高考人教数学(理)大一轮复习检测：第八章第六节抛物线Word版含解析

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教育最新2019年人教版高中数学高考总复习抛物线习题及详解Word版

高中数学高考总复习抛物线习题(附参考答案)一、选择题1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4[答案] D[解析] 椭圆中，a 2＝6，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴右焦点(2,0)，由题意知p2＝2，∴p ＝4.2．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能[答案] B[解析] 如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，则MD ＝MF ，ON ＝OF ， ∴AB ＝OF ＋CM 2＝ON ＋CM2＝DM 2＝MF 2， ∴这个圆与y 轴相切．3．(2010·山东文)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，∵A 、B 在抛物线y 2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1 ①y 22＝2px 2② ①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p 2，∵k AB ＝1，∴，p ＝2∴抛物线方程为y 2＝4x ，∴准线方程为：x ＝－1，故选B.4．双曲线x 29－y 24＝1的渐近线上一点A 到双曲线的右焦点F 的距离等于2，抛物线y 2＝2px (p >0)过点A ，则该抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝4xC ．y 2＝41313xD ．y 2＝21313x[答案] C[解析] ∵双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，F 点坐标为(13，0)，设A 点坐标为(x ，y )，则y ＝±23x ，由|AF |＝2⇒(x －13)2＋⎝⎛⎭⎫23x 2＝2⇒x ＝913，y ＝±613，代入y 2＝2px 得p ＝21313，所以抛物线方程为y 2＝41313x ，所以选C.5．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5D.92[答案] A[解析] 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于⎝⎛⎭⎫122＋22＝172，选A. 6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)[答案] D[解析] 如图，由题意可得，|OF |＝1，由抛物线定义得，|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S △AMFS △AOF ＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )＝3， ∴|AM |＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 024，y 0，∴y 024＋1＝3，解得y 0＝±22，∴y 024＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)，故选D.7．(2010·河北许昌调研)过点P (－3,1)且方向向量为a ＝(2，－5)的光线经直线y ＝－2反射后通过抛物线y 2＝mx ，(m ≠0)的焦点，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－32xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x[答案] D[解析] 设过P (－3,1)，方向向量为a ＝(2，－5)的直线上任一点Q (x ，y )，则PQ →∥a ，∴x ＋32＝y －1－5，∴5x ＋2y ＋13＝0，此直线关于直线y ＝－2对称的直线方程为5x ＋2(－4－y )＋13＝0，即5x －2y ＋5＝0，此直线过抛物线y 2＝mx 的焦点F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，∴m ＝－4，故选D.8．已知mn ≠0，则方程是mx 2＋ny 2＝1与mx ＋ny 2＝0在同一坐标系内的图形可能是( )[答案] A[解析] 若mn >0，则mx 2＋ny 2＝1应为椭圆，y 2＝－mn x 应开口向左，故排除C 、D ；∴mn <0，此时抛物线y 2＝－mnx 应开口向右，排除B ，选A.9．(2010·山东聊城模考)已知A 、B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若F A →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )A ．±23B ．±32C ．±34D ．±43[答案] D[解析] ∵F A →＝－4FB →，∴|F A →|＝4|FB →|，设|BF |＝t ，则|AF |＝4t ，∴|BM |＝|AA 1|－|BB 1|＝|AF |－|BF |＝3t ，又|AB |＝|AF |＋|BF |＝5t ，∴|AM |＝4t ，∴tan ∠ABM ＝43，由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±43.10．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－4)和点B (t,0)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－22)∪(2，＋∞) [答案] B[解析] 由题意知方程组⎩⎨⎧x 2＝12y ①x t ＋y－4＝1 ②无实数解由②得y ＝4xt －4，代入①整理得，2x 2－4x t ＋4＝0，∴Δ＝16t 2－32<0，∴t >22或t <－22，故选B. [点评] 可用数形结合法求解，设过点A (0，－4)与抛物线x 2＝12y 相切的直线与抛物线切点为M (x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)， ∵过A 点，∴－4－2x 02＝4x 0(0－x 0)， ∴x 0＝±2，∴y 0＝4，∴切线方程为y －4＝±42x －8，令y ＝0得x ＝±22，即t ＝±22，由图形易知直线与抛物线无公共点时，t <－22或t >22. 二、填空题11．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y24－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．12．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|F A |＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 设抛物线准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，FQ ⊥l ，垂足分别为A 1、B 1、Q ，作BM ⊥AA 1垂足为M ，BM 交FQ 于N ，则由条件易知∠ABM ＝30°，设|BF |＝t ，则|NF |＝t 2，|MA |＝t ＋32，∵|AM |＝|QN |，∴3－t ＋32＝p －t 2，∴p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .(理)(2010·泰安质检)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 解法1：过A 、B 作准线垂线，垂足分别为A 1，B 1，则|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6，∴|CF |＝3，∴p ＝12|CF |＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .解法2：由抛物线定义，|BF |等于B 到准线的距离，由|BC |＝2|BF |得∠BCB 1＝30°，又|AF |＝3，从而A ⎝⎛⎭⎫p 2＋32，332在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.点评：还可以由|BC |＝2|BF |得出∠BCB 1＝30°，从而求得A 点的横坐标为|OF |＋12|AF |＝p2＋32或3－p 2，∴p 2＋32＝3－p 2，∴p ＝32. 13．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．[答案] 3＋2 2[解析] 分别由A 和B 向准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，则由条件知， ⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＋|BB 1|＝|AB |，|AA 1|－|BB 1|＝22|AB |，解得⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＝2＋24|AB ||BB 1|＝2－24|AB |，∴|AA 1||BB 1|＝3＋22，即|F A ||FB |＝3＋2 2. 14．(文)若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.(理)(2010·衡水市模考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.[答案] 8[解析] 过A 、B 、P 作准线的垂线AA 1、BB 1与PP 1，垂足A 1、B 1、P 1，则|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝2|PP 1|＝2[1－(－3)]＝8.三、解答题15．(文)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， ∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＝4y得：x 2－4kx －4k ＝0，由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0. 又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.(理)在△ABC 中，CA →⊥CB →，OA →＝(0，－2)，点M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋CD →)，点C在x 轴上移动．(1)求B 点的轨迹E 的方程；(2)过点F ⎝⎛⎭⎫0，－14的直线l 交轨迹E 于H 、E 两点，(H 在F 、G 之间)，若FH →＝12HG →，求直线l 的方程．[解析] (1)设B (x ，y )，C (x 0,0)，M (0，y 0)，x 0≠0， ∵CA →⊥CB →，∴∠ACB ＝π2，∴2x 0·y 0－x 0＝－1，于是x 02＝2y 0① M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋AC →)，所以M 是BC 的中点，可得 ⎩⎨⎧x 0＋x 2＝0y ＋02＝y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ②y 0＝y2③ 把②③代入①，得y ＝x 2(x ≠0)，所以，点B 的轨迹E 的方程为y ＝x 2(x ≠0)． (2)点F ⎝⎛⎭⎫0，－14，设满足条件的直线l 方程为： y ＝kx －14，H (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －14y ＝x 2消去y 得，x 2－kx ＋14＝0.Δ＝k 2－1>0⇒k 2>1，∵FH →＝12HG →，即⎝⎛⎭⎫x 1，y 1＋14＝12(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴x 1＝12x 2－12x 1⇒3x 1＝x 2.∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝14，∴k ＝±233，故满足条件的直线有两条，方程为：8x ＋43y ＋3＝0和8x －43y －3＝0. 16．(文)已知P (x ，y )为平面上的动点且x ≥0，若P 到y 轴的距离比到点(1,0)的距离小1.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点M (m,0)的直线交曲线C 于A 、B 两点，问是否存在这样的实数m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[解析] (1)由题意得：(x －1)2＋y 2－x ＝1，化简得：y 2＝4x (x ≥0)． ∴点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)．(2)设直线AB 为y ＝k (x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )y 2＝4x ，得ky 2－4y －4km ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝－4m .∴x 1·x 2＝m 2，∵以线段AB 为直径的圆恒过原点， ∴OA ⊥OB ，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.即m 2－4m ＝0⇒m ＝0或4.当k 不存在时，m ＝0或4. ∴存在m ＝0或4，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[点评] (1)点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，即点P 到定点F (1,0)的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．∴P 点轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，∴p ＝2，∴方程为y 2＝4x .(理)已知抛物线y 2＝4x ，过点(0，－2)的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)若OA →·OB →＝4，求直线AB 的方程．(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点(n,0)，求n 的取值范围．[解析] (1)设直线AB 的方程为y ＝kx －2 (k ≠0)，代入y 2＝4x 中得，k 2x 2－(4k ＋4)x ＋4＝0①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ＋4k 2，x 1x 2＝4k 2.y 1y 2＝(kx 1－2)·(kx 2－2)＝k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝－8k.∵OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝4k 2－8k ＝4，∴k 2＋2k －1＝0，解得k ＝－1±2.又由方程①的判别式Δ＝(4k ＋4)2－16k 2＝32k ＋16>0得k >－12，∴k ＝－1＋2，∴直线AB 的方程为(2－1)x －y －2＝0.(2)设线段AB 的中点的坐标为(x 0，y 0)，则由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝2k ＋2k 2，y 0＝kx 0－2＝2k，∴线段AB 的垂直平分线的方程是 y －2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k ＋2k 2. 令y ＝0，得n ＝2＋2k ＋2k 2＝2k 2＋2k ＋2＝2⎝⎛⎭⎫1k ＋122＋32.又由k >－12且k ≠0得1k <－2，或1k>0，∴n >2⎝⎛⎭⎫0＋122＋32＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)． 17．(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设F A →·FB →＝89，求△BDK 的内切圆M 的方程．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0) (1)将x ＝my －1(m ≠0)代入y 2＝4x 并整理得 y 2－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4① 直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)即y －y 2＝4y 2－y 1⎝⎛⎭⎫x －y 224 令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，所以点F (1,0)在直线BD 上．(2)由(1)知，x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2， x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1因为F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2，故8－4m 2＝89，解得m ＝±43，直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0. 从而y 2－y 1＝±(4m )2－4×4＝±437，故4y 2－y 1＝±37因而直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0,3x －7y －3＝0.。

高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.7抛物线习题理

则 λ 的值为( )
3
3
A.4
B.2
C. 3
D．3
解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，则 x1＋2＝6，解得 x1＝4，y1＝±4 2，点 A(4,4 2)，则直线 AB 的方程为 y＝2 2(x－2)，令 x＝－2，得 C(－2，－8 2)，联立方程组yy2＝＝28x2，x－2，解得 B(1，－2 2)，所以|BF|＝1＋2＝3，|BC2018·北京东城区期末)已知抛物线 C1：y＝21px2(p>0) 的焦点与双曲线 C2：x32－y2＝1 的右焦点的连线交 C1 于第一
象限的点 M，若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p＝( )
3 A. 16
3 B. 8
23 C. 3
43 D. 3
解析由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为 0，p2，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为 y＝－p4(x－2)．设 M(x0，y0)，则有 y′＝1px0＝ 33⇒x0 ＝ 33p.因为 y0＝21px20，所以 y0＝p6.又 M 点在直线 y＝－p4(x－ 2)上，即有p6＝－p4 33p－2⇒p＝4 3 3，故选 D.
3．(2018·广东广州模拟)如果 P1，P2，…，Pn 是抛物线 C：y2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为 x1，x2，…，xn，F 是抛物线 C 的焦点，若 x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F| ＋…＋|PnF|＝( )
A．n＋10 B．n＋20 C．2n＋10 D．2n＋20
8．(2018·河北邯郸调研) 已知 M(x0，y0)是曲线 C：x22－ y＝0 上的一点，F 是曲线 C 的焦点，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，若M→F·M→N＜0，则 x0 的取值范围是( )

高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书第8章第7节抛物线 Word版含解析

第七节抛物线[考纲传真] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合的思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )[答案](1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.1716 B.1516C.78 D.0B[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－1 16，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516.]3．抛物线y＝14x2的准线方程是()A．y＝－1 B.y＝－2 C．x＝－1 D.x＝－2A[∵y＝14x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]4．(2017·西安质检)若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝__________.22[抛物线的准线方程为x＝－p2，p>0，双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，所以－p2＝－2，p＝2 2.]5．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．9[设点M的横坐标为x0，则点M到准线x＝－1的距离为x0＋1，由抛物线的定义知x0＋1＝10，∴x0＝9，∴点M到y轴的距离为9.]A(x0，y0)是C上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1 B.2 C ．4D.8(2)(2017·广东汕头调研)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( )A ．3 B.4 C ．5D.2＋1(1)A (2)A [(1)由y 2＝x ，知2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线l 的方程为x ＝－14.设点A (x 0，y 0)到准线l 的距离为d ，则由抛物线的定义可知d ＝|AF |. 从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1.(2)由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1,0)，又N (1,0)，所以N 与F 重合．过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则|PQ |＋|PN |的最小值等于|MH |－1＝3.][规律方法] 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出．[变式训练1] (2017·郑州调研)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4 FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3D.2C [∵FP →＝4 FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4， ∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3.根据抛物线定义可知|QF |＝|QQ ′|＝3.]程是( )【导学号：01772323】A ．x 2＝112yB.x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD.x 2＝12y 或x 2＝－36y(2)(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2 B.4 C ．6D.8(1)D (2)B [(1)将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，∴a ＝112. 当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，∴a ＝－136.∴抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y .(2)设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2， ∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.][规律方法] 1.求抛物线的标准方程的方法：(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．[变式训练2] (1)(2017·河南中原名校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为 ( )A ．y 2＝6x B.y 2＝8x C ．y 2＝16xD.y 2＝15x2(2)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．(1)B (2)x ＝－2 [(1)设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p . 又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由椭圆x 29＋y 25＝1，知a ＝3，b ＝5，所以c 2＝a 2－b 2＝4，所以c ＝2. 因此椭圆的右焦点为(2,0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.依题意，得p2＝2，于是抛物线的准线x ＝－2.]☞角度(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． [解](1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，2分故直线ON 的方程为y ＝p t x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0,解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.5分 (2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t ).8分代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点.12分[规律方法] 1.(1)本题求解的关键是求出点N ，H 的坐标．(2)第(2)问将直线MH 的方程与抛物线C 的方程联立，根据方程组的解的个数进行判断．2．(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．☞角度2 与抛物线弦长或中点有关的问题(2017·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.【导学号：01772324】(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1的垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．[解](1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，2分 ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .5分(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .6分由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.8分由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0).10分故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2| ＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.12分[规律方法] 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等方法．3．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．[思想与方法]1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．2．抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化思想在解题中有着重要作用．3．抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ＝x 1＋x 2＋p . [易错与防范]1．认真区分四种形式的标准方程．(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p>0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．2．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．3．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．当直线与抛物线有一个公共点，并不表明直线与抛物线相切．。

高三数学(理)一轮复习讲解与练习8.7抛物线(含答案解析)

第七节抛物线[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．[探究] 1.当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的直线．2．抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，结果如何？提示：由抛物线定义得|MF|＝x0＋p2；若抛物线方程为x2＝2py(y>0)，则|MF|＝y＋p2.2．抛物线的标准方程和几何性质[自测·牛刀小试]1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析：选C 由抛物线准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2＝8x .2．已知d 为抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点到准线的距离，则pd 等于( ) A.12p 2 B ．p 2 C.12D.14解析：选D 抛物线方程可化为x 2＝12p y ，所以d ＝14p ，则pd ＝14.3．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 24＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________．解析：由c 2＝9－4＝5得F (－5，0)，则抛物线方程为y 2＝－45x . 答案：y 2＝－45x4．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中心，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.解析：设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2py 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 1＝2，∴p ＝2. 答案：25．若抛物线x 2＝ay 过点A ⎝⎛⎭⎫1，14，则点A 到此抛物线的焦点的距离为________．解析：由题意可知，点A 在抛物线x 2＝ay 上，所以1＝14a ，解得a ＝4，得x 2＝4y .由抛物线的定义可知点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点A 到抛物线的焦点的距离为y A ＋a 4＝14＋1＝54.答案：54[例1] 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．[自主解答] (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1.由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连接AF 交曲线于P 点，则所求的最小值为|AF |，即为 5.(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，求|PB|＋|PF|的最小值．解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离．∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝16＋4＝2 5.———————————————————抛物线定义中的“转化”法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．1．(1)若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．(2)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于________．解析：(1)由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.(2)抛物线的准线方程为x＝－1，则AB中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.答案：(1)x2＝12y(2)8[例2] (1)抛物线y 2＝24ax (a >0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝20x(2)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．[自主解答] (1)由题意知，3＋6a ＝5，a ＝13，则抛物线方程为y 2＝8x .(2)抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，线段F A 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. [答案] (1)A (2)324——————————————————— 求抛物线的标准方程的方法及注意事项(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以，只需一个条件确定p 值即可；(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：选C 设抛物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，得p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△P AB 的面积为12×6×12＝36.[例3] 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 1)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ＝OA ＋λOB ，求λ的值． [自主解答] (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.——————————————————— 求解直线与抛物线位置关系问题的方法在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解．3．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，求k 的值．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1＋x 2＝8k 2－4，x 1x 2＝4.又由抛物线的定义可知|F A |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2，所以x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2(x 2＋1)，代入x 1x 2＝4得2(x2＋1)x2＝4，解得x2＝1(x2＝－2舍去)，将x2＝1，x1＝4代入x1＋x1＝8k2－4得k2＝89，由已知k>0，所以k＝223.4个结论——直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：(1)|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α(α为AB所在直线的倾斜角)；(2)x1x2＝p2 4；(3)y1y2＝－p2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.3个注意点——抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．(3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.创新交汇——圆锥曲线中的实际应用题1．随着新课程改革的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产中实际应用为背景的应用问题已经进入教材，并且越来越受重视，在一些考试中越来越多的体现．2．解决此类问题，要把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，抓住问题实质，利用数形结合，根据这些圆锥曲线的几何性质解决问题．[典例](2012·陕西高考)下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽____________米．[解析]以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p＝1，则抛物线的方程为x2＝－2y，当水面下降1米时，为y ＝－3，代入抛物线方程得x ＝±6，所以此时水面宽为26米．[答案] 2 6 [名师点评]1．本题有以下创新点(1)命题形式的创新：以实际应用题的形式考查圆锥曲线的性质．(2)命题内容的创新：本题不是直接考查抛物线的性质，而是巧设背景，以实际应用问题为载体来考查抛物线．考查学生的应用意识．2．解决本题的关键点解题的关键是建立坐标系求出抛物线的方程．3．在解决以圆锥曲线为背景的创新交汇问题时，应注意以下两点(1)注意解实际应用问题的四个解题步骤，同时对有关圆锥曲线的基本知识必须要熟练掌握，以便能及时提取运用．(2)注意观察实际生活中一些形状与圆锥曲线的形状接近的事物，如截面为抛物线形的拱桥、探照灯，截面为双曲线形的烟筒，斜截圆柱得椭圆形状的截面等．[变式训练]海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图所示．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y ＝1249x 2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？解：(1)t ＝0.5时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72，代入抛物线方程y ＝1249x 2，得P的纵坐标y P ＝3.由|AP |＝9492，得救援船速度的大小为949海里/时． (2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t,12t 2)．由v t ＝(7t )2＋(12t 2＋12)2，整理得v 2＝144⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2＋337. 因为t 2＋1t2≥2，当且仅当t ＝1时等号成立．所以v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( ) A.52 B.32 C ．－12D ．－32解析：选D 把抛物线方程化为x 2＝－2⎝⎛⎭⎫12－a y ，则p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，则12－a2＝1，解得a ＝－32. 2．已知抛物线y 2＝4x ，若过焦点F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则△OAB 的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选B 焦点坐标是(1,0)，A (1,2)，B (1，－2)，|AB |＝4，故△OAB 的面积S ＝12|AB ||OF |＝12×4×1＝2. 3．直线y ＝x ＋1截抛物线y 2＝2px 所得弦长为26，此抛物线方程为( ) A ．y 2＝2xB ．y 2＝6xC ．y 2＝－2x 或y 2＝6xD ．以上都不对解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝2px ，得x 2＋(2－2p )x ＋1＝0.x 1＋x 2＝2p －2，x 1x 2＝1. 则26＝1＋12·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 2·(2p －2)2－4.解得p ＝－1或p ＝3，故抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝6x .4．已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线解析：选A 由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于点P 到点M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．5．(2013·湛江模拟)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x解析：选D 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1，故圆心坐标为(1，－3)，设抛物线方程为y 2＝2p 1x 或x 2＝－2p 2y ，则(－3)2＝2p 1或1＝6p 2，得2p 1＝9或2p 2＝13，故抛物线方程为y 2＝9x 或x 2＝－13y ，则y 2＝9x 或y ＝－3x 2.6．(2013·衡水模拟)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4. 得a ＝±8故抛物线方程为y ＝±8x .二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．以抛物线x 2＝－4y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______________．解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝4. 答案：x 2＋y 2＝48．(2013·厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点________．解析：因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．答案：(1,0)9．(2012·安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：如图，设A (x0，y 0)(y 0<0)，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1，故由抛物线的定义得|AF |＝x 0－(－1)＝3，解得x 0＝2，所以y 0＝－2 2.故点A (2，－22)．则直线AB 的斜率为k ＝－22－02－1＝－2 2，直线AB 的方程为y ＝－22x ＋22，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－22x ＋22，y 2＝4x ，消去y 得2x 2－5x ＋2＝0，由x 1x 2＝1，得A ，B 两点横坐标之积为1，所以点B 的横坐标为12.再由抛物线的定义得|BF |＝12－(－1)＝32. 答案：32三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知圆C 过定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)由题意，点C 到定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等，故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1. 设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1,0)．∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|，＝12|ON ||y 1－y 2|＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝12 ⎝⎛⎭⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，所以12 ⎝⎛⎭⎫1k 2＋4＝10，解得k ＝±16. 11．若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的上顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1. 则椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，所以p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x . ∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4k ＝0，则Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12．(2013·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝⎛⎭⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离．点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20，则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．1．抛物线y ＝x 2上一点到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，14B ．(1,1) C.⎝⎛⎭⎫32，94 D ．(2,4)解析：选B 法一：设抛物线上任一点为(x ，y )，则由点到直线的距离得d ＝|2x －y －4|5＝|2x －x 2－4|5＝|(x －1)2＋3|5＝(x －1)2＋35≥35. 当x ＝1时，取得最小值，此时点的坐标为(1,1)．法二：设2x －y ＋m ＝0与y ＝x 2相切，则x 2－2x －m ＝0.Δ＝4＋4m ＝0，得m ＝－1，此时x ＝1，故点的坐标为(1,1)．法三：(导数法)y ＝x 2的导数为y ′＝2x ，设所求点为P (x 0，y 0)，则2x 0＝2，得x 0＝1，故P (1,1)．2．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F (1,0)，|AF |＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，此时弦AB 为抛物线的通径，故|BF |＝|AF |＝2.答案：23．如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点为A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0.(*) ∵直线l 与抛物线相切，∴Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0.∴b ＝－1.(2)由(1)知b ＝－1，方程(*)为x 2－4x ＋4＝0.解得x ＝2，代入x 2＝4y 中得，y ＝1，∴A (2,1)．∵圆A 与抛物线准线y ＝－1相切，∴r ＝|1－(－1)|＝2.∴圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.。

2020高考数学理科大一轮复习导学案：第八章平面解析几何8.7 Word版含答案

姓名，年级：时间：错误!错误!知识点一抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．1．判断正误（1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ×)(2）抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4。

（×）(3)若一抛物线过点P（－2，3），其标准方程可写为y2＝2px （p>0)．( ×)2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于（ B )A．9 B．8C．7 D．6解析：抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF｜＋｜QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8。

知识点二抛物线的标准方程与几何性质3．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为（ D ）A．y2＝2x B．y2＝－2xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析：由准线x＝1知，抛物线方程为：y2＝－2px（p>0)且错误!＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x.4．(选修2－1P72练习第1（1)题改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴，并且经过点P（－2,－4)，则该抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.解析：很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x 轴负半轴上或y轴负半轴上．当焦点在x轴负半轴上时,设方程为y2＝－2px(p>0),把点P(－2,－4)的坐标代入得（－4)2＝－2p×（－2)，解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x;当焦点在y轴负半轴上时,设方程为x2＝－2py(p〉0），把点P （－2，－4）的坐标代入得（－2）2＝－2p×（－4),解得p＝错误!，此时抛物线的标准方程为x2＝－y。

综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.5．（2018·北京卷)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴．若l 被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为(1,0）．解析：由题意知，a〉0，对于y2＝4ax,当x＝1时，y＝±2错误!，由于l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，所以4错误!＝4，所以a＝1，所以抛物线的焦点坐标为（1，0)．1．抛物线定义的两点理解（1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时,轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点（1）方程y＝ax2（a≠0）可化为x2＝错误!y，是焦点在y轴上的抛物线．（2）y2＝2px（p>0)：①p表示焦点到准线的距离;②2p为通径长．3．抛物线的图形特点抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形，不是中心对称图形．考向一抛物线的定义及标准方程【例1】(1）(2019·河南豫南九校联考）若抛物线y2＝4x 的准线为l，P是抛物线上任意一点,则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( ）A．2 B.错误!C.错误!D．3(2)（2019·湖北四地七校联考)已知抛物线y2＝2px（p〉0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线方程是( )A．y2＝4x B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝－8x【解析】（1)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离,由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P到准线l的距离与点P到直线3x ＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F（1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即错误!＝2.故选A.（2）因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦,且｜AB｜＝2p,所以S△CAB＝错误!×2p×错误!＝24,解得p＝4或－12（舍)，所以抛物线方程为y2＝8x,所以直线AB的方程为x＝2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x，故选D.【答案】(1)A （2）D1.应用抛物线定义的两个关键点,1由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：8.8 曲线与方程 Word版含答案

第八节曲线与方程轨迹与轨迹方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．知识点曲线与方程 1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标． (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}． (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0. (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1(x ，y )＝0，F 2(x ，y )＝0的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．易误提醒 (1)曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．[自测练习]1．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线解析：把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A.答案：A2．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为____________．解析：AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0，即2x ＋⎝⎛⎭⎫－y 2·y 2＝0，∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，∴|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)考点一直接法求轨迹方程|1．(2016·津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.答案：A2．(2016·南昌模拟)方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( )A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一个圆D ．一条直线解析：本题考查曲线与方程、数形结合思想．依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0.注意到圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0，故选D.答案：D3．在直角坐标平面xOy 中，过定点(0,1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点．若动点P (x ，y )满足OP →＝OA →＋OB →，则点P 的轨迹方程为________．解析：设AB 的中点为M ，则OM →＝12OP →，M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.又因为OM ⊥AB ，AB →的方向向量为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－1，OM →＝⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，所以⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－1·⎝⎛⎭⎫x 2，y 2＝0，x 2＋y (y －2)＝0，即x 2＋(y －1)2＝1. 答案：x 2＋(y －1)2＝1直接法求轨迹方程的常见类型(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．考点二定义法求轨迹方程|已知点F (1,0)，圆E ：(x ＋1)2＋y 2＝8，点P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)若直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A ，B ，当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求△AOB 面积S 的取值范围．[解] (1)连接QF (图略)．∵|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝22(22>|EF |＝2)，∴点Q 的轨迹是以E (－1,0)，F (1,0)为焦点，长轴长2a ＝22的椭圆，即动点Q 的轨迹Γ的方程为x 22＋y 2＝1. (2)依题结合图形(图略)知直线l 的斜率不可能为零，所以设直线l 的方程为x ＝my ＋n (m ∈R )．∵直线l 即x －my －n ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，∴|n |m 2＋1＝1，得n 2＝m 2＋1. 又∵点A ，B 的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 2＋2y 2－2＝0，消去x 并整理，得(m 2＋2)y 2＋2mny ＋n 2－2＝0.由一元二次方程根与系数的关系，得y 1＋y 2＝－2mnm 2＋2，y 1y 2＝n 2－2m 2＋2.其判别式Δ＝4m 2n 2－4(m 2＋2)(n 2－2)＝8(m 2－n 2＋2)＝8，又由求根公式得y 1,2＝－2mn ±Δ2(m 2＋2).∵λ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋n )(my 2＋n )＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋mn (y 1＋y 2)＋n 2＝3n 2－2m 2－2m 2＋2＝m 2＋1m 2＋2.S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12OA →2·OB →2－(OA →·OB →)2＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝12|(my 1＋n )y 2－(my 2＋n )y 1|＝12|n (y 2－y 1)|＝12|n |·Δm 2＋2＝2·m 2＋1(m 2＋2)2＝2·m 2＋1m 2＋2·1m 2＋2∵m 2＋1m 2＋2＋1m 2＋2＝1，且λ＝m 2＋1m 2＋2∈⎣⎡⎦⎤23，34， ∴S △AOB ＝2·λ·(1－λ)∈⎣⎡⎦⎤64，23.定义法求轨迹方程的思路(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．(2)定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．1．已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线l ：y ＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过点F (0,2)，分别以A ，B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，求证：AQ ⊥BQ .解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，l ：y ＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线的距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，得x 2－8kx －16＝0. 所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .所以过抛物线上A ，B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1·k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .考点三代入法求轨迹方程|在圆O ：x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．设M 为线段PD 的中点．(1)当点P 在圆O 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)若圆O 在点P 处的切线与x 轴交于点N ，试判断直线MN 与轨迹E 的位置关系． [解] (1)设M (x ，y )，则P (x,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋(2y )2＝4，即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线PN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为x ＝2或x ＝－2.显然与轨迹E 相切．当直线PN 的斜率存在时，设PN 的方程为y ＝kx ＋t (k ≠0)． ∵直线PN 与圆O 相切，∴|t |k 2＋1＝2，即t 2－4k 2－4＝0. 又∵直线MN 的斜率为k 2，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫－t k ，0，∴直线MN 的方程为y ＝k2⎝⎛⎭⎫x ＋t k ，即y ＝12(kx ＋t )．由⎩⎨⎧y ＝12(kx ＋t )，x24＋y 2＝1，得(1＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.∵Δ＝(2kt )2－4(1＋k 2)(t 2－4)＝－4(t 2－4k 2－4)＝0，∴直线MN 与轨迹E 相切．综上可知，直线MN 与轨迹E 相切．代入法求轨迹方程的四个步骤(1)设出所求动点坐标P (x ，y )．(2)寻求与所求动点P (x ，y )与已知动点Q (x ′，y ′)的关系． (3)建立P ，Q 两坐标的关系表示出x ′，y ′. (4)将x ′，y ′代入已知曲线方程中化简求解．2．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0) C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0)解析：依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可得⎩⎨⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y 03.即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .代入x 204＋y 203＝1得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．答案：C27.分类讨论思想在由方程讨论曲线类型中的应用【典例】已知两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，动点M 满足直线MA 1与MA 2的斜率之积是定值m4(m ≠0)．求动点M 的轨迹方程，并指出随m 变化时方程所表示的曲线C 的形状．[思路点拨] 依题直接写出方程后，结合方程结构特征分类判断曲线类型，注意分类标准的确定．[解] 设动点M (x ，y )，依题意有y x －2·y x ＋2＝m4(m ≠0)，整理得x 24－y 2m＝1(x ≠±2)，即为动点M 的轨迹方程．当m >0时，轨迹是焦点在x 轴上的双曲线；当m ∈(－4,0)时，轨迹是焦点在x 轴上的椭圆；当m ＝－4时，轨迹是圆；当m ∈(－∞，－4)时，轨迹是焦点在y 轴上的椭圆．且点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在曲线上．[方法点评] 由曲线方程讨论曲线类型时，常用到分类讨论思想，其分类的标准有两类： (1)二次项系数为0的值． (2)二次项系数相等的值．[跟踪练习] 在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )解析：a >b >0得1b 2>1a 2>0，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1，即x 21a 2＋y 21b 2＝1表示的是焦点在y 轴上的椭圆；方程ax ＋by 2＝0，即y 2＝－ab x 表示的是焦点在x 轴的负半轴上的抛物线上，结合各选项知，选D.答案：DA 组考点能力演练1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0，则点M 在曲线y 2＝4x 上，是必要条件；但当y >0时，点M 在曲线y 2＝4x 上，点M 的坐标不满足方程2x ＋y ＝0，不是充分条件．2．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN . ∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆．答案：A3．(2016·梅州质检)动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F (－2,0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .答案：B4．(2016·沈阳质检)已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|P A |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：设P 点的坐标为(x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋2)2＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0，故选A.答案：A5．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y解析：M 点的轨迹是双曲线x 216－y 29＝1，依题意，是“好曲线”的曲线与M 点的轨迹必有公共点．四个选项中，只有圆x 2＋y 2＝9与M 点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M 点的轨迹都有公共点，所以圆x 2＋y 2＝9不是“好曲线”．6．(2016·聊城一模)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是_____________________________．解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －27．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________．解析：本题考查曲线的方程．因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.答案：x 2＝2y －18．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P 的轨迹C 的方程为________．解析：由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ，整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．答案：x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)9．在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点F (1,0)的距离和它到定直线x ＝2的距离之比是22. (1)求动点P 的轨迹Γ的方程； (2)设曲线Γ上的三点A (x 1，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫1，22，C (x 2，y 2)与点F 的距离成等差数列，线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k .解：(1)设P (x ，y )．由已知，得(x －1)2＋y 2|x －2|＝22，两边同时平方，化简得x 22＋y 2＝1，故动点P 的轨迹Γ的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由已知得|AF |＝22(2－x 1)，|BF |＝22×(2－1)， |CF |＝22(2－x 2)，因为2|BF |＝|AF |＋|CF |，所以22(2－x 1)＋22(2－x 2)＝2×22×(2－1)，所以x 1＋x 2＝2.①故线段AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，y 1＋y 22，其垂直平分线的方程为y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －1)．②因为A ，C 在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减，把①代入化简，得－x 1－x 2y 1－y 2＝y 1＋y 2.③把③代入②，令y ＝0，得x ＝12，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.所以直线BT 的斜率k ＝22－01－12＝ 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，动点P (x ，y )到F (0,1)的距离比到直线y ＝－2的距离小1.(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)过点E (0，－4)的直线与轨迹W 交于两点A ，B ，点D 是点E 关于x 轴的对称点，点A 关于y 轴的对称点为A 1，证明：A 1，D ，B 三点共线．解：(1)由题意可得动点P (x ，y )到定点F (0,1)的距离和到定直线y ＝－1的距离相等，所以动点P 的轨迹是以F (0,1)为焦点，以y ＝－1为准线的抛物线．所以动点P 的轨迹W 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx －4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 1(－x 1，y 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx ＋16＝0. 则Δ＝16k 2－64>0，即|k |>2. x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝16.直线A 1B ：y －y 2＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)，所以y ＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋y 2，即y ＝x 22－x 214(x 1＋x 2)(x －x 2)＋14x 22，整理得y ＝x 2－x 14x －x 22－x 1x 24＋14x 22，即y ＝x 2－x 14x ＋x 1x 24.直线A 1B 的方程为y ＝x 2－x 14x ＋4，显然直线A 1B 过点D (0,4)．所以A 1，D ，B 三点共线． B 组高考题型专练1．(2014·高考广东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：(1)依题意知c ＝5，c a ＝53，∴a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4，∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1. (2)若过点P (x 0，y 0)的切线的斜率不存在或者斜率为零，则易知点P 的坐标为(3,2)或(3，－2)或(－3，2)或(－3，－2)．若过点P (x 0，y 0)的切线的斜率存在且不为0，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，切线P A 的斜率为k ，∵P A ⊥PB ，则切线PB 的斜率为－1k. 切线P A 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －x 0)x 29＋y 24＝1得4x 2＋9[k (x －x 0)＋y 0]2＝36，即(4＋9k 2)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0，∵切线P A 与椭圆相切， ∴Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－4(4＋9k 2)[9(y 0－kx 0)2－36]＝0，化简得4＋9k 2－k 2x 20＋2kx 0y 0－y 20＝0.①同理，切线PB 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)，与椭圆方程x 29＋y 24＝1联立可得，4＋9k 2－x 20k 2－2x 0y 0k－y 20＝0，即4k 2＋9－x 20－2kx 0y 0－k 2y 20＝0.② 由①＋②得13(1＋k 2)－(1＋k 2)(x 20＋y 20)＝0，即(1＋k 2)(x 20＋y 20－13)＝0，∵1＋k 2≠0，∴x 20＋y 20－13＝0，即x 20＋y 20＝13.经检验可知点(3,2)，(3，－2)，(－3,2)，(－3，－2)均满足x 20＋y 20＝13，故点P (x 0，y 0)的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.2．(2015·高考广东卷)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)C 1：(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94. 故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3. (3)联立⎩⎨⎧x ＝53，⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎨⎧ x ＝53，y ＝±253. 不妨设其交点为P 1⎝⎛⎭⎫53，253，P 2⎝⎛⎭⎫53，－253，设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)，则kPP 1＝－257，kPP 2＝257. 当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪32－k －4k ||k 2＋1＝32，解得k ＝±34. 故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34∪⎝⎛⎭⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。

三维设计高考数学人教版理科大一轮复习配套练习8.7抛物线(含答案详析)

[课堂练通考点]1．已知m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则抛物线mx 2＝ny 的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，14 D.⎝⎛⎭⎫14，0解析：选A 由题意知，2n ＝m ＋m ＋n 且n 2＝m ·mn ，解得m ＝2，n ＝4，故抛物线为x 2＝2y ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12. 2．(2013·福建模拟)设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．6 3C ．6D ．12解析：选C 设点P 的坐标为(x p ，y p )，则|PF |＝x p ＋32.过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点M ，则∠PFM ＝∠APF ＝60°，所以|PF |＝2|MF |，即x p ＋32＝2⎝⎛⎭⎫x p －32，解得x p ＝92，所以|PF |＝6.3．(2013·郑州质检)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：选D 抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.4．(2014·辽宁五校联考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.解析：分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|PQ |＝8.答案：85．(2014·厦门模拟)如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则 k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB.由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·沈阳模拟) 抛物线x 2＝12y 的焦点F 到其准线l 的距离是( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：选D 因为2p ＝12，p ＝14，所以由抛物线的定义可知所求的距离为14.2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：选A 注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有⎪⎪⎪⎪p 2＋3＝4.又p ＞0，因此有p 2＋3＝4，解得p ＝2，故选A.3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题知抛物线的焦点坐标为F (p2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入抛物线方程得y 2＝2px ＝2p (y ＋p2)＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，故选B.4．(2014·北京东城区期末)已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选D 由题可知抛物线焦点坐标为F (4,0)．过点A 作直线AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知，|AA ′|＝|AF |，在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，所以直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y 2＝16x 得y 2＝16(y －4)，即y 2－16y ＋64＝0，解得y ＝8.所以△AFK 为直角三角形，故△AFK 的面积为12×8×8＝32.5．(2014·武汉调研)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点的坐标为(2,2)，则直线l 的方程为________．解析：由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以抛物线的方程为y 2＝4x .显然当直线的斜率不存在或为零时不满足题意，故设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，其中k ≠0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋(2－2k )，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋[4k (1－k )－4]x ＋4(1－k )2＝0，显然4k 2－4k ＋42k 2＝2，解得k ＝1.故直线l 的方程为y ＝x .答案：y ＝x6．(2013·江西高考) 抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：由x 2＝2py (p >0)得焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线l 为y ＝－p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A ⎝⎛⎭⎪⎫－12＋p 22，－p 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫12＋p 22，－p 2，所以|AB |＝ 12＋p 2，则|AF |＝|AB |＝12＋p 2，所以p |AF |＝sin π3，即p12＋p 2＝32，解得p ＝6. 答案：67．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，过点K (0，－1)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为D.(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设FA ·FB ＝89，求∠DBK 的平分线与y 轴的交点坐标．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (－x 1，y 1)，l 的方程为y ＝kx －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋4＝0，从而x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝4.直线BD 的方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2＋x 1(x ＋x 1)，即y －x 214＝x 2－x 14(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝x 1x 24＝1，所以点F 在直线BD 上．(2)因为FA ·FB ＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)·(y 2－1)＝8－4k 2，故8－4k 2＝89，解得k ＝±43，所以l 的方程为4x －3y －3＝0,4x ＋3y ＋3＝0. 又由(1)得x 2－x 1＝±16k 2－16＝±473，故直线BD 的斜率为x 2－x 14＝±73，因而直线BD 的方程为7x －3y ＋3＝0，7x ＋3y －3＝0. 设∠DBK 的平分线与y 轴的交点为M (0，t )，则M (0，t )到l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4，得t ＝19或t ＝9(舍去)，所以∠DBK 的平分线与y 轴的交点为M ⎝⎛⎭⎫0，19. 8．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC ＝4AB .(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率为12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎨⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p2， ②又∵AC ＝4AB ，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)，得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为： b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．故b 的取值范围为(2，＋∞)．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ·OB 的值；(2)如果OA ·OB ＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， ∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)证明：设l ：x ＝ty ＋b 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得 y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4B.令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2. ∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA ·OB ＝－4，则直线l 必过一定点(2,0)．2．(2014·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝⎛⎭⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离．点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x ＞0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上一点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20，则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．3. (2014·长春三校调研)在直角坐标系xOy 中，点M ⎝⎛⎭⎫2，－12，点F 为抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分．(1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线F A ，FM ，FB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问k 1，k 2，k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．解：(1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，14m ，线段MF 的中点N ⎝⎛⎭⎫1，18m －14在抛物线C 上，∴18m －14＝m,8m 2＋2m －1＝0， ∴m ＝14(m ＝－12舍去)．(2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)．设直线l 的方程为y ＋12＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k (x －2)，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0，Δ＝16k 2－4(8k ＋2)＞0， ∴k ＜2－62或k ＞2＋62.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k ＋2，假设k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2.而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1x 1x 2＝x 2x 214＋x 1x 224－x 2－x 1x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 1x 24－1(x 1＋x 2)x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8k ＋24－1·4k 8k ＋2＝4k 2－k 4k ＋1，k 2＝－12－12－0＝－34，∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－34(不合题意，舍去)．∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.∴k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.。

高考数学大一轮复习第八章解析几何抛物线课时达标理含解析新人教A版

第52讲抛物线课时达标一、选择题1．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12C 解析因为点A 在抛物线的准线上，所以－p2＝－2，所以该抛物线的焦点为F (2,0)，所以k AF ＝3－0－2－2＝－34.故选C.2．拋物线y ＝2ax 2(a ≠0)的焦点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18a D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18a 或⎝⎛⎭⎪⎫0，－18aC 解析抛物线的方程化成标准形式为x 2＝12a y (a ≠0)，其焦点在y 轴上，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18a .故选C. 3．(2019·新乡一中月考)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16，则p ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4B 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可得x 1＋x 2＝6，x 1＋x 2＋p ＝8，所以p ＝2. 4．(2019·曲阜一中月考)已知F 是抛物线x 2＝8y 的焦点，若抛物线上的点A 到x 轴的距离为5，则|AF |＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7D 解析因为F 是抛物线x 2＝8y 的焦点，所以F (0,2)，因为抛物线上的点A 到x 轴的距离为5，所以|AF |＝5＋p2＝7.5．(2019·河北师大附中月考)已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则|AB |的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4D 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3.由抛物线的定义可知|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝4.由图可知|AF |＋|BF |≥|AB |，所以|AB |≤4，当且仅当直线AB 过焦点F 时，|AB |取得最大值4.6．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3C 解析依题意得F (1,0)，则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝3x －，y 2＝4x得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方得M (3，23)，由MN ⊥l 得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4，又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3.故选C. 二、填空题7．若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则点M 到该抛物线焦点的距离为________．解析设点 M (x M ，y M )，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2M ＝2x M ，x 2M ＋y 2M ＝3，即x 2M ＋2x M －3＝0，解得x M ＝1或x M ＝－3(舍去)．故点M 到该抛物线焦点的距离为x M ＋12＝1＋12＝32.答案 328．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．解析如图所示，线段OA 所在的直线方程为y ＝12x ，其中垂线方程为2x ＋y －52＝0，令y ＝0，得x ＝54，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，所以准线方程为x ＝－54.答案 x ＝－549．已知点Q (－22，0)及抛物线x 2＝－4y 上一动点P (x ，y )，则|y |＋|PQ |的最小值为________．解析如图，抛物线焦点F (0，－1)，抛物线的准线方程为y ＝1，设点P 到准线距离为d ，则|y |＋|PQ |＝d －1＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |－1≥|QF |－1＝8＋1－1＝2，所以|y |＋|PQ |的最小值为2.答案 2 三、解答题10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上—点，若OC →＝OA →＋λOB →(λ≠0)，求λ的值．解析 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.因为λ≠0，所以λ＝2.11．双曲线y 2a 2－x 24＝1(a >0)的离心率为5，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点在双曲线的顶点上．(1)求抛物线C 的方程；(2)过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解析 (1)双曲线的离心率e ＝1＋4a2＝5，又a >0，所以a ＝1，双曲线的顶点为(0,1)，所以抛物线的焦点为(0,1)，又p >0，所以p2＝1，所以抛物线方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率必存在．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．因为y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，所以切线l 1，l 2的斜率分别为x 12，x 22，当l 1⊥l 2时，x 12·x 22＝－1，所以x 1x 2＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 2＝4y 得x 2－4kx －4k ＝0，并Δ＝(－4k )2－4(－4k )>0，所以k <－1或k >0.①由根与系数的关系得x 1·x 2＝－4k ＝－4，所以k ＝1，满足①，即直线l 的方程为x －y ＋1＝0.12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，O A →·O B →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．解析 (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由(1)中的(*)化为y 2－4my ＋8＝0得y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为 M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，①又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝＋m2m 2－，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝± 3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.13．[选做题](2019·郴州一中月考)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 解析依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝3.。

2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第八章第五节双曲线 Word版含解析

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级　基础夯实练1．(2018·石家庄模拟)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )A.－＝1 B ．－＝1x 24y 212x 212y 24C.－＝1 D ．－＝1x 210y 26x 26y 210解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c ＝4，a ＝2，b 2＝12，即双曲线方程为－＝1，故选A.x 24y2122．(2018·辽宁抚顺模拟)当双曲线M ：－＝1(－2≤m ＜0)x 2m 2y 22m ＋6的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±x222C ．y ＝±2xD ．y ＝±x12解析：选C.由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为x 2－＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .故选C.y 243．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－＝1的右焦点，Py 23是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )A. B ．1312C. D ．2332解析：选D.解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，y 23因为点A (1，3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝|PF |·|AP |＝×3×1＝.故选D.121232解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，y 23因为点A (1，3)，所以＝(1，0)，＝(0，－3)，所以·＝0，AP → PF → AP → PF →所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝|PF |·|AP |＝×3×1＝.故选D.1212324．(2018·武汉市武昌区调研考试)已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＞|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则＋2e1e 22的最小值为( )A ．6B ．3C.D ．63解析：选A.设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a ′，半焦距为c ，依题意知，2a ＝2a ′＋4c ，所以＋＝{|PF 1|＋|PF 2|＝2a|PF 1|－|PF 2|＝2a ′)2e 1e 22＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝6，当且仅当c ＝2ac c 2a ′2a ′＋4ccc 2a ′2a ′c c 2a ′2a ′时取“＝”，故选A.5．(2018·河南新乡模拟)已知双曲线C ：－＝1(a ＞0，b ＞0)x 2a 2y 2b2的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若＝2，且||＝4，则双曲线C 的方程为( )BA → AF → BF →A.－＝1B ．－＝1x 26y 25x 28y 212C.－＝1 D ．－＝1x 28y 24x 24y 26解析：选D.不妨设B (0，b )，由＝2，F (c ，0)，可得A ，BA → AF →(2c 3，b 3)代入双曲线C 的方程可得×－＝1，即·＝，所以＝，49c 2a 21949a 2＋b 2a 2109b 2a 232①又||＝＝4，c 2＝a 2＋b 2，BF →b 2＋c 2所以a 2＋2b 2＝16，②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，所以双曲线C 的方程为－＝1，故选D.x 24y 266．已知点P ，A ，B 在双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)上，直线ABx 2a 2y 2b2过坐标原点，且直线PA ，PB 的斜率之积为，则双曲线的离心率为13( )A. B ．233153C ．2D ．102解析：选A.根据双曲线的对称性可知点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，P (x ，y )，所以－＝1，－＝1，x a 2y b 2x 2a 2y 2b 2两式相减得＝，即＝，因为直线PA ，PB 的斜率之x －x 2a 2y －y 2b 2y －y 2x －x 2b 2a2积为，所以k PA ·k PB ＝·＝＝＝，所以双曲线13y 1－y x 1－x －y 1－y －x 1－x y －y 2x －x 2b 2a 213的离心率为e ＝＝＝.故选A.1＋b 2a 21＋132337．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆－＝1x 2m y 23m y 2n x 2m的焦距等于4，则n ＝________．解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为－＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3my 2－3mx 2－m－m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为＋x 2＝1，且n ＞0，y 2n椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案：58．(2018·四川绵阳模拟)设F 1，F 2分别为双曲线C ：－＝1(a ＞x 2a 2y 2b 20，b ＞0)的两个焦点，M ，N 是双曲线C 的一条渐近线上的两点，四边形MF 1NF 2为矩形，A 为双曲线的一个顶点，若△AMN 的面积为12c 2，则该双曲线的离心率为________．解析：设M ，根据矩形的性质，(x ，bax )得|MO |＝|OF 1|＝|OF 2|＝c ，即x 2＋＝c 2，(b a x )2则x ＝a ，所以M (a ，b )．因为△AMN 的面积为c 2，12所以2××a ×b ＝c 2，1212所以4a 2(c 2－a 2)＝c 4，所以e 4－4e 2＋4＝0，所以e ＝.2答案：29．设P 为双曲线x 2－＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的左、y 212右焦点，若△PF 1F 2的面积为12，则∠F 1PF 2＝________．解析：由题意可知，F 1(－，0)，F 2(，0)，|F 1F 2|＝2.131313设P (x 0，y 0)，则△PF 1F 2的面积为×2|y 0|＝12.故y ＝，将P12132012213点坐标代入双曲线方程得x ＝，不妨设点P ，则＝202513(51313，121313)PF 1→ (，)，＝，可得·＝0，即－181313－121313PF 2→ (81313，－121313)PF 1→ PF 2→ PF 1⊥PF 2，故∠F 1PF 2＝.π2答案：π210．(2018·河北石家庄质检)已知F 为双曲线－＝1(a ＞0，b ＞x 2a 2y 2b20)的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且·＝0，MF → NF →△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为________．解析：因为·＝0，所以⊥.设双曲线的左焦点为F ′，则MF → NF → MF → NF →由双曲线的对称性知四边形F ′MFN 为矩形，则有|MF |＝|NF ′|，|MN |＝2c .不妨设点N 在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF ′|－|NF |＝2a ，所以|MF |－|NF |＝2a .因为S △MNF ＝|MF |·|NF |＝ab ，所以|MF |·|NF |＝122ab .在Rt △MNF 中，|MF |2＋|NF |2＝|MN |2，即(|MF |－|NF |)2＋2|MF ||NF |＝|MN |2，所以(2a )2＋2·2ab ＝(2c )2，把c 2＝a 2＋b 2代入，并整理，得＝1，所以e ＝＝＝.b a ca1＋(b a )2 2答案：2B 级　能力提升练11．(2018·江西宜春调研)已知双曲线C ：－＝1(a ＞0，b ＞0)x 2a 2y 2b2的焦距为2c ，直线l 过点且与双曲线C 的一条渐近线垂直，(2a3，0)以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆Ω与直线l 交于M ，N 两点，若|MN |＝c ，则双曲线C 的渐近线方程为( )423A ．y ＝±xB ．y ＝±x 23C ．y ＝±2xD ．y ＝±4x解析：选B.由题意得，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，设垂直ba 于直线l 的渐近线方程为y ＝x ，则直线l 的斜率k 1＝－，直线l 的b a ab 方程为y ＝－，整理可得，ax ＋by －a 2＝0，焦点(c ，0)到直a b (x －23a )23线l 的距离d ＝＝，则|MN |＝2＝2|ac －23a2|a 2＋b 2|ac －23a2|cc 2－d 2＝c ，整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0，即e 4－c 2－(ac －23a2)2c24329e 2＋12e －4＝0，即(e －1)(e －2)(e 2＋3e －2)＝0，又双曲线的离心率e ＞1，所以e ＝＝2，所以b ＝a ，故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，c a33故选B.12．(2018·甘肃兰州模拟)已知F 1，F 2为双曲线－＝1(a ＞0，b ＞x 2a 2y 2b20)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且|PQ |＝2|QF 1|，则该双曲线的离心率为( )A. B ．25C.D ．352解析：选A.如图，连接PF 2，QF 2.由|PQ |＝2|QF 1|，可设|QF 1|＝m ，则|PQ |＝2m ，|PF 1|＝3m ；由|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝3m －2a ；由|QF 2|－|QF 1|＝2a ，得|QF 2|＝|QF 1|＋2a ＝m ＋2a .∵点P 在以F 1F 2为直径的圆上，∴PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，|PQ |2＋|PF 2|2＝|QF 2|2.由|PQ |2＋|PF 2|2＝|QF 2|2，得(2m )2＋(3m －2a )2＝(m ＋2a )2，解得m ＝a ，∴|PF 1|＝3m ＝4a ，|PF 2|＝3m －2a ＝432a .∵|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，|F 1F 2|＝2c ，∴(4a )2＋(2a )2＝(2c )2，化简得c 2＝5a 2，∴双曲线的离心率e ＝＝，故选A.c2a2513．已知双曲线E ：－＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，x 2a 2y 2b2F 2，|F 1F 2|＝6，P 是双曲线E 右支上一点，PF 1与y 轴交于点A ，△PAF 2的内切圆与AF 2相切于点Q .若|AQ |＝，则双曲线E 的离心率是3( )A ．2B ．35C.D ．32解析：选C.如图，设△PAF 2的内切圆与PF 2相切于点M .依题意知，|AF 1|＝|AF 2|，根据双曲线的定义，以及P 是双曲线E 右支上一点，得2a ＝|PF 1|－|PF 2|，根据三角形内切圆的性质，得|PF 1|＝|AF 1|＋|PA |＝|AF 1|＋(|PM |＋|AQ |)，|PF 2|＝|PM |＋|MF 2|＝|PM |＋|QF 2|＝|PM |＋(|AF 2|－|AQ |)．所以2a ＝2|AO |＝2，即a ＝.因为|F 1F 2|＝6，所以c ＝3，所以双曲线E 的33离心率是e ＝＝＝，故选C.ca33314．(2018·江西吉安一模)已知抛物线C 1：y 2＝8ax (a ＞0)，直线l 的倾斜角是45°且过抛物线C 1的焦点，直线l 被抛物线C 1截得的线段长是16，双曲线C 2：－＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线C 1x 2a 2y 2b2的准线上，则直线l 与y 轴的交点P 到双曲线C 2的一条渐近线的距离是( )A ．2B ．3C.D ．12解析：选D.抛物线C 1的焦点为(2a ，0)，由弦长计算公式有＝16a ＝16，a ＝1，所以抛物线C 1的标准方程为y 2＝8x ，8a sin 2 45°准线方程为x ＝－2，故双曲线C 2的一个焦点坐标为(－2，0)，即c ＝2，所以b ＝＝＝，渐近线方程为y ＝±x ，直线l 的方c 2－a 222－1233程为y ＝x －2，所以点P (0，－2)，点P 到双曲线C 2的一条渐近线的距离为＝1，选D.|－2|3＋115．已知双曲线－＝1，过双曲线的上焦点F 1作圆O ：x 2＋y 2y 225x 2144＝25的一条切线，切点为M ，交双曲线的下支于点N ，T 为NF 1的中点，则△MOT 的外接圆的周长为________．解析：如图，∵F 1M 为圆的切线，∴OM ⊥F 1M ，在直角三角形OMF 1中，|OM |＝5.设双曲线的下焦点为F 2，连接NF 2，∴OT 为△F 1F 2N 的中位线，∴2|OT |＝|NF 2|.设|OT |＝x ，则|NF 2|＝2x ，又|NF 1|－|NF 2|＝10，∴|NF 1|＝|NF 2|＋10＝2x ＋10，∴|TF 1|＝x ＋5.由勾股定理得|F 1M |2＝|OF 1|2－|OM |2＝132－52＝144，|F 1M |＝12，∴|MT |＝|x －7|，在直角三角形OMT 中，|OT |2－|MT |2＝|OM |2，即x 2－(x －7)2＝52，∴x ＝.又△OMT 是直角三角形，故其外接圆的直径为377|OT |＝，∴△MOT 的外接圆的周长为π.377377答案：π37716．(2018·江西上饶质检)如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D .若双曲线的离心率为2，则∠BDF 的余弦值是________．解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a ＞0，b ＞0)，由e ＝＝2x 2a 2y 2b 2ca知，c ＝2a ，又c 2＝a 2＋b 2，故b ＝a ，所以A (0，a )，C (0，－a )，B (－333a ，0)，F (－2a ，0)，则＝(a ，a )，＝(－2a ，a )，结合题图BA → 3CF →3可知，cos ∠BDF ＝cos 〈，〉＝＝＝.BA → CF →BA → ·CF→|BA → |·|CF → |－2a 2＋3a 22a ·7a714答案：714。

2020版高考数学人教A版(理)新设计大一轮讲义第八章第7节抛物线Word版含解析

第7节抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质[微点提醒]1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.解析设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y3. (选修2－1P67A3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.解析设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2.答案 24.(2019·黄冈联考)已知方程y2＝4x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x＝m 的距离为4，则m的值为()A.5B.－3或5C.－2或6D.6解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，它与直线x＝m的距离为d＝|m－1|＝4，∴m＝－3或5.答案 B5.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P 作P A⊥y轴，垂足是A，延长P A交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.答案 B6.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.解析设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].答案 [－1，1]考点一抛物线的定义及应用【例1】 (1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，其上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足|AF |－|BF |＝2，则y 1＋x 21－y 2－x 22＝( )A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2B.135C.145D.3解析 (1)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋12，|BF |＝y 2＋12，∴|AF |－|BF |＝y 1－y 2＝2，又知x 21＝2y 1，x 22＝2y 2，∴x 21－x 22＝2(y 1－y 2)＝4，∴y 1＋x 21－y 2－x 22＝(y 1－y 2)＋(x 21－x 22)＝2＋4＝6.(2)由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1，0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.答案 (1)B (2)A规律方法应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p2或|PF |＝|y 0|＋p 2.【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .(2)如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6. 答案 (1)y 2＝4x (2)6考点二抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)(2018·晋城模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA ||MF |＝2时，△AMF 的面积为( ) A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( )A.y 2＝85xB.y 2＝165xC.y 2＝325xD.y 2＝645x解析 (1)过M 作MP 垂直于准线，垂足为P ，则|MA ||MF |＝2＝|MA ||MP |＝1cos ∠AMP ，则cos ∠AMP ＝22，又0°<∠MAP <180°，则∠AMP ＝45°，此时△AMP 是等腰直角三角形，设M (m ，4m )，由|MP |＝|MA |，得|m ＋1|＝4m ，解得m ＝1，M (1，2)，所以△AMF 的面积为12×2×2＝2. (2)由题意，知直线AB 必过原点，则设AB 的方程为y ＝kx (易知k >0)，圆心C 1(0，2)到直线AB 的距离d ＝|－2|k 2＋1＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝255，解得k ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋（y －2）2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，把⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165代入抛物线方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝2p ·85，解得p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x . 答案 (1)C (2)C规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________.(2)(2019·济宁调研)已知点A (3，0)，过抛物线y 2＝4x 上一点P 的直线与直线x ＝－1垂直相交于点B ，若|PB |＝|P A |，则P 的横坐标为( ) A.1B.32C.2D.52解析 (1)设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线的斜率为3，故|AC |＝2|AA 1|＝6，从而|BF |＝1，|AB |＝4，故p |AA 1|＝|CF ||AC |＝12，即p ＝32，从而抛物线的方程为y 2＝3x .(2)由抛物线定义知：|PB |＝|PF |，又|PB |＝|P A |，所以|P A |＝|PF |，所以x P ＝x A ＋x F2＝2(△PF A 为等腰三角形). 答案 (1)y 2＝3x (2)C考点三直线与抛物线的综合问题【例3】 (2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程. 解 (1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p ＝－1，则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1p x ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，切线AN 的方程为y AN ＝x 1p x －x 212p ，同理切线BN 的方程为y BN ＝x 2p x －x 222p . 又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1p x －x 212p ，y ＝x 2p x －x 222p ，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p . ∴N (pk ，－1).|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ， ∴22p ＝4，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .规律方法 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A.16B.14C.12D.10解析抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 2直线的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物线定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2. 同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2≥8＋216＝16.当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号.故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案 A[思维升华]1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p . [易错防范]1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0).2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( )A.4B.92C.5D.6[一般解法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)，即x A ＝2x B ＋1，②由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[应用结论]法一由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92.法二因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.答案 B【例2】设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.94[一般解法]由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94. [应用结论]由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α 得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12.原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94. 答案 D【例3】 (2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A.5B.6C.163D.203[一般解法] 如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3，23)，又F (1，0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[应用结论]法一设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163. 答案 C基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( )A.2B.1C.14D.18解析由y ＝4x 2得x 2＝14y ，所以2p ＝14，p ＝18，则抛物线的焦点到准线的距离为18. 答案 D2.(2019·抚顺模拟)已知点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若|MF |＋|NF |＝4，则线段MN 的中点的横坐标为( ) A.32B.2C.52 D.3解析 ∵点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴|MF |＋|NF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝4，∴x 1＋x 2＝3，∴线段MN 中点的横坐标为32. 答案 A3.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|F A |＝3，则直线F A 的倾斜角为( ) A.π3 B.π4 C.π3或2π3D.π4或3π4解析如图，作AH ⊥l 于H ，则|AH |＝|F A |＝3，作FE ⊥AH 于E ，则|AE |＝3－32＝32，在Rt △AEF 中，cos ∠EAF ＝|AE ||AF |＝12，又0＜∠EAF ＜π，∴∠EAF ＝π3，即直线F A 的倾斜角为π3，同理点A 在x 轴下方时，直线F A 的倾斜角为2π3.答案 C4.(2019·德州调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A.x 2＝8y B.x 2＝4y C.y 2＝8xD.y 2＝4x解析由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎨⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，即抛物线C 的方程为y 2＝8x . 答案 C5.(2019·河南中原联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( ) A.2B.3C.4D.5解析由题意知p2＝2，即p ＝4.过点N 作准线l 的垂线，垂足为N ′，交抛物线于点M ′，则|M ′N ′|＝|M ′F |，则有|MN |＋|MF |＝|MN |＋|MT |≥|M ′N ′|＋|M ′N |＝|NN ′|＝1－(－2)＝3.答案 B 二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.解析建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0).由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y . 设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米. 答案 2 67.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足.若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________. 解析由抛物线方程为y 2＝6x ，所以焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，因为直线AF 的斜率为－3，所以直线AF 的方程为y ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，当x ＝－32时，y ＝33，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，33，因为P A ⊥l ，A 为垂足，所以点P 的纵坐标为33，可得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，33，根据抛物线的定义可知|PF |＝|P A |＝92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝6.答案 68.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________. 解析因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以2＝c a ＝1＋b 2a 2，所以ba ＝3，所以渐近线方程为3x ±y ＝0，因为抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以F 到双曲线C 1的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 23＋1＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 答案 x 2＝16y 三、解答题9.(2019·天津耀华中学模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.解 (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，即5p4＋p ＝9，所以p ＝4. 所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由p ＝4知，方程4x 2－5px ＋p 2＝0，可化为x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4，故y 1＝－22，y 2＝4 2. 所以A (1，－22)，B (4，42).则OC→＝OA →＋λOB →＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(1＋4λ，－22＋42λ). 因为C 为抛物线上一点，所以(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)，整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.10.(2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4. 于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(2)由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1). 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( ) A.π3B.3π4C.5π6D.2π3解析设|AF |＝m ，|BF |＝n ， ∵|AF |＋|BF |＝233|AB |， ∴233|AB |≥2mn ，∴mn ≤13|AB |2，在△AFB 中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝m 2＋n 2－|AB |22mn ＝（m ＋n ）2－2mn －|AB |22mn ＝13|AB |2－2mn 2mn ≥－12，∴∠AFB 的最大值为2π3.答案 D12.(2019·武汉模拟)过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，P A ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( ) A.32B.33C.12D.34解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点A ，B 处的切线方程为x 1x ＝2(y ＋y 1)，x 2x ＝2(y ＋y 2)，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 1x 1，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2x 2，0，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，0，因为这两条切线都过点P (2，－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝2（－1＋y 1），2x 2＝2（－1＋y 2），所以l AB ：x ＝－1＋y ，即l AB 过定点(0，1)，则S △PEF S OAB＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 12－x 2212×1×|x 1－x 2|＝12.答案 C13.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________. 解析如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.答案655－114.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值.解 (1)因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32，所以p ＝2，所以C 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≥0)，代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ，因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0<b ≤1， S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b （x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12b 16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0<b ≤1)，设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b >0，函数单调递增，所以b ＝1时，△OPQ 的面积最大，最大值为2.新高考创新预测15.(思维创新)已知点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A.14 B.2 C.4 D.8 解析过点M 作抛物线的准线的垂线，垂足为点M ′，则易得|MM ′|＝|MF |，所以cos ∠NMM ′＝|MM ′||MN |＝|MF ||MN |＝55，则k AM ＝－tan ∠NMM ′＝－1－cos 2∠NMM ′cos 2∠NMM ′＝－2，则直线AM 的方程为y －2＝－2x ，令y ＝0得抛物线的焦点坐标F (1，0)，则p ＝2×1＝2，故选B. 答案 B。

2021高三数学(理)人教版一轮复习专练53 抛物线 Word版含解析

姓名，年级：时间：专练53 抛物线命题范围：抛物线的定义、标准方程与简单的几何性质［基础强化］一、选择题1．抛物线y＝错误!x2的焦点到其准线的距离为（）A．1 B．2C.错误!D.错误!2．已知抛物线y2＝2px（p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为（）A．（－1,0) B．（1,0）C．(0，－1) D．(0,1）3．动点M到点F(2,1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为（）A．抛物线 B．直线C．线段 D．射线4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线错误!－y2＝1的右焦点重合，则p的值为（)A．－4 B．4C．－2 D．25．若抛物线y2＝2px(p〉0）上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10,则该抛物线的焦点到准线的距离为( ）A．4 B．8C．16 D．326．［2019·全国卷Ⅱ]若抛物线y2＝2px（p〉0）的焦点是椭圆错误!＋错误!＝1的一个焦点,则p＝( ）A．2 B．3C．4 D．87.如图，过抛物线y2＝2px(p〉0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B，C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝4，则抛物线的方程为( ）A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x8．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则错误!·错误!等于( )A.错误! B．－错误!C．3 D．－39．已知抛物线y2＝2px（p〉0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线,垂足为E，当A点坐标为（3，y0)时，△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为( )A.错误! B。

错误!C.错误! D。

错误!二、填空题10．已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2,－4)，则该抛物线的标准方程为______________．11．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1)，Q（x2,y2）两点,若x1＋x2＝6,则|PQ｜＝________。

第八章 §8.8 抛物线-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件

∴点 B 的横坐标为p4， ∴|FB|＝p2＋p4＝3，∴p＝4， ∴抛物线C的标准方程为y2＝8x.
思维升华
求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法. (2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.
跟踪训练2 (1)(2023·临汾统考)抛物线C的焦点F关于其准线对称的点
为(0，－9)，则抛物线C的方程为
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，
这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.( √ )
自主诊断
2.(选择性必修第一册 P133T2 改编)抛物线 x2＝14y 的准线方程为
√A.y＝－116
B.x＝－116
C.y＝116
D.x＝116
由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于 y 轴正半轴上，焦点坐标为0，116，准线方程为 y＝－116.
知识梳理
2.抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围焦点
x≥0，y∈R p2，0
x≤0，y∈R －p2，0
y≥0，x∈R 0，p2
y≤0，x∈R 0，－p2
知识梳理
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0). 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3， 32＝－2p1·(－4)，则 2p＝136，2p1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y.

2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第八章第六节抛物线 Word版含解析

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级基础夯实练1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：选C.由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2，0)．又A (－2，3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34. 2．若点A ，B 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，O 是坐标原点，若正三角形OAB 的面积为43，则该抛物线方程是( )A ．y 2＝233x B ．y 2＝3x C ．y 2＝23x D ．y 2＝33x 解析：选A.根据抛物线的对称性，AB ⊥x 轴，由于正三角形的面积是43，故34AB 2＝43，故AB ＝4，正三角形的高为23，故可以设点A 的坐标为(23，2)代入抛物线方程得4＝43p ，解得p ＝33，故所求的抛物线方程为y 2＝233x .故选A. 3．(2018·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝y解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0，0)和(4p ，8p )，则（4p ）2＋（8p ）2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .4．(2018·湖南省五市十校联考)已知抛物线y 2＝2x 上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4，且|AF |＞2，则点A 到原点的距离为( ) A.41B ．2 2C ．4D ．8解析：选B.令点A 到点F 的距离为5a ，点A 到x 轴的距离为4a ，则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a －12，4a ，代入y 2＝2x 中，解得a ＝12或a ＝18(舍)，此时A (2，2)，故点A 到原点的距离为2 2. 5．(2018·太原模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( )A.72B ．52C ．3D ．2解析：选C.因为FP →＝4FQ →，所以|FP →|＝4|FQ →|，所以|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3.6．(2018·江西协作体联考)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：选C.由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0，2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5得，⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，即抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .7．(2018·云南大理州模拟)在直角坐标系xOy 中，有一定点M (－1，2)，若线段OM 的垂直平分线过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．解析：依题意可得线段OM 的垂直平分线的方程为2x －4y ＋5＝0，把焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2代入可求得p ＝52，所以准线方程为y ＝－54. 答案：y ＝－548．(2018·河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．解析：设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上，又因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，则|MF|＝x M＋p2＝6，即x M＝6－p2，又由题意可知x M＝p4，所以p4＝6－p2，解得p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.答案：y2＝16x9．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程是x＝－1，由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|＝[1－（－1）]2＋（0－1）2＝ 5.答案： 510．(2018·湖北武汉调研测试)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C 在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．解：由题意知，直线AB的斜率一定存在，∴设直线AB：y＝kx ＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①(1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p， ∵点N 在以AB 为直径的圆上，∴AN ⊥BN ，∴－2p＝－1，∴p ＝2. (2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x 1p （x －x 1），y －y 2＝x 2p （x －x 2），结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)． |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2，则S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，当k ＝0时，取等号，∵△ABN 的面积的最小值为4，∴22p ＝4，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .B 级能力提升练11．(2018·河北邯郸质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB →＝λAB →，则实数λ为( )A.13B ．12C ．2D ．3解析：选C.把点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入抛物线的方程得2＝2p ×12，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，则B (－1，0)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2M 4，y M ，则AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－2，MB →＝(－1－y 2M 4，－y M )，由MB →＝λAB →，得⎩⎨⎧－1－y 2M 4＝－32λ，－y M ＝－2λ，解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选C. 12．(2018·河南郑州模拟)已知抛物线y 2＝8x ，点Q 是圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点P 到直线x ＝－2的距离为d ，则|PQ |＋d 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选C.如图，由题意知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，连接PF ，FQ ，则d ＝|PF |，将圆C的方程化为(x ＋1)2＋(y －4)2＝4，圆心为C (－1，4)，半径为2，则|PQ |＋d ＝|PQ |＋|PF |，又|PQ |＋|PF |≥|FQ |(当且仅当F ，P ，Q 三点共线时取得等号)．所以当F ，Q ，C 三点共线时取得最小值，且为|CF |－|CQ |＝（－1－2）2＋（4－0）2－2＝3，故选C.13．(2018·广东五校联考)已知过抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，若R 为线段PQ 的中点，连接OR 并延长交抛物线C 于点S ，则|OS ||OR |的取值范围是( ) A ．(0，2)B ．[2，＋∞)C ．(0，2]D ．(2，＋∞)解析：选D.由题意知，抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2，0)，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y 2＝8x 消去y 整理得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，R (x 0，y 0)，S (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝4（k 2＋2）k 2，故x 0＝x 1＋x 22＝2（k 2＋2）k 2，y 0＝k (x 0－2)＝4k ，所以k OS ＝y 0x 0＝2k k 2＋2，直线OS 的方程为y ＝2k k 2＋2x ，代入抛物线方程，解得x 3＝2（k 2＋2）2k 2，由条件知k 2＞0.所以|OS ||OR |＝x 3x 0＝k 2＋2＞2.选D. 14．(2018·河南洛阳统一考试)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2OA →＋OB →－3OF →＝0，则弦AB 中点到抛物线C 的准线的距离为________．解析：依题意得，抛物线的焦点为F (0，1)，准线方程是y ＝－1，因为2(OA →－OF →)＋(OB →－OF →)＝0，即2FA →＋FB →＝0，所以F ，A ，B 三点共线．设直线AB ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2＝4(kx ＋1)，即x 2－4kx －4＝0，x 1x 2＝－4 ①；又2FA →＋FB →＝0，因此2x 1＋x 2＝0 ②.由①②解得x 21＝2，弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为12[(y 1＋1)＋(y 2＋1)]＝12(y 1＋y 2)＋1＝18(x 21＋x 22)＋1＝5x 218＋1＝94. 答案：9415．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝－4(其中O 为坐标原点)，则△ABO 面积的最小值是________．解析：不妨设A(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＞0，由OA →·OB →＝－4，即x 1x 2＋y 1y 2＝－4得116y 21y 22＋y 1y 2＝－4，得y 1y 2＝－8.所以S △AB O ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝|y 1－y 2|≥42，当y 1＝22，y 2＝－22时取等号，故△ABO 面积的最小值为4 2.答案：42C 级素养加强练16．已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段BM 的中点．解：(1)把P(1，1)代入y 2＝2px 得p ＝12，所以抛物线C ：y 2＝x ，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线：x ＝－14. (2)证明：设l ：y ＝kx ＋12，M (x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，OP ：y ＝x ，ON ：y ＝y 2x 2x ，由题知A(x 1，x 1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 1y 2x 2，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，消去y 得k 2x 2＋(k －1)x ＋14＝0，所以x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1·x 2＝14k 2. 所以y 1＋x 1y 2x 2＝kx 1＋12＋x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 2＝2kx 1＋x 1＋x 22x 2，由x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2，上式＝2kx 1＋1－kk 22×14k 2x 1＝2kx 1＋(1－k)·2x 1＝2x 1，所以A 为线段BM 的中点．。

新高考人教B版数学理大一轮复习训练9.7抛物线(含答案解析)

9.7抛物线一、选择题．抛物线 x2＝(2a－1)y 的准线方程是 y＝，则实数a＝()115313 A. 2 B.2C．－2D．－2211分析依据剖析把抛物线方程化为x ＝－ 2 2－a y，则焦参数 p＝2－ a，11p2－ a2－a3故抛物线的准线方程是y＝2＝2，则2＝1，解得 a＝－2.答案D2．若抛物线 y2＝2px( p>0) 的焦点在圆 x2＋y2＋2x－3＝0 上，则 p＝ () 1A. 2B． 1C．2D．3分析∵抛物线 y2＝2px( p>0) 的焦点为 (p，0) 在圆 x2＋y2＋2x－3＝0 上，∴p2＋p 24－ 3＝ 0，解得 p＝2 或 p＝－ 6( 舍去 ) ．答案 C3．已知抛物线y2＝ 2px( p＞0) 的准线与圆x2＋y2－6x－ 7＝ 0 相切，则 p 的值为() ．1A. 2B．1C．2D．4分析抛物线 y2＝px p＞p2＋y2－ x－＝，即x－20)的准线为 x＝－，圆 x3)2 (2670(＋ y2＝，则圆心为(3,0)，半径为；又因抛物线y2＝2px p＞0)的准线与圆 x2164(＋y2－6x－＝相切，所以p p＝2.73＋2＝4，解得答案C．已知直线 l过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， l与 C 交于 A，B 两点，4AB ＝， P 为 C 的准线上一点，则△ ABP的面积为()．| |12A．18B．24C．36D．48分析如图，设抛物线方程为y2＝ 2px( p＞0) ．p∵当 x＝2时， | y| ＝ p，| AB|12∴p＝2＝2＝6.又 P 到 AB的距离一直为 p，1∴S△ABP＝2×12×6＝ 36.答案C5.过抛物线y24x 的焦点 F 的直线交抛物线于A, B两点，点O 是原点，若AF 3 ,则AOB的面积为（）A ．22B．2C． 3 22D． 22答案 C6．将两个极点在抛物线y2＝px p＞0)上，另一个极点是此抛物线焦点的正三角2(形个数记为 n，则 () ．A．n＝0B． n＝ 1C．n＝2D． n≥333分析联合图象可知，过焦点斜率为 3和－3的直线与抛物线各有两个交点，所以能够组成两组正三角形．此题也能够利用代数的方法求解，但显得有些麻烦．答案 C．已知点 P 是抛物线 y2＝ x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与 P 到该72()抛物线准线的距离之和的最小值为179 A. 2B．3 C.5 D.2分析依题设 P 在抛物线准线的投影为 P ′，抛物线的焦点为 F ，则 F 1， 0 . 依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为 PP ′ ＝ PF2 | ，则点 P 到点 A| | |(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和d ＝ PF PA ≥|AF ＝1 22| | ＋| | | 2 ＋2＝172 .答案 A 二、填空题8．设抛物线 y 2＝ px p 的焦点为 F ，点 A ．若线段 FA 的中点 B 在抛物线2 ( >0) (0,2)上，则 B 到该抛物线准线的距离为．________分析设抛物线的焦点 F p，0 ，由 B 为线段 FA 的中点，所以 B p，1 ，代入抛2 4p p p 3 2 物线方程得 p ＝ 2，则 B 到该抛物线准线的距离为 4＋2＝ 4＝ 4 .3 2 答案49．已知动圆过点 (1,0) ，且与直线x ＝－ 1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．分析设动圆的圆心坐标为 ( x ，y) ，则圆心到点 (1,0) 的距离与其到直线x ＝－ 1的距离相等，依据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y 2＝4x.答案y 2＝ 4x10．已知抛物线 y 2 ＝4x 的焦点为 F ，准线与 x 轴的交点为 M ，N 为抛物线上的一3点，且知足 | NF| ＝ 2 | MN|，则∠ NMF ＝________.3分析过 N 作准线的垂线，垂足是 P ，则有 PN ＝ NF ，∴PN ＝ 2 MN ，∠NMF ＝∠ MNP.3又 cos ∠MNP ＝ 2 ，∴∠ MNP ＝π6，即∠ NMF ＝ π6.π 答案611．设圆 C 位于抛物线 y 2＝2x 与直线 x ＝ 3 所围成的关闭地区 ( 包括界限 ) 内，则圆 C的半径能取到的最大值为________．分析依题意，联合图形的对称性可知，要使知足题目拘束条件的圆的半径最大，圆心位于 x 轴上时才有可能，可设圆心坐标是 ( a, 0)(0 ＜a＜3) ，则由条件知圆的方程是(x－ a2＋ y2＝(3－ a 2由x－a2＋ y2＝－a2消去 y 得 x2＋2(1x)) .y2＝2－ a x＋ a－＝，联合图形剖析可知，当＝[2(1－ a2a－9)＝且) 6 90)]－4(6＜a＜ 3，即 a＝4－ 6时，相应的圆知足题目拘束条件，所以所求圆的最大部分径是 3－a＝ 6－1.答案6－112.过抛物线y22x的焦点 F 作直线交抛物线于A, B两点，若AB25, AF12BF, 则AF =。

2020版导与练一轮复习理科数学习题：第八篇平面解析几何(必修2、选修1-1) 第6节抛物线 Word版含解析

第6节抛物线【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·沈阳质量监测)抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是( C )(A)(0,a) (B)(a,0)(C)(0,) (D)(,0)解析:将y=4ax2(a≠0)化为标准方程得x2=y(a≠0),所以焦点坐标为(0,),所以选C.2.(2018·新余一中模拟)动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,则动点P的轨迹方程为( D )(A)y2=4x (B)y2=8x (C)x2=4y (D)x2=8y解析:因为动点P到A(0,2)点的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,所以动点P到点A(0,2)的距离与它到直线y=-2的距离相等,根据抛物线的定义可得点P的轨迹为以A(0,2)为焦点,以直线y=-2为准线的抛物线,其标准方程为x2=8y,故选D.3.(2018·云南昆明一中月考)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A为C上一点,以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,若∠BFD=120°,△ABD的面积为2,则p等于( A )(A)1 (B) (C) (D)2解析:因为∠BFD=120°,所以圆的半径|FA|=|FB|=2p,|BD|=2p,由抛物线定义,点A到准线l的距离d=|FA|=2p,所以|BD|·d=2p·p=2,所以p=1,选A.4.(2018·四川南充二模)抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l 上一点,连接PF并延长交抛物线C于点Q,若|PF|=|PQ|,则|QF|等于( C )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:如图,直线l与x轴的交点为D,过Q点作QQ′⊥l,Q′为垂足,设|QF|=d,由抛物线的定义可知|QQ′|=d,又|PF|=|PQ|,所以|PF|=4d,|PQ|=5d,又△PDF∽△PQ′Q,所以=,解得d=5,即|QF|=5,故选C.5.(2018·湖南两市九月调研)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B,交其准线l于点C,若点F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为( C )(A)5 (B)6(C)(D)解析:如图,过点A作AD⊥l交l于点D,所以|AF|=|AD|=4,由点F是AC的中点,有|AF|=2|MF|=2p.所以2p=4,解得p=2,抛物线y2=4x设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+=x1+1=4.所以x1=3,A(3,2),F(1,0).k AF==.AF:y=(x-1)与抛物线y2=4x,联立得3x2-10x+3=0,x1+x2=,|AB|=x1+x2+p=+2=.故选C.6.(2018·大庆中学模拟)已知点A(4,0),抛物线C:y2=2px(0<p<4)的准线为l,点P在C上,作PH⊥l于H,且|PH|=|PA|,∠APH=120°,则p= .解析:设焦点为F,由题可得∠PAF=,x P=+⇒x P=,所以4=x P++⇒p=.答案:7.(2018·海南省八校联考)已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,过F的直线l与直线x+y-1=0垂直,且直线l与抛物线C交于A,B两点,则|AB|= .解析:F是抛物线C:y2=16x的焦点,所以F(4,0),又过F的直线l与直线x+y-1=0垂直.所以直线l的方程为y=(x-4),代入抛物线C:y2=16x,易得3x2-40x+48=0.设A=(x1,y1),B=(x2,y2),x1+x2=,|AB|=x1+x2+8=.答案:能力提升(时间:15分钟)8.(2018·吉林百校联盟联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线l的距离为2,过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于M,N两点,若MM′⊥l,NN′⊥l,垂足分别为M′,N′,则△M′N′F的面积为( B )(A)(B) (C)(D)解析:因为p=2,所以抛物线方程为y2=4x,直线MN:x=y+1,由得y2-y-4=0,则y1+y2=,y1y2=-4,所以|y1-y2|==.所以S△M′N′F=××2=.选B.9.如图,过抛物线y2=4x焦点的直线依次交抛物线和圆(x-1)2+y2=1于A,B,C,D四点,则|AB|·|CD|等于( C )(A)4 (B)2(C)1 (D)解析:法一(特值法)由题意可推得|AB|·|CD|为定值,所以分析直线与x轴垂直的情况,即可得到答案.因为圆(x-1)2+y2=1的圆心为抛物线y2=4x的焦点,半径为1,所以此时|AB|=|CD|=1.所以|AB|·|CD|=1,故选C.法二(直接法)设A(x1,y1),D(x2,y2),抛物线的焦点为F,AD的方程为y=k(x-1).则由消去y,可得x1x2=1,而|AB|=|FA|-1=x1+1-1=x1,|CD|=|FD|-1=x2+1-1=x2,所以|AB|·|CD|=x1·x2=1.故选C.10.(2018·临川二中模拟)如图所示,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围为.解析:抛物线的准线l:x=-2,焦点F(2,0),由抛物线定义可得|AF|=x A+2,圆(x-2)2+y2=16的圆心为(2,0),半径为4,所以△FAB的周长为|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+(x B-x A)+4=6+x B,由抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16可得交点的横坐标为2,所以x B∈(2,6],所以6+x B∈(8,12].答案:(8,12]11.(2018·东北三校二模)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比= .解析:设AB:y=k(x-),代入y2=2x得k2x2-(2k2+2)x+3k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=3,而|BF|=2,所以x2+=2.所以x2=,x1=2.====.答案:12.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解:(1)抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),当直线的斜率不存在时,|AB|=4,不满足;设直线AB的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则整理得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,则Δ=16k2+16>0,故x1+x2=,x1x2=1,由|AB|=x1+x2+p=+2=8,解得k2=1,则k=1,所以直线l的方程y=x-1.(2)由(1)可得AB的中点坐标为D(3,2),则直线AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5,设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此,所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.13.(2018·东城区二模)已知抛物线C:y2=2px经过点P(2,2),A,B是抛物线C上异于点O的不同的两点,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)若OA⊥OB,求△AOB面积的最小值.解:(1)由抛物线C:y2=2px经过点P(2,2)知4p=4,解得p=1,则抛物线C的方程为y2=2x,抛物线C的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-.(2)由题知,直线AB不与y轴垂直,设直线AB:x=ty+a.由消去x,得y2-2ty-2a=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-2a,因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,即+y1y2=0,解得y1y2=0(舍)或y1y2=-4,所以-2a=-4,解得a=2,所以直线AB:x=ty+2,所以直线AB过定点(2,0),S△AOB=×2×|y1-y2|==≥=4.当且仅当y1=2,y2=-2或y1=-2,y2=2时,等号成立, 所以△AOB面积的最小值为4.。

高考数学(理)一轮复习文档第八章平面解析几何第7讲抛物线 Word版含答案

第7讲抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质1．辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．(2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．2．与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．1.教材习题改编抛物线y ＝－14x 2的焦点坐标是( )A ．(0，－1)B ．(0，1)C ．(1，0)D ．(－1，0)A 抛物线y ＝－14x 2的标准方程为x 2＝－4y ，开口向下，p ＝2，p 2＝1，故焦点为(0，－1)．2．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42xD 因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .3．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8yD 设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .4.教材习题改编抛物线x 2＝2py (p >0)上的点P (m ，2)到焦点F 的距离为3，则该抛物线的方程为________．根据抛物线定义可知2＋p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .x 2＝4y5．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .y 2＝4x抛物线的定义及其应用(1)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．52 C ．3D ．2(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 (1)因为FP →＝4FQ →，所以|FP →|＝4|FQ →|，所以|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QF |＝|QQ ′|＝3.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)C (2)4若本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.1．设经过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心B 设圆心为M ，过点A 、B 、M 作准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1、M 1，则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，所以|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线的距离等于圆的半径，故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.抛物线的标准方程及性质(高频考点)抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．高考对该内容的考查主要有以下两个命题角度： (1)求抛物线的标准方程； (2)抛物线性质的研究．(1)(2017·河南中原名校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝15x 2(2)(2016·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 (1)设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B ．【答案】 (1)B (2)B(1)求抛物线的标准方程的方法①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)确定及应用抛物线性质的技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．角度一求抛物线的标准方程1．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，联立⎩⎨⎧y ＝3x ＋b ，x 2＝2py，消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0，所以x A ＋x B ＝23p ＝3，所以p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y .x 2＝3y角度二抛物线性质的研究2．若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A.22B ．24C.12 D ．14B 由题意知，抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知，点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ，解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.直线与抛物线的位置关系(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．(1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．1．(2017·重庆适应性测试(二))设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交抛物线于A ，B 两点．若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点M (11，0)，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．12C 由题意可得直线AB 的方程是y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程y 2＝2px (p >0)中，化简得3x 2－5px ＋34p 2＝0，则AB 中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫5p 6，33p ，则33p 5p 6－11＝－33，解得p ＝6.2．过点(－2，1)斜率为k 的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则由k 的值组成的集合为________．设l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋（2k ＋1）y 2＝4x，得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0，①当k ＝0时，y ＝1，此时x ＝14，l 与抛物线仅有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. ②当k ≠0时，由Δ＝－16(2k 2＋k －1)＝0，得k ＝－1或k ＝12，所以k 的值组成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－1，12.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－1，12)——抛物线中最值问题的求法1．定义转换法(2017·豫南九校联考)已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8，7)，则|PA |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】抛物线的焦点为F (0，1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.所以|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PM |－1＝|PA |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋（7－1）2－1＝10－1＝9.【答案】 C与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．2．平移直线法抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．【解析】法一：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.法二：由y ＝－x 2，得y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.【答案】 43若抛物线上的任一点P 到直线l 的距离最小，则过点P 与l 平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离．3．函数法针对上面例2，我们给出第三种解决方法：法三：设P (x ，－x 2)，则点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4x －3x 2－8|16＋9＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋43，在抛物线y ＝－x 2中，x ∈R ，所以当x ＝23时，d 取得最小值43，即抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________．【解析】由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A (3，0)，则|PQ |≥|PA |－|AQ |＝|PA |－1，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号，所以当|PA |取得最小值时，|PQ |最小．设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|PA |＝（x 0－3）2＋y 20＝x 20－6x 0＋9＋x 0＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|PA |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1.【答案】112－1解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标．1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12C 由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2，0)．又A (－2，3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34. 2．(2017·山西省高三考前质量检测)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是( )A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y A 由题意得，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫p ，－p 2，B (－p ，－p 2)，所以S △FAB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A.3．(2017·广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线y ＝112x 2上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )A ．(0，2)B ．(0，－3)C ．(0，3)D ．(0，6)C 直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0，3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0，3)．4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.5．(2017·辽宁抚顺部分重点高中一模)已知点A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 为其焦点，以F 为圆心，以|FA |为半径的圆交准线于B ，C 两点，△FBC 为正三角形，且△ABC 的面积是1283，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝14x C ．y 2＝16x D ．y 2＝18xC由题意，如图可得|DF ||BF |＝cos 30°及|DF |＝p ，可得|BF |＝2p 3，从而|AF |＝2p 3，由抛物线的定义知点A 到准线的距离也为2p 3，又因为△ABC 的面积为1283，所以12×2p 3×2p 3＝1283，解得p ＝8，故抛物线的方程为y 2＝16x .6．(2017·湖北七市联考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A 、B 两点，若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝2x B ．y 2＝3x C ．y 2＝4xD ．y 2＝xA 由双曲线方程x 2－y 23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，所以过抛物线焦点F 且与渐近线平行的直线AB 的斜率为±3，不妨取k AB ＝3，则其倾斜角为60°，即∠AFx ＝60°.过A 作AN ⊥x 轴，垂足为N .由|AF |＝2，得|FN |＝1.过A 作AM ⊥准线l ，垂足为M ，则|AM |＝p ＋1.由抛物线的定义知，|AM |＝|AF |.所以p ＋1＝2，所以p ＝1，所以抛物线的方程为y 2＝2x ，故选A.7．(2017·合肥市第二次质量检测)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为________．设M (x M ，y M )，由抛物线定义可得|MF |＝x M ＋p 2＝2p ，解得x M ＝3p2，代入抛物线方程可得y M ＝±3p ，则直线MF 的斜率为y M x M －p 2＝±3pp ＝± 3.± 38．已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，○·M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．将○·M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又因为抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4.12或49．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AFK 的面积是________．因为抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，所以经过F 且斜率为3的直线方程为y ＝3(x －1)，得A 点的横坐标x A ＝3，由抛物线的定义知|AK |＝|AF |＝3＋1＝4，又AK ∥x 轴，所以∠FAK ＝60°，△AFK 的面积是12×4×4×32＝4 3.4 310.(经典考题)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则A (2，－2)，将其坐标代入x 2＝－2py ，得p ＝1.所以x 2＝－2y .当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，将其坐标代入x 2＝－2y ，得x 20＝6，所以x 0＝ 6. 所以水面宽|CD |＝2 6 m. 2 611．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x －4所得的弦长|AB |＝35，求此抛物线方程．设所求的抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线y ＝2x －4代入y 2＝ax ，得4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0，由Δ＝(a ＋16)2－256>0，得a >0或a <－32. 又x 1＋x 2＝a ＋164，x 1x 2＝4，所以|AB |＝（1＋22）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1642－16＝35，所以5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1642－16＝45，所以a ＝4或a ＝－36.故所求的抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x .12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2)．又因为F (1，0)，所以k FA ＝43，因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.又FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.13．(2017·湖南长郡中学月考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过AB 的中点M 作抛物线准线l 的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( ) A.33 B ．1 C.233D ．2A 过A 、B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，连接AF 、BF ，由抛物线的定义知|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)，在△AFB 中，|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |·cos 120°＝|AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN ||AB |2＝14·|AF |2＋|BF |2＋2|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |＝14⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1|AF ||BF |＋|BF ||AF |＋1≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1＝13，当且仅当|AF |＝|BF |时取等号，所以|MN ||AB |的最大值为33.14．已知抛物线x 2＝2y ，过抛物线的焦点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．由x 2＝2y ，得y ＝12x 2，所以y ′＝x .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以抛物线在P ，Q 两点处的切线的斜率分别为x 1，x 2，所以过点P 的抛物线的切线方程为y －y 1＝x 1(x －x 1)，又x 21＝2y 1，所以切线方程为y ＝x 1x －x 212，同理可得过点Q 的切线方程为y ＝x 2x －x 222，两切线方程联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x A＝x 1＋x 22，y A＝x 1x 22.又抛物线焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，易知直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝mx＋12，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋12，x 2＝2y ，得x 2－2mx －1＝0，所以x 1x 2＝－1，所以y A ＝－12.－1215．如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F且与抛物线C 相交于A 、B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．(1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得错误!消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4）＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2，所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.16．(2017·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M .(1)求OA →·OB →；(2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2，得x 2－2pkx －p 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2，所以OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2.(2)由x 2＝2py ，知y ′＝x p，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p(x －x 2)，则可得M ⎝⎛⎭⎪⎫pk ，－p 2. 所以k MF ＝－1k，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)，用－1k代替k 得，|CD |＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1，四边形ACBD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13，即k ＝±3或k ＝±33.。

高三数学一轮基础巩固(新人教B版)第8章第6节抛物线(含解析).doc

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第8章第6节抛物线新人教B 版一、选择题1．(2015·石家庄五校联考)若抛物线y ＝ax2的准线的方程是y ＝2，则实数a 的值是( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8[答案] B[解析] 由条件知，－14a ＝2，∴a ＝－18.2．(2014·合肥质检)已知点M(1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线[答案] A[解析] P 在BM 的垂直平分线上，故|PB|＝|PM|.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于P 到M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．3．(文)直线y ＝x －3与抛物线y2＝4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为( )A ．48B ．56C ．64D ．72[答案] A[解析] 由题意不妨设A 在第一象限，联立y ＝x －3和y2＝4x 可得A(9,6)，B(1，－2)，而抛物线的准线方程是x ＝－1，所以|AP|＝10，|QB|＝2，|PQ|＝8，故S 梯形APQB ＝12(|AP|＋|QB|)·|PQ|＝48，故选A.(理)(2013·郑州质量预测)过抛物线y2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16[答案] D[解析] 抛物线y2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y2＝8x ，得x2－12x ＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB 的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.4．(2014·湖北武汉调研)已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4 [答案] C[解析] 设P 点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋2＝42，x0＝32，代入抛物线的方程，得|y0|＝26，S △POF ＝12|y0|·|OF|＝23，选C.5．(文)(2014·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y2＝2x 的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2B ．12C.32 D ．52[答案] C[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋1＝4，∴x1＋x2＝3，∴x1＋x22＝32，即AB 中点C 的横坐标是32.(理)(2014·武昌模拟)直线y ＝k(x －2)交抛物线y2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为3，则弦AB 的长为( )A ．6B ．10C ．215D ．16[答案] B[解析] 将y ＝k(x －2)代入y2＝8x 中消去y 得，k2x2－(4k2＋8)x ＋4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝4k2＋8k2＝6，∴k ＝±2， ∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝5·x1＋x22－4x1x2＝5·36－4×4＝10.6．已知直线l1：4x －3y ＋6＝0和直线l2：x ＝－1，P 是抛物线y2＝4x 上一动点，则点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3C.115 D ．3716[答案] A[解析] 直线l2：x ＝－1为抛物线y2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l2的距离等于P 到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x －3y ＋6＝0的距离，即dmin ＝|4－0＋6|5＝2，故选A.[点评] 与抛物线有关的最值问题常见题型．(1)点在抛物线外，利用两点间线段最短求最小值．①(2013·甘肃天水调研)已知P 为抛物线y ＝14x2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________．[答案] 5－1[解析] 如图，抛物线y ＝14x2，即x2＝4y 的焦点F(0,1)，记点P 在抛物线的准线l ：y ＝－1上的射影为P ′，根据抛物线的定义知，|PP ′|＝|PF|，则|PP ′|＋|PA|＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝22＋12＝ 5.所以(|PA|＋|PM|)min＝(|PA|＋|PP ′|－1)min ＝5－1.(2)定点在抛物线内，利用点到直线的垂线段最短求最小值．②(2013·河南洛阳、安阳统考)点P 在抛物线x2＝4y 的图象上，F 为其焦点，点A(－1,3)，若使|PF|＋|PA|最小，则相应P 的坐标为________．[答案] (－1，14)[解析] 由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点(－1，14)即为所求点P 的坐标，此时|PF|＋|PA|最小．③已知抛物线y2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又定点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．[分析] 抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d 的问题，运用三点共线可使问题得到解决．[解析] 将x ＝3代入抛物线方程y2＝2x ，得y ＝±6，∵6>2，∴点A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d ，当PA ⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y2＝2x ，得x ＝2，即点P 的坐标为(2,2)．(3)抛物线上动点到定直线与抛物线准线(或焦点)距离和(或差)的最值转化为点到直线距离最小．④已知P 是抛物线y2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( ) A. 3 B ． 5C ．2D ．5－1[答案] D[解析] 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF|－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF|－1.易知d ＋|PF|的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋－12＝5，所以d ＋|PF|－1的最小值为5－1.(4)利用直角三角形斜边大于直角边求最小值．⑤(2014·陕西质检)已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )A.72 B ．3C.52 D ．2[答案] C[解析] 如图，|MQ ′|－|Q ′F|＝|MQ ′|－|Q ′A ′|＝|MA ′|＝|NA|＝|NQ|－|AQ|≤|MQ|－|AQ|＝|MQ|－|QF|.(其中l 是抛物线的准线，QA ⊥l ，垂足为A ，Q ′M ⊥l 垂足为A ′，MN ⊥QN)，∵抛物线的准线方程为x ＝－12，∴|QM|－|QF|≥|xQ ＋3|－|xQ ＋12|＝3－12＝52，选C.(5)与其他曲线有关的抛物线最值问题．⑥(2014·忻州联考)已知P 为抛物线y2＝4x 上一个动点，Q 为圆x2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．[答案] 17－1[解析] 抛物线y2＝4x 的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y －4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF|，∴|PQ|＋d ＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1.(6)与平面向量交汇命题．⑦已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P 在抛物线y2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫－y24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y24－2⎝⎛⎭⎫－y24－4＋y2＝y416＋52y2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．(7)利用三角形两边之和大于第三边．⑧(2013·郑州第一次质量检测)已知抛物线x2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2[答案] D[解析] 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA1⊥l 交l 于点A1，过点B 作BB1⊥l交l 于点B1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM1⊥l 交l 于点M1，则|MM1|＝|AA1|＋|BB1|2.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F 为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，当直线AB 过点F 时，等号成立，所以|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M 到x 轴的距离d≥2，选D.(8)转化为二次函数最值或用基本不等式求最值．二、填空题7．若点(3,1)是抛物线y2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y21＝2px1，y22＝2px2，两式相减得，y1－y2x1－x2＝2p y1＋y2＝2， ∵y1＋y2＝2，∴p ＝2.8．(2013·福州期末)若抛物线y2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，动点P 在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB 的面积的最小值为________．[答案] 2 2[解析] 由题意得F(1,0)，直线AB 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y2＝4x ，得x2－6x ＋1＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴|AB|＝2·x1＋x22－4x1x2＝8.设P(－y204，y0)，则点P 到直线AB 的距离为|y204＋y0＋1|2， ∴△PAB 的面积S ＝|y20＋4y0＋4|2＝y0＋222≥22，即△PAB 的面积的最小值是2 2. 9．(2014·山东广饶一中期末)抛物线y2＝8x 的顶点为O ，A(1,0)，过焦点且倾斜角为π4的直线l与抛物线交于M ，N 两点，则△AMN 的面积是________．[答案] 4 2[解析] 焦点F(2,0)，直线l ：x ＝y ＋2，代入抛物线y2＝8x ，消去x ，得y2－8y －16＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝8，y1y2＝－16.∴|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝8 2.故△AMN的面积S ＝12×1×|y1－y2|＝4 2. 三、解答题10．(2015·豫南九校联考)已知动圆M 过定点F(1,0)且与直线x ＝－1相切，圆心M 的轨迹为H.(1)求曲线H 的方程；(2)一条直线AB 经过点F 交曲线H 于A 、B 两点，点C 为x ＝－1上的动点，是否存在这样的点C ，使得△ABC 是正三角形？若存在，求点C 的坐标；否则，说明理由．[解析] (1)设M(x ，y)，由题意知M 到定点F 的距离等于到定直线x ＝－1的距离，所以M 的轨迹是以F 为焦点的抛物线，p 2＝1，∴p ＝2，∴曲线H 的方程为y2＝4x.(2)设直线AB ：x ＝my ＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－1，n)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y2＝4x ，消去x 得y2－4my －4＝0， ∴y1＋y2＝4m ，y1y2＝－4，∴x1＋x2＝4m2＋2，x1x2＝1.则M 的坐标为(x1＋x22，y1＋y22)，即M(2m2＋1,2m)．由kCM·kAB ＝2m －n 2m2＋2·1m＝－1得n ＝2m3＋4m ，则C(－1，2m3＋4m)． ∵|CM|＝2m2＋22＋2m3＋2m 2＝2(m2＋1)m2＋1，|AB|＝1＋m2|y1－y2|＝4(1＋m2)，∵|CM|＝32|AB|，∴m ＝± 2.∴存在这样的点C(－1，±82)，使△ABC 为正三角形.一、选择题11．已知P ，Q 为抛物线x2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8[答案] C[解析] 由已知可设P(4，y1)，Q(－2，y2)．∵点P ，Q 在抛物线x2＝2y 上，∴42＝2y1，(－2)2＝2y2，∴y1＝8，y2＝2.∴P(4,8)，Q(－2,2)．又∵抛物线方程可化为y ＝12x2，∴y ′＝x.∴过点P 的切线斜率为k1＝4，切线方程为y ＝4x －8，又∵过点Q 的切线斜率为k2＝－2，∴过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4. ∴点A 的纵坐标为－4.12．(文)如图，抛物线C1：y2＝4x 和圆C2：(x －1)2＋y2＝1，直线l 经过C1的焦点F ，依次交C1，C2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( )A.34 B ．1C ．2D ．4[答案] B[解析] 法一：抛物线C1的焦点F 也是圆C2的圆心(1,0)．可用特殊法：当l 与x 轴垂直时，|AD|＝4，|BC|＝2，|AB|＝|CD|＝1，∴AB →·CD →＝|AB →||CD →|＝1.故选B.法二：由抛物线的定义知，|AB →|＝|AF →|－1＝xA ，|CD →|＝|DF →|－1＝xD ，|AB →||CD →|＝xA·xD ＝p24＝1.∴AB →·CD →＝|AB →||CD →|＝1.故选B.(理)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x2＝4y 和圆x2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB||CD|的值为( )A ．16B ．116C ．4D ．14[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x2＝4y 得x2－3x －4＝0， ∴xA ＝－1，xD ＝4，yA ＝14，yD ＝4，∵直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)．∴|AF|＝yA ＋1＝54，|DF|＝yD ＋1＝5，∴|AB||CD|＝|AF|－1|DF|－1＝116.故选B.13．(文)(2014·山东淄博一模)过抛物线y2＝4x 焦点F 的直线交其于A ，B 两点，A 在第一象限，B 在第四象限，O 为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB 的面积为( ) A.22 B ． 2 C.322 D ．2 2[答案] C[解析] 设A(x0，y0)，由|AF|＝1＋x0＝3，得x0＝2，∴A(2,22)，直线AB 的方程为y ＝22(x－1)，与y2＝4x 联立，解得B(12，－2)．∴S △AOB ＝12×1×|22－(－2)|＝322.(理)(2014·课标全国Ⅱ理)设F 为抛物线C ：y2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B ．938C.6332 D ．94[答案] D[解析] 由已知得F(34，0)，故直线AB 的方程为y ＝tan30°·(x －34)，即y ＝33x －34.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝33x －34， ①y2＝3x ， ②将①代入②并整理得13x2－72x ＋316＝0，∴x1＋x2＝212，∴线段|AB|＝x1＋x2＋p ＝212＋32＝12.又原点(0,0)到直线AB 的距离为d ＝3413＋1＝38. ∴S △OAB ＝12|AB|d ＝12×12×38＝94.14．(2014·课标全国Ⅰ理)已知抛物线C ：y2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF|＝( )A.72 B ．52C ．3D ．2[答案] C[解析] 抛物线的焦点是F(2,0)，过点Q 作抛物线的准线的垂线，垂足是A ，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x 轴的交点为G ，因为FP →＝4FQ →，∴|PQ →||PF →|＝34，由于△QAP ∽△FGP ，所以可得|QA||FG|＝|PQ →||PF →|＝34，所以|QA|＝3，所以|QF|＝3.二、填空题15．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．[答案] x ＝－1[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2px ，y ＝x －p 2，消去x 得，y2－2py －p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p ，由条件知，y1＋y2＝4，∴p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－1.16．(2014·湖南理)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a 、b(a<b)，原点O 为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C 、F 两点，则b a ＝________.[答案] 2＋1[解析] 由题可得C(a 2，－a)，F(a 2＋b ，b)，∵C 、F 在抛物线y2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a2＝pa ，b2＝2p a 2＋b ， ∴b2－2ab －a2＝0，∴b a ＝2＋1，故填2＋1.三、解答题17．(文)(2014·北京西城区期末)已知A ，B 是抛物线W ：y ＝x2上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐标原点．(1)若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；(2)设C 为W 上一点，且AB ⊥AC ，过B ，C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求|OD|的最小值．[解析] (1)抛物线y ＝x2的焦点为(0，14)．由题意，得直线AB 的方程为y －1＝k(x －1)，令x ＝0，得y ＝1－k ，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1－k)．因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，所以1－k>14，解得k<34.(2)由题意，设B(x1，x21)，C(x2，x22)，D(x3，y3)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k x －1y ＝x2消去y ，得x2－kx ＋k －1＝0，由根与系数的关系，得1＋x1＝k ，所以x1＝k －1.同理，得AC 的方程为y －1＝－1k (x －1)，x2＝－1k －1.对函数y ＝x2求导，得y ′＝2x ，所以抛物线y ＝x2在点B 处的切线斜率为2x1，所以切线BD 的方程为y －x21＝2x1(x －x1)，即y ＝2x1x －x21.同理，抛物线y ＝x2在点C 处的切线CD 的方程为y ＝2x2x －x22.联立两条切线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x1x －x21y ＝2x2x －x22，解得x3＝x1＋x22＝12(k －1k －2)，y3＝x1x2＝1k －k ，所以点D 的坐标为(12(k －1k －2)，1k －k)．因此点D 在定直线2x ＋y ＋2＝0上．因为点O 到直线2x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2×0＋0＋2|22＋12＝255，所以|OD|≥255，当且仅当点D(－45，－25)时等号成立．由y3＝1k －k ＝－25，得k ＝1±265，验证知符合题意．所以当k ＝1±265时，|OD|有最小值255.(理)(2014·开封摸底考试)已知圆(x －a)2＋(y ＋1－r)2＝r2(r>0)过点F(0,1)，圆心M 的轨迹为C.(1)求轨迹C 的方程；(2)设P 为直线l ：x －y －2＝0上的点，过点P 作曲线C 的两条切线PA ，PB ，当点P(x0，y0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．[解析] (1)依题意，由圆过定点F 可知C 的方程为x2＝4y.(2)抛物线C 的方程为y ＝14x2，求导得y ′＝12x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝x214，y2＝x224)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x1，12x2，所以切线PA 的方程为y －y1＝x12(x －x1)，即x1x －2y －2y1＝0.同理可得切线PB 的方程为x2x －2y －2y2＝0.因为切线PA ，PB 均过点P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x －2y0－2y ＝0的两组解．所以直线AB 的方程为x0x －2y －2y0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x0x －2y －2y0＝0x2＝4y ，消去x 整理得y2＋(2y0－x20)y ＋y20＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝x20－2y0，y1y2＝y20，所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y20＋x20－2y0＋1.又点P(x0，y0)在直线l 上，所以x0＝y0＋2，所以y20＋x20－2y0＋1＝2y20＋2y0＋5＝2(y0＋12)2＋92，所以当y0＝－12时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为92.18．(文)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F(0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ.[解析] (1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x2＝8y.(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直，设AB ：y ＝kx ＋2.A(x1，y1)，B(x2，y2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x2，可得x2－8kx －16＝0， ∴x1＋x2＝8k ，x1x2＝－16.抛物线方程为y ＝18x2，求导得y ′＝14x.所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k1＝14x1，k2＝14x2，k1k2＝14x1·14x2＝116x1·x2＝－1.所以AQ ⊥BQ.(理)(2013·长春三校调研)在直角坐标系xOy 中，点M(2，－12)，点F 为抛物线C ：y ＝mx2(m>0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分．(1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设直线FA 、FM 、FB 的斜率分别为k1、k2、k3，问k1、k2、k3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．[解析] (1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为(0，14m )，线段MF 的中点N(1，18m －14)在抛物线C 上，∴18m －14＝m,8m2＋2m －1＝0，∴m ＝14(m ＝－12舍去)．(2)由(1)知抛物线C ：x2＝4y ，F(0,1)．设直线l 的方程为y ＋12＝k(x －2)，A(x1，y1)、B(x2，y2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12＝k x －2，x2＝4y ，得x2－4kx ＋8k ＋2＝0， Δ＝16k2－4(8k ＋2)>0，∴k<2－62或k>2＋62. ⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝4k ，x1x2＝8k ＋2. 假设k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，则k1＋k3＝2k2.而k1＋k3＝y1－1x1＋y2－1x2＝x2y1＋x1y2－x2－x1x1x2＝x2x214＋x1x224－x2－x1x1x2＝x1x24－1x1＋x2x1x2 ＝8k ＋24－1·4k 8k ＋2＝4k2－k 4k ＋1， k2＝－34，∴4k2－k 4k ＋1＝－32，8k2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－34(不合题意，舍去)． ∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.∴k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：8.7抛物线Word版含答案

1．抛物线的标准方程掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程． 2．抛物线的几何性质掌握抛物线的简单性质．知识点一抛物线定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内．(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等． (3)定点不在定直线上．易误提醒抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．[自测练习]1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78D ．0解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.答案：B知识点二抛物线的标准方程与几何性质易误提醒抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．必记结论抛物线焦点弦的几个常用结论：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2 α(α为弦AB 的倾斜角)． (3)1|F A |＋1|FB |＝2p. (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切．[自测练习]2．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则其方程是( ) A ．y ＝4x 2 B ．y ＝8x 2 C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：本题考查抛物线的标准方程．设抛物线的方程为y 2＝2px ，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，故选D.答案：D3．(2016·成都质检)已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为3，则线段AB 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2×3＝6，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2＝8，故选B.答案：B4．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 26－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：双曲线x 26－y 23＝1的右焦点F (3,0)是抛物线y 2＝2px 的焦点，所以p2＝3，p ＝6.答案：6考点一抛物线的标准方程及几何性质|1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝⎛⎭⎫0，116a D.⎝⎛⎭⎫116a ，0 解析：抛物线方程化标准方程为x 2＝14a y ，焦点在y 轴上，焦点为⎝⎛⎭⎫0，116a . 答案：C2．(2016·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y解析：若焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝ax ，将点P (－4，－2)的坐标代入，得a ＝－1，所以抛物线的标准方程为y 2＝－x ；若焦点在y 轴上，设方程为x 2＝by ，将点P (－4，－2)的坐标代入，得b ＝－8，所以抛物线的标准方程为x 2＝－8y .故所求抛物线的标准方程是y 2＝－x 或x 2＝－8y .答案：D3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：AB 的中点到抛物线准线的距离为|AB |2＝5，所以AB 的中点到y 轴的距离为5－1＝4.答案：D求抛物线方程的三个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种． (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系． (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．考点二抛物线的定义及应用|抛物线的定义是高考命题热点，与定义相关的最值问题常涉及距离最短，距离和最小等，归纳常见的探究角度有：1．到焦点与动点的距离之和最小问题． 2．到准线与动点的距离之和最小问题． 3．到两定直线距离之和最小问题． 4．到焦点与定点距离之和最小问题．探究一到焦点与动点的距离之和最小问题1．(2016·邢台模拟)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1，由抛物线的定义得|MF |等于M 到准线的距离d ，所以|MA |＋|MF |的最小值等于圆心C 到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.答案：5探究二到准线与动点的距离之和最小问题2．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PC |的最小值为( )A.41 B ．7 C ．6D ．9解析：由题意得圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝4，圆心C 的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当d ＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即d ＋|PC |＝(－3－2)2＋(－4)2＝41.答案：A探究三到两定直线距离之和最小问题3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( )A.3716B.115 C ．3D ．2解析：直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ，过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2，故选D.答案：D探究四到焦点与定点距离之和最小问题4．(2016·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2,2)解析：本题考查抛物线的定义，过M 点作左准线的垂线(图略)，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．答案：D求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．考点三直线与抛物线的位置关系|(2016·保定模拟)已知：过抛物线x 2＝4y 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两个不同的点，过点A ，B 分别作抛物线的切线，且二者相交于点C .(1)求证：AB →·CF →＝0； (2)求△ABC 的面积的最小值．[解] (1)证明：设l AB ：y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，则x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4.∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴l AC ：y －14x 2A ＝12x A (x －x A )，l BC ：y －14x 2B ＝12x B (x －x B )，∴x C ＝2k ，y C ＝－1.①若k ≠0，则k CF ＝－1k ，∴k AB ·k CF ＝－1，∴AB →·CF →＝0.②若k ＝0，显然AB →·CF →＝0(或∵CF →＝(－2k,2)，AB →＝(x B －x A ，k (x B －x A ))， ∴AB →·CF →＝－2k (x B －x A )＋2k (x B －x A )＝0.(2)由(1)知，点C 到AB 的距离d ＝|CF |＝21＋k 2.∵|AB |＝|AF |＋|FB |＝y A ＋y B ＋2＝k (x A ＋x B )＋4＝4k 2＋4， ∴S ＝12|AB |d ＝4(k 2＋1)32，∴当k ＝0时，△ABC 的面积取最小值，为4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．(2015·高考四川卷)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0<r <5，所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2y 0.设圆心为C (5,0)，则k CM ＝y 0x 0－5.因为直线l 与圆相切，所以2y 0·y 0x 0－5＝－1，解得x 0＝3，于是y 20＝r 2－4，r >2，又y 20<4x 0，即r 2－4<12，所以0<r <4，又0<r <5，r >2，所以2<r <4，选D.答案：D8.直线与圆锥曲线问题的答题模板【典例】 (13分)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．[解题思路] (1)由抛物线的焦点坐标可求c ，又由两曲线的公共弦长为26得出a ，b 的关系式，从而求得椭圆方程；(2)利用方程的思想，得出各交点坐标之间的关系，构造关于斜率k 的方程．[规范解答] (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1，①(2分)又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，由C 1的方程为x 2＝4y ，(4分) 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1，②(5分)联立①②得a 2＝9，b 2＝8，故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(6分)(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③(8分)设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.(9分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2，⑤(10分) 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2，(12分)所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(13分)[模板形成]特定系数法求曲线方程↓联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程↓写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围或指出直线过曲线内一点；↓根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2或y 1y 2，y 1＋y 2的关系式，求得结果；↓反思回顾，查看有无忽略特殊情况.[跟踪练习] (2016·唐山模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．解：(1)设直线l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)将(*)化为y 2－4my ＋8＝0.则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M (x M ，y M )，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝±3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.A 组考点能力演练1．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．2D.14解析：因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14，故选D.答案：D2．(2016·襄阳调研)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：∵△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵外接圆的面积为9π，∴圆的半径为3.又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2，∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4.答案：B3．(2016·新余模拟)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PMF 的面积为( )A ．5B ．10C ．20D.15解析：根据题意得点P 的坐标为(4，±4)，所以S △PMF ＝12|y p |·|PM |＝12×4×5＝10，故选B.答案：B4．(2016·九江一模)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |＝( )A ．1∶ 2B ．1∶ 3C ．1∶2D ．1∶3解析：由题意得，直线l ：y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，得N ⎝⎛⎭⎫p 4，－22p ，∴|NF |＝p 4＋p 2＝34p ，∴|MF |＝p ＋p 2＝32p ，∴|NF |∶|FM |＝1∶2，故选C.答案：C5．(2015·铜川一模)已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则|AB |的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤4，当直线AB 过焦点F 时，|AB |取得最大值4.答案：D6．抛物线y 2＝x 的焦点到准线的距离为________．解析：由抛物线y 2＝x ，得2p ＝1，∴p ＝12，抛物线y 2＝x 的焦点到准线的距离为p ＝12. 答案：127．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为________．解析：圆的圆心坐标为(1，－2)．设抛物线方程为y 2＝ax ，将圆心坐标代入得a ＝2，所以所求抛物线的方程为y 2＝2x .答案：y 2＝2x8．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x9.已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1)若以点M (2，－1)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P在x轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线l ′与抛物线C ：x 2＝1my 相切，求直线l 的方程和抛物线C 的方程．解：(1)依题意得点P 的坐标为(－m,0)．∵以点M (2，－1)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，∴MP ⊥l .∴k MP ·k l ＝0－(－1)－m －2·1＝－1，解得m ＝－1. ∴点P 的坐标为(1,0)．设所求圆的半径为r ，则r 2＝|PM |2＝1＋1＝2，∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝2.(2)将直线l 的方程y ＝x ＋m 中的y 换成－y ，可得直线l ′的方程为y ＝－x －m .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1m y ，y ＝－x －m ，得mx 2＋x ＋m ＝0(m ≠0)，Δ＝1－4m 2， ∵直线l ′与抛物线C ：x 2＝1my 相切， ∴Δ＝0，解得m ＝±12. 当m ＝12时，直线l 的方程为y ＝x ＋12，抛物线C 的方程为x 2＝2y ；当m ＝－12时，直线l 的方程为y ＝x －12，抛物线C 的方程为x 2＝－2y . 10．(2016·大连双基)已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，OM →·ON →＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为：x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，y 1＋y 2＝2pm ，y 1·y 2＝－4p . k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4(y 1＋y 2)(my 1＋4)(my 2＋4)＝－8mp ＋8mp (my 1＋4)(my 2＋4)＝0. (2)设点P (x 0，y 0)，直线P A ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)，当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0. 因为OM →·ON →＝2，所以4＋y N y M ＝2，－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝－2. 16p 2－4py 0(y 2＋y 1)＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0(y 2＋y 1)＋y 20＝－2， 16p 2－8p 2my 0－4py 20－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－2， p ＝12，抛物线C 的方程为y 2＝x .B 组高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：因为抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线l 的方程为x ＝－2①，设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，所以椭圆E 的半焦距c ＝2，又椭圆E 的离心率为12，所以a ＝4，b ＝23，椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1②，联立①②，解得A (－2,3)，B (－2，－3)，或A (－2，－3)，B (－2,3)，所以|AB |＝6，选B.答案：B2．(2015·高考陕西卷)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)解析：因为抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－1， ∴p 2＝1，∴焦点坐标为(1,0)，选B. 答案：B3.(2015·高考浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：由题可知抛物线的准线方程为x ＝－1.如图所示，过A作AA 2⊥y 轴于点A 2，过B 作BB 2⊥y 轴于点B 2，则S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB 2||AA 2|＝|BF |－1|AF |－1. 答案：A4．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．解：(1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．。