初一数学竞赛系列讲座9

初一数学竞赛系列讲座(9)

应用题（一）

一、一、知识要点

1、 1、 应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问

题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组。

2、 2、 列方程(组)解应用题的一般步骤是：

(1) (1) 弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数；

(2) (2) 找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；

(3) (3) 根据这个相等关系列出方程；

(4) (4) 解这个方程，求出未知数的值；

(5) (5) 写出答案(包括单位名称)。

3、行程类问题

行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。它们满足如下基本关系式： 速度⨯时间=路程

4、数字类问题

数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程。

解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x ，则相邻两

数分别为x-1、x+1；连续奇(偶)数，一般设中间数为x ，则相邻两数分别为x-2、x+2。

二、二、例题精讲

例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶

20千米，下坡时每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需21

7小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题)

分析 本题用方程来解简单自然。

解 设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，根据题意得方程组

⎪⎩⎪⎨⎧=+=+(2) 2172035(1)

93520y x y x

解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第

一个方程中x 的系数201恰好是第二个方程中y 的系数，而y 的系数351

也恰好是第二个方程中x 的系数)，也可以采用如下的解法：

(1)+(2)得

(x+y)( 201+351)=9+217

所以 x+y=21035120121

7

9=++ (3) (1)-(2)得 (x -y)( 201-351)=9-217

所以 x-y=7035120121

7

9=-- (4) 由(3)、(4)得 x=140270210=+

所以甲、乙两地间的公路长210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。

例2 公共汽车每隔x 分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一

辆公共汽车，而每隔72

4分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x 等于 分钟。(第六届迎春杯初赛试题)

分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为a 米/每秒，小宏速度为b 米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面ax 米处，它用6分钟追

上小宏。另一方面，当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面ax 米处，它经过72

4分钟与小宏相遇。由此可列出两个方程。

解：设汽车速度为a 米/每秒，小宏速度为b 米/每秒，根据题意得

⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=-=)(724)(6b a ax b a ax

两式相减得 12a=72b 即a=6b 代入可得x=5

评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动。解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意。

例3 摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息。司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了。问A 、B 两市相距多少千米？(第五届华杯赛决赛试题)

分析：本题条件中只有路程，没有时间和速度，因而应当仔细分析各段路程之间的关系。 解：如图，设小镇为D ，傍晚

汽车在E 休息 A D C E B

由已知， AD 是AC 的三分之一，也就是AD =21DC 又由已知，EB=21

CE

两式相加得：AD+ EB=21DE

因为DE=400千米，所以AD+ EB=21

⨯400=200千米，

从而A 、B 两市相距400+200=600千米

评注：行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。

例4 有编号为①、②、③的3条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时v 1、v 2、v 3千米，且满足v 1> v 2> v 3> v >0，其中v 为河流的水流速度。它们在河流上进行追逐赛，规则如下：

(1) 3条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺流而下；

(2) 经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军。

在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军为

解：经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为：

S i =(v i -v)⨯1+v ⨯1= v i ⨯1(i=1、2、3)

第i 号赛艇追上浮标的时间为：()11=⨯=-+=i i i i i v v v v v S t (小时)

由此可见，掉头后各走1小时，同时追上浮标，所以3条赛艇并列冠军。

评注：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。

例5在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？(第11届希望杯竞赛培训题)

解：设甲的运动速度是甲，V 乙的运动速度是乙V ，丙的运动速度是丙V ．设环形轨道长为L 。

甲比乙多运动一圈用时50秒，故有甲V －乙V ＝50L

①

甲比丙多运动一圈用时40秒，故有甲V －丙V ＝40L

②

②－①可得到乙V －丙V ＝40L －50L ＝200L

③

4＝丙乙－乙甲－V V V V ④

5＝－丙乙丙

甲－V V V V ⑤

甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离＝甲、丙之间距离－甲、乙之间距离