直线的点斜式方程与斜截式方程习题课
《第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程》教学设计
《第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程》教学设计一、问题引入请同学们思考:1.在直角坐标系内确定一条直线,需要几个条件?2.求直线斜率的方法有哪些?3.已知直线l 的斜率k ,且直线l 经过点()000,P x y ,如何求直线l 的方程?设计意图:引导学生复习旧知,提出问题,引入新课题.二、探索研究(一)直线的点斜式方程1.循序渐进:思考1:设12,l l 是平面直角坐标系中的直线,分别判断满足下列条件的12,l l 是否唯一.如果唯一，作出相应的直线,并思考直线上任意一点的坐标(,)x y 应该满足什么条件.（1）已知1l 的斜率不存在;（2）已知1l 的斜率不存在且1l 过点(2,1)A -;（3）已知2l 的斜率为3;（4）已知2l 的斜率为3且2l 过点(1,2)B .教师提出问题,学生分组进行思考讨论,教师让学生行口答,并给予点评.教师:不难看出,满足条件(1)的直线1l 有无数条,但满足条件(2)的直线1l 是唯一的,如图所示.此时若(,)x y 为直线1l 上的点,则必有2x =-;另外,任意横坐为2-的点,一定都在直线1l 上.满足条件(3)的直线2l ,只要倾斜角为60︒即可,因此2l 也有无数条.满足条件(4)的直线2l 是唯一的,如图(2)所示.此时若(,)P x y 为直线2l 上不同于B 的点,则BP k即21y x -=-,化简可得21),y x -=-容易验证,(1,2)B 的坐标也能使上式成立,因此直线2l 上的点都使得上式成立;另外,如果,x y 能使得上式成立,即要么(,)P x y 就是点(1,2)B ,要么BP k =也就是说,点P 一定在直线2l 上.思考2：（2）中直线1l 上点的坐标与方程2x =-的解有什么关系?（4）中直线2l 上点的坐标与方程2y -=1)x -的解有什么关系?由此你能得出什么结论?教师提出问题,学生进行思考,教师让同学回答,并给出一般结论.教师:一般地,如果直线l 上点的坐标都是方程(F x ,)0y =的解,而且以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都在直线l 上,则称(,)0F x y =为直线l 的方程,而直线l 称为方程(,)0F x y =的直线.此时,为了简单起见,“直线l ”也可说成“直线(,)0F x y =”,并记作:(,)0l F x y =.思考3:设点()000,P x y 为直线l 上一定点,而且知道的l 斜率信息,我们怎样得到直线l 的方程?教师提出问题,学生进行思考讨论并进行回答.教师:（1）如果直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为0.x x =（2）如果直线l 的斜率存在且为k ,设(,)P x y 为直线l 上不同于0P 的点,则0P P k k =,即00y y k x x -=-,化简可得 ()00y y k x x -=-.①而且()000,P x y 的坐标也能使上式成立;另外,如果,x y 能使得上式成立,则要么(,)P x y 就是点()000,P x y ,要么0P Pk k =,也就是说,点P 一定在直线l 上,从而①就是直线l 的方程.因为方程①由直线上一点和直线的斜率确定,所以通常称为直线的点斜式方程.思考4:你能用方向向量来推导直线的点斜式方程吗?教师提出问题,学生进行思考讨论并进行回答.教师:直线的点斜式方程还可以用方向向量来得到:如果已知()000,P x y 是直线l 上一点,而且l 的斜率为k ,则直线的一个方向向量为(1,)a k =;另一方面,设(P x ,y )为平面直角坐标系中任意一点,则P 在直线l 上的充要条件是0P P 与a 共线,又因为()000,P P x x y y =--,所以()00y y k x x -=-.思考5:直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?引导学生分组讨论,然后说明理由,使学生掌握直线的点斜式方程的适用范围.教师:归纳总结:1.点斜式方程的局限性:只能表示斜率存在的直线,不能表示与x 轴垂直的直线.2.经过点()000,P x y 的直线有无数条,可分成两类:①斜率存在的直线(如图),方程为()00y y k x x -=-;斜率不存在的直线(如图):0x x =.（二)直线的斜截式方程思考6:已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为(0,b),求直线l 的方程.学生独立求出直线l 的方程:y kx b =+.②在此基础上,教师给出截距的概念,引导学生分析方程②由哪两个条件确定,让学生理解斜截式方程概念的内涵.教师:一般地,当直线l 既不是x 轴也不是y 轴时:若l 与x 轴的交点为(,0)a ,则称l 在x 轴上的截距为a ;若l 与y 轴的交点为(0,)b ,则称l 在y 轴上的截距为b .一条直线在y 轴上的截距简称为截距.方程y kx b =+由直线的斜率和截距确定,因此通常称为直线的斜截式方程.思考7:观察方程y kx b =+,它的形式具有什么特点?直线y kx b =+在y 轴上的截距是什么? 使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别.教师:从直线的截距式方程y kx b =+,可以方便地看出直线的斜率k 和截距b .思考8:你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx b+?直线方程中k和b的几何意义是什么?你能说出一次函数21,3,3=-==-+的截距吗?y x y x y x使学生进一步加深对直线截距式方程的认识和理解.三、应用举例（一)点斜式方程应用举例例1 已知直线l经过点P,且l的斜率为k,分别根据下列条件求直线l的方程：（1）(0,3),2P k=-.P k=;(2)(1,0),3解（1）根据已知可得直线l的点斜式方程为-=⨯-32(0)y x化简得23=+.y x（2）根据已知可得直线l的点斜式方程为0y x=-+.-⨯-,化简得33y-=(3)(1)x教师可以找两个同学上黑板完成,其他同学在练习本上完成,完成后教师进行讲解.（二)斜截式方程应用举例例2 已知直线l经过点(2,3)P-,且l的倾斜角为45︒,求直线l的方程,并求直线l的截距.解因为直线l的斜率tan451k=︒=,所以可知直线l的方程为-=⨯--，31[(2)]y x即5=+.因此直线l的截距为5.y x学生思考讨论并上台讲解,教师给予点评.四、小结归纳教师引导学生概括：（1）本节课我们学习了哪些知识点？（2）直线方程的点斜式、斜截式的特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道什么条件？五、课后作业教材第85页练习A第1~4题.板书设计教学研讨本节内容由8个思考问题构成，每个思考问题要给学生充分的讨论探究时间，这样设计有助于学生自主学习能力的提高.对于例题，这里选择了教材上的例题，数量和难度都有些不足，建议教师可以再安排一些难度较大的例题.。
人教B版必修2练习2.2.2 直线方程的几种形式 点斜式、斜截式 Word版含解析
课时目标掌握由直线上一点和斜率导出直线方程的方法．．＋＝(－) ．－＝(＋)．－＝(＋) ．＋＝(－)答案：解析：＝°＝，则点斜式方程为－＝(＋)．二、填空题(每个分，共分)．斜率为，与轴交点的横坐标为－的直线的点斜式方程为．答案：－＝[－(－)]解析：由直线与轴交点的横坐标为－，得直线过点(－)．又斜率为，所以所求直线的点斜式方程为－＝[－(－)]．.直线－＋＝在轴上的截距为．答案：解析：直线的斜截式方程为＝＋，所以在轴上的截距为.．直线＝＋＋恒过一定点，则此点是．答案：(－)解析：把直线方程化为点斜式－＝(＋)．显然当＝－时＝，即直线恒过定点(－)．三、解答题．(分)已知直线过点(－)，且其倾斜角与直线－＝－(－)的倾斜角相等，求直线的方程．解：由于直线的倾斜角与直线－＝－(－)的倾斜角相等，所以直线的斜率与直线－＝－(－)的斜率相等．又直线－＝－(－)的斜率为－，故所求直线的方程为－＝(－)·[－(－)]，可化为＋－＝.．(分)已知直线与直线：＝＋在轴上有相同的截距，且的斜率与的斜率互为相反数，求直线的方程．解：由题意，知直线在轴上的截距为，其斜率为－，故直线的方程为＝－＋.能力提升．(分)设直线的方程为(－－)＋(＋－)＝－，根据下列条件分别求的值．()经过定点(，－)；()在轴上的截距为；()与轴平行；()与轴平行．解：()点在直线上，即(，－)适合方程(－－)＋(＋－)＝－，把(，－)代入，得(－－)－(＋－)＝－，解得＝.()令＝，得＝，由题意知＝，解得＝－或.()与轴平行，则有(\\(－－≠，＋－＝，))解得＝.()与轴平行，则有(\\(－－＝，＋－≠，))解得＝.．(分)已知所求直线的斜率是直线＝－＋的斜率的－倍，且分别满足下列条件：()经过点(，－)，求该直线方程；()在轴上的截距是－，求该直线的方程．解：∵直线方程为＝－＋，∴＝－.根据题意知：所求直线的斜率′＝－×＝.()∵直线过点(，－)，∴所求直线方程为＋＝(－)，即－－＝.()∵直线在轴上的截距为－，∴所求直线方程为＝－，即－－＝.。
直线的点斜式方程与斜截式方程教案(一)
直线的点斜式方程与斜截式方程教案(一)教案：直线的点斜式方程与斜截式方程一、概述本节课主要介绍直线的点斜式方程与斜截式方程的概念及求解方法，以及如何在坐标平面中绘制直线。
二、学习目标1.了解直线的点斜式方程与斜截式方程的含义及公式；2.能够根据给定的直线上的一点和斜率求解直线的点斜式方程；3.能够根据给定的直线在坐标轴上的截距求解直线的斜截式方程；4.能够在坐标平面中用点斜式方程和斜截式方程绘制直线。
三、教学内容及步骤1.直线的点斜式方程–点斜式方程的定义：y−y1=k(x−x1)，其中(x1,y1)为直线上的一点，k为直线的斜率。
–求解步骤：•已知直线上的一点(x1,y1)和斜率k；•代入点斜式方程，得到直线的方程。
2.直线的斜截式方程–斜截式方程的定义：y=kx+b，其中k为直线的斜率，b 为直线在纵轴上的截距。
–求解步骤：•已知直线的斜率k和截距b；•将斜率k和截距b代入斜截式方程，得到直线的方程。
3.绘制直线–使用点斜式方程：•确定一点(x1,y1)和斜率k；•选取适当的x值，计算对应的y值；•将得到的点(x,y)连接起来，绘制直线。
–使用斜截式方程：•确定斜率k和截距b；•选取适当的x值，计算对应的y值；•将得到的点(x,y)连接起来，绘制直线。
四、教学示例给定直线上一点A(2, 3)和斜率k=2，求直线的点斜式方程和斜截式方程，并在坐标平面上绘制该直线。
1.点斜式方程的求解：–点斜式方程：y−y1=k(x−x1)–将点A(2, 3)和斜率k=2代入，得到方程：y−3=2(x−2)–化简得到点斜式方程：y−3=2x−4–整理得到点斜式方程：y=2x−12.斜截式方程的求解：–斜截式方程：y=kx+b–已知斜率k=2和点A(2, 3)，代入得到方程：3=2(2)+b–求解得到截距b= -1–整理得到斜截式方程：y=2x−13.绘制直线：–表示直线的点对：(0, -1), (1, 1), (2, 3), (3, 5), (4,7)等；–将这些点用直线连接起来，得到一条斜率为2的直线。
02 教学课件_直线的点斜式方程与斜截式方程(第1课时)(4)
而直线l称为方程F(x,y)=0的直线.此时,为了简单起见,“直线l”也可
说成“直线F(x,y)=0”,并且记作l:F(x,y)=0.
微判断
(1)如图所示,线段AB的方程为y=x+1.(
)
(2)在平面直角坐标系中,y轴所在直线方程为y=0.(
∴直线 l 的方程为 y= 3x-2.
答案:D
探究一
探究二
当堂检测
4.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为
(
)
1
A.y=2x+4
B.y=2x+4
C.y=-2x+4
1
D.y=-2x+4
1
解析:由题意可设所求直线方程为 y=kx+4,又由 2k=-1,得 k=-2,∴所
1
求直线方程为 y=-2x+4.
表示出来呢?
结论展示问题1 提示(1)直线l1上的点的坐标都是二元方程
y=kx+b的解.
(2)以方程y=kx+b的解为坐标的点都在直线l1上.
-
问题 2 提示可以利用斜率公式 k=- 0 得出 y-y0=k(x-x0).
0
激趣诱思
知识点拨
1.直线与方程
一般地,如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,而且以方程
B.y=2x+3
C.y=-2x-3
D.y=-2x+3
答案:A
(2)直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有(
)
A.k>0,b>0
B.k>0,b<0
《8.2.2直线的点斜式方程与斜截式方程》教学设计
《8.2.2直线的点斜式方程与斜截式方程》教学设计一、内容及其解析1.内容：这是一节建立直线的点斜式方程(斜截式方程)的概念课.学生在此之前已学习了在直角坐标系内确定直线一条直线几何要素,已知直线上的一点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线,已知两点也可以确定一条直线.本节要求利用确定一条直线的几何要素直线上的一点和直线的倾斜角,建立直线方程,通过方程研究直线.2.解析：直线方程属解析几何的基础知识，就是研究解析几何的已经开始.从整体来看,直线方程初步彰显了解析几何的实质用代数的科学知识研究几何问题.从子集与对应的角度构筑了平面上的直线与二元一次方程的一一对应关系,就是自学解析几何的基础.对时程圆、直线与圆的边线关系等内容的自学，无论是科学知识上还是方法上都有著积极主动的意义.从本节来看,学生对直线既就是熟识的，又就是陌生的.熟识就是学生晓得一次函数的图像就是直线，陌生就是用解析几何的方法谋直线的方程.直线的点斜式方程就是推论其它直线方程的基础,在直线方程中占据关键地位.二、目标及其解析1.目标掌握直线的点斜式和斜截式方程的推导过程,并能根据条件熟练求出直线的点斜式方程和斜截式方程.2.解析①知道直线上的一点和直线的倾斜角的代数含义是这个点的坐标和这条直线的斜率.知道建立直线方程就是将确定直线的几何要素用代数形式表示出来.②认知创建直线点斜式方程就是用直线上任一一点与未知点这两个点的座标则表示斜率.③经历直线的点斜式方程的推导过程,体会直线和直线方程之间的关系,渗透解析几何的基本思想.④在探讨直线的点斜式方程的应用领域条件与创建直线的斜截式方程中,体会分类探讨的思想,体会特定与通常思想.⑤在建立直线方程的过程中,体会数形结合思想.在直线的斜截式方程与一次函数的比较中,体会两者区别与联系,特别是体会两者数形结合的区别,进一步体会解析几何的基本思想.三、教学问题确诊分析1.学生在初中已经学习了一次函数,知道一次函数的图像是一条直线,因此学生对研究直线的方程可能心存疑虑,产生疑虑的原因是学生初次接触到解析几何,不明确解析几何的实质,因此应跟学生讲请解析几何与函数的区别.2.学生能听懂创建直线的点斜式的过程,但可能会不晓得为什么必须这么搞.因此还是必须跟学生摆事实座标法的实质把几何问题转化成代数问题,用代数运算研究几何图形性质.3.由于学生没有学习曲线与方程,因此学生难以理解直线与直线的方程,甚至认为验证直线是方程的直线是多余的.这里让学生初步理解就行,随着后面教学的深入和反复渗透,学生会逐步理解的.四、教法与学法分析1、教法分析新课标表示,学生就是教学的主体.教师必须以学生活动居多线.在旧有科学知识的基础上,构筑代莱科学知识体系.本节课可以使用启发式问题教学法教学.通过问题串成,鼓舞学生独立自主探究去达至对科学知识的辨认出和拒绝接受.通过横向发掘科学知识的深度，纵向强化科学知识间的联系，培育学生的技术创新精神.并且并使学生的有效率思维量加强，随着对崭新科学知识和方法产生急于特别注意，并使能力与科学知识的构成相随而行，并使学生在解决问题的同时，构成方法.2、学法分析提升学生的自学方式就是高中数学课程崇尚的基本理念.学生的数学自学活动不仅仅局限于对概念结论和技能的记忆、恶搞和累积.独立思考,独立自主积极探索,动手课堂教学,合作交流,写作自学等都就是自学数学的关键方式,这些方式有利于充分发挥学生自学主观能动性,并使学生的自学过程沦为在教师鼓励下的再缔造的过程.为学生构成积极主动的、多样的自学方式缔造不利的条件.以唤起学生的自学兴趣和技术创新创造力,协助学生培养独立思考,积极探索的习惯.通过直线的点斜式方程的推导，加深对用坐标求方程的理解;通过求直线的点斜式方程，理解一个点和方向可以确定一条直线;通过求直线的斜截式方程，熟悉用待定系数法求的过程，让学生利用图形直观启迪思维，实现从感性认识到理性思维质的飞跃.让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力.五、教学过程设计问题1：在直角坐标系内确定直线一条直线几何要素是什么?如何将这些几何要素代数化?[设计意图]使学生认知直线上的一点和直线的倾斜角的代数含义就是这个点的座标和这条直线的斜率.问题2：建立直线方程的实质是什么?[设计意图]创建直线方程就是将确认直线的几何要素用代数形式则表示出.也就是将直线上点的座标满足用户的条件用方程则表示出.引例：若直线经过点,斜率为,点在直线上运动,那么点的坐标满足什么条件?[设计意图]使学生通过具体内容例子经历谋直线的点斜式方程的过程,初步介绍谋直线方程的步骤.问题2.1要得到坐标满足什么条件,就是找出与、斜率为之间的关系,它们之间有何种关系?(过与两点的直线的斜率为)[设计意图]让学生寻找确定直线的条件，体会动中找静.问题2.2如何将上述条件用代数形式则表示出?[设计意图]让学生理解和体会用坐标表示确定直线的条件.用代数式则表示出就是,即.问题2.3为什么说是满足条件的直线方程?[设计意图]使学生初步体会直线与直线方程的关系.此时的坐标也满足此方程.所以当点在直线上运动时,其坐标满足.另外以方程的意指座标的点也在直线上.所以我们得到经过点,斜率为的直线方程是.问题2.4：若想说道方程就是经过,斜率为的直线方程?[设计意图]让学生初步感受直线(曲线)方程的完备性.尽管学生不可能深刻理解直线(曲线)方程的完备性，但在这里仍要渗透，为后因理解曲线方程的埋下伏笔.问题3：推展：未知一直线过一定点,且斜率为k,怎样谋直线的方程?[设计意图]由特殊到一般的学习思路，培养学生的是归纳概括能力.问题4：直线上存有无数个点,如何就可以挑选出所有的点?以前自学中是不是相似的处置问题的方法?[设计意图]引导学生掌握解析几何取点的方法.备注：在谋直线方程的过程中要表明直线上的点的座标满足用户方程,也必须表明以方程的意指座标的点在直线上,即为方程的Haudouin直线上的点的座标就是一一对应的.为以后学习曲线与方程踢不好基础.教学中使学生感觉到这一点就可以.不必搞过多表述.问题5：从求直线方程的过程中,你知道了求几何图形的方程的步骤有哪些吗?[设计意图]使学生初步体会解析几何谋曲线方程的步骤.①设点---用表示曲线上任一点的坐标;②找寻条件----写下适宜条件;③列出方程----用坐标表示条件,列出方程④化简---化方程为最珍形式;⑤证明----证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.基准1分别谋经过点,且满足用户以下条件的直线的方程,并图画出来直线.⑴倾斜角⑵斜率⑶与轴平行;⑷与轴平行.[设计意图]让学生掌握直线的点斜式的使用条件,把直线的点斜式方程作公式用，让学生熟练掌握直线的点斜式方程，并理解直线的点斜式方程使用条件.备注：⑴应用领域直线的点斜式方程的条件就是：①定点，②斜率存有,即为直线的'倾斜角.⑵与的区别.后者表示过,且斜率为k的直线方程，而前者不包括.⑶当直线的倾斜角时,直线的斜率，直线方程就是.⑷当直线的倾斜角时,此时不能直线的点斜式方程表示直线,直线方程是.练：1..2.已知直线的方程是，则直线的斜率为，倾斜角为，这条直线经过的一个已知点为.[设计意图]在直线的点斜式方程的逆用过程中，进一步体会和认知直线的点斜式方程.问题6：特别地，如果直线的斜率为,且与轴的交点坐标为(0,b),求直线的方程.[设计意图]由通常至特定，培育学生的推理小说能力，同时带出dT的概念和直线斜截式方程.将斜率与定点代入点斜式直线方程可得：表明：我们把直线与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫作直线在y轴上的dT.这个方程就是由直线的斜率与它在y轴上的dTb确认,所以叫作直线的斜截式方程.注(1)截距可取任意实数,它不同于距离.直线在轴上截距的是.(2)斜截式方程中的k和b存有显著的几何意义.(3)斜截式方程的使用范围和斜截式一样.问题7：直线的斜截式方程与我们研习过的一次函数的相似.我们晓得,一次函数的图像就是一条直线.你如何从直线方程的角度重新认识一次函数?一次函数中k和b的几何意义就是什么?[设计意图]让学生理解直线方程与一次函数的区别与联系，进一步理解解析几何的实质.函数图像是以形助数，而解析几何是以数论形.练：1..2.直线的斜率为2，在轴上的截距为，求直线的方程.[设计意图]使学生明晰dT的含义.3.直线过点，它的斜率与直线的斜率相等，求直线的方程.[设计意图]使学生进一步认知直线斜截式方程的结构特征.4.已知直线过两点和，求直线的方程.[设计意图]使学生能够合理挑选直线方程的相同形式谋直线方程,同时为下节自学直线的两点式方程种下伏笔.例2：已知直线,试讨论(1)与平行的条件就是什么?(2)与重合的条件是什么?(3)与横向的条件就是什么?说明：①平行、重合、垂直都是几何上位置关系，如何用代数的数量关系来刻画.②教学中从两个方面去表明，若两直线平行，则且反过来，若且，则两直线平行.③若直线的斜率不存在，与之平行、垂直的条件分别是什么?练：问题8：本节课你有哪些收获?要点：(1)直线方程的点斜式、斜截式的命名都就是顾名思义的,必须可以予以区别.(2)两种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用.总结：制订教学计划的主要目的就是为了全面介绍学生的数学自学历程，鞭策学生的自学和改良教师的教学。
学案1：2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程~2.2.2 第2课时 直线的两点式方程
2.2.2第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程~2.2.2第2课时直线的两点式方程学习目标核心素养1．会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程．(重点)2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系．(重点)3．灵活选用恰当的方式求直线方程．(难点)1．通过直线方程的几种形式的学习，培养数学抽象的核心素养．2．通过直线方程的几种形式适用范围的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养．【情境导学】情境引入斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．怎样表示直线的方程呢？新知初探1．直线的点斜式方程与斜截式方程在平面直角坐标系中，如果已知P0(x0，y0)是直线l上一点及l的斜率信息，就可以写出直线l的方程．(1)如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为．(2)直线的点斜式方程：若直线l的斜率存在且为k，P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为y－y0＝k(x －x0)．由直线上一点和直线斜率确定，通常称为直线的点斜式方程．思考1：直线的点斜式方程应用范围是什么？(3)直线的斜截式方程当直线l既不是x轴也不是y轴时，若直线l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a，与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b．如果已知直线的斜率为k，截距为b，则直线l的方程为．由直线的斜率和截距确定，通常称为直线斜截式方程．思考2：直线的斜截式方程应用范围是什么？2．直线的两点式方程与截距式方程(1)直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x2≠x1，y2≠y1时，则称为直线的两点式方程．(2)若直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，则方程称为直线的截距式方程．思考3：直线的两点式方程和截距式方程的应用范围分别是什么？3．直线的一般式方程直线的一般式方程为．初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1,3)．()(2)直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3．()(3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示．()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为13．过点(1,2)和(3,5)的直线方程为．4．经过点P(－2,1)，且斜率为－1的直线方程为．【合作探究】【例1】写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程；(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．[规律方法]1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．[跟进训练]1．求满足下列条件的直线的点斜式方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率是3，在y 轴上的截距是－3．(2)倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5．(3)过点A (－1，－2)，B (－2,3)．[思路探究] 先求直线的斜率，结合y 轴上的截距可用斜截式方程求解．[规律方法]1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别．2．直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断．[跟进训练]2．(1)写出直线斜率为－1，在y 轴上截距为－2的直线的斜截式方程；(2)求过点A (6，－4)，斜率为－43的直线的斜截式方程； (3)已知直线l 的方程为2x ＋y －1＝0，求直线的斜率，在y 轴上的截距以及与y 轴交点的坐标．【例3】在△ABC中，A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，(1)求BC所在直线的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．[思路探究](1)由两点式直接求BC所在直线的方程；(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程．[规律方法]1．由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．2．求直线的两点式方程的策略以及注意点当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．[跟进训练]3．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为；(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝．[探究问题]1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？为什么？【例4】设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直线l不过第三象限，则a的取值范围为．[思路探究]含有参数的一般式直线方程问题⇒化为直线方程的相应形式，根据实际情况求解．[母题探究]1．本例中若将方程改为“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他条件不变，又如何求解？2．若本例中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？[规律方法]当题目给出直线的一般式方程而考查直线经过的象限问题时，可将一般式方程转化为斜截式方程(但它的参数要有限制，注意分类讨论)，直接研究y＝kx＋b：①k>0，b>0，经过第一、二、三象限；②k>0，b<0，经过第一、三、四象限；③k<0，b>0，经过第一、二、四象限；④k<0，b<0，经过第二、三、四象限．【课堂小结】1．本节课的重点是了解直线方程的五种形式，难点是根据条件求直线的方程并能在几种形式间相互转化．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求点斜式方程与斜截式方程的方法．(2)求截距式方程与两点式方程的方法．(3)求一般式方程的方法．3．本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况．【达标检测】1．过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程为()A．y＋2＝3(x－3)B．y－2＝33(x＋3)C．y－2＝3(x＋3) D．y＋2＝33(x＋3)2．直线y－2＝3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()A．60°，2 B．60°，2＋3C．120°，2＋ 5 D．120°，23．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜04．已知直线l过点P(2,1)，且斜率为－1，则l的点斜式方程为．5．直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝3x＋3的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．【参考答案】【情境导学】新知初探1．直线的点斜式方程与斜截式方程(1) x＝x0思考1：[提示]直线l的斜率k存在．(3)y＝kx＋b思考2：[提示]直线既不与x轴重合也不与y轴重合．2．直线的两点式方程与截距式方程(1) y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(2)xa＋yb＝1思考3：[提示]两点式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，截距式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点．3．直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)初试身手1．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√[提示](1)由点斜式方程的形式知正确．(2)由斜截式方程的形式知正确．(3)两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误．(4)正确．2．C[方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1．]3．3x－2y＋1＝0[由直线的两点式方程，得y－25－2＝x－13－1，化简得3x－2y＋1＝0．] 4．x＋y＋1＝0[由题意知，直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0．]【合作探究】【例1】[解] (1)因为倾斜角为45°，所以斜率k ＝tan 45°＝1，所以直线的方程为y －5＝x －2．(2)直线y ＝x ＋1的斜率k ＝1，所以倾斜角为45°．由题意知，直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ′＝tan 135°＝－1．所以直线的方程为y －4＝－(x －3)．(3)由题意知，直线的斜率k ＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y －(－1)＝0，即y ＝－1．(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x ＝1，该直线没有点斜式方程．[跟进训练]1．[解] (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)．(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＋4＝0．(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1． 又∵直线过点P (－2,3)，∴直线的点斜式方程为y －3＝－(x ＋2)．【例2】[解] (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y ＝3x －3．(2)∵倾斜角是60°，∴斜率k ＝tan 60°＝3，由斜截式可得方程y ＝3x ＋5．(3)斜率为k ＝3＋2－2＋1＝－5，由点斜式得y －3＝－5(x ＋2)，化为斜截式y ＝－5x －7． [跟进训练]2．[解] (1)易知k ＝－1，b ＝－2，故直线的斜截式方程为y ＝－x －2．(2)由于直线的斜率k ＝－43，且过点A (6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y ＋4＝－43(x －6)，化成斜截式为y ＝－43x ＋4． (3)直线方程2x ＋y －1＝0可化为y ＝－2x ＋1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k ＝－2，在y 轴上的截距b ＝1，直线与y 轴交点的坐标为(0,1)．【例3】[解] (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，∴由两点式得y －(－4)(－2)－(－4)＝x －50－5， 即2x ＋5y ＋10＝0．故BC 所在直线的方程为2x ＋5y ＋10＝0． (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝5＋02＝52， y 0＝(－4)＋(－2)2＝－3．∴M ⎝⎛⎭⎫52，－3， 又BC 边上的中线经过点A (－3,2)．∴由两点式得y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0． 故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0．[跟进训练]3．(1)x ＝2 (2)－2 [(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2．(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0． 又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2．][探究问题]1．[提示] 都可以，原因如下：(1)直线和y 轴相交于点(0，b )时：此时倾斜角α≠π2，直线的斜率k 存在．直线可表示成y ＝kx ＋b ，可转化为kx ＋(－1)y ＋b ＝0，这是关于x ，y 的二元一次方程．(2)直线和y 轴平行(包含重合)时：此时倾斜角α＝π2，直线的斜率k 不存在，不能用y ＝kx ＋b 表示，而只能表示成x －a ＝0，它可以认为是关于x ，y 的二元一次方程，此时方程中y 的系数为0．2．[提示] 能表示一条直线，原因如下：当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为y ＝－A Bx －C B ，它表示过点⎝⎛⎭⎫0，－C B ，斜率为－A B的直线． 当B ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0变成Ax ＋C ＝0．即x ＝－C A，它表示与y 轴平行或重合的一条直线． 【例4】[1，＋∞) [把直线l 化成斜截式，得y ＝(1－a )x ＋a ＋2，因为直线l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的截距大于等于零．即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤0，a ＋2≥0，解得a ≥1．所以a 的取值范围为[1，＋∞)．][母题探究]1．[解] (1)当a －1＝0，即a ＝1时，直线为x ＝3，该直线不过第三象限，符合．(2)当a －1≠0，即a ≠1时，直线化为斜截式方程为y ＝11－a x －2＋a 1－a， 因为直线l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的截距大于等于零． 即⎩⎪⎨⎪⎧ 11－a ≤0，－2＋a 1－a ≥0，解得a ＞1．由(1)(2)可知a ≥1．2．[解] 把直线l 化成斜截式，得y ＝(1－a )x ＋a ＋2，因为直线l 不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y 轴上的截距小于等于零．即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥0，a ＋2≤0，解得a ≤－2．所以a 的取值范围为(－∞，－2]．【达标检测】1．C [因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，由直线方程的点斜式，可得方程为y －2＝3(x ＋3)．]2．B [由y －2＝3(x ＋1)的可知斜率k ＝3，故倾斜角60°，令x ＝0可得在y 轴上的截距2＋3．]3．B [∵直线经过一、三、四象限，由图知，k ＞0，b ＜0．]4．y－1＝－(x－2)[直线l的斜率k＝－1，又过点P(2,1)，所以l点斜式方程为y－1＝－(x－2)．]5．[解]直线y＝3x＋3的斜率k＝3，则其倾斜角α＝60°，∴直线l的倾斜角为120°．∴直线l的斜率为k′＝tan 120°＝－3．∴直线l的点斜式方程为y－4＝－3(x－3)．。
中职数学基础模块下册第6章《直线的点斜式方程与斜截式方程》课件
1
，斜率为 ；
2
6
(2)直线经过点 2,3 ，倾斜角为 ；
(3)直线经过点M(2,3), (−1, −3).
1
且斜率为 ，由直线的点斜式方程
2
解 (1)直线经过点 1,2
得 − 2 =
1
2
− 1 ，即 − 2 + 3 = 0
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的点斜式方程
高教版数学基础模块（下册）
第六章 直线与圆的方程
6.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的点斜式方程
根据平面内直线上的一点以及
直线的倾斜角能画出一条直线.在平
面直角坐标系中，已知一个点的坐
标(0 , 0 )和直线的斜率，如何写
出一条直线的方程？
为便于解决问题，在这里我们引入直线的方程．
时直线平行于轴(或与轴重合),或称直线与
轴垂直.如图(2)所示.
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的点斜式方程
【例题】根据下列条件求直线的方程:
（1）直线 :平行于 轴，且过点 （ 3，4）；
（2）直线 :垂直于 轴，且过点 （ 3，4）.
解：(1) 因为直线平行于轴，斜率 = 0，由点斜式方程得 − 4 = 0( − 3)，
即
− 0 = ( − 0 ).
方程是由直线上一点0 (0 , 0 )及斜率确定的,
这个方程叫做这条直线的方程，
这条直线就是这个方程的图形，
而这个方程的图形是一条直线．
因此称为直线的点斜式方程.
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的点斜式方程
【例3】分别求满足下列各条件的直线的点斜式方程.
课件2：2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程~2.2.2 第2课时 直线的两点式方程
【新知初探】
知识点一 直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在_某__条__直__线_上，且这条 直线上点的坐标都是这个方程的____解____，那么这个方程 叫做_这__条__直__线 ___的__方__程__，这条直线叫做__这__个__方__程__的__直__线__． 状元随笔 如何判断点 P(2,1)是否在直线 y＝x－1 上？ [提示] 把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线 上，反之，不在直线上．
状元随笔 含有参数的一般式直线方程问题⇒化为直线方程的相应形式， 根据实际情况求解．
方法归纳 直线恒过定点的求解策略 1．将方程化为点斜式，求得定点的坐标． 2．将方程变形，把 x，y 作为参数的系数，因为此式子对任 意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得 x，y 的 值，即为直线过的定点．
跟踪训练 4 (改变问法)若例题中的方程不变，当 a 取何值时， 直线不过第二象限？ 解析：把直线 l 化成斜截式，得 y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线 l 不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在 y 轴 上的截距小于等于零．即1a－ ＋a2≥ ≤00， ， 解得 a≤－2. 所以 a 的取值范围为(－∞，－2]．
2．已知直线的方程是 y＋2＝－x－1，则( ) A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为 1 解析：方程变形为 y＋2＝－(x＋1)， ∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1. 答案：C
(2)设 BC 的中点为 M(x0，y0)， 则 x0＝5＋2 0＝52，y0＝－4＋2 －2＝－3. ∴M25，－3，又 BC 边上的中线经过点 A(－3,2)． ∴由两点式得－y－3－22＝52x－－－－33，即 10x＋11y＋8＝0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
课时作业2：2.2.2 第一课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
2.2.2直线的方程第一课时直线的点斜式方程与斜截式方程基础达标一、选择题1.直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示()A.任何一条直线B.不过原点的直线C.不与坐标轴垂直的直线D.不与x轴垂直的直线解析点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线.答案D2.经过点(－1，1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是()A.x＝－1B.y＝1C.y－1＝2(x＋1)D.y－1＝22(x＋1)解析由方程知，已知直线的斜率为22，∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝2(x＋1)，∴选C.答案C3.与直线y＝2x＋1的斜率互为负倒数，且在y轴上的截距为4的直线l的斜截式方程是()A.y＝12x＋4 B.y＝2x＋4C.y＝－2x＋4D.y＝－12x＋4解析 直线y ＝2x ＋1的斜率为2，∴直线l 的斜率是－12， ∴直线l 的斜截式方程为y ＝－12x ＋4，故选D. 答案 D4.直线(2m 2－m ＋3)x ＋(m 2＋2m )y ＝4m ＋1在x 轴上的截距为1，则m 的值是( ) A.2或12 B.2或－12 C.－2或－12 D.－2或12解析 令y ＝0，得x ＝4m ＋12m 2－m ＋3＝1，解得m ＝2或12. 答案 A5.方程y ＝ax ＋1a 表示的直线可能是图中的( )解析 直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距1a.当a >0时，斜率a >0，在y轴上的截距1a >0，则直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距1a <0，则直线y ＝ax ＋1a 过第二、三、四象限，仅有选项B 符合.故正确答案为B. 答案 B 二、填空题6.直线y ＝kx ＋2(k ∈R )不过第三象限，则斜率k 的取值范围是________. 解析 当k ＝0时，直线y ＝2不过第三象限；当k >0时，直线过第三象限；当k <0时，直线不过第三象限. 答案 (－∞，0]7.直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过的定点坐标为________. 解析 y ＝a (x －3)＋2，即y －2＝a (x －3)，∴直线过定点(3，2). 答案 (3，2)8.已知直线y＝12x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________.解析令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝12|k|·|－2k|＝k2.由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以k≥1或k≤－1.答案(－∞，－1]∪[1，＋∞)三、解答题9.直线l1过点P(－1，2)，斜率为－33，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程.解直线l1的方程是y－2＝－33(x＋1).即y＝－33x＋2－33.∵k1＝－33＝tan α1，∴α1＝150°.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan 120°＝－3，∴l2的方程为y－2＝－3(x＋1)，即y＝－3x＋2－ 3.10.等腰△ABC的顶点A(－1，2)，AC的斜率为3，点B(－3，2)，求直线AC，BC及∠A的平分线所在直线的方程.解直线AC的方程为y－2＝3(x＋1)，即y＝3x＋2＋ 3.∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，∴BC的倾斜角α为30°或120°.①当α＝30°时，BC方程为y－2＝33(x＋3)，即y＝33x＋2＋3，∠A的平分线所在直线的倾斜角为120°，∴∠A的平分线所在直线方程为y－2＝－3(x＋1)，即y＝－3x＋2－ 3.②当α＝120°时，BC方程为y－2＝－3(x＋3)，即y＝－3x＋2－33，∠A的平分线所在直线的倾斜角为30°，∴∠A的平分线所在直线方程为y－2＝33(x＋1)，即y＝33x＋2＋33.能力提升11.下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是()解析①当a＞0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a＞0，A，B，C，D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；③当a＜0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a＜0，只有C成立.答案C12.已知直线l：y＝kx＋2k＋1.(1)求证：直线l恒过一个定点；(2)若当－3<x<3时，直线l上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.(1)证明由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2).由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1).(2)解设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方， 需满足⎩⎨⎧f （－3）≥0，f （3）≥0.即⎩⎨⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0.解得－15≤k ≤1.所以，实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1.创新猜想13.(多选题)在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是( ) A.每一条直线都有点斜式和斜截式方程 B.倾斜角是钝角的直线，斜率为负数C.方程k ＝y ＋1x －2与方程y ＋1＝k (x －2)表示同一条直线D.直线过点P (x 0，y 0)，倾斜角为90°，则其方程为x ＝x 0解析 对于A ，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错误；对于B ，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，正确；对于C ，方程k ＝y ＋1x －2表示直线y ＋1＝k (x －2)去掉点(2，－1)，与方程y ＋1＝k (x －2)不表示同一直线，故错；对于D ，直线过点P (x 0，y 0)，倾斜角为90°，则其方程为x ＝x 0，正确.故选BD. 答案 BD14.(多填题)已知直线l ：y ＝－a b x ＋2b 与直线l ′：y ＝23x －43平行，且直线l ：y ＝－ab x ＋2b 与y 轴的交点为(0，1)，则a ＝________，b ＝________.解析 由直线l ：y ＝－a b x ＋2b 与直线l ′：y ＝23x －43平行，且直线l 与y 轴的交点为(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a b ＝23，2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－43，b ＝2. 答案 －43 2。
第02讲 直线的点斜式、斜截式方程(三大题型归纳+分层练)(学生版)
第02讲直线的点斜式、斜截式方程一、直线的点斜式方程我们把方程________________称为过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l的方程．方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的________________．注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0.二、直线的斜截式方程1．直线l与y轴的交点(0，b)的____________称为直线l在y轴上的截距．2．方程____________叫作直线的斜截式方程．注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.(3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程．题型01直线的点斜式方程【解题策略】求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1)．(2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外【典例分析】【例1】（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）过点()5,2P 且斜率为1-的直线的点斜式方程为（ ）A ．7y x =-+B ．()25y x -=--C ．()25y x +=-+D ．()52y x -=--【变式演练】【变式1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）过点()5,2P 且斜率为1-的直线的点斜式方程为（ ）A ．()52y x -=--B ．()25y x -=--C ．()25y x +=-+D ．()25y x +=--【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知()3,4A ，()1,0B -，则过AB 的中点且倾斜角为120，直线的点斜式方程是 ．【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程：(1)经过点()2,3A -，斜率为3；(2)经过点()3,0B ，倾斜角是π6； (3)经过点()4,2C --，倾斜角是2π3． 题型02 直线的斜截式方程【解题策略】 求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．【典例分析】【例2】（22-23高二上·全国·课后作业）与直线2y x =-+垂直，且在x 轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（ ）.A ．2y x =+B ．2y x =-C ．2y x =-+D ．4y x =-+【变式演练】【变式1】（22-23高二上·重庆南岸·期中）经过点()2,3A ，且倾斜角为π4的直线的斜截式方程为（ ） A ．1y x =+ B ．1y x =- C ．=1y x -- D ．1y x =-+【变式2】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）倾斜角为150︒，在y 轴上的截距是3-的直线的斜截式方程为 .【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l 的斜率为2-，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的斜截式方程．题型03 点斜式直线方程的应用【解题策略】 (1)解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的直线必过定点(x 0，y 0)．(2)在求面积时，要将截距转化为距离．【典例分析】【例3】（23-24高二上·广东东莞·期中）直线l 经过点()1,1A -，在x 轴上的截距的取值范围是()2,1-，则其斜率的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭ 【变式演练】【变式1】（23-24高二上·四川遂宁·期中）倾斜角为135°的直线l 经过坐标原点O 和点()4,A y ，则y 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．4- D ．5-【变式2】（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知线段AB 的端点()1,3A -，()5,2B ，直线l ：230kx y k ---=与线段AB 相交，则k 的取值范围是 ．【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l 的方程是31y x =+.(1)求直线l 的斜率和倾斜角；(2)求过点(3,1)-且与直线l 平行的直线的方程.【夯实基础】一、单选题1．（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列四个结论： ①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；①倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；①方程12y k x +=-与方程1(2)y k x +=-可表示同一直线；①直线l 过点()00,P x y ，倾斜角为90︒，则其方程为0x x =．其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①2．（21-22高二上·四川南充·开学考试）与直线210x y --=垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（ ）A ．142y x =-+B ．142y x =-+或142y x =--C ．142y x =+D ．142y x =+或1y x 42=-3．（23-24高二下·四川成都·开学考试）过点(2,3)P ，且倾斜角为90︒的直线方程为（ ） A ．2x = B ．3x = C ．2y = D ．3y =4．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）过点()1,2M 且倾斜角为45︒的直线方程为（ ） A ．1y x =- B ．1y x =+ C ．3y x =-+ D ．=1y x --二、多选题5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l ：31y x =-，则（ ）A ．直线l 过点)3,2-B ．直线l 3C ．直线l 的倾斜角为60D ．直线l 在y 轴上的截距为16．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l 的倾斜角为45，且过点(1,2)，则在直线上的点是（ ） A ．(0,1) B ．(2,1)--C ．(3,3)D ．(3,2)三、填空题7．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点()1,4，斜率为3的直线方程为 ． 8．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）过点()2,3-且与直线210x y ++=垂直的直线l 的斜截式方程是 . 9．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l 的斜率为1-，且过点(2,5)-，则直线l 在y 轴上的截距是 .四、解答题10．（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是3-；(2)直线倾斜角是60︒，在y 轴上的截距是5；(3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为2-.11．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在平行四边形OABC 中，点()()1,3,3,0C A ．(1)求AB 所在直线方程；(2)过点C 作CD AB ⊥于点D ，求CD 所在直线的方程．。
直线的方程(1)——点斜式、斜截式最新版
§7.2 直线的方程(1)
小结： 1) 直线方程的两种形式：
点斜式：y-y1=k (x-x1) 斜截式：y=kx+b 2) 点斜式和斜截式都是在斜率存在时 方可用。
作业：《数学之友》第37页。
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
直线的方程(第1课时+直线方程的点斜式与斜截式)课件
一、直线方程的点斜式
【问题思考】
1.(1)若直线经过点P0(x0,y0)P(x,y) 是直线上不同于点
-0
P0 的任意一点,则- =k,即
0
y-y0=k(x-x0),点
P0 也满足该式,即该直线上任意一点的坐标都满足方程 y-y0=k(x-x0).
当 b=-12 时,直线 l 与 x 轴、y 轴的交点分别为点(6,0),(0,-12).
故所求三角形的周长为 6+12+√62 + 122 =18+6√5.
随堂练习
1.方程y=k(x-2)表示(
).
A.经过点(-2,0)的所有直线
B.经过点(2,0)的所有直线
C.经过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
3
(1) 因为直线经过点(-4,1),所以由直线方程的点斜式得
4√3
√3
y= 3 x+ 3 +1.
(2)由题意,知直线在 y 轴上的截距为-10,
所以由直线方程的斜截式得
√3
y= x-10.
3
√3
y-1= (x+4),即
3
(2)斜率与直线y=-x的斜率相等,在y轴上的截距与直线y=2x+3在y轴上的截
距相等.
解:(1)由于直线过点A(3,4)和点(2,0),故直线的斜率
4-0
k=3-2 =4.由直线方程的
点斜式,得y-0=4×(x-2)=4x-8,故所求直线方程的斜截式为y=4x-8.
(2)由题意知所求直线的斜率为-1,在y轴上的截距为3,∴所求直线方程的斜
y=kx+b ,其中b为这条直线在y轴上的 截距 .倾斜角是 90°的直线无斜截式.
优质课直线方程的点斜式和斜截式教案
优质课直线方程的点斜式和斜截式教案第一篇：优质课直线方程的点斜式和斜截式教案§1.2.1直线方程的点斜式和斜截式一、教学目标 1．知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2．过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素—直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别. 3．情感、态度与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.通过平行直线系，感受数学之美，激发学习数学的积极主动性。
二、教学重难点1.教学重点：直线的点斜式方程和斜截式方程.2.教学难点：直线的点斜式推导过程中直线与方程对应关系的理解.三、教学过程（一）设疑自探：预习课本P65-67,回答下列问题：问题1：过定点P（x0,y0）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多少条？确定一条直线需要什么样的条件？问题2：若直线l经过点P0(x0,y0),斜率为k, 这条直线上的任意一点P（x,y）的坐标x与y之间满足什么关系呢？所得到方程与直线l有什么关系呢？由此你能推出直线的点斜式方程吗？（二）自主检测：1、（1）已知直线的点斜式方程是y-2=x-1,那么直线的斜率为___,倾斜角为___. （2）已知直线方程是x y10,那么直线的斜率为____,倾斜角为______.2、写出下列直线的点斜式方程: （1）经过点A（3，-1）,斜率是2；（2）经过点B(2,2)，倾斜角为30°；（3）经过点C（0，3），倾斜角是0°；（4）经过点D（-4，-2）,倾斜角是12022（三）例题解析例1、写出下列直线的方程，并画出图形：（1）经过点P（1,3），斜率是1；（2）经过点Q（-3,1），且与x轴平行；（3）经过点R（-2,1），且与x轴垂直；（4）经过两点A(5,0),B(3,3).四、质疑再探：1、根据例2思考讨论（1）什么是直线的斜截式？（2）b 的几何意义是什么？（3）由直线的斜截式方程你能想到我们学过的哪类函数，它们之间又有什么关系呢？（4）点斜式与斜截式有什么联系？在表示直线时又有什么区别呢？例2、如果直线l的斜率为k,且与y 轴的交点为(0,b),:你能求出直线l的方程吗？变式：直线y=2x-3的斜率和在y轴上的截距分别为2、根据例3思考讨论任何一条直线都能用点斜式或斜截式方程表示吗？2例3、求过两点（m,2）,(3,4) 的直线的点斜式方程.（四）课堂小结：1、通过本节课你学习到了那些知识？（1）直线方程的点斜式；（2）直线方程的斜截式；（3）直线方程的点斜式和斜截式的关系以及适用范围.2、本节课用了哪些数学思想？数形结合、分类讨论思想（五）当堂演练：1、已知直线l的方程为x y b0(b R),则直线l的倾斜角为（） A、30 B、45 C、135 D、与b有关2、过点P(2,0)，斜率是3的直线的方程是（） A、y3x2B、y3x 2 C、y3(x2)D、y3(x2)3、经过点(2,1)，倾斜角为60的直线方程是（） A、y13(x2) B、y1C、y13(x2)D、y13(x2) 33(x2)34、直线l的倾斜角为45，且过点(4,1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是5、求斜率为直线y3x1的斜率的倒数，且分别满足下列条件的直线方程. （1）经过点(4,1)；（2）在y轴上的截距为10.第二篇：直线的斜截式方程教案直线的斜截式方程教学目标1、进一步复习斜率的概念，了解直线在y轴上的截距的概念；2、李姐直线直线的斜截式方程与点斜式方程的关系；3、初步掌握斜截式方程及其简单应用；4、培养学生应用公式的能力。
《6.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程》学历案-中职数学高教版21基础模块下册
《直线的点斜式方程与斜截式方程》学历案（第一课时）一、学习主题本节课的学习主题是“直线的点斜式方程与斜截式方程”。
这是中职数学课程中关于直线方程的重要知识点，通过本课学习，使学生能够掌握直线方程的基本概念、推导方法和应用，为后续的数学学习打下基础。
二、学习目标1. 掌握直线的点斜式方程和斜截式方程的概念及推导过程；2. 能够根据已知条件，正确运用点斜式和斜截式方程表示直线；3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力；4. 提高学生的数学应用意识和实际操作能力。
三、评价任务1. 课堂表现评价：通过学生在课堂上的表现，评价学生对直线的点斜式方程和斜截式方程的理解程度和应用能力；2. 作业评价：通过布置相关作业，评价学生对直线的点斜式方程和斜截式方程的掌握情况；3. 测验评价：通过定期的测验，检测学生对直线的点斜式方程和斜截式方程的理解程度和应用能力，并据此调整教学策略。
四、学习过程1. 导入新课：通过回顾上节课的内容，引出本节课的学习主题——直线的点斜式方程与斜截式方程；2. 概念介绍：介绍直线的点斜式方程和斜截式方程的概念及公式；3. 公式推导：通过具体例子，推导直线的点斜式方程和斜截式方程的推导过程；4. 实践应用：让学生根据已知条件，运用点斜式和斜截式方程表示直线，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力；5. 课堂小结：总结本节课的学习内容，强调直线的点斜式方程和斜截式方程的应用方法和注意事项。
五、检测与作业1. 课堂检测：在课堂结束前，进行一次小测验，检测学生对直线的点斜式方程和斜截式方程的理解程度和应用能力；2. 作业布置：布置相关作业，包括直线的点斜式方程和斜截式方程的练习题和应用题，让学生巩固所学知识；3. 作业评价：对学生的作业进行批改和评价，针对学生的不足之处进行指导和帮助。
六、学后反思1. 教师反思：教师应对本节课的教学过程进行反思，总结教学经验和不足之处，为今后的教学提供参考；2. 学生反思：学生应反思自己在本节课的学习过程，总结自己的不足之处，制定改进措施，提高学习效果。
1.2.1+直线的点斜式、斜截式方程(同步课件)-【上好课】2024-2025学年高二数学
如果直线 的斜率为k，且与y轴的交点为
（0，b），代入直线的点斜式方程，得
y
l
y b k ( x 0) 即：y kx b
•(0，b)
O
x
当直线与y轴相交时，我们把直线与y轴交点的纵坐标b叫做直
线在y轴上的截距，简称纵截距。
典例剖析
例4
(1)已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直
(2)在求面积时，要将截距转化为距离．
练一练
(1)若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a
的取值范围是(
)
A．a>1
B．0<a<1
C．a＝1
D．0<a<1或a>1
答案
A
解析 y＝x＋a(a>0)表示斜率为1，在y轴上的截距为a(a>0)的直线，
y＝a|x|表示关于y轴对称的两条射线．
情景导入
飞逝的流星形成了一条美丽的弧线,这条弧线可以看做是
满足某种运动规律的点的集合.在平面直角坐标系中,直线也
可以看做是满足某种条件的点的集合,直线的位置既可由两点
惟一确定,也可由一点和一个方向来确定.
复习回顾
1、直线倾斜角的定义
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把 x轴所在的直线绕
线恒过定点(
)
A．(1,3)
B．(－1，－3)
C．(3,1)
D．(－3，－1)
答案
C
解析
直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，
由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．
1
(2)直线y＝ x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，
21-22版：2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程(步步高)
2.2.2 直线的方程第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程 学习目标 1.了解直线的方程、方程的直线的概念.2.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.3.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y 轴上的截距的含义． 导语同学们，直线与方程就是直线的方程，在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、直线、平面间的关系研究几何图形的性质，我们在平面直角坐标系中，建立直线的方程，然后通过方程，研究直线的有关性质，今天我们来探究直线的方程．一、直线的方程的理解问题1 已知l 1，l 2是平面直角坐标系下的直线，判断满足以下条件的直线l 1，l 2是否唯一． ①已知l 1的斜率不存在；②已知l 1的斜率不存在且l 1过点A (1,2)；③已知l 2的斜率为2； ④已知l 2的斜率为2且过点B (2,3)．提示 显然，满足①的直线有无数条，满足②的直线是唯一的，即横坐标为1的点都在直线上，且直线上所有点的横坐标也都为1；同样，满足③的直线有无数条，满足④的直线是唯一的，我们只需找异于B 点任意一点P (x ，y )，有y －3x －2＝2，即y －3＝2(x －2)，因此直线上的点都在方程y －3＝2(x －2)上，而满足方程y －3＝2(x －2)上的点也都在直线上． 知识梳理如果直线l 上的点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解，而且以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在直线l 上，则称F (x ，y )＝0为直线l 的方程，而直线l 称为方程F (x ，y )＝0的直线，“直线l ”也可说成“直线F (x ，y )＝0”，记作l ：F (x ，y )＝0.例1 下列各点在二元一次方程x ＋2y －1＝0上的是( )A ．(1,0)B ．(0,1) C.⎝⎛⎭⎫12，12D.⎝⎛⎭⎫1，12 答案 A解析 将选项A ，B ，C ，D 分别代入方程x ＋2y －1＝0，检验只有A 满足题意．反思感悟 直线l 上的点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解，而且以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在直线l 上，则称F (x ，y )＝0为直线l 的方程．跟踪训练1 已知点A (1，m )在二元一次方程x －y ＋1＝0上，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A解析 因为点A (1，m )在x －y ＋1＝0上，故1－m ＋1＝0⇒m ＝2.二、直线的点斜式方程问题2 给定一个点P 0(x 0，y 0)和斜率k (或倾斜角)就能确定一条直线．怎么确定P 0(x 0，y 0)和斜率k 之间的关系？提示 y －y 0＝k (x －x 0)． 知识梳理我们把方程y －y 0＝k (x －x 0)称为过点P 0(x 0，y 0)，斜率为k 的直线l 的方程．方程y －y 0＝k (x －x 0)由直线上一个定点(x 0，y 0)及该直线的斜率k 确定，我们把它称为直线的点斜式方程，简称点斜式．注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)当直线与x 轴平行或重合时，方程可简写为y ＝y 0.特别地，x 轴的方程是y ＝0；当直线与y 轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x ＝x 0.特别地，y 轴的方程是x ＝0.例2 若直线l 满足下列条件，求其直线方程．(1)过点(－1,2)且斜率为3；(2)过点(－1,2)且与x 轴平行；(3)过点(－1,2)且与x 轴垂直；(4)已知点A (3,3)，B (－1,5)，过线段AB 的中点且倾斜角为60°.(5)过点(－1,2)且直线的方向向量为a ＝(2，－1)．解 (1)y －2＝3(x ＋1)，即y ＝3x ＋5.(2)y ＝2.(3)x ＝－1.(4)斜率k ＝tan 60°＝3，AB 的中点为(1,4)，则该直线的点斜式方程为y －4＝3(x －1)，即y ＝3x －3＋4.(5)直线的方向向量为a ＝(2，－1)，∴k ＝－12＝－12， 故直线的方程为y －2＝－12(x ＋1)， 即y ＝－12x ＋32. 反思感悟 (1)只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程．(2)当倾斜角为0°，即k ＝0时，这时直线l 与x 轴平行或重合，直线l 的方程是y ＝y 0.(3)当倾斜角为90°时，直线无斜率，这时直线l 与y 轴平行或重合，直线l 的方程是x ＝x 0.跟踪训练2求满足下列条件的直线方程．(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝33x的倾斜角的2倍；(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；(3)过点P(4，－2)，倾斜角为150°.解(1)∵直线y＝33x的斜率为33，∴直线y＝33x的倾斜角为30°.∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为 3.∴所求直线方程为y＋3＝3(x－2)，即3x－y－23－3＝0.(2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示．但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x＝5.(3)∵α＝150°，∴k＝tan 150°＝－3 3，∴直线的点斜式方程为y＋2＝－33(x－4)，即3x＋3y＋6－43＝0.三、直线的斜截式方程问题3直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程．提示y＝kx＋b.知识梳理1．直线的截距当直线l既不是x轴也不是y轴时，若l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．2．把方程y＝kx＋b称为直线的斜截式方程，简称斜截式．注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距．(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y ＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程．例3(1)(多选)下列四个选项中，正确的是()A．任何一条直线在y轴上都有截距B．直线在y轴的截距一定是正数C．直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线D．直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1答案CD解析平行于y轴的直线与y轴不相交，所以在y轴上没有截距，故A不正确．直线在y轴上的截距即为直线与y轴交点的纵坐标，可正、可负、可为0，故B不正确．直线的斜截式方程y＝kx＋b所表示的直线斜率要存在，且直线在y轴上的截距要存在，所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线，故C正确．直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1，故D正确．(2)根据条件写出下列直线的斜截式方程．①斜率为2，在y轴上的截距是5；②倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；③倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解①由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.②∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－3 3.由斜截式可得直线方程为y＝－33x－2.③∵直线的倾斜角为60°，∴斜率k＝tan 60°＝ 3.∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.反思感悟(1)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解．(2)截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零．跟踪训练3(1)直线y＋2＝－2(x－3)化成斜截式方程为________________，在y轴上的截距为________．答案y＝－2x＋4 4解析y＋2＝－2(x－3)可化为y＝－2x＋4，在y轴上的截距为4.(2)已知直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为________________．答案y＝－2x＋6解析l1：y＝2x＋6在y轴上的截距为6，斜率为2，故直线l的斜率为－2，在y轴上的截距为6，所以直线l的方程为y＝－2x＋6.1.知识清单：(1)直线的方程与方程的直线．(2)直线的点斜式方程．(3)直线的斜截式方程．2．方法归纳：公式法．3．常见误区：直线的点斜式方程、斜截式方程并不能表示所有直线．1．方程y＝k(x－2)表示()A．通过点(－2,0)的所有直线B．通过点(2,0)的所有直线C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线答案 C解析易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．2．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为3，则此直线方程为() A．y＝3x＋ 3 B．y＝－3x＋ 3C．y＝－3x－ 3 D．y＝3x－ 3答案 A解析直线的倾斜角为60°，则其斜率为3，利用斜截式直接写方程．3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0答案 B解析如图，∵直线经过第一、三、四象限，∴k>0，b<0.4．已知直线l 过点P (2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，则直线l 的点斜式方程为____________．答案 y －1＝12(x －2) 解析 由x －4y ＋3＝0，得y ＝14x ＋34，其斜率为14， 故所求直线l 的斜率为12， 又直线l 过点P (2,1)，所以直线l 的点斜式方程为y －1＝12(x －2)．。
21-22版：2.2.2 第一课时 直线的点斜式方程与斜截式方程（创新设计）
2.2.2直线的方程第一课时直线的点斜式方程与斜截式方程1.直线的方程和方程的直线一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线，此时，“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，并且记作l：F(x，y)＝0.2.直线的点斜式方程与斜截式方程如果已知P0(x0，y0)是直线l上一点，且l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝x0.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)过点(x0，y0)且斜率为k的直线的点斜式方程也可写成y－y0x－x0＝k.(×)提示点(x0，y0)不满足y－y0x－x0＝k，所以y－y0x－x0＝k不能表示过点(x0，y0)且斜率为k的直线.(2)y轴所在直线方程为y＝0.(×)提示y轴所在直线方程为x＝0.(3)直线在y轴上的截距是直线与y轴的交点到原点的距离.(×)提示直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标.(4)过点(1，1)的所有直线都可以用点斜式的形式表示出来.(×)提示过点(1，1)且斜率不存在的直线不能用点斜式的形式表示出来.2.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A.k>0，b>0B.k>0，b<0C.k<0，b>0D.k<0，b<0答案B解析∵直线经过一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.3.经过点(－2，2)且倾斜角为30°的直线的点斜式方程为()A.y－2＝33(x＋2) B.y－2＝33(x＋2)C.y－2＝3(x＋2)D.y－2＝3(x＋2)答案B解析由题意得，所求直线的点斜式方程为y－2＝tan 30°(x＋2)即y－2＝3 3(x＋2).4.直线y＝3x－2的斜率为________，在y轴上的截距为________.答案3－2解析直线y＝3x－2的斜率为3，在y轴上的截距为－2.题型一直线的点斜式方程【例1】求满足下列条件的直线的点斜式方程.(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点.解(1)∵直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，∴直线的点斜式方程为y－3＝－3(x＋4).(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，∴直线的点斜式方程为y－(－4)＝0·(x－3)，即y＋4＝0.(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率k PQ＝－4－35－（－2）＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2，3)，∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2).思维升华(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y －y0＝k(x－x0).(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外.【训练1】过点(－1，2)，且倾斜角为135°的直线的点斜式方程为________.答案y－2＝－(x＋1)解析k＝tan 135°＝－1，又直线过点(－1，2)，∴直线的点斜式方程为y－2＝－(x＋1).题型二直线的斜截式方程【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解(1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－3 3.由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.思维升华 1.本例(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“y ＝3x－3”.2.截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零.【训练2】写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.解(1)由直线的斜截式方程可得，所求直线方程为y＝3x－3.(2)由题意可知，直线的斜率k＝tan 60°＝3，所求直线的方程为y＝3x＋5.(3)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝3 3，由直线的斜截式方程可知，直线方程为y＝3 3x.题型三直线过定点问题【例3】求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限.证明法一直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，∴直线l过定点(－2，3)，由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限.法二直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.令⎩⎨⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3.∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2，3). ∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限.思维升华 本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现代数方法处理恒成立问题的基本思想. 【训练3】 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论实数a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围. (1)证明 将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，则直线l 的斜率为a ，且直线l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，所以直线l 过第一象限.故不论实数a 为何值，直线l 总经过第一象限.(2)解 因为O (0，0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，所以直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.又直线l 不经过第二象限，所以a ≥3. 即实数a 的取值范围是[3，＋∞).1.直线方程的2种形式(1)点斜式方程：y －y 0＝k (x －x 0). (2)斜截式方程：y ＝kx ＋b . 2.注意2个易错点(1)点斜式方程和斜截式方程表示的直线的斜率一定存在，在设直线时要注意讨论斜率存在与不存在的情况.(2)截距不是距离，是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标.。
直线的点斜式方程与斜截式方程习题课
直线的点斜式方程与斜截式方程习题课直线的点斜式方程与斜截式方程习题课班姓名组评学习目标：1、理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2、能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；重点：正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
难点：理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围。
学法指导：1、小组长带领组员回顾有关知识，精读教材第50页内容完成导学案，将不能独立完成的问题提交组上，有本组成员共同讨论完成，若本组共同无法完成，将问题提交老师，全班共同完成.2、课堂上注意用“红笔”做好改正和记录.3、课后组长带领大家对本节中出现的错误，共同讨论进行纠错，各组成员将纠错内容记录在“纠错本”上.一、【检查预习、引入新课】——教师检查问题导读评价单完成情况，并对问题导读评价单中出现的问题进行规范指导.（一）、知识梳理、双基再现1、方程___________________叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。
其中点为直线上的点，．．．．．．．．k 为直线的。
特殊情况：当直线经过点P 0(x 0, y 0) 且斜率时，直线的倾角为90°，此时直线与x 轴线上所有的点横坐标都是x 0，因此其方程为。
2、方程___________________叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。
其中k 为直线的，b 为直线在．．．．．．．．_________________。
3、如图所示，设直线l 与x 轴交于点A (a ,0) ，与y 轴交于点B (0,b ) 。
则a 叫做直线l _______________（或_________）；b 叫做直线l _______________（或__________）（二）、小试身手、轻松过关写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点A(2，5) ，斜率是4；（2）经过点B(3，-1) ，斜率是2；（3）经过点C( 2，2) ，倾斜角是30°；（4）经过点D(0，3) ，倾斜角是0°；（5）经过点E(4，-2) ，倾斜角是120°【我的疑惑】二、【基础训练、锋芒初显】——自主学习，合作探究——教师发放问题生成评价单；学生分组讨论，教师巡回指导；各学习小组选派学生，汇报问题生成评价单完成情况；教师对问题生成评价单完成情况进行点评.1、写出下列直线的点斜式方程：①经过点A(3，-1) ，斜率是2；②经过点B(- 2，2) ，倾斜角是30°；2、写出下列直线的斜截式方程：3、过点（1，3），且平行于x 轴的直线方程为，平行于y 轴的直线方程为。
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直线的点斜式方程与斜截式方程习题课
班 组 姓名 组评
学习目标：
1、理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
2、能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；
重点：正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
难点：理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围。
学法指导：
1、小组长带领组员回顾有关知识，精读教材第50页内容完成导学案，将不能独立完成的问题提交组上，有本组成员共同讨论完成，若本组共同无法完成，将问题提交老师，全班共同完成.
2、课堂上注意用“红笔”做好改正和记录.
3、课后组长带领大家对本节中出现的错误，共同讨论进行纠错，各组成员将纠错内容记录在“纠错本”上.
一、【检查预习、引入新课】——教师检查问题导读评价单完成情况，并对问题导读评价单中出现的问题进行规范指导.
（一）、知识梳理、双基再现
1、方程___________________叫做直线的点斜式方程．．．．．，简称点斜式．．．。
其中点 为直线上的点， k 为直线的 。
特殊情况：当直线经过点000(,)P x y 且斜率 时，直线的倾角为90°，此时直线与x 轴 ，直线上所有的点横坐标都是0x ，因此其方程为 。
2、方程___________________叫做直线的斜截式．．．方程．．，简称斜截式．．．。
其中k 为直线的 ，b 为直线在_________________。
3、如图所示，设直线l 与x 轴交于点(,0)A a ，与y 轴交于点(0,)B b 。
则a 叫做直线l _______________（或_________）；
b 叫做直线l _______________（或__________）
（二）、小试身手、轻松过关
写出下列直线的点斜式方程：
（1）经过点A(2，5)，斜率是4； （2）经过点B(3，-1)，斜率是2；
（3）经过点C(2 ，2)，倾斜角是30°； （4）经过点D(0，3)，倾斜角是0°；
（5）经过点E(4，-2)，倾斜角是120°
【我的疑惑】
二、【基础训练、锋芒初显】——自主学习，合作探究——教师发放问题生成评价单；学生分组讨论，教师巡回指导；各学习小组选派学生，汇报问题生成评价单完成情况；教师对问题生成评价单完成情况进行点评.
1、写出下列直线的点斜式方程：
①经过点A(3，-1)，斜率是2； ②经过点B(- 2，2)，倾斜角是30°；
2、写出下列直线的斜截式方程： ①斜率是
32
，在y 轴上的截距是-2； ②斜率是-2，在y 轴上的截距是4
3、过点（1，3），且平行于x 轴的直线方程为 ，平行于y 轴的直线方程为 。
【我的疑惑】
三、【举一反三、能力拓展】——强化训练，形成能力——教师发放问题训练拓展评价单；学生分组讨论完成问题训练拓展评价单上的练习题，教师巡回指导；各学习小组选派学生，汇报问题训练拓展评价单完成情况；教师对问题训练拓展评价单完成情况进行点评.
1、已知直线l 的倾角为6
π，在x 轴上的截距为1，求直线l 的方程。
2、已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：
（1）12-=-x y ； （2）)4(33-=-x y ； （3）)1(3--=+x y ；（4）)1(332+-
=+x y
3、求斜率为34
，且与两坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程。
4、已知P （3，m ）在过点M （2，－1）和N （－3，4）的直线上，求m 的值。
5、直线过点（－4，0），倾斜角的正弦值为
10
10，求这条直线的方程。
【我的疑惑】
四、【畅谈收获、提升意义】
1、教师提问：（1）咱们今天学习的是什么内容？（2）你们今天学会了什么内容？
2、学生自我小结:（1）今天学习了什么内容？（2）今天学会了什么内容?（3）我有什么疑惑？
五、【布置作业、知识巩固】习题8.2 A 组 4 B 组 1 ,2。