由分母03lim 2=→kx x ，得分子)cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a x ，求得c ；于是)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kx x bx x b x x +++-=→）（x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim20 203cos )1(sin )1(lim kx x x bx x x b x x ++++=→kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→由分母06lim 0=→kx x ，得分子]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x ，求得21-=b ； 进一步，b 值代入原式)()(lim 10x g x f x →=kxx x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim0++-+--=→ kxx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=，求得.31-=k(16) (本题满分10分)设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =，2x π=所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π【解析】由旋转体的体积公式，得dx x f ⎰=2021)(V ππdx x A ⎰=202)sin (ππdx x A⎰-=20222cos 1ππ422A π=dx x xf ⎰=202)(2V ππA x d x A -πππ2cos 220==⎰由题,V V 21=求得.8A π=(17) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+，'(,0)(1)xx f x x e =+，2(0,)2f y y y =+，求(,)f x y 的极值. 【答案】极小值(0,1)1f -=-【解析】xxye y y xf )1(2),(+=''两边对y 积分，得 )()21(2),(2x e y y y x f x x ϕ++=')()2(2x e y y x ϕ++=，故x x e x x x f )1()()0,(+=='ϕ， 求得)1()(+=x e x x ϕ，故)1()2(),(2x e e y y y x f x x x +++='，两边关于x 积分，得⎰+++=dx x e e y y y x f x x )1()2(),(2 ⎰+++=x x de x e y y )1()2(2 ⎰-+++=dx e e x e y y x x x )1()2(2C )1()2(2+-+++=x x x e e x e y y C )2(2+++=x x xe e y y由y y y y y f 2C 2),0(22+=++=，求得.0=C 所以x x xe e y y y x f ++=)2(),(2.令⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='0)22(0)2(2xy xx x x e y f xe e e y y f ，求得⎩⎨⎧-==10y x . 又x x x xxxe e e y y f +++=''2)2(2， x xye yf )1(2+=''，x yy e f 2=''， 当1,0-==y x 时，(0,1)1,xxA f ''=-=,0)1,0(B =-''=xy f 2)1,0(=-''=yy fC ， 20,AC B ->(0,1)1f -=-为极小值.(18) (本题满分10分) 计算二重积分()Dx x y dxdy +⎰⎰，其中{}222(,)2,D x y x y y x =+≤≥【答案】245π-【解析】2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰21202xdx dy =⎰12202)x x dx =⎰12240022222sin 2cos 55x t xt tdt π=--⎰⎰22242002222sin 2sin .5545u t tdt udu πππ==-=-=-⎰⎰(19)(本题满分 11 分) 已知函数()21Xf x =+⎰⎰，求()f x 零点的个数？【答案】2个【解析】()21)f x x '=- 令()0f x '=,得驻点为12x =, 在1(,)2-∞,()f x 单调递减,在1(,)2+∞,()f x 单调递增 故1()2f 为唯一的极小值,也是最小值.而112241()2f =+=-⎰⎰⎰1224=--⎰⎰⎰在1(,1)2故0-<从而有1()02f <1lim ()lim[]x x x f x →-∞→-∞=+=+∞⎰⎰22111lim ()lim[]lim[]x x xx x x f x →+∞→+∞→+∞=+=-⎰⎰⎰⎰考虑2lim lim x x x ==+∞，所以lim ()x f x →+∞=+∞.所以函数()f x 在1(,)2-∞及1(,)2+∞上各有一个零点，所以零点个数为2. (20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C ︒的物体在20C ︒的恒温介质中冷却，30min 后该物体降至30C ︒，若要将该物体的温度继续降至21C ︒，还需冷却多长时间？ 【答案】30min【解析】设t 时刻物体温度为()x t ，比例常数为(0)k >，介质温度为m ,则()dxk x m dt=--，从而()kt x t Ce m -=+， (0)120,20x m ==，所以100C =，即()10020kt x t e -=+又1()30,2x =所以2ln10k =，所以11()20100t x t -=+ 当21x =时，t =１，所以还需要冷却３０min.(21) (本题满分10分)已知函数()f x 在区间[]+a ∞，上具有2阶导数，()0f a =，()0f x '>，()''0f x >，设b a >，曲线()y f x =在点()(),b f b 处的切线与x 轴的交点是()00x ，，证明0a x b <<.【证明】根据题意得点(,())b f b 处的切线方程为()()()y f b f b x b '-=-令0y =，得0()()f b x b f b =-' 因为(x)0f '>所以(x)f 单调递增，又因为(a)0f = 所以(b)0f >，又因为()0f b '>所以0()()f b x b b f b =-<' 又因为0()()f b x a b a f b -=--'，而在区间（a,b ）上应用拉格朗日中值定理有 (b)f(a)(),(a,b)f f b aξξ-'=∈-所以0()()()()()()()()()()()f b f b f b f b f x a b a f b f b f f b f b f ξξξ''--=--=-=''''' 因为(x)0f ''>所以(x)f '单调递增 所以()()f b f ξ''>所以00x a ->，即0x a >，所以0a x b <<，结论得证.(22) (本题满分 11 分)设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭且3A O =.(1) 求a 的值；(2) 若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=，E 为3阶单位阵，求X .【答案】2010,111211a X -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】 (I)323100100111100011a A O A a a a a a a a a=⇒=⇒-=--==⇒=- (II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A E E A X E AE X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=-- 2011111112E A A -⎛⎫ ⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭，011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭M M M M M M111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭M M M M M M110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(23) (本题满分11 分)设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.【答案】（1）4,5a b ==；（2）231101011P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(I)~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B ba 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪⎪⎝⎭P AP。
2015年考研数学(二)真题
x arctan t y 3t t
3
则
d2y dx 2
t 1
(10) 函数 f ( x) x 2 在 x 0 处的 n 阶导数 f (0) _________
2 x n
(11) 设 f x 连续， x
x2
0
x f t dt ，若 1 1, 1 5 ，则 f 1
解的充分必要条件为 ( (A) a , d (C) a , d ) (B) a , d (D) a , d
2 2 2 (8) 设二次型 f x1 , x2 , x3 在正交变换 x Py 下的标准形为 2 y1 ，其中 y2 y3
P (e1, e2 , e3 ) ，若 Q (e1, e3 , e2 ) 则 f ( x1, x2 , x3 ) 在正交变换 x Qy 下的标准形
y
与
f v
u 1 v 1
依次是 (
)
1 ,0 2
(B) 0,
1 2
(C) Βιβλιοθήκη 1 ,0 2(D) 0,
1 2
(6)设 D 是第一象限由曲线 2 xy 1 ， 4 xy 1 与直线 y x ， y 数 f x, y 在 D 上连续，则
3x 围成的平面区域，函
f x, y dxdy
.
(14) 若 3 阶矩阵 A 的特征值为 2, 2,1 ， B A2 A E ，其中 E 为 3 阶单位阵，则行列 式B .
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、 ．．． 证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分）
2015年考研数学真题(数二)(最新整理)
17、（本题满分 10 分）
已知函数
f (x, y) 满 足
f
" xy
(
x,
y)
2(
y
1)ex
，
fx' (x, 0) (x 1)ex ，
f (0, y)
y2 2y ，求
f (x, y) 的极值。
18、（本题满分 10 分）
计算二重积分 x(x y)dxdy ，其中 D (x, y) x2 y2 2, y x2 。
D
1
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二
1
1
（A）
2
d
sin 2 1
f (r cos , r sin )dr （B）
2
d
sin 2 1
f (r cos , r sin )dr
4
2sin 2
4
2sin 2
1
1
（C）
3
d
sin 2 1
f (r cos , r sin )dr （D）
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（）
1
ln x
f
与
依次是（）
x
u u1 v u1
v1
v1
1
1
1
1
（A） ,0 (B)0， （C）- ,0 (D)0 ,-
2
2
2
2
(6). 设 D 是 第 一 象 限 中 曲 线 2xy 1, 4xy 1与 直 线 y x, y 3x 围 成 的 平 面 区 域 ， 函 数
2015年考研数学(二)真题及答案详解【完整清晰版】
2 0 0 且 P AP 0 1 0 . 0 0 1
T
1 0 0 由已知可得 Q P 0 0 1 PC 0 1 0 2 0 0 T T T 故 Q AQ C ( P AP)C 0 1 0 0 0 1
为( )
2 2 2 (B) 2 y1 y2 y3 2 2 2 (D) 2 y1 y2 y3
2 2 2 (A) 2 y1 y2 y3 2 2 2 (C) 2 y1 y2 y3
【答案】(A)
2 2 2 【解析】由 x Py ，故 f xT Ax yT ( PT AP) y 2 y1 . y2 y3
2 2
2 f 2u (1 v) f 2u 2 u uv u (1 v) , .故 ， f (u, v) u 1 v v (1 v) 2 1 v 1 v 1 v
因而
f u
u 1 v 1
0,
f v
得： 1 0 ，答f ( x) 在 , 内连续，其中二阶导数 f ( x) 的图形如图所示，则曲线
y f ( x) 的拐点的个数为(
(A) 0 (B)
) (D)
1
(C)
2
3
【答案】(C) 【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数 为 2 个. (5) 设函数 f u, v 满足 f x y, x 2 y 2 ，则 u x 与
1 1 1 【解析】 ( A, b) 1 2 a 1 4 a 2
1 1 1 1 a 1 d 1 0 1 d2 0 0 (a 1)(a 2) (d 1)(d 2) ， 1 d
2015年考研数学二真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（）（A ）21dx x+∞⎰（B ）2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2xx dx e +∞⎰(2)函数20sin ()lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内（）（A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点(3)设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x 在0x =处连续，则（） （A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤(4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3(5).设函数(u v)f ，满足22(,)yf x y x y x+=-，则11u v f u ==∂∂与11u v fv ==∂∂依次是（） （A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12(6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,3y x y x ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（B ）1sin 22142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D ）1sin 23142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(7)．设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω(8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P =(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ） (A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设2231arctan ,3t x t d y dx y t t==⎧=⎨=+⎩则 （10）函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f =（11）设函数()f x 连续，2()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =（12）设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = （13）若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则(0,0)dz =（14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。
考研数学二真题(2015年)
求
的极值。
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(18)计算二重积分
其中D=
,
(19)已知函数
，求
的零点个数
第 6 页 共 22 页
(20)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻改物体温度对时间的变化率与该 时刻物体和介质的温差成正比。现将一初始温度为 120℃的物体在 20℃恒温 介质中冷却，30min 后该物体降温至 30℃，若要将该物体的温度继续降至 21℃，还需冷却多长时间？
(15)【解析】利用泰勒公式
当
时，
，则
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小的比阶，泰勒公式 (16)【解析】
由 A>0 可得
= = 又 (17)【解析】 由 ，得 可得A=
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又已知
可得分得
又
所以 于是 =2 令 A= C= 由于 (18)【解析】
【解析】先求出
令 于是
因此
综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分
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(6)B
【解析】 D 是第一象限中由曲线
平面区域，作极坐标变换，将 D 的极坐标表示为
与直线
化为累次积分。
围成的
因此
综上所述，本题正确答案是 B。 (7)D 【解析】
,其中 E为 3
三、解答题： 骤。 (15)设函数
小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
,若 的值。
与
在
时是等价无穷小，求
(16)设 A>0，D 是由曲线段
及直线
所
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围成的平面区域， ，求 A 的值
2015年考研数学二真题及答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x +∞2=2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫x e x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx =2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elim t→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1(C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αxα−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1xβ,x >0，0,x ≤0 再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x)在x=0连续⟺α−β>1。
2015年考研数学二真题及答案解析.doc
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)下列反常积分中收敛的是(A)2+∞1xdx (B)2+∞lnxxdx(C)2+∞1xlnxdx (D) 2+∞xexdx【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
2+∞1xdx=2x2+∞=+∞；2+∞lnxxdx=2+∞lnxd(lnx)=12(lnx)22+∞=+∞；2+∞1xlnxdx=2+∞1lnxd(lnx)=ln(lnx)2+∞=+∞；2+∞xexdx=-2+∞xde-x=-xe-x2+∞+2+∞e-xdx=2e-2-e-x2+∞=3e-2，因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数fx=lim t→0(1+sintx)x2t在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有fx=lim t→01+sintxx2t=elim t→0x2t1+sintx-1=e xlim t→0sintt=ex(x≠0),fx在x=0处无定义，且lim x→0fx=lim x→0ex=1,所以x=0是fx的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数fx=xαcos1xβ, &x>0，0, &x≤0(α>0,β>0).若f'x在x=0处连续，则(A)α-β>1 (B)0<α-β≤1(C)α-β>2 (D)0<α-β≤2【答案】A【解析】易求出f'x=αxα-1cos1xβ+βxα-β-1sin1xβ, &x>0，0, &x≤0再有f+'0=lim x→0+fx-f0x=lim x→0+xα-1cos1xβ=0, α>1,不存在，α≤1，f-'0=0于是，f'(0)存在⟺α>1，此时f'0=0.当α>1时，lim x→0xα-1cos1xβ=0，lim x→0βxα-β-1sin1xβ=0, α-β-1>0,不存在，α-β-1≤0，因此，f'x在x=0连续⟺α-β>1。
2015年考研数学(二)真题及答案详解
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析、选择题 :1: 8小题,每小题 4分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中 ,只有一个选项符合 题目要求的 ,请将所选项前的字母填在答题．纸 (1) 下列反常积分收敛的是 ( )(C)有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点x cos 1,x 0(3)设函数 f x x ( 0,0),若 f 'x 在 x 0 处连续0,x 0(A ) 0 (B) 01(C )2(D) 02答案】 (A) 【解析】 x 0 时， fx 0 f 0 01x cos 01 f0li x lim x 1cox0 xx0x1111x 0f xx cos 1x sin1xxx11 1 1 x cos x sin xx指定位置上 . (A)2xdx(B)lnx dx(C)21dx (D) xln xe xxdx e答案】 (D)解析】 x x dx e (x 1)e x ，则 2 x x dx e(x 1)e x 3e2lim (x 1)e x 3e 2 (2) 函数 f x lim(1 2 sint x t si xn t)t(A) 连续(B) 有可去间断点 sint )xt 2xsint x 2lime t 0 x txe x， x 0 ，故 f (x) 有可去间断点42sin2得： 在 x 0 处连续则：lim + f x = limx 0+x 0lim xx01cos 10 得 1 0 x1 0 ，答案选择A(4)设函数 f(x) 在 (A) 0【答案】 11 cos x1 sin =0 x内连续，其中二阶导数f(x) 的拐点的个数为 f (x) 的图形如图所示，则曲线(B) 1 (C) 2(C) 根据图像观察存在两点， 为 2 个 . 解析】 (5) 设函数 f u,v满足 fx与fv1 依次是 (1(A) 12,0 【答案】 (D) (B) 0,12 (C) 12,0(D )0,2解析】此题考查二元复合函数偏导的求解 y,v，则 xv ,yuv 1v从而 f(x y,yx ) x x 2y2 变为f(u,v )uv 1u 2(1 v) .故1v2u(1v), f v ,v 2u 2，2，(1 v)2因而 f uu1 v1 0,fvu1v1 1.故选( D ). 2(6)设 D是第一象限由曲线 2xy 1 ， 4xy1与直线 x ，y 3x 围成的平面区域，函数 f x,y 在 D 上连续，则 fx,y Ddxdy1(A) 3dsin 12f rcos ,rsin rdr(B) 3d4 1sin 12f rcos ,rsin rdr(C ) 3d4 1sin 12 f rcos ,rsin dr2sin 2 (D ) 3d4 1sin 12 f r cos ,rsin dr答案】 解析】 (B) 根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为 (r,)所以 f(x,y)dxdyD 故选 B. (7) 设矩阵 A3 2sin 2r 1sin23d4 1 sin2 1 2sin 2f (r cos ,r sin )rd r解的充分必要条件为 (A) a ,d(C)a ,d(D )答案】 (D )解析】 (A,b )由 r(A) r(A,b ) ,bd 2(B ),d .若集合1,2 ，则线性方程组 Ax b 有无穷多,d3 ，故 (8) 设二次型 f x 1, x 2, x 3为( 2(A)2y 121 dd 2(a 1 a11)(a2) (d1 d11)(d 2) ， 2，同时2.故选 D)在正交变换 x Py 下的标准形为 2y 12 (e 1,e 2,e 3)，若 Q (e 1, e 3,e 2) 则 f22 y 2 y 3 22 (B) 2y 12 y 2222y 2 y 3 ，其中 (x 1,x 2,x 3) 在正交变换 x Qy 下的标准形 2y32 2 2 2 2 2(C) 2 y 1 y 2 y 3 (D) 2y 1 y 2 y 3答案】 2【解析】由 x Py ，故f TxAx y T (P T AP)y 2y 12 y 22 y 322 0 0且 P TAP 0 10 011 0 0由已知可得Q P 0 0 1PC0 1 02 0 0故 Q TAQ C T(P TAP)C 0 1 00 0 1【答案】 (A)2y 12所以 f x T Ax y T (Q TAQ)y y 22 y 32 .选(A)4 分 ,共 24 分 .请将答案写在答题．纸． 指定位置上d 2y dx 2t1 (10) 函数 f (x)x 22x在x 0处的 n 阶导数 f n(0) 答案】 nnn2ln 2解析】 根据莱布尼茨公式得：nC n 22 2x(n 2)x0(11) 设 f x 连续，n(n 1) n2 ln 2 2x 22 n(n 1 1,n1) ln2 (9) 答解48.22 t 2)2d 2ydx 2 二、填空题： 9: 14小题 ,212t(11 t2)12t(1 t 2)21 t 2x 2(x) f (t)dt 2x 2f (x 2)，故有1(1) 0 f (t)dt 1, (1) 1 2f(1) 5,则 f (1) 2.yx答案】 e 2x 2exx 2x y C 1e x C 2e 2x 代入 y3 ， y 0 0 解得： C 1 2 C2y(0,0)答案】 21解析】 A 的所有特征值为 2, 2,1. B 的所有特征值为 3,7,1.所以|B | 3 7 1 21.三、解答题： 15～ 23小题,共 94分.请将解答写在答题．纸．．指定位置上 .解答应写出文字说明、x (0,0)解析】 由题意知： y 0 3， y 0 0 ，由特征方程： 2 0 解得 1 1, 2解得： yx 2x2ex e2x(13)若函数 z x,y由方程 ex 2y 3zxyz 1 确定，则 dz0,0答案】 dx 2dy解析】当 0,y 0 时z 0 ，则对该式两边求偏导可得(3e x 2y 3z xy) zxyz x 2y 3ze(3e x 2y 3zxy) zxz yx 2ex2y 3z .将0,0,0)点值代入即有则可得dz|(0,0)1dx 2dy 33 13 dx 2dy .(14) 若 3阶矩阵 A 的特征值为 2,2,1， B A 2A E ，其中 E 为 3 阶单位阵，则行列式x 2解析】已知 (x) x f求导得 (12) 设函数 y y x 是微分方程yy 2y 0 的解， 且在x 0 处 y x 取得极值 3， 所以微分方程的通解为：证明过程或演算步骤(15) (本题满分 10 分)设函数 f (x)x aln(1 x)bxsin x ， g(x)3kx 3.若 f(x) 与 g(x)在 x是等价无穷小，求 a,b,k 的值.答案】 a1,k1 13,b解析】 方法一： 因为 ln(1x)o(x 3) ， sinx3x 3o(x )，3!那么， 1 limf (x)x 0g(x) l x im0 1a可得： b a 2 a3k方法二： 由题意得 1 l x im 0 gf ((x x ))由分母 lim3kx 2x0 于是 1 lim f(x)x 0 g(x)kx 3 a1所以， b 1．21k3x aln(1x) bx sin xkx3，得分子 lim(1 ax01x1 1 bsinx 1 xaln(1 x) bxsin x x 01 0 0， 0 l x imx03kx 2 a2(1 a)x (b a)x 2lim23 x 0 kx 3a 3x3 (x 3)x b(1 x)sin x bx(1 x)cosx lim x0 3kx(21 x) x b(1 x)sin x bx(1 x)cosx lim x01 absinx bx cosx l x im1x3kx 2bsin x bx cos x) lim(1 a) 0x0求得c ； bx cosx 3kx 21 bsin x b(1 x)cosx b(1 x)cosx bx cos x lim x0bx(1 x)sinx6kx由分母lxim6kx 0，得分子lim[ 1x0 bsin x2b(1x)cosx bx cos x bx(1 x)sinx] lim(1 2b cos x)0，x0求得b进一步，1；2；b 值代入原式f(x)1 limx 0 g(x)1limx011sinx (1 x) cosx xcosx226kx1x(1 x)sinx1 cosx lim 2x011cosx (1 x)sin x cosx xsinx226k1 1 1(1 x) sin x xsinxx(12 2 2x)cosx12，求得k6k(16) (本题满分 10 分)设 A>0 ，D 是由曲线段y Asin x(0 x ) 及直线y0 ，x所围成的平面区域，V1 ，2V2分别表示 D 绕x轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若V1V2 ，求 A 的值 .8答案】解析】由旋转体的体积公式，得V1 2f 2(x)dx2( Asin x)dxA2 21 cos2xdx022A24V2 22 xf(x)dx -2由题V1 V2,求得AA 2xdcosx 082A(17) (本题满分 11分)已知函数f (x, y)满足fxy "(x,y) 2(y1)e x，fx'( x,0) (x1)e x，f (0, y) y22y ，求f(x,y)的极值 .答案】极小值f(0,1)解析】f xy (x, y) 2(y 1)e x两边对 y 积分，得1 2 x f x(x,y) 2(12y2y)e x (x) (y2 2y)e x(x) ，故 f x (x,0) (x) (x 1)e x ， 求得 (x) e x(x 1) ， 故 f x (x,y) (y 22y)e xe x(1 x) ，两边关于 x 积分，得(y 22y)e x(1 x)d e x(y 2 2y)e x(1 x)e xx e dx(y 2 2y)e x(1x)e xe xC(y 22y)e xxe xC由 f (0,y) y22y Cy 22y ，求得 C 0.所以f(x,y) (y 2 2y)e xxxe .令f x(y 22y)e xx e xxe 0， x0 求得 .f y (2y 2)e x 0y1又f xx(y22y)e xx2exxe xfxy 2(y1) e x ，fyy 2e x，当x 0,y 1时， A f xx (0, 1)1, B f xy (0, 1) AC B 20, f (0,1)1为小值2y)e x e x(1x)dx0, C f yy (0, 1)2 ，f(x,y) (y 2 (18) (本题满分 10 分)计算二重积分 x(x y)dxdy ，其中 D D答案】 2 452x(x y)dxdy x dxdyDD2 x 2x22 x 2( 2 x 2x 2)dx 解析】12 dx 012xx 2dy22y 2,y x(x,y) x 22 01x 22 x 2d 2 x x 2sint2 4sin2 t2cos 2tdt 2552 4 sin 22tdt2 u 2t2sin 2udu 22. 05 0 5 4 5.(19)( 本题满分11分 )已知函数 f xx1 t 2dt 1X1tdt，求 f x 零点的个数？【答案】 2 个【解析】 f (x) 1x 2 2x 1 2 x1 x 2(2x 1)1 令 f (x) 0 ,得驻点为 x ,211在( , ) , f(x) 单调递减 ,在 ( , ), f (x) 单调递增22 1 故 f (21) 为唯一的极小值 ,也是最小值11 t 2dt 1 1 td 12 1 td2 2 411所以函数 f (x) 在( , )及 ( , ) 上各有一个零点，所以零点个数为 2.22(20) (本题满分 10 分) 已知高温物体置于低温介质中， 任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比， 现将一初始温度为 120 C 的物体在 20 C 的恒温介质中冷却，1 1 t 2dt 214 1 tdt11 1 t 2dt 1 1 tdt24在 (21,1), 1 t 21 t ,故 1 1 t 2dt21 1 tdt 021从而有 f ( ) 02lim f (x) lim[1 t2 dt x1 tdt]xxx 1lim f (x) lim[111 t 2dt21x 21x 2tdt] lim[ 1 tdt x1考虑 lim 1 tdt1 1 t 2li m 2x 1 x 21 x 2，所以 lim f(x) x1 t 2dt]x 230min 后该物体降至30 C ，若要将该物体的温度继续降至21 C ，还需冷却多长时间？答案】30min【解析】设t时刻物体温度为x(t)，比例常数为k( 0) ，介质温度为m,则dx k(x m)，从而x(t) Ce kt m ，dtktx(0) 120,m 20，所以C 100 ，即x(t) 100e kt 20 11又x(1) 30,所以k 2ln10 ，所以x(t) 1t 1 202 100t 1当x 21 时，t １，所以还需要冷却３０ min.(21) (本题满分 10 分)已知函数f x 在区间a，+ 上具有 2 阶导数，f a 0 ，f x 0，f '' x 0 ，设b a，曲线y f x 在点b, f b 处的切线与x 轴的交点是x0，0 ，证明a x0 b.【证明】根据题意得点(b, f(b)) 处的切线方程为y f(b) f (b)(x b)令y 0 ，得x0 b0 f (b)因为f (x) 0所以f(x) 单调递增，又因为f(a) 0 所以f (b) 0 ，又因为f (b) 0所以x0 b f(b)b0 f (b)f(b )f(a) f (), (a,b)b a所以x0 a b a f (b) f(b)f (b) f( )因为f (x) 0所以f (x) 单调递增所以f (b) f( )所以x0 a 0，即x0 a ，所以a(22 ) ( 本题满分11 分)a 1 0设矩A 1 a 1 且A3O.0 1 a(1) 求a 的值；f (b)，而在区间(f(b)f(b)f(b)f (b) f ( ) f(b) f (b) f ( )x0 b ，结论得证a,b)上应用拉格朗日中值定理有又因为x0 a b a20,XE A2E A2(2) 若矩阵 【答案】X 满足 X2XA2AX 2AXA 2E 为3阶单位阵，求 X .a 1 00 1 0(I) A 3OA 01 a 11 a 2a 10 1 aa 1 a解析】3 a 0 1 1M1 0 0 1 1 1M 1 0 1 1 1M0 1 00 1 1 M1 0 011 2M0 0 11 1 2M00 11 1 1M0 1 0 1 1 1M01 0 0 1 1M1 0 00 1 1M 1 0 0 0 2 1M01 10 01M21 11 1 0M2 0 11 0 0M3 1 20 1 0M1 1 10 1 0M1 1 10 0 1M2 1 10 0 1M2 1 13 1 2(23) ( 本题满分11 分)相似于矩阵(II) 由题意知X XA 2AXAXA 2A 2AXA 2AXE A 2A 21E A 2 E A511A 的特征值 A 1 C :1,1,5231令P ( 1, 2, 3) 1 0 1 ，0 1 111P 1AP1答案】1) a 4,b5；2)解析】 (II)A(I) A ~ 0 2 31 2 01 3 3 0 b 01 2 a0 3 11 a 43b 52 31 0 0B tr(A ) tr (B)Bb 2a b 0 13 3 0 1 0ECC 的特征值0, 340时 (0E C)x 0 的基础解系为 (2,1,0) T;2 ( 3,0,1)T5时 (4 E C)x 0 的基础解系为 ( 1, 1,1)T设矩阵A 111)求a,b的值；2)求可逆矩阵P ，使P1AP为对角阵 .5。
2015年考研(数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2015年考研（数学二）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．下列反常积分中收敛的A．dx．B．dx．C．dx．D．dx．正确答案：D2．函数f(x)＝在(一∞，+∞)内A．连续．B．有可去间断点．C．有跳跃间断点．D．有无穷间断点．正确答案：B3．设函数f(x)＝(α>0，β>0)．若(x)在x＝0处连续，则A．α一β>1．B．0<α一β≤1．C．α一β>2．D．0<α一β≤2．正确答案：A4．设函数f(x)在内连续，其2阶导函数(x)的图形如右图所示，则曲线y＝f(x)的拐点个数为A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C5．设函数f(u，v)满足f(x＋y，)＝x2一y2，则与依次是A．，0．B．0，．C．，0．D．0，．正确答案：D6．设D是第一象限中由曲线2xy=1，4xy=1与直线y＝x，y＝围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续，则f(x，y)dxdy＝A．(rcosθ，rsinθ)rdrB．(rcosθ，rsinθ)rdrC．(rcosθ，rsinθ)drD．(rcosθ，rsinθ)dr正确答案：B7．设矩阵A＝b＝若集合Ω＝{1，2}，则线性方程组Ax＝b有无穷多解的充分必要条件为A．B．C．D．正确答案：D8．设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x＝Py下的标准形为其中P＝(e1，e2，e3)．若Q＝(e1，一e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为A．B．C．D．正确答案：A填空题9．设正确答案：4810．函数f(x)=x22x在x＝0处的n阶导数f(n)(0)＝____________．正确答案：n(n一1)(ln2)n－211．设函数f(x)连续，φ(x)＝xf(t)dt．若φ(1)=1，(1)=5，则f(1)＝___________．正确答案：212．设函数y=y(x)是微分方程一2y=0的解，且在x＝0处y(x)取得极值3，则y(x)＝___________．正确答案：2ex＋e－2x13．若函数z=z(x，y)由方程ex＋2y＋3z＋xyz=1确定，则dz｜(n)(0，0)= ___________．正确答案：dxdy14．设3阶矩阵A的特征值为2，一2，1，B=A2一A＋E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式｜B｜＝___________．正确答案：21解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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由 f (0, y ) = y + 2 y 得 ( y + 1) + C = y + 2 y ，
2 2 2
解得 C = −1 ，即 f ( x, y ) = ( y + 1) e +
2 x
∫ ϕ ( x)dx − 1 ，
0
x
又由 f x′ ( x,0) = ( x + 1)e 得
x
e x + ϕ ( x) = ( x + 1)e x ，解得 ϕ ( x) = xe x ，
则f
(n)
(0) =
n(n − 1) ⋅ 2 ⋅ (ln 2) n − 2 = (ln 2) n − 2 n(n − 1) 。 2
（11） 2 。 【解答】 由 ϕ ( x) = x
x2
∫
x2
0
f (t )dt 得
ϕ ′( x) = ∫ f (t )dt + 2 x 2 f ( x 2 ) ，
0
再由 ϕ (1) = 1, ϕ ′(1) = 5 得
2 2 2
所以 A 的特征值为 λ1 = 2, λ 2 = 1, λ3 = −1 ，其对应的特征向量为 e1 , e2 , e3 ， 因为 e1 ,−e3 , e2 为特征值 λ1 = 2, λ 2 = −1, λ3 = 1 对应的特征向量， 所以 X = QY 下二次型的标准型为
2 2 ，应选 ( A) 。 2 y12 − y 2 + y3
因为
【解答】
sin t sin t f ( x) = lim[(1 + ) ] t →0 x
x
sin t x 2 ⋅ x t
= ex （ x ≠ 0 ） ，
显然 f ( x) 在 x = 0 处没有定义， 因为 lim f ( x) = 1 ，所以 x = 0 为可去间断点，应选 ( B) 。
x →0
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（5） D 。 【解答】
⎧x + y = u u uv ⎪ 令⎨y ，解得 x = ，则 ,y = v +1 v +1 =v ⎪ ⎩x
（6） B 。 【解答】 令⎨
⎧ x = r cos θ 1 1 π π ≤r≤ ， （ ≤θ ≤ ， ） ，则 4 3 2 sin 2θ sin 2θ ⎩ y = r sin θ
π
1 sin 2θ 1 2 sin 2θ 3
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫π dθ ∫
D 4
f (r cos θ , r sin θ )rdr ，应选 ( B) 。
(−2) 2 − (−2) + 1 = 7 ， 12 − 1 + 1 = 1 ，
故 | B |= 21 。 三、解答题 （15） 【解】 由 ln(1 + x) = x −
x2 x3 + + o( x 3 ) ， 2 3
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∫
1
0
f (t )dt = 1 ，
于是 5 = 1 + 2 f (1) ，解得 f (1) = 2 。 （12） e
−2 x
+ 2e x 。
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若 f ′( x) 在 x = 0 处连续，则 α > 1, α − β − 1 > 0 ，即 α − β > 1 ，应选 ( A) （4） C 。 【解答】
f ′′( x) = 0 左边的零点为 x = a ，右边的零点为 x = b ，
又 x = 0 处 f ′′( x) 不存在。 因为 x = a 得左右两侧 f ′′( x) 都大于零，所以 ( a, f ( a )) 不是拐点； 因为 x = 0 左右两侧 f ′′( x) 异号，所以 (0, f (0)) 为拐点； 因为 x = b 左右两侧 f ′′( x) 异号，所以 (b, f (b)) 为拐点， 故 y = f ( x) 有两个拐点，应选 (C ) 。
二、填空题 （9） 48 。 【解答】
dy dy / dt 3 + 3t 2 = = = 3(1 + t 2 ) 2 ， 1 dx dx / dt 1+ t 2
d dy ( ) d 2 y dt dx 12t (1 + t 2 ) = = = 12t (1 + t 2 ) 2 ， 2 1 dx dx dt 1+ t2
因为方程组有无数个解，所以 d = 1 或 d = 2 ， 应选 ( D ) 。 （8） A 。
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【解答】 因为 f ( x1 , x 2 பைடு நூலகம் x3 ) 经过正交变换 X = PY 化为标准型 2 y1 + y 2 − y 3 ，
A = 1, B = 0, C = 2 ，
因为 AC − B = 2 > 0 且 A > 0 ，所以 ⎨
2
⎧x = 0 为极小点， ⎩ y = −1
因为方程组有无数个解，所以 d = 1 或 d = 2 ； 当 a = 2 时，
1 ⎞ ⎛1 1 1 1 ⎛1 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜1 2 2 d ⎟ → ⎜ 0 1 1 d − 1 ⎟ → ⎜ 0 1 1 d −1 ⎟ ， ⎜1 4 4 d 2 ⎟ ⎜ 0 3 3 d 2 − 1⎟ ⎜ 0 0 0 d 2 − 3d + 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ 2e x 。
（13） − 【解答】
1 2 dx − dy 。 3 3
x = 0, y = 0 代入 e +2 y + 3 z + xyz = 1 得 z = 0 。
e +2 y +3 z + xyz = 1 两边 e +2 y +3 z + xyz = 1 分别对 x, y 求偏导得 ∂z ∂z ⎧ x + 2 y +3 z ⋅ (1 + 3 ) + yz + xy =0 e ⎪ ⎪ ∂x ∂x ， ⎨ ⎪e x + 2 y +3 z ⋅ (2 + 3 ∂z ) + xz + y ∂z = 0 ⎪ ∂x ∂x ⎩
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2015 考研数学二真题解析
一、选择题 （1） D 。 【解答】 因为 lim x ⋅
x → +∞ 1 2
1 x
= 1且
+∞ dx 1 发散，不选 ( A) ； < 1 ，所以 ∫ 2 2 x
+∞ ln 2 +∞ ln x +∞ ln x ln x ln 2 且∫ 所以 ∫ 即∫ 不选 ( B ) ； ≥ dx = +∞ ， dx = +∞ ， dx 发散， 2 2 2 x x x x x +∞ +∞ 1 1 +∞ 因为 ∫ ，所以 ∫ dx = ln ln x | 2 dx 发散，不选 (C ) ，应选 ( D) 。 2 2 x ln x x ln x （2） B 。
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sin x = x −
x3 + o( x 3 ) 得 6 ax 2 ax 3 a a + + bx 2 + o( x 3 ) = (1 + a) x + (b − ) x 2 + x 3 + o( x 3 ) ， 2 3 2 3
f ( x) = x + ax −
因为 f ( x) ~ g ( x) ，
⎧ ⎪1 + a = 0 ⎪ 1 1 a ⎪ 所以 ⎨b − = 0 ，解得 a = −1, b = − , k = − 。 2 2 3 ⎪ ⎪a =k ⎪ ⎩3
（16） 【解】 由题意， D 由曲线 y = A sin x(0 < x <
【解答】 特征方程为
λ2 + λ − 2 = 0 ，
特征值为 λ1 = −2, λ 2 = 1 ， 原方程通解为 y = C1e
−2 x
+ C2 e x ，
由 y (0) = 3, y ′(0) = 0 得 ⎨ 故y=e
−2 x
⎧C1 + C 2 = 3 ，解得 C1 = 1, C 2 = 2 ， ⎩− 2C1 + C 2 = 0
0 0
π
π
由 Vx = V y 得 A = （17） 【解】
8
π
。
′′ ( x, y ) = 2( y + 1)e 得 由 f xy
x
f x′ ( x, y ) = ( y + 1) 2 e x + ϕ ( x) ，
f ( x, y ) = ( y + 1) 2 e x + ∫ ϕ ( x)dx + C ，
（3） A 。 【解答】