百校联盟2020届普通高中教育教学质量检测考试理科数学
河南省百校联盟2020届高三12月教育教学质量检测考试数学(理)试卷 PDF版含答案
A.
4 3
B.
3 4
c.-f
；D 一
log÷ （x
11.已知双曲线C：去 一 条＝l(a>O,b＞呻左、右焦点分别为F1 ,F2，过几引直线f交双曲线C的渐近线于y
轴右侧 P,Q 两点，其中 OP牛 PQ，记60PQ的内心为M若点M到直线 PQ 的距离为号，则双曲线C的渐
近线方程为 A.Y 二 ±tx
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2020届百校联盟高三4月教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷) 数学(理)试题(解析版)
2020届百校联盟高三4月教育教学质量监测考试（全国Ⅰ卷）数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足121z i i -+=+，则||z =（ ）A ．B ．2C D ．3【答案】A【解析】由条件121z i i -+=+，则211z i i =++-，求出z ，在求||z . 【详解】∵121z i i -+=+，∴2z i =+，∴z ==故选：A 【点睛】本题考查复数的加法运算和模长，属于基础题.2．已知集合{}221,,0A a a =-，{1,5,9}B a a =--，且{9}A B =I ，则（ ） A ．{9,25,0}A = B ．{5,9,0}A =C ．{7,9,0}A =-D ．{7,9,0,25,4}A B ⋃=--【答案】C【解析】由{9}A B =I 可得29a =，或219a -=，则3a =±，或5a =，再检验得出结论. 【详解】由已知可得29a =，或219a -=，∴3a =±，或5a =. 当3a =时，{5,9,0}A =，{2,2,9}B =--(舍)， 当5a =时，{9,25,0}A =，{4,0,9}B =-(舍)， 当3a =-时，{7,9,0}A =-，{4,8,9}B =-. 故选：C 【点睛】本题考查利用集合的交集求参数，注意检验集合的元素的唯一性，属于基础题. 3．已知向量()22,1a x x →=-，(1,3)b →=-，则“13x -<<”是“a →，b →的夹角为钝角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】根据若0a b ⋅<r r，则a →，b →的夹角为钝角或平角，再求出a →，b →反向时x 的取值，从而可得到答案. 【详解】∵223x x a b →→=--⋅，∴130a b x →→⋅-<<⇔<，当//a b →→时，()2321x x -⨯-=，解得：13x =±当1x =时，1,13a →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时a →，b →反向.所以a →，b →的夹角为钝角则13x -<<且1x ≠所以“13x -<<”不能得到“a →，b →的夹角为钝角. 当“a →，b →的夹角为钝角”则能得到“13x -<<”.∴“13x -<<”是“a →，b →的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断和向量的夹角与数量积的关系，属于中档题. 4．将函数2sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，所得函数（ ） A ．在区间3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 B ．在区间5,88ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 C ．以8x π=为一条对称轴D ．以3,08π⎛⎫⎪⎝⎭为一个对称中心 【答案】B【解析】由三角函数的图像平移得出解析式2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后再根据函数()sin y A ωx φ=+的图像性质对选项进行逐一判断，即可得出答案.【详解】将函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度,可得2sin 22sin 2444y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由222()242k x k k πππππ--+∈Z 剟，得3()88k x k k ππππ-+∈Z 剟， ∴单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，故A 错误； 由32+22()242k x k k πππππ-+∈Z 剟，得37+()88k x k k ππππ+∈Z 剟 当1k =-时，函数在5,88ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减. 故B 正确 由242x k πππ-=+，得对称轴为3()28k x k ππ=+∈Z ，故C 错误； 由24x k ππ-=，得()28k x k ππ=+∈Z ，对称中心为,028k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：B 【点睛】本题考查根据三角函数的图像平移得出解析式，进一步研究函数的单调性和对称性，属于中档题.5．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．83πB ．8πC ．163πD ．12π【答案】B【解析】由三视图知，该几何体为一个圆柱挖去半个球和一个圆锥，然后求体积.【详解】由三视图知，该几何体为一个圆柱挖去半个球和一个圆锥， ∴3114164228323V ππππ=-⨯⨯-⨯⨯=. 故选：B 【点睛】本题考查根据三视图求体积，属于中档题.6．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话.小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（ ） A ．13B ．12C ．25D ．34【答案】C【解析】根据题意，等待时间不超过10分钟的时间段分别为7：50~8：00，8：20~8：30，共20分钟，7：40至8：30之间共50分钟，由几何概型即可求出概率. 【详解】由题意可知，满足条件的时间段为7：50~8：00，8：20~8：30，共20分钟， 7：40至8：30之间共计50分钟， 由几何概型知所求概率为202505=. 故选：C . 【点睛】本题考查几何概型求概率问题，属于基础题.7．已知函数()212()log f x x ax a =-+在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎛⎤-⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】可看出该函数是由对数函数和二次函数复合而成的复合函数，这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义域便可建立关于a 的不等式组，解出a 的取值范围即可． 【详解】12log y x =Q 在(0,)+∞上为减函数，2y x ax a ∴=-+在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，且0y >，122a -∴-≤，且211022a a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 1a ∴≤，且12a ≥-，1,12a ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦.故选：B . 【点睛】本题考查复合函数单调性的应用，涉及复合函数单调性的判断，解题关键是对数函数的定义域、二次函数的性质的运用，属于中等题.8．在平面直角坐标系xOy 中，A ､B 为函数||y x =图象上的两点，若线段AB 的中点M 恰好落在曲线22330x y -+=上，则OAB V 的面积为（ ）A ．2BCD 【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设10x <，20x >，由线段AB 的中点M ，则122122x x x x M ⎛⎫+-⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,将M 的坐标代入曲线22330x y -+=可得123x x =-，然后求出1OA x =，2OB x =，利用三角形的面积公式可求得答案. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点(,)M x y . 由题意，不妨设10x <，20x >.∵12121221233333222x x xx x y y x x y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪+-⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎩， 点(,)M x y 在22330x y -+=上，则22221221123333223330x x x x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫-=-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎣⎦++=⎝∴123x x =-，又∵2211123OA x y x =+=-， 22222233OB x y x =+=，23AOB π∠=，∴1213sin 323OAB S OA OB AOB x x =⋅⋅∠=-=△. 故选：B 【点睛】本题考查中点坐标公式的应用和求三角形的面积，属于中档题.9．一只蚂蚁从正四面体A BCD -的顶点A 点出发，沿着正四面体A BCD -的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A 点的概率为（ ）A ．2027B ．79C ．727D ．29【答案】C【解析】设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为n P ，易知11P =.则1121(13)n n n P P P --=+⨯-,先求出n P 的通项公式，然后可得4P ，从而可得答案. 【详解】由题意知，蚂蚁每次爬行到下一个顶点的概率均为13， 设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为n P ，易知11P =.则1121(13)n n n P P P --=+⨯-，∴1313434n n P P -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴数列34n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以为14为首项，以13-为公比的等比数列. ∴()*331443nn P n ⎛⎫=-⋅-∈ ⎪⎝⎭N ，∴第4秒时蚂蚁在A 点的概率为4207112727P -=-=. 故选：C 【点睛】本题考查概率的计算和利用数列的递推关系求通项公式，属于中档题.10．在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，BC =，则ADB ∠的最大值为（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】B【解析】设CD a =，则2AB a =，BC =.取AB 的中点M ，延长AB 到N 点，使BN a =，连接CM ，CN .在MBC △,NBC V 中分别用余弦定理可得2228m n a +=，然后在ABD △中用余弦定理结合均值不等式可求解出答案. 【详解】设CD a =，则2AB a =，BC =.取AB 的中点M ，延长AB 到N 点，使BN a =，连接CM ，CN . 由平面几何知识，易知AD MC =，BD NC =. 设AD MC m ==，BD NC n ==.在MBC △中，222)2cos m a a MBC =+-⨯⋅∠，在NBC V 中，222)2cos()n a a MBC π=+-⨯⋅-∠，∴2228m n a +=，在ABD △中，222244cos 22m n a a ADB mn mn+-∠==， 又∵22228mn m n a +=„，∴222441cos 282a a ADB mn a ∠==…，∴ADB ∠的最大值为3π. 故选：B【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形结合均值不等式求最值，属于中档题.11．我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，M ､N 分别是1BB 和11A C 的中点，则平面AMN 截“堑堵”111ABC A B C -所得截面图形的面积为（ ）A 221B ．213C ．273D ．473【答案】A【解析】延长AN ，与1CC 的延长线交于点P ，则P ∈平面11BB C C .连接PM ，与11B C 交于点E ，连接NE ，可得截面图形，然后计算其面积. 【详解】延长AN ，与1CC 的延长线交于点P ，则P ∈平面11BB C C .连接PM ，与11B C 交于点E ，连接NE ，得到的四边形AMEN 就是平面AMN 截“堑堵”111ABC A B C -所得截面图形.由已知可求得：2215AM AN ==+=, 由1△PC E ∽1△EB M ，可得1111223B E B E ==142C E = 2221713ME ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭,2424217121cos 4533NE ⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒= ⎪ ⎪⎝⎭()222115+16MN A N A M =+==.()2222161176221656222323S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴截面面积2213S =. 故选：A【点睛】本题考查作出平面截空间立体几何图形的截面并计算其面积，属于中档题.12．已知函数()ln 2f x a x x =-，若存在*x ∈N ，使()0f x >成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,)e +∞ B ．4,ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．6,ln 3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．(2,)+∞【答案】C【解析】显然当1x =时，不成立，则当1x >时，即2ln x a x >，设2()ln xg x x=，分析出函数()g x 的单调区间，然后可得出答案. 【详解】由题意，得ln 20a x x ->，当1x =时，20->不成立； 当1x >时，2ln x a x >，设2()ln xg x x=，则22(ln 1)()(ln )x g x x -'=，当(1,)x e ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数， 当(,)x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数.当2x =时，4(2)ln 2g =，当3x =时，6(3)ln 3g =，又∵4ln3ln81ln646ln2=>=，∴46ln 2ln 3>，∴6ln 3a >. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调区间进一步解决存在性问题，属于中档题.二、填空题13．若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则|1|z x y =-+的最大值为__________.【答案】2811【解析】根据条件，作出可行域，分析出可行域在直线10x y -+=的同侧，然后利用目标函数的几何意义可求解. 【详解】由线性约束条件，得到图中ABC V 所在的区域，在图中做出直线10x y -+=，可以看出三角形区域ABC 的所有点都在直线10x y -+=的同一侧，所以当直线10x y -+=平移经过点B 时，z 取得最大值.由4360210x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得152,1111B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入1z x y =-+，得2811z =. 故答案为：2811【点睛】本题考查简单线性规划问题，属于中档题.14．在()251()x x x a +--的展开式中，含5x 项的系数为14，则实数a 的值为___________.【答案】1-或32【解析】由()2525551()()()()+x x x a x x a x x a x a =-+-----，又5()x a -的展开式的通项公式为()515rr rr T C x a -+=-，可得含5x 项，从而可得其系数，从而可得答案.【详解】()2525551()()()()+xx x a x x a x x a x a =-+-----又5()x a -的展开式的通项公式为()515rr r r T C x a -+=-由已知，含5x 的项为22324050555C ()C ()(1)C ()x x a x x a x a -+⋅-+-⋅-⋅()251051a a x =--，∴2105114a a --=，即2230a a --=，解得1a =-或32. 故答案为：1a =-或32. 【点睛】本题考查二项式展开式中指定项的系数，求参数的值，属于基础题. 15．已知实数,x y 满足20y x ≥>，则92y x x x y++的最小值为_____. 【答案】174【解析】采用换元法设yt x=，由已知可得2t ≥，可得9922y x t x x y t +=+++，令9()(2)2f t t t t =+≥+，利用导数求最值即可. 【详解】 设yt x=，由已知可得2t ≥， 9922y x t x x y t ∴+=+++，令9()(2)2f t t t t =+≥+， 29()10(2)f t t '=->+Q ， 9()2f t t t ∴=++在[2,)+∞上为增函数， 917()24f t t t ∴=+≥+，即91724y x x x y +≥+.故答案为：174. 【点睛】本题考查函数的最值问题，题目含有双变量，此类问题可用换元法将其转化为函数，再利用导数求解最值，属于中等题.16．已知1F ､2F 为双曲线2214x y -=的左､右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若12PF F △内切圆的圆心为I ，则圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离的最小值为____________. 【答案】1【解析】设12PF F △内切圆与12PF F △的三边1PF ､2PF ､12F F 的切点分别为D ､N ､M ，根据圆的切线性质，可得2OM =，即可得答案.【详解】由双曲线2214x y -=，则 2,1,a b c ===设12PF F △内切圆与12PF F △的三边1PF ､2PF ､12F F 的切点分别为D ､N ､M ， 根据圆的切线性质，可得1224F M F M a -==，又因为1212F M F M F F +==，∴12F M =，即2OM =， ∴内切圆圆心I 在直线2x =上.又因为圆22(1)1y x +-=的圆心为(0,1)，半径1r =， ∴圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离的最小值为211-=. 故答案为：1 【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，属于中档题.三、解答题17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，210S =，()*1121n n n S a n N n +-=+∈+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*2(1)!n n n a b n N n =∈+，数列{}nb 的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<.【答案】（1）()*2nn a n n =⋅∈N .（2）证明见解析【解析】(1)由1121n n n S a n +-=++有()*1222,n n n S a n n n--=+∈N …两式相减可得()*122,1n n a an n n n+=⋅∈+N …，从而可求出答案. (2)由112(1)!(1)!!(1)!n n n a n b n n n n ===-+++用裂项相消可求和.【详解】（1）当1n =时，112S a ==， ∵210S =，∴28a =， 又∵()*1121n n n S a n n +-=+∈+N ， ∴()*1222,n n n S a n n n--=+∈N …， ∴()*1122,1n n n n n a a a n n n n +--=-∈+N …， 整理得：()*122,1n n a an n n n+=⋅∈+N …， ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭从第二项242a =开始是公比为2的等比数列. ∴2422n n na n-=⨯= ∴()*22,nn a n n n =⋅∈N …又∵当1n =时，12a =满足2nn a n =⋅.∴()*2nn a n n =⋅∈N .（2）由（1）得()*112(1)!(1)!!(1)!n n na nb n n n n n ===-∈+++N ， ∴111111112!2!3!!(1)!(1)!n T n n n =-+-+⋯+-=-++，显然当*n ∈N 时，n T 为单调递增函数，且10(1)!n >+，∴1112n T T =<…成立. 【点睛】本题考查利用n a 和n S 的递推关系求通项公式和利用裂项相消可求和，属于中档题. 18．某市为了了解该市教师年龄分布情况，对年龄在[20,60]内的5000名教师进行了抽样统计，根据分层抽样的结果，统计员制作了如下的统计表格： 年龄区间 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 教师人数 2000 1300 样本人数130由于不小心，表格中部分数据被污染，看不清了，统计员只记得年龄在[20,30)的样本人数比年龄在[50,60]的样本人数多10，根据以上信息回答下列问题：（1）求该市年龄在[50,60]的教师人数；（2）试根据上表做出该市教师按照年龄的人数频率分布直方图，并求该市教师年龄的平均数x 及方差2s (同一组的数据用该组区间的中点值作代表). 【答案】（1）800.（2）频率分布直方图见解析，39x =，292s = 【解析】(1)设样本容量为x ，由130********x⨯=解得x 的值，进一步求得年龄在[30,40)的教师在样本中的人数，可得年龄在[20,30)和[50,60]的教师在样本中的人数，在列式计算.(2)分布求出各区间段的频率，即可画出频率分布直方图，再由期望与方差公式求解即可. 【详解】（1）设样本容量为x ，则130********x⨯=，解得500x =， ∴年龄在[30,40)的教师在样本中共有50020002005000⨯=(人)， ∴年龄在[20,30)和[50,60]的教师在样本中共有500200130170--=(人)， 设年龄在[50,60]的教师在样本中的人数为y ， 由题意可知：(10)170y y ++=，∴80y =，∴该市年龄在[50,60]的教师人数为500080800500⨯=. （2）由（1）可知，年龄在[20,30)的教师人数为500020001300800900---=(人)，频率为9000.185000=， 年龄在[30,40)的教师人数为2000(人)，频率为20000.45000=， 年龄在[40,50)的教师人数为1300(人)，频率为13000.265000=， 年龄在[50,60]的教师人数为800(人)，频率为8000.165000=. 由此做出频率分布直方图.250.18350.4450.26550.1639x =⨯+⨯+⨯+⨯=；22222(2539)0.18(3539)0.4(4539)0.26(5539)0.1692s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.【点睛】本题考查频率分布直方图，利用频率分布直方图求期望与方程的估计值，属于中档题. 19．如图，将斜边长为42的等腰直角ABC V 沿斜边BC 上的高AD 折成直二面角B ADC --，E 为AD 中点.（1）求二面角A BC E --的余弦值；（2）M 为线段BC 上一动点，当直线DM 与平面BCE 所成的角最大时，求三棱锥M CDE -外接球的体积.【答案】（1）223.（2510 【解析】(1)设F 为BC 中点，连接EF ､AF 得出BD ⊥平面ADC ，由平面几何可知EF BC ⊥，AF BC ⊥，则EFA Ð就是二面角A BC E --的平面角，在EFA △中求解.(2) 设直线DM 与平面BCE 所成的角为α,点D 到平面BCE 的距离为d ，则sin d DM α=，由等体积法可得求得233d =，当DM 最小时，直线DM 与平面BCE 所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大，从而当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成的角最大，此时2DM =，可求出三棱锥M CDE -外接球的体积. 【详解】 【详解】解法一：（1）设F 为BC 中点，连接EF ､AF . ∵ABC V 为等腰直角三角形， 且二面角B AD C --为直二面角， ∴BD ⊥平面ADC∴22AD BD CD ===，4AB BC CA ===， 由平面几何可知，10BE CE ==， ∴EF BC ⊥，AF BC ⊥，∴EFA Ð就是二面角A BC E --的平面角， 在EFA △中，2AE =，224223AF =-=，1046EF =-=，∴2221622cos 23122EF AF AE EFA EF AF +-∠===⨯⨯， ∴二面角A BC E --的余弦值为223.（2）设直线DM 与平面BCE 所成的角为α，点D 到平面BCE 的距离为d ， 则sin d DMα=， 在三棱锥B CDE -中，1262BCE S BC EF =⨯⨯=△， 由B CDE D BCE V V --=三棱锥三棱锥，求得23d =，∴当DM 最小时，直线DM 与平面BCE 所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大， ∴当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成的角最大，此时2DM =. 由平面几何知识可知，CDE △和CME △都是直角三角形，设N 为CE 的中点， 则11022ND NE NC NM CE =====， ∴三棱锥M CDE -外接球的半径为102， ∴外接球的体积3410510323V ππ⎛⎫==⎪⎝⎭.解法二：（1）∵ABC V 为等腰直角三角形，且二面角B AD C --为直二面角，∴BD ⊥平面ADC ， ∴BD CD ⊥，∴以D 为坐标原点，以DA ､DC ､DB 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.∵在平面图形中，ABC V 是斜边为42的等腰直角三角形，且E 为高AD 的中点， ∴(0,0,0)D ，(22,0,0)A，(0,0,22)B ，(0,22,0)C ，(2,0,0)E ，∴(22,22,0)AC =-，(0,22,22)BC =-u u u r，(2,22,0)EC =-，设平面ABC 的一个法向量为()111,,m x y z =u r，平面BCE 的一个法向量为()222,,n x y z =r，由00m BC m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v v ，得11112222022220y z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令11x =，则111y z ==∴(1,1,1)m =u r，同理可求得(2,1,1)n =r，∴22cos ,336m n m n m n ⋅〈〉===⨯⨯u r ru r r u r r ， ∴二面角A BC E --的余弦值为22.（2）如图，设(01)BM BC λλ=剟， 可得(0,22,2222)M λλ-， ∴(0,22,2222)DM λλ=-，又由（1）可知平面BCE 的法向量为(2,1,1)n =r，∴2222cos ,244263(21)1DM n λλλ〈〉==-+⨯⨯-+u u r r即直线DM 与平面BCE，∵01λ剟，3，当且仅当12λ=时，等号成立. ∴当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成的角最大，此时2DM =. 由平面几何知识可知，CDE △和CME △都是直角三角形，设N 为CE 的中点，则122ND NE NC NM CE =====， ∴三棱锥M CDE -外接球的半径为2， ∴外接球的体积34323V π⎛==⎝⎭. 【点睛】本题考查求二面角的余弦值和三棱锥外接球的体积的求法，考查空间线线、线面、面面的位置关系，属于中档题.20．动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）24y x =.（2）存在点(2,0)Q ，定值为14. 【解析】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P 的轨迹方程；（2）假设存在(,0)Q a ，设()11,S x y ､()22,T x y ，由题意知直线l '的斜率必不为0，设直线l '的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得()212222121121t a QS QT a t ++=+，当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. 【详解】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =.当P 点不在y 轴上时，过P 做PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ∴==，PG ∴=又PA =Q ，=24(0)y x x =≠；当P 点在y 轴上时，易知P 点与O 点重合.(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =.（2）假设存在(,0)Q a ，满足题意.设()11,S x y ､()22,T x y .由题意知直线l '的斜率必不为0， 设直线l '的方程为()110x t y a t =+≠.由124x t y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y t y a --=.1214y y t ∴+=，124y y a ⋅=-. ()2121121242x x t y y a t a ∴+=++=+，2221212116x x y y a ⋅=⋅=. ()()2222221111114(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+Q ，()()2222222222224(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，()222221212(42)2QS QT x x a x x a ∴+=++-++()()22121212(42)22x x a x x x x a =++-+-+()()21212124222x x x x a x x a =+++--+ ()()22114244t a t =++， ()222221161QS QT a t ⋅=+.()()()()2222211122222222211424411221161t a t QS QT t a QS QT QS QT a t a t ++++∴+===⋅++， 当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. ∴存在点(2,0)Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211QS QT +为定值14. 【点睛】本题考查轨迹方程、定值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型.21．已知函数1()f x ax x =+，()1xe g x x=-. （1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）当12a =时，设(,)P x y 为函数()1ln ((0,))()1x g x y x x f x ⋅-=∈+∞⋅-图象上任意一点.直线OP 的斜率为k ，求证：01k <<.【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析【解析】(1)由22211()ax f x a x x-'=-=，分0a ≤与0a >两类讨论，可求得函数()f x 在(0,)+∞上的单调区间.(2)由已知，即证0y x <<,由于2()11ln ln 1()12x x g x e x y x f x x ⋅---==⋅-，即证210ln 12x e x x x --<<，①设21()12x h x e x x =---，②构造函数21()12x x s x e x x e =---，利用导数研究这两个函数的单调性及函数取值情况，可证结论.【详解】（1）∵1()f x ax x=+， ∴22211()ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，由()0f x '=，得x a=±(舍负)当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. （2）证明：由已知，即证0y x <<. ∵2()11ln ln 1()12x x g x e x y x f x x ⋅---==⋅-， ∴即证210ln 12x e x x x --<<， ①设21()12x h x e x x =---， ∴()1x h x e x '=--， ∴()1x h x e ''=-，∵(0,)x ∈+∞，∴()10x h x e ''=->，∴()h x '为增函数∴()1(0)0x h x e x h ''=-->=， ∴()h x 为增函数 ∴21()1(0)02x h x e x x h =--->=， ∴21102x e x x --->， 即2112x e x x -->，即21112x e x x -->， ∴21ln 012x e x x -->，即0y >， ②构造函数21()12x x s x e x x e =---，∵21()12x x x s x e xe x e '=---， 21()22x x s x xe x e ''=--， ∴21()202x x s x xe x e ''=--<， ∴()s x '在(0,)+∞上为减函数，∴()(0)0s x s ''<=，∴()s x 在(0,)+∞上为减函数，∴()(0)0s x s <=， ∴2112x x e x x e --<， ∴2112x x e x e x --<，即21ln 12x e x y x x --=<成立. 由①②可知0y x <<， ∴01k <<成立.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，考查证明不等式的有关问题，考查分离讨论和构造函数，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 04πρϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，P 为直线l 上的任意一点. （1）Q 为曲线C 上任意一点，求P Q 、两点间的最小距离；（2）过点P 作曲线C 的两条切线，切点为A B 、，曲线C 的对称中心为点C ，求四边形PACB 面积的最小值.【答案】（1）1.（2【解析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程可得圆，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，由直线与圆的位置关系可得P Q 、两点间的最小距离；（2）△P AC 与△PBC 为直角三角形，AC =BC =1，根据图形的对称性及勾股定理可知，四边形PACB的面积2PAC S S PA AC PA ==⨯==△PC 最小时面积最小，由此能求出面积的最小值．【详解】（1）由曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)，得22(1)(1)1x y -+-=， ∴曲线C 是以(1,1)为圆心，以1为半径的圆.由sin 04πρϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 20ρϕρϕ++=， cos sin x y ρϕρϕ=⎧⎨=⎩Q ，:20l x y ∴++=， P Q 为直线l 上的任意一点，Q 为圆C 上任意一点，min min 1PQ PC ∴=-(其中C 为圆心)，又min PC ==Qmin 1PQ ∴=-.（2）由题意，△P AC 与△PBC 为直角三角形，AC =BC =1，根据图形的对称性及勾股定理可知，四边形PACB 的面积2PAC S S PA AC PA ==⨯==△由（1）知，min PC =∴四边形PACB 面积的最小值min S =.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程，解题关键是利用极坐标与直角坐标的关系将极坐标方程与参数方程转化为直角坐标方程，利用直线与圆位置关系求解即可，属于中等题.23．若0a >，0b >，且223a b ab ++=.（1）求2a b +的最小值；（2）是否存在a ､b ，使得33a b +=？并说明理由.【答案】（1）4.（2）不存在a ，b ，理由见解析【解析】(1) 利用均值不等式有3222ab a b =++…，从而可求解出答案.(2)由均值不等式有33a b +厖1）2ab …可得出答案. 【详解】（1）由3222ab a b =+++…，得2ab …，当且仅当22a b ==时等号成立. 故2324a b ab +=-…，当且仅当22a b ==时等号成立. 所以2a b +的最小值为4.（2）由（1）知，33a b +厖当且仅当22a b a b =⎧⎨==⎩时等号成立).因此，33a b +>.从而不存在a ，b ，使33a b +=.【点睛】本题考查利用均值不等式求最值和考查等号成立的条件，属于中档题.。
2020届高三百校大联考数学(理)
正确结论的个数为
（ ）
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．３
Ｄ．４
１２．在三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ中，ＰＡ⊥平面 ＡＢＣ，底面 ＡＢＣ是钝角三角形，
且 ＡＢ＝ＡＣ＝２，Ｓ△ＡＢＣ ＝槡３，二面角 Ｐ－ＢＣ－Ａ的度数为 ６０°，则三
棱锥 Ｐ－ＡＢＣ的外接球的表面积为
（ ）
Ａ．１９π
Ｂ．１９３π
Ｃ．４３３π
Ｄ．６７３π
题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案
（ ）
Ａ．ｍ＋ｎ＝１ Ｂ．ｍｎ＝１
Ｃ．ｍ２ ＋ｎ２ ＝１ Ｄ．ｍｎ＝１２
８．如图所示的程序框图，输入 ｍ＝２，若输出的值为 ３２，则判断框内
应填入的条件为
（ ）
否
输入 开始
是
结束
输出
Ａ．ｎ＞６ Ｂ．ｎ＜６
Ｃ．ｎ≥６
Ｄ．ｎ≤６
９．若各项均为正数的数列｛ａｎ｝的前
组别（单位： ［２０，４０） ［４０，６０） ［６０，８０） ［８０，１００）［１００，１２０）［１２０，１４０］
百元）
频数
３
１１
２０
２７
２６
１３
（１）由频数分布表大 致 可 以 认 为，被 抽 查 超 市 ３天 内 进 货 总 价
Ｗ～Ｎ（μ，２０２），μ近似为这 １００家超市 ３天内进货总价的平均
【２０２０届 高 三 · 数 学 （理 ）试 题 · 第 ４页 （共 ４页 ）】
观、欣赏花坛，他从 Ａ花坛开始，在道路网
中随机地选择一条最短路径，从 Ｅ花坛离
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
开，则他经过中心花坛 Ｏ的概率是 （ ）
百校联盟2020届普通高中教育教学质量监测考试1月高三理科数学试题(全国1卷)
2020届普通高中教育教学质量监测考试理科数学考试范围：高考全部内容本试卷满分150分，测试时间120分钟注意事项：1. 本试卷分第I卷(选择题)和第I卷(非选择题)两部分.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.3. 全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={ x | x 2- x-12>0}，N={ x|2x ≤ 64 } ，则M∩N=A. {x|3 < x ≤ 6 }B.{x|x<-4，或 3<x≤6}C.{x|x< - 3，或 4 <x ≤ 6 }D. {x|4 < x ≤ 5 }2.设复数z=3 - i1+ 3 i，则|z|=A.14B. 3C.32 D. 13.已知f (x)=x2ln(x—1)，则曲线y = f(x)在点(2，f (2))处的切线方程为A. y =4 x—8B. y = 2x + 4C. y = 2x—4D. y = 8x—164.如图是某地某月1日至15日的日均温度变化的折线图，根据该折线图，得到如下列结论：①以日期为解释变量，日均温度为预报变量的相关系数r<0；②由折线图，能预测第16日，日均温度低于17度；③由折线图，能预测本月的日均温度；④这15天日均温度的极差为16度.其中正确的是A.①②④B.②③C.①④D.①③5.已知 a = log0.20. 3，b=log20. 3，c=log0.32，则a，b，c的大小关系为A. a<b<cB. b<c<aC. a<c<bD. c<b<a6.在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍.如图，是利用算筹表示数1〜9的一种方法,例如:47可以表示为“ | ||| ∏”，如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用8根小木棍的概率为A.1114 B.314C.7384 D.677.已知等差数列中，当且仅当n = 8时.数列{a n}的前n项和S n取得最大值，且a9+a8>0,则满足S n• S n+1<0的正整数n的值为A. 15B. 16C. 17D. 188.已知F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1作双曲线C一条渐近线的垂线l交另一条渐近线于点A，交y轴于点E，若E为线段F1A的中点，则双曲线C的离心率为A. 3B. 2C. 2D. 39.执行如图的程序框图，若输入x=-12，则输出y的值为A.-8564 B. -2716C.8564 D.271610.已知函数f(x)=A sin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,0<ϕ<π2)的部分图象如图所示，则f (3π8 ) =A.2 -64 B.2 +64C.6 -24 D.6 -2211.函数f(x)的定义域为R，已知f(x— 1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，且函数f(x)在区间［1，5］上为增函数，则f(0)，f(π2)，f(2π)的大小关系是A. f(0)<f(π2)<f(2π) B. f(π2)<f(2π)< f(0)C. f(0)< f(2π)<f(π2) D. f(π2)< f(0)<f(2π)12.如图，在同一平面中△ABC的面积为S1，△\ABD的面积为S2，且S1=3S2，数列{a n}满足a1 =1,a2 = 3，当n≥2时，恒有114()(2)3n n n nAB a a AC a a AD-+=-+-u u u r u u u r u u u r,数列｛a n｝的前n项和为Tn，则A.22223nna-+= B. a n = 3n-1 C.312nnT-= D.212329nnnT++-=第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知实数x,y满足242x yy xy x+≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则z=x+y的最大值是 __ .14.若(x2-ax)5展开式中x项的系数为- 80,则a = .15. 已知F 为抛物线C ：y 2=2x 的焦点，直线x -my+m -1 = 0与抛物线C 交于A ，B 两点，则|AF | + |BF | 最小值为 .16. 在我国古代的数学专著《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(bi ēnào)， 已知鳖臑 P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，若PA=AB=22，BC=2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，则三棱锥P -AEF 的外接球的表面积为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)(1) 求 A ;(2) 若D 是AC 的中点,BD= 14，求△ABC 的面积.18. (本小题满分12分)如图，在三棱锥P-ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA 丄平面ABC ，PA=AB ，E ，F ，N 分别为边PC ，PB ， AC 的中点，M 为BF 的中点. (1)证明:MN//平面AEF ；(2)求直线MN 与平面AFN 所成角的正弦值.19. (本小题满分12分)已知楠圆22221x y a b += (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2| =2，点P 在椭圆上，tan ∠PF 1F 2=157，且△PF 1F 2的面积为153. (1) 求橢圆的方程；(2) 过F 2的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且222AF F B =u u u u r u u u r，求|AB|.20. (本小题满分12分) 设函数sin ()()2cos R xf x ax a x=-∈+ .(1) 若a = 0,求f (x )的单调区间;(2) 若在x ∈(0,+∞)上，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围.21. (本小题满分12分)某陶瓷厂只生产甲、乙两种不同规格的瓷砖，甲种瓷砖的标准规格长宽为600 mm ⨯600 mm ，乙种瓷砖的标准规格长宽为900 mm ⨯400 mm ，根据长期的检测结果，两种规格瓷砖每片的重量x (kg)都服从正态分布N(μ,σ2),重量在(μ-3σ，μ+3σ)之外的瓷砖为废品，废品销毁不流人市场，其它重量的瓷砖为正品. (1) 在该陶瓷厂生产的瓷砖中随机抽取10片进行检测，求至少有1件为废品的概率；(2) 监管部门规定瓷砖长宽规格的“尺寸误差”的计算方式为：若瓷砖的实际长宽为a (mm)，b mm)，标准长宽为a (mm)，b (mm)，则“尺寸误差”为|a -a | +|b -b |.按行业生产标准，其中“一级品”、“二级品”、“合格品”的“尺寸误差”的范围分别是［0，0. 1］，(0. 1，0. 2］，(0，2,0.4］(正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于 0.4 mm 的瓷砖)，现分别从甲、乙两种产品的正品中各随机抽取100片，分别进行“尺寸误差”的检测，统 计后，绘制其频率分布直方图如下：已知经销商经营甲种瓷砖每片“一级品”的利润率为0. 12，“二级品”的利润率为0. 08，“合格品”的利润 率为0. 02,经销商经营乙种瓷砖每片“一级品”的利润率为0.10，“二级品”的利润率为0.05，“合格品”的 利润率为0. 02,若视频率为概率.(i)若经销商在甲、乙两种瓷砖上各投资10万元，X 1和X 2分别表示投资甲、乙两种瓷砖所获得的利 润，求X 1和X 2的数学期望和方差，并由此分析经销商经销两种瓷砖的利弊；(ii)若经销商在甲、乙两种瓷砖上总投资10万元，则分别在甲、乙两种瓷砖上投资多少万元时，可使得投资所获利润的方差和最小？附：若随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-σ<X <μ+σ)=0. 6827, P (μ-2σ<X <μ+2σ)=0. 9545，P (^μ-3σ<X <μ+3σ)=0. 9974， 0. 682710≈0. 0220，0. 954510≈0. 6277，0. 997410≈0. 9743.请考生从第22.23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所 选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.(本小题满分10分)【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为221222x t t y t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，曲线C 2的参数方程为 2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1和C 2的极坐标方程；(2)直线l 的极坐极方程为θ =π6，直线l 与曲线C 1和C 2分别交于不同于原点的A ，B 两点，求|AB |的值.23.(本小题满分10分)【选修4-5：不等式选讲】 已知f (x )=| 2x+2 | +| x -m |，若函数f (x )的最小值为2.(1) 求m 的值；(2) 已知关于a ，b 的二元方程a 2+b 2=m 有实数解，求221112a b +++ 的最小值.。
【数学】百校联盟(全国I卷)2020届高三12月教育教学质量监测考试(理)
百校联盟（全国I 卷）2020届 高三12月教育教学质量监测考试（理）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.5273i i i--=+ A.1175858i + B.1175858i -+ C.1175858i - D.1175858i --2.已知集合M ＝{x|8x 2－9x ＋1≤0}，N ＝{x|y ，则()R M N =A.[1,)+∞B.11(,)82 C.11[,)82 D.1(,1]23.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝35，S 3＝2120，则a 4＝ A.340-或8140 B.－8140或340 C.8140 D.3404.设向量m ，n 满足|m|＝2，|n|＝3，现有如下命题： 命题p ：|m －2n|的值可能为9；命题q ：“(m －2n)⊥m”的充要条件为“cos<m ，n>＝13”； 则下列命题中，真命题为A.pB.p ∧qC.(﹁p)∧qD.p ∨(﹁q)5.记抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线上，若MN NF=，且N(2，2)，则抛物线C的准线方程为A.x＝－1B.x＝－2C.x＝－3D.x＝－46.函数3sin2()xx xf xe+=在[－2π，2π]上的图象大致为7.元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗。
”基于此情境，设计了如图所示的程序框图，若输入的x的值为，输出的x值为9，则判断框中可以填A.i>4B.i>5C.i>6D.i>78.2019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款、法国8款、荷兰4款)，其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国。
2020届百校联盟(全国卷)高三第六次调研考试数学(理)试题
2020届百校联盟（全国卷）高三第六次调研考试高三数学（理科） ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确选项） 1．设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()R A C B I （ ） A ．{01}x x <≤ B ．{01}x x << C ．{12}x x ≤<D ．{02}x x <<2．已知集合{|01,}A x x x N =≤≤∈，则集合A 的子集个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uur（ ）A ．3144AB AC -uuu r uuu rB ．1344AB AC -uuu r uuu rC ．3144AB AC +uuu r uuu rD ．1344AB AC +uuu r uuu r4．已知向量(1,7)m =与向量(tan ,18tan )n αα=+平行，则tan 2α的值为（ ） A ．43-B ．43C ．34-D ．345．已知函数3()sin(2)2f x x π=+（x R ∈)，下面结论错误的是（ ) A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数6．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =b =6A π∠=，则B ∠=（ ） A ．4π B ．4π或34π C ．3π或23π D ．3π7．已知命题:p 对任意()480,,log log x x x ∈+∞<，命题:q 存在x R ∈，使得tan 13xx =-，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧ 8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a 满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是（ ）A ．1(,)2-∞ B ．1(,)2-∞3(,)2+∞ C ．13(,)22 D ．3(,)2+∞9．函数y=2|x|sin2x 的图像可能是（ ）10．已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，且当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+，当[0,2)x ∈时，()1xf x e =-，则(2016)(2015)f f +-=（ ）A ．1e -B ．1e -C ．1e --D ．1e +11．已知a 为常数，函数32()3(3)1xf x ax ax x e =---+在(0,2)内有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）A ．(,)3e -∞B ．2(,)3e eC ．2(,)36e eD ．(,)3e+∞12．已知21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数12,x x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ． (0,1]B ． (1,)+∞C ．(0,1)D ．[1,)+∞第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线．．．．．．．．上） 13．已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧---∈3,2,1,21,21,1,2α，若幂函数αx x f =)(为奇函数，且在0+∞（，）上单调递减，则α=_________14．已知曲线3ln y x x =-，则其在点(1,3)处的切线方程是_______________15．在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF uu v|=2，则AE uu u v ·BF uu v的最小值为 __________．16．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为__________三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）17．（本小题满分12分）设常数a R ∈，函数f x （）=x x a 2cos 22sin + （1）若f x （）为偶函数，求a 的值； （2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =-（）ππ-［，］上的解. 18．（本小题满分12分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(sin ,sin sin )m A B C =-，(3,)n a b c =-+，且m n ⊥．（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =b -的取值范围． 20. （本小题满分12分） 已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．21．（本小题满分12分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≤<=10030,9018002300,30)(x x x x x f （单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g x （）的表达式；讨论g x （）的单调性，并说明其 实际意义.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.高三数学（理科）试卷参考答案与评分标准一、选择题（12小题，每题5分，共60分） 二、填空题（4小题，每题5分，共20分）13．1- 14．210x y -+= 15． 3- 16．3-三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤） 17.解：（1）11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ，1)2cos()2sin()(+-+-=-x x a x f 12cos 2sin ++-=x x a当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。
河南省百校联盟2020届高三4月教学质量监测(理数)
河南省百校联盟2020届高三4月教学质量监测数 学（理科）注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 满足z －1＋i ＝2i ＋1，则|z|＝ 5 B.2 3 D.32.已知集合A ＝{2a －1，a 2，0}，B ＝{1－a ，a －5，9}，且A∩B ＝{9}，则A.A ＝{9，25，0}B.A ＝{5，9，0}C.A ＝{－7，9，0}D.A ∪B ＝{－7，9，0，25，－4}3.已知向量a ＝(x 2－2x ，1)，b ＝(1，－3)，则“－1<x<3”是“a ，b 的夹角为钝角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.将函数y ＝2sin(2x ＋4π)的图象向右平移4π个单位长度，所得函数 A.在区间(－38π，8π)上单调递增 B.在区间(－58π，－8π)上单调递减 C.以x ＝8π为一条对称轴 D.以(38π，0)为一个对称中心 5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 A.83π B.8π C.163π D.12π6.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话。
小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是 A.13 B.12 C.25 D.347.已知函数()()122log f x x ax a =-+在(12，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是 A.(－∞，1] B.[－12，1] C.(－12，1] D.(－12，＋∞) 8.在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为函数y ＝3|x|图象上的两点，若线段AB 的中点M 恰好落在曲线x 2－3y 2＋3＝0上，则△OAB 的面积为A.2B.3C.32D.339.一只蚂蚁从正四面体A －BCD 的顶点A 点出发，沿着正四面体A －BCD 的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A 点的概率为A.2027B.79C.727D.2910.在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ＝2CD ，BC ＝3CD ，则∠ADB 的最大值为A.4πB.3πC.2π D.23π 11.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”。
2020届百校联盟高三5月教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷)数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届百校联盟高三5月教育教学质量监测考试（全国Ⅰ卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集U ＝R ，A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＞0}，B ＝{x |2x ≤2}，则（∁U A ）∩B ＝（ ）A ．{x |﹣1＜x ＜1}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |﹣1≤x ≤1}D ．{x |x ≤﹣1} 答案：C先解出关于集合A ，B 的不等式，求出A 的补集，从而求出其补集与B 的交集. 解：因为()(){}{1202A x x x x x =+-=>或}1x <-所以}1|2{U A x x =-≤≤ð，{|}22{}1|x B x x x ==≤≤， ∴(){}11U A B x x ⋂=-≤≤ð，故选：C.点评：本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A ，B 是解决本题的关键，属于基础题.2．已知i 为虚数单位，复数()12a z i a R i =+∈+在复平面内所对应点（x ，y ），则（ ） A ．y ＝﹣2x +1B ．y ＝2x ﹣1C ．y ＝﹣2x +5D ．y ＝3x ﹣1 答案：A利用复数的运算法则，化简复数为代数形式，求出复数的实部与虚部，列出方程组，消去参数，即可求解.解： 由题意，复数()122112555a i a a a z i i i i -⎛⎫=+=+=+- ⎪+⎝⎭， 因为复数()12a z i a R i=+∈+在复平面内所对应点(,)x y ， 可得5215a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去参数a ，可得y ＝﹣2x +1. 故选：A.点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.3．已知向量()2,a m =-r ，()1,2b =r ，()1122a ab ⋅+=r r r ，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．12 C ．12- D ．-1 答案：C求出向量2a b +r r 的坐标，由()1122a ab ⋅+=r r r ，根据向量数量积的坐标表示，即求实数m 的值.解：()()()2,,1,2,23,22a m b a b m =-=∴+=-+r r r r Q .()()()()11112,232222a ab m m ⋅+=∴-⨯-+⨯+=r r r Q ， 解得12m =-. 故选：C .点评：本题考查向量的坐标运算及数量积的坐标表示，属于基础题.4．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO .它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数.它的简单计算公式是：1RO =+确认病例增长率⨯系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）.根据统计，确认病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数为5天，根据以上RO 数据计算，若甲得这种传染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ）A ．81B ．243C ．248D ．363答案：D先求出传播指数RO ，再计算出每轮感染的人数，相加即得．解：记第1轮感染人数为1a ，第2轮感染人数为2a ，…，第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 是等比数列，公比为q RO =，由题意140%53RO =+⨯=，即3q =，所以13a =，29a =，327a =，481a =，5243a =，总人数为5S =392781243363++++=人，故选：D ．点评：本题考查数列的应用，解题关键是理解新概念“传播指数”，可以用数列表示该问题，传播指数就是等比数列的公比，从第一轮开始每轮传播的人数为数列的项，问题就是求等比数列的前5项和．5．已知23log 4a =，44log 5b =，88log 9c =，则（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b << 答案：B 根据对数的运算性质，将44log 5b =，88log 9c =改写为以2为底的对数，然后利用对数函数的单调性比较即可.解： 12242224log 41445log log log 5log 4255b ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，123822228log 81889log log log log 9log 8399c ⎛⎫===== ⎪⎝⎭因为94165<<123445⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以1222234log log log 45⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以a b c <<. 故选：B.点评：本题主要考查对数的运算性质，对数函数的单调性应用，属于基础题.6．2019年10月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计60岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（ ）A ．第3组B ．第4组C ．第5组D ．第6组答案：C 先阅读题意，然后求出数据的极差，再确定组距，然后结合中位数的概念求解即可. 解：解：由如图所示的茎叶图可得：数据的极差为15.18.8 6.3-=，将数据分成7组，则组距为0.9，则第5组的范围是[]12.4,13.3，又由茎叶图可知中位数为12.5，则中位数应位于第5组内.故选：C.点评：本题考查了茎叶图，重点考查了中位数的概念，属基础题.7．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[]0,2π上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ）A ．13863⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．13863⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．318123⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．318123⎛⎤ ⎥⎝⎦， 答案：A 先求出图象变换后的函数解析式，再由题意利用正弦函数的图象和性质，可得9112,622πππωπ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，由此可得结果． 解： 解：∵函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后， 得到的函数为sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,2π上恰有5个不同的x 值，使其取到最值；,2666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∴9112,622πππωπ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭， 则正实数13863ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，， 故选：A ．点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质的应用，属于中档题．8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体τ，CD 是底面圆O 上的弦，COD △为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．24C ．3D ．22 答案：B设OP r =，过点D 作OC 的平行线，与CD 平行的半径交于点E ，找出异面直线OC 与PD 所成角，然后通过解三角形可得出所求角的余弦值.解：设OP r =，过点D 作OC 的平行线，与CD 平行的半径交于点E ，则OE OC CD OD r ====，2PC PD r ==，所以PDE ∠为异面直线OC 与PD 所成的角，在三角形PDE 中，2PE PD r ==，DE r =，所以22cos 2rPDE r∠==. 故选：B.。
2020年11月百校联盟(全国卷I理数)试卷及答案
A. {7}
B. {1,4,7}
C. {1,3,7}
D. { 1,3,4,7}
2.
已知复数
z
满足
z
=
2 + mi 1−i
(m
∈
R)
且|
z
|=
2
，则
m
的值为
A. 2
B. −2 或 2
C. 3
D. −3 或3
3. 已知实数 a > 0 , b > 0 ，则“ a > b > 1 ”是“ ea + 2b > eb + 2a ”的
AM 与 CD1 所成角的余弦值为
A. 10 5
B. 5 5
10 C. 10
5 D. 2
6. 已知函数 f ( x ) 为定义在 R 上的增函数且其图像关于点 (2,0) 对称，若 g( x ) = f (2− x ) ，则不等式 g( x + 3) + g(1−2x ) ≥ 0 的解集为
A. [ 2,+ ∞)
，则下列说法正确的有______；
（请将所有正确的序号填在横格上）
①k
=
2
；② k
>
2
；③ ln
x0
= −x0
1 ；④
e
<
x0
<
1 2
.
16. 在三棱锥 P − ABC 中，已知 PA ⊥ BC , PB ⊥ AC , PA = PB = 2AB = 4 ，则三棱锥 P − ABC 外接球的表 面积为______；
图像，若函数 g( x )
的最小正周期为 π
， x=
π 3
为函数 g( x )
2020年11月百校联盟(全国卷I理数)
绝密★启用前2020 届普通高中教育教学质量监测考试全国 I 卷 理科数学注意事项：1. 本试卷分为第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分.2. 本试卷满分 分，测试时间 分钟.3. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.4. 所有答案写应写在指定的答题区域（选择题答案应填写在选择题答题卡中，填空题答案写在题目后面 的横线上，解答题答案写在相应题目下方的空白处）.5. 考试范围：必修 ；必修 第 , 章；必修 ；必修 ；选修 第 , 章；选修 第 , 章.第 I 卷一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合, , ,则 A. B. C. D.2. 已知复数 满足 且 ，则 的值为 A. B. 或 C. D. 或3. 已知实数, ，则“ ”是“ ”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数 满足 , ,则A. B. C. D. 5. 如图，在正方体 中,点 为 中点，则异面直线与 所成角的余弦值为 A. B. C. D.6. 已知函数 为定义在上的增函数且其图像关于点 对称，若 ，则不等式 的解集为I II 1501201212452−1132−213125A ={x |x =3k +1,k ∈N }B ={y |y =4k −1,k ∈N }C ={1,2,3,4,5,6,7,8}(A ∪B )∩C ={7}{1,4,7}{1,3,7}{1,3,4,7}z z =2+m i 1−i (m ∈R )|z |=2m 2−223−33a >0b >0a >b >1e a +2b >e b +2a f (x )f (x +2)=1+f (x )f (x +2)f (0)=2f (2018)+f (2020)=−121−12ABCD −A 1B 1C 1D 1M A 1D 1AM CD 110555101052f (x )R (2,0)g (x )=f (2−x )g (x +3)+g (1−2x )≥0A. B. C. D.7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C.D. 8. 函数 在区间 上的大致图像为9. 已知角 , 满足 ，若 ，则实数 的值为 A. B. C. D.10. 已知函数 ，过点 的直线 与 的图像有三个不同的交点，则直线 斜率的取 值范围为A. B. C. D. 11. 已知函数 的图像向右平移 个单位长度得到函数 的 图像，若函数 的最小正周期为 ， 为函数 的一条对称轴，则函数 的一个增区间为A. B. C. D. 12. 已知数列 , 满足 , , , , ，令 ,则 满足 的 的最小值为 A. B. C. D.[2,+∞)[4,+∞)(−∞,4][2,4]10383273f (x )=x sin x +1x 2−14π2[−2π,2π] sin(2 + )=3sin 1tan −1tan= tan 2346f (x )=3x 3−3x A (−1,0)l f (x )l (−34,6)(−23,6)∪(6,+∞)(−34,6)∪(6,+∞)(−34,+∞)f (x )=sin ( x +ϕ)−cos ( x +ϕ)( >0,|ϕ|<π2)π3g (x )g (x )πx =π3g (x )g (x )(0,π6)(π2,π)(π3,5π6)(π6,π3){a n }{b n }a 1=1.1b 1=0.2a n +1=b n +1+a n2b n +1=13a n +23b n n ∈N *c n =a n −b n c n ≤1104n 9101112A B C D选择题答题卡二、填空题（本大题共 小题，每小题 分）13. 已知函数 的图像在 和 处的切线互相垂直，则 ______；14. 若实数 , 满足不等式组 ，存在可行解 满足 ，则实数 的最小值 为______；15. 已知函数 在 上存在唯一零点 ，则下列说法正确的有______； （请将所有正确的序号填在横格上）① ；② ；③ ；④ . 16. 在三棱锥中，已知 , , ，则三棱锥 外接球的表 面积为______；第 II 卷三、解答题（本大题共 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 分）已知平面向量 a ，b .（1）若 a // b ，求 的值；（2）若 a b ，求向量 a + b 与 b 夹角的余弦值. 题号123456789101112得分答案45f (x )=ax 3−ax (a >0)x =0x =1a =x y x −y +2≥02x +y −2≥04x −y −4≤0⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪(x ,y )mx −y −6m =0m f (x )=e x −k −1+ln xx−1(k ∈R )(0,+∞)x 0k =2k >2ln x 0=−x 01e <x 0<12P −ABC PA ⊥BC PB ⊥AC PA =PB =2AB =4P −ABC 610=(1,2)=(k ,3)k ⊥18.（本小题满分 分）已知函数 为定义在 上的偶函数，当 时， , .（1）当 时，求函数 的单调区间；（2）若函数 有两个零点，求实数的取值范围.12f (x )R x ≥0f (x )=|e −x −m |m ∈R m =12f (x )g (x )=f (x )−14m已知数列 满足： , , .（1）求证： 为等差数列，并求出 ； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 成立，求正整数 的最 小值.{a n }a n >0a 1=1a n =a n +1(2a n +1)(n ∈N *){1a n }a n b n =1a n −1(n 2+n )2(n ∈N *){b n }n S n S n ≥9991000n如图，在 中，已知 , , , 为 中点， , 分别为线段 , 上 的动点（不包括端点），记 .（1）当时，求证： ； （2）当 时，求四边形 的面积 关于 的表达式.ΔABC AB =1BC =2∠ABC =60°M BC E F AB AC ∠EMB =θEM ⊥FM EM =3FM ∠EMF =60°AEMF Sθ如图 ，在直角梯形 中， , 分别为 的 三等分点， // , // , , ,若沿着 , 折叠使得点 , 重合，如图 所示，连结 , . （1）求证：平面平面 ； （2）求二面角 的余弦值.1ABCD E F AB FG BC ED BC AB =3BC =2FG ED A B 2GC BD GBD ⊥BCDE B −GC −D已知函数 .（1）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；（2）当 时，若实数 , 满足 ，求证： .f (x )=e x +cos x −ax (a ∈R )f (x )(0,+∞)a a =−1x 1x 2(x 1<x 2)f (x 1)+f (x 2)=4x 1+x 2<0。
2020届百校联盟11月普通高中教育教学质量监测考试全国i卷数学(理)(解析版)
2020届百校联盟11月普通高中教育教学质量监测考试数学（理）一、单选题1．已知集合{|31,}A x x k k ==+∈N ,}{41,B y y k k ==-∈N ，{1,2,3,4,5,6,7,8}C =，则()A B C =U I （ ）A ．{}7B ．{147}，， C ．{}137，， D ．17}3{4，，， 【答案】D【解析】根据题意,对集合A 和集合B 中的k 赋值0,1,2,3,求出集合C 中元素与集合A 中或与集合B 中重复的元素即可. 【详解】由题意知,集合C 中元素在集合A 中有1,4,7, 集合C 中元素在集合B 中的有3,7,所以集合C 中元素在集合A 或在集合B 中有1,3,4,7, 故{1,3,4,7()}A B C ⋃⋂=, 故选:D 【点睛】本题考查集合的交与并的混合运算;正确求出集合C 中元素与集合A 中或与集合B 中重复的元素是求解本题的关键;属于基础题. 2．已知复数z 满是2()1miz m R i+=∈-且||=2z ，则m 的值为（ ） A ．2 B ．-2或2C ．3.D ．-3或3【答案】B【解析】化简复数z 为(,)a bi a b R +∈形式，再由复数模的运算列方程解得m ． 【详解】由题意知2i 2(2)i 1i 2m m m z +-++==-，因为||2z =，所以22(2)(2)44m m -++=，即24m =，解得2m =±. 故选B ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的模，属于基础题．3．已知实数0a >，0b >，则“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】构造函数()e 2(0)xf x x x =->,利用函数()f x 的单调性和充分与必要条件的定义判断即可. 【详解】e 2e 2e 2e 2a b a b b a a b +>+⇔->-，令()e 2(0)xf x x x =->，则()e 2xf x '=-， 令()0f x '=，解得ln 2x =， 因为()'fx 为R 上的增函数,所以当()0,ln 2x ∈时,()'0fx <;当()ln 2,x ∈+∞时,()'0f x >,故()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增， 所以当1a b >>时，()()f a f b >，即22a b e a e b ->-, 即“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的充分条件；但当0ln 2a b <<<时，有()()f a f b >,即22a b e a e b ->-, 所以当22a b e b e a +>+时,可得1a b >>或0ln 2a b <<<， 故“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的不必要条件.综上可知“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的充分不必要条件. 故选:A 【点睛】本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数()e 2(0)xf x x x =->,利用函数的单调性进行判断;属于中档题.4．已知函数()f x 满足(2)1()(2),(0)2f x f x f x f +-=+=，则(2018)(2020)f f +=（ ）A ．-1B ．2C ．1D ．12-【答案】D【解析】由已知得出递推式：1(2)1()f x f x +=-，连续利用递推关系可得函数是周期函数且周期为6，这样利用周期性和递推关系可求得(2018)f 和(2020)f ． 【详解】1(2)1()f x f x +=-，11(4)11(2)()f x f x f x +==--+，1(6)()1(4)f x f x f x +==-+，所以()f x 的周期为6，(2018)(63362)(2)1f f f =⨯+==-，1(2020)(63364)(4)2f f f =⨯+==，所以1(2018)(2020)2f f +=-. 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的周期性，确定函数的周期是解题关键．在已知()()f x a f x +=-或1()()f x a f x +=等关系时，可得函数是周期函数，且2a 是其一个周期． 5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为11A D 中点，则异面直线AM 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A ．105B 5C ．1010D 5 【答案】A【解析】取AD 的中点N ，连结CN ，1D N ，易知1AM ND ∥，故1ND C ∠（或其补角）即为异面直线AM 与1CD 所成的角.在三角形中计算即可． 【详解】取AD 的中点N ，连结CN ，1D N ，易知1AM ND ∥，故1ND C ∠（或其补角）即为异面直线AM 与1CD 所成的角.不妨设1AB =，则115,22CND N CD ===，故15521044cos 5222ND C +-∠==⨯⨯. 故选A ．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时需先作出这个角（同时证明），即作其中一条直线的平行线，与另一条相交，相交直线之间的夹角就是异面直线所成的角，然后在三角形中求解．6．已知函数()f x 为定义在R 上的增函数且其图象关于点(2,0)对称，若()(2)g x f x =-，则不等式(3)(12)0g x g x ++-…的解集为（ ）A ．[2,)+∞B ．[4,)+∞C ．(,4]-∞D ．[2,4]【答案】B【解析】由若()(2)g x f x =-知()g x 的图象关于原点对称，从而它是奇函数，()f x 是增函数，则()g x 是减函数，利用奇函数变形不等式为(3)(21)g x g x +≥-，再由减函数得解． 【详解】由题意知()g x 为R 上奇函数且为减函数，不等式(3)(12)0g x g x ++-≥等价于(3)(12)g x g x +≥--，即(3)(21)g x g x +≥-，故321x x +≤-，解得4x ≥.故选：B ．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，由函数()g x 的定义与()f x 的性质可得()g x 的性质，从而可求解函数不等式．本题关键是确定()g x 的性质． 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．83C ．2D ．73【答案】C【解析】由三视图还原出原几何体，可以看作是由一个直三棱柱削去两个三棱锥得到的。
2020届百校联盟高三4月教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷) 数学(理)
百校联盟2020届普通高中教育教学质量监测考试全国I 卷 理科数学注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 满足z －1＋i ＝2i ＋1，则|z|＝ A.5 B.2 C.3 D.32.已知集合A ＝{2a －1，a 2，0}，B ＝{1－a ，a －5，9}，且A ∩B ＝{9}，则A.A ＝{9，25，0}B.A ＝{5，9，0}C.A ＝{－7，9，0}D.A ∪B ＝{－7，9，0，25，－4}3.已知向量a ＝(x 2－2x ，1)，b ＝(1，－3)，则“－1<x<3”是“a ，b 的夹角为钝角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.将函数y ＝2sin(2x ＋4π)的图象向右平移4π个单位长度，所得函数 A.在区间(－38π，8π)上单调递增 B.在区间(－58π，－8π)上单调递减 C.以x ＝8π为一条对称轴 D.以(38π，0)为一个对称中心 5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A.83πB.8πC.163π D.12π 6.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话。
小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是 A.13 B.12 C.25 D.347.已知函数()()122log f x x ax a =-+在(12，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是 A.(－∞，1] B.[－12，1] C.(－12，1] D.(－12，＋∞) 8.在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为函数y ＝33|x|图象上的两点，若线段AB 的中点M 恰好落在曲线x 2－3y 2＋3＝0上，则△OAB 的面积为A.2B.3C.32D.339.一只蚂蚁从正四面体A －BCD 的顶点A 点出发，沿着正四面体A －BCD 的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A 点的概率为A.2027B.79C.727D.2910.在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ＝2CD ，BC ＝3CD ，则∠ADB 的最大值为A.4πB.3πC.2π D.23π 11.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”。
百校联盟2020届高三5月教育教学质量监测考试全国1卷理科数学
得到四棱锥 P '− ABCD ，E 为 P ' D 的中点。 (1)证明: P ' D ⊥平面 ABE
(2)当正视图方向与向量 BA 的方向相同时, P '− ABCD 的正视图为直角三角形，求此时二画角 A-BE-C
的余弦值。
P
A
D
P' E
B C
A B
D C
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 18、(本小题满分 12 分)已知等差数列{an} 的前 n 项和 Sn , n N * , a5 = 6, S6 = 27 ,数列{bn} 的前 n 项和Tn , Tn = 2bn − n (n N*) . (1)判断{bn +1} 是等比数列，并求 bn ； (2)求数列{an bn}的前 n 项和。
2.已知 i 为虚数单位，复数 z = a + i (a R) 在复平面内所对应点 (x，y) ，则( )
1+ 2i A. y = −2x +1 B. y = 2x −1 C. y = −2x + 5 D. y = 3x −1
3.已知向量 a = (−2，m)，b = (1，2), a (2a + b) = 11 .则实数 m 的值为( ) 2
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2020 届普通高中教育教学质量监测考试
全国 1 卷 理科数学
注意事项： 1.本试卷分第 1 卷(选择题)和第 2 卷(非选择题)两部分。 2.答题前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。 3.全那答案写在答照卡上，写在本试卷上无效。 4.本试卷满分 150 分，测试时国 120 分钟。 5.考试范图:高考全部内容。