交流电路的复数解法
交流电路的复数解法-2013
cos 2cost cos(t ）
P(t) UI cos UI cos(2t )
P 1
T
u(t)i(t) dt UI cos
To
根椐阻抗的定义 Z U 它是复阻抗的模
Z~
Z
cos
jZ
I
sin
R
jX
电压与电流的相位差是
2
总电压与 总电流的 相位差
arctanL 1/ C
R
3、L及C上的电压分配
当电路发生谐振时，在L和C上的电压大小相等，方向 相反，从整体上说它们的作用互相抵消，但它们的单独 作用却不能忽视。设电路的总电压为U，则
U
Imax
, R
UL
Imax Z L
0 L U
R
QU
UC
u(t) Uo cos(t )
P(t) UoIo cost cos(t )
有
1 2UoIo
cos
1 2UoIo
cos(2t
)
效 值
UI cos UI cos(2t )
平均功率
有功功率
P1
T
u(t)i(t) dt UI cos
简称功率
称复阻抗的实部R为有功电阻或电阻， 称复阻抗的虚部X为电抗。
P I 2Z cos I 2R
有功功率只与复阻抗 的实部有关。
纯电阻元件：
0 RR R PR UI I 2R
纯电感元件：
2 纯电容元件：
2
RL 0 PL 0 RC 0 PC 0
交流电路的复数解法-2013
Z
U 1 2 2 Z R (L ) I C
0
I/I0
I
2
U0 1 2 R (L ) C
0
f1 f o f 2
2
f
fo 0
2
f
L 1 / C
R
arctan
1 P T
T
o
u (t )i (t ) dt UI cos
U I
根椐阻抗的定义
Z
它是复阻抗的模
~ Z Z cos jZ sin R jX
电压与电流的相位差是
称复阻抗的实部R为有功电阻或电阻， 称复阻抗的虚部X为电抗。
P I Z cos I R
角
1 2 tg
• 用三角恒等式
L
1 2
1
L
CR tg R 1 2 LC
1
1 1
CR L C[ R (L) ] R 1 LC tg tg L CR R 1 R 1 LC
2 2 1 2
x y tg x tg y tg 1 xy
求阻抗和幅角
利用复数运算规则
~ j 1 R jL Z1 Z1e Z1 j (12 ) ~ Z ~ e 2 1 LC jCR Z 2 Z e j 2 Z 2 2 模 R jL R 2 (L) 2 ~ ZZ 2 2 2 2 ( 1 LC ) ( CR ) 1 LC j CR 幅
~ 复阻抗为 Z
~ ~ 因为复电压 U 是共同的，代入消去 U
交流电路的复数解法
值
平均功率
有功功率
P1Tu(t)i(t)d tUcIos
简称功率
To
P (t) U o Io co tc so t s) (
1 2 U oIoco s1 2 U oIoco 2s t ()
c 2 t o ) c s 2 t . c o ( s o s 2 t i s s n i
使串联谐振电路产生谐振有两种途径：一 种是改变电源的频率，使其与电路的固有频 率相等；另一种是改变电路中的电感或电容 的数值，即改变电路的固有频率，使其与电 源频率相等。改变电感或电容使电路产生谐 振的过程，称为调谐。在收音机中就是利用 调节可变电容来调谐的。
Q值的意义 Q值是标志谐振电路性能好坏的一个纯
CL R ×
音频信号发生器
串联谐振
CL R ×
音频信号发生器
在维持电压不变的情况下，若从 低到高地改变音频讯号发生器的 频率 f 就会看到，小灯的亮度开始 由小变大，到某个频率 f0 后发生 转折，又由大变小。这表示， LCR电路中的电流 I 随频率不是 单调变化的，而是在f=f0处有极大 值IM，或者说电路的总阻抗Z在此 时有个极小值Zm。这种现象叫做 谐振。 f0称为谐振频率。
角
12tg 1 R Ltg 11 C 2LR C
• 用三角恒等式
tg1xtg1ytg1 xy
tg 11 R L R L1 1 C C 2L 2LR R C C tg 1LC[R R2( 1L )2 x]y
谐振电路
当电容C、电感L两类元件同时出现在一个电路中 时，就会发生一种新现象——谐振。通常就把这 种电路叫做谐振电路，它在实际中有重要的应用。 谐振电路主要有串联谐振和并联谐振两种。
交流电路的复数解法
基尔霍夫方程组复数形式 ~ 电路的节点处瞬时 （ ± I ） 0 电流的代数和为零。 = 电流的代数和为零。 符号规定：在节点电流方程中， 符号规定：在节点电流方程中，电流正方向 是从节点流出，在其前写正号，反之为负。 是从节点流出，在其前写正号，反之为负。
∑
~ ~~ ~) = 0 （ + ∑ U = ∑ ± I Z ） ∑ ( ±ε
~ ~ ~ ~ U =UC +UL +UR
~ ~ ~ ~ I = IC = IL = IR
~ ~ ~ ~ Z = ZC + ZL + ZR
R
~ UR
L
C
~ U
~ UL
~ UC
* R、L、C并联电路 、 、 并
由并联电路中电压、电流瞬时值的关系， 由并联电路中电压、电流瞬时值的关系， 可得出复电压、复电流的关系： 可得出复电压、复电流的关系：
沿任一闭合回路绕行一周，瞬时电压的代数和为零。 沿任一闭合回路绕行一周，瞬时电压的代数和为零。 在回路电压方程中， 在回路电压方程中，电流正方向和电动势正方向 与回路绕行方向一致时，在电流前为正号，而在 与回路绕行方向一致时，在电流前为正号， 电动势前为负号，否则反之。 电动势前为负号，否则反之。 总之，公式的形式，符号的取法与直流电路相同。 总之，公式的形式，符号的取法与直流电路相同。
目录 11.3 交流电路的复数解法 *复电压 交流电的复数表示法： 交流电的复数表示法： *复电流
交流电路的基尔霍夫方程组及其复数形式
例题一: 例题一 二级滤波电路或相移电路 11.4 交流电的功率
*复阻抗
瞬时功率 功率因数 λ (power factor)
例题二:13.7 例题二
5.6交流电路的复数解法详解
滤波电路
能使某些频率的交流讯号顺利通过，而将另
外一些频率的交流讯号阻挡住的电路
低通滤波电路：将高频流讯号阻挡住
高通滤波电路：能使高频讯号顺利通过，而
将低频流讯号阻挡住的电路
在无线电、多路载波通讯等技术领域中广泛
地使用着各种类型的滤波电路
2018/10/11 9
交流串、并联电路的复数解法
用复数法计算简单电路时，电路的电压、电流关 系与直流电路一样
1
~ ~ ~ I I I , 串联电路 ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~ U U U IZ IZ IZ ~ ~ ~ Z Z Z
2 1 2 1 2
~ ~ ~ U U U ,
1 2 1 2
§4交流电路的复数解法
复数基本知识
交流电的复数表示法 复数的实部是简谐量
~ j (t ) A Ae
A cos( t a1 (t ) A1 cos( t 1 ) A1 A1e ~ j (t 2 ) a2 (t ) A2 cos( t 2 ) A2 A2e ~ ~ ~ a(t ) a1 (t ) a2 (t ) A A1 A2 ~ j (t ) A cos(t ) A Ae
1
( ) tan (RC)
都是的函数
10
幅 角
2018/10/11
~ U 输出 1 ~ U 输入 1 (RC) 2
( ) tan1 (RC)
对于一定的输入电压，输出端分压与频率成反比，
频率越高，输出电压占输入电压的份额就越少 当输入电压中包含有各种频率的交流成分和直流成 分时，直流成分大小不变，而交流成分减少，起到 了滤波作用
交流电路分析
交流电路分析交流电路是指由交流电源、电阻、电感和电容等元件组成的电路。
在分析交流电路时，我们需要考虑交流电的频率、相位和幅值等因素，并使用复数形式来表示电流和电压。
本文将介绍交流电路的分析方法和相关理论知识，并以实例来说明。
一、交流电的复数表示在交流电路分析中，我们使用复数形式来表示电流和电压。
复数形式可以将交流电的频率、相位和幅值等因素统一考虑进去，方便计算和分析。
复数形式的交流电可写为：I = Im*cos(ωt + φ)，其中，I表示电流，Im表示电流的最大值，ω表示角频率，t表示时间，φ表示相位差。
同样地，电压的复数形式为：V = Vm*cos(ωt + φ')，其中，V表示电压，Vm表示电压的最大值，φ'表示电压的相位差。
二、交流电路的基本元件交流电路的基本元件包括电阻、电感和电容。
下面我们将分别介绍它们在交流电路中的特性和分析方法。
1. 电阻电阻是交流电路中最简单的元件，它的特性与直流电路相同。
在交流电路分析中，我们使用欧姆定律来计算电阻中的电流和电压关系：U = IR，其中，U表示电压，I表示电流，R表示电阻值。
2. 电感电感是由线圈或线圈的组合构成的，它对交流电的阻碍程度称为电感阻抗。
电感阻抗的大小与交流电的频率有关，可以表示为：XL =2πfL，其中，XL表示电感阻抗，f表示频率，L表示电感值。
在交流电路分析中，我们使用欧姆定律和基尔霍夫电压定律来计算电感中的电流和电压关系：U = IXL，其中，U表示电压，I表示电流，XL表示电感阻抗。
3. 电容电容是由两个导体板之间的绝缘介质隔开的，它对交流电的通过程度称为电容阻抗。
电容阻抗的大小与交流电的频率有关，可以表示为：XC = 1/(2πf C)，其中，XC表示电容阻抗，f表示频率，C表示电容值。
在交流电路分析中，我们使用欧姆定律和基尔霍夫电流定律来计算电容中的电流和电压关系：I = XC*U，其中，I表示电流，U表示电压，XC表示电容阻抗。
12-4交流电路的复数解法
2
二、元件和电路的复阻抗 (complex impedance ) 电阻R：ZR=R， =0，
~ j j0 Z R Z R e Re
j π 2
I 01
2 2
0 R2
L( R1 R2 )
R1R2
10
R1 R2 2 L2 ( R1 R2 )2
1 arc tan
i2 = I02 cos( t + /2 - 1 ) ,
其中 I 02
0L
R1 R2 2 L2 ( R1 R2 ) 2
2 2
i =I0 cos( t + 2 - 1 ) , 其中
I0
0
2 2
R2 2 L2
2
R1 R2 2 L2 ( R1 R2 ) 2
2 arc tan
L
R2
11
电感L：ZL=L， = /2，
电容C：ZC =1/C， = /2，
π
~ Z L Z L e j Le jL
1 j2 j 1 ~ j ZC ZC e e C C jC
纯电阻提供复阻抗的实部，纯电感和纯电容提供 阻抗的虚部。复阻抗的虚部称为电抗，由电感提供 的电抗称为感抗，由电容提供的电抗称为容抗。
i
~ ~ ~ ~ ~ 写成复数形式 I I 1 I 2 I 3 I i
~ ~ ~ ~ 将 I U ，I i U i ~ ~ Z Zi
i
(i =1,2,3,…)，代入可得
交流电路复数解法
11.线性(无损耗)磁介质20011222m H B H H Mμωμ=⋅=+⋅r r r r 磁化能密度宏观磁能密度对线性无损耗介质：E P E E D e r r r r ⋅+=⋅=21212120εω宏观静电能密度极化能密度§8.2 非线性介质及磁滞损耗上次课回顾22. 非线性磁介质磁滞损耗磁化率张量§8.3 利用磁能求磁力虚功原理法2. 维持磁通不变1. 维持电流不变I m W F )(∇=rφ)(m W F ∇−=rIm W L ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=θθφθθ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=m W L 6三.交流电路中的元件阻抗和位相差本次课主要内容§9.1 交流电的基本概念和描述方法一.各种形式的交流电二.描述简谐交流电的特征量四.描述简谐交流电的方法函数描述、矢量描述和复数描述各种形式的交流电．简谐交流电此乃正弦和余弦函数的波形其电压或电流随时间的变化呈简谐波电子示波器用来扫描的信号激光通讯用来载波的信号电子计算机中采用的信号是矩形脉冲535地单独处理只讨论简谐交流电,这是处理一切交流电问题的基础14电压落后电流π/2电压超前电流π/2。
表示电压与电流同位相时当表示电压比电流落后时当表示电压比电流超前时当 ,0, ,0, ,0=<>φφφφφiu i u t t φφφωφωφ−=+−+=)()(实验观察到电流和电压的瞬时值为：cos )( cos 0===i u t I t i t φφωω18这就是包含电容器的电路中有交变电流i(t)⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=2 cos sin 0πωωωt Q t0) cos 2t Q t πωω⎛⎞=+⎜⎟⎝dt di感抗)和位相差为：24在串联电路中,电流i 221R C ω⎛⎞+⎜⎟⎝⎠25A ．u 为总电压有效值,其不等于分电压有效值u R 和u C 之和B ．CR Z Z u u RC R C ω1==与直流串联电路中的分压规律一致C ．CR Z Z Z +≠讨论：222211 u u I R Z R C I C ωω⎛⎞⎛⎞=+==+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠②RCL 串联电路仍然以电流为基准,然后先合成u C 和u L ,此时u C 和u L 位相差为π;最后再将u C 和u L 的结果与u R 合成RCLR C L Z Z Z tg u u u tg C L R I u −=−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−−11221φωω26A ．B ．C ．电感性电路 ,0 ,>>φC L Z Z 电容性电路,0 ,<<φC L Z Z LCC L Z Z C L 1,1 ,===ωωω1L CRZ Z tg Z φ−−=221u I R L C ωω⎛⎞=+−⎜⎟⎝⎠RZ Z R ==此时称作串联共振该电路产生共振,27分析讨论：RLC 电路串联共振品质因素Q22max max 1u Z R L I C ωω⎛⎞==+−⎜⎟⎝⎠L Z CZ L c ωω==,1m axm ax 221u I R L C ωω=⎛⎞+−⎜⎟⎝⎠1L C RZ Z tg Z φ−−=ω=Δ倍时的电流幅值下降到其峰值7.0:R共振应用：收音机调频收台(可变电容)、机场安检报警系统、军用排地雷报警系统等。
交流电路的复数解法-
ut u1 t u2 t （瞬时值关系）
~ ~ 因为复电流 I 是共同的，代入消去 I
~ ~ ~ Z Z1 Z 2
2、并联电路
it i1 t i2 t （瞬时值关系） ~ ~ ~ 用相应的复电流来代替它们，则有: I I I 1 2 ~ ~ 设各分支的复阻抗为 Z 1 、 Z 2 ,整个电路的
Um Im
e
j u i
Ze
j
它的辐角为 u i ~ ~ j 我们把这个复数记作 Z ，即 Z Ze ~ 复数 Z 完全概括了这段电路本身的两个方面基本 性质—阻抗和位相差，它叫做这段电路的复阻抗， 知道了复阻抗，这段电路的性质就完全清楚了。
~ U ~ ~ ~ ~ 由上面可得：U I Z 或 ~ Z I
复数的直角坐标式 ：
r 表示复数的大小，称为复数的模。有向线
A a jb r cos jr sin r (cos j sin )
复数的指数形式 ：
A re
j
一、简谐量的复数表示法及一些重要概念 复数法的基本原则是把所有的简谐量都用 对应的复数来表示。
ut U m cost u
~ 复阻抗为 Z
~ ~ 因为复电压 U 是共同的，代入消去 U
1 1 1 ~ ~ ~ Z Z1 Z 2
~ U ~ I1 ~ Z1
~ U ~ I2 ~ Z2
~ U ~ I ~ Z
结果表明：交流电路复阻抗的串、并 联公式和直流电路电阻的串、并联公 式完全一样。
交流串、并联电路
• 用复数法计算简单电路时，电路的电压、电 流关系与直流电路一样 ~ ~ ~ I I I , ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~ 串联电路 U U U IZ IZ IZ ~ ~ ~ Z Z Z ~ ~ ~ U U1 U 2 , ~ ~ ~ 并联电路 I I I ,
交流电路中的复数分析方法
交流电路中的复数分析方法交流电路是电工学中重要的研究对象之一，它由电阻、电感和电容等元件组成。
为了分析交流电路的工作状态和特性，复数分析方法被广泛应用。
本文将介绍交流电路中的复数分析方法以及其应用。
一、复数分析方法的基本原理复数分析方法基于复数代数，通过使用复数表示电压、电流和元件阻抗，可以将交流电路中的问题转化为复数运算的问题。
复数分析方法的基本原理如下：1. 交流电路中的电流和电压可以表示为复数形式，具体表示为：电流I = I_m * exp(jωt)，电压V = V_m * exp(jωt)，其中I_m和V_m分别为电流和电压的幅值，ω为角频率，exp(jωt)为旋转因子。
2. 电阻的阻抗为R，电感的阻抗为jωL，电容的阻抗为1/(jωC)，其中j为虚数单位。
3. 复数分析方法通过对电压和电流进行相量（复数）运算，比如加法、减法、乘法和除法等，可以求解交流电路中的各种参数，如电流幅值、相位差、功率等。
二、复数分析方法的应用复数分析方法在交流电路分析中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 交流电路的等效阻抗：利用复数分析方法，可以将交流电路中的电阻、电感和电容等元件转化为复数形式，并根据复数运算的性质求解交流电路的等效阻抗。
2. 电压/电流的幅值和相位差：通过复数分析方法，可以计算交流电路中电压和电流的幅值以及相位差，进而确定电路中各元件的工作状态。
3. 有源电路的功率计算：利用复数分析方法，可以计算有源电路中的功率，如有功功率、无功功率和视在功率等，进而评估电路的能量转换和传输效率。
4. 交流电路的频率响应：复数分析方法可以用于研究交流电路的频率响应特性，如幅频特性和相频特性等。
三、复数分析方法的实际案例下面以一个简单的交流电路为例，介绍复数分析方法的具体运用：考虑一个由电阻R和电感L串联而成的交流电路，电路输入电压为V_in。
我们希望计算电流幅值和相位差。
首先，将电路中的电阻和电感分别表示为复数形式：电阻R的阻抗为R，电感L的阻抗为jωL。
交流电路分析和复数法
交流电路分析和复数法交流电路分析是电路学中的一个重要内容，通过对电路中交流信号的分析，可以求解电路中电流、电压、功率等参数。
而复数法是一种简便有效的分析交流电路的方法。
本文将介绍交流电路分析的基本原理和复数法的应用。
一、交流电路分析的基本原理交流电路中的电流和电压是随时间变化的，可以用周期函数来表示。
对于正弦交流电路，其电压和电流可以表示为：$$v(t)=V_m \sin(\omega t + \theta)$$$$i(t)=I_m \sin(\omega t + \varphi)$$其中，$V_m$和$I_m$分别是电压和电流的最大值，$\omega$是角频率，$t$是时间，$\theta$和$\varphi$是相位差。
在交流电路中，我们通常关注的是电流和电压的幅值、相位差以及功率。
根据欧姆定律和功率公式，可以得到交流电路的基本方程：$$V_m=|Z| \cdot I_m$$$$\theta=\arg(Z)$$$$P=V_m \cdot I_m \cdot \cos(\theta)$$其中，$Z$是电路的阻抗，$|Z|$表示阻抗的模，$\arg(Z)$表示阻抗的幅角，$P$表示功率。
二、复数法的基本原理复数法是一种基于复数的分析交流电路的方法。
对于交流电路中的电压和电流，可以用复数形式表示：$$\hat{V}=V_m \angle \theta$$$$\hat{I}=I_m \angle \varphi$$其中，$\angle$表示相位角。
在复数法中，电路中的元件可以表示为复阻抗$Z$，其模和幅角分别对应电阻的值和相位差：$$Z=|Z| \angle \arg(Z)$$三、复数法的应用利用复数法可以简化交流电路的分析步骤。
首先，将交流电路中的电压和电流表示为复数形式。
然后，利用欧姆定律和功率公式，根据复数的运算法则求解电路中的各个参数。
例如，在求解交流电路中的电流和电压时，可以通过复数法直接计算。
电路中的交流电压与电流的虚部计算方法
电路中的交流电压与电流的虚部计算方法在电路中，我们经常会遇到交流电压和电流的计算问题。
而交流电压和电流中的虚部则是其中非常重要的一个方面。
虚部的计算方法涉及到复数运算，对于一些不熟悉复数的人来说可能会有一定的难度。
本文将探讨电路中交流电压与电流虚部的计算方法，以帮助读者更好地理解和应用。
在电路中，我们常常使用复数表示交流电压和电流。
复数具有实部和虚部两个部分，其中虚部在计算交流电路时起到非常重要的作用。
我们可以将交流电压和电流表示为：V = Vm * cos(ωt + φ)I = Im * cos(ωt + θ)其中V和I分别代表电压和电流的复数表示，Vm和Im分别是电压和电流的最大值，ω是角频率，t是时间，φ和θ是相位角。
虚部计算的关键在于理解复数的幅角。
在交流电路中，电压和电流的相位差会导致电压和电流的波形不同步，即波形的峰值出现的时间不同。
而虚部对应的就是相位差的影响。
在计算虚部时，我们可以采用以下步骤：1. 将交流电压和电流表示为复数形式，即按照上述公式将其转化为复数形式。
2. 提取复数的虚部，虚部对应的就是sin函数部分。
通过对应的三角函数关系，我们可以得到复数的虚部计算公式：虚部= Im * sin(ωt + θ)3. 根据具体问题，代入相应的数值计算。
根据实际的电路条件，可以确定角频率、相位角以及电流或电压的最大值。
虚部计算方法的应用非常广泛。
在电路分析和设计中，我们经常需要计算电路中的交流电压和电流的虚部值，以了解电路的工作情况或分析其性能。
例如，通过计算电压的虚部，我们可以确定电路的相位差和响应频率，从而更好地理解电路的工作原理。
除了虚部的计算方法，交流电路中还有其他常用的计算方法，例如计算电压和电流的实部、计算功率等。
我们在实际应用中需要综合运用这些方法，以获取更全面和准确的电路信息。
总结起来，电路中的交流电压与电流的虚部计算方法是理解交流电路行为和性能的重要工具。
通过理解复数和三角函数关系，并运用虚部的计算方法，我们能够更好地分析电路的响应特性和工作性能。
电路复数方程组求解技巧
电路复数方程组求解技巧电路复数方程组的求解技巧是解决电路中交流电流和电压的工具之一。
它是通过使用复数和相量分析交流电路，简化计算和分析过程的方法。
以下是一些电路复数方程组的求解技巧。
1. 使用复数表示电流和电压。
在解决电路复数方程组时，使用复数来表示电流和电压可以简化计算。
将交流电流和电压表示为复数形式，可以利用复数的代数运算和性质进行计算和分析。
例如，将电压和电流表示为复数形式：V = |V| * e^jθI = |I| * e^jϕ其中，|V|和|I|分别表示幅值，θ和ϕ分别表示相位。
2. 利用相量分析电路。
相量是复数形式的电流和电压的实部和虚部的向量表示。
将电流和电压表示为相量形式可以利用几何图形和向量运算分析电路。
使用相量表示电流和电压可以简化计算，例如，将电阻R、电感L和电容C用相量表示可以得到：Z_R = RZ_L = jωLZ_C = -j/(ωC)其中，Z_R、Z_L和Z_C分别表示电阻R、电感L和电容C的阻抗。
3. 应用欧姆定律和基尔霍夫定律。
在解决电路复数方程组时，可以应用欧姆定律和基尔霍夫定律来分析电路。
欧姆定律是电压、电流和阻抗之间的关系，基尔霍夫定律是电流和电压之间的关系。
利用欧姆定律和基尔霍夫定律可以建立电路复数方程组，然后通过求解方程组确定未知变量的值。
4. 采用复数算术运算。
在解决电路复数方程组时，可以利用复数的代数运算和性质进行计算。
复数的加减法、乘法和除法等运算可以简化计算和推导过程。
例如，对于并联电路，可以使用并联电阻公式：1/Z_parallel = 1/Z_1 + 1/Z_2 + ... + 1/Z_n其中，Z_1、Z_2、...、Z_n分别表示并联元件的阻抗。
5. 使用频率域分析方法。
电路复数方程组可以通过频率域分析方法进行求解。
通过对电路中信号的频率进行分析，可以得到复数方程组的解，并确定电路中电流和电压的频率响应特性。
频率域分析方法可以通过频率响应曲线和Bode图等工具来可视化电路的性能和特性，例如增益、相位和频率响应等。
5.6 交流电路的复数解法
滤波电路
能使某些频率的交流讯号顺利通过，而将另
外一些频率的交流讯号阻挡住的电路
低通滤波电路：将高频流讯号阻挡住
高通滤波电路：能使高频讯号顺利通过，而
将低频流讯号阻挡住的电路
在无线电、多路载波通讯等技术领域中广泛
地使用着各种类型的滤波电路
2016/5/14 9
单级的RC低通滤波电路
I C I 3mA U ' I C ZC 30mV
减少到没有电容的电压的1/50
2016/5/14 16
相移作用
R、C滤波电路，不仅有低
通滤波作用，而且也改变
了输出电压和输入电压的 相位差，因此它可构成相 移电路（相移器）
( ) tan (RC)
1
UC与U相位差
为每一个闭合回路规定绕行方向
u(t) > 0，电势降落为正 u(t) < 0，电势降落为负
标定某一瞬时电源的极性
e(t) > 0 ，电源极性与标定的一致
2016/5/14
e(t) < 0，电源极性与标定的相反
21
符号法则
第一方程
对于节点，流入为负，流出为正
第二方程
从纯理论的角度看，并没有给出什么新东西 基尔霍夫定律的建立使纯理论研究转化为应用理论，使之给出关
于电路中电压、电流、电动势之间的完备方程组，解决了电压、
电流和元件阻抗之间的关系问题，而这种关系本身是应用的前题， 它为电路的测量提供了依据，这正是基尔霍夫的重大贡献。
2016/5/14 24
三级RC低通滤波电路 （三级RC相移电路）
显然输出电压相位落后于输入电压。当输入讯号的 频率一定时，改变电容或电阻，即可改变输出电压 与电流之间的相位差
交流电路的复数解法_2013
任意值, 0 cos 1, 用有效值表示 : P UI cos,
这时0 P I2R.
二、功率因数
定义： cos
I I
P UI cos UI //
I // U
U , I 为电压、电流的有效值。
I// , I 称为有功电流和无功电流
应尽量设法消除无功电流在输电线上的消耗，提高功率因数。
1
2
1
2
Z~ Z~ Z~
1
2
U~ U~1 U~2 ,
并联电路
I~ I~1 I~2 ,
1 Z~1
1 Z~2
1 Z~
例题：求R、L、C串并联电路的总阻抗
和相位差
• 先算L、R 串联电路
的复阻抗ZLR
Z~LR Z~L Z~R R jL
再算总电 路复阻抗
视在功率 （设备上所示的容量，即最大输出功率）
S UI 额定电压、电流值
实际的输出功率与用电器的功率因数密切相关。
如电动机、日光灯都是感性的，可用并联电容的方法 来提高其功率因数。
提高功率因数的意义和方法
在电力系统中，由于输电线路有电阻，不可避免 造成功率和电压这两个方面的损失。为了减小这两种 损失，应该设法减小输电线的电阻（适可而止）和电 流，而减小电流则应以不减小用电器得到的功率为前 提。这因为用电器都需要在一定电压和一定功率（即 额定电压和额定功率）下才能正常工作。
称复阻抗的实部R为有功电阻或电阻， 称复阻抗的虚部X为电抗。
P I 2Z cos I 2R
有功功率只与复阻抗 的实部有关。
纯电阻元件：
0 RR R PR UI I 2R
交流电路的复数解法
§5.3 交流电路的复数解法本章中我们先把电阻、电容和电感三种基本元件在交流电路中的作用讨论清楚，下面再研究它们的组合问题，对于每种元件的特性的作用，都应注意Z 和ϕ两个方面。
§5.3.1 交流电路中的基本元件Basic elements in alternating circuit一、概述：元件自身的特征是用阻抗和初位相（initial phase ）描述的（i ）阻抗：（欧姆定律）I U I U Z //00==（ii ）初位相：i u z ϕϕϕ−=，是U （t ）与i （t ）之间的相位差二、实验：交流电路中各种元件性能的演示下图是交流电路中各种元件性能的演示实验装置，此装置中电源是音频信号（20～20×104HZ ）发生器，f 可调，频率的高低可通过扬声器监听；电流的大小借助于小灯泡来显示；对于电容电感元件；U （t ）与i （t ）之间的位相差，还可在双踪示波器（b 图）上观察。
三、电阻元件：U （t ）与i （t ）具有相同的位相，所以四、电容元件Capacitor我们知道，电容器具有隔直流的作用，因而稳恒的直流电是不能通过电容器的。
但是图4所示实验中交流电源加于电容元件中，电路和中的灯泡亮了，喇叭也响了，在维持电压不变的条件下，频率愈高，喇叭音调愈高，同时灯泡愈亮——这说明频率愈高的交流电愈容易通过电容，双踪示波器显示i （t ）比u （t ）在相位上超前2/π。
下面推导电容器上电太和电容的关系这两点推导结论与实验结果完全一致。
例：一电容C=25×10-6F ，在20V 、50Hz 电源作用下，求I=？，若f 变为500Hz ，则I 又为多少？[解]：20V 是u(t)的有效值，以下所求得的I 亦为有效值由此可见电容对于高频是易通过的（5）电感元件（inductor reactor ）当图4所示的实验中交流电源加于电感元件时，就会观察到与电容元件相反的现象，即在维持电压不变的条件下，灯泡的亮度随频率的增大而减弱。
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§5.3 交流电路的复数解法
本章中我们先把电阻、电容和电感三种基本元件在交流电路中的作用讨论清楚，下面再研究它们的组合问题，对于每种元件的特性的作用，都应注意Z 和ϕ两个方面。
§5.3.1 交流电路中的基本元件Basic elements in alternating circuit
一、概述：元件自身的特征是用阻抗和初位相（initial phase ）描述的
（i ）阻抗：（欧姆定律）
I U I U Z //00==（ii ）初位相：i u z ϕϕϕ−=，是U （t ）与i （t ）之间的相位差
二、实验：交流电路中各种元件性能的演示
下图是交流电路中各种元件性能的演示实验装置，此装置中电源是音频信号（20～20
×104HZ ）
发生器，f 可调，频率的高低可通过扬声器监听；电流的大小借助于小灯泡来显示；对于电容电感元件；U （t ）与i （t ）之间的位相差，还可在双踪示波器（b 图）上观察。
三、电阻元件：U （t ）与i （t ）具有相同的位相，所以
四、电容元件Capacitor
我们知道，电容器具有隔直流的作用，因而稳恒的直流电是不能通过电容器的。
但是图4所示实验中交流电源加于电容元件中，电路和中的灯泡亮了，喇叭也响了，在维持电压不变的条件下，频率愈高，喇叭音调愈高，同时灯泡愈亮——这说明频率愈高的交流电愈容易通过电容，双踪示波器显示i （t ）比u （t ）在相位上超前2/π。
下面推导电容器上电太和电容的关系
这两点推导结论与实验结果完全一致。
例：一电容C=25×10-6F ，在20V 、50Hz 电源作用下，求I=？，若f 变为500Hz ，则I 又为多少？
[解]：20V 是u(t)的有效值，以下所求得的I 亦为有效值
由此可见电容对于高频是易通过的
（5）电感元件（inductor reactor ）
当图4所示的实验中交流电源加于电感元件时，就会观察到与电容元件相反的现象，即在维持电压不变的条件下，灯泡的亮度随频率的增大而减弱。
这表明电感元件的阻抗随频率的增加而增大。
示波器波形表示u(t)超前于i(t)。
图7.交流电路中电感元件性能（a ）电路模型（b ）u(t)比i(t)在相位上超前2/π 下面推导电感元件中电压与电流的关系
① 自感电动势（self-inductive efm ）dt
di L L −=ξ表明电感元件是一个交流电源。
电感
元件上的太降dt
di L t u L AB =−=ξ)(（ii ）由),cos()(0i T I t i ϕω+=cos )(0U t u =T ω( )u ϕ+00)sin()(LI t LI dt
di L t u i AB ωϕωω=+−==与2/cos(πϕω++i t 比较而得U 0=0LI ω，2/πϕϕ+=i u ，因此得出结论
感抗与频率成正比，其初位相00/I U Z L =2/πϕϕϕ=−=i u 表明电感元件上u(t)超前于i(t)2/π相位。
例题2：在一个0.1H 的电感元件上加20V 、50HZ 的电源，求电流。
当频率为500HZ 时，I 又为多少？
[解]：20V 是u(t)的有效值，以下所求I 为有效值。
§5.3.2 交流电路的复数解法
一、什么要用复数法求解交流电路？ （解说）求解交流电路，主要是解决同频简谐量迭加的问题，共有三种解法；
（1）三角函数法：运用三角函数的和差化积求解。
运算复杂，工作量大，容易出错，不能解决较复杂电路的问题。
（2）矢量图解法：将各简谐量化为矢量，用矢量相加法则求解。
此法比较直观，各物理量的大小和位相关系在图上一目了然。
但运算仍比较复杂，一般不易解决复杂电路问题。
（3）复数法：用复数定义不同元件的阻抗以及电源电动势，电压和电流。
就可将交流电路问题转化为与直流电路求解相似的方式加以解决。
简便扼要，可解决复杂电路问题。
综上所述，复数法的优点较大，这是选择复数法的原因。
二、复数法计算同频简谐量的迭加
（1）欧拉公式是复数法的基础。
欧拉定义
由于 这样
（2）计算同频简谐量迭加的基本步骤如下：
(i)复数对应规则将简谐量按下列法则和复数量对应起来
[注意]此处定义与欧拉定义有所不同（因为
多了一个虚部），但并不影响最终结果，只需在最终结果中取其实部便可得到实际
的模拟量。
（ii ）求 下面举例说明，尽管对于简谐量的定义与欧拉公式不一样，但在运算过程中，需要用欧拉公式。
例：求
[解] 注意此处用了欧拉公式： 所以此复数的模为 辐角为
取实部得： 三、复电压、复电流和复阻抗的概念： 根据复数对应规则和复数运算规则，可以得到如下的复电压、复电流和复阻抗的表达： 电压
复电压
电流 复电流 阻抗
注意到在复阻抗表达中，最终表达式是一个简谐量，因为在运算中使用了复数相除的规则是辐角直接相减，所以十分便利，这是三角法所没有的优点。
我们已知道对于电阻元件I u ϕϕ=所以电阻没有位相差：R Z R =。
对于电容元件2/πϕϕ−=−I u ，所以容抗为：C
j e Z Z j C C ωπ12==v L j e Z Z j L L ωπ==2v。