弹塑性本构关系ppt
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常用模型 金属材料：采用等向强化和随动强化； 岩土材料：静力问题采用等向强化；循环荷载 和动力问题采用随动强化或混合强化
3.2.1 等向强化模型
这种模型无论在哪个方向加载拉 伸和压缩强化总是相等地产生和 开展；在复杂加载条件下，即表 示应力空间中作形状相似的扩大， 如图中OABDD'E'代表等向强化， 图中B与D'点所对应的应力值均 为σ's(指绝对值)，在这种情况下， 压缩屈服应力和弹性区间都随着 材料强化而增大。
d ij d ijp 0 dσ n 0
加载准则
意义：只有当应力增量指向加载面的外部时才能产生塑性变形。
3德鲁克塑性公设的评述
德鲁克公设的适用条件：
（1）应力循环中外载所作 的真实功与ij0起点无关；
p ij
ij d ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
0 ij
ij
0 ij d ij 0
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件： ①ij0在塑性势面与屈服面 之内时，德鲁克公设成立； ②ij0在塑性势面与屈服面 之间时，德鲁克公设不成立；
势面线
屈服面
（5）金属材料的塑性势面与 屈服面基本一致。 附加应力功为非负的条件
应变空间加 载面外凸
0 ij ij时， 塑性势面与屈服面相同 d ij d ijp 0
③
加载准则(取大于号表示 有新的塑性变形发生)
根据 d ijp 关于 0 的正交法则，可得：
d ijp d ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得： D ij ij 结合
g I1 , J 2 , J 3 , H 0
g ij , H 0
或
式中， H 为硬化参数。 塑性应变增量可以用塑性位势函数对应力微分的表达 式来表示，即： g p
d ij d ij
d ijp d
g ij
上式就称为塑性位势理论。它表明一点的塑性应变 增量与通过该点的塑性势面存在着正交关系，这就确 定了应变增量的方向，也就确定了塑性应变增量各分 量的比值。 流动规则也称为正交定律，是确定塑性应变增量 各分量的比值，也即塑性增量方向的一条规定。上式 是流动规则的一种表示形式，另外还有另一种表示形 式：
弹塑性力学本构关系
讲的挺好的
(1) 稳定材料与非稳定材料
德鲁克公设和依留申公设是传统塑性力学的基础，它把塑性势函 数与屈服函数紧密联系在一起。德鲁克公设只适用于稳定材料， 而依留申既适用于稳定材料，又适用于不稳定材料。
稳定材料
非稳定材料
附加应力对附加应变做功 附加应力对附加应变负做 为非负，即有 0 功，即 0
加工硬化规律是决定一个给定的应力增量引起的 塑性应变增量的一条规则，在流动规律中，dλ这个因 素可以假定为：
1 屈服曲面的外凸性
0 ( ij ij )d ijp | A0 A || d p | cos 0
ij
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向 与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90° 稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
0 ij
包辛格逆效应（Bauschinger）分直接包辛格效应及 包辛格逆效应。直接包辛格效应指拉伸后钢材纵向 压缩屈服强度小于纵向拉伸屈服强度，如图1所示； 包辛格逆效应在相反的方向产生相反的结果，如图 2所示。
普拉格将随动强化模型推广到复 杂应力状态中，他假定在塑性变 形过程中，屈服面形状和大小都 不改变，只是在应力空间内作刚 体平移。
ij
由于弹性应变εije在应力循
环中是可逆的，因而
于是有：
0 ij
0 ( ij ij )d ije 0
0 WD WDp ( ij ij )d ijp 0
0 ij
(3) 德鲁克塑性公设的重要推论
0 WD WDp ( ij ij )d ijp 0
0 0 当 ij ij时 ( ij ij )d ijp 0 0 WD ( ij ij )d ijp 0
由图(a)可知，对于弹性性质不随加载面改变的非耦合情况，外 部作用在应变循环内做功WI和应力循环所作的外部功之间仅差 一个正的附加项： 1 p p
2 d d
d ijp d ij
它表明塑性应变增量与通过该点的屈服曲面成正 交关系。
与德鲁克公设表达式比较，可以看出，服从于德 鲁克公设的材料，塑性势函数g就是屈服函数Φ。即 g=Φ，由此得到的塑性应力应变关系通常称为与加载 条件相关联的流动法则。如果g≠Φ ，即屈服面与塑性 应变增量不正交，则其相应的塑性应力应变关系称 为非关联流动法则。
（应变硬化和理想塑性材料） （应变软化材料）
(2) 德鲁克塑性公设的表述
德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材 料的质点(试件)，借助于一个外部作用在其原有应力状态 之上，缓慢地施加并卸除一组附加压力，在附加应力的施 加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。 设材料单元体经历任意应力历史后， 在应力σij0下处于平衡，即开始应力σij0在加 载面内，然后在单元体上缓慢地施加一个附 加力，使σij0达到σij，刚好在屈服面上，再继 续加载到σij+dσij，在这一阶段，将产生塑性 应变dεijp，最后应力又卸回到σij0。若整个 应力循环过程中，附加应力dσij所作的塑性 功不小于零，即附加应力的塑性功不出现负 值，则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克 公设。
0 ij
0 WD ( ij ad ij ij )d ijp 0
1 a
1 2
0 当 ij ij时,略去无穷小量
( ij )d 0
0 ij p ij
0 当 ij ij时， d ij d ijp 0
屈服面的外凸性 塑性应变增量方向 与加载曲面正交
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
p d 必与加载面的外法线 重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
d d ij
p ij
切平面
标量dλ，称 为塑性因子
加载面
表明，塑性应变分量σij之间的比例可由在 加载面上Φ的位置确定。
d d p 0 d d p 0
d 0
B
C
D
A
d 0 d 0
0 WI ( ij ij d ij )d ijp
1
2
WD d ij d ijp WD 0
2
1
① ②
0 ij ij 0时， 0 ( ij ij )d ijp 0
3.1.3 依留申塑性公设的表述
依留申塑性公设：在弹塑性材料的一个应变循环内， 外部作用做功是非负的，如果做功是正的，表示有塑性变 形，如果做功为零，只有弹性变形发生。 设材料单元体经历任意应力 历史后，在应力σij0下处于平衡， 即初始的应变εij0在加载面内，然 后在单元体上缓慢地施加荷载，使 εij达到屈服面，再继续加载达到 应变点εij+dεij，此百度文库产生塑性应 变dεijp 。然后卸载使应变又回到 原先的应变状态εij0，并产生了与 塑性变量所对应的残余应力增量 dσijp。
( ij , H ) F ( I1 , J 2 , J 3 ) K 0 初始屈服面 硬化系数
tresca、von mises、M－C K H ( dW p )或H ( d p )
dW
p
ij d
p ij
d
p
2 deijp deijp 3
3.2.2 随动强化模型
图中OABCDE代表随动强化 模型，弹性卸载区间是衬始屈服 应力σs的两倍。根据这种模型， 材料的弹性区间保持不变，但是 由于拉伸时的强化而使压缩屈服 应力幅值减小。 与等向强化模型不同，随动 强化模型是考虑包辛格效应的。 在单向拉压情况下，随动强化模 型可以用下式表示：
s s 2 s
在应力循环中，外载所作的 功为：
W 0 ij d ij 0
ij
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
0 W 0 ij ij d ij 0
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
p p d ij D d ij
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
WI ij d ij 0
0 ij
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
可将Druker塑性公设改写成：
( ij , H ) F ( ij ij ) 0 F ( ij ) 0为初始屈服面
tresca、von mises、M－C
移动张量
常用线形随动强化 ij c ijp
mises :
3 ( Sij c ijp )( Sij c ijp ) s (c可据简单拉伸试验确定) 2
因此可将应变循环所作的外部功，写成
1 1 0 WI WD d ij d ijp ( ij ij d ij )d ijp 0 2 2
上式表明，如果德鲁克塑性公设成立，WD≥0，则依留申塑性公 设也一定成立，反之，依留申塑性公设成立，并不要求WD≥0， 也就是说，德鲁克塑性公设是依留申塑性公设的充分条件，而 不是必要条件。 d 0 当应力点由A到B时， dσ<0,但dσp>0,塑性变形 dεp>0，总变形dε>0
3.2.3 混合强化模型
运动硬化和等向硬化的组合，可以构成更一般的 硬化模型，称为混合强化模型
( ij , H ) F ( ij c ijp ) K 0
这时，后继屈服面既有位置的改变，也产生均匀的膨 胀。 等向强化 混合强化 随动强化(运动强化) 初始屈服面
3.2.4 加工硬化规律
在应变空间，流动规则可用下式表示：
d d ij
p ij
d 和 d 都为非负的比例系数。
3.2 硬化规律
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则 硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
• 硬化规律：加载面在应力空间中的位置、大小和 形状的变化规律。（确定加载面依据哪些具体的 硬化参量而产生硬化的规律称为硬化定律） • 硬化模型：实际土体硬化规律+简化假设（如采用 等值面硬化理论，主应力方向不旋转，加载面形 状不变等）
mises : q s H ( dW p )[或H ( d p )] 0 tresca : max s H ( dW p )[或H ( d p )] 0
在应力空间中，这种后 继屈服面的大小 只与最大 的应力状态有关，而与中 间的加载路径无关。在右 图中，路径1与路径2的最 终应力 状态都刚好对应于 加载过程中最大应力状态， 因此两者的最终后继屈服 是一样的；而路径3的最 终后继屈服面由加载路径 中最大应力状态来定。
p p d ij D d ij
d d ij
p ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性 位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有 一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势 函数，记为：
3.2.1 等向强化模型
这种模型无论在哪个方向加载拉 伸和压缩强化总是相等地产生和 开展；在复杂加载条件下，即表 示应力空间中作形状相似的扩大， 如图中OABDD'E'代表等向强化， 图中B与D'点所对应的应力值均 为σ's(指绝对值)，在这种情况下， 压缩屈服应力和弹性区间都随着 材料强化而增大。
d ij d ijp 0 dσ n 0
加载准则
意义：只有当应力增量指向加载面的外部时才能产生塑性变形。
3德鲁克塑性公设的评述
德鲁克公设的适用条件：
（1）应力循环中外载所作 的真实功与ij0起点无关；
p ij
ij d ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
0 ij
ij
0 ij d ij 0
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件： ①ij0在塑性势面与屈服面 之内时，德鲁克公设成立； ②ij0在塑性势面与屈服面 之间时，德鲁克公设不成立；
势面线
屈服面
（5）金属材料的塑性势面与 屈服面基本一致。 附加应力功为非负的条件
应变空间加 载面外凸
0 ij ij时， 塑性势面与屈服面相同 d ij d ijp 0
③
加载准则(取大于号表示 有新的塑性变形发生)
根据 d ijp 关于 0 的正交法则，可得：
d ijp d ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得： D ij ij 结合
g I1 , J 2 , J 3 , H 0
g ij , H 0
或
式中， H 为硬化参数。 塑性应变增量可以用塑性位势函数对应力微分的表达 式来表示，即： g p
d ij d ij
d ijp d
g ij
上式就称为塑性位势理论。它表明一点的塑性应变 增量与通过该点的塑性势面存在着正交关系，这就确 定了应变增量的方向，也就确定了塑性应变增量各分 量的比值。 流动规则也称为正交定律，是确定塑性应变增量 各分量的比值，也即塑性增量方向的一条规定。上式 是流动规则的一种表示形式，另外还有另一种表示形 式：
弹塑性力学本构关系
讲的挺好的
(1) 稳定材料与非稳定材料
德鲁克公设和依留申公设是传统塑性力学的基础，它把塑性势函 数与屈服函数紧密联系在一起。德鲁克公设只适用于稳定材料， 而依留申既适用于稳定材料，又适用于不稳定材料。
稳定材料
非稳定材料
附加应力对附加应变做功 附加应力对附加应变负做 为非负，即有 0 功，即 0
加工硬化规律是决定一个给定的应力增量引起的 塑性应变增量的一条规则，在流动规律中，dλ这个因 素可以假定为：
1 屈服曲面的外凸性
0 ( ij ij )d ijp | A0 A || d p | cos 0
ij
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向 与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90° 稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
0 ij
包辛格逆效应（Bauschinger）分直接包辛格效应及 包辛格逆效应。直接包辛格效应指拉伸后钢材纵向 压缩屈服强度小于纵向拉伸屈服强度，如图1所示； 包辛格逆效应在相反的方向产生相反的结果，如图 2所示。
普拉格将随动强化模型推广到复 杂应力状态中，他假定在塑性变 形过程中，屈服面形状和大小都 不改变，只是在应力空间内作刚 体平移。
ij
由于弹性应变εije在应力循
环中是可逆的，因而
于是有：
0 ij
0 ( ij ij )d ije 0
0 WD WDp ( ij ij )d ijp 0
0 ij
(3) 德鲁克塑性公设的重要推论
0 WD WDp ( ij ij )d ijp 0
0 0 当 ij ij时 ( ij ij )d ijp 0 0 WD ( ij ij )d ijp 0
由图(a)可知，对于弹性性质不随加载面改变的非耦合情况，外 部作用在应变循环内做功WI和应力循环所作的外部功之间仅差 一个正的附加项： 1 p p
2 d d
d ijp d ij
它表明塑性应变增量与通过该点的屈服曲面成正 交关系。
与德鲁克公设表达式比较，可以看出，服从于德 鲁克公设的材料，塑性势函数g就是屈服函数Φ。即 g=Φ，由此得到的塑性应力应变关系通常称为与加载 条件相关联的流动法则。如果g≠Φ ，即屈服面与塑性 应变增量不正交，则其相应的塑性应力应变关系称 为非关联流动法则。
（应变硬化和理想塑性材料） （应变软化材料）
(2) 德鲁克塑性公设的表述
德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材 料的质点(试件)，借助于一个外部作用在其原有应力状态 之上，缓慢地施加并卸除一组附加压力，在附加应力的施 加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。 设材料单元体经历任意应力历史后， 在应力σij0下处于平衡，即开始应力σij0在加 载面内，然后在单元体上缓慢地施加一个附 加力，使σij0达到σij，刚好在屈服面上，再继 续加载到σij+dσij，在这一阶段，将产生塑性 应变dεijp，最后应力又卸回到σij0。若整个 应力循环过程中，附加应力dσij所作的塑性 功不小于零，即附加应力的塑性功不出现负 值，则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克 公设。
0 ij
0 WD ( ij ad ij ij )d ijp 0
1 a
1 2
0 当 ij ij时,略去无穷小量
( ij )d 0
0 ij p ij
0 当 ij ij时， d ij d ijp 0
屈服面的外凸性 塑性应变增量方向 与加载曲面正交
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
p d 必与加载面的外法线 重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
d d ij
p ij
切平面
标量dλ，称 为塑性因子
加载面
表明，塑性应变分量σij之间的比例可由在 加载面上Φ的位置确定。
d d p 0 d d p 0
d 0
B
C
D
A
d 0 d 0
0 WI ( ij ij d ij )d ijp
1
2
WD d ij d ijp WD 0
2
1
① ②
0 ij ij 0时， 0 ( ij ij )d ijp 0
3.1.3 依留申塑性公设的表述
依留申塑性公设：在弹塑性材料的一个应变循环内， 外部作用做功是非负的，如果做功是正的，表示有塑性变 形，如果做功为零，只有弹性变形发生。 设材料单元体经历任意应力 历史后，在应力σij0下处于平衡， 即初始的应变εij0在加载面内，然 后在单元体上缓慢地施加荷载，使 εij达到屈服面，再继续加载达到 应变点εij+dεij，此百度文库产生塑性应 变dεijp 。然后卸载使应变又回到 原先的应变状态εij0，并产生了与 塑性变量所对应的残余应力增量 dσijp。
( ij , H ) F ( I1 , J 2 , J 3 ) K 0 初始屈服面 硬化系数
tresca、von mises、M－C K H ( dW p )或H ( d p )
dW
p
ij d
p ij
d
p
2 deijp deijp 3
3.2.2 随动强化模型
图中OABCDE代表随动强化 模型，弹性卸载区间是衬始屈服 应力σs的两倍。根据这种模型， 材料的弹性区间保持不变，但是 由于拉伸时的强化而使压缩屈服 应力幅值减小。 与等向强化模型不同，随动 强化模型是考虑包辛格效应的。 在单向拉压情况下，随动强化模 型可以用下式表示：
s s 2 s
在应力循环中，外载所作的 功为：
W 0 ij d ij 0
ij
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
0 W 0 ij ij d ij 0
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
p p d ij D d ij
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
WI ij d ij 0
0 ij
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
可将Druker塑性公设改写成：
( ij , H ) F ( ij ij ) 0 F ( ij ) 0为初始屈服面
tresca、von mises、M－C
移动张量
常用线形随动强化 ij c ijp
mises :
3 ( Sij c ijp )( Sij c ijp ) s (c可据简单拉伸试验确定) 2
因此可将应变循环所作的外部功，写成
1 1 0 WI WD d ij d ijp ( ij ij d ij )d ijp 0 2 2
上式表明，如果德鲁克塑性公设成立，WD≥0，则依留申塑性公 设也一定成立，反之，依留申塑性公设成立，并不要求WD≥0， 也就是说，德鲁克塑性公设是依留申塑性公设的充分条件，而 不是必要条件。 d 0 当应力点由A到B时， dσ<0,但dσp>0,塑性变形 dεp>0，总变形dε>0
3.2.3 混合强化模型
运动硬化和等向硬化的组合，可以构成更一般的 硬化模型，称为混合强化模型
( ij , H ) F ( ij c ijp ) K 0
这时，后继屈服面既有位置的改变，也产生均匀的膨 胀。 等向强化 混合强化 随动强化(运动强化) 初始屈服面
3.2.4 加工硬化规律
在应变空间，流动规则可用下式表示：
d d ij
p ij
d 和 d 都为非负的比例系数。
3.2 硬化规律
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则 硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
• 硬化规律：加载面在应力空间中的位置、大小和 形状的变化规律。（确定加载面依据哪些具体的 硬化参量而产生硬化的规律称为硬化定律） • 硬化模型：实际土体硬化规律+简化假设（如采用 等值面硬化理论，主应力方向不旋转，加载面形 状不变等）
mises : q s H ( dW p )[或H ( d p )] 0 tresca : max s H ( dW p )[或H ( d p )] 0
在应力空间中，这种后 继屈服面的大小 只与最大 的应力状态有关，而与中 间的加载路径无关。在右 图中，路径1与路径2的最 终应力 状态都刚好对应于 加载过程中最大应力状态， 因此两者的最终后继屈服 是一样的；而路径3的最 终后继屈服面由加载路径 中最大应力状态来定。
p p d ij D d ij
d d ij
p ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性 位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有 一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势 函数，记为：