命题与条件

第三讲 命题与条件
一、课前练习
已知函数2()1,,f x ax a R x R =-∈∈，集合 {}()A x f x x ==，集合[]{}
()B x f f x x ==， 且A B =≠∅，求实数a 的取值范围。

解：
二、知识要点
1、命题与推出关系
（1）命题：表示判断的语句叫做命题.一般由条件和结论构成.
（2）推出关系：如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，记作：αβ⇒.
（3）正确的命题叫做真命题.确定一个命题是真命题必须作出证明，即证明满足命题条件能推出命题结
论；错误的命题叫做假命题. 确定一个命题是假命题只需举反例，即举出一个满足命题条件而不满足命题结论的例子.
例1、判断下列语句是否为命题？如果是命题，判断它们是真命题还是假命题？为什么？
(1) 你是高一学生吗？
(2) 过直线AB 外一点作该直线的平行线．
(3) 个位数是5的自然数能被5整除．
(4) 互为余角的两个角不相等．
(5) 竟然得到5＞9的结果!
(6) 如果两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形相似．
解：
由例1的(4)可以看到，要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题的条件，而不满足其结论的例子即可，这在数学中称为“举反例”．
要确定一个命题是真命题，就必须作出证明，证明若满足命题的条件就一定能推出命题的结论． 一般地，如果事件α成立可以推出事件β也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号 α⇒β表示，读作“α推出β”．换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题． 如果事件α成立，而事件β不能成立，那么就说事件α不能推出事件β成立，可记作α
β．换言之，α
β表示以α为条件，β为结论的命题是一个假命题．
如果α⇒β，并且β⇒α，那么记作α⇔β，叫做α与β等价．
显然，推出关系满足传递性：α⇒β，β⇒γ，那么α⇒γ．
2、四种命题形式
如果用α和β分别表示原命题的条件和结论，用α和β分别表示α和β的否定，
那么四种命题形式是：
原命题：如果α，那么β.
逆命题：如果β，那么α.
否命题：如果α，那么β.
逆否命题：如果β，那么α.
其中原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为逆否命题，同真或同假。

互为逆否命题的两个命题是等价命题.
3、充分条件与必要条件
如果αβ⇒，那么α是β的充分条件.
如果βα⇒，那么α是β的必要条件.
如果αβ⇒且βα⇒，即αβ⇔，那么α是β的充分而且必要条件，简称充要条件.
4、子集与推出关系
若{}A x x α=具有性质，{}
B x x β=具有性质，则A B ⊆与αβ⇒等价.
例2、判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）三点确定一个圆；（2）若φ=B A ，则φφ==B A 或；
（3）设*N c b a ∈、、，若ab 是c 的整数倍，则b a 、中至少有一个是c 的整数倍；
（4）如果)0(02≠=++a c bx ax 中0<ac ，那么这个方程有实数根； （5）若C B B A ⊂≠,φ ，则φ≠C A 。

解：
例3、写出下列命题的否定形式：
（1）b a 、都是零；（2）方程0432=--x x 无实数根；
（3）我班至少有两个学生是三好学生；（4）存在实数x ，使得012=--x x 。

解：
注： “都是”----------“不都是”； “一定是”----------“一定不是”；
“至多一个”----------“至少两个”； “且”----------“或”；
“都不是”----------“至少有一个是”；“所有---都---”----------“至少有一个---不---”。

例4、写出命题“已知,x y R ∈，若0x >且0y >，则0xy >”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四
个命题的真假.
解：
例5、判断下列条件是结论的什么条件：
（1）集合“A B =”是“A C B C = ”的 条件．
（2）12,x x R ∈ ，则“0021>>x x 且”是“002121>⋅>+x x x x 且”的 条件．
（3）,x y R ∈ ，则“2x >且2y >”是“4x y +>且4xy >”的 条件．
（4）,x y R ∈ ，则“2x y +<”是“1x <且1y <”的 条件．
解：
例6、已知实系数一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠，试写出下列各条件的一个充要条件： （1）方程有一个正根、一个负根； （2）方程有两个正根； （3）方程有两个不同负根；
（4）方程有一个正根、一个根为0；（5）方程有一个根大于1、一个根小于1．
解：
例7、试用集合的包含关系说明α是β的什么条件．
(1) α：x =1，y =2 β：x+y =3
(2) α：正整数n 被5整除， β：正整数n 的个位数为5.
解：
例8、设α：1≤x ≤3，β：a+1≤x ≤2a －1，若α是β的必要条件，求实数a 的取值范围.
解：
例9、命题甲：关于x 的方程()()()2
441310x a x a a R -+++=∈有两个均小于2的不同实根.命题乙：关于x 的不等式()2
110a x ax a +-+-<对一切实数x 都成立.问：甲是乙的什么条件？并说明理由. 解：
例10、集合22{(,)|1},{(,)|42250},A x y y x B x y x x y ==+=+-+={(,)|}C x y y kx b ==+，问是
否存在自然数,k b 使得()A B C ⋃⋂=∅，并证明。

解：
三、巩固与提高
1、命题“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”的否定是( )
（A ）不存在x R ∈，3210x x -+≤ （B ）存在x R ∈，3210x x -+≤
（C ）存在x R ∈，3210x x -+> （D ）对任意的x R ∈，3210x x -+>
2、设12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两实根，则122,2x x >>成立的必要条件是( )
A ．121268x x x x +>⎧⎨⋅>⎩；
B ．1212
44x x x x +<⎧⎨⋅<⎩； C ．12124(2)(2)0x x x x +>⎧⎨-⋅->⎩； D ．121244x x x x +>⎧⎨⋅>⎩． 3、若c b a ,,都是实数， 试从A 、0=ab ，B 、0=+b a ， C 、022=+b a ， D 、0>ab ，E 、0>+b a ，
F 、022>+b a 中分别选出适合下列条件的代号填空．
①使a 、b 都是0的充分条件是__________________；
②使a 、b 都不是0的充分条件是__________________；
③使a 、b 中至少有个是0的充要条件是__________________；
④使a 、b 中至少有一个不是0的充要条件是__________________．
4、若命题p 的逆命题是q ，命题p 的否命题是γ，则命题q 是命题γ的 。

5、设x y R ∈、 ，则“3x y +<”的 条件是“2,1x y <<”.
6、
“a ”的 条件是“1a >”。

7、“22x x =+
”是2
x =的 条件. 8、已知命题“a b c d ≥⇒>” 和“a b e f <⇔≤”都是真命题，则“c d ≤”是“e f ≤”的
条件。

9、已知原命题的否命题是“若3x ≠且2x ≠，则2560x x -+≠”，那么原命题的逆命题
是 .
10、写出命题：“设,,a b c R ∈,如果0a b c ===,那么2220a b c ++=.”的等价命题
________________________________________________。

11、设a b R ∈、，则“0a b +≠”的一个必要不充分条件是 .
12、关于x 的方程|x|-|x-1|=2a+1有解的充要条件是________________。

13、设a b c R ∈、、，若0abc =，则0a =或0b =或0c =.写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，
并判断上述四个命题的真假
解：
14、(1)写出命题“全等三角形两边和其中一边的对角对应相等”的逆命题；
(2)写出命题“若a ≠1或b ≠2，则a 2+b 2－2a －4b+5≠0”的否命题；
(3)写出命题“若a > 1/a ，则｜a ｜>1”的逆否命题；
(4)写出命题“若A ⊆B ，则A B ＝B ”的逆否命题．
解：
15、设p ：012=++mx x 有两个不相等的负实根；q ：()244210x m x +-+=无实根；
若“p 或q ”为真，而“ p 且q ”为假，求实数m 的取值范围。

解：
16、已知抛物线2443y x ax a =+-+，()221y x a x a =+-+，2
22y x ax a =+-至少有一条与x 轴相交，求实数a 的取值范围。

解：。