初等数论第2版习题答案(可编辑修改word版)

3 b

b b

3 b 第一章 §1

1 证明： a 1 , a

2 , a n 都是 m 的倍数。

∴存在 n 个整数 p 1, p 2 , p n 使 a 1 = p 1m 1 , a 2 = p 2 m 2 , , a n = p n m n

又 q 1, q 2 , , q n 是任意 n 个整数

∴ q 1a 1 + q 2 a 2 + + q n a n = ( p 1q 1 + q 2 p 2 + + q n p n )m

即 q 1a 1 + q 2 a 2 + + q n a n 是 m 的整数

2 证： n (n + 1)(2n + 1) = n (n + 1)(n + 2 + n - 1)

= n (n + 1)(n + 2) + (n - 1)n (n + 1)

6 / n (n + 1)(n + 2),6 /(n - 1)n (n + 1)

∴ 6 / n (n + 1)(n + 2) + (n - 1)n (n + 1)

从而可知

6 / n (n + 1)(2n + 1)

3 证： a , b 不全为0

∴在整数集合 S = {ax + by | x , y ∈ Z }中存在正整数，因而

有形如 ax + by 的最小整数 ax 0 + by 0

∀x , y ∈ Z ，由带余除法有 ax + by = (ax 0 + by 0 )q + r ,0 ≤ r < ax 0 + by 0

则 r = (x - x 0 q )a + ( y - y 0 q )b ∈ S ，由 ax 0 + by 0 是 S 中的最小整数知 r = 0

∴ ax 0 + by 0 / ax + by

ax 0 + by 0 / ax + by ∴ ax 0 + by 0 /(a , b ).

∴(a , b ) / ax 0 + by 0

下证 P 8 第二题

（ x , y 为任意整数）

又有(a , b ) / a ,(a , b ) / b 故 ax 0 + by 0 = (a , b )

∴ ax 0 + by 0 / a , ax 0 + by 0 / b

4 证：作序列 ,-

,- b ,- ,0, , b , 2 2 2 2

, 则 a 必在此序列的某两项之间

q 2 b b b 0 即存在一个整数 q ，使 b ≤ a <

b 成立

(i) 当 q 为偶数时，若b > 0. 则令 s = q , t = a - bs = a - q

b ，则有

2 0 ≤ a - bs = t = a - q

b = a - b < 2 2

b ∴ t < 2

若b < 0 则令 s = -

q , t = a - bs = a + 2 q b ，则同样有 t < 2 2

(ii) 当 q 为奇数时，若b > 0 则令 s = q + 1 , t = a - bs = a - q + 1

b ，则有

2 2

- ≤ t = a - bs = a - q + 1 b = a - q + 1

b < 0 ∴ t ≤ 2

若 b < 0 ，则令 s = - 2 q + 1

2

2

, t = a - b s = a + 2

q + 1 b 2

则同样有 t ≤

2

综上 存在性得证 下证唯一性

当b 为奇数时，设 a = bs + t = bs 1 + t 1 则 t - t 1

= b (s 1 - s ) > b

而 t ≤

, t 1 ≤

∴ t - t 1 ≤ t + t 1 ≤ b 矛 盾 故 s = s 1 , t = t 1

2

2

b

当b 为偶数时， s , t 不唯一，举例如下：此时 为整数

2

3 ⋅ b = b ⋅1 + b = b ⋅ 2 + (- b ), t = b , t ≤ b 2 2 2 1 2 1 2

a = bs 1 + t 1 = bs 2 + t 2 , t 2

= - b , t ≤ b 2 2 2

5.证：令此和数为 S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数 M ，使 MS 不是整数，从而证明 S 不是整数

（1） 令 S=1 + 1 + 1 + 1 + + 1

，取 M= 2k -1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 p 这里 k 是使2k ≤ n 最大

2 3 4 n

整数，p 是不大于 n 的最大奇数。则在 1，2，3，┄，n 中必存在一个 n = 2k ， 所以

MS= M + M

2

+

M + + M

3 n 0

+ + M

n

由 M= 2k -1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 p 知

M ，

M

, , M 必为整数， M

= 3 ⋅ 5 ⋅ 7 p 显 2

3 n n 0 2

q 2 q + 1

2

q 2 b b b b

然不是整数，

∴MS 不是整数，从而 S 不是整数

（2） 令 M= 3k -1 ⋅ 5 ⋅ 7 (2n - 1) 则 SM= M

3 + M

+ + 5

M + 2n - 1

M

，

2n + 1 由 M= 3k -1 ⋅ 5 ⋅ 7 (2n - 1) 知 M , M , , M

，而

3 5 2n - 1

M =

3k -1 ⋅ 5 ⋅ 7 (2n - 1) 2n + 1

2n + 1

不为整数

∴SM 不为整数，从而

S = 1 + 1 + + 1 也不是整数 3 5 2n + 1

第一章 §2

1. 证：设 d ' 是 a ，b 的任一公因数，∴ d ' |a ， d ' |b

由带余除法

a = bq 1 + r 1 ,

b = r 1q 2 + r 2 , , r n -2 = r n -1q n + r n , r n -1 = r n q n +1 ,0 = r n +1 ≤ r n < r n -1 < < r 1 < b

∴ (a , b ) = r n 。

∴ d ' | a - bq 1 = r 1 ， d ' | b - r 1q 2 = r 2 ，┄,

d ' | r n -2 = r n -1q n + r n = (a , b ) ,

即 d ' 是(a , b ) 的因数。

反过来(a , b ) | a 且(a , b ) | b ，若 d ' | (a , b ), 则 d ' | a , d ' | b ，所以(a , b ) 的因

数都是 a , b 的公因数，从而 a , b 的公因数与(a , b ) 的因数相同。

2. 见本书 P2，P3 第 3 题证明。

b 3. 有§1 习题 4 知： ∀a , b ∈ Z , b ≠ 0, ∃s , t ∈ Z , 使

a = bs + t , | t |≤ 。，

2

∴∃s , t ，使b = s t + t ,| t |≤ | t | ≤ b

, , 如此类推知：

1 1 1 1 1

2 22

∃s n , t n , t n -2 = t n -1 s n + t n ;

| t |≤ | t n -1 | ≤ | t n -2 | ≤ ≤ | t | ≤ | b |

∃s n +1 , t n +1 , t n -1 = t n s n +1 + t n +1 ; 且

n 2 22

2n 2n +1 而 b 是一个有限数，∴∃n ∈ N , 使t n +1 = 0

∴(a , b ) = (b , t ) = (t , t 1 ) = (t 1 , t 2 ) = = (t n , t n +1 ) = (t n ,0) = t n ，存在