高考人教数学(理)大一轮复习检测：第八章第六节 抛物线Word版含解析

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A 级 基础夯实练

1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )

A ．－43

B ．－1

C ．－34

D ．－12

解析：选C.由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2，

0)．又A (－2，3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2

＝－34. 2．若点A ，B 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，O 是坐标原点，若正三角形OAB 的面积为43，则该抛物线方程是( )

A ．y 2＝233

x B ．y 2＝3x C ．y 2＝23x D ．y 2

＝33x 解析：选A.根据抛物线的对称性，AB ⊥x 轴，由于正三角形的

面积是43，故34

AB 2＝43，故AB ＝4，正三角形的高为23，故可以设点A 的坐标为(23，2)代入抛物线方程得4＝43p ，解得p ＝33，故所求的抛物线方程为y 2＝233

x .故选A. 3．(·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( )

A ．x 2＝8y

B ．x 2＝4y

C ．x 2＝2y

D ．x 2＝y

解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，

即两交点坐标为(0，0)和(4p ，8p )，则（4p ）2＋（8p ）2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .

4．(·湖南省五市十校联考)已知抛物线y 2＝2x 上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4，且|AF |＞2，则点A 到原点的距离为( )

A.41

B ．22

C ．4

D ．8

解析：选B.令点A 到点F 的距离为5a ，点A 到x 轴的距离为

4a ，则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫5a －12，4a ，代入y 2＝2x 中，解得a ＝12或a ＝18

(舍)，此时A (2，2)，故点A 到原点的距离为2 2. 5．(·太原模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P

是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |等

于( )

A.72

B ．52

C ．3

D ．2

解析：选C.因为FP →＝4FQ →，所以|FP →|＝4|FQ →|，

所以|PQ ||PF |＝34

.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |

＝34

，所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3.

6．(·江西协作体联考)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( )

A ．y 2＝4x 或y 2＝8x

B ．y 2＝2x 或y 2＝8x

C ．y 2＝4x 或y 2＝16x

D ．y 2＝2x 或y 2＝16x

解析：选C.由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫p 2，0，设点A (0，2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5得，⎝ ⎛⎭

⎪⎫8p －p 22＋16＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，即抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .

7．(·云南大理州模拟)在直角坐标系xOy 中，有一定点M (－1，

2)，若线段OM 的垂直平分线过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．

解析：依题意可得线段OM 的垂直平分线的方程为2x －4y ＋5＝0，

把焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2代入可求得p ＝52， 所以准线方程为y ＝－54

. 答案：y ＝－54

8．(·河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．

解析：设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上，又因为圆的面积为36π，

所以圆的半径为6，则|MF|＝x M＋p

2＝6，即x M＝6－

p

2，

又由题意可知x M＝p

4，所以p

4＝6－

p

2，解得p＝8.

所以抛物线方程为y2＝16x.

答案：y2＝16x

9．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．

解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线

方程是x＝－1，由抛物线的定义知，点P到直线x＝

－1的距离等于点P到F的距离．于是问题转化为在

抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点

P到F(1，0)的距离之和最小，连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|＝[1－（－1）]2＋（0－1）2＝ 5.

答案：5

10．(·湖北武汉调研测试)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.

(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；

(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．

解：由题意知，直线AB的斜率一定存在，∴设直线AB：y＝kx ＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，