数形结合思想方法

八、数形结合思想方法
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。

数形结合一是一个数学思想方法，应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系，其次是借助于数的精确性来阐明形的某些属性。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化。

Ⅰ、再现性题组：
1. 设命题甲：0<x<5；命题乙：|x －2|<3，那么甲是乙的_____。

（90年全国文）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2. 若log a 2<log b 2<0，则_____。

(92年全国理)
A. 0<a<b<1
B. 0<b<a<1
C. a>b>1
D. b>a>1
3. 如果|x|≤π4
,那么函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最小值是_____。

(89年全国文) A. 212- B. －212+ C. －1 D. 122
- 4. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。

(91年全国)
A.增函数且最小值为－5
B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5
D.减函数且最大值为－5
5. 设全集I ＝{(x,y)|x,y ∈R}，集合M ＝{(x,y)| y x --32
＝1}，N ＝{(x,y)|y ≠x ＋1}，那么M N ∪等于_____。

(90年全国)
A. φ
B. {(2,3)}
C. (2,3)
D. {(x,y)|y ＝x ＋1
6. 如果θ是第二象限的角，且满足cos θ2－sin θ2＝1-sin θ,那么θ2
是_____。

A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角
7. 已知集合E ＝{θ|cos θ<sin θ，0≤θ≤2π}，F ＝{θ|tg θ<sin θ}，那么E ∩F 的区间是_____。

A. (
π2,π) B. (π4,34π) C. (π, 32π) D. (34π,54
π) （93年全国文理） 8. 若复数z 的辐角为56
π，实部为－23，则z ＝_____。

A. －23－2ｉ B. －23＋2ｉ C. －23＋23ｉ D. －23－23ｉ
9. 如果实数x 、y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么y x
的最大值是_____。

(90年全国理) A. 12 B. 33 C. 32 D. 3 10. 满足方程|z ＋3－3ｉ|＝3的辐角主值最小的复数z 是_____。

【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。

Ⅱ、示范性题组：
例1. 若方程lg(－x 2＋3x －m)＝lg(3－x)在x ∈(0,3)内有唯一解，求实数m 的取值范围。

【解】 原方程变形为 30332->-+-=-⎧⎨⎩x x x m x 即：30212->-=-⎧⎨⎩x x m
() 设曲线y 1＝(x －2)2
, x ∈(0,3)和直线y 2＝1－m ，图像如图所示。

由图
可知：① 当1－m ＝0时，有唯一解，m ＝1; ②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m ≤0,
∴ m ＝1或－3<m ≤0
【注】 方程解、不等式解集、函数性质等的讨论，借助于图像直观解决，简单明了。

此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x 值）。

例2. 设|z 1|＝5，|z 2|＝2, |z 1－z 2|＝13，求z z 12的值。

【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。

【解】 如图，设z 1＝OA 、z 2＝后，则1＝OC 、2＝OD 如图所示。

由图可知，|z z 12
|＝52，∠AOD ＝∠BOC ，由余弦定理得：cos ∠AOD ＝5213252222+-()××＝45
∴ z z 12＝52(45±35ｉ)＝2±32
ｉ
【注】 复数问题可利用几何意义而几何化。

也可设复数的代数形式、三角形式转化成代数问题或三角问题，还可直接利用复数性质求解。

例3. 直线L 的方程为：x ＝－p 2 (p>0),椭圆中心D(2＋p 2
,0)，焦点在x 轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A 。

问p 在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离？
【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p 为何值时，以A 为焦点、L 为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。

【解】 由已知得：a ＝2，b ＝1, A(p 2
,0)，设椭圆与双曲线 y px x p y 22
222241=-++=⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪[()]…… 【注】 判别式法（注意解的范围）、定义法、数形结合法、转化思想、方程思想等知识综合运用。

例4. 设a 、b 是两个实数，A ＝{(x,y)|x ＝n ，y ＝na ＋b} （n ∈Z ），B ＝{(x,y)|x ＝m ，y ＝3m 2＋15} (m ∈Z)，C ＝{(x,y)|x 2＋y 2≤144}，讨论是否存在a 、b ，使得A ∩B ≠φ与(a,b)∈C 同时成立。

(85年高考)
【解】 由A ∩B ≠φ得：na ＋b ＝3n 2＋15 ;
设动点(a,b)在直线L ：nx ＋y ＝3n 2＋15上，且直线与圆x 2＋y 2＝144有公共点，
所以圆心到直线距离d ＝||315122
n n ++＝3(n 21+＋4
12n +)≥12 ∵ n 为整数 ∴ 上式不能取等号，故a 、b 不存在。

【注】 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法研究。

此题也属探索性问题用数形结合法解。

Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知5x ＋12y ＝60，则x y 22+的最小值是_____。

A. 6013 B. 135 C. 1312
D. 1 2. 已知集合P ＝{(x,y)|y ＝92-x }、Q ＝{(x,y)|y ＝x ＋b}，若P ∩Q ≠φ，则b 的取值范围是____。

A. |b|<3
B. |b|≤32
C. －3≤b ≤32
D. －3<b<32
3. 方程2x ＝x 2＋2x ＋1的实数解的个数是_____。

A. 1
B. 2
C. 3
D.以上都不对
4. 方程x ＝10sinx 的实根的个数是_______。

5. 若不等式m>|x －1|＋|x ＋1|的解集是非空数集，那么实数m 的取值范围是_________。

6. 设z ＝cos α＋
12ｉ且|z|≤1,那么argz 的取值范围是____________。

7. 若方程x 2－3ax ＋2a 2
＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a 的取值范围是______。

8. sin 2
20°＋cos 280°＋3sin20°·cos80°＝____________。

9. 解不等式： --x x 22>b －x
10. 设A ＝{x|<1x<3}，又设B 是关于x 的不等式组x x a x bx 2220250
-+-+⎧⎨⎪⎩⎪≤≤的解集，试确定a 、b 的取值范围，
使得A ⊆B 。

（90年高考副题）
11. 定义域内不等式2-x 〉x ＋a 恒成立，求实数a 的取值范围。

12. 已知函数y ＝()x -+112＋()x -+592，求函数的最小值及此时x 的值。

13. 已知z ∈C ，且|z|＝1，求|(z ＋1)(z －ｉ)|的最大值。

14. 若方程lg(kx)＝2lg(x ＋1)只有一个实数解，求常数k 的取值范围。