小学奥数教程-完全平方数及应用(一)
小学五年级奥数完全平方数
第八讲完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0， 1，4， 9，16， 25， 36， 49，64， 81，100， 121，144，169， 196，225，256，289，324， 361，400，441，484，判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是 1、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数” ，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为a i( i＝1、2、3、、n)不难发现：a1＝1＝ 12a＝＋＝＝222134a3＝1＋3＋5＝9＝ 32a4＝1＋3＋5＋7＝16＝ 4 2a n＝1＋3＋5＋＋(2n－1)＝1 (n 1)n＝ n 22毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从 1 开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】求自然数列前n个奇数的和：1＋3＋5＋7＋＋（2n－1）一讲一练：（04 浙江五年级夏令营）袋子里共有 415 只小球，第一次从袋子里取出 1 只小球，第二次从袋子里取出 3 只小球，第三次从袋子里取出 5 只小球依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】1234567654321×（1＋2＋＋6＋7＋6＋＋2＋1）是多少的平方？练习一： 1× 2× 3× 4×5×6×45×121 是多少的平方？练习二： A2＝ 1008× B，其中 A，B 都是自然数， B 的最小值是（）。
【例三】 36 、 49、60、64、72 的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360 、 3969、 7744 各有多少个约数？【例四】（ 01ABC）少年宫游客厅内悬挂着 200 个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
小学奥数知识点梳理-神奇的完全平方数！
小学奥数知识点梳理-神奇的完全平方数！完全平方数：指两个相同数相乘所得的数，例如：9=3×3，9就是一个完全平方数(或称平方数)，还可以理解为一个数如果是另一个整数的平方，那么这个数就是完全平方数。
表达式为：完全平方数A=a 的平方=a×a。
在前面文章里面我们研究了求某些特殊数平方的一些巧算方法，同学们可以回顾下：巧求平方数。
它经常会出现在什么地方呢？首先想到的就是正方形面积等于它的边长的平方；还有方阵问题也会碰到。
作为一类常见的特殊自然数，完全平方数有哪些神奇的特殊性质呢？观察下图1000以内的所有完全平方数。
性质1：完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9；不可能出现 2，3，7，8在整数的各种问题中，确定个位数十分重要。
知道完全平方数个位数字范围，就可以快速判断是否为完全平方数了。
证明：整数的个位数只有0~9十种情况，我们只需要分析0×0，1×1，2×2，…9×9得数的个位数就可以了。
性质2：完全平方数因数个数为奇数，因数个数为奇数的是完全平方数证明：请看视频→ 因数个数与完全平方数也可以表述为：完全平方数所有质因数的指数都是偶数例题1：在1~100的自然数中，因数个数是奇数的有多少个？实际上我们可以把问题转化为→ 1~100中有多少完全平方数。
例题2：一个数与270的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？把270分解质因数，因为完全平方数所有质因数的指数都是偶数，补齐选最小就可以得到答案。
性质3：完全平方数与余数1，完全平方数除以5的余数只可能为 0，1，4证明：5的整除特性是判断个位数是否为0，5。
分析完全平方数可能出现的个位数，可以推断出结论。
个位是0,除以5余0；个位是1,则余1；个位是4,则余4；个位是5,则余0；个位是6,则余1；个位是9,则余4。
2，完全平方数除以3或4的余数都只可能为 0，1证明：完全平方数除以3的余数只能是0，1（同理可证明4）。
完全平方数知识讲解
奥数：完全平方数1、把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有（）位数字。
分析与解答：1-3的平方只有一位数，共3个数字；4-9的平方有两位数字，共2×6=12个数字；10-31的平方有三位数字，共有3×22=66个数字；32-50的平方有四位数字，共有4×19=76个数字；合计：3+12+66+76=157个数字。
2、46305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是（）。
分析与解答：46305=5×3×3×3×7×7×7所以a最小是5×3×7=105。
3、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人的年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是（）岁。
分析与解答：1512=3×3×3×2×2×2×7要使1521乘一个数的积是完全平方数，那么这个数最小是：3×2×7=42。
所以父亲的年龄是42岁。
4、把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是（）。
分析与解答：我们设这个数原来为10a+b，那么现在是10b+a，它们的和为11×（a+b）是一个完全平方数，所以a+b必等于11，那么这个和数就为11×11=121。
5、已知n/2是完全平方数，n/3是立方数，则n的最小值为（）。
分析与解答：根据n/2是完全平方数，我们知道n里面有奇数个质因数2，而联系n/3是立方数，所以我们知道n里至少有3个质因数2；同样的道理我们知道n里至少有4个质因数3，那么n最小值为2×2×2×3×3×3×3=648。
6、已知一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字是（）。
25.五年级奥数第25讲——完全平方数
学生课程讲义一个自然数自乘所得的积称为完全平方数,100以内的完全平方数(又称平方数)是0、1、2×2=4、3×3=9、4×4=16、5×5=25、6×6=36、7×7=49、8×8=64、9×9=81共10个,平方数有一些特别的性质,可以解决一些有趣的问题:少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,闪烁不停.这200个灯泡按1~200编号,它们每过1秒变化一下自己的明暗状态.开始时,全部灯泡是暗的第1秒,全部灯泡是亮着的;第2秒,凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态,即变暗;第3秒,凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态:明的变暗,暗的变明……依次类推,第n秒钟,凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的明暗状态.每200秒钟为一周期.即到201秒时,全部灯泡大放光明,然后继续上述规则改变原来的状态.问:第200秒时,明亮的灯泡有多少事实上,每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时,它还保持原来的明暗状态;如果变化次数为奇数次时,则明暗状态发生改变,原来明亮的灯泡将变暗,原来不亮的灯泡将变明亮.由于平方数的不同约数个数为奇数,从第2秒开始(此时,偶数编号灯泡变暗,奇数编号灯泡是亮的)起到200秒止,中间的平方数有4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196,在这些秒时,同样编号的灯泡由暗变明,加上1号灯泡始终是亮的,共14个灯泡是亮的.下面举例来讨论平方数的一些问题。
【例1】在1-2016的自然数中,完全平方数共有（）个随堂练习1在324、897、211、247、546中,哪些数是完全平方数。
【例6】下式中每个汉字表示1~9中的一个数字,不同的汉字代表不同的数字.已知热2+爱2+小2=学2+奥2+数2那么,请写出符合上述条件的一个等式:随堂练习412345654321是平方数吗?练习题一、填空题1、一个两位数等于它个位数字的平方与十位数字之和,这个两位数是2、把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来数加起来的和恰好是某个自然数的平方，这个和是（）3、哥哥对弟弟说:“到21世纪的x2年,我恰好是x岁,”哥哥生于（）年。
小学奥数 完全平方数 知识点+例题+练习 (分类全面)
11112=1234321
一、“平方族”成员典型特征一：个位是0，1，4，5，6，9。
例：下面是一个算式：1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6。这个算式的得数能否是某个数的平方。
巩固、一天，一个小骗子在街上招摇撞骗，声称自己是完全平方数，只见此人长得这个模样：A＝1＋1×2＋1×2×3＋…＋1×2×3×…×100，小帅侠偶指奇约一眼就瞅出了这家伙的可疑之处，你发现了吗？
五、平方差公式的运用
例1、一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
巩固、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
1、1＋1×2＋1×2×3＋…＋1×2×3×…×50是不是一个完全平方数
2、 是由2000个“4”组成的多位数， 是不是某个自然数 的平方？如果是，写出 ；如果不是，请说明理由．
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
3、一个数减去14，加上17都是一个完全平方数，求这个数
4、22+42+62+82+102+122+142+……2002除以4的余数是
5、12+22+32+42+52+62+72+……2002除以3的余数是
6、1234321×81是的平方
小学奥数 完全平方数 知识点+例题+练习 (分类全面)
二、完全平方数的等价条件：奇数个因数
注：计算一个数的因数先把这个数分解质因数，然后把不同质因数的个数加1以后再相乘所得的乘积就是因数的个数
例如:12=2×2×3
12的质因数2有2个,质因数3有1个因数个数:(2+1)×(1+1)=6个
180=2×2×3×3×5
2．完全平方数的约数一定有奇数个；有奇数个约数的数一定是完全平方数。
3. 奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数
完全平方数除以3的余数只可能为为0或1；
完全平方数除以4的余数只可能为为0或1；
偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1。
（二）一些推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
巩固、已知m，n都是自然数，且n2 126m，则n的最小值为。
四、“平方族”成员典型特征二：除以3或4只能余0或1
注：奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除
例1、形如11，111，1111，11111，…的数中有没有完全平方数？
巩固、A是由2018个“4”组成的多位数，即444444……（2018个4），A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．
961、 3364、1111111、1521、 1234321、 1849、 89234
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
完全平方数奥数题目
完全平方数奥数题目摘要：一、完全平方数的定义和性质1.完全平方数的定义2.完全平方数的性质二、完全平方数的应用1.求解完全平方数2.完全平方数与勾股定理3.完全平方数与概率论三、完全平方数的奥数题目1.判断一个数是否为完全平方数2.求一个数的平方根3.求两个完全平方数的和正文：完全平方数是一个数学概念，它指的是一个数可以表示为某个整数的平方。
例如，4、9、16 等都是完全平方数，因为它们可以表示为2^2、3^2、4^2 的形式。
完全平方数具有一些有趣的性质，例如，如果一个数是完全平方数，那么它的因数一定是成对出现的。
在数学中，完全平方数有着广泛的应用。
例如，在求解完全平方数时，我们可以使用公式：如果一个数的平方根是整数，那么这个数就是完全平方数。
此外，完全平方数还与勾股定理有着密切的关系。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
因此，如果一个数是完全平方数，那么它一定可以表示为两个整数的平方和。
在概率论中，完全平方数也有着重要的应用。
例如，假设有一个袋子，里面有若干个红球和白球，我们想要取出一个红球。
如果我们随机地从袋子中取出一个球，那么取出红球的概率就等于红球的个数除以球的总数。
如果我们想要计算这个概率的平方，那么我们就需要计算所有可能的取球方式的概率，这些概率可以表示为完全平方数。
在奥数比赛中，完全平方数也是一个常见的考点。
例如，可能会给出一个数，要求我们判断它是否为完全平方数。
或者，可能会给出两个数，要求我们求它们的平方和。
对于这类题目，我们需要熟悉完全平方数的性质，并且能够灵活运用它们来解决问题。
总的来说，完全平方数是一个有趣的数学概念，它在数学和概率论中都有着广泛的应用。
五年级奥数春季班第8讲 完全平方数
完全平方数模块一、认识完全平方数和完全平方数的尾数性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数；例1．（1）写出12、22、32、……、202的得数，观察这些得数的个位，并总结一下完全平方数的个位有什么规律？（2）根据刚才发现的规律，判断20737是平方数吗？为什么？（3）进一步判断1000是平方数吗？1004000呢？解：（1）（2）1000不是平方数，1004000也不是平方数。
如果完全平方数末位是0，那么它从个位开始，连续的0的个数一定是偶数个。
例2．（1）10001到11000之间存在哪些数的平方？写出这些数；（2）非零自然数的平方按大小排列成149****3649……，则第92个位置的数字是。
解：（1）1002=10000，1042=10816，1052=11025，所以10001到11000之间存在101、102、103、104的平方。
（2）1、4、9、16、25、36、49、64、81共有15个数字，100、121、……、直到312=961，一共有22×3=66个数字，前面共有66+15=81个数字，从322=1024开始，每个平方数有4个数字，32、33、34、35，它们的平方都有4个数字，81+11=92，所以第92个位置上是342=1156的第三个数字5.模块二、偶指奇因性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N因数的个数为奇数；性质4：自然数N为完全平方数⇔自然数N的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶次。
特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方。
例3．240乘一个非零自然数a，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么a的最小值是；b的最小值是。
解：240=24×3×5，乘a是一个完全平方数，a的最小值是3×5=15，同样240÷15也是一个完全平方数，b的最小值是15.例4．（1）从1到100这100个自然数中，有奇数个因数的自然数有；（2）从1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有；解：（1）1到100有奇数个因数的有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10个；（2）1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有4、9、25、49，共4个。
小学奥数25完全平方数
2、7完全平方数2、7、1相关概念完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*２,３*3等等，依此类推。
若一个数能表示成某个整数得平方得形式,则称这个数为完全平方数。
完全平方数就是非负数。
２、7、2性质推论例如:０,1,４,9,1６,２５,36,４9,64,81,100,121，14４,16９,1９6，2２５,２５6，２89,3２4,3６1,40０,44１,4８４,５2９…观察这些完全平方数,可以获得对它们得个位数、十位数、数字与等得规律性得认识。
下面我们来研究完全平方数得一些常用性质：性质1:末位数只能就是0，1，4,5,6,９。
此为完全平方数得必要不充分条件，且定义为“一个数如果就是另一个整数得完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数”,0为整数，故0就是完全平方数性质２:奇数得平方得个位数字一定就是奇数,十位数字为偶数；偶数得平方得个位数字一定就是偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一:１0a+1,10a+３，10ａ+5，１0ａ+7，10ａ+9分别平方后，得)1０a+3）2=10０ａ2+60a＋9=20a(５a+3)（10ａ+１)2=100a2+2０ａ+１＝20ａ(5ａ＋1)+1ﻫ＋9ﻫ(10a+5）2＝1００a２+100a+25=20(5a+5ａ＋1)+5(10a＋7)２=1０0a2+１４0a＋49＝２０ (５a+7ａ+2)+9（10a+9)2=100ａ2＋18０ａ＋81=20（５ａ+9a+4）+1综上各种情形可知:奇数得平方,个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。
性质３：如果完全平方数得十位数字就是奇数,则它得个位数字一定就是6;反之,如果完全平方数得个位数字就是6,则它得十位数字一定就是奇数。
证明已知m2＝１０ｋ+6，证明k为奇数。
因为ｋ得个位数为6,所以ｍ得个位数为4或6,于就是可设ｍ=１0n+４或10n+6。
则１0k+6＝(10n+４）２＝1０0+(8n＋1)ｘ10+６或１0k＋6＝(10n+6)2＝10０+(1２n+3）x1０+６即 k=１0+8n+1＝２(5＋4n）＋1或 k=1０+1２n+3＝2(5+6n)＋３∴ｋ为奇数。
完全平方数奥数题目
完全平方数奥数题目在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种有趣的数学题目。
今天，我们将介绍一类常见的数学题目——完全平方数奥数题目。
完全平方数是指一个数的平方根是一个整数。
比如，1、4、9、16等都是完全平方数。
而2、3、5、6等则不是完全平方数。
下面，我们来看一些关于完全平方数的奥数题目示例。
题目一：从1到20中，有几个数是完全平方数？解析：根据完全平方数的定义，我们可以计算得出1、4、9、16是完全平方数，所以从1到20中，共有4个数是完全平方数。
题目二：请问100到200中有几个完全平方数？解析：我们可以将100到200逐个检查是否是完全平方数。
首先计算100的平方根，得到10，符合完全平方数的定义。
接着计算101，发现平方根是10.1，不是整数，不符合完全平方数的定义。
继续检查102，平方根为10.2，同样不符合定义。
以此类推，一直检查到200，得知200的平方根为14.14，也不是整数。
综上所述，从100到200中，共有1个完全平方数，即100。
题目三：请问25到125中的完全平方数有哪些？解析：与题目二类似，我们逐个检查25到125中的数是否是完全平方数。
首先计算25的平方根，得到5，符合完全平方数的定义。
接着计算26，平方根为5.1，不符合定义。
继续检查27，平方根为5.196，也不是整数。
一直检查到125，得知125的平方根为11.18，同样不是整数。
因此，从25到125中，共有2个完全平方数，分别是25和36。
通过以上题目的解析，我们对完全平方数的概念和计算方法有了一定的了解。
希望通过这些练习，我们能够更好地掌握和运用数学知识，提高自己的解题能力。
总结：完全平方数奥数题目涉及到对数学概念的理解和计算能力的运用。
通过熟练掌握完全平方数的性质以及计算方法，我们能够更加灵活地解决相关的奥数题目。
在学习数学的过程中，我们要善于总结和归纳，逐步提高自己的思维能力和解题技巧。
希望本文对你理解和解答完全平方数奥数题目有所帮助。
完全平方数的性质及应用
完全平方数的性质及应用完全平方数是指一个数字可以被另一个整数平方得到的数。
例如，4是一个完全平方数，因为2²=4。
完全平方数的性质和应用广泛，并在数学和其他领域中发挥着重要作用。
首先，完全平方数有一些基本的性质。
以下是一些关于完全平方数的重要性质：1. 完全平方数总是非负的。
一个完全平方数可以是0，也可以是一个正整数。
2. 完全平方数的平方根也是一个整数。
例如，16是一个完全平方数，其平方根为4。
这是因为4²=16。
3. 完全平方数可以通过连续奇数相加得到。
例如，1+3=4，4+5+6=16，9+11+13+15=64。
这个性质被称为“差平方数序列”。
4. 完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9。
这是因为一个数字的平方的个位数只能由它本身的个位数决定。
5. 完全平方数除以4的余数只能是0或1。
这是因为一个数字除以4的余数只能是0、1、2、3，而一个完全平方数除以4的余数只会是0或1。
6. 完全平方数的个位数字是0、1、4、5、6、9以外的数字时，其十位数也是个位数的平方根。
完全平方数的应用非常广泛，以下是其中一些重要的应用：1. 质因数分解：质因数分解是将一个正整数表示为质数的乘积的过程。
完全平方数在质因数分解中起到重要作用，因为它们可以分解为两个相同的质数相乘。
例如，16=2²，36=6²。
2. 几何学：完全平方数在几何学中有许多应用。
例如，一个正方形的面积就是一个完全平方数，因为它可以表示为一条边的长度的平方。
此外，完全平方数还可以用来表示一个矩形的面积，其中长和宽都是整数。
3. 数论：完全平方数在数论中起着重要作用。
例如，费马最后定理表明，对于大于2的正整数n，不可能找到整数x、y和z使得x^n + y^n = z^n成立。
然而，如果n=2，则等式x²+ y²= z²可以有解。
这个例子显示了完全平方数在数论中的特殊性质。
五年级奥数秋季班《完全平方数》一
一、完全平方数的定义：二、完全平方数表(牢记)：02＝072＝49
12＝182＝64
2＝42＝81
249
32＝9102＝100
2＝162＝121 41611
52＝25122＝144
2＝362＝169 63613
温馨提示：122＝144和21
三完全平方数的常用性质：
三、完全平方数的常用性质：
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，55，6，9；
三、完全平方数的常用性质：
性质2：
完全平方数除以3只可能余0或1；
完全平方数除以4只可能余0或1；
完全平方数除以8只可能余0、
完全平方数除以8只可能余0、1或4；
三、完全平方数的常用性质：
性质3：
⑴偶指性——完全平方数分解质因数后每个质因数
⑵完全平方数的因数一定有奇数个，反之亦然。
特别地，因数个数为
特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方；。
完全平方公式的应用课件
a 老人一共给了这些孩子多少块糖？ 2
做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当有 孩子到他家做客时，老人都要拿出糖 果招待他们。来一个孩子，老人就给 这个孩子一块糖，来两个孩子，老人 就给每个孩子两块糖，来三个，就给 每人三块糖，……
(2)第二天有b个女孩一起去了老人家，
2.(x−2)(x−3)展开后的结果要注意添括号。
巩固练习：
(1)(a－b+3)(a－b－3)=a²-b²+6b-9 (2) (x－2)(x+2) －(x+1)(x－3)=2x-1 (3) (ab+1)2－ (ab－1)2 =4ab (4) (2x－y)2－4(x－y)(x+2y)=9y2-8xy
课堂小结
1.完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和 正确认识a，b表示的意义，它们可以 是数、也可以是单项式还可以是多项 式，所以要记得添括号。
2.解题技巧：
解题之前应注意观察思考，选择不同的 方法会有不同的效果，要学会优化选择。
作业：习题1.12第1、2题
=a2 +2ab+b2－9
温馨提示：将(a+b)看作一个整体，解题中
渗透了整体的数学思想。
例3 (3)(x+5)2–(x-2)(x-3)
解: (x+5)2-(x-2)(x-3)
=(x2+10x+25)-(x2-5x+6) = x2+10x+25-x2+5x-6
=15x+19
温馨提示：
1.注意运算的顺序。
(a+b)2
做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到 他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来 两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三 个，就给每人三块糖，……
小升初奥数数论完全平方数知识点
小升初奥数数论完全平方数知识点【篇一】一、完全平方数的定义：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
二、完全平方数特征：1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2.除以3余0或余1;反之不成立。
3.除以4余0或余1;反之不成立。
4.约数个数为奇数;反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2三、完全平方数的性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
【篇二】例题例1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得x-45=m^2 (1)x+44=n^2................(2)(m,n为自然数)(2)-(1)可得n^2-m^2=89,(n+m)(n-m)=89但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。
解之，得n=45。
代入(2)得。
故所求的自然数是1981。
例2、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。
分析：设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n为整数。
欲证n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明：设这四个整数之积加上1为m，则m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。
这就证明了m是一个奇数的平方。
【篇三】练习题1、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是()岁。
小学奥数教程-完全平方数及应用(一)
5-4-4.完全平方数及应用（一）教学目标1.学习完全平方数的性质；2.整理完全平方数的一些推论及推论过程3.掌握完全平方数的综合运用。
知识点拨一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p整除完全平方数a2，则p能被a整除。
2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且p2n-1|N，则p2n|N．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
小学奥数全能解法及训练课件完全平方数
252 ＝ 625
完全平方数
精讲2 尾数特征1
完全平方数的 个位只可能是 0,1,4,5,6,9
常用完全平方数表
尾数特征2
奇数平方 个位数字是奇数 十位数字为偶数
精讲3 尾数特征3
偶数平方 个位数字 是偶数
常用完全平方数表
尾数特征4
两个相临平方数 之间不可能再有 平方数
精讲4 余数特征1
完全平方数除 以 3 的余数只 能是 0或1。
常用完全平方数表
余数特征2
完全平方数除 以 4 的余数只 能是 0或1。
精讲5
完全平方 数的因数有
奇数个
常用完全平方数表 每个质因
数的次数都是 偶数次。
因数特征
精讲6
常用完全平方数表
102－ 92 ＝100－81＝19
102－ 92 ＝ （10＋9）×（10－9）＝19
平方差公式： X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
末两位除以4的余数相同
例2 A、B是两个自然数，完全平方数的差为 51,且两个完 全平方数之间没有其他的完全平方数，求这两个数？
A、B 之差为1
A2-B2= （A-B）（A+B）
例2 A、B是两个完全平方数，平方数的差为 51,且这两个 完全平方数之间没有其他的完全平方数，求这两个数？
A2-B2=51
1008÷4＝502
判断1和0的个数。
1008除以4的余数为0
规
律
总
结
练习2 100以内有且仅有 3 个因数的自然数有哪些？
参考 答案
102=100
自然数是10内的质数的平方。 自然数是2、3、5、7。
100 以内有且仅有 3 个 因 数的自然数应该是 10 以内的质数的平方。
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1. 学习完全平方数的性质；2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3.掌握完全平方数的综合运用。
一、完全平方数常用性质 1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-知识点拨教学目标5-4-4.完全平方数及应用（一）模块一、完全平方数计算及判断【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝211；12321＝2111；1234321＝21111……，于是，我们归纳为1234…n …4321=2(1111)n 个1，所以，1234567654321：11111112；则，1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以，题中原式乘积为7777777的平方．【答案】7777777【例 2】 1234567654321(1234567654321)⨯++++++++++++是 的平方． 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】祖冲之杯【解析】 212345676543211111111=，212345676543217++++++++++++=，原式22(11111117)7777777=⨯=． 【答案】7777777【例 3】 已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是 。
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6年级，第9题【解析】 （法1）先将12！分解质因数：105212!235711=⨯⨯⨯⨯，由于12!除以n 得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为1042235⨯⨯，所以n 最小为104212!2353711÷⨯⨯=⨯⨯231=。
（法2）12!除以n 得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的幂次是奇数，所以n 的最小值是3711231⨯⨯=。
【答案】231【例 4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数． 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道14443838=⨯，所以满足条件的最小正整数是1444．【答案】1444【例 5】 A 是由2002个“4”组成的多位数，即200244444个，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如果不是，请说明理由．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略【答案】2200242002444421111A ==⨯个个1．如果A 是某个自然数的平方，则20021111个1也应是某个自然数的平方，并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数， 而200220011111111110-=个1个1不是4的倍数，矛盾，所以A 不是某个自然数的平方．例题精讲【巩固】 A 是由2008个“4”组成的多位数，即4442008个4，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如果不是，请说明理由．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略【答案】不是．24442111A ==⨯2008个12008个4假设A 是某个自然数的平方，则1112008个1也应是某个自然数的平方，并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而11111110-=2008个12007个1不是4的倍数，与假设矛盾．所以A 不是某个自然数的平方．【例 6】 计算11112004个1－22221002个2=A ×A ，求A ．【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 此题的显著特征是式子都含有1111n 个1，从而找出突破口.11112004个1－22221002个2=11111002个100001002个0－11111002个1=11111002个1×（100001002个0-1） =11111002个1×（99991002个9）=11111002个1×（11111002个1×3×3）=2A所以，A ＝33331002个3.【答案】33331002个3【例 7】 ①22004420038444488889A =个个，求A 为多少?②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？ 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 ① 本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：注意到有2004420038444488889个个可以看成48444488889n 个n-1个，其中n ＝2004；寻找规律：当n =1时，有2497=；当n =2时，有2448967=；当n =3时，有2444889667= ……于是，类推有2004420038444488889个个=22003666667个方法二：下面给出严格计算： 2004420038444488889个个=4444400002004个2004个0+20048888个8+1；则4444400002004个2004个0+20048888个8+1＝11112004个1×（4×0100002004个+8）+1＝11112004个1×［4×（999992004个+1）+8］+1 ＝11112004个1×［4×（999992004个）+12］+1＝2(1111)2004个1×36+12×11112004个1+1＝2(1111)2004个1×36+2×（6×11112004个1）+1＝22(666661)(66667)+=2004个62003个6② 由①知4444488889 n 个n-1个8＝266667n-1个6，于是数字和为(4n +8n -8+9)=12n +1；令12n +1=2005解得n =167，所以4444488889 167个166个8=266667166个6。
所以存在这样的数，是4444488889 167个166个8【答案】（1）22003666667个,（2）4444488889 167个166个8=266667166个6模块二、平方数特征 （1） 平方数的尾数特征【例 8】 下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】 判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数． 这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．【答案】不是【例 9】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有________个．【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，5年级，第10题 【解析】 4914925=+++，1,2,3,5全排列共有24个。
【答案】24【例 10】 用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是 ．【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，复试，11题 【解析】 四位完全平方数≥1234＞352＝1225，所以至少是362＝1296．当四位完全平方数是1296时，另两个平方数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位只能是2，但数字2在1296中已经使用．当四位完全平方数是372＝1369时，另两个平方数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位一样只能是2，还剩下7,8，而784恰好为282．所以，其中的四位完全平方数最小是1369．【答案】1369【例 11】 称能表示成1+2+3+…+K 的形式的自然数为三角数，有一个四位数N ，它既是三角数，又是完全平方数，N= 。