《离散数学及其应用》魏雪丽引言
《离散数学及其应用》魏雪丽第6章 格与布尔代数
6.1.1 格的概念（lattices） 格的概念（ ） 虽然偏序集合的任何子集的上确界、 虽然偏序集合的任何子集的上确界、下确界并不一 定都存在，但存在，则必唯一， 定都存在，但存在，则必唯一，而格的定义保证了 任意两个元素的上确界、下确界的存在性。 任意两个元素的上确界、下确界的存在性。因此我 们通常用a∨b表示 ，b}的上确界，用a∧b表示 ， 表示{a， 的上确界 的上确界， 表示{a， 们通常用 ∨ 表示 ∧ 表示 b}的下确界，即 的下确界， 的下确界 a∨b=LUB{a,b}（Least upper bound）, ∨ （ ） a∧b=GLB{a,b}(Greatest lower bound), ∧
LUB{a, b} = LUB{a, b}, GLB{a, b} = GLB{a, b}
L B L B
为此我们考察下面的例子。 为此我们考察下面的例子。 如图6.1.4), 取 【例6.1.4】设〈A，≤〉是一个格 如图 】 ， 〉是一个格(如图
B1 = {b, d , h}, B2 = {a, b, d , h}, B3 = {a, b, d , f } B4 = {c, e, g , h}, B5 = {a, b, c, d , e, g , h},
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第6章 格和布尔代数 章
6.1.1 格的概念（lattices） 格的概念（ ）
表示正整数集， ”表示Z 上整除关系， （3）设Z+表示正整数集，“|”表示 +上整除关系，那么 ） 〈 Z+ ，|〉为格，其中并、交运算即为求两正整数最小公倍数 〉为格，其中并、 和最大公约数的运算， 和最大公约数的运算，即 m∨n＝LCM（m,n） m∧n＝GCD(m,n）, ∨ ＝ （ ） ∧ ＝ ） 由〈 Z+ ，|〉所诱导的代数系统为〈 Z+ ， ∨，∧ 〉。 〉所诱导的代数系统为〈 （4）任一全序集〈A， 〉是一个格。因为 a,b ∈A， ）任一全序集〈 ， 是一个格。 ， ∀
离散数学及应用
强连通与弱连通
在有向图中，如果任意两个节点 之间都有路径，则称图是强连通 的；在无向图中，如果任意两个 节点之间都有路径，则称图是弱 连通的。
最短路径问题
问题描述
Dijkstra算法
在一个图中，找到两个节点之间的最短路 径。
用于在有向图中找到单源最短路径。
Bellman-Ford算法
Floyd-Warshall算法
离散数学中的图论、集合论等在土木工程中用于描述和分析建
筑结构、道路网络等。
经济学中的应用
决策分析
离散数学中的概率论、统计决策理论等在经济学中用于决策分析，如风险评估、效用函数等。
博弈论
离散数学中的博弈论在经济学中用于研究竞争和策略行为，如寡头竞争、拍卖理论等。
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归纳推理
从特殊到一般的推理 方式，即从个别性前 提推出一般性结论的 推理。
推理规则
在逻辑推理中需要遵 循的规则，如“假言 推理”、“拒取式” 、“析取三段论”等 。
逻辑谬误
在逻辑推理中需要避 免的错误，如“偷换 概念”、“循环论证 ”等。
05
离散概率论
离散随机事件
01
定义
离散随机事件是样本空间中有限 或可数的子集，通常表示为E、F 、G等。
03
图论
图的基本概念
01 节点
图中的顶点称为节点。
03 边
连接两个节点的线段称为
边。
02 定向图与无向图
边是否有方向决定了图的
定向或无向性。
04 权重
某些边可以带有数值，表
示某种度量或权重。
图的连通性
连通性
如果图中的任意两个节点之间都 存在路径，则称图是连通的。
《离散数学及其应用》魏雪丽第7章 图论
图论(Graph Theory ) 第7章 图论
7.1 图的基本概念
图 7 .1. 3
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图论(Graph Theory ) 第7章 图论
7.1 图的基本概念
3. 图G的分类 的分类 (1) 按G的结点个数和边数分为 的结点个数和边数分为(n,m)图,即n个结点 m 个结点, 的结点个数和边数分为 图 即 个结点 条边的图; 条边的图 特别地, (n,0)称为零图, (1,0) 图称为平凡图 。 特别地 称为零图 图称为平凡图 称为零图 (2) 按G中关联于同一对结点的边数分为多重图和简 中关联于同一对结点的边数分为多重图和简 中关联于同一对结点的边数分为 单图; 单图 多重图:含有平行边的图（ 多重图 含有平行边的图（如图 7 .1. 3） 。 含有平行边的图 ） 简单图:不含平行边和自环的图。 简单图 不含平行边和自环的图。 不含平行边和自环的图
表示４个队之间比赛的情况， 的图形。 表示４个队之间比赛的情况， 我们作出图 7.1.1的图形。 的图形 在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球队， 称之为结点。 在图中 ４个小圆圈分别表示这４ 个篮球队， 称之为结点。 如果两队进行过比赛， 如果两队进行过比赛， 则在表示该队的两个结点之间用 一条线连接起来， 称之为边。 一条线连接起来， 称之为边。 这样利用一个图形使各队 之间的比赛情况一目了然。 之间的比赛情况一目了然。
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图论(Graph Theory ) 第7章 图论
7.1 图的基本概念
完全图： 完全图 ： 任意两个不同的结点都邻接的简单图称为 完 全图。 个结点的无向完全图记为K 全图。n 个结点的无向完全图记为 n。
n( n − 1) 给出了K 从图中可以看出K 图 7.1.5给出了 3 和 K4 。 从图中可以看出 3 有 ３ 给出了
离散数学及应用PPT课件
引 言（续）
二、该课程的主要内容： 离散数学课程的主要内容可以分为四个部分： 数理逻辑，包括命题逻辑和谓词逻辑。(教材的第一、二章) 集合论，包括集合、关系和函数。（教材的第三、四章） 代数系统，包括代数系统的一般概念，几类典型的代数系
统和格。（教材的第五、六章） 图论，包括图的基本概念，几种特殊的图。 (教材的第七章)
数理逻辑：人工智能，数据库，形式语言及自动机， 高级程序设计语言。
集合论： 信息结构与检索，数据结构。 图论： 可计算性理论，计算机网络,数据结构。 代数结构：开关理论，逻辑设计和程序理论，语法
分析。 2. 通过学习离散数学，可以培养和提高自己的抽象思
维和逻辑推理能力，获得解决实际问题能力，为以 后的软、硬件学习和研究开发工作，打下坚实的数 学基础。
版） (美)Kenneth H.Rosen 著 机械工业出版社
28.04.2020
引 言（续）
七、考核方式： 期末考试成绩占70%, 平时成绩占30%.
28.04.2020
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 逻辑：是研究推理的科学。公元前四世纪由希腊的 哲学家亚里斯多德首创。作为一门独立科学，十七 世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符 号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。
➢ 因此，离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言（续）
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支， 是计算机科学与技术的理论基础，是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般是有限个或可 数个元素，因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。
左孝凌离散数学课件
组合数学的应用实例
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组合公式
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表示阶乘。
组合数学的基本概念
C(n, k) = C(n, n-k)，C(n+1, k) = C(n, k) + C(n, k-1)等。
组合数的性质
∑(k=0~n) C(n, k)x^(n-k)y^k = (x+y)^n。
帕斯卡恒等式
详细描述
图的应用实例
04
离散概率论
在离散随机试验中，每个样本点发生的可能性可以用一个实数表示，这个实数就是离散概率。
离散概率
由样本空间和概率函数组成，描述离散随机试验的所有可能结果及其对应的概率。
离散概率空间
如果两个事件之间没有相互影响，则称这两个事件是独立的。
独立性
离散概率的基本概念
如果两个事件互斥，则它们同时发生的概率为各自概率的和。
02
集合论
总结词
详细描述
总结词
详细描述
总结词
详细描述
集合是离散数学中的基本概念，它是由确定的、不同的元素所组成的。
集合是由确定的、不同的元素所组成的，这些元素之间具有某种共同特征或属性。例如，所有自然数可以组成一个集合，所有三角形也可以组成一个集合。
集合的表示方法通常使用大括号 {} 或方括号 []，例如 A = {1, 2, 3} 表示一个包含三个元素的集合。
抽样调查
通过抽样调查来估计总体特征时，可以使用离散概率来计算样本的代表性。
赌博游戏
在赌博游戏中，庄家和玩家各自有赢的概率，这些概率可以用离散概率来表示。
离散数学及应用
2020/1/26
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第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing机的产生，十年后，第一台电子计算 机问世。
从广义上讲，数理逻辑包括四论、两演算— —即集合论、模型论、递归论、证明论和命 题演算、谓词演算，但现在提到数理逻辑， 一般是指命题演算和谓词演算。本书课程只 研究这两个演算。
计算机科学与技术学院
引 言（续）
数理逻辑：人工智能，数据库，形式语言及自动机， 高级程序设计语言。
集合论： 信息结构与检索，数据结构。 图论： 可计算性理论，计算机网络,数据结构。 代数结构：开关理论，逻辑设计和程序理论，语法
分析。 2. 通过学习离散数学，可以培养和提高自己的抽象思
维和逻辑推理能力，获得解决实际问题能力，为以 后的软、硬件学习和研究开发工作，打下坚实的数 学基础。
版） (美)Kenneth H.Rosen 著 机械工业出版社
2020/1/26
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引 言（续）
七、考核方式： 期末考试成绩占70%, 平时成绩占30%.
2020/1/26
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第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
逻辑：是研究推理的科学。公元前四世纪由希腊的 哲学家亚里斯多德首创。作为一门独立科学，十七 世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符 号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。
展创建新的理论，就要寻找合适的数学工具。
例：为了描述新开拓的应用领域中的各
种数据的结构，就需要适宜的数学工具。
离散数学 引言
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引
言（续）
2 课前预习，熟读教材。通过预习和熟读教材， 结合实例来准确理解各个概念和定理的含义及定 理的推理过程。 3 独立思考，大量练习,善于总结和归纳。通过大 量练习和独立思考来加深对该课程中的一些基本 概念和定理的理解，逐步提高自己的抽象思维和 逻辑推理能力，通过总结和归纳最终将书本上的 知识转化成你自己的知识。
计算机与通信工程学院
引
言（续）
二、该课程的主要内容：
离散数学课程的主要内容分为四个部分： 数理逻辑，包括命题逻辑和谓词逻辑(教材的第一、二章) 集合论，包括集合、关系和函数（教材的第三、四章） 。 代数系统，包括代数系统的一般概念，几类典型的代数系 统和格（教材的第五、六章） 。 图论，包括图的基本概念，几种特殊的图(教材的第七章)。
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引
言（续）
数理逻辑：人工智能，数据库，形式语言及自动机， 高级程序设计语言。 集合论： 信息结构与检索，数据结构。 图论： 可计算性理论，计算机网络,数据结构。 代数结构：开关理论，逻辑设计和程序理论，语法 分析。
2. 通过学习离散数学，可以培养和提高自己的 抽象思维和逻辑推理能力，获得解决实际问 题能力，为以后的软、硬件学习和研究开发 工作，打下坚实的数学基础。
引 言（续）
2019/3/14
计算机与通信工程学院
2019/3/14
计算机与通信工程学院
引
言（续）
六、考核方式
平时成绩占30%，期末考试成绩占70%. 平时成绩：由出勤成绩和作业成绩组成 作业每周一交。
七、教学网站
http://202.113.75.6→精品课程→离散数学 或http://202.113.75.6/lssx
离散数学的基础知识及其应用
离散数学的基础知识及其应用离散数学是数学的一门分支，它研究的是离散对象的性质及其相互关系，它主要包括离散结构、离散函数和离散过程三个方面。
离散数学在现代计算机科学和信息科学领域中有着非常广泛的应用，它为我们理解现代计算机相关技术提供了基础。
一、离散结构离散结构是离散数学研究的重要内容之一，它主要研究离散对象的结构性质及其相互关系。
离散对象包括有限集、排列组合、图论、树、关系等等。
其中，有限集是离散结构研究中的基本对象，其运算和关系是研究其他离散对象的基础。
例如，在计算机科学中，二进制位就可以看作一个有限集，其元素是“0”和“1”，用于描述数据的存储和处理等。
排列组合是离散结构研究的另一个重要分支，它主要研究有序排列和组合的问题。
排列指的是从n个不同元素中取出m个元素进行排列，按一定顺序排列的方案总数，记作A(n,m)，其中n>=m>=0；组合指的是从n个不同元素中取出m个元素进行组合，不考虑顺序的方案总数，记作C(n,m)，其中n>=m>=0。
排列组合的应用非常广泛，例如在计算机编程中，排列组合算法可以用于产生一些随机的数字组合，以保证计算机程序的安全和难以破解。
图论是离散数学中一个非常重要的分支，它主要研究图的性质及其算法。
图是由一些点和连接这些点的边组成的。
图分为有向图和无向图，其中有向图指的是每一条边都有方向，无向图则没有方向。
图论的研究方法主要是最短路径算法、最小生成树算法等，这些算法在网络优化、社交网络等方面都有着广泛的应用。
例如，在社交网络中，我们可以使用图论中的二分图匹配算法，将人们按照某些规则分为两部分，然后在两部分中各自进行互动。
二、离散函数离散函数是离散数学中的另一个重要研究内容，它主要研究函数和映射的性质及其相互关系。
离散函数是一个有限或可数集合和另一个有限或可数集合之间的映射，而离散函数的研究方法主要是代数方法和组合方法。
代数方法主要研究离散函数的基本性质和代数运算，例如函数的奇偶性、函数的对称性等等。
离散数学及应用 第3版 第2章 谓词逻辑
2.1个体词、谓词与量词
（3）∃x∀yP(x,y)，其中D = {1,2,3}，谓词P(x,y) : x = y 解：∃x∀yP(x,y)=∀yP(1,y)∨∀yP(2,y)∨∀yP(3,y)
=(P(1,1)∧P(1,2)∧P(1,3))∨(P(2,1)∧P(2,2)∧P(2,3)) ∨(P(3,1)∧P(3,2)∧P(3,3)) =(1∧0∧0)∨(0∧1∧0)∨(0∧0∧1) =0
2.1个体词、谓词与量词
存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 x 表示在个体域中存在x 设P (x)是以D为个体域的一元谓词， xP(x) = 0 :对任意的x ∈ D,P(x)取值0 xP(x) = 1 :存在a ∈ D,P(a)取值1
➢ 设D = {a1,···,an}是有限个体域， ∃xP(x) = P(a1)∨P(a2)∨···∨P(an)
所以，∃x∀yP(x,y)与∀y∃xP(x,y)值不相同。
2.1个体词、谓词与量词
例2.3 在谓词逻辑中将下列命题符号化 (1) 人人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取二个不同的个体域 (a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 .
(a) (1) 设G(x): x爱美, 符号化为 x G(x) (2) 设T(x): x用左手写字, 符号化为 xT(x)
(b) 设F(x): x为人，G(x): x爱美 T(x): x用左手写字 (1) x (F(x)G(x)) (2) x (F(x)T(x))
这是两个基本公式, 注意它们的使用
2.1个体词、谓词与量词
例2.4 在谓词逻辑中将下列命题符号化
(1) 正数都大于负数
(2) 有的无理数大于有的有理数
注意: 题目中没给个体域, 使用全总个体域
离散数学及应用课件
离散数学及应用课件离散数学是数学的一个重要分支，它研究的是数学离散对象，如集合、图、树、数等。
它涵盖了一系列丰富而又有深度的主题，包括集合论、图论、数论、逻辑学等。
这些主题不仅在数学领域有着广泛的应用，也在计算机科学、物理学、经济学等多个领域有所涉及。
一、离散数学的主要内容1、集合论：集合论是离散数学的基础，它研究的是集合及其性质和运算。
集合论中的基本概念包括元素、集合、子集、并集、交集、补集等。
2、图论：图论是离散数学中一门研究图形和网络结构的学科。
图论中的基本概念包括节点、边、路径、环、子图等。
图论在计算机科学、电子工程、交通运输等领域都有广泛的应用。
3、数论：数论是研究整数性质和运算的学科。
数论中的基本概念包括整数、素数、合数、约数、倍数等。
数论在密码学、计算机科学等领域有着重要的应用。
4、逻辑学：逻辑学是研究推理和证明的学科。
逻辑学中的基本概念包括命题、推理、证明、反证等。
逻辑学在人工智能、哲学、法学等领域有着广泛的应用。
二、离散数学的应用1、计算机科学：离散数学在计算机科学中的应用广泛而重要。
例如，图论被用于解决计算机科学中的一些基本问题，如排序问题、旅行商问题等。
离散数学还在计算机科学的其他领域有所应用，如算法设计、数据结构、数据库系统等。
2、物理学：离散数学在物理学中的应用也十分广泛。
例如，量子力学和统计力学的理论框架中都有离散数学的影子。
离散数学还在固体物理学、分子物理学等领域有所应用。
3、经济学：离散数学在经济学中的应用也日益增多。
例如，离散数学被用于研究金融市场中的复杂行为，以及分析经济数据的模式和趋势。
离散数学还在博弈论、决策理论等领域有所应用。
三、总结离散数学作为数学的一个重要分支，其理论和应用已经渗透到科学的各个领域。
学习和研究离散数学，不仅可以增强我们的数学素养，还可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
因此，我们应该重视离散数学的学习和应用。
离散数学是数学的一个重要分支，它研究的是离散量的结构及其相互关系。
[汇总]离散数学及其应用
![[汇总]离散数学及其应用](https://img.taocdn.com/s3/m/60e7355fe55c3b3567ec102de2bd960590c6d9cf.png)
离散数学与其他学科之间的联系摘要：离散数学，又称为组合数学。
离散数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。
计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是离散数学。
离散数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。
它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
关键词：离散数学电路设计软件技术人工智能应用等1、离散数学的相关介绍1.1离散数学的简介离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机类专业的重要课程。
它以研究离散量的结构及其相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此离散数学可以充分描述计算机学科离散性的特点。
由于离散数学在计算机科学中的重要作用，国内外几乎所有大学的计算机类专业的教学计划中都将其列为核心课程进行重点建设，它是其他骨干课程，如数据结构、操作系统、人工智能、计算机网络、软件工程、编译原理等的先修课程，国内许多大学将其作为计算机专业类研究生入学考试的内容。
1.2离散数学的发展20世纪的计算机出现，带动了世界性的信息革命的伟大进程。
计算机科学在信息革命中的学科地位有如牛顿力学在工业革命中的学科地位一样，由计算机出现带动的信息革命当然计算机科学将起着主导的作用。
随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
离散数学及其应用第一章
用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
q：2 + 5 = 7，则 q 的真值为1
6
否定联结词与合取联结词
定义1.1 设 p为命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称 为p的否定式，记作p，符号称作否定联结词. 规定p 为真当且仅当p为假.
pq
qp
00
1
01
0
10
1
11
1
(qp)q
0 0 0 1
(qp)qp
1 1 1 1
成真赋值:00,01,10,11; 无成假赋值
24
真值表3
(3) C＝ (pq)q的真值表
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
设 p: 2是无理数，q: 3是奇数，
r: 苹果是方的， s: 太阳绕地球转 则复合命题 (pq) ((rs) p) 是假命题. 联结词的运算顺序：, , , , , 同级从左到右顺序进行. ( )最先, 按从内到外顺序进行.
16
1.2 命题公式及其赋值
命题变项与合式公式 命题变项 合式公式 合式公式的层次 公式的赋值 公式赋值 公式类型 真值表
真值表的用途: 求出公式的全部成真赋值与成假赋值, 判断公式的类型
26
第一章 习题课
主要内容 命题、真值、简单命题与复合命题、命题符号化 联结词, , , , 及复合命题符号化 命题公式及层次 公式的类型 真值表及应用
基本要求 深刻理解各联结词的逻辑关系, 熟练地将命题符号化 会求复合命题的真值 深刻理解合式公式及重言式、矛盾式、可满足式等概念 熟练地求公式的真值表，并用它求公式的成真赋值与成假
离散数学及其应用外文翻译原文和译文
本科毕业设计(论文)外文翻译译文学生姓名: 韩迎飞院 (系): 理学院专业班级: 信息0901班指导教师: 刘晓莉完成日期: 2013 年 3月20 日离散数学及其应用Discrete Mathematics and Its Applications作者: Kenneth H.Rosen起止页码:115-122, 641-758出版日期(期刊号):2008.3.1出版单位:机械工业出版社2 基本结构:集合介绍在本节中, 我们研究离散结构的基础, 即集合. 集合是用在一起的组的对象. 一般情况下, 是一组有相似的性质对象. 例如所有的学生; 在学校招收的学生组成一组. 在离散数学中, 同样的, 在任何学校所有的学生学习课程也可以组成一组, 形成一个集合. 语言是一种方式, 集合是在一个有组织的方式上进行研究的. 现在给一个直观的定义, 它不属于正式集合论.定义1一个无序的一组对象定义为集合A, 其中的对象称为元素或集合的成员. 用aA 表示a是集合A当中的元素.用 aA表示元素a不是集合A当中的元素. 集合一般是使用大写字母来表示. 小写字母通常用来表示集合的元素.下面有几种方法来描述集合.第一种方法列举法: 可以列出所有的集合成员, 当然前提是这些元素都是可列的. 我们用一个符号, 将所有的成员都列在大括号之间就构成集合. 例如符号 a, b, c, d 代表四种元素的集合. 这种方式描述一组被称为列举法.例1 元音字母在英文字母可以写成集合V a, e, i, o, u .例2 正整数集合O小于10的奇数集合可以表示为O 1, 3, 5, 7, 9 .例3 虽然集合元素通常是一组有相似性质的对象, 但有时候也可以是一组看似无关的元素. 例如a, 2, 弗雷德,新泽西是一组包含四元素a, 2, 弗雷德和新泽西.有时列举法用于描述所有没有清单的一组成员. 例如一些成员已经列出的集合, 然后省略号……. 用在通用模式的元素是显而易见的.例4 一组小于100的正整数可以用 1, 2, 3,……, 99 .另一种方法是一组使用集合构造符号的描述. 例如正整数集合O小于10的奇数集合可以表示为O x | x是一个小于10的奇数 ; 或O xZ + | x 是奇数和x 10 . 当它是不可列出的元素集合时, 我们经常使用这种类型的符号来描述集合. 例如, 集合Q +有理数可以写成Q+ x∈R | x p / q, 对于一些正整数p和q .这些集合, 每个使用黑体字表示字母,在离散数学扮演重要的角色:N 0, 1, 2, 3,……,自然数集合;Z ……,?2, - 1, 0, 1, 2,……,整数的集合;Z + 1, 2, 3,……, 正整数集合;Q p / q | p, qZ ,q≠0 , 有理数集合;R, 实数集合;R +, 正实数集合;C, 复数集合.注意, 有些人并不认为0一个自然数, 使用自然数时候要小心.当a和b是实数并且a b, 我们写成:[a, b] x |a≤x≤b[a, b x |a≤x ba, b x | a x≤ba, b x | a x b注意: [a, b]称为从a到b的闭区间; a, b称为从a到b的开区间. 集合可以有其它集合作为其元素, 如例5所示.例 5 集合 N, Z, Q, R 是一组包含四个元素, 都是集合. 这四个元素的集合是: 自然数的集合N; 整数集合Z; 有理数集合Q和实数集合R.定义2 两个集合相等当且仅当它们具有相同的元素. 因此, 如果A和B 是两个集合, 它们相等, 当且仅当xxA?xB,我们写A B 如果A和B是相等的集.例6 集 1, 3, 5 和 3, 5, 1 都是相等的, 因为他们有相同的元素.注意, 集合与元素列出的顺序没关系. 还请注意, 如果有集合的一个元素出现超过一次, 如 1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5 和集合 1, 3, 5 , 它们是一样的集合, 因为它们有相同的元素. 空集是一个特别的集合, 没有元素. 用?表示. 空集也可以用即我们用一对大括号表示空集. 一个常见的错误是混淆空集?和集?. 集?这是一个单例集. 单一元素的集合?是空集本身. 用一个类比来记住这个区别: 在计算机文件夹里.空集可以被认为是一个空的文件夹, 单例集可以被认为是一个文件夹里面正好有一个空的文件夹.维恩图另外,可以使用维恩图以图形方式表示集合. 在1881年, 维恩图以英国数学家John Venn命名的, 其中介绍了维恩图的使用. 在维恩图的通用集U中, 包含所有的对象, 一般用一个矩形来表示.矩形、圆形或其他几何图形也被用来代表集合. 维恩图通常用于表示集合之间的关系. 如例7展示的就是一个维恩图.例7 画一维恩图用V表示,在英文字母中集合用元音字母.解决方案:我们绘制一个矩形来表示通用集U, 这是组26个英文字母. 在这个矩形我们画一个圆代表V. 在这个圈子, 我们指示V点元素见图1.图1维恩图元音集合.子集定义3 一个集合A是另一个集合B的子集;当且仅当A的每个元素也是B 的元素. 我们使用符号AB表示B集合的子集A. 当AB时,有对于xxA→xB是正确的. 若A不是B的子集, 我们只需要找到一个元素xA与xB这样的一个x, 举出一个反例来.我们有这样一个有用的规则可以决定是否有一个集合是另一个集合的子集.例8 集合的正整数奇数不到10是正整数小于10的集合的一个子集. 有理数集合是的实数集合的一个子集, 在你学校的所有的计算机科学专业学生集合是在你的学校所有的学生集合的一个子集.图2 维恩图显示, 集合A是集合B的子集.定理1证明每个非空集S能保证至少有两个子集, 空集和其本身, 即?和S.定理1 对于任意一个非空集合S, i?S 和 iiSS现在有A ?,a, b , a, b 和b x | x是集合 a, b 的子集. 请注意, 这两个集合相等, 即A B. 还要注意, aA但aA.幂集合一些问题当考虑一些集合元素有一些特定的性质时候, 就可以知道得到一个含有它的子集的集合.定义6 给定一个集合S, S的幂集是S的子集的集合S所组成的集合. 用PS.例14 什么是集合 0, 1, 2 的幂集?解幂集P 0, 1, 2 是集 0, 1, 2的子集的元素集合组成的. 因此, P 0, 1, 2 ?, 0 , 1 , 2 , 0,1 , 0,2 、 1,2 , 0、1、2 . 注意, 空集和集合本身是这个集合子集的成员.例15 什么是空集的幂集吗?什么是集合?幂集解空集是空集的子集,即空集的子集是其本身. 因此,P? ?. 集合?正好有两个子集, 即?和集合?, 也就是它本身. 因此, P? ?, ? . 如果有n个元素组成的集合, 那么它的幂集有个元素. 在后续部分的文章当中,将从好几个方面展示这个事实.10 图10.1 图和图形我们首先定义一个图.定义1 设V和E是两个有限非空集合, V中的元素叫做节点(或顶点), E 中的元素叫做边, 且E中的每一条边恰好与V中的两个节点相对应, 就称G V, E是一个图. 边是连接着它的顶点的注意: 顶点集合V在图G上可能是无限的.一个图有无限的顶点的或无限数量的边, 这样的图被称为无限图. 相比之下, 一个图的顶点集与有限边的集合构成的图称为有限图. 在这本书中我们一般研究有限图.定义2 有向图V, E由一个非空的顶点集合V和一组定向边或弧集合E, 每个有向边都关联一个有序对顶点. 有向边关联有序端点u, v, 也就是说当描述一个有向图和无向图时, 一般使用一个箭头从u →v指示方向表示有向图, 从u 开始到v的结束. 一个有向图可能包含多重边, 也它可能包含多个定向边. 也就是说, 当一个有向图包含一个边, 它还可能包含一个或多个边. 这里可以获得一个有向图一般只要给一个无向图指定一个方向就可以成为一个有向图如果一个图没有自环, 并且每两个顶点之间最多只有一条边, 这样的图称为简单图.,我们称u, v为边.10.2 图的术语和特殊类型的图介绍基本术语首先, 我们给一些术语, 描述顶点和边的无向图.定义1 在无向图中, 若边e与节点a, b对应, 则称e与节点a关联, 同样, e与b关联. 若节点a和b之间有边连接, 则称节点a与b相邻, 否则不相邻. 若两条边关联一个共同的节点, 则称这两个边相邻, 否则, 若两条边不同时与任何一个节点关联, 则称这两个边不相邻定义 3 一个无向图的一个顶点的度,一般一个重边在一个顶点的度的贡献两次, 这里v顶点的度用degv表示.例1 在G和H图中各个顶点的度是多少?解在G图中, dega 2, degbdegcdegf 4, degd 1, dege 3, degg 0. 在H图中, dega 4, degbdege 6, degc 1, degd 5图1 一个顶点的度为零称为孤立点. 由此可见, 一个孤立的顶点是不相邻于任何顶点. 图G 中的顶点g在图1中就是孤立的. 若顶点是悬挂点, 当且仅当它有一个度. 因此,一个悬挂点只有一条边与它关联. 图H的顶点c在图1中就是悬挂点. 在检查顶点的度的时候, 一个模型图可以很直观地提供有用的信息.定理1 现有G V,E是一个无向图与m条边. 然后可以得到.注意,即使多个重边这里也存在这样的关系.例3 在一个有十个顶点, 每个顶点的度为6的图中有多少边呢?解因为6个顶点的度之和是6 * 10 60, 而2 m 60, m是边数. 因此, m 30 有这个例题和定理1, 可以给出定理2。
离散数学的基本概念与应用
离散数学的基本概念与应用离散数学是数学的一个分支，它研究离散的数值和结构，与连续数学相对。
离散数学的基本概念和应用广泛存在于计算机科学、信息技术、密码学等领域。
本文将介绍离散数学的基本概念和其在现实世界中的应用。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是元素的集合和集合之间的关系。
在集合论中，基本的概念有元素、集合、子集、交集、并集等。
例如，一个班级中的学生可以看作是一个集合，每个学生是一个元素。
而男生和女生可以分别看作是学生集合的子集。
集合论在编程、数据库设计等领域有广泛的应用。
二、逻辑与命题逻辑是研究推理和证明的学科。
在离散数学中，逻辑的应用非常重要。
其中，命题是逻辑中的基本概念，它是可以判断真假的陈述。
命题可以通过与、或、非等逻辑运算符进行组合，形成复合命题。
逻辑在电路设计、软件开发等领域起着重要的作用。
三、图论图论研究的是由节点和边构成的图形结构。
图形中的节点可以是任意对象，边表示节点之间的关系。
图论的基本概念包括图、路径、连通性等。
例如，在社交网络中，每个人可以看作是一个节点，人与人之间的关系可以用边表示。
图论在网络分析、交通规划等方面有着广泛的应用。
四、组合数学组合数学研究的是离散对象的排列和组合。
它涉及到的概念有排列、组合、二项式系数等。
在密码学中，组合数学被广泛应用于生成密钥、实现加密算法等方面。
此外，组合数学还在网络优化、统计学等领域中有重要的应用。
五、概率论与统计学概率论与统计学是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是事件发生的可能性和事件之间的关系。
概率论是计算和描述随机事件的学科，统计学是通过样本数据对总体进行推断和决策的学科。
概率论和统计学在金融风险评估、医学研究等领域发挥着关键作用。
六、离散数学的应用举例离散数学在现实世界中有广泛的应用。
以计算机科学为例，离散数学的概念和方法被应用于算法设计、数据库管理、图像处理、人工智能等方面。
另外，在通信和网络领域，离散数学被用于设计和分析网络协议、编码和解码等。
离散数学的基本概念及其应用
离散数学的基本概念及其应用离散数学：基本概念与广泛应用一、引言在现代科技与学术研究的广阔领域，离散数学以其独特的逻辑严谨性和解决问题的精确性，扮演着至关重要的角色。
它是一门研究离散结构和对象的数学分支，从基本概念出发，探讨集合论、图论、逻辑推理等核心内容，为计算机科学、信息论、密码学等众多学科提供了理论基础。
本文将深入解析离散数学的基本概念，并探讨其在实际中的广泛应用。
二、离散数学的基本概念1. 集合论：离散数学的基石，研究对象包括点、元素、集合等。
集合的特性如无序性、互异性、确定性等，是后续理论的出发点。
2. 点集与集合运算：点集是离散数学中的基本单位，通过并集、交集、补集等基本运算，构建出更复杂的结构。
3. 图论：研究离散结构的网络形式，包括点、边、连通性、路径等概念，是计算机科学中的核心工具。
4. 逻辑推理：包括布尔代数、蕴含、蕴涵反证法等，是证明和理解离散系统行为的关键。
5. 计数与概率：离散数学中的基本概念，如二进制、组合数学等，为数据处理和统计分析提供理论支持。
三、离散数学的应用1. 计算机科学：算法设计、数据结构、编译原理等领域的基础，如图算法、排序算法等。
2. 通信与网络：网络拓扑分析、路由选择、密码学（如RSA算法）等。
3. 信息论：熵、信息编码、信息传输等，为数据压缩和通信标准提供理论依据。
4. 统计学与概率论：离散随机变量、概率分布、贝叶斯网络等，为数据分析提供数学工具。
5. 人工智能：逻辑推理、搜索算法、游戏策略等，是AI理论和应用中的重要组成部分。
四、离散数学的挑战与未来尽管离散数学在各个领域有着广泛的应用，但其理论的深度和复杂性仍需不断探索。
随着计算能力的提升和数据量的爆炸性增长，如何高效处理离散结构，优化算法，将是未来研究的重要方向。
五、结语离散数学，以其独特的视角和强大的工具，为理解和解决现实世界中的问题提供了有力的理论支持。
深入理解和掌握这一学科，将有助于我们更好地应对复杂问题，推动科技的进步。
离散数学及其应用(第2版)
离散数学是计算机科学、电子工程、数学工
程等多个领域中必备的基础课程。
本书《离
散数学及其应用》第2版是被广泛使用的教材，它采用了清晰的教学方式和生动的实例，深入浅出地介绍了离散数学的基本概念、方
法和技巧，为学生提供了一种系统化的方法
来解决离散问题。
本书包含了大量的例题和习题，既有较为基
础的内容，也有一些较为高级的内容。
它包
括了算法、图论、逻辑、布尔代数、关系代
数和集合论等多个方面，深入掌握这些知识，将有助于读者在计算机和工程领域的实际应
用中快速解决实际问题。
此外，本书也包含有一些扩展的内容，例如确定有限自动机（DFA）、上下文无关语法（CFG）、正则表达式和语言等，在很多实际问题中这些内容也是非常重要的。
离散数学应用
离散数学应用离散数学是数学中的一个分支，研究的是离散对象和离散性质。
它涉及的领域非常广泛，包括逻辑、图论、集合论、代数、组合数学等等。
离散数学的理论不仅仅是为数学本身服务，更为许多实际应用提供了基础和支持。
在本文中，我们将探讨离散数学在实际应用中的一些具体案例和重要作用。
图论是离散数学中的重要分支，它研究的是图及其性质。
图是由节点和边组成的，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论在计算机科学、网络分析、社交网络等领域具有广泛的应用。
例如，在社交网络中，图论可以用来分析用户之间的关系，发现社群结构，预测用户行为等。
在计算机科学中，图论被用来解决诸如最短路径问题、流网络问题、最小生成树等等。
逻辑是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是推理和推断的规则。
逻辑在计算机科学、人工智能等领域有着广泛的应用。
例如，在计算机程序设计中，逻辑可以用来描述和验证程序的正确性。
在人工智能领域，逻辑被用来进行知识表示和推理。
逻辑的应用可以提高计算机系统的可靠性和智能化程度。
组合数学是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是离散对象的组合与排列。
组合数学在密码学、编码理论、排列组合优化等领域具有广泛的应用。
例如，在密码学中，组合数学被用来设计和分析密码算法，保护通信的安全性。
在编码理论中，组合数学可以用来设计错误检测和纠正的编码方案，提高数据传输的可靠性。
在排列组合优化中，组合数学被用来解决优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
集合论是离散数学的基础，它研究的是元素的集合及其性质。
集合论在数学基础理论、数据库设计、概率统计等领域有着广泛的应用。
例如，在数据库设计中，集合论可以用来描述数据的关系和约束，实现数据的查询和管理。
在概率统计中，集合论被用来描述随机事件和概率的关系，进行概率推断和统计分析。
通过上面的例子，我们可以看到离散数学在实际应用中的广泛作用。
它不仅仅是数学领域的一门学科，更是其他科学和工程领域的重要基础和工具。
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引 言（续）
数理逻辑：人工智能，数据库，形式语言及自动机， 数理逻辑：人工智能，数据库，形式语言及自动机， 高级程序设计语言。 高级程序设计语言。 集合论： 信息结构与检索，数据结构。 集合论： 信息结构与检索，数据结构。 图论： 可计算性理论，计算机网络,数据结构 数据结构。 图论： 可计算性理论，计算机网络 数据结构。 代数结构：开关理论，逻辑设计和程序理论， 代数结构：开关理论，逻辑设计和程序理论，语法 分析。 分析。 2. 通过学习离散数学，可以培养和提高自己的抽象思 通过学习离散数学， 维和逻辑推理能力，获得解决实际问题能力， 维和逻辑推理能力，获得解决实际问题能力，为以 后的软、硬件学习和研究开发工作， 后的软、硬件学习和研究开发工作，打下坚实的数 学基础。 学基础。
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引
言（续）
离散数学是现代数学的一个重要分支， 离散数学是现代数学的一个重要分支， 计算机科学与技术的理论基础， 与技术的理论基础 是计算机科学与技术的理论基础，是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。 科学与技术专业的核心、骨干课程。 它以研究离散量的结构和相互间的关系 它以研究离散量的结构和相互间的关系 离散量 有限个或 为主要目标，其研究对象一般是有限个 为主要目标，其研究对象一般是有限个或可 数个元素 因此它充分描述了计算机科学 元素， 计算机科学离 数个元素，因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点 的特点。 散性的特点。
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引 言（续）
四、教学要求： 通过该课程的学习， 通过该课程的学习 ， 学生应当了解并掌握计算 机科学中普遍采用的离散数学中的一些基本概念、 机科学中普遍采用的离散数学中的一些基本概念、 基本思想、基本方法。 基本思想、基本方法。 五、自学要求： 由于课时少，内容多且抽象，故要求课前预习， 由于课时少，内容多且抽象，故要求课前预习， 课后复习；认真完成习题，通过做课后习题， 课后复习；认真完成习题，通过做课后习题，来加 深对该课程中的一些基本概念的理解， 深对该课程中的一些基本概念的理解，逐步提高自 己的抽象思维和逻辑推理能力。 己的抽象思维和逻辑推理能力。 作业每星期一交， 作业每星期一交，作为平时成绩。
离散数学( 离散数学(Discrete Mathematics)
计算机科学与技术学院 （ School of Computer Science & Technology) 魏雪丽
2011-10-6 1
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引 言（续）
三、学习该课程的目的： 1. 为学习计算机后继课程 ， 如数据结构 、 为学习计算机后继课程， 如数据结构、 编译理论、操作系统、数据库原理、 编译理论、操作系统、数据库原理、形式语 言及自动机、软件工程与方法学、 言及自动机、软件工程与方法学、计算机网 络和人工智能、高级程序设计语言等， 络和人工智能、高级程序设计语言等，提供 必要的数学基础； 必要的数学基础；为阅读计算机文章作充分 的数学准备。 的数学准备。
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引
言（续）
故计算机各分支领域中的理论问题， 故计算机各分支领域中的理论问题，交 错地使用着现代数学的各种不同的论题。 错地使用着现代数学的各种不同的论题。 因为计算机系统从本质上说是一种离散 因为计算机系统从本质上说是一种离散 性的结构 ，它的许多性质可以在有限数学系 统的框架中来理解， 统的框架中来理解，从中选出一些必要而且 是基本的主干论题称为离散数学。 是基本的主干论题称为离散数学。 因此，离散数学是随着计算机科学 计算机科学的发 因此，离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 是一门新兴的工具性学科。 是一门新兴的工具性学科。
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引 言（续）
六、参考教材：
1.《离散数学及其应用》魏雪丽等编著 机械工业出版社 《离散数学及其应用》 2 .《离散数学》 左孝凌等著 上海科技文献出版社 《离散数学》 3. 《离散数学 — 理论 分析 题解》 左孝凌等著 理论·分析 题解》 分析·题解 上海科技文献出版社 4. 《Discrete Mathematics and Its Applications》 （英文 》 版） (美)Kenneth H.Rosen 著 机械工业出版社 美
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引
言一. 离散数ຫໍສະໝຸດ 与计算机 计算机开辟了脑力劳动机械化和自动化的新 纪元。 纪元。 计算机的诞生， 计算机的诞生，人们就要为它进一步发 展创建新的理论，就要寻找合适的数学工具。 展创建新的理论，就要寻找合适的数学工具。 例：为了描述新开拓的应用领域中的各 种数据的结构，就需要适宜的数学工具。 种数据的结构，就需要适宜的数学工具。
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引 言（续）
二、该课程的主要内容： 该课程的主要内容： 离散数学课程的主要内容可以分为四个部分： 离散数学课程的主要内容可以分为四个部分： 数理逻辑，包括命题逻辑和谓词逻辑。(教材的第一、二章 教材的第一、 数理逻辑，包括命题逻辑和谓词逻辑。 教材的第一 二章) 集合论，包括集合、关系和函数。 教材的第三、四章） 集合论，包括集合、关系和函数。（教材的第三、四章） 代数系统，包括代数系统的一般概念， 代数系统，包括代数系统的一般概念，几类典型的代数系 统和格。 教材的第五、六章） 统和格。（教材的第五、六章） 图论，包括图的基本概念，几种特殊的图。 (教材的第七章 图论，包括图的基本概念，几种特殊的图。 教材的第七章) 教材的第七章
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引 言（续）
七、考核方式： 考核方式： 期末考试成绩占70%, 平时成绩占 平时成绩占30%. 期末考试成绩占
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