命题与条件

第三讲 命题与条件

一、课前练习

已知函数2()1,,f x ax a R x R =-∈∈，集合 {}()A x f x x ==，集合[]{}

()B x f f x x ==， 且A B =≠∅，求实数a 的取值范围。

解：

二、知识要点

1、命题与推出关系

（1）命题：表示判断的语句叫做命题.一般由条件和结论构成.

（2）推出关系：如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，记作：αβ⇒.

（3）正确的命题叫做真命题.确定一个命题是真命题必须作出证明，即证明满足命题条件能推出命题结

论；错误的命题叫做假命题. 确定一个命题是假命题只需举反例，即举出一个满足命题条件而不满足命题结论的例子.

例1、判断下列语句是否为命题？如果是命题，判断它们是真命题还是假命题？为什么？

(1) 你是高一学生吗？

(2) 过直线AB 外一点作该直线的平行线．

(3) 个位数是5的自然数能被5整除．

(4) 互为余角的两个角不相等．

(5) 竟然得到5＞9的结果!

(6) 如果两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形相似．

解：

由例1的(4)可以看到，要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题的条件，而不满足其结论的例子即可，这在数学中称为“举反例”．

要确定一个命题是真命题，就必须作出证明，证明若满足命题的条件就一定能推出命题的结论． 一般地，如果事件α成立可以推出事件β也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号 α⇒β表示，读作“α推出β”．换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题． 如果事件α成立，而事件β不能成立，那么就说事件α不能推出事件β成立，可记作α

β．换言之，α

β表示以α为条件，β为结论的命题是一个假命题．

如果α⇒β，并且β⇒α，那么记作α⇔β，叫做α与β等价．

显然，推出关系满足传递性：α⇒β，β⇒γ，那么α⇒γ．

2、四种命题形式

如果用α和β分别表示原命题的条件和结论，用α和β分别表示α和β的否定，

那么四种命题形式是：

原命题：如果α，那么β.

逆命题：如果β，那么α.

否命题：如果α，那么β.

逆否命题：如果β，那么α.

其中原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为逆否命题，同真或同假。互为逆否命题的两个命题是等价命题.

3、充分条件与必要条件

如果αβ⇒，那么α是β的充分条件.

如果βα⇒，那么α是β的必要条件.

如果αβ⇒且βα⇒，即αβ⇔，那么α是β的充分而且必要条件，简称充要条件.

4、子集与推出关系

若{}A x x α=具有性质，{}

B x x β=具有性质，则A B ⊆与αβ⇒等价.

例2、判断下列命题的真假，并说明理由：

（1）三点确定一个圆；（2）若φ=B A ，则φφ==B A 或；

（3）设*N c b a ∈、、，若ab 是c 的整数倍，则b a 、中至少有一个是c 的整数倍；

（4）如果)0(02≠=++a c bx ax 中0

解：

例3、写出下列命题的否定形式：

（1）b a 、都是零；（2）方程0432=--x x 无实数根；

（3）我班至少有两个学生是三好学生；（4）存在实数x ，使得012=--x x 。

解：

注： “都是”----------“不都是”； “一定是”----------“一定不是”；

“至多一个”----------“至少两个”； “且”----------“或”；

“都不是”----------“至少有一个是”；“所有---都---”----------“至少有一个---不---”。

例4、写出命题“已知,x y R ∈，若0x >且0y >，则0xy >”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四

个命题的真假.

解：

例5、判断下列条件是结论的什么条件：

（1）集合“A B =”是“A C B C = ”的 条件．

（2）12,x x R ∈ ，则“0021>>x x 且”是“002121>⋅>+x x x x 且”的 条件．

（3）,x y R ∈ ，则“2x >且2y >”是“4x y +>且4xy >”的 条件．

（4）,x y R ∈ ，则“2x y +<”是“1x <且1y <”的 条件．

解：

例6、已知实系数一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠，试写出下列各条件的一个充要条件： （1）方程有一个正根、一个负根； （2）方程有两个正根； （3）方程有两个不同负根；

（4）方程有一个正根、一个根为0；（5）方程有一个根大于1、一个根小于1．

解：

例7、试用集合的包含关系说明α是β的什么条件．

(1) α：x =1，y =2 β：x+y =3

(2) α：正整数n 被5整除， β：正整数n 的个位数为5.

解：

例8、设α：1≤x ≤3，β：a+1≤x ≤2a －1，若α是β的必要条件，求实数a 的取值范围.

解：

例9、命题甲：关于x 的方程()()()2

441310x a x a a R -+++=∈有两个均小于2的不同实根.命题乙：关于x 的不等式()2

110a x ax a +-+-<对一切实数x 都成立.问：甲是乙的什么条件？并说明理由. 解：